Schoenflies開放鏈機構之奇異構形

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

Schoenflies 開放鏈機構之奇異構形

研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 95-2221-E-151-011-

執 行 期 間 ： 95 年 08 月 01 日至 96 年 07 月 31 日

執 行 單 位 ： 國立高雄應用科技大學模具工程系

計 畫 主 持 人 ： 李聰慶

計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理：陳玠廷

助教級-兼任助理：李正雄

報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處 理 方 式 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中 華 民 國 96 年 10 月 16 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告

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※

Schoenflies 開放鏈機構之奇異構形

※

※

The Singular Configurations of Schoenflies Open-Chain Mechanisms

※

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計畫類別：▓個別型計畫 □整合型計畫

計畫編號：NSC 95－2221－E－151－011－

執行期間：95 年 8 月 1 日至 96 年 7 月 31 日

計畫主持人：李 聰 慶

共同主持人：

計畫參與人員：李正雄 陳玠廷

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

▓出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

執行單位：國立高雄應用科技大學/模具工程系

中 華 民 國

96 年 10 月 15 日

2

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

Schoenflies 開放鏈機構之奇異構形

The Singular Configurations of Schoenflies Open-Chain Mechanisms

計畫編號：NSC 95-2221-E-151-011

執行期限：95 年 8 月 1 日至 96 年 7 月 31 日

主持人：李聰慶 國立高雄應用科技大學模具工程系

一、中文摘要

Schoenflies 開放鏈機構為具有四個自

由度的開迴路空間機構，簡稱為

X 型運動

生成元，其構造可提供新型並聯式機器人

肢鏈之選用。一般構形下該機構末端桿具

三平移及一旋轉的運動型式；然而，在某

些特殊幾何構造時，會產生不同的奇異構

形。本研究已將

Schoenflies 開放鏈的奇異

構形，分為永久的奇異性與暫時或局部性

奇異加以詳細探討。永久性奇異構形無法

產生

Schoenflies (X)型的運動特性，此以群

論法由接頭位移李群的相依性判別之。而

具暫時性奇異的構形，雖可產生

X 型的運

動，但在某些特定位置或構造下，當首末

端桿件連接固定時，中間桿卻會產生有限

的或無限小的被動式多餘運動。有關無限

小運動的暫時或局部奇異性，已提出適合

幾何推論的旋量式，以接頭旋量可能產生

線性相依的研究求解之。至於有限運動的

局部奇異性，則利用

Delassus 的矛盾可動

性探討之。除特別印證局部性奇異的有限

及無限小運動的奇異構形間之關係外，更

找出所有該類機構可能奇異之幾何構造與

尺寸關係，提供設計應用之參考。

關鍵詞：Schoenflies 開放鏈機構、奇異構形、 永久性奇異、暫時性奇異、有限的、 無限小的、矛盾可動性、旋量、位移 李群。

Abstract

Schoenflies open-chain mechanism is an

open-loop spatial mechanism with four

degrees of freedom and is often termed

X-motion generator for brevity. This chain

can be offered for the selection of limb chain

in the synthesis of novel parallel

manipulators. In a general configuration, 3

translational & 1 rotational motion

characterize its end link. However, under

some specific structures, this mechanism will

form various singular configurations. Here,

two distinct singularities are discriminated in

studying singular pose of Schoenflies chain.

They are permanent and transitory singularity.

The permanent one is not proper singularity

and never constitutes the Schoenflies motion

(X-motion). This has been exhaustively

identified by the linear dependency of Lie

subgroup of joint displacements via the

group-theoretic approach. A transitory

singularity may occur only in particular

poses of the chain that generally generates

X-motion. In the transitory singular pose,

the intermediate links between the distal

links, which are welded, can undergo passive

motions of infinitesimal or finite amplitude.

The transitory infinitesimal singularity has

been solved by the dependency of our

proposed twists being suitable for a

geometric reasoning. As for transitory

finite singularity, we apply the Delassus

paradoxical mobility to identify it. In this

research, we not only discriminate the

relationships between the singular postures

characterized by finite and infinitesimal

mobility but also identify all possible

singular configurations for the reference of

design and practice.

Keywords: Schoenflies open-chain mechanism, Singular configuration, Permanent singularity, Transitory singularity, Finite, Infinitesimal, Paradoxical mobility, Twist, Displacement Lie group.

二、緣由與目的

Schoenflies 開 放 鏈 機 構 (Schoenflies

open-chain mechanism)為具有四自由度的

開迴路空間機構，其構造在合成新型並聯

式 機 器 人 時 ， 可 提 供 肢 運 動 鏈 之 選 用

[1-2]。亦可直接將此類型機構做為四自由

度串聯式機器人的構造，如

SCARA 型機器

人[3]。Schoenflies 開放鏈機構又簡稱 X 型

運動生成元(X-motion generator)[4]，此類機

構可由具單自由度的

Reuleaux 接頭[5]串聯

組合而成。一般情形下，該鏈末端桿為具

三平移及一旋轉的運動類型；然而，在某

些特殊構造時，該機構會形成各種不同的

奇異構形(Singular configu- ration)，而無法

達到原有的運動特性。

X 型開放鏈機構的

奇 異 構 形 有 永 久 奇 異 性

(Permanent

singularity)與暫時或局部奇異性(Transitory

or local singularity)之區別；永久性奇異構

形將無法產生

X 型的運動特性。而暫時性

奇異的構形，在一般情形雖然可以產生

X

型的運動。但在某些特定運動位置或構造

尺寸，卻會發生有限或無限小振幅(Finite or

infinitesimal amplitude)的被動多餘運動而

形成奇異構形。

有關

Schoenflies 機構奇異構形的研究

文獻較為稀少，

Lee & Hervé [4]曾提出部分

判別準則，提供該機構永久性奇異構形之

參考。然而，國內外有關空間機構奇異構

形的研究，大部份為針對串聯式或並聯式

機器人及閉迴路空間機構奇異性的探討

[6-13]。這些奇異構形的研究大部分採用螺

旋理論［6-8］、位移函數[9]、Grassmann

線幾何學[10]、Jacobian 矩陣［11］、速度

方程式[12]或 D-H 微分矩陣[13]等方法，較

偏重於複雜計算，容易限制部分空間幾何

的推論；且奇異構形類型以

Jacobian 矩陣

或速度方程式來分類，往往忽略因矛盾性

可動 (Paradoxical mobility)所產生的奇異

性。因此，本研究提出不同的方法，由

Rodrigues 的有限位移出發，以極限數學的

觀點推導接頭的位移旋量(Twist)，做為探

討暫時或局部無限小奇異性的數學工具，

以避免必須詳細訂定各桿或接頭坐標系的

缺 點 。 另 外 再 以 位 移 群 的 相 依 性

(Group

dependency)[14,15]有系統的探討產生永久

性奇異構形的幾何構造。至於有限運動的

暫時性奇異，則利用過度拘束運動鏈可能

的矛盾可動性判別之。除此之外，近年來

由於精密導螺桿應用的普遍性，增加一般

機構採用螺旋對接頭的可行性。所以，本

研究亦特別探討因螺距值所產生的奇異構

形。

三、研究報告的內容

I. Schoenflies(或 Schönflies)運動

Schoenflies(或 Schönflies)運動為具有三

純平移及一旋轉自由度的剛體運動(或位移)

