注意：
允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用
本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載
而不須申請。
重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分，必
須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許
可。
申請此項授權請電郵
ccmp@seed.net.tw
Notice:
Individual students, nonprofit libraries, or schools are
permitted to make fair use of the papers and its
solutions. Republication, systematic copying, or
multiple reproduction of any part of this material is
permitted only under license from the Chiuchang
Mathematics Foundation.
Requests for such permission should be made by
e-mailing Mr. Wen-Hsien SUN ccmp@seed.net.tw
─────────────────────────────────────────────────
2015/2016 初中組第二輪檢測試題詳解
───────────────────────────────────────────────── 1. 小明買了 6 支筆與 3 本筆記本，小華買了 3 支筆與 6 本筆記本，他們買的筆 與筆記本款式都相同，付款時小明發現自己比小華多花了 6 元。請問筆的售 價比筆記本的售價貴多少元？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 【參考解法】 可知小明比小華多買了 3 支筆、少買了 3 本筆記本，且多花了 6 元，故可判斷 出筆的售價比筆記本的售價貴6 3÷ =2元。 答案：（B） 2. 將 2016 的所有因數從大到小排成一列，請問第三個因數比第四個因數大多 少？ （A）12 （B）48 （C）168 （D）672 （E）2016 【參考解法】 因 5 2 2016= × ×2 3 7，故知 2016最小的四個因數依序為1、2、3、22 =4，故 2016 第三大的因數為 2016 3 672÷ = 、第四大的因數為 2016 4 504÷ = ，所以第三個因 數比第四個因數大 672 504 168− = 。 答案：（C） 3. 若r=3x+2y、s=xy− −x y，請問 xr+ ys等於下面哪一項？ （A） 2 2 2 2 2 x y− +x xy+ y （B）xy2 +3x2 + −xy y2 （C） 2 2 2 x y+ x +xy （D） 2 2 2 2 xy + x + xy （E） 2 2 x y + +x y 【參考解法】 2 2 2 2 2 2 (3 2 ) ( ) 3 2 3 xr+ ys=x x+ y + y xy− − =x y x + xy+xy − −xy y =xy + x + −xy y 。 答案：（B） 4. 在正方形 ABCD 的 BC 邊上取一動點 E，以 DE 為邊作矩形 DEFG，且 FG 邊通過點 A，請問當 點 E 從點 B 移動到點 C 的過程中矩形 DEFG 的 面積是如何變化的？ （A）一直變大 （B）一直變小 （C） 先變小後變大 （D）先變大後變小 （E）保持不變 【參考解法】 如圖，連接 AE，可知在正方形 ABCD 中， 1 1 2 2 AED ABCD S△ = ×AB× AD= S□ 、在長方形 DEFG 中， A D E C B G F E′ G′ F′1 1 2 2 AED DEFG S△ = ×DE×EF = S▭ ，而點 E 從 B 移動到點 C 的過程中，三角形 AED 的面積保持不變，故知矩形 DEFG 的面積一直保持不變。 答案：（E） 5. 如圖所示，一張6 6× 方格表左上角的小方格中有一隻螞 蟻，它想爬到右下角的小方格 A 中。它每次只能沿著水 平向右或鉛直向下的方向爬到相鄰的小方格，並且表格 中有三塊隔板（圖中加粗的線條）不能從中穿過。請問 這隻螞蟻總共有多少條不同的路徑到達 A？ （A）88 （B）90 （C）92 （D）96 （E）112 【參考解法1】 如下圖所示，設螞蟻開始所在的小方格為 B，現在把螞蟻 的路徑分為兩類，第一類是由 B 途經 C 到達 A，第二類是 由 B 途經 D 到達 A。 第一類路徑： 由 B 到 C，共有3 條路徑： 由 C 到 A，共有6 條路徑： 所以這一類路徑共有3 6 18× = 條。 第二類路徑： 由 B 到 D，共有7 條路徑： A A B D C
