數種框筒結構分析方法之研究比較

國 立 交 通 大 學

土木工程學系

碩 士 論 文

數種框筒結構分析方法之研究比較

Comparison of Several Approximate Methods of Framed-Tube Structures

研 究 生 ：劉信宏

指 導 教 授 ：劉俊秀 教授

數種框筒結構分析方法之研究比較

Comparison of Several Approximate Methods of Framed-Tube Structures

研 究 生：劉信宏 Student : Hsin-Hung Liou

指導教授：劉俊秀 教授 Advisor : Prof. Gin-Show Liou

國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master in

Civil Engineering August 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China.

數種框筒結構分析方法之研究比較

研究生：劉信宏 指導教授：劉俊秀 教授

國立交通大學土木工程學系

摘 要

框筒結構為一種經濟合理的結構形式，在高層結構中得到廣泛的應 用。框筒結構的基本形式是由結構外圍的密集柱與深梁所組成。由於梁柱 構件本身有限的撓曲和剪力勁度，使得在水平荷載下框筒結構的受力變形 不像由連續板構成的筒狀結構，框筒結構會產生剪力延遲效應。由於剪力 延遲效應使得結構物不能充份發揮本身既有的勁度，所以本論文主要在探 討框筒結構的剪力延遲效應。 在框筒結構分析方法中，本論文分別使用結構分析程式SAP2000 以及 等效連續筒近似分析方法考慮剪力延遲效應的影響與改良分析結果精度， 並相互比較SAP2000 與近似分析之成果。 另一方面，本論文亦討論不同結構形式下，如方形框筒結構、圓 形框筒結構以及加斜撐的框筒結構的剪力延遲效應。 關鍵字：框筒結構、剪力延遲效應、負剪力延遲效應、等效連續筒分析、SAP2000。

Comparison of Several Approximate Methods of Framed-Tube Structures

Student: Hsin-Hung Liou Advisor: Prof. Gin-Show Liou

Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

Framed-tube structure is an economical structural type and widely used in high-rise buildings. The framed-tube structure is formed by closely spaced perimeter columns that are connected by deep spandrel beams. As a result of the finite stiffness of the column and beam elements, the primary mode action of a framed-tube structure under lateral forces is not that of a conventional cantilevered tube. Shear lag effect in the perimeter frames of framed-tube structure will occur under the action of lateral forces. Therefore, the framed-tube structure can not fully exploit the potential stiffness and strength. This thesis is to analyze shear lag effect on the stiffness of the framed-tube structure and to discuss the behavior of the framed-tube structure under shear lag effect.

Several approximate methods of framed-tube structure and method using SAP2000 are compared each other in order to understand the shear lag effect on framed-tube structure. The shear lag effect of different structural types, such as square, circular and braced framed-tube structures is further discussed in this thesis.

Keywords: Framed-Tube Structure, Shear Lag Effect, Negative Shear Lag Effect, Equivalent Continuous Tube Approximate Method, SAP2000.

誌 謝

光陰似箭，歲月如梭。研究所兩年求學時間轉眼即逝。在這兩年中，感謝 指導教授劉俊秀博士在專業知識領域中給學生指引學習方向，以及在學習過程 中遭遇困難時能幫學生釋疑解惑，學生才能完成這本論文。感謝口試委員黃炯 憲教授、鄭復平教授、林昌佑教授，給予這本論文建議指教，使本論文內容能 更加嚴謹完善。 感謝博士班瑜隆學長、碩士班冠杰、紀戌學長在求學過程中對我的督導照 顧。感謝宗穎、銘浩學弟在研究室一年相處的時間裡對我的幫忙和照顧，有你 們的幫忙我才能順利完成論文，謝謝你們。 感謝同學兼室友的志偉、阿邦、弘毅兩年來在日常生活上的照顧，我不會 忘記一起去逛大賣場、一起煮飯、一起吃大餐、一起去清夜買便當宵夜、一起 熬夜準備考試、一起徹夜聊心事，那些快樂的日子。感謝同學巍贏、振剛、瀞 云、欣晏、志軒、俊成、雅晶、啟勇，以及學弟怡廷、世賢，在求學做研究的 路上，疲累時有你們陪著我聊天放鬆，課業上有困難時有你們一起討論課業。 與你們相處的這兩年將是我珍貴的回憶。 最後感謝我最敬愛的父母、最親愛的妹妹，以及最深愛的寶比在物質、精 神上給予我最大的支持鼓勵，當我最大的後盾。讓我在求學做研究的路上沒有 後顧之憂。每當週末回家時都可以忘記煩惱，放鬆充電，充滿活力來迎接下星 期的挑戰。我愛你們。尤其是寶比，雖然遠在美國。但是我常常覺得你就在我 旁，陪我一起分享快樂、一起分擔煩惱。謝謝你，我最深愛的寶比。

目 錄

摘 要... i Abstract... ii 誌 謝... iii 目 錄... iv 表 目 錄... vii 圖 目 錄... viii 第一章 緒論... 1 1.1 研究背景 ... 1 1.2 研究動機與目的 ... 1 1.3 文獻回顧 ... 2 1.4 論文內容 ... 3 第二章 框筒結構之結構形式介紹 ... 5 2.1 傳統框筒結構（Framed-Tube Structure） ... 5 2.2 筒中筒結構（Tube-In-Tube Structure） ... 6 2.3 束型框筒結構（Bundled-Tube Structure） ... 7 2.4 支撐型框筒結構（Braced-Tube Structure） ... 8 2.5 框筒結構底層的結構形式 ... 9 2.6 框筒結構斷面形式 ... 10 第三章 框筒結構受側力下之剪力延遲效應探討 ... 12 3.1 剪力延遲效應介紹 ... 12 3.2 框筒結構中負剪力延遲效應探討 ... 13 第四章 框筒結構之分析方法... 15 4.1 方形框筒結構 ... 15 4.1.1 等效平面構架法 ... 15 4.1.2 等效連續筒模型分析法 ... 17

4.1.2.1 Coull等效連續筒模型分析法 ... 17 4.1.2.1.1 Coull等效連續筒參數 ... 18 4.1.2.1.2 Coull等效連續筒內力計算 ... 19 4.1.2.1.3 框筒結構內力計算 ... 25 4.1.2.1.4 框筒結構水平位移計算 ... 26 4.1.2.2 Kwan等效連續筒模型分析法 ... 28 4.1.2.2.1 Kwan等效連續筒參數 ... 28 4.1.2.2.2 Kwan等效連續筒內力計算 ... 30 4.1.2.2.3 框筒結構內力計算 ... 36 4.1.2.2.4 框筒結構水平位移計算 ... 37 4.1.2.2.5 Kwan分析方法探討以及改良 ... 38 4.1.3 方形框筒結構之SAP2000 分析 ... 39 4.1.3.1 SAP2000 軟體介紹 ... 39 4.1.3.2 SAP2000 在建立框筒結構模型的設定 ... 41 4.1.3.2.1 梁柱交接區剛域的處理 ... 41 4.1.3.2.2 剛性樓板對結點自由度束制的處理 ... 42 4.1.3.2.3 施加分析模型外力的處理設定 ... 43 4.2 圓形框筒結構 ... 43 4.2.1 Ding等效連續筒殼模型分析 ... 43 4.2.1.1 Ding等效連續筒殼參數 ... 44 4.2.1.2 Ding等效連續筒殼內力及位移計算 ... 44 4.2.1.3 框筒結構內力計算 ... 47 4.2.2 圓形框筒結構之SAP2000 分析 ... 48 第五章 案例分析... 49 5.1 方形框筒結構 ... 49 5.1.1 SAP2000 與等效連續筒模型分析比較 ... 49 5.1.1.1 SAP2000 與等效連續筒模型水平側向位移比較 ... 50 5.1.1.2 SAP2000 與等效連續筒模型剪力延遲效應比較 ... 51 5.1.2 支撐型框筒結構之SAP2000 分析 ... 55 5.1.2.1 支撐型框筒結構與框筒結構水平側向位移比較 ... 55 5.1.2.2 支撐型框筒結構與框筒結構剪力延遲效應比較 ... 56 5.1.2.3 支撐型框筒結構斜撐形式的比較 ... 56 5.2 圓形框筒結構 ... 57 5.2.1 SAP2000 與Ding等效連續筒殼模型分析比較 ... 57 5.2.1.1 SAP2000 與Ding等效連續筒殼模型水平側向位移比較 ... 58 5.2.1.2 SAP2000 與Ding等效連續筒殼模型剪力延遲效應比較 ... 59 5.2.2 支撐型框筒結構之SAP2000 分析 ... 59

5.2.2.1 支撐型框筒結構與框筒結構水平側向位移比較 ... 59 5.2.2.2 支撐型框筒結構與框筒結構剪力延遲效應比較 ... 60 第六章 結論與建議... 62 6.1 結論 ... 62 6.2 建議 ... 63 參考文獻... 65

