7.1 Integration by Parts goo.gl/QRiic5 1
Chapter 7
Techniques of Integration
7.1
Integration by Parts, page 472
FX9qNzLurjY 第七章前四節是在 介紹積分技巧; 而 分佈積分法是探討 兩類型函數相乘的 積分處理法。 你會 看到這個公式的特 色在於等式的左邊 和右邊微分的函數 不同。 換言之, 這 個公式可以把微分 轉移到另一個函數 身上。 接下來會仔細討論 任兩類型函數的積 分, 到底該把誰看 成 u,該把誰看成 v, 這個方法是有 邏輯可循的, 所以 重點是要把當中的 邏輯學起來。
The rule that corresponds to the Product Rule for differentiation is called the rule for inte-gration by parts (分佈積分).
The Product Rule states that if f and g are differentiable functions, then d
dx(f (x)g(x)) = f (x)g
′(x) + g(x)f′(x).
In the notation for indefinite integrals this equation becomes Z (f (x)g′(x) + g(x)f′(x)) dx = f (x)g(x), or Z f(x)g′(x) dx + Z g(x)f′(x) dx = f (x)g(x).
So we can rearrange this equation as Z
f(x)g′(x) dx = f (x)g(x) −
Z
g(x)f′(x) dx. (1)
Formula (1) is called the formula for integration by parts.
Let u = f (x) and v = g(x), then the differentials are du = f′(x) dx and dv = g′(x) dx.
By the Substitution Rule, the formula for integration by parts becomes Z udv = uv − Z vdu. (2) 若遇到多項式與三 角 函 數 相 乘 的 積 分, 因為多項式微 分之後會降次, 降 到變成常數之後就 只剩下三角函數的 積分; 所以使用分 佈積分時, 先把三 角函數積分後放到 d 的右邊, 利用分 佈積分就可以把多 項式微分。
Example 1 (page 472). Evaluate Z xsin x dx. Solution. 3RH0T-cTxFs 對 數 函 數 的積 分, 直接使用分佈積分 法, 它已經分配成 R udv的型式了。
Example 2 (page 473). Evaluate Z
ln x dx.
2 7.1 Integration by Parts goo.gl/QRiic5
Example 3. Find the integral Z e 1 x(ln x)2dx. 若遇到多項式與對 數相乘的積分, 因 為 ln x 微分是 1 x, 所 以 使 用 分 佈積 分 時, 先 把 多項式積分後放到 d 的右邊, 分佈 積分後就可以將對 數函數微分。 注意 到, 先把多項式積 分將增加多項式的 次方, 似乎不利積 分的處理, 但是分 佈積分後對數微分 產生 1 x 會把次數 降一次, 所以情況 並沒有變糟。 Solution. A1cbaN6_o3g 若遇到多項式與指 數 函 數 相 乘 的 積 分, 因為多項式微 分之後會降次, 降 到變成常數之後就 只剩下指數函數的 積分; 所以使用分 佈積分時, 先把指 數函數積分後放到 d 的右邊, 在分佈 積分後, 就可以把 多項式微分。 Example 4. Evaluate Z xexdx. Solution. 若 遇 到 指 數 函 數 與 三 角 函 數 (sin x, cos x) 相 乘的積分, 因為這 兩類函數的微分都 有週期性 (和原函 數相關), 所以使 用 分 佈 積 分 的 時 候, 這兩種函數都 可以當成u 或v。 建議兩種變換的方 式都確實地操作一 次以清楚了解該原 理。
Example 5 (page 474). Evaluate Z
exsin x dx.
Solution.
7.1 Integration by Parts goo.gl/QRiic5 3
Example 6 (page 475). Evaluate Z tan−1xdx. 6Qqv9n1lUx4 反三 角 函 數 的 積 分, 直接使用分佈 積分法, 它已經分 配成 Rudv 的型 式了。 Solution.
反三角函數的積分, 直接用分佈積分法。 HJUoK6h5LYk 學過分佈積分法之 後, 就可以處理更 多的應用問題, 特 別是用柱殼法計算 旋 轉 體 體 積 的 時 候, 因為公式本身 會帶有 x, 只要函 數是不同於多項式 的函數, 確實處理 積分時就會用到分 佈積分法。Example 7. Consider the region R enclosed by the curves y = cos x and y = sin x, and 0 ≤ x ≤ π4. Find the volume of the solid obtained by rotating the region about the y-axis.