由 D 到 A，共有 10 條路徑。 所以這一類路徑共有7 10× =70條。 綜上所述，這隻螞蟻總共有18+70=88條不同的路徑到達 A。 【參考解法2】 畫出螞蟻可能通過的小方格之中心，如圖所示，圖中各點上方的數即為螞蟻從 起點到該點的不同路徑數： 故可得知共有88條不同的路徑到達 A。 答案：（A） 6. 在3 3× 的方格中選取3個方格分別塗黑、藍、紅三種顏色，每種 顏色各塗一格，要求這三個方格中任意兩個方格不在同行也不在 同列。請問總共有多少種不同的塗色方法？ 【參考解法1】 先選擇塗黑色的方格，有9 種選擇的方式；再選擇藍色的方格，這 時與黑格同行同列的格子都不能選取，故有4 種選擇的方式；最後選擇紅色的 方格，這時與黑格、藍格同行同列的格子都不能選取，故僅有1 種選擇的方式。 由乘法原理知共有9 4 1 36× × = 種選擇的方式。 【參考解法2】 可知選取三個方格中任意兩個方格不在同行也不在同列的選取方法共有 3 2 1 6× × = 種方法，而對於每一種方法的三個方格都分別不重複地塗上黑、藍、 紅其中一種顏色都有3 2 1 6× × = 種塗法，故知總共有6 6× =36種塗色的方法。 答案： 36 種 1 1 2 1 3 3 3 1 4 7 10 7 17 27 37 7 24 51 88 10 10
7. 一塊磁磚的圖案如圖所示，已知每個正六邊形的邊長為 1 cm，請問圖中塗上陰影部分的面積為多少 cm2？ 【參考解法】 可知圖中陰影部份是由七個腰長為 1 cm、兩底角皆為30°的等 腰三角形所構成。 而腰長為1 cm、兩底角皆為30°的等腰三角形底邊上的高為1 2cm、底邊長度為 3 2 3 2 × = cm，故這樣的三角形之面積為1 1 3 3 2× ×2 = 4 cm 2，因此圖中塗上陰 影部分的面積為 3 7 7 3 4 × = 4 cm 2。 答案： 7 3 4 cm 2 8. 設 a、b、c、d 是四個實數，已知|a+b|、|a−b|、|c+d|、|c−d|分別等於 6、7、8、9，請問 2 2 2 2 a +b + +c d 的值等於多少？ 【參考解法】 可知 2 2 2 (a+b) =(|a+b|) =6 =36、(a−b)2 =(|a−b|)2 =72 =49， 故 2 2 1 2 2 1 (( ) ( ) ) (36 49) 2 2 a + =b a+b + −a b = × + ； 可知 2 2 2 (c+d) =(|c+d|) = =8 64、(c−d)2 =(|c−d|)2 = =92 81， 故 2 2 1 2 2 1 (( ) ( ) ) (64 81) 2 2 c +d = c+d + −c d = × + ； 因此 2 2 2 2 1 1 1 (36 49) (64 81) 230 115 2 2 2 a +b + +c d = × + + × + = × = 。 答案： 115 9. 在一個長為 3 cm，寬為 3 cm 的矩形 ABCD 的 BC 邊延長線上取一點 C，使 得∠CDE= °30 ，將點 B 沿著對角線 AC 翻摺後與 K 點重合，如圖所示，請 問三角形 KDE 的面積為多少 cm2？ A D E C B 3 K 3 30° 30° 30° 1 1
【參考解法】
因CD= AB= 3cm 且∠CDE = °30 ，故DE =2cm；