表 目 錄

表2-1 開放式建築物或獨立結構物之風力係數，C [19] ... 67 f

表4-1 Coull計算內力位移的函數表[3] ... 68 表4-2 Kwan剪力延遲效應係數[6]... 68

圖 目 錄

圖2-1.第一座的框筒結構建築 美國芝加哥市DeWitt Chestnut公寓[16] ...69

圖2-2.框筒結構的立體與平面構造圖[2] ...69

圖2-3.第一座的筒中筒結構建築 美國休士頓市One Shell Plaza大樓[16]...70

圖2-4.One Shell Plaza大樓的平面佈置圖[16]...70

圖2-5.筒中筒結構的變形協合[16] ...71

圖2-6.束形框筒結構平片佈置與翼、腹板端柱軸力分佈[2] ...71

圖2-7.最典型的束形框筒結構 美國芝加哥市Sears大樓[17] ...72

圖2-8.Sears大樓平面佈置變化圖[17] ...72

圖2-9.美國芝加哥市One Magnificent Mile大樓平面佈置變化圖[16] ...73

圖2-10.美國邁阿密市Wachovia Financial Center平面佈置圖[16]...73

圖2-11.斜撐型框筒結構[17] ...74 圖2-12.大型支撐型框筒結構[17] ...74 圖2-13.美國芝加哥市John Hancock鋼結構大樓[16] ...75 圖2-14.美國紐約市 780 Third Avenue大樓[16] ...75 圖2-15.框筒結構底層結構形式[16] ...76 圖2-16.慣性矩轉換的Mohr s Circle' [18] ...76 圖3-1.框筒結構受水平側力下翼板端與腹板端柱軸應力分佈[2] ...77 圖3-2.剪力延遲效應影響下翼板端框架中柱的軸向變形[2] ...77 圖3-3.Y.Singh的框筒結構考慮負剪力延遲的分析模型[15] ...78 圖4-1.受水平載重下框筒結構的平面圖[2] ...79 圖4-2.滿足邊界條件的等效平面框架[2] ...79 圖4-3.角柱處利用虛擬剛性梁模擬圖[2] ...80 圖4-4.角柱處利用虛擬剛性連桿模擬圖[2] ...80 圖4-5.Coull的單元框架與等效板示意圖[3] ...81 圖4-6.Coull等效連續筒座標與應力系統圖[3] ...81 圖4-7.F 於三種常用載重下的函數圖[3]... 82 ₁ 圖4-8(a).F 於集中載重下的函數圖[3] ... 82 ₂ 圖4-8(b).F 於均佈載重下的函數圖[3]... 83 ₂ 圖4-8(c).F 於倒三角載重下的函數圖[3] ... 83 ₂ 圖4-9(a).F 於集中載重下的函數圖[3] ... 83 ₃ 圖4-9(b).F 於均佈載重下的函數圖[3]... 84 ₃ 圖4-9(c).F 於倒三角載重下的函數圖[3] ... 84 ₃ 圖4-10.Kwan的單元框架與等效板示意圖[6]...85 圖4-11.Kwan的單元框架受水平側力圖[6]...85 圖4-12.Kwan等效連續筒座標圖[6]...86 圖4-13.Kwan假設的腹、翼板端框架軸向位移分佈曲線[6]...87

圖4-14.不同假設下Kwan求出的翼板端 1F柱軸應力與SAP2000 比較圖...87 圖4-15.不同假設下Kwan求出的翼板端 35F柱軸應力與SAP2000 比較圖...88 圖4-16.不同假設下Kwan求出的翼板端 70F柱軸應力與SAP2000 比較圖...88 圖4-17.不同假設下Kwan求出的腹板端 1F柱軸應力與SAP2000 比較圖...89 圖4-18.不同假設下Kwan求出的腹板端 35F柱軸應力與SAP2000 比較圖...89 圖4-19.不同假設下Kwan求出的腹板端 70F柱軸應力與SAP2000 比較圖...90 圖4-20.梁柱交接區域示意圖[20] ...90 圖4-21.梁柱交接區域抗彎剛度為有限值等效成無限大示意圖...91 圖4-22.剛性區域係數對框筒結構側位移的影響...91 圖4-23.門型剛架受水平載重下的力學行為...92 圖4-24.Ding圓形框筒座標外力示意圖[9] ...92 圖4-25.Ding圓形框筒平面受力圖[9] ...93 圖4-26.Ding圓形框筒分割元素受力圖[9] ...93 圖4-27.Ding圓形框筒側向位移示意圖[9] ...94 圖4-28.Ding圓形框筒柱位置示意圖[9] ...94 圖5-1.SAP2000 方形框筒結構分析模型示意圖 ...95 圖5-2.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ...96 圖5-3.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...96 圖5-4.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 15F柱軸力分佈圖 ...97 圖5-5.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 30F柱軸力分佈圖 ...97 圖5-6.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...98 圖5-7.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 15F柱軸力分佈圖 ...98 圖5-8.30F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 30F柱軸力分佈圖 ...99 圖5-9.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ...99 圖5-10.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...100 圖5-11.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 15F柱軸力分佈圖 ...100 圖5-12.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 30F柱軸力分佈圖 ...101 圖5-13.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...101 圖5-14.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 15F柱軸力分佈圖 ...102 圖5-15.30F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 30F柱軸力分佈圖 ...102 圖5-16.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ...103 圖5-17.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...103 圖5-18.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 25F柱軸力分佈圖 ...104 圖5-19.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 50F柱軸力分佈圖 ...104 圖5-20.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...105 圖5-21.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 25F柱軸力分佈圖 ...105 圖5-22.50F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 50F柱軸力分佈圖 ...106 圖5-23.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ...106

圖5-24.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...107 圖5-25.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 25F柱軸力分佈圖 ...107 圖5-26.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 50F柱軸力分佈圖 ...108 圖5-27.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...108 圖5-28.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 25F柱軸力分佈圖 ...109 圖5-29.50F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 50F柱軸力分佈圖 ...109 圖5-30.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ... 110 圖5-31.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 110 圖5-32.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 35F柱軸力分佈圖 ... 111 圖5-33.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 70F柱軸力分佈圖 ... 111 圖5-34.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 112 圖5-35.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 35F柱軸力分佈圖 ... 112 圖5-36.70F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 70F柱軸力分佈圖 ... 113 圖5-37.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ... 113 圖5-38.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 114 圖5-39.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 35F柱軸力分佈圖 ... 114 圖5-40.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 70F柱軸力分佈圖 ... 115 圖5-41.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 115 圖5-42.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 35F柱軸力分佈圖 ... 116 圖5-43.70F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 70F柱軸力分佈圖 ... 116 圖5-44.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ... 117 圖5-45.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 117 圖5-46.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 45F柱軸力分佈圖 ... 118 圖5-47.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型翼板端框架 90F柱軸力分佈圖 ... 118 圖5-48.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ... 119 圖5-49.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 45F柱軸力分佈圖 ... 119 圖5-50.90F梁斷面為 1mx1.5m三種模型腹板端框架 90F柱軸力分佈圖 ...120 圖5-51.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型之水平側向位移比較圖 ...120 圖5-52.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...121 圖5-53.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 45F柱軸力分佈圖 ...121 圖5-54.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型翼板端框架 90F柱軸力分佈圖 ...122 圖5-55.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...122 圖5-56.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 45F柱軸力分佈圖 ...123 圖5-57.90F梁斷面為 1mx0.5m三種模型腹板端框架 90F柱軸力分佈圖 ...123 圖5-58.SAP2000 大型支撐型框筒結構分析模型示意圖 ...124 圖5-59.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒結構之水平側向位移比較圖 ...125 圖5-60.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒翼板框架 1F柱軸力分佈圖 ...125 圖5-61.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒翼板框架 45F柱軸力分佈圖 ...126

