2018IMAS國中組第一輪檢測中文試題詳解

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2018~2019 初中組第一輪檢測試題詳解

1. 請問代數式 2 2 2 2020 −2019 − ( 2018)− 的值是多少? (A)2021 (B)2022 (C)2037 (D)4039 (E)6057 【參考解法】 2 2 2 2020 2019 ( 2018) (2020 2019)(2020 2019) 2018 2020 2019 2018 2021 − − − = + − − = + − = 故選(A)。 答案:(A)

2. 已知△POQ△MON 且PON =100 、MOQ= ,如下圖所示。請問20

POQ

 等於多少度?

(A)20 (B)30 (C)40 (D)45 (E)60

【參考解法】

由條件得 POQ = MON,又POQ+ MON = PON+ MOQ=120,故

60 POQ  = 。故選(E)。 答案:(E) 3. 已知x = 、2 y = 。請問3 x4 + y4 −x3 −y3+x2 + y2的值為多少? (A)71 (B)72 (C)75 (D)83 (E)85 【參考解法】 4 4 3 3 2 2 4 4 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 16 81 8 27 4 9 75 x + yxy +x + y = + − − + + = + − − + + = 故選(C)。 答案:(C) 4. 有兩個正整數 m、n,其中 m 除以 35 餘 12,n 除以 21 餘 15。請問mn除 以 7 的餘數是多少? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 M P Q O N

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【參考解法 1】 設m=35a+ 、12 n=21b+15,則m n− =35a−21b− =3 7(5a−3b− + ,即1) 4 mn 除以 7 之後所得的餘數為 4。故選(C)。 【參考解法 2】 因為 m 除以 35 餘 12,所以 m 除以 7 的餘數為 5。因為 n 除以 21 餘 15,所以 n 除以 7 的餘數為 1。因此mn除以 7 的餘數為5 1 4− = 。故選(C)。 答案:(C) 5. 已知x2 −4x+ +4 xy−2018=0,請問 y 的值是多少? (A)0 (B)1009 (C)2018 (D)4036 (E)無法確定 【參考解法】 化簡可得 2 (x−2) + xy−2018=0,故x − =2 0、xy −2018=0,解得x = 、2 1009 y = 。故選(B) 答案:(B) 6. 請問當x = 時,3 x− +1 x− +1 x− +1 x+1 的值是多少? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 【參考解法】 當x = 時, 3 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4 2 x− + x− + x− + x+ = − + − + − + + = + + + = + + = + = = 故選(A)。 答案:(A) 7. 老師將 2 隻相同的鋼筆與 3 隻相同的鉛筆作為獎品全部分給兩名學生,每名 學生至少要得到一樣獎品。請問總共有多少種不同的分獎品方式? (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 (E)10 【參考解法】 分配鋼筆的方式有(2, 0)、(1, 1)、(0, 2)等 3 種、分配鉛筆的方式有(3, 0)、(2, 1)、 (1, 2)、(0, 3)等 4 種,故共有 12 種方式,但應去掉其中有兩種方式是其中有一名 同學沒有得到任何獎品的,故有 12-2=10 種方式。故選(E)。 答案:(E)

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所示。若從大正立方體中任意取走一個小正立方體,請問剩下的立體之表面 積為多少 cm2 (A)24 (B)25 (C)26 (D)27 (E)28 【參考解法】 去掉一個正方體後,它露在表面的三個面被去掉了,但同時多出了其餘正立方 體的三個面,故總表面積與原大正立方體表面積相同,為 2 6 2 =24cm2。故選(A)。 答案:(A) 9. 設正整數 m、n 滿足m2−n2= ,請問13 m2 + 的值是多少? n2 (A)13 (B)36 (C)49 (D)75 (E)85 【參考解法】 由題意得 (m n m n+ )( − = 而 13 為質數,故只能是) 13 m+ = 、n 13 m n− = ,因此1 7 m = 、n = ,所以6 m2+n2=49 36 85+ = 。故選(E)。 答案:(E) 10. 將一個正整數的各位數碼以相反的順序排列後,若所得的數與原來的數相 同,則稱這個數為回文數(例如 909 與 1221 都是回文數)。請問能被 9 整除 的三位回文數有多少個? (A)10 (B)12 (C)15 (D)20 (E)24 【參考解法 1】 設能被 9 整除的回文數為 aba,其中1  、0a 9  b 9。能被 9 整除的數的各位 數碼之和也能被 9 整除,反之亦然。因此a+ + =b a 2a+ 能被 9 整除。 b 當 2a b+ =27時,只有 999 一個數。 當 2a b+ =18時,有 585、666、747、828、909 等五個數。 當 2a b+ = 時,有 171、252、333、414 等四個數。 9 故符合要求的回文數共有1 5 4 10+ + = 個。故選(A)。