[4]。特定的 Schoenflies 位移，以{X(w)}表

示之。大寫字母

X 代表 Schoenflies 型運動；

已知的單位向量 w 限定所有可能旋轉之平

行轉軸的方向。而傳統的大括號則用以表

示位移次集。假設

M 為 3D 歐氏仿射空間

(Euclidean affine space)的任意點，並考慮任

意點

O 為卡氏坐標系(O, u, v, w)的原點。

為求簡化起見，基底向量(u, v, w)設為單位

正交(Orthonormal)。一個 Schoenflies 位移

X(w; a, b, c,

θ)，將點 M 轉換至

點

M'表示為

M

→M'=O+au+bv+cw+exp(

θ

w

×)(M–O) (1)

其中

a

、

b及c為實數

，θ

為旋轉角度

；

此為

X

位移的四參數

，

w

×為w之向量積的反對稱

運 算 符

(Skew-symmetric operator) ， 而

exp(θw×)為θw×的指數函數級數。{X(w)}

可視為{X(w; a, b, c,

θ

)| (a, b, c,

θ

) ∈

4

_}之

簡式；其中， 為實數域。因此，

Schoenflies

位移為

(OM') = au+bv+cw+exp(

θ

w×)(OM) (2)

以矩陣形式表示為

(OM )′ 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ exp(θw×) au + bv + cw_{0 1} ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ (OM)₁ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

(3)

很容易證明屬於{X(w)}的兩個連續點

變換是為{X(w)}的變換。換言之，在{X(w)}

中積的運算具有閉合性。很明顯地，此積

的運算為群的二元運算。而且{X(w)}具有

四次元(4D)李群(Lie group)的連續性，為一

般 位 移

6D 李 群 的 4D 李 次 群 (Lie

subgroup)。當四個參數無限小時，即 a

、

b、

c 及

θ

為

da

、

db

、

dc 及 d

θ，

得無限小的

Schoenflies 運 動 ， 故 知 dM=dau+dbv+

dcw+(d

θ

×) (OM)；亦可表示為

dM 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = dθw × dau + dbv + dcw 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ (OM) 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

(4)

運算元

自(OM)提供

dM，此即剛體運動學的旋量(Twist)[16]。

李群(或次群)的有限位移變換，可以利用指

數函數由無限小位移推導得之，故

X 運動

表示為

exp

。

dθw × dau + dbv + dcw 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ θw × au + bv + cw 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

{X(w)}中典型的 1D 李次群為平行於 w

方向且具有任意螺距值

p 的螺旋位移次群

(Subgroup of helical displacements)，表示為

{H(N, w, p)} 。 其 點 變 換 集 為

(NM )′ 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = exp(θw×) (θ / 2π) pw 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ (NM) 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

。這些

運動位移集乃由具有螺距

p 及轉軸(N, w)

的螺旋接頭所形成。為實用起見，

{H(N, w,

0)}亦表示為{R(N, w)}代表繞轉軸(N, w)的

旋轉位移集。另一類{X(w)}之一次元李次

群為直線位移，以符號{T(s)}表示；其中 s

為 任 意 已 知 的 單 位 向 量 。 很 明 顯 地 ，

= exp

1 qs 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 0× qs 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

。而零次元次群{E}僅

包含單元變換

E，表示所考慮的運動鏈中

無運動者。

值得回顧者，在群論中兩位移次集的積

定義為積的集合。四個為{X(w)}位移次集

的

1D 因子的乘積屬於{X(w)}。當因子為

{X(w)}的李次群時，其為所對應具有李代

數(Lie algebra)特性的旋量空間之指數函數

映對。因此，{D}次群的積為其指數對映的

積。Reuleaux 低對產生位移李次群，此為

其旋量空間的指數函數映對。因此，串聯

四 個 單 自 由 度 低 對 可 以 被 考 慮 為 產 生

{X(w)} 之 用 。 由 群 的 閉 合 性 (Group

closure)，這些串聯所得的運動鏈通常產生

4D 的{X(w)}群，且不具有多餘內可動性

(Redundant internal mobility)。然而，當其

積不為四次元時，將導致{X(w)}因式化失

敗，進而產生相對應之{X(w)}開放型運動

鏈的奇異構形。

4

II. 有限性奇異

基本

X 運動生成元的暫時性奇異源於

運動鏈中間桿件不需要的普通(Ordinary)或

矛盾(Paradoxical)可動性。當有限奇異性為

永久性時，其做為

X 生成元是有缺陷的，

必須予以刪除之。以群論能解釋的普通可

動性，包含兩大類的可動性：普遍性(Trivial)

及特異性(Exceptional)可動。而矛盾可動性

則訴諸於

Delassus 型奇異可動性(Singular

mobility)加以辨別之。

II.1 普通不需要的可動性

單迴路閉合運動鏈的任意桿件被切斷

後，再任意的接合之，其自由度並不會改

變。這種屬於單個位移李次群的連桿組，

稱普遍性(Trivial or banal)運動鏈。而特異

性(Exceptional)可動運動鏈，其切斷及接合

操作須視所選擇桿件而定。

II.1.1 具瞬時普遍性次鏈之生成元

具有兩個P或兩個H接頭的運動鏈，當P

運動對平行或等螺距H運動對共軸，會有不

需要的運動發生。當兩個P運動對不相鄰且

暫時的平行，則其所含次鏈會發生

1-dof平

移的有限暫時性奇異，其運動以

1D次群

{T(v)}表示。同理，當兩等螺距H運動對暫

時共軸，會有瞬時有限運動，以

1D次群

{H(N, u, p)表示之。另具有 1D次群{H(N

1

, u,

p)}的暫時有限運動。且值得注意者，上述

H可以用R取代之，另共軸的H可為零螺

距。為簡化起見，將圖省略之。

具有不同螺距的三個H運動對瞬時共

軸，如圖

1(a)，{H(N

1

, u, p

4

)}⊂{C(N

1

, u)}=

{H(N

1

, u, p

1

)}{H(N

1

, u, p

2

)}暫時性發生。而

且瞬時惰性H

*

(或R

*

)可暫時性以惰性P

P *

_(不

平行於H)取代，如圖 1(b)。因此，若忽略

惰性接頭的存在，將首末桿件連接，將可

得具有一個自由度之普遍可動性的普通三

桿運動鏈。而圖

5(c)至 5(e)說明以R取代三

共 軸

H任意之一所形成的有限瞬時性竒

異；分別有RHH

*

_{H, HRH}

*

_{H, HHH}

*

_R。若以

零螺距R

*

_取代H

*

_，則有HHR

*

_{H, RHR}

*

_H,

HRR

*

_H及HHR

*

_{R。為簡化起見，亦將其圖}

省略之。除此之外，P平行u產生{T(u)}次

群，包含於{C(N, u)}={H(N, u, p )}{H(N, u,

p )}, p ≠ p ;其中螺距p 或 p 可以為零。因

此，具有P平行於H(或R)的例子，亦為有限

的暫時性奇異，如圖

5(f)至 5(i):

i j i j i j

PHH

*

_H、

HPH

*

_H、PRH

*

_H、及RPH

*

_{H。而且更多普}

遍 性 次 鏈 的 情 況 ， 如

RHP

* P

H, HRP

P *

_H,及

HHP

* P

R，是將H

*

_以惰性P

P *

_{取代之，此由圖}

5(b)獲得。其它具有{C(N, u)}普遍性次鏈的

情形:PHP

* P

H，HPP

P *

_H，RP

* P

H及RPP

P *

_H，這

些皆能以前述方法得之。另外兩個具有次

群{T(Pl)}普遍次鏈之有限瞬時竒異的X生

成元:PHPP及PRPP，如圖 2 所示。當此H(或

R)不垂直於P所在平面時為瞬時性竒異，否

則為具有虛擬平面(pseud-planar)運動[16]