圖5-62.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒翼板框架 90F柱軸力分佈圖 ...126 圖5-63.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒腹板框架 1F柱軸力分佈圖 ...127 圖5-64.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒腹板框架 45F柱軸力分佈圖 ...127 圖5-65.90F梁斷面為 1mx1.5m大型支撐框筒腹板框架 90F柱軸力分佈圖 ...128 圖5-66.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒結構之水平側向位移比較圖 ...128 圖5-67.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒翼板框架 1F柱軸力分佈圖 ...129 圖5-68.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒翼板框架 45F柱軸力分佈圖 ...129 圖5-69.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒翼板框架 90F柱軸力分佈圖 ...130 圖5-70.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒腹板框架 1F柱軸力分佈圖 ...130 圖5-71.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒腹板框架 45F柱軸力分佈圖 ...131 圖5-72.90F梁斷面為 1mx0.5m大型支撐框筒腹板框架 90F柱軸力分佈圖 ...131 圖5-73.SAP2000 翼板端框架加斜撐型框筒結構分析模型示意圖 ...132 圖5-74.SAP2000 腹板端框架加斜撐型框筒結構分析模型示意圖 ...133 圖5-75.SAP2000 方形斜撐型框筒結構分析模型示意圖 ...134 圖5-76.90F梁斷面為 1mx0.5m五種模型之水平側向位移比較圖 ...135 圖5-77.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型翼板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...135 圖5-78.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型翼板端框架 45F柱軸力分佈圖 ...136 圖5-79.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型翼板端框架 90F柱軸力分佈圖 ...136 圖5-80.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型腹板端框架 1F柱軸力分佈圖 ...137 圖5-81.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型腹板端框架 45F柱軸力分佈圖 ...137 圖5-82.90F梁斷面為 1mx0.5m四種模型腹板端框架 90F柱軸力分佈圖 ...138 圖5-83.SAP2000 圓形框筒結構分析模型示意圖 ...139 圖5-84.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...140 圖5-85.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...140 圖5-86.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...141 圖5-87.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...141 圖5-88.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...142 圖5-89.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...142 圖5-90.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...143 圖5-91.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...143 圖5-92.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...144 圖5-93.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...144 圖5-94.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...145 圖5-95.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...145 圖5-96.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...146 圖5-97.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...146 圖5-98.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...147 圖5-99.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...147

圖5-100.SAP2000 圓形支撐型框筒結構分析模型示意圖 ...148 圖5-101.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...149 圖5-102.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...149 圖5-103.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...150 圖5-104.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...150 圖5-105.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...151 圖5-106.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...151 圖5-107.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...152 圖5-108.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...152 圖5-109.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型之水平側向位移比較圖 ...153 圖5-110.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...153 圖5-111.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...154 圖5-112.90F曲梁斷面為 1mx1.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...154 圖5-113.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型之水平側向位移比較圖...155 圖5-114.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 1F柱軸力分佈圖 ...155 圖5-115.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 45F柱軸力分佈圖 ...156 圖5-116.90F曲梁斷面為 1mx0.5m兩種模型 90F柱軸力分佈圖 ...156

第一章 緒論

1.1 研究背景

十九世紀初開始使用鋼筋混凝土來建造房屋建築，由於當時材料性質及施工 技術，當時的房屋建築僅限於高度不高的建築，結構形式也僅為單純的梁柱框架 系統。當時要造出較高的建築必須付出昂貴的費用，由於材料的強度低，梁柱的 斷面尺寸也相對放的很大，除了昂貴的費用外，結構可使用的面積也相對應的變 小，在當時較高建築的經濟效益是很低。由於都市發展以及人口持續的增加，都 市用地取得相當不易，於是高層建築的發展變成一股趨勢。在1950 年代初期， 出現了框架結構結合剪力牆形式的鋼筋混凝土建築，剪力牆大多用於結構的核心 (電梯間)，相對於整個結構平面尺寸顯得有點太小，無法提供足夠的側向勁度及 穩定性，所以框架結構結合剪力牆形式的鋼筋混凝土建築最高大約只能到50 層 樓。經濟效益低以及結構形式上的缺點，成為高層建築結構發展的障礙。於是發 展新的結構形式變成了發展高層建築的關鍵，不能只從內部核心結構改善，必須 也要從結構外部梁柱着手。於是 F.R.Khan 提出利用建築結構外面佈置密柱深梁 所形成的框筒結構，並於 1963 年首次應用設計位於美國芝加哥市 43 層樓 116 公尺高的DeWitt Chestnut 公寓建築。從此高層建築在高度上的進展非常快。由 於框筒結構在高層建築中被廣泛使用，框筒結構的分析變的越來越重要。

1.2 研究動機與目的

由於框筒結構在水平載重下會存在剪力延遲效應的影響，進而會降低整體結 構的勁度，使得框筒結構無法有效發揮本身既有的勁度，也使得框筒結構在往更 高的高度發展會受到影響。所以受到剪力延遲效應影響下框筒結構的分析變得非 常的重要。另外能考慮剪力延遲效應影響的簡化分析方法，即時在現在電腦結構 分析軟體發達的時代，還是樂於被結構工程師所採用。尤其是在結構設計方案的 比較和結構初步設計時，簡化分析方法仍具有不可被取代的意義，因為它能提供 結構的受力行為以及結構反應概況，並且能與最終設計階段的電腦結構分析軟體

互相校對。 本論文主要是比較三種考慮剪力延遲效應影響的簡化分析方法與電腦結構 分析軟體(SAP2000)，分析框筒結構受水平載重下，翼、腹板端框架柱軸應力分 佈(剪力延遲效應)曲線，以及框筒結構的水平側向位移曲線，並加以改良。希望 能提供給結構工程師一種簡單、精確性高的初步分析框筒結構的方法。 另外，如何降低框筒結構的剪力延遲效應，也是本論文研究的方向。本論文 將對方形支撐型框筒結構，進行電腦結構軟體(SAP2000)分析，探討支撐型框筒 結構的剪力延遲行為。另外也對圓形框筒結構進行 SAP2000 軟體分析，探討圓 形框筒結構是否具有比較低的剪力延遲效應，以及圓形支撐型框筒結構的剪力延 遲行為。

1.3 文獻回顧

在方形框筒結構的簡化分析方法中，分成等效平面構架分析與等效連續筒模 型分析兩種。在等效平面構架分析，F.R.Khan[1]跟 B.S.Smith[2]提出了將三維的 框筒結構簡化成等效平面構架，然後利用平面構架的分析程式來進行分析， B.S.Smith[2]認為等效平面構架分析是一種非常適用於受水平載重下的對稱框筒 結構的簡化方法，利用對稱關係將原本的框筒結構取1/4 來分析，並定出等效平 面構架分析的位移邊界條件，以及利用虛擬的剛性梁與剛性連桿來模擬角柱的位 移條件與受力行為。 在方形等效連續筒模型分析中，A.Coull[3][4]跟 A.K.H.Kwan[6]都把框筒結 構用等效連續筒模型來模擬簡化分析求得框筒結構的內力以及側移，差別在於 Coull 在求等效連續筒參數中，沒考慮梁柱桿件的剪力變形，而 Kwan 是利用 K. H.Ha[5]所提供的方法來求等效連續筒的參數。其實兩個等效連續筒參數的求 法，只差在Coull 沒有考慮梁柱桿件的剪力變形。另外在考慮剪力延遲效應部分， Coull 是假設框筒結構受剪力延遲效應影響下柱軸應力的分佈曲線，Kwan 則是 假設框筒結構受剪力延遲效應影響下柱軸向位移的分佈曲線。兩者假設的分佈形 式也不同，會得到不同的分析結果。而且Kwan 提出的方法比較簡單，而且在做

了比較多的假設，讓整個分析過程更加的簡化。 K.K.Lee[7]提出可以分析筒中筒框筒結構的等效連續筒模型，也適用於無內 筒的框筒結構分析。與 Coull 和 Kwan 最大的不同是框筒翼板端框架的假設， K.K.Lee 假設框筒結構受剪力延遲效應影響下翼板端框架的柱軸向位移的分佈 曲線為三次，Coull 假設框筒結構受剪力延遲效應影響下柱軸應力的分佈曲線為 二次，而Kwan 假設框筒結構受剪力延遲效應影響下柱軸向位移的分佈曲線為二 次。K.K.Lee 認為翼板端框架假設成三次曲線分佈，可以藉由三次曲線比起二次 曲線有較高的適用性來更貼切描述剪力延遲效應。 在圓形框筒結構的簡化分析中，以等效連續筒模型分析為主。劉開國[8]使 用能量變分法來求得等效連續筒模型的內力與位移。而丁學成[9]使用板殼理論 [10]來求得等效連續筒模型的內力與位移。 負剪力延遲效應研究，最早是由D.A.Foutch[11]在承受均佈載重的懸臂箱型 梁中發現的。S.T.Chan[12]利用有限元素法分析驗證了均佈載重下懸臂箱型梁的 負剪力延遲效應，但並沒有說明負剪力延遲效應發生的原因，文獻中有提出一種 分析均佈載重下懸臂箱型梁的翼板端應力的方法，以及正、負剪力延遲效應的臨 界點的計算公式。S.C.Lee[13]利用有限元素法對懸臂箱型梁自由端集中載重、均 佈載重、三角載重與倒三角載重作用下進行分析，發現負剪力延遲效應產生的原 因，以及在不同載重形式下變化的規律。J.J.Connor[14]定義框筒結構中正剪力延 遲效應與負剪力延遲效應，以及剪力延遲效應在框筒結構高度上的分佈與變化的 規律。Y.Singh[15]說明框筒結構中負剪力延遲效應產生的原因，並且提供分析計 算的模型。Y.Singh[15]在 S.T.Chan[12]的分析基礎上，透過參數的替換，得出框 筒結構考慮負剪力延遲效應翼板端框架中柱軸力計算的方法，以及正負剪力延遲 效應之間轉換臨界點的確認，並討論了影響框筒結構剪力延遲效應的因素。