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【參考解法 2】 設能被 9 整除的回文數為 aba,其中1  、0a 9  b 9。能被 9 整除的數的各位 數碼之和也能被 9 整除,反之亦然。 當a = 時,只有 171 一個數。 1 當a =2時,只有 252 一個數。 當a = 時,只有 333 一個數。 3 當a =4時,只有 414 一個數。 當a = 時,只有 585 一個數。 5 當a = 時,只有 666 一個數。 6 當a = 時,只有 747 一個數。 7 當a =8 時,只有 828 一個數。 當a = 時,只有 909、999 二個數。 9 故符合要求的回文數共有 10 個。故選(A)。 答案:(A) 11. 已知正整數 n 與 24 的最大公因數為 2,且n + 與 24 的最大公因數為 3。請1 問 n 不能取下面哪一項內的值? (A)2 (B)14 (C)20 (D)38 (E)50 【參考解法】 由題意可知,n 可被 2 整除,但不可被 4 整除,只有選項(C)不符合;由n + 有1 因數 3 知 n 被 3 除之後的餘數為 2,知其它各選項符合此條件。故選(C)。 答案:(C) 12. 點 E 為 AD 中點、點 F 為 AC 中點,如下圖所示。已知三角形 ABF 的面積為 8 cm2、三角形 ADF 的面積為 6 cm2。請問三角形 BCE 的面積為多少 cm2? (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16 【參考解法】 由點 F 為 AC 中點知三角形 BFC 的面積與三角形 ABF 的面積相同,即為 8 cm2 三角形 DFC 的面積與三角形 ADF 的面積相同,即為 6 cm2;故四邊形 ABCD 的 面積為8 8 6 6+ + + =28 cm2。 因點 E 為 AD 中點,故知三角形 ABE 的面積為三角形 ABD 的面積之一半,即為 1 (8 6) 7 2 + = cm 2;三角形 CDE 的面積為三角形 ACD 的面積之一半,即為 1 (6 6) 6 2 + = cm 2;故三角形 BCE 的面積為28 7− − =6 15 cm2。故選(D)。 答案:(D) B A D C E F

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13. 在一個3 3 的方格表中塗黑三個格子,使得有兩個同行的黑色格子,但沒有 三個同行的黑色格子,且有兩個同列的黑色格子,但沒有三個同列的黑色格 子。請問總共有多少種不同的塗色方式? (A)6 (B)18 (C)36 (D)54 (E)72 【參考解法】 由條件知有一個黑色格子,它同行與同列各有另一個黑色格子。第一個黑色格 子的選取方法有 9 種,後兩個黑色格子的選取方法各有 2 種,故共有9 2 2 36  = 種塗色的方式。故選(C)。 答案:(C) 14. 在下圖中,八條直線段的長度都等於 1 m,三條虛線都是四分之一圓弧。請 問直線段的總長度與虛線的總長度之差是多少 m?(取 =3.14) (A)0.28 (B)0.72 (C)1.28 (D)1.72 (E)4.86 【參考解法】 易知直線段的總長度為 8 m、虛線的總長度為2 2 2 2 2 6.28 4 4 4  ++   = = m,故 兩者相差8 6.28 1.72− = m。故選(D)。 答案:(D) 15. 從3 4開始,每次操作是將分子加上 2,或是將分母加上 3,但不能同時加, 也不能對所得分數進行約分。請問至少操作多少次才能再度得到一個與3 4等 值的分數? (A)13 (B)17 (C)20 (D)26 (E)34 【參考解法】 假設分子加了 a 次 2,分母加了 b 次 3,則得3 2 3 4 3 4 a b + = + ,化簡得8a=9b,因此 滿足條件的最小的 a、b 為a = 、9 b = ,即至少需操作9 8 178 + = 次。故選(B)。 答案:(B)