Solution. FRFcI1UbVis 這 個 例 題 看 似 平 凡 無 奇, 但 是 它 和著 名 的 布 豐 投 針 (Buffon’s Needle)相關,有 興趣者可以繼續網 路 搜 尋 相 關 資 訊。 注意函數與水平弦 相交時, x 的表示 法要會寫。
Example 8. Find the average of the horizontal chords in y = sin x, 0 ≤ x ≤ π. Solution.
4 7.2 Trigonometric Integrals goo.gl/YAj6qb
7.2
Trigonometric Integrals, page 479
qPiDTZQdBWY 這個單元要學習的 是三角積分, 有兩 種類型, 第一類要 處理的是sin x與 cos x 各種次方的 相乘之積分。 這裡 雖然用非常一般的 記號直接計算其結 果, 但是各位應該 要理解其原理: 只 要次方有一者是奇 數, 那就把一個丟 到 (積分) d 的 右手邊, 剩下的偶 數次方, 透過三角 恆等式 sin2x + cos2x = 1 就 可以變成以 sin x 或 cos x 為變數 的 「多項式」 積 分。 若兩者的次方 都是偶數, 那就用 半角公式讓次方減 半, 不斷減半的情 形下, 終究會讓某 個函數的次方變成 奇數。
In this section we use trigonometric identities to integrate certain combinations of trigono-metric functions.
Example 1 (page 481). Evaluate Z
sinmxcosnxdx, where m, n ≥ 0 are integers.
Solution. (a) If m = 2k + 1, then Z sinmxcosnxdx = Z sin2k+1xcosnxdx = = − Z
(1 − cos2x)kcosnxd cos x = − Z k
X
i=0
Cik1k−i(−1)icos2ixcosnxd cos x
= k X i=0 (−1)i+1Cik Z
cosn+2ixd(cos x) = .
(b) If n = 2k + 1, then Z sinmxcosnxdx = Z sinmxcos2k+1xdx = = Z
sinmx(1 − sin2x)kd sin x = Z
sinmx
k
X
i=0
Cik1k−i(−1)isin2ixd sin x
= k X i=0 (−1)iCik Z
sinm+2ixd sin x = .
(c) If m = 2k, n = 2l, then using the half-angle identities
sin2x= and cos2x= ,
we have Z sinmxcosnxdx = Z sin2kxcos2lxdx = Z 1 − cos 2x 2 k 1 + cos 2x 2 l dx = k X i=0 l X j=0 (−1)iCikCjl 2k+l Z cosi+j2x dx.
If i + j is odd, we reduce the integral to case (b). If i + j is even, we use half-angle identities again.
7.2 Trigonometric Integrals goo.gl/YAj6qb 5 Example 2. Evaluate Z sin4xdx. bhypCL8IpFA 以實例操作三角積 分。 Solution. 重新複習tan x的 積分; 另外也學 習 sec x 的積分, 這裡介紹的技巧非 常高超, 但式子很 短, 一下就得到結 果; 若你想要問是 否有一個不像這裡 介紹神來一筆的方 法, 會在單元 7.4 介紹。
Example 3 (page 482). Compute the integrals Z tan x dx and Z sec x dx. Solution.
上述方法太過技巧 (誰知道要乘什麼量), 但之後會學別的方式處理它 (想法比較自然)。 IeVPjbssxgA 第二類的三角積分 要處理的是 tan x 與 sec x 各種次 方 的 相 乘 之 積 分。 這 裡 雖 然 用 一 般 的 記 號 直 接 計 算 其結果, 但是各位 應 該 要 理 解 其 原 理: 若 secnx 的 次方是偶數, 或是 tanm x 的次方是 奇數, 那 就 用 變 數 變 換 以 及 三 角 恆等式 sec2x = 1 + tan2x 處理。 若 secnx 的次方 是奇數且 tanm x 的次方是偶數, 那 就要用分佈積分法 處理。Example 4 (page 482). Evaluate Z
tanmxsecnxdx, where m, n ∈ N.