1.4 論文內容

本論文總共分成六章。第一章為緒論，主要是說明研究背景、研究動機與目 的還有相關的文獻的回顧。第二章為框筒結構之結構形式介紹，主要是介紹幾種

常見的框筒結構形式，還介紹框筒底層結構的處理方式，另外針對框筒結構的斷 面形式也有討論。第三章為框筒結構中的剪力延遲效應介紹，主要是說明何謂剪 力延遲效應以及說明剪力延遲效應發生的原因探討，另外也探討負剪力延遲效應 以及其發生的原因。第四章為框筒結構的分析方法，分成兩部分(方形、圓形框 筒結構)去介紹。方形框筒結構的分析方法主要有等效平面構架法、等效連續筒 模型分析法與 SAP2000 軟體分析。圓形框筒結構的分析方法主要有等效連續筒 模型分析法與 SAP2000 軟體分析。每種分析方法各有各自的假設以及參數設定 的問題，將於第四章中詳細的介紹。第五章為案例方析，將針對不同樓高、不同 尺寸的連接梁、不同的結構斷面的框筒結構進行等效連續筒分析與 SAP2000 軟 體分析，比較框筒結構翼、腹板端框架中柱軸應力分佈曲線，觀察剪力延遲效應 與水平側向位移。另外在框筒結構上加上大型斜撐形成支撐型框筒結構，用 SAP2000 軟體分析求出框筒結構翼、腹板端框架中柱軸應力分佈曲線，觀察其 剪力延遲效應。另外比較框筒結構加上大型斜撐對水平側向位移的減少(側向勁 度的提升)。第六章為結論與建議，將針對第五章的分析結果進行討論，並提出 建議日後研究的方向。

第二章 框筒結構之結構形式介紹

2.1 傳統框筒結構（Framed-Tube Structure）

框筒結構（Framed-Tube Structure）最早是由 F.R.Khan 提出並於 1963 年首 次應用設計位於美國芝加哥市43 層樓 116 公尺高的 DeWitt Chestnut 公寓建築(圖 2-1)。框筒結構主要是把梁柱密集佈置在建築物周圍，其立體與平面結構佈置如 圖 2-2 所示，進而使建築物大幅提升側向抗彎勁度。由於梁柱集中在建築物周 圍，室內空間便能靈活使用。因此非常適合辦公大樓以及公寓建築，是種經濟有 效率的結構形式。 框筒結構主要是由周圍四片框架組合而成，每片框架都是由密集柱與深梁構 成。框筒結構中與水平側力方向垂直的框架稱為翼板端(Flange)框架，與水平側 力方向平行的框架稱為腹板端(Web)框架。為何框筒結構採取密柱深梁的佈置？ 密柱深梁的框筒結構跟傳統四片框架系統的差別主要在於傳統四片框架系統的 柱距較大，梁的勁度較小。在受水平側力作用下，主要由腹板端框架來抵抗水平 側力，而翼板端框架參與抵抗水平側力較少，所以傳統四面框架系統結構的側向 勁度較小，水平側向位移較大。而密柱深梁的框筒結構，在受水平側力作用下， 由於梁的勁度大，腹板端框架與翼板端框節將共同參與抵抗水平側力，大幅提升 結構的側向勁度，水平側向位移較小。在 DeWitt Chestnut 公寓建築中，柱與柱 的間距只有1.65 公尺，而梁深有 0.6 公尺。Khan[1]提出隨著建築物高度的上升， 柱與柱中心線的間距最大到約5 公尺，梁深最大約 1.5 公尺，梁寬最大約 1 公尺。 框筒結構在水平側力作用下，翼板端框架中的每根柱都參與結構撓曲變形， 一端翼板框架的各柱承受拉力，另一端翼板框架的各柱承受壓力。大幅提升結構 的側向勁度，使得框筒結構在水平側力作用下整體的撓曲變形大幅減小。另外框 筒結構多用於高層建築，結構總高度大，形成很大的傾倒彎矩使得框筒結構下部 因側移造成的撓曲變形佔絕大比例。而結構側移所造成整體結構的剪力變形，在 框筒結構中是由於腹板端框架中的梁柱的撓曲所引起，而框筒結構是採取密集柱 短深梁的配置，梁柱的撓曲變形變小，整體框筒結構的剪力變形也相對減小。綜 合來說，框筒結構在水平側力作用下的水平側向位移曲線，在結構上部以剪力變

形為主，在結構下部以撓曲變形為主。

當受到水平側力作用時，其力學行為類似於一個簡單的懸臂箱型梁結構，在 中性軸的兩側的柱分別產生拉力與壓力跟外力產生的傾倒彎矩平衡。柱與柱間的 軸力是靠梁以剪力方式來傳遞。由於梁本身有限的抗彎、抗剪勁度，使得連接柱 與柱的梁產生變形，柱的軸力會因此產生變化，稱之為框筒結構的剪力延遲效應 (Shear Lag Effect)。由於剪力延遲效應使得結構物不能充份發揮本身既有的側向 勁度，是影響框筒結構非常重要的因素，將於第三章再詳細探討。

2.2 筒中筒結構（Tube-In-Tube Structure）

為了使框筒結構能應用於更高樓層的高層建築，於是 F.R.Khan 提出筒中筒 結構（Tube-In-Tube Structure）的觀念，使外框筒結構結合核心筒體結構(如剪力 牆)，大幅提升結構的側向勁度。Khan 於 1972 年首次應用筒中筒結構理論，設 計位於美國休士頓市52 層樓 218 公尺高的 One Shell Plaza 大樓(圖 2-3)，其平面 結構佈置如圖2-4 所示。 在 水 平 側 力 作 用 下 ， 筒中 筒 結 構 變 形 類 似 牆 － 框 架 結 構 （Wall-Frame Structure）[16]。框筒結構與核心筒體作為單獨構件時的變形屬性不同。但在筒 中筒結構中，外框筒與核心筒體藉由具有水平勁度無限大的剛性樓板（Rigid Diaphragm）連結，使得側向變形趨於一致。因此透過各層剛性樓板的傳遞，外 框筒與核心筒體之間會產生相互作用力（Interaction Force），在整體上部結構作 用的是拉力，作用是加大外框筒上部的側移，減少核心筒體上部的側移，使兩者 上部的側移趨於一致，如圖2-5 所示。在整體下部結構作用的是壓力，作用是減 少外框筒下部的側移，加大核心筒體下部的側移，使兩者下部的側移趨於一致。 由上述可得知，筒中筒結構具有下列功效： (1) 減少位於整體結構下部外框筒的最大層間位移。 (2) 減少位於整體結構上部核心筒體的最大層間位移。 (3) 使外框筒與核心筒體從上到下的層間位移趨於平均。進而大幅減少整體結構 的側位移，提升整體結構的側向勁度。

2.3 束型框筒結構（Bundled-Tube Structure）

束型框筒結構是由兩個以上框筒連結在一起組成的結構體系。由於剛性樓板 將它們約束起來共同抵抗水平側力，所以束型框筒結構側向勁度非常大，可以使 用到非常高的高度。另外由於束型框筒結構是組合很多框筒而成，因此可以使用 在各種不同的平面形狀，這一點非常適用於因都市用地取得不易而常有複雜不規 則甚至不對稱的高層建築結構。不只在建築平面上可靈活使用。在高度上可依據 各層樓面面積的需求靈活應用，採取變截面的佈置。 束型框筒結構受水平側力作用時，平面內勁度無限大的剛性樓板將約束各框 筒一起變形，可以看成很多框筒結構一起承受水平側力。束型框筒結構的翼板端 框架跟腹板端框架柱軸力，如圖2-6 所示。束型框筒結構可大幅度減少框筒結構 柱軸應力由於剪力延遲效應而呈現的不均勻性。柱軸應力分佈更為均勻，從結構 的性能來看，更接近於一個懸臂箱型梁結構而不是框筒結構。 在工程實例上，列舉三個束型框筒結構來說明[16][17]： (1)方形平面束形框筒結構： 1972 年於美國芝加哥市 110 層樓 442.3 公尺高的 Sears 大樓，是束型框筒結 構最典型的一個實例(圖 2-7)。該建築在建置完成當時是世界第一高的建築，如 今被台北101 大樓(Taipei 101)及馬來西亞的雙子星大樓(Petronas Tower)超越，目 前是世界第三高的建築，不過仍為美國境內第一高的建築。 Sears 大樓是由 F.R.Khan 所設計的。1 到 50 層樓由 9 個正方形框筒所組成的 正方形平面，每個框筒邊長22.8 公尺，由 5 跨 6 根柱組成。而 50 層樓以上分三 次(51 到 66 層、67 到 90 層、91 到 110 層)在不同高度將框筒部份截斷以減少截 面積，如圖2-8 所示。 (2) Ｌ型平面束形框筒結構：