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16. 已知 a、b、c、d 是連續的正整數,滿足1 1 1 1 1 1 1 36 45 a+ + + +b c d + = 。請問 a+ + +b c d的值是多少? (A)10 (B)12 (C)14 (D)16 (E)18 【參考解法】 由題意可得1 1 1 1 1 1 1 19 45 36 20 a + + + = −b c d − = 。注意到 a、b、c、d 是連續的正整數, 故1 1 1 1 1 1 1 1 4 a + + +  + + + =b c d a a a a a。所以 4 19 20 a  ,即 4 4 19 a  。又因為19 1 20 , 故 a>1。所以a = 、3 或 4。 2 當a = 時,2 1 1 1 1 30 20 15 12 77 1 19 2+ + + =3 4 5 60+ 60+60+ 60= 60   20,故不合; 當a = 時,3 1 1 1 1 20 15 12 10 57 19 3+ + + =4 5 6 60+ 60+60 +60 =60 = 20,滿足題意; 當a = 時,4 1 1 1 1 1 1 1 1 19 4+ + +  + + + =5 6 7 3 4 5 6 20,故不合; 所以a = 、3 b = 、4 c = 、5 d =6,故a+ + + = + + + =b c d 3 4 5 6 18。故選(E)。 答案:(E) 17. 用數碼 1、2、3、…、9 替換代數式a c d f g i b e h + + + + + 中的九個字母,每 個數碼恰各用一次,請問所得的最大結果為多少? (A)25 (B)312 3 (C) 2 33 3 (D) 5 33 6 (E) 1 34 6 【參考解法】 顯然 b、e、h 應當選最小的三個數,不妨設b = 、1 e = 、2 h = 。則 3 2 ( ) 2 3 2 3 c f i f i f i a d g a c d g a c d g f i b e h + + + + + = + + + + + = + + + + + − + 。 故應選i = 、4 f = (剩下四個數任意選擇)5 ,經計算知此時結果為335 6。故選(D)。 答案:(D) 18. 一隻螞蟻在平面上爬行,它從點 A 出發先爬行了 1 cm,然後右轉 60,接著 爬行 2 cm 並右轉 60,再爬行 3 cm 並右轉 60,接下來爬行 4 cm 並右轉60, 最後爬行 5 cm 抵達點 F。請問它的起點 A 與終點 F 之間的距離是多少 cm? (A)0 (B)3 (C)3 3 (D)6 (E)6 3

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可將此螞蟻的路徑移到三角形網格上,即可發現起點 A 與終點 F 之間的距離是 6 cm。故選(D)。 答案:(D) 19. 將所有真分數按照分母由小到大的順序排成一列,分母相同的按分子由小到 大順序排列,形成數列1 2、 1 3、 2 3 、 1 4 、 2 4、 3 4、 1 5、…。已知這個數列的 前 n 項的和是整數,請問 n 的值可能為下面哪一項內的數? (A)2015 (B)2016 (C)2017 (D)2018 (E)2019 【參考解法】 由於2016 1 2 3= + + + +63,故前 2016 項之和為 1 1 2 1 2 3 1 2 63 1 2 3 63 ( ) ( ) ( ) 1008 2+ 3+3 + 4+ +4 4 + + 64 +64+ + 64 = + + +2 2 2 + 2 = 。 易知其餘答案均不正確,故 n 僅可能為 2016。故選(B)。 答案:(B) 20. 將數 1、2、3、4、5、6、7、8 各一個排成一行,要求 1 與 2 之間有一個數, 2 與 4 之間有二個數,3 與 6 之間有三個數,4 與 8 之間有四個數。請問總 共有多少種滿足要求的不同排法? (A)12 (B)24 (C)36 (D)48 (E)60 【參考解法】 首先注意到 2 與 8 不能在 4 的兩側,否則 2 與 8 之間將有2 1 4+ + =7個數,不可能。 因此 2 與 8 在 4 的同側。 首先考慮 2 與 8 在 4 的右側的情況,此時排列形如 4ab2c8,1 只能放 a 的位置, 即為 41b2c8。 若 4 是左起第一個,則形如 41b2c8de,則 3 與 6 只能放在 b、d 位,有 2 種放法, 剩下 5 與 7 有 2 種放法; A B C D E F