的永久性竒異。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

圖

1 具{C(N

i

, u)}次鏈的奇異性

(a) PHPP

(b) PRPP

圖

2 具{T(Pl)}次鏈的有限性暫時奇異

II.1.2 具瞬時性特異次鏈之生成元

當

X生成元的首末桿件結合時，許多特

異 性 運 動 鏈 可 能 出 現 。 例 如 具 有

{C(N

1

,u)}∩{C(N

2

,u)}={T(u)}的特異運動鏈會暫

時發生，這些運動鏈如HHHH、RHHH、

RRHH、RHRH。當具有P平行u時,亦可得

含{C(N

1

,u)} or {C(N

2

,u)}的普遍性運動

鏈。具有四個H互相平行的運動鏈，如圖

3(a)，當兩組等螺距H暫時共軸時，有限性

瞬時奇異可能發生。當首末桿固定，會形

成具有內桿可動性。視{H(N

2

, u, p

2

)}={E}

或{H(N

1

, u, p

1

)}={E}而定，將變成{H(N

1

, u,

p

₁

_)}或{H(N

₂

_{, u, p}

₂

_{)}運動。此即文獻[14]所}

論 述 具 有 限 瞬 時 性 不 連 續 可 動 性

(Discontinuous mobility)的特殊運動鏈。為

簡化起見，以下僅舉圖

3(b)之運動鏈說明

之。圖中共軸的H具有不同的螺距，產生

2D圓柱運動次群；其兩個P所決定的平面平

行於H軸。此開放鏈介於首末桿間的中間桿

件 能 以

{T(u)}={T(Pl)}∩{H(N

1

,

u,

p

₁

_)}{H(N

₁

_{, u, p}

₂

_{)}={T(Pl)} ∩ {C(N}

₁

_{, u)}之}

形式相對運動；其中螺距p

1

或p

2

可以為零

值。

(a)

(b)

圖

3 具特異次鏈之竒異性

II.2 瞬時性矛盾運動鏈

矛盾運動鏈的任意桿件切斷及再運動

接合後，將會改變其自由度，此點與特異

運動鏈須視所選擇的桿件不同。矛盾運動

鏈由

Delassus [14]提出，在決定某些 X 運動

生成元之有限性奇異性，扮演特殊的角

色。其對應的開放鏈為

Schoenflies 運動生

成元，且在

Delassus 矛盾運動鏈的瞬時構

態下為奇異的開放鏈。此鏈瞬間形成

4D X

型運動群的

3D 次流行簇(Submanifold)。

III. 無限小奇異性

各種

X 運動基本生成元的無限小奇異

性，經由研究四個

1-dof Reuleaux 接頭旋量

的相依性可以判別之。本研究結果已分別

完成特徵化兩、三及四個旋量空間屬於

1D、2D 及 3D 之旋量空間。事實上，X 運

6

動生成元四個接頭之四個旋量的線性組合

必須為四次元，否則其構形將為奇異(或稱

生成元為無效的)。為簡化起見，以下將僅

舉

HH 旋量組合:竒異 HHH 次鏈，與 HHH

旋量組合:竒異 HHHH 等兩種實例，示範說

明探討

X 運動基本生成元可能奇異構形之

幾何特徵及條件。更多的實例，未來將以

論文發表的形式呈現之。

III.1 無限小位移旋量

根據前面所述，經無限小角度α的螺旋

運動{H(N, u, p)}，其相對於此群之螺旋對

H 的 旋 量 ， 以 向 量 形 式 表 示 為 dM =

α[u×(OM) + (ON)× u + (p/2π) u]；表示式

[u×(OM)+(ON)×u+(p/2π)u] 決 定 旋 量 率

(Rate of twist)，由原點O的兩向量u及t =

(ON)× u +(p/2π)u限定之

。

因此，任何具有

(N, u)軸及螺距p=2πk的螺旋H可以簡短地

表示為α

[u×(OM) + t]。而屬於{T(s)}群的

無限小位移的旋量為dM=βs；單位向量s決

定旋量率。任意線性組合兩或三個旋量得

第三、第四旋量；此稱為合旋量(Resultant

twist)。串聯兩或三個運動對的合旋量，由

其前兩或三個旋量決定之。換言之，這些

三個或四個旋量將屬於所有旋量組成的

6D向量空間之相同的 2D或 3D向量次空

間。假如運動鏈構形的三或四個運動對，

具備三或四線性相依旋量，則串聯這些運

動對將產生竒異性。一般而言，此竒異性

為運動鏈特殊型態；通常僅導因於不必要

的無限小振幅之可動性。

III.2 HH 旋量:竒異 HHH 次鏈

兩螺旋對分別具有螺距

p

1

及

p

2

與平行軸

(N

1

, u)及(N

2

, u)，點N

1

及

N

2

任意選取於各個

螺 旋 軸 上 ， 且 令

N

1

及

N

2

屬 於 平 面

Pl(O,

⊥u)。很明顯地，若N

1

= N

2

，螺旋對共軸，

HH次鏈會有竒異性。以下令N

1

≠ N

2

，第一

個

H 的 旋 量 為 d

1

M=

α[u×(OM)+(ON

1

)×u

+k

1

u]，而第二個H的旋量為d

2

M=

β [u×(OM)

+(ON

2

)×u+ k

2

u]。因此，串列兩平行螺旋對

的合旋量表示為d

R

M=

α

R

[u× (OM) +t

R

]；

其 中 ，

α

R

=α+β ， t

R

=[

α(ON

1

)

+β(ON

2

)]/(α+β)×u+k

R

u ，

k

R

=(αp

1

+βp

2

)

/[2

π(

α

+β)]= p

R

/2

π(p

R

為合旋量之螺距)；

N

R

屬於合旋量軸的一點且取在

Pl(O,

⊥u)上。

據此找出具有質量α/(α+β)與β/(α+β)之

點

N

1

及

N

2

的 質 心

[α(ON

1

)+β(ON

2

)])]

/(

α+β)。利用投影與仿射幾何的觀念，直線

N

1

N

2

可表示為(αN

1

+ βN

2

)/(α + β)；故(N

R

N

1

)

= β (N

2

N

1

)/(α+β)。同理，(N

R

N

2

) = - α(N

2

N

1

)

/(

α+β)；其中係數α/(α+β)及β/(α+β)，以直

線三點

N

1

、

N

2

及

N

R

所決定的向量比表示

之 ； 即

α/(α+β)=(N

2

N

R

)/(N

2

N

1

) 且

β/(α+β)=

(N

1

N

R

)/(N

1

N

2

)。

因此，合旋量可以用具有螺距p

R

及(N

R

,

u)軸的螺旋對判別之。根據三螺旋量的相

依性，找出其竒異構形，並表示為{H(N

1

, u,

p

₁

_)}{H(N

₂

_{, u, p}

₂

_)}{H([αN

₁

_{+ βN}

₂

_{])]/(α+β), u,}

[αp

1

+ βp

2

]/[α+β])}。最後得三平行H串列所

有可能竒異構形的陳述如下：

具三平行

H

對之

X

生成元，若暫時滿足下

列幾何條件，會產生無限小竒異

:

(i)