1983 年於美國芝加哥市 57 層樓 205 公尺高的 One Magnificent Mile 大樓是 一棟綜合型大樓，20 層樓以下為商業和辦公室，需要較大的樓面使用面積。21 層樓以上為住宅公寓，需要的樓面面積小一點。在初期規劃時對整體建築佈置有 幾點要求：①每間房間均要能看到密西根湖的美麗景色。②每間房間要有較好的

採光要求。③樓面面積要求依高度逐段減少。最後結構形式由三個不同高度斜六 邊框筒所組成的束型框筒結構，結構平面圖如圖示像是Ｌ型。中間的框筒一直延 伸到57 層樓，右邊的框筒到 22 層樓後截斷，左邊的框筒到 49 層樓後截斷，如 圖2-9 所示。整座建築像是一個水晶狀體般的立體效果。

(3) 梯型平面束形框筒結構：

1984 年於美國邁阿密市 55 層樓 233 公尺高的 Wachovia Financial Center 是 一棟高層辦公大樓。邁阿密市的風力載重很大，是休士頓市的兩倍，是芝加哥市 的四倍。因此對於該市的高層建築來說，需要一個有效而強勁的抗水平側力系 統。最後結構形式採用束型框筒結構，由一個矩形框筒和一個帶鋸齒形斜邊的三 角形框筒所組成。結構平面佈置如圖2-10 示。 該結構的柱距為4.6 公尺，在兩個框筒的共同邊上採取中間有一段鋼筋混凝 土牆的密柱深梁框架。目的是提高整體結構的側向勁度，並適當補償鋸齒形斜邊 所引起的側向勁度損失，並減少結構在平面上的偏心。

2.4 支撐型框筒結構（Braced-Tube Structure）

在框筒結構中，由於框架中梁柱撓曲變形造成剪力延遲效應的影響，框筒結 構本身潛在的側向勁度受到減弱，也影響了結構抵抗側向變形的能力。如果當建 築平面尺寸較大時或是因功能使用上需增加柱與柱之間的跨度，剪力延遲效應更 加嚴重。若以對角斜撐來代替框筒結構中全部的外柱，如圖 2-11 所示，則所構 成的斜撐型框筒結構將更接近於懸臂箱型梁結構的性能。若將對角斜撐交叉點處 和對角斜撐跟四邊角柱交接點視為剛接點，則該斜撐型框筒結構抵抗側力的能力 將與懸臂箱型梁結構相近。但是實際上是不太可行，除了節點數目多、開窗困難， 最大的缺點在於材料的浪費不經濟。在垂直載重下斜撐型結構的缺點就顯示出 來。由於是對角斜撐，所以斜撐桿件本身會有較大的內力，所以承受同樣的垂直 載重，斜撐桿件會比柱承受較大的內力。因此斜撐桿件的斷面尺寸要求會比柱斷 面尺寸還要大。 為了提高支撐型框筒結構的實用性，發展出在原先框筒結構表面加設大型對

角斜撐，如圖 2-12 所示。由於該大型對角斜撐與框筒柱子在交接處為剛接，多 了對角斜撐來分擔水平側力，進而可降低剪力延遲效應的影響。因為梁柱內力的 減少，所以便可增加柱與柱之間的跨度，減少梁的深度。在空間的利用上比起傳 統的框筒結構更加靈活。 1968 年於美國芝加哥市 100 層樓 344 公尺高的 John Hancock 鋼結構大樓(圖 2-13)採用大型支撐型框筒結構的設計。在框筒結構的四邊框架上加設橫貫框筒 柱的大型斜撐。因為採用大型支撐型框筒的設計，整體結構的側位移變小，而且 有效的減低剪力延遲效應，建築用鋼量大幅度的降低。 大型支撐型框筒結構不只可以應用在鋼結構建築，也可應用於鋼筋混凝土建 築。1984 年於美國紐約市 50 層樓 174 公尺高的 780 Third Avenue 大樓(圖 2-14) 就是大型支撐型框筒鋼筋混凝土結構。該建築四邊的框架為鋼筋混凝土澆置而 成，在長向的對角交叉線以及在短向的對角線位置上的窗洞處，佈置鋼筋和框架 整體一起澆置混凝土，形成大型支撐型混凝土結構。

2.5 框筒結構底層的結構形式

框筒結構的基本形式就是密柱深梁，然而在高層建築的底層，大量的人潮進 出、建築結構的美觀，會與框筒結構外圍密集柱間距的狹窄形成矛盾。因此增加 框筒結構底層柱與柱的跨度，而不去影響整體結構的安全性是非常重要的問題。 現有的處理方法有以下五種[16]，如圖 2-15 所示： (1)轉換梁(Transfer Girder)： 為了擴大底層柱距，可使用轉換梁來承載上部框筒結構密柱往下傳的垂直載 重。轉換梁的斷面尺寸大小根據上下層的柱距與上部結構所往下施加的載重而 定。在高度非常大的高層建築中，轉換梁的深度甚至可以達到一層樓的高度。因 為轉換梁會承受相當大的垂直載重，為了減少斷面的尺寸跟轉換梁過大的變形， 也可以採用預力梁來替代。 (2)轉換桁架(Transfer Truss)： 桁架具有勁度大、自重輕、受力均勻、並能有較大的跨度。利用轉換桁架來

取代轉換梁，較為經濟且還可以採光。 (3)連續拱(Continuous Arch)： 鋼筋混凝土拱具有承載力大和跨度大的優點，如果能與結構立面配置協調， 框筒底層也可以採用連續拱增加可使用的空間。不過必須處理邊拱在結構上承載 的問題。 (4)過渡層： 前述三種處理方式都會使得框筒結構在側向勁度在底層突然發生變化，應用 在地震頻繁區域的高樓建築時，如果設計不良時，會引起變形集中或是軟弱層等 不利影響。假如調整兩層樓以上柱的斷面跟高度，使得框筒結構的側向勁度逐步 慢慢變化，當在地震反應上會有較好的效果。 (5)合併柱：

美國紐約市World Trade Center(因 911 恐怖攻擊已倒塌)是採用鋼框筒的最高 建築。9 層以上框筒的柱距為 1.02 公尺，8 層以下框筒的柱距擴大為 3.06 公尺， 是採取每三根柱合併為一根柱的方式去解決底層柱間距的問題，而過渡層則採用 斜撐加以銜接。這樣子處理解決了樓層側向勁度突變的問題，又有獨特別緻的垂 直立面效果。

2.6 框筒結構斷面形式

框筒結構主要多用於高層建築，而高層建築的設計，都常都是由水平外力載 重來控制。水平載重有地震力與風力兩種。由於高樓建築本身都具有長週期的特 性，所以地震力的影響，還不足以控制高層建築的設定。風力會隨著高度越高而 增強，所以高層建築主要抵抗的水平外力載重，都是以風力為主。加上影響框筒 結構整體水平勁度的因素最主要是框筒結構的剪力延遲效應。所以在選擇框筒結 構斷面形式上，以側向勁度、風力、剪力延遲效應與經濟效率的因素出發。 以側向勁度的觀點出發，最佳的結構斷面形式應該是結構斷面沒有弱軸的存 在，也就是結構斷面不管怎麼旋轉，斷面的慣性矩都是一樣。或是說結構斷面每 個方向的側向勁度都一樣。結構斷面旋轉後的慣性矩可以使用如圖 2-16 所示的

'

Mohr s Circle[18]，來計算。當I_x=I_y且I_xy =0時，可以發現Mohr s' Circle中的

半徑R=0。表示當I_x=I_y且I_xy =0時，Mohr s' Circle會變成一個點，不管斷面怎 麼旋轉，慣性矩都等於Ix(或Iy)。所以具有雙對稱軸且Ix=Iy、Ixy =0的斷面形 式，將是結構斷面的首選。於是方形或是圓形結構斷面是首選。 根據 2007 年 1 月 1 日開始實施的「建築物耐風設計規範及解說」[19]中， 開放式建築物或獨立結構物所承受的設計風力F ，以下式計算： ( _Af) _{f f} F =q z GC A (2.1) 式中，q z( _Af)為面積A_f 形心高度Z_f 處的風速壓，G為普通建築物的陣風反應因 子，Cf 為風力係數，Af為投影在風向垂直的平面上的面積。 以上的參數，唯一跟結構斷面形式有關的參數只有風力係數Cf 。表 2-1 中，可 以觀察到方形斷面最小的C_f =1，圓形斷面最小的C_f =0.5，方形斷面是圓形斷面 的兩倍。以風力的觀點，圓形斷面是優於方形斷面。 在剪力延遲效應觀點中(將於第三章介紹)，結構斷面的翼板端不宜過長，所 以方形斷面優於矩形斷面。但方形斷面會有角柱效應的影響，所以圓形斷面又優 於方形斷面。 在經濟效率性的觀點來看，在相同的梁柱材料下，圓形框筒所圍成的結構斷 面面積是方形框筒結構斷面面積的4 π 倍，約為 1.2732 倍，圓形框筒有比較高的 經濟效益性。在相同的方形腹地面積下，方形框筒可以百分之百的使用腹地面 積，圓形框筒只能使用腹地面積的 4 π 倍，約為 0.7854 倍，方形框筒在腹地面積 使用上有比較高的效率性。 所以在選用框筒斷面形式上，以選用方形或圓形斷面為佳。至於方形跟圓形 斷面中，要選擇哪一種。則需個人要求再進行選擇。