Solution. (a) If n = 2k, k ∈ N, then Z tanmxsecnxdx = Z tanmxsec2kxdx = = Z
tanmx(tan2x+ 1)k−1d tan x = Z tanmx k−1 X i=0 Cik−1tan2ixd tan x = k−1 X i=0 Cik−1 Z
tanm+2ixd tan x =
k−1 X i=0 Cik−1 m+ 2i + 1tan m+2i+1x+ C. (b) If m = 2k + 1, k ∈ N, then Z tanmxsecnxdx = Z tan2k+1xsecnxdx = = Z
(sec2x− 1)ksecn−1xd sec x = Z k
X
i=0
Ciksec2(k−i)(−1)isecn−1xd sec x
= k X i=0 (−1)iCik Z
sec2(k−i)+n−1xd sec x =
k X i=0 (−1)iCk i 2(k − i) + nsec2(k−i)+nx+ C.
6 7.2 Trigonometric Integrals goo.gl/YAj6qb (c) If m = 2k, n = 2l + 1, then Im= Z tanmxsecnxdx = Z tan2kxsec2l+1xdx = Z
tan2k−1xsec2lxd sec x
=
= tan2k−1xsec2l+1x− Z
sec x(2k − 1) tan2k−2sec2xsec2lxdx
− Z
sec x tan2k−1x(2l) sec2l−1xsec x tan x dx
= tan2k−1xsec2l+1x− (2k − 1) Z tan2k−2sec2l+3xdx − 2l Z tan2kxsec2l+1xdx = tan2k−1xsec2l+1x− (2k − 1) Z
tan2k−2(tan2x+ 1) sec2l+1xdx
− 2l Z
tan2kxsec2l+1xdx
= tanm−1xsecnx− (m − 1)Im− (m − 1)Im−2− (n − 1)Im.
Hence we get Im= 1 m+ n − 1 tan m−1xsecnx − (m − 1)Im−2 ,
and the reduction formula will reduce the integral toR secnxdx =R sec2l+1xdx, l ∈ N.
Exercise (page 481). Evaluate Z
tan6xsec4xdx.
Exercise (page 482). Evaluate Z tan5xsec7xdx. o5VhiFO9Q0U 這裡還要介紹另一 種 型 式 的 三 角 積 分,是 sin mx與 cos nx 相乘的積 分, 只要用積化和 差公式就能立刻得 到結果。 這裡得到 的結果實際上和線 性 代 數 大 有 關 係, 它 告 知 向 量 空 間 C([−π, π]) 中會 有一組單位正交基 底, 而這是傅利葉 級數理論的開端。
Example 5 (page 484). Evaluate the following integrals:
Z sin mx cos nx dx; Z cos mx cos nx dx; Z sin mx sin nx dx.
Solution. Recall the following identities:
sin x cos y = 1
2(sin(x + y) + sin(x − y)) cos x cos y = 1
2(cos(x + y) + cos(x − y)) sin x sin y = −12(cos(x + y) − cos(x − y)).
7.2 Trigonometric Integrals goo.gl/YAj6qb 7 If m + n 6= 0 and m − n 6= 0, then Z sin mx cos nx dx = 1 2 Z sin((m + n)x) + sin((m − n)x) dx = Z cos mx cos nx dx = 1 2 Z cos((m + n)x) + cos((m − n)x) dx = Z sin mx sin nx dx = −12 Z cos((m + n)x) − cos((m − n)x) dx = In particular, 1 π Z π −π sin mx cos nx dx = 1 π Z π −π cos mx cos nx dx = 1 π Z π −π sin mx sin nx dx =
Hence {sin mx, m ∈ N and cos nx, n ∈ Z, n ≥ 0} form an “orthonormal basis” in the function space C([−π, π]).
8 7.3 Trigonometric Substitution goo.gl/rVGDN8
7.3
Trigonometric Substitution (page 486)
F7vn2FskLjw 根號內呈現變數平 方與數字平方的加 或減之積分都是屬 於 三 角 代 換 的 範 疇, 只要把它和三 角恆等式做完整地 對應即可。 注意到三角代換θ 的 範 圍, 是 為 了 要 「去掉絕對值」 而設定; 若選取 別 的 範 圍, 去絕 對值時必須補上負 號, 這樣做並不是 不行, 但是之後的 計算會容易把自己 困住。
Trigonometric identities are also useful to make substitutions for some radical functions. Table of Trigonometric Substitutions.