三螺旋對位於平行

u

的平面上。因此，

在垂直

u

的平面上三點

N

1

、

N

2

及

N

R

共

線；

(ii)

若其中兩螺旋對的螺距不相等

(p

1

≠

p

₂

₎

_{，第三個螺旋對之螺距為}

_N

_R

_位置的

特殊函數：

p

3

=p

R

=[

α

p

1

+

β

p

2

]/[

α

+

β

]﹔

即

α/(α+β)=(N

2

N

R

)/(N

2

N

1

)

且

β/(α+β)=

(N

1

N

R

)/(N

1

N

2

)。

當設

p

1

=p

2

，則

p

3

=p

R

=

p

₁

_=p

₂

且

N

R

的位置為

N

1

N

2

線任意點。

條件

(ii)之具不同螺距的竒異構形，圖示於

圖

4(a)；此種竒異構形可以經由適當的選

擇桿長及螺距避免之。至於等螺距的竒異

構形，三平行於u的螺旋對且具有等螺距

（p

1

=p

2

=p

R

=p），通常產生虛平面運動次群

{Y(u, p)}；此種生成元在螺旋軸共平面時會

形成暫時性奇異，如圖

4(b)所示；此亦可

印證參考文獻[16]的結果。值得注意者，此

種竒異性無法經由選擇桿長避免之。

在虛平面次運動鏈的情形，具平行軸及

等螺距之三螺旋對通常表示為

{H(N

1

, u,

p)}{H(N

2

, u, p)}{H(N

3

, u, p)}={Y(u, p)}

∀

N

3

∉線(N

1

N

2

)。但此種HHH串列當{H(N

1

, u,

p)}{H(N

2

, u, p)}{H(N

3

, u, p)}≠ {Y(u, p)}, ∀

N

3

∈線(N

1

N

2

)時，其竒異構形存在。而且平

面運動為具有零螺距（p

1

=p

2

=p

3

=0）之虛

平面運動的特例。當三R軸共平面其所對應

的 平 面 生 成 元

(Planar gliding motion

generator)RRR會產生竒異性[16]。

因此，根據上述的討論知具有奇異HHH

次鏈之HHHH運動鏈，如圖 5(a)所示，為X

運動生成元的無限小竒異性的例子。而圖

5(b)則為具有平面RRR 無限小竒異次鏈的

例子。圖

6 亦為具有HHH次鏈竒異性的另

一個例子。總之，用HHH表示HHH次鏈的

竒異構形。若J代表H、R或P，則以符號表

示為HHHJ、HHJH、JHHH或HJHH的任何X

運動生成元，亦具有奇異性。而且有相對

應具平面RRR竒異次鏈的RRRJ

*

及RRJ

*

R

特例；其中J

*

為P或H對。

(a)

奇異

HHH

(b) 虛平面例

圖

4 具暫時性無限小竒異 HHH 鏈

(a)

HHHH (b) RRRH

圖

5 具奇異HHH(或RRR)次鏈之奇異構形

(a)

HHHH (b)

RRHR

圖

6 奇異HHHH(或RRHR) X生成元

III.3

HHH 旋量:竒異的 HHHH

三獨立運動對旋量的合旋量屬於

6D旋

向量空間之相同

3D次向量空間。具有四個

線性相依旋量的開放型運動鏈會有奇異

性。以下僅舉研究成果中之HHH的線性組

合示範說明。現在考慮具有螺距p

1

、p

2

及p

3

與平行軸(N

1

, u)、(N

2

, u)及(N

3

, u)的三螺旋

對，如前所述，為不失一般性，點

N

1

、

N

2

及

N

3

任意選取於每根螺旋軸，且可獲得較簡

單的表示式。假設

N

1

、

N

2

及

N

3

屬於平面

Pl(O,

⊥u) ， 這 三 H 的 旋 量 分 別 為

d

1

M=

α[u×(OM)+(ON

1

)×u+k

1

u]、d

2

M=

β[u×

(OM)+(ON

2

)×u+k

2

u]

及 d

3

M=

γ[u×(OM)

+(ON

3

)×u+k

3

u]；其中，

α、β及γ表三螺旋

對每一無限小角度且k

i

=p

i

/2π (i=1,2,3)為其

螺距。因此，其相對應的合旋量表示為

α

R

[u×(OM)+(ON

R

)×u+k

R

u]

=α

R

[u×(OM)+t

R

] (5)

其 中 ，

α

R

=α+β+γ ， t

R

=[

α(ON

1

)+β(ON

2

)

+γ(ON

3

)]/(α+β+γ))×u+k

R

u ，

k

R

=(αp

1

+βp

2

+γp

3

)/[2π(α+β+γ)]=p

R

/2

π, p

R

為 合 旋 量 螺

距，

N

R

屬於合旋量軸且在面

Pl(O,

⊥u)上。

N

R

為分別

N

1

、

N

2

及

N

3

的質心。利用投影幾

何 的 一 般 觀 念 ， 將 其 寫 為

(α +β+γ)N

R

=αN

1

+βN

2

+γN

3

。一般情形下點

N

1

、

N

2

及

N

3

並

不共線；α、β及γ可視為前述由O與u所決

定平面上，以點基準表示的

N

R

的三齊次坐

標。因此，

N

R

可以為平面上的任意點。對

於 任 意 已 知 原 點

O

，

知

(ON

R

)=

[α(ON

1

)+β(ON

2

)+γ(ON

3

)]/(α+β+γ)。另引入

輔 助 點

N

12

， 由

N

1

及

N

2

點 推 導 得

(ON

12

)=[α(ON

1

)+β(ON

2

)]/(α+β) ，N

12

為 分

別具有質量α/(α+β)與β/(α+β)之點N

1

及

N

2

的質心且屬於線

N

1

N

2

：

(ON

R

)=[(α+β)(ON

12

)

+γ(ON

3

)]/(α+β+γ)。而上式N

R

分別為具有質

量

(α+β)/(α+β+γ)及γ/(α+β+γ)的N

12

及

N

3

的

質心，且屬於線

N

12

N

3

。若特別取

O與N

12

重

合 ， 則 得 有 用 的 關 係 式 如 下 ：

(N

12

N

R

)=γ(N

12

N

3

)/(α+β+γ) ⇔ γ/(α+β+γ)=

(N

12

N

R

)/(N

12

N

3

)；此導致係數

γ/(α+β+γ)的

幾何意義。同理，輔助點

N

23

及

N

13

亦可得

之 。 而 其 它 兩 係 數 以 幾 何 意 義 決 定 如

下:α/(α+β+γ)=(N

23

N

R

)/(N

23

N

1

);

β/(α+β+γ)=

(N

13

N

R

)/(N

13

N

2

)。因此，前述合旋量以具有

螺距p

R

及軸(N

R

,u)的螺旋對旋量判別之。根

據這四個旋量的線性相依性，其竒異鏈的

構形表示為:

{H(N

1

, u, p

1

)}{H(N

2

, u, p

2

)}{H(N

3

, u, p

3

)}

{H([αN

1

+βN

2

+γN

3

]/(α+β+γ),

u, [αp

1

+βp

2

+γp

3

]/[α+β+γ])} (6)

如上述說明，三係數α、β及γ由四點N

1

、

N

2

、

N

3

及

N

R

的幾何排列演繹之。很明顯地，螺

距p

R

為

p

_R

=(N

23

N

R

)/(N

23

N

1

)p

1

+(N

13

N

R

)/(N

13

N

2

)p

2

+(N

12

N

R

)/(N

12

N

3

)p

3

(7)