第三章 框筒結構受側力下之剪力延遲效應探討

3.1 剪力延遲效應介紹

剪力延遲效應(Shear Lag Effect)這個名詞最早是出現約在 1920 年，當時在設 計飛機機翼結構時要使用金屬薄板代替纖維薄膜時發現的，機翼結構基本上就是 一個懸臂箱型梁，最早的剪力延遲效應研究是在航太工程領域。經過 P.Kuhn 等 人的研究，研究成果於1942 年發表在 N.A.C.A(National Advisory Committee for Aeronautics)的研究報告 No.739。 自從1963 年 F.R.Khan 設計第一座高層框筒建築之後，框筒結構中的剪力延 遲效應開始受到重視。因為剪力延遲效應會讓框筒結構無法發揮其設計的勁度， 影響結構的使用性能。 當框筒結構受到水平側力作用時，與水平側力方向垂直的框架稱為翼板端 (Flange)框架，與水平側力方向平行的框架稱為腹板端(Web)框架。框筒結構翼板 端與腹板端框架中柱軸應力分佈如圖 3-1 所示。虛線部分沒有剪力延遲效應影 響，是利用古典梁彎曲理論，公式(3.1)求得。實線部分是有剪力延遲效應影響。 如圖3-1(b)所示，翼板端角柱軸應力大於古典梁彎曲理論所得到的理論值，接著 往內柱軸應力慢慢減少到小於古典梁彎曲理論所得到的理論值。翼板端柱軸力分 佈曲線呈現凹曲線分佈，此現象稱之正剪力延遲效應(Positive Shear Lag Effect)。 相反的，如果翼板端角柱軸應力小於古典梁彎曲理論所得到的理論值，接著往內 柱軸應力慢慢增加至大於古典梁彎曲理論所得到的理論值。翼板端柱軸力分佈曲 線呈現凸曲線分佈，此現象稱之負剪力延遲效應(Negtive Shear Lag Effect)。另外 由於剪力延遲效應的影響，樓板將不在保持平面，會產生翹曲。 M y I σ = (3.1) 框筒結構剪力延遲效應的產生原因，主要是因為框筒結構在水平載重下，結 構主要是由腹板端框架來抵抗側力。圖 3-1(a)中 A、B 角柱會承受拉力，C、D 角柱會承受壓力。由於角柱的軸向變形，翼板端框架跟腹板端框架會產生相互作 用。角柱的軸向位移產生軸力使得翼板端框架的梁產生垂直方向的剪力，同時又

會改變翼板端柱的軸力。圖3-2 中 C 柱的軸向變形產生軸力藉由連接 C 柱與 C1 柱的梁以剪力的方式傳遞，但是因為梁會產生撓曲、剪力變形，所以C1 柱的軸 向變形會比C 柱小。同理 C2 柱的軸向變形會比 C1 柱小，依此往內遞減。相鄰 兩柱軸向變形的差值取決於梁的勁度，當梁勁度趨近於無窮大的時候，梁不會產 生變形，框筒結構將不會產生剪力延遲效應。當梁勁度很小的時候，梁會產生很 大的變形，此時框筒結構的剪力延遲效應會非常明顯。 影響剪力延遲效應的因素主要有： (1)柱距與連接梁深度(由連接梁勁度觀點出發)： 減小柱距以及增加梁斷面的深度，會增加梁的剪力勁度，能有效減小剪力延 遲效應。因此在框筒結構的結構配置上，應採用密柱深梁的配置。 (2)角柱面積(由柱軸力觀點來出發)： 角柱面積越大，角柱軸力會明顯增大，相鄰柱的軸力也會相對應的增大，剪 力延遲效應也會更明顯。因此角柱面積不宜過大。另外在減少剪力延遲效應中， 可以在框筒外圍加設大型對角斜撐來降低剪力延遲效應，也是從柱軸力觀點來解 釋。因為多了大型斜撐來承受外力，所以柱軸力會減小，剪力延遲效應也會減小。 (3)結構高度： 剪力延遲效應是會沿著結構高度產生變化的，由於在結構底層，水平側力會 產生很大的傾倒彎矩，主要是由柱產生軸力來平衡抵抗。在結構底層會有較大的 軸力，剪力延遲效應在底層會相對嚴重。在中間樓層開始趨於緩和，在接近頂樓 通常還會出現負剪力延遲效應。 (4)平面形狀： 翼板端框架長度越長，剪力延遲效應越明顯。因此，框筒結構平面尺寸不宜 過大或是長方形平面。正方形、圓形、正多邊形都是框筒結構最理想的平面形狀。

3.2 框筒結構中負剪力延遲效應探討

為了闡述框筒結構中負剪力延遲效應發生的原因，以下利用 Y.Singh[15]的 框筒結構剪力延遲效應模型來探討負剪力延遲效應發生的原因。

Y.Singh[15]把懸臂箱型梁考慮負剪力延遲效應的分析方法應用在框筒結構 的分析，得到框筒結構在考慮負剪力延遲效應下的分析模型(圖 3-3)。 因為框筒結構受水平側力下有雙對稱軸。圖3-3(b)所示是從水平側力作用下 的框筒結構中取出的1/4 的框筒結構。傾倒彎矩主要是由柱的軸力來抵抗，為了 分析第(j+1)層框筒結構的內力跟位移，把第 j 層樓板以上的結構從整體結構中分 割出來，分成以下兩種模式來理解： (1) 如圖 3-3(c)所示，把第 j 層樓板以上的結構固定在第 j 層樓板上，去承受水 平側力的作用。 (2) 如圖 3-3(d)所示，位於第 j 層樓板高度上的柱端，對第 j 層樓板以上的框筒 結構施加節點位移載重。位移載重的值為第 j 層樓板以下的框筒結構在第 j 層樓板高度上所發生的位移。 以上的兩種模式，原理就是彎矩分配法的原理一樣。把節點鎖上然後把節點釋放 掉再逆向施加節點鎖上的節點反力。 在第一種加載模式下，因為梁有限的勁度導致第(j+1)樓層柱的軸力分佈曲線 呈凹形，形成正剪力延遲效應。因為第一種加載模式下，(j+1)層反而變成最底層， 在框筒結構中的最底層通常都是正剪力延遲效應。 在第二種加載模式下，基於剛性樓板平面內勁度無限大的假設，同一樓層平 面上節點的水平位移載重，只能引起上部框筒結構的剛體運動，對內力不會產生 影響。在第j 樓層平面內的節點，在軸向位移載重和轉角位移載重作用下，軸向 位移載重產生的影響應佔大多數，由此假設轉角位移載重產生的影響可以忽略不 計。由於施加在第j 樓層平面內節點上的軸向位移載重所產生的第(j+1)樓層柱的 軸力分佈曲線向上突起，形成負剪力延遲效應。在框筒結構中的最頂層通常都是 負剪力延遲效應。 由此可得知，框筒結構中各層的柱軸力分佈曲線，都是由正剪力延遲效應加 上負剪力延遲效應交互作用所得出的。假設如果正剪力延遲效應佔大部分，則顯 示出來的軸力分佈曲線即是正剪力延遲效應。如果負剪力延遲效應佔大部分，則 顯示出來的軸力分佈曲線即負剪力延遲效應。