Expression Substitution Identity √ a2− x2 x= a sin θ, −π 2 ≤ θ ≤ π 2 1 − sin2θ= cos2θ √ a2+ x2 x= a tan θ, −π 2 < θ < π2 1 + tan2θ= sec2θ √ x2− a2 x= a sec θ, 0 ≤ θ < π 2 or π ≤ θ < 3π2 sec2θ− 1 = tan2θ
Example 1 (page 487). Find the area enclosed by the ellipse x
2 a2 + y2 b2 = 1. Solution. SddSCojKi-I 遇到根號內是二次 三項式的時候, 要 和配方法聯想, 配 方法在代數上的目 的是可以把一次項 消掉。
Example 2 (page 490). Find
Z x
√
3 − 2x − x2dx.
Solution.
Exercise (page 486). Evaluate Z √
9 − x2
7.3 Trigonometric Substitution goo.gl/rVGDN8 9
Example 3 (page 488). Find
Z 1
x2√x2+ 4dx.
Solution.
Exercise. Evaluate the integral Z 2 1 1 x2√1 + x2dx. ZBcB6VZLB3w 變數平方減常數平 方, 與 sec2θ − 1 = tan2θ聯想。
Example 4 (page 489). Find
Z 1 √
x2− a2 dx, where a > 0.
Solution.
Exercise. Find the integral
Z 2
x3√x2− 1dx, x >1.
Exercise. Evaluate the integral
Z x
√
x2+ 2x + 2dx.
Example 5 (page 490). Find Z 3 √ 3 2 0 x3 (4x2+ 9)32 dx. Solution.
10 7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT
7.4
Integration of Rational Functions by Partial
Frac-tions (page 493)
eMEE69427Sk 部份分式法是要處 理 有 理 函 數 的 積 分, 它會有標準程 序。 這裡將介紹基 本模型的積分該如 何處理。 這裡引用 了 最一 般 的 記 號, 只是為了論述的完 整, 看影片時, 必 須抓住的是處理積 分的原則, 不要被 太多符號困住。In this section we show how to integrate any rational function (a ratio of polynomials) by expressing it as a sum of simpler fractions, called partial fractions (部份分式).
Example 1. Discuss the integral Z
1
(ax + b)kdx, where k ∈ N.
Solution.
Example 2. Discuss the integral Z
Ax+ B
(ax2+ bx + c)k dx, where b
2− 4ac < 0, k ∈ N.
7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT 11
Integrate rational functions
Step 1: Perform the long division (
長除法
)7VboqkOquZc 部份分式法的第一 步驟是長除法, 若 分子的次數大於分 母, 則長除法過後 會有一部份是多項 式, 而多項式的積 分 就 很 容 易處 理。 剩下的部份是真分 式, 之後的三個步 驟都是在處理真分 式的積分。 第二步驟是將分母 因式分解, 由代數 的 理 論 得 知, 多 項式一定可以分解 成一些一次式與一 些二次三項式的乘 積。 第三步驟就是部份 分式法的重點, 根 據不同類型有不同 的拆解方式。 這裡 必須好好體會。 最後一步驟就是按 照前一個影片的方 法逐一積分。
Definition 3 (page 494). Consider a rational function f (x) = PQ(x)(x), where P (x) and Q(x) are polynomials.
(a) If the degree of P (x) is less than the degree of Q(x), such a rational function f (x) is called proper.
(b) If the degree of P (x) is greater or equal to the degree of Q(x), such a rational function f(x) is called improper.
If f (x) is improper, then we use the long division to get
f(x) = P(x)
Q(x) = S(x) + R(x) Q(x),
and R(x)Q(x) is proper.
Step 2: Factor the denominator Q(x) as a product of linear factors (ax + b) and irreducible quadratic factors ax2+ bx + c, b2− 4ac < 0. (
因式分解
)Step 3: Express the proper rational function Q(x)R(x) as a sum of partial fractions.
(
拆成部份分式
,不同類型有不同的拆解法
)Definition 4 (page 494). A rational function is called a partial fraction if it is of the form A
(ax + b)n or
Ax+ B (ax2+ bx + c)n.