因 AB：BC = 3 ：3 = 1： 3 且∠ABC = °90 ，故可判斷出∠ACB= °30 ，所以 30 ACK ∠ = °，即可推得∠DCK = ° − ° − ° = °90 30 30 30 ，因此知KC//DE，所以三 角形KDE在 DE邊上的高即為點C至線段 DE的距離，再由CD = 3cm可得知 點C至線段 DE的距離為 3 2 cm，故三角形KDE的面積為 1 3 3 2 2× × 2 = 2 cm 2。 答案： 3 2 cm 2 10. 在算式(((10□2)□2)□2)□2的四個□ 中填入加、減、乘、除四個運算符 號（每個符號都恰只使用一次），請問可以得到多少個不同的值？ 【參考解法 1】 將除以 2 改寫為乘以1 2，然後將整個式子用乘法分配律打開，即變為 10、2 與−2 各乘一個係數再相加，其中 10 的係數只能是2 1 1 2 × = ，若乘以 2 在乘以1 2之前， 則 2 與−2的係數只能是 1 或1 2，結果只能為 9、10、11 之一；若乘以 2 在乘以 1 2 之後，則 2 與−2的係數只能是 1 或 2，結果只能為 8、10、12 之一。綜上，共 有 5 種不同的運算結果。 【參考解法 2】 (((10+2)− × ÷ =2) 2) 2 10、(((10+ 2)−2)÷ × =2) 2 10、(((10+ × −2) 2) 2)÷ =2 11、 (((10+ × ÷ − =2) 2) 2) 2 10、(((10+ 2)÷ × − =2) 2) 2 10、(((10+2)÷ − × =2) 2) 2 8、 (((10−2)+ × ÷ =2) 2) 2 10、(((10−2)+2)÷ × =2) 2 10、(((10− × +2) 2) 2)÷ =2 9、 (((10− × ÷ + =2) 2) 2) 2 10、(((10−2)÷ × + =2) 2) 2 10、(((10− 2)÷ + × =2) 2) 2 12、 (((10× −2) 2)+2)÷ =2 10、(((10× −2) 2)÷ + =2) 2 11、(((10× +2) 2)−2)÷ =2 10、 (((10× +2) 2)÷ − =2) 2 9、(((10× ÷ +2) 2) 2)− =2 10、(((10× ÷ −2) 2) 2)+ =2 10、 (((10÷ − × + =2) 2) 2) 2 8、(((10÷ −2) 2)+ × =2) 2 10、(((10÷ × −2) 2) 2) + =2 10、 (((10÷ × +2) 2) 2)− =2 10、(((10÷ + × − =2) 2) 2) 2 12、(((10÷ +2) 2)− × =2) 2 10， 故知共可算出 8、9、10、11、12 共五個不同的值。 【參考解法 3】 由交換律可知當加號與減號同時填入相鄰的□ 時，若將此二個相鄰的□ 填法互 換，則值不會改變，而乘號與除號也有相同的性質。因(((10+ 2)− × ÷ =2) 2) 2 10， 故只需觀察加號與減號不同時填入相鄰的□ ，以及乘號與除號不同時填入相鄰 的□ 的取值：(((10+ × −2) 2) 2)÷ =2 11、(((10+2)÷ − × =2) 2) 2 8、 (((10− × +2) 2) 2)÷ =2 9、(((10− 2)÷ + × =2) 2) 2 12、(((10× −2) 2)÷ + =2) 2 11、 (((10× +2) 2)÷ − =2) 2 9、(((10÷ − × + =2) 2) 2) 2 8、(((10÷ + × − =2) 2) 2) 2 12， 故知共可算出 8、9、10、11、12 共五個不同的值。 答案： 5 個
11. 已知實數 a、b、c 滿足abc =1、(a+1)(b+1)(c+ =1) 16、(a+2)(b+2)(c+ =2) 53， 請問(a−1)(b−1)(c−1)的值是多少？ 【參考解法】 由(a+1)(b+1)(c+ =1) abc+ab+ac+bc+ + + +a b c 1可知 16 1 14 ab+ac+bc+ + + = −a b c abc− = ； 由(a+2)(b+2)(c+ =2) abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c+8可知 53 8 2 2 2 22 2 abc ab+ac+bc+ a+ b+ c= − − = ； 兩式相減即可得知a+ + =b c 22 14− =8，故ab+ac+bc= − =14 8 6。 所以知 (a−1)(b−1)(c− =1) abc−ab−ac−bc+ + + − = − + − =a b c 1 1 6 8 1 2。 答案： 2 12. 三角形 ABC 的面積為 120 cm2， BC 邊的長為 16 cm，請問三角形 ABC 周長 的最小值是多少 cm？ 【參考解法】 可知 BC 邊上的高為120 2 15 16× = cm，因此點 A 必在一條與 BC 的距離為 15 cm 的直線 L 上。現 驗證當 AB= AC時，三角形 ABC 的周長最小。 