第四章 框筒結構之分析方法

4.1 方形框筒結構

4.1.1 等效平面構架法 B.S.Smith[2]提供一種水平載重作用下撓曲變形的對稱框筒結構簡化方法， 這是一種精確近似的分析方法。該方法在早期框筒結構剛發展的時候，滿足了工 程師快速分析的需求。因為該方法考慮了結構主要的性能，並將三維框筒結構的 分析簡化成等效的平面構架分析，在早期電腦運算不發達的時期，大大減少計算 的工作量。 首先考慮圖 4-1 所示的框筒結構在 X 方向水平載重作用下撓曲，水平載重 主要是由下列兩部分來抵抗： (1) 平行於載重方向作用的腹板端框架 AD 和 BC 受剪力、彎矩作用。 (2) 垂直於載重方向作用的翼板端框架 AB 和 DC 的軸向變形。 由於結構對於XX 軸是對稱的，而且樓板平面內的剛度無限大，因此可以假 設腹板端框架的平面外變形是可以忽略的，而且腹板端框架只受平面內載重作 用。同時還假設梁的扭轉剛度可以忽略。 腹板端框架角柱的軸向變形受到翼板端框架的約束，因此翼板端框架和腹板 端框架之間的交互作用主要是通過角柱 A、B、C、D 的軸向交互作用所形成。 由於以上交互作用的結果，使得翼板端框架AB 和 DC 主要承受軸向變形，各柱 軸向變形的均勻度取決於梁的勁度。 進行結構分析時，必須滿足基本變形協合條件就是在兩個正交框架(翼板端 框架、腹板端框架)相交處中角柱的垂直位移必須相等。在簡化分析中還要建立 一種機制來模擬翼板端框架與腹板端框架交接角柱的力量傳遞方式，力量從腹板 端框架通過角柱向翼板端框架傳遞垂直方向的剪力而不傳遞水平力和彎矩。 如圖4-1 所示的框筒結構為例，由於結構對 XX 和 YY 軸均對稱，所以分析 時只需考慮1/4 的結構 EBH。對稱軸上的邊界條件考慮如下，由於相對 XX 軸對 稱，在對稱軸上的 E 點的剪力和 Y 方向的轉角必須為零；而 YY 軸對稱條件則

是要求 H 點的垂直位移必須為零。如果腹板端框架 BC 只有偶數根柱，那麼在 YY 對稱軸上就沒有柱，則梁在與對稱軸線相交處的彎矩應為零。滿足圖 4-1 所 示的1/4 結構 EBH 的邊界支撐條件，如圖 4-2 所示。 將翼板端框架 EB 的一半旋轉 90 度與腹板端框架 BH 的一半放在同一平面 上，即構成一個等效的平面框架。由於樓板的平面內剛度約束，兩個框架中所有 構件的 X 方向水平位移是相同的，因此可以假設作用於翼板端水平載重的 1/4 能放到一半腹板端框架上，如圖4-2 所示。 腹板端框架與翼板端框架之間垂直方向的交互作用可透過以下簡單的方式 來滿足。令翼板端框架的角柱產生一個很小的水平位移，例如為連接梁的跨度的 1/100，因此每個角柱的節點便會變成兩個，一個在腹板端框架上，一個在翼板 端框架上(如圖 4-3 中的 B 與 B'_{)。在節點編號時，這兩個節點分別單獨編號，然} 後由一虛擬的剛性梁連接，其抗彎勁度可取為一般連接梁的10000 倍，而且其一 端不產生彎矩和軸力。利用這個方法，還可以建立垂直方向位移的協合條件並由 腹板端框架通過角柱向翼板端框架傳遞垂直方向的剪力，而且還可以將其轉角和 水平位移分開。但是這個方法發現分析結果對於虛擬剛性梁的勁度相當敏感。 另外一種方法可以用來改進框架之間的旋轉和水平位移，並降低分析結果對 於虛擬剛性連接梁勁度的敏感性。該方法同樣是將梁翼板框架旋轉到腹板端框架 平面上，交接處的角柱節點會重疊在一起，但是令翼板端框架的角柱產生一個很 小的垂直位移，例如為樓層高的1/100 或更小，因此每個角柱的節點便會變成兩 個，一個在腹板端框架上，一個在翼板端框架上(如圖 4-4 中的 B 與 B'_{)。這些節} 點在編號時也是分開編號，然後由一虛擬的剛性連桿連接，其軸向勁度可取為柱 的10000 倍(面積為 10000 倍)，於是這剛性連桿可以確保垂直方向的位移協合並 傳遞垂直方向的剪力，且使得腹板端框架與翼板端框架之間的轉動和水平位移分 開。 如果用虛擬剛性梁(連桿)模擬角柱處其變形協合及力量傳遞方式，不太容易 理解。可以想像是腹板端與翼板端分別伸出一剛性梁經由滾支承去滾接。 在這分析模型中，角柱在腹板端框架平面內以及翼板端框架平面內都取整個

慣性矩，但是其面積則應在腹板端框架中的柱 B'_{指定為全部的面積，而將翼板} 端框架中的柱B 面積指定為零。 上述的基本模型並沒有考慮翼板端框架柱的平面外彎曲，這個問題在結構的 底部是重要的，因為這些柱的弱軸方向水平位移與腹板端框架柱強軸的水平位移 相等。平面外彎矩的影響可以在基本模型中附加一個等效柱(圖中的 RR)，其抗 彎勁度等於翼板端框架中柱的平面外抗彎勁度總和的1/4，這根等效柱與已有的 基本模型通過鉸交剛性連桿連結。這種連接方式使得該柱與腹板端框架有著相同 的水平位移，並且承擔一部分的水平剪力，求得該柱的總剪力和彎矩後，便可依 照抗彎勁度分配到翼板端框架的各個柱上。 當等效平面構架模型已經建立好之後，可以利用結構矩陣來分析平面構架， 甚至可以利用簡單的平面構架分析程式來分析。 4.1.2 等效連續筒模型分析法 本論文利用以下兩種等效連續筒模型分析法 Coull[3][4]、Kwan[6]來分析方 形框筒結構。原理是將框筒結構用四片正交的連續板組成等效連續筒模型，藉由 假設翼、腹板端的軸應力分佈曲線 (或變形曲線)利用能量法去求解梁柱內力以 及水平側向位移。由於兩種方法有不同的假設，在內力與水平側向位移的精確度 上有所差異，因此以下將介紹這兩種方法，並於第五章案例分析與 SAP2000 分 析出來的結果比較。 4.1.2.1 Coull 等效連續筒模型分析法 Coull 分別在 1975 年以及 1978 年提出 Coull 等效連續筒模型來模擬計算框 筒結構受水平載重下的內力[3]以及水平側向位移[4]計算。框筒結構用四片正交 的連續板組成等效連續筒模型，等效連續筒的彈性模數 E 跟剪力模數 G 以及連 續筒的厚度將會影響分析結果。如何定出這些參數，進而分析等效連續筒模型， 是非常重要的。在Coull[3]的模型中連續筒參數的決定是採取下節方式來決定。

4.1.2.1.1 Coull 等效連續筒參數 假如框筒結構每層高度相等，各層柱距固定，梁柱斷面積固定不變。則可以 假設框筒結構的垂直向勁度全部由柱來提供，而等效連續筒的垂直向勁度將等同 於框筒結構的垂直向勁度。 c m A E =stE (4.1) 式中，Ac為每個柱的斷面積，Em為材料的彈性模數，s為柱距，t為等效連續筒 厚度，E為等效連續筒的彈性模數。 因為假設框筒結構的垂直向勁度全部由柱來提供，A_c=st，則可以決定等效連續 筒的厚度，另外可得出等效連續筒的彈性模數。 c A t s = (4.2.a) m E E= (4.2.b) 等效連續筒的剪力模數G，可以根據圖4-5 所示中，一個框架單元與等效板 受到相同水平剪力 Q 作用時，兩者具有相同的水平位移求得。一個框架單元可 以由一個梁柱系統來表示，這個框架單元是假設每根梁跨度中間存在反曲點，每 個柱在高度中間也存在著反曲點，然後從各個反曲點處截取出來的框架單元。在 梁柱交會區視為剛域，剛域的寬度是柱寬，高度是梁深。整個框架單元如圖4-5 所示。 從圖4-5 中，求得框架單元水平剪力 Q 與水平位移 Δ 的關係式： 2 2 2 h 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 6 1 2 I 2 1 e 1+ 1 1 Δ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ h d d EI t h Q e e t e I t I t l l l l (4.3) 式中，e= −h t₂，l₁ =d₁−t₁，l₂ =d₂−t₁。 等效板(圖 4-5 所示) 水平剪力 Q 與水平位移 Δ 的關係式： Q h GA Δ = (4.4) 令式(4.3)與(4.4)中的水平位移 Δ 相等，可以得到等效板的剪力剛度為：

2 2 2 2 h 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 12 1 1 2I 1 1+ 1 1 ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎤ + + + ⎢ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ h d d EI t GA e e t e I t I t e l l l l (4.5) 假如框筒結構如前面的假設，Id₁=Id₂ =Id，d1 =d2 =s，l1= = = −l2 l s t1則式(4.5) 可簡化成： 2 2 2 2 h 2 1 d 12 1 1 I 1 l 1+ e I 1 h EI t GA e e _t e t l ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (4.6) 式(4.6)中算出的剪力剛度，只考慮梁柱的撓曲變形並沒有考慮桿件的剪力變形而 且沒有考慮梁柱交接區的剪力變形。4.1.2.2 節 Kwan[6]提出的模型中，在計算剪 力剛度會比較精確。 4.1.2.1.2 Coull 等效連續筒內力計算 圖4-6 所表示的是等效連續筒的座標以及應力系統。假如結構如圖示有兩個 對稱軸，則在水平載重的作用下，兩個腹板端的應力狀態是相同的，而在兩個翼 板端，應力大小相等但方向相反。 在翼板端的平衡方程式為： ' 0 0 y yz yz _z y z y z σ τ τ σ ∂ ∂ ⎫ + _{= ⎪} ∂ ∂ ⎪ ⎬ ∂ ₊∂ _⎪ = ⎪ ∂ ∂ _⎭ (4.7.a) 在腹板端的平衡方程式為： 0 0 x xz xz z x z x z σ τ τ σ ∂ ₊∂ ⎫ = ⎪⎪ ∂ ∂ ⎬ ∂ ₊∂ _{= ⎪} ⎪ ∂ ∂ ⎭ (4.7.b) 在兩正交板上的應力應變關係： 在翼板端：