(1) Q(x) is a product of distinct linear factors. That is,
Q(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) · · · (akx+ bk),
where no factor is repeated, then there exist constants A1, A2, . . . , Ak such that
R(x) Q(x) = A1 a1x+ b1 + A2 a2x+ b2 + · · · + Ak akx+ bk . For example, 2x 2− 3x − 1 x(x + 1)(x − 1) = , then
12 7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT
(2) Q(x) is a product of linear factors, some of which are repeated. Suppose the first linear
YQViTvWxu28
根據因式的次方在
做部份分式時, 拆
解的假設都不同。
factor (a1x+ b1) is repeated r times, then instead of the single term a1Ax+b1 1, we would
use A1 a1x+ b1 + A2 (a1x+ b1)2 + · · · + Ar (a1x+ b1)r . For example, 2x 2− x + 3 (x − 1)3 = .
(3) Q(x) contains irreducible quadratic factors, none of which is repeated. That is, Q(x) has the factor ax2+ bx + c, where b2− 4ac < 0, then the expression for R(x)Q(x) will have a term of the form
Ax+ B ax2+ bx + c,
and then we will use the formula Z 1 x2+ a2dx = 1 atan −1x a + C.
(4) Q(x) contains a repeated irreducible quadratic factor. If Q(x) has the factor (ax2+ bx +
c)r, where b2− 4ac < 0, then instead of the single partial fraction, the sum
A1x+ B1 ax2+ bx + c + A2x+ B2 (ax2+ bx + c)2 + · · · + Arx+ Br (ax2+ bx + c)r occurs in the R(x)Q(x). For example, x 3− x2+ 2x + 2 (x2+ 1)2 = .
7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT 13
Example 5 (Case (1)). Show that Z
sec θ dθ = ln | sec θ + tan θ| + C.
X_cw9yGJspA 我 並 沒 有 放 錯 例 題, 它的確是三角 函數的積分, 但它 可用部份分式法得 到結果。 這裡的想 法會比 7.2 介紹 的 方 法 容 易 理 解, 但是計算量稍大。 Solution. aSztwZ7Uyio 例題介紹第二類型 的部份分式該如何 處理。
Example 6 (Case (2)). Find the integral Z x2 + 3x + 2 x3− 3x + 2dx. Solution. _EPjrXUpVa8 例題介紹第三類型 的部份分式該如何 處理。
Example 7 (Case (3)). Evaluate the integral Z
2x2+ 5x + 3
(x2+ 2x + 2)(x − 1)dx.
14 7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT
Example 8. Find the integral
Z 2x + 1 (x2+ 1)2 dx. 3QtcrPI0zZk 例題介紹第四類型 的部份分式該如何 處理。 Solution.
Rationalizing substitutions, page 500
Some nonrational functions can be changed into rational functions by means of appropriate substitutions. In particular, when an integrand contains an expression of the form pg(x),n
then the substitution u = pg(x) may be effective.n
3_cTz440zNM 當積分的函數內部 有根號, 而且內部 不能用三角替換法 處理的時候, 可以 考慮直接把整個根 號令成變數u,有 時候它可以轉變成 對 u 而言的有理 函數, 那就再用部 份分式法處理。
Example 9 (page 500). Evaluate
Z √x+ 4 x dx. Solution.
7.4 Integration of Rational Functions by Partial Fractions goo.gl/obEQAT 15
Convert rational functions of sin x and cos x, page 502
0AOC8TAz7HI 所有以 sin x 與 cos x 為變數的有 理 函 數 積 分, 都 可以透過 「萬能公 式」 處理, 只要令 t = tan(x 2), 就 可以把積分變換成 以 t 為變數的有 理函數。 雖然這招 叫做萬能公式, 但 是處理過程非常繁 瑣, 所以不建議直 接使用, 在其他的 積分方法都想不出 來 的 情 況 下, 不 得已再使用這個大 絕。
The German mathematician Karl Weierstrass (1815-1897) noticed that the substitution t = tan(x2) will convert any rational function of sin x and cos x into an ordinary rational function of t. If t = tan(x 2), −π < x < π, then we have cosx 2 = √ 1 1 + t2 and sin x 2 = √ t 1 + t2.