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若 4 是左起第二個,則形如 d41b2c8e,則 3 與 6 只能放在 b、e 位,有 2 種放法, 剩下 5 與 7 有 2 種放法; 若 4 是左起第三個,則形如 de41b2c8,則 3 與 6 只能放在 b、d 位,有 2 種放法, 剩下 5 與 7 有 2 種放法。 因此全部的放法數為 (2 2 2 2 2 2) 2 24 +  +   = 種。故選(B)。 答案:(B) 21. 已知一個正整數既是 7 的倍數且是 3 的倍數,且在它的所有因數中,7 的倍 數的因數個數比 3 的倍數的因數個數多 1 個,請問這個正整數最小是多少? 【參考解法 1】 由題意,該數的因數中,不是 7 的倍數的因數比不是 3 的倍數的因數少 1 個。 設該數為 1 1 3 7 a ak k p p   ,則不是 7 的倍數的因數有(+1)(a1+1) (ak +1)個, 不是 3 的倍數的因數有( +1)(a1+1) (ak +1)個,故( − )(a1+1) (ak + =1) 1, 故k = 、0  = +1,因此這個正整數最小為3 7 =2 147。 【參考解法 2】 若該數不是 2 7 的倍數,則它恰有一半的因數為 7 的倍數。但該數至少有一半的 因數為 3 的倍數(每個不是 3 的倍數的因數都可以通過乘以 3 變成一個是 3 的 倍數的因數),矛盾。故該數是 2 7 的倍數,故此數最少為3 7 =2 147,經檢驗 147 滿足題目條件。 【參考解法 3】 易知該數為 21 的倍數,逐一試驗知 147 為最小的滿足條件的數。 答案:147 22. 已知 BC//AD、 BC=AC、 BA AD= 、 = C D如下圖所示。請問 BAC 的度數是多少? 【參考解法】

由條件知CBA= CAB、CBD= BDA= ABD

設 =  =C D x,則CAB= ABC=2x,故 2 2 180 x+ x+ x= ,解得x =36,故BAC=2x= 72 。 答案:072 23. 已知實數 a、b、c 滿足abc = 、1 a+ + =b c ab bc+ +ca=6,請問a3+ + 的b3 c3 值是多少? 【參考解法】 由條件得 (a−1)(b−1)(c− =1) abc−(ab bc ca+ + ) (+ + + − = 。 a b c) 1 0 因此 a、b、c 中至少有一個為 1,不妨設a =1,於是bc = 、1 b+ = 。 c 5 故 3 3 3 2 1 ( )(( ) 3 ) 111 a +b +c = + +b c b+cbc = 。 答案:111 24. 已知 a 是正整數,且2018 a− 也是正整數,請問2 2018 a− 最多有多少個不同2 的因數? A B C D

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由於 2018 除以 4 餘 2、除以 3 餘 2、除以 5 餘 3,而任何一個平方數除以 4 不可 能餘 2、除以 3 不可能餘 2、除以 5 不可能餘 3,故 2 2018 a− 最多只有一個 2 的 因數,且沒有 3 與 5 的因數。 由於 4 2 7 20182018 a− ,故2018 a− 最多只能有 3 個奇質因數(重複的也算)。 2 因此 2 2018 a− 最多只能有24= 個不同的因數。 16 而當a = 時,4 2018−a2 =2002=    有 16 個不同的因數。故所求為 16。 2 7 11 13 答案:016 25. 將一個8 8 方格表沿格線剪成若干個長方形(把正方形也視為長方形),使 得這些長方形的形狀都互不相同,且剪出的相異長方形越多個越好。請問最 多可以剪出多少個長方形? 【參考解法】 為了剪出更多的長方形,所以剪出的長方形面積要盡可能的小。面積為 1 的長 方形只有1 1 一種,面積為 2 的長方形只有1 2 一種,面積為 3 的長方形只有1 3 一種,面積為 4 的長方形有1 4 與2 2 兩種,面積為 5 的長方形只有1 5 一種, 面積為 6 的長方形有1 6 與2 3 兩種,面積為 7 的長方形只有1 7 一種,面積為 8 的長方形有1 8 與2 4 兩種,面積為 9 的長方形有1 9 與3 3 兩種(但是1 9 的 長方形不符合條件)。以上這些長方形為面積前十三小的長方形。由於 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9+ + + + + + + + + + + =63 8 8 64  = , 8 8 =64 1 2 3 4 + + + + + + + + + + + + =4 5 6 6 7 8 8 9 9 72, 故知最多可剪出十二個不同的長方形。下圖為其中一種剪法。 答案:012

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