HHHH 開 放 鏈 的 竒 異 構 形 描 述 於 圖

7(a)；相當於將開放鏈首末桿件焊接固定，

所得之擬閉合運動鏈之可行但非預期的運

動。一般而言，此種構態為暫時性的無限

小竒異。然而，在更特殊的情況下，非預

期的運動可能具備有限幅度，且其竒異構

形如前節所述為有限的可動性。無限小竒

異性視運動對的位置而定；但並不依靠接

頭間的桿而改變之。故圖

7(b)描述另一個

Schoenflies 運動 HHHH 生成元具有相同旋

量的竒異構形。有關的竒異構形陳述如下:

具 有 螺 距 p

1

、 p

2

&p

3

與 軸

(N

1

, u) 、 (N

2

,

u)&(N

3

, u)的HHH次鏈之X生成元，若暫時

滿足下列幾何條件，將會產生無限小竒異

構形(α、β或γ為任意常數):

(i) 第四個或合旋量軸位置點N

R

，

由特殊

位 置

: (ON

R

)=[(α+β)(ON

12

)+γ(ON

3

)]

/(α+β+γ) 決 定 ； 輔 助 點 N

12

以

(ON

12

)=

[α(ON

1

)+β(ON

2

)]/(α+β)推導之；

(ii) 第 四 個 或 合 旋 量 的 螺 距 (p

R

) 滿 足

p

_R

_=(N

₂₃

_N

_R

_)/(N

₂₃

_N

₁

_)p

₁

_+(N

₁₃

_N

_R

_)/(N

₁₃

_N

₂

₎

p

₂

_{+ (N}

₁₂

_N

_R

_)/(N

₁₂

_N

₃

_)p

₃

_；輔助點

_N

₂₃

_&N

₁₃

以α/(α+β+γ)=(N

23

N

R

)/(N

23

N

1

);

β/(α+β

+γ) = (N

13

N

R

)/(N

13

N

2

)決定之。

具有

N

1

、

N

2

、

N

3

及

N

R

共線的構形，不管四H

對的螺距値大小，總是有奇異性。事實上，

可以確認對於任何螺距値p

1

、p

2

、p

3

及p

R

均

成立。在更特殊的情形:p

1

=p

2

=p

3

=

p

，

表示

p

_R

₌

_{p；四平行H對的螺距相等；此為不正}

確的

X運動生成元，在此予以忽略之。此特

殊情形的運動鏈為虛平面鏈(p≠0)或平面鏈

(p=0) [16]。首尾桿間的運動鍵為 3D次群

{Y(u, p)}。因此，當首末桿在任何可能的相

對位置焊接之，其獲致的閉合鏈，變為具

有 一 個 自 由 度 的 虛 平 面 或 平 面 鏈

(Pseudo-planar or planar chain)。

基於

X 運動生成元的四個平行 H 對與

Delassus HHHH 連桿組構形暫時性一致，

本研究亦已完成所有此種可能的奇異構形

的探討。然而由於篇幅關係，以下僅以圖

8

Delassus 菱形竒異構形結果呈現，不再詳細

文字說明之。

(a) 無限小的竒異

(b) 相關奇異構形

圖

7 HHHH 生成元暫時無限小竒異性

(a) 竒異菱形

(b) 相關奇異構形

圖

8 具 Delassus 菱形竒異之生成元

在此值得一提者，有限竒異性可以在更

多限制條件下，做為無限小竒異性的特例

而獲得之。例如具有兩個產生圓柱位移次

群的次運動鏈，如前述的竒異

HHHH 鏈，

8

具有四共平行平面軸之奇異

HHHH 鏈的特

例。利用卡氏法乃是先探討更一般化的情

況，再針對更特殊的情形。然而，本研究

由明顯的竒異構形出發，然後再探討較不

明顯的情形；此方法直覺且容易瞭解。一

般性

X 運動生成元的所有奇異構形，以幾

何方式特徵之。為實際建構

X 運動生成元

時，構造型式先選擇，之後特殊肢幾何必

須被採用。故更特殊情況的竒異性可以由

本研究所說明的獲得之。

四、結論與討論

本計畫研究成果已系統化完成有關串

列

Reuleaux 低對接頭 X 運動基本生成元奇

異性的判別，並找出所有可能的奇異性構

形。此對於合成新型並聯式機器人時，選

用運動肢及避免肢鏈竒異性之發生，將會

有實質的助益。兩類區域或暫時性的竒異

構形，即有限性奇異及無限小奇異性，以

兩接續性步驟完成。根據兩種完全的可動

性，分別考慮兩類有限性奇異情形。普通

的有限性奇異，以位移次集的群相依性得

之。矛盾的有限性奇異，則由

Delassus 所

提出的單自由度四連桿組推導之。無限小

奇異性的判別，已成功地經由接頭旋量的

研究達成。無限小奇異性並非因運動鏈接

頭的連接次序而變。而且，無限小可動性

可視為得到有限可動性的必要的但非充分

的條件。事實上，有限性運動總是包含無

限性運動。因此，在第一步驟所闡釋的有

限奇異性實際上為於第二步驟所發現的無

限小竒異的特例。舉例而言，新證明矛盾

的

Delassus 連桿組可以由加入更多的限制

條件於通常僅有無限小可動性運動鏈而獲

得之。本研究成果也解決因螺距值所產生

的奇異構形，未來將更進一步推廣應用於

具精密導螺桿的新型並聯式機構或自動化

設備的合成；並進一步提供未來構造合成

五自由度運動肢鏈之使用。除此之外，也

將陸續整理研究成果發表於國際期刊，以

期學術研究成果的推廣及提供機構運動學

學術研究之參考。

五、參考文獻

[1] Hervé, J. M., ″Dispositif pour le déplacement en translation spatiale d′un élément dans l′espace en

particuller pour robot mécanique, ″ French Patent no.9100286, 1991.

[2] Lee, C.-C. and J. H. Chou, " Kinematics of a 3-Dof Translational Parallel Mechanism with 3-PRPaR Topology " Proc. 2004 ASME DETC/CIE, Salt Lake City, Utah, USA, 2004, DETC2004-57193,,

[3] Angeles, J., Morozov, A., and Navarro, O., "A Novel Manipulator Architecture for the Production of SCARA Motions, " Proc. IEEE Intl. Conf. on Rob. Auto., 2000, pp.2370-2375.

[4]. Lee, C.-C. and J. M. Hervé, "On the Enumeration of Schoenflies Motion Generators," Proc. 9th

IFToMM Intl. Sym. Theory Mach. Mech. (SYROM2005), Bucharest, Romania, 2005, Vol.3, pp.673-678.

[5] Reuleaux, F., Theortische Kinematic:Grunzuge einer Theorie des Maschinwesens. Vieweg, Braunschweig, 1875.

[6] Hunt, K. H., Kinematic Geometry of Mechanisms, Oxford, 1978.

[7] Hunt, K. H., "Special Configurations of Robot-Arms via Screw Theory-Part 1. The Jacobian and its Matrix of Cofactors," Robotica, Vol.4, 1986, pp.171-179.

[8] Wang, S.-L., and K. J., Waldron, "A Study of the Singular Configurations of Serial Manipulators, " ASME Trans., J. Mech. Trans. Auto. Des., 109(1), 1987, pp.14-20.