By double-angle formula, we get
cos x = 1 − t
2
1 + t2 and sin x =
2t 1 + t2.
Furthermore, we can compute
dx = 2 1 + t2dt.
被積函數是 sin x與 cos x組成的有理函數, 可透過變數代換t= tan(x2) 處理。
Example 10. Find the integral Z π 2 0 1 2 + cos xdx. Solution.
16 7.5 Strategy for Integration goo.gl/Wro3rv
7.5
Strategy for Integration (page 503)
DqJHt2gnHsc 這一節回顧到目前 為止所學到的五種 積分技巧, 必須熟 悉。 關於這裡所列的積 分表, 我並沒有背 它, 我都是在遇到 問題時, 直接透過 變數變換的原則很 快速地改寫就能得 到結果。 有的時候一個函數 的積分處理方法有 很多種, 所以平時 應多看多試, 培養 起你對積分的各種 直覺等。
We have learned the following techniques to integrate a function: • Substitution rule, section 5.5. • Integration parts, section 7.1.
• Trigonometric Integrals 7.2. • Trigonometric substitution, section 7.3. • Partial fractions, section 7.4.
In this section, we present a collection of miscellaneous integrals in random and the main challenge is to recognize which technique or formula to use.
Table of Indefinite Integrals (page 503). Z 1 x2+ a2dx = 1 atan −1x a + C Z 1 √ a2− x2dx = sin −1x a + C, a > 0 Z 1 x2− a2dx = 1 2aln x− a x+ a + C Z 1 √ x2± a2dx = ln x+ p x2± a2 +C Once you are armed with these basic integration formulae, if you don’t immediately see how to attack a given integral, you might try the following four-steps strategy.
(1) Simplify the integrand if possible. Use algebraic manipulation or trigonometric identi-ties to simplify the integrand.
Z √ x(1 +√x) dx = Z tan θ sec2θdθ = Z (sin θ + cos θ)2dθ = jIjV4J7A0HM 有時候遇到有理函 數的積分, 不要急 著 用 部 份 分 式 法, 雖 然 它 有 標 準 流 程, 但是過程較為 繁瑣。 當分子與分 母之間的關聯互為 微 分 與 積 分 的 時 候, 那就可以直接 使 用變 數 變 換 法。 而分母是變數平方 減 常 數 平 方 的 形 式, 也可以嘗試用 三角代換處理。
(2) Look for an obvious substitution. Z x
x2− 1dx =
(3) Classify the integrand according to its form.
(a) Trigonometric function: product of powers of sin x and cos x, of tan x and sec x, or cot x and csc x.
(b) Rational functions: PQ(x)(x), where P (x) and Q(x) are polynomials.
(c) Integration by parts: product of a power of a polynomial and a transcendental function (trigonometric, exponential, or logarithmic).
7.5 Strategy for Integration goo.gl/Wro3rv 17
(d) Radicals: √±x2± a2, √n
ax+ b, or pg(x).n
(4) Try again: remember that there are basically only two methods of integration: substi-tution and parts.
(a) Try substitution: inspiration, ingenuity, desperation.
(b) Try parts: it is sometimes effective on single function, such as sin−1x, tan−1x,
ln x (inverse functions). (c) Manipulate the integrand:
Z 1
1 − cos xdx = =
(d) Relate the problem to previous problems. Z
tan2xsec x dx =
(e) Use several methods: substitution, integration by parts, etc.
I3Tl-0lJeqI 積 分 技 巧 千 變 萬 化, 微積分課程中 只學了其中五種技 巧, 而這些技巧可 以涵蓋的類型就非 常多了。 所以各位 現在開始應該盡量 著手思考如何處理 每個積分。
Example 1 (page 505). Compute
Z tan3x cos3x dx.
Solution.
Solution 2.
Example 2 (page 506). Compute Z
e√xdx.
18 7.5 Strategy for Integration goo.gl/Wro3rv
Example 3 (page 506). Compute
Z r 1 − x 1 + xdx. Solution.
Can we integrate all continuous functions?