' ' ' ' y y y yz z z z z yz y yz yz yz E e E e E e E e G σ σ τ γ ⎫ = + ⎪⎪ = + _⎬ ⎪ = _⎪⎭ (4.8.a) 在腹板端： x x x xz z z xz x z z xz xz xz E e E e E e E e G σ σ τ γ = + ⎫ ⎪ = + _⎬ ⎪ = _⎭ (4.8.b) 上述式子中，Eyz與Exz可以忽略，因為梁柱是均勻佈置，所以 ' = = z z E E E且G_xz =G_yz =G (4.8.c) 在等效連續筒的翼板端中，由於剪力延遲效應的影響，軸向應力 ' z σ 成凹曲 線，兩邊高中間低，如圖3-1(b)所示。假設用對y軸對稱的二次曲線來模擬軸向 應力的分佈。 2 ' _{( ) ( )} z o M y a S z S z I b σ = + _{+ ⎜ ⎟}⎛ ⎞ ⎝ ⎠ (4.9) 式中，S z_o( )與S z( )為 z 的函數。第一項M a I 為古典梁理論的結果，其餘兩項是 針對第一項的修正。 式(4.9)中，I 為斷面的慣性矩： 2 2 4 (3 ) 4 3 k I = ta b+ +a A a (4.10) 2b，2a分別為翼板、腹板的長度，t為等效連續筒的厚度，A_k為角柱的斷面積。 在等效連續筒的腹板端中，由於剪力延遲效應的影響，軸向應力σ 是一個z 對x軸反對稱的曲線，如圖 3-1(c)所示。假設用對x軸反對稱的三次曲線來模擬 軸向應力的分佈。 3 1( ) z M x x S z I a σ = _{+ ⎜ ⎟}⎛ ⎞ ⎝ ⎠ (4.11) 式中，S z₁( )為z的函數。第一項M x I 為古典梁理論的結果，第二項是針對第一項 的修正。

在任意高度處，力矩平衡條件為： ' 2 b _z 2 a _z 4 _{k k} ( ) bσ tady aσ txdx A aσ M z − + − + =

∫

∫

(4.12) 式中，σ 為角柱中的軸向應力，k M z( )為水平載重對任意高度下的力矩。 在角隅處，翼板與腹板的軸向應變應該協合。 ' ( , ) ( , ) k z z b z a z E E E σ σ σ ± = = (4.13) 由式(4.9)、(4.10)可得知： ' _{| ( ) ( )} k z y b o M a S z S z I σ =σ ₌ = + + (4.14a) 1 | ( ) k z x a M a S z I σ =σ ₌ = + (4.14b) 由式(4.14a)、(4.14b)可得知： 1( )= o( )+ ( ) S z S z S z (4.15) 把式(4.9)、(4.11)、(4.15)代入式(4.12)，並積分可得到： 0 1 ( ) ( ) 3 = − S z mS z (4.16.a) (5 3 15 ) (5 5 ) k k A b a t m A b a t + + = + + (4.16.b) 因此，翼板、腹板的軸向應力 ' z σ 、σ 就可用單一的未知函數_z S z( )來表示： 2 ' 1 _{( )} 3 z M y a m S z I b σ = −⎡⎢ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎤⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (4.17) 3 1 1 ( ) 3 z M x x m S z I a σ = + −⎛_⎜ ⎞⎛ ⎞_{⎟⎜ ⎟} ⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.18) 角柱中的軸向應力為： ' _{| 1} 1 _{( )} 3 k z y b M a m S z I σ =σ ₌ = + −⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ (4.19) 將式(4.17)、(4.18)代入平衡方程式(4.7.a)、(4.7.b)，積分後可求得其於應力分量： (下列式中將S z( )簡寫成S，M z( )簡寫成M )

(

)

2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 12 y b a y d M b y y d S m m I b dz b b dz σ = _⎢⎡_{⎜ ⎟}⎛ ⎞ − ⎤_⎥ − ⎡_⎢ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} −⎛ ⎞_{⎜ ⎟} − − ⎤_⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.20) 2 1 3 xy a dM y dS y m I dz b dz τ = − ⎧⎪⎨ − ⎡⎢ −⎛ ⎞⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎤⎥ ⎫⎪⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ (4.21) 3 5 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 (1 ) 2 3 3 3 20 k k x A A a b b x x d M a x x d S m I a at a at a a dz a a dz σ = − ⎢⎡ _⎜⎛ + + _{⎟ ⎜}⎞ ⎛+ + + _⎟⎞ − ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎥⎤ − − ⎢⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}− ⎤⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.22) 2 4 2 _{1 1} 1 2 2 1 2 3 4 5 k xz A a b x dM a x dS m I a at a dz a dz τ = _⎢⎡ + + −_{⎜ ⎟}⎛ ⎞ ⎤_⎥ + −⎛_{⎜ ⎟}⎞ ⎡_⎢ −⎛ ⎞_{⎜ ⎟ ⎥}⎤ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.23) 積分常數可利用下列邊界條件求得： 當x=a時， 2 2 1 2 2 σx = = − p d M t t dz (4.24.a) 當x= −a時，σ_x =0 (4.24.b) 當y= ±b時，σ_y =0 (4.24.c) 角柱處的平衡方程式： | | k k xz x a yz y b A t z σ τ ₌ +τ ₌ = ∂ ∂ (4.24.d) 另外τyz對軸y=0呈反對稱。 由於對稱，每一個腹板端框架將承受水平剪力的一半，所以： 0 1 1 2 2 2 a z xz a Q dM t dx pdz dz τ − = = =

∫

∫

(4.25) 式中，p為單位高度的側向載重強度值，Q為水平剪力。 結構中總應變能為： 2 ₂ ' 2 2 2 0 42 0 H b _yz a H xz k z z e _{b a} k A t dy dx dz dz E G E G E τ τ σ σ _σ − − ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ∏ = ⎨ ⎜_⎜ + ⎟_⎟ + ⎜ + ⎟ ⎬ + ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭

∫ ∫

∫

∫

(4.26) 式(4.26)中，因為樓板在平面內剛度無限大，可以忽略掉水平應變，所以水平方 向的正向應力σ_x和σ_y產生的應變能可以忽略不計。 將式(4.17)、(4.18)、(4.21)、(4.23)代入式(4.26)中，並對x、y積分之後，應變能 可以表示成：

2 2 0 ( , , , ) H e dS d S f z S dz dz dz ∏ =

_∫

(4.27) 根據最小勢能原理，可得出以下的控制方程式和邊界條件： 2 2 2 2 2 2 b d d S k S dz H dz σ λ ⎛ ⎞ −_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ (4.28) σ_b是假設框筒結構是簡易懸臂梁所算出的正向應力，S z( )是用來表示翼板端剪 力延遲效應的程度的函數。 當z=0時，S=0 (4.29.a) 當z=H時，dS −λ2 dσb =0 dz dz (4.29.b)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 1 1 5 10 9 (3 ) 5 7 15 1 1 35 42 15 3 7 15 1 5 3 3 7 3 1 1 35 42 15 3 7 15 k b A a m m m G H b at k E b a m m m b a m m b a m m m b Ma I λ σ ⎫ ⎛ ⎞ − + + − _⎜ + _⎟⎪ ⎝ _{⎠ ⎪} = ⎪ ⎛ ⎞ − − + _{⎜ ⎟} − _⎪ ⎝ ⎠ _⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − − _{⎜ ⎟} − ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ = _⎬ ⎛ ⎞ _⎪ − − + _{⎜ ⎟} − _⎪ ⎝ ⎠ _⎪ ⎪ = _⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (4.30) 其中，而m可由式(4.16.b)求得。 當角柱面積和其他柱的斷面積相同時，角柱已被當作是等效正交板中的一部 份，因此Ak為零。此時參數 2 k 和λ 可以簡化為： 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 5 15 6 3 9 35 42 51 20 45 72 33 32 9 3 35 42 51 20 m m m GH k Eb m m m m m m m m m m λ ⎫ + − − ⎪ = − + − _⎪ ⎬ − − + _⎪ = − _⎪ − − + − _⎭ (4.31) 其中，而 5 3 5 b a m b a + = + 。 (4.32) 針對三種常用的水平載重，去推導式(4.28)的解： (1) 於結構頂部的水平集中載重，大小為 P：