[9] Litivin, F. L., Fanghella, P., Tan, J., and Zhang, Y., "Singularities in Motion and Displacement Functions of Spatial Linkages, " ASME Trans., J. Mech. Trans. Auto. Des., 108(4), 1986, pp.516-523.

[10] Merlet, J,-P., "Singular Configurations of Parallel Manipulators and Grassmann Geometry, " Int. J. Rob. Res., 8, 1989, pp.45-56.

[11] Gosselin, C. and Angeles J. "Singularity Analysis of Closed-Loop Kinematic Chains," IEEE Trans. Rob. Aut., 6 (3), 1990, pp.281-290.

[12] Zlatanov, D. G., Fenton, R. G., and Benhabib, B., "Identification and Classification of the Singular Configurations of Mechanisms, " Mech. Mach. Theory, 33(6), 1998, pp.743-760.

[13] Lee, C. C. "On the Simple Stationary Configurations of Single-Loop Spatial N-Revolute Overconstrained Linkages," Trans. Canadian Soci. Mech. Eng., 20(1), 1996, pp.17-39.

[14] Lee. C.-C. and J. M. Hervé, "Discontinuously Movable Seven-link Mechanisms via Group-Algebraic Approach," Proc. IMechE,

219(6), C: J. Mech. Eng. Sci., 2005, pp.577-587.

[15] Lee C.-C and Hervé, J. M., "Translational Parallel Manipulators with Double Planar Limbs," Mech. Mach. Theory, 41(4), 2006, pp.433-455. [16] Lee, C.-C. and Hervé, J. M., “Cartesian parallel

manipulators with pseudo-planar limbs,” ASME J. Mech. Design, in press, December, 2007.

出席國際學術會議報告

報告人姓 名: 李 聰 慶

職 稱: 教 授

服 務 機 關: 國立高雄應用科技大學模具工程系

補 助 單 位: 國 科 會

核 准 文 號: 國科會計畫編號 NSC 95-2221-E151-011

會 議 名 稱:

2006 年 ASME 國際

設計工程技術研討會暨電

腦 及 資 訊 工 程 研 討 會

(2006 ASME

International Design Engineering Technical

Conferences & Computers and Information in

Engineering Conference)

會 議 時 間: 九十五年九月十日至十三日

會 議 地 點: 美國賓州費城喜來登(

Sheraton Philadelphia City

Center, Salt City, Utah

)

發 表 論 文: 三類新型不連續可動空間七桿機構

(Three

Novel Discontinuously Movable Spatial 7-Link

Mechanisms)

(一) 參加會議經過

2006 年 ASME 國際設計工程技術研討會暨電腦及資訊工程研討會

(2006 ASME International Design Engineering Technical Conferences &

Computers and Information in Engineering Conference)於九月十日至十三日

在 美 國 賓 州 費 城 喜 來 登 市 中 心 (Sheraton Philadelphia City Center Hotel,

Philadelphia, Pennsylvania)舉行。此次會議包括第 30 屆機構與機器人學會

議(30th Mechanisms and Robotics Conference)、第 32 屆設計自動化研討會

(32th Design Automation Conference)、第 18 屆設計原理與方法論國際研

討會(18th International Conference on Design Theory and Methodology)、第

11 屆 製 造 設 計 研 討 會 (11th Design for Manufacturing and Life Cycle

Conference) 、 第 三 屆 國 際 設 計 及 設 計 教 育 研 討 會 (3rd Symposium on

International Design and Design Education)及第 26 屆電腦及資訊工程研討

會(26th Computer and Information in Engineering Conference)等六個會議。

雖然比壹年前在加州 Long Beach 舉行的設計工程技術研討會數目少，然

而會議內容的豐富並不遜色；其中機構與機器人學會議從 2005 年起已更

改為每年舉行一次。此行國內有顏鴻森教授、蔡得民教授、黃金沺教授、

黃馨慧博士、三位成大博士生和筆者等前往參加並發表論文。

本次大會除技術論文分組研討外，並特別安排九場專題演講及主題演

說，其中最大的一場演講為美國通用汽車公司車輛整合執行長 Robert A.