5MMnk1hcWxA 想清楚不可積、 不 會積與積不出來的 差別。 不可積分是 定積分之黎曼和極 限不存在; 不會積 指的是個人的積分 能力不足; 積不出 來的意思是反導函 數無法表示成基本 函數的型式。 這裡 列出幾種積不出來 的函數。 對於積不出來的函 數, 有時我們還是 可以問它特定的積 分值, 因為它積不 出來, 所以不可能 把反導函數明確表 示出, 這時就要透 過其他的數學理論 去處理。
Definition 4(page 506). Elementary functions are all polynomials, rational functions, power functions, exponential functions, logarithmic functions, trigonometric and inverse trigonomet-ric functions, hyperbolic and inverse hyperbolic functions, and all functions that can be ob-tained from these by the five operations of addition, substraction, multiplication, division, and composition.
If f (x) is an elementary function, then f′(x) is an elementary function, butR f (x) dx need
not be an elementary function. For example,
(1) Z
p
1 − 2 sin2xdx: elliptic integral (橢圓積分), 它是計算橢圓弧長的積分表達式 (8.1 會 介紹如何計算曲線的長度)。 (2) √2 π Z x 0 e−t2dt: error function (誤差函數), 常用於機率統計 (常態分布) 與工程。 (3) Z sin(x2) dx, Z
cos(x2) dx: Fresnel integral (菲涅耳積分), 與誤差函數有關聯。
(4) Z
sin x x dx,
Z
cos(ex) dx: sine integral function (cosine integral function)。
(5) Z ex x dx: exponential integral (指數積分)。 (6) Z 1 ln xdx: logarithmic integral (對數積分)。 (7) Z p x3+ 1 dx: 此積分可以化簡成和橢圓積分有關。 雖然上述函數的積分無法表示成基本函數的型式, 但是有時代入特殊的上、 下限可以透過其他分析方 式(多變數微積分、 複變函數論、 微分方程) 等求得明確的數值。 例如: Z ∞ −∞ e−x2 dx =√π, Z ∞ −∞ sin(x2) dx =r π 2, Z ∞ −∞ sin x x dx = π.
7.8 Improper Integrals goo.gl/KtCsbM 19
7.8
Improper Integrals (page 527)
nYQsfBC-B_I 這一節要處理瑕積 分。 瑕積分有兩類, 首先要觀察的是積 分範圍是無窮的情 況, 因為在任何有 限的範圍內都可以 求定積分, 所以這 類瑕積分的定義就 是對範圍再取一次 極限。 若積分範圍是整個 實數軸 R,則將它 分成兩半形成兩個 瑕積分, 當確定各 別的瑕積分都存在 時, 才規定定義在 R上的函數瑕積分 收斂; 否則稱為發 散。
In this section we extend the concept of a definite integral to the case where the interval is infinite and also to the case where f has an infinite discontinuity in [a, b]. In either case the integral is called an improper integral (瑕積分).
Type 1: Infinite Intervals
Definition of an Improper Integral of Type 1 (page 528).
(a) If Rt
af(x) dx exists for every number t ≥ a, then
Z ∞ a f(x) dx = lim t→∞ Z t a f(x) dx pro-vided this limits exists (as a finite number).
(b) If Rb
t f(x) dx exists for every number t ≤ b, then
Z b −∞ f(x) dx = lim t→−∞ Z b t f(x) dx provided this limits exists (as a finite number).
The improper integrals R∞
a f(x) dx and
Rb
−∞f(x) dx are called convergent (收斂) if the
corre-sponding limits exists and divergent (發散) if the limit does not exist. (c) If bothR∞
a f(x) dx and
Ra
−∞f(x) dx convergent, then we define
Z ∞ −∞ f(x) dx = Z a −∞ f(x) dx + Z ∞ a f(x) dx
In part (c) any real number a can be used.
vTUfUp2Cz-8 這個基本模型必須 要徹底理解。 若用 面積的角度理解它 的話, p 的次數 要大, 區域面積才 可能有限。 而瑕積 分好壞的臨界點是 p= 1。
Example 1(page 530). Discuss the areas of the infinite region R under the curve y = x1p, p >
0 and to the right x = 1.