如圖，令點 A 在直線 L 上使得 AB= AC，且點 A′ 是在直線 L 上異於點 A 的點。以直線 L 為對稱 軸作點 B 的對稱點 B′並連接 A B′ ′、 AB′，可知 A B′ ′=A B′ 、 AB′ = AB以及 BAA∠ ′= ∠B AA′ ′。 由 BAA∠ ′= ∠B AA′ ′可知 C、A、 B′三點共線，因 此B C′ = AB′+ AC= AB+ AC。而在三角形CA B′ ′ 中，恆有A B′ ′+ A C′ > B C′ ，故得 A B′ + A C′ = A B′ ′+ A C′ > B C′ = AB+ AC。 所以可判斷出三角形A BC′ 的周長大於三角形ABC的周長。 而當AB= AC時，可令BC邊的中點為點 D，則由BC邊上的高AD=15cm、 8 BD= cm 知AB= 152 +82 =17cm，此時三角形ABC的周長為16 17 17+ + =50cm。 答案： 50 cm 13. 已知a、b、c、d是兩兩相異的非零數碼，四位數 abcd 和 acbd 的最大公因數 為n，請問n 的最大可能值是多少？ 【參考解法】 可知二個數的公因數必是此二個數之差的因數，所以n 為 abcd acbd− 的因數， 且由d ≠0可判斷出 n 的個位數碼不為0，即n 沒有質因數2，或是沒有質因數5。 不失一般性，可令b>c，則abcd −acbd =90(b c− )。 A 8 15 D C B A′ B′ L
若 n 沒有質因數 2，則 n 為90( ) 45( ) 2 b c b c − = − 的因數，再由b− ≤ − =c 9 1 8知 n 至多為 45 7 315× = 。若n =315，則由 n的個位數碼為 5 知d =5、由b− =c 7知 8 b= 、c =1，或者b=9、c=2，再由315 為9 的倍數知 abcd 必為4815或 2925 之一，但兩者均不能被315整除，故不合。n 的下一個可能值為 45 5 225× = ，而 當abcd =4725=225 21× 、acbd =4275=225 19× 時，n=225。 若n 沒有質因數 5，則n 為90( ) 18( ) 5 b c b c − = − 的因數，其值至多為18 8 144× = 。 綜上所述，n 的最大可能值是225。 答案： 225 14. 圖 1 為一個6 6× 的方格表，圖 2 為一個 L-形四方塊，它是由四個邊長為1 的小正方形 組成的。將方格表的某些小方格塗上黑色， 使得 L-形四方塊無論如何沿著格線放入方 格表內都至少會蓋住一個黑色的小方格， L-形四方塊可以旋轉或翻轉。請問至少要將幾 個小方格塗黑？ 【參考解法】 在2 3× 的方格表中，若只塗黑一個小方格，則一定可放入一個L-形四方塊而不 蓋住此塗黑的方格： 故知在2 3× 的方格表中，至少要塗黑二個小方格。 (10 分) 因6 6× 的方格表可分成六個2 3× 的方格表，故知至少要將2 6 12× = 個小方格塗 黑。如圖所示的二種塗色法，都是將12個小方格塗黑而使得L-形四方塊無論如 何放入方格表內都至少會蓋住一個黑色的小方格的塗色方式。(10 分) 答案： 至少要將12個小方格塗黑 圖1 圖2
15. 在三角形 ABC 中，點 P、Q 在∠BAC的外角平分線上且在直線 AB的異側， 使得BP CQ// ，點D在 BC上使得DP=DQ，如圖所示。請證明AB DQ// 。 【參考解法】 首先假設AB> AC，延長 PQ、BC交於點X。令點E是 BC上的點使得 QE平行 AB，如圖所示。則可得 XQ XE XA = XB與 XQ XC XP = XB，即 XA XE× =XB×XQ= XP×XC， 所以 XA XC XP = XE ，可得知AC PE 。// (10 分)
又知 EPQ∠ = ∠CAQ= ∠PAB= ∠EQP，可得 EP=EQ，此即點 E 與點 D 重合， 故證得AB DQ 。// (5 分) 當 AB= AC，可知PQ BC ，即上述作法的// 點 X 不存在。此時可知四邊形 PQCB 為平行 四邊形，因此三角形 ABC 與三角形 DQP 為 底邊長相同、面積相同的兩個等腰三角形， 故可判斷出三角形 ABC 與三角形 DCP 為全 等三角形，若令 BA 延長線上的一點 Y，如 右圖所示，即有
PQD ACB CAQ QAY
∠ = ∠ = ∠ = ∠ ， 故AB DQ 。// (5 分) X A D (E) P C B Q A D P C B Q Y