Kruse 講述面對汽車工業之技術研究的挑戰，至於另外八場演說的主題分

別為汽車工業教育設計者之工業設計造型、虛擬產品發展的歷史現狀及未

來：在汽車工業的展望、技術新脈動：建基於機械工程的核心技術、並行

Schoenflies 運動生成元的運動及動力學、電腦輔助連桿設計:今日與明

日、工程的靈性、工程設計論證及設計教學實習之國際概述等。會中分別

有來自美國及世界各國等學者專家，發表的技術論文總共有五百多篇，分

別於六個並行研討會的 112 個技術分組中加以討論，討論場面十分熱烈。

其中國內約有六篇論文在會中發表。筆者的論文題目是"三類新型不連續

可 動 空 間 七 桿 機 構 (Three Novel Discontinuously Movable Spatial 7-Link

Mechanisms)"，被安排於九月十一日上午十一點至十二點三十分，在

MR-4-2 機構類型(MR MR-4-2 Types of Mechanisms)技術分組中發表，與會者非常

踴躍且對筆者論文所提的新型不連續可動機構甚感興趣，筆者亦將近來對

此類機構相關之研究心得，和與會者互相砌磋及交換意見。在此鼓勵我國

研究人員及專家學者積極參加國外所舉辦之學術會議，並發表論文於相關

之期刊，藉此提高我國在這方面的學術地位及促進國際學術交流。此外，

和各國學者建立人脈，可搭起一條與國際學術交流的高速公路，引導更多

國內學者邁向世界學術舞台。

此次大會除了技術論文發表會與專題演講外，還有講習會、研習班及

學生作品競賽。另值得一提的是大會亦安排於第二天(11 日)晚上在賓州大

學考古及人類博物館舉行接待歡迎酒會，讓與會的各國學者專家有敘舊及

認識新朋友的機會，並參觀博物館的收藏。大家除了學術交流外，又透過

各種參觀、接待及晚宴等活動，認識更多的人、事、物，建立另類的文化

交流，使與會者均有不虛此行之感。

(二) 與會心得

此次 ASME 國際設計工程技術研討會暨電腦及資訊工程研討會所發

表的論文及講題，共分為一百十二個技術論文分組(Technical sessions)、

一 個 大 型 專 題 演 講 (Plenary addresses) 、 八 個 主 題 演 說 (Keynote

Speeches)、九場講習會(Tutorials)、三場研習班(Workshops)及學生作品

競賽(Competitions)等。其中技術論文分組方面，有三十六個分組屬於機

構學及機器人學領域、二十五個分組屬於電腦及資訊在工程上應用的相關

領域、二十七個分組屬於設計自動化領域、十一個分組屬於設計原理與方

法論、七個分組屬於製造設計領域、及六個分組屬於國際設計及設計教育

議題。很明顯地，機構及機器人學、設計自動化及電腦工程應用等論文仍

然是此次會議非常普遍的探討主題。

有關大會的九場專題演講及主題演說，則分別安排在每日議程中舉

行。最大的演講由通用汽車公司 Dr. R. L. Dreisbach 主講，演講主題為

″Technical Research Challenges Facing the Automotive Industry ″。主題演說

的 第 一 場 由 英 國 Coventry 大 學 Michael Tovery 講 述

″Industrial Design

Modeling in Educating Designers for the Automotive Industry″。第二場是由

Quantum Signal 汽車操作主管 Steve M. Rohde 演講″The History, Status and

Future of Virtual Product Development: A Automotive Perspective″。第三場

主題演講為″A New Wave of Technology: An Essential Step Built on Core

Technologies in Mechanical Engineering″由德州澳斯 Texsa 大學 Delbert

Tesar 主講。第四場則為加拿大 McGill 大學教授 Jorge Angeles 所主講，講

述

″The Kinematics and Dynamics of Parallel Schoenflies Motion

Generators″ 。 第 五 場 為 佛 州 技 術 學 院 Dr. Pierre Larochelle 講 述 ″The

Computer-Aided Synthesis of Linkages: Today and Tomorrow″，而第六及七

場分別為荷蘭 Delft 技術大學 Ton Meijknecht & Hans Van Drongelen 與

Hales&Gooch 公 司 講 述

″The Spirituality of Engineering″ 及 ″Engineering

Design Forenics″；最後一場主題演說則為英國巴斯大學 Chris McMahon 主

講″International Survey of Design Teaching Practice″。

另外值得一提的是本次 ASME 機器設計獎由喬治亞理工學院 Itzhak

Green 教 授 獲 得 ； 機 構 與 機 器 人 委 員 會 獎 由 康 乃 狄 克 大 學 Kazem

Kazerounian 教授獲得；而 ASME 傑出設計教育家獎，則由賓州州立大學

Jhon S. Lamancusa 所獲得。除此之外，在午餐會中另有頒發其它論文獎

與學生設計競賽獎。大會另一則最重要的消息為″現代機構運動學教父″

Ferdinand Freudenstein 教授已於 2006 年三月 30 日辭世，與會者同感哀

悼。

此次的技術論文仍以機構學及機器人學領域的相關論文佔絕大部份，

此範疇的論文數目有一百四十篇，其次為設計自動化及電腦工程應用領

域，分別為一百一十九及九十四篇。而設計原理與方法、製造設計及工程

設計教育等領域，分別有五十二篇、二十五篇及二十四篇。這些技術論文

發表會的重點除了在於機構學及機器人學基本理論的研究外，大部份是有

關平面及空間機構設計分析與合成、並行機器人學及其應用、電腦工程應

用、設計自動化、製造設計整合、微機電系統、工程設計、整合資訊技術

等方面。經由在會場中與多位學者專家接觸，可深深體會出美國在設計工

程技術、電腦工程應用及設計自動化等領域之研究成果與水準，仍居世界

領先地位之一。

筆者在此次會議中的另一重要收穫，即是有機會與國外各種不同領域

的優秀學者專家及國際友人聯絡，且建立交換學術研究心得之關係。並因

而得知美國近年來在機械各領域的研究概況及未來趨勢，可謂受益匪淺。

此次大會所提供的論文集亦為 CD-ROM 格式，用此方式來容納大量資料

已成為目前各種研討會提供論文的主要方式且可收錄彩色圖片或照片，攜

帶方便。在電腦日益普及的時代，用此方式來容納大量資料相信乃必然之

趨勢。與前兩年相同，今年大會並無印製大會論文摘要集，僅提供簡要的

議程目錄，確實嚮應無紙化時代的來臨。

(三) 建 議

此次參加 ASME 設計工程技術研討會，在學術新知的吸取、了解國

外設計技術相關領域研究現況及與外籍學者專家學術交流上，獲益良多。

5

本屆論文發表會的重點除了工程基本理論的探討外，大部分是有關機構設

計及機器人應用、設計自動化、電腦資訊工程應用、設計製造整合規劃、

設計方法論、工程設計及微機電系統方面的研究。經由在會議中與多位學

者專家的接觸，可深切體會出美國對設計工程技術與電腦資訊應用領域的

研究，相當積極且具有相當高的水準，值得我們觀摩學習。

本次會議有不少來自中國大陸的學者參加，而相形之下，台灣參加學

者的人數就少了許多。此次國內學者共發表六篇論文，參加人數為八人，

確實比往年少許多，此點值得相關學術單位重視。筆者因能有此次的出國

補助機會，得以進一步了解美國機械工程領域方面的研究現況。除個人論

文發表外，並能有機會與國際學者專家共同討論及交換研究心得。在此特

別對國科會研究計畫中出席國際會議的補助表示由衷地感謝；並建議政府

應繼續多贊助及鼓勵學者前往世界各國參與各項國際學術會議，以拓展國

際學術外交，讓台灣的學者出現在重要的學術研討會中，是讓國際知道台

灣存在的良好機會。另一方面，筆者亦深感近年來在國科會、教育部及相

關單位重視及經費補助下，國內學術研究風氣已漸臻一定水準；今後所要

加強的是能在國內多舉辦或贊助類似之國際性學術會議，讓國內外更多學

者參與，並提升我國國際學術地位，以及建立國際學術交流的暢通管道。

筆者再次非常感謝國科會的經費贊助，深感此種國際性會議是很好的學術

交流機會，更能讓國內學者的研究步調與世界同步。希望有關單位繼續積

極鼓勵及補助國內更多學者參與國際學術研討會，建立另類的國際學術外

交。

(四) 攜回資料名稱及內容

1. 大會 CD-ROM 論文集- 2006 ASME International Design Engineering

Technical Conferences and Computers and Information in Engineering

Conference, September 10-13, 2006 (ISBN:0-7918-3784-X)。

2. 2006 ASME International Design Engineering Technical Conferences &

Computers and Information in Engineering Conference 會議詳細議程壹

冊。

3. 2

nd

European Conference on Mechanism Science EUCOMES 2008, 17-20

September 2008, Cassino, Italy - Call for paper資料。

4. HMM 2008 International Symposium on History of Machine and

Mechanisms, November 10-14, 2008, Tainan, Taiwan, - Call for paper 資

料。

5. 13

th

National Conference on Machines and Mechanisms (NaCoMM 2007) &

IFToMM Workshop on History of Machines and Mechanisms Science, IISc,

Bangalore India, December 12-15, 2007 - Call for paper資料。

(五) 附錄 – 發表之論文全文

三類新型不連續可動空間七桿機構

(Three Novel Discontinuously Movable Spatial 7-Link Mechanisms)

Proceedings of IDETC/CIE 2006

ASME 2006 International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference September 10-13, 2006, Philadelphia, Pennsylvania, USA

DETC2006-99386

Three Novel Discontinuously Movable spatial 7-link Mechanisms

Chung-Ching Lee Jacques M. Hervé

Professor, Dept. Tool & Die-Making, National Kaohsiung University of Applied Sciences, 415 Chien Kung Road, Kaohsiung 80782,TAIWAN R.O.C.

Tel:886-7-3814526ext.5411,Fax:886-7-3835015, E-mail:[email protected]

Professor, Ecole Centrale Paris, Grande Voie des Vignes, F-92295,

Chatenay-Malabry, France Tel:33-1-41131198,Fax:33-1-41131437,

E-mail:[email protected]

ABSTRACT

Three kinds of new discontinuously movable (DM) spatial 7-link mechanisms named hybrid planar-spherical 7R, hybrid spherical-spherical 7R, and hybrid planar-planar 6R1P DM mechanisms are synthesized by combining planar and spherical 4R trivial chains. Their discontinuous mobility is explained using the Lie group algebraic properties of the displacement set. In addition, the same given spatial arrangement of joints can be linked in two ways thus constituting two distinct chains with a quite different mobility. One chain has two global degrees of freedom (dofs), which disobey the general Grubler-Kutzbach mobility criterion. The other chain exhibits a singular pose, which is a bifurcation towards two distinct working modes of one-dof mobility. As a result, the set of relative motions between any two specific links is not a manifold but consists of the union of displacement 1-dimensional manifolds.