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Type 2: Discontinuous Integrands
swYJgvfbkoA 第二類瑕積分要處 理的是函數在某一 點衝到無限大的情 況。 這類瑕積分, 定義方式是在瑕點 的 附 近 選 擇 一 點, 那麼定積分就可以 處理, 然後再追問 這個點趨近於瑕點 的時候, 定積分的 極限是否存在。 這裡先定義單邊的 瑕積分, 而對於不 連續點的函數之瑕 積分, 必須確定左 極限與右極限瑕積 分都 必 須 存 在 下, 才規定整體的瑕積 分收斂, 否則稱為 發散。 對 於第 二 類 瑕 積 分, 也是必須想清 楚這 個 基 本 模 型, 若用面積的角度理 解它的話, p 的次 數要小, 區域面積 才可能有限。 而瑕 積分好壞的臨界點 是p= 1。
Definition of an Improper Integral of Type 2 (page 531).
(a) If f is continuous on [a, b) and is discontinuous at b, then Z b a f(x) dx = lim t→b− Z t a f(x) dx if this limits exists (as a finite number).
(b) If f is continuous on (a, b] and is discontinuous at a, then Z b a f(x) dx = lim t→a+ Z b t f(x) dx if this limits exists (as a finite number).
The improper integralsRb
af(x) dx is called convergent (收斂) if the corresponding limits exists
and divergent (發散) if the limit does not exist.
(c) If f has a discontinuity at c, where a < c < b, and both Rc
af(x) dx and
Rb
c f(x) dx
convergent, then we define Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx.
Example 2 (page 535). Discuss the areas of the region R under the curve y = x1p, p >0, and
between x = 0 and x = 1. Solution. Rvet_Spm_r4 多數同學在學習這 個單元的時候, 會 被怎麼一下 p > 1 一下又 p < 1 困住, 實際上這兩 類的瑕積分與標準 模型彼此是互相等 價的。 只要透過圖 形的理解, 就能清 楚地知道兩者的關 係, 這樣就不會被 瑕積分的收斂條件 困惑住。
Example 3. Compare Example 1 with Example 2. Solution.
7.8 Improper Integrals goo.gl/KtCsbM 21
A Comparison Test for Improper Integrals
7wJB_9smHU4 對於複雜函數的瑕 積分, 我們在意的 是它是否收斂或發 散, 而不是追問其 明確的積分值。 判 定 瑕積 分 的 好 壞, 可以用比較判別法 處理: 設法找到一 個較 為 容 易 的 函 數, 兩者有大小關 係, 而且簡單的函 數的瑕積分可以知 道收斂或發散, 那 就可以得到複雜函 數的瑕積分收斂或 發散。
Comparison Theorem (page 533). Suppose that f and g are continuous functions with f(x) ≥ g(x) ≥ 0 for x ≥ a. (a) IfR∞ a f(x) dx is convergent, then R∞ a g(x) dx is convergent. (b) IfR∞ a g(x) dx is divergent, then R∞ a f(x) dx is divergent.
定理的條件 「f(x) ≥ g(x) ≥ 0」,函數 「非負」 是必要的。 定理敘述中 「for x ≥ a」 可以改成 「for some x ≥ b, b ≥ a」。x x
y y
Figure 1: Comparison Theorem.
Example 4.
(a) Find the values of α for which the improper integral Z ∞
1
1
xα(1 +√x)dx converges.
(b) Evaluate the integral Z π
0
sec2xdx.
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Example 5 (page 535). Let In=
Z ∞
0
xne−xdx. Find the reduction formula.
cPjncIHOUz8 這個函數與伽瑪函 數相關 (Gamma function), 它是 一個把階乘連續化 的過程。 Solution. Example 6 (page 535). MoU_SKXztCQ 當 x 很大的時候 對數函數比任何冪 次函數都還要跑得 慢; 所以跟冪次函 數借一點點去吸收 對數, 就可以得知 其收斂的條件。
(a) Determine the values of α > 0 such that Z ∞
1
ln x
xα dx is convergent.
(b) Find the integral Z ∞ 1 ln x x3 dx. Solution. PtYMevi1y30 瑕積分的問題, 首 先要確定瑕點在哪 裡, 是無窮遠或是 某個特別的點, 再 針對它是第一類或 第二類瑕積分處理 它是 收 斂 或 發 散。 這個例題是可以確 實透過積分的方式 處理瑕積分的值。
Example 7. Evaluate the improper integral Z 2
0
px(2 − x) x dx. Solution.