INTRODUCTION

The mobility of mechanism, as we know, depends not only on the topological graph of the considered mechanism but also on the geometrical positions in space of the joint pairs [1,2]. Any infinitesimal motion of a rigid body is an infinitesimal screw motion, which is called a twist. The linear dependency of twists is a useful tool for the mobility analysis of infinitesimal motion. Finite mobility requires more restrictive conditions. When these geometric conditions indicate equations that constrain the link lengths and link twists, the mechanism is qualified paradoxical. The Bennett linkage is a famous paradoxical one. The kinematotropy [2] specifies permanent changes in the mobility. It is worth noticing that the cases, which do not change the global or permanent mobility,

are not regarded as kinematotropic mechanisms. But recently, the generalized kinematotropy [3] was extended to be related to changes in pair connectivity. Actually, there are different types of discontinuity. For instance, bifurcation or multifurcation is a type of discontinuity. Multifurcation is a more precise term whereas discontinuity designates a more general phenomenon.

For most mechanisms having a well-defined degree of freedom (dof), the intersection set of relative motion sets between two specific links generally is a smooth manifold of a well-defined dimension. In the discontinuous mobility situation, the intersection set of relative motion sets is not a manifold. In some obvious ones, the discontinuous mobility occurs in the configuration of collinear joint axes or the singular posture of uncertainty or change-point position [4,5]. Some potential applications of discontinuously movable (DM) mechanisms are the foldable double-sided door hinges, the instantly changeable-shaped toys or the unfoldable antennas for space ships. Discontinuous mobility in four-link mechanisms [6] and in one family of movable spatial 6R-mechanisms [7] are proposed by authors recently. In the paper, we synthesize 7-link hybrid chains having the usual continuous mobility at a first step. These chains are 2-dof hybrid chains employing the hybridization terminology [8]. They are 2-dof exceptional chains in the Hervé classification of mechanisms [9]. In a second step, we will deduce DM linkages from the previous ones, by changing the links without modifying the joint types and positions. Then three kinds of novel DM 7-link mechanisms are synthesized in this paper. In each kind two kinematic chains with the same arrangement of joint axes are associated. According to general Grubler-Kutzbach formula, these DM mechanisms generally have one global dof. However, in these DM mechanisms the relative motion set

between two specific links is not a 1-d. manifold but the union of two 1-d. manifolds. For further confirmation in the sequel, a group-theoretical approach will be used to explain their discontinuous mobility.

NOMENCLATURE

Notation Descriptions

ℜ the set of real numbers

uZi,uzi a unit sliding vector along axis Zi or zi

(N,u)

a axis, which passes through a given point N and is parallel to a given unit vector u; N can be replace by another point N' provided vector(NN')xu=0 without changing the axis; the point N and the unit vector u make up a frame of reference of the axis.

{C(N,u)}

the 2-dimensional (2-d.) Lie subgroup of cylindrical displacements, which combine rotations about a given axis (N,u) and translations along a direction parallel to the vector u

{D}

the 6-d. displacement Lie group; this group is an improper subgroup of itself; in any frame of reference, the displacement group is represented by a matrix group usually called SE(3)

{E} the improper subgroup of {D} made only of the identity transformation E

{G(u)}

the 3-d. displacement Lie subgroup of planar gliding perpendicular to u; in a frame of reference (O, i, j, u) this displacement subgroup can be represented by the matrix group usually called SE(2)

{G1},{G2}

displacement subsets produced by two serial chains between two specific links of a single loop chain

{L(i,j)}

the subset of allowed displacements of link j with respect to link i (i=1, 2,…, 7, j=1, 2,…, 7) or kinematic bond between the body number i and the body number j

{n/D}

a n-dimensional manifold strictly included into the displacement group{D} without being included into a displacement proper subgroup; n<6

{n/G(u)} a n-dimensional manifold strictly included into the subgroup {G(u)}; n<3

{n/S(O)} a n-dimensional manifold strictly included into the subgroup {S(O)}; n<3

{R(N,u)}

the 1-dimensional displacement Lie subgroup of rotations about the axis, which is determined by (N,u); in any frame of reference (N, i, j, u) this group of point transforms is represented by the matrix group usually denoted SO(2)

{S(O)}

the 3-dimensional displacement Lie subgroup of spherical rotations about the point O; in any frame of reference with origin O, this subgroup is represented by the matrix group usually called SO(3)

{T(u)} the 1-dimensional displacement Lie subgroup of translations along a direction parallel to the unit vector u

BASIC CONCEPTS AND FUNDAMENTALS

A group is a non-empty set endowed with a binary operation in the set satisfying some definition conditions [10,11]. In the displacement group, the binary operation is the product of displacements. It is important that by definition [12,13] in general group theory, the product of sets is the set of

products. A displacement is called also a rigid body motion in mechanism theory or direct Euclidean isometry in geometry. The 6-dimensional displacement Lie group denoted {D} is a set of point transformations and it is an improper subgroup of itself. In any orthonormal frame of reference, the displacement group is represented by a matrix group usually called SE(3) [14,15]. It is proven that the lower pairs are represented by displacement Lie subgroups [9,12,13]. The set of relative motions produced by a revolute, prismatic or cylindrical pair constitutes the displacement subgroup, whose designation is described in the nomenclature. The identity transformation set {E} corresponds to two rigidly coupled bodies and to the transformation that leaves unchanged all points in the space.

A mechanical bond is the mathematical model of a coupling between two rigid bodies and is the set of allowed relative displacements of one body with respect to the other. Therefore it is a subset of the displacement group. A kinematic pair occurs if the coupling between the bodies results from a material contact between the body surfaces. It is the simpler way to achieve a mechanical bond. By choosing two rigid bodies in a single closed loop chain, we obtain two serial chains that connect the chosen bodies. The displacement subset that is the mechanical bond between the two chosen bodies is the intersection set of the displacement sets generated by these two serial chains. Let us consider a single loop chain with the seven rigid bodies. The set equation that explains the loop closure is

{L(1,2)}{L(2,3)}{L(3,4)}{L(4,5)}{L(5,6)}{L(6,7)}{L(7,1)} = {E}

in which the displacement subset of {L(i-1, i)} may be a subgroup {R(N, u)}, {T(u)} or {C(N, u)} if the body number

i-1 is connected to the body i by a revolute, prismatic or

cylindrical pair.

A local mobility corresponding to instantaneous mobility. ″Instantaneous″ is a geometrical property independent of the time and has infinitesimal amplitude. It is different from full-cycle or finite mobility. The degree of freedom (dof) of local mobility can be derived from the number of linear independent kinematic screws or twists, which are velocity fields produced by relative motions in the kinematic pairs. Moreover, the local mobility depends only on the geometrical arrangement of kinematic pairs. But different kinematic chains can be built with the same spatial arrangement of joint axes and pitches. In other words, for a given geometrical arrangement of pairs, infinitesimal mobility does not depend on the pair ordering in the chain whereas finite mobility may happen or change according to the pair linking. The dof can be regarded as the dimension of a set. In many usual mechanisms, the motion of a body with respect to another body is a manifold contained in the displacement group and the manifold dimension is also called the dof of the mechanical bond. The bond dimension is called also connectivity in mechanism theory. Nevertheless, some special closed kinematic chains can produce a mechanical bond that is the union of two or several manifolds instead of being one smooth manifold.