函數的變換

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1 函數(functions)與

模型(models)

1.3 ^{從已知函數定義新函數}

函數的變換

函數的變換

想像我們將函數圖形作一些變換，只要仍滿足鉛直線的條 件，則新的圖形也會是某些函數的圖形。因此，當我們遇 到類似的圖形時，便可反過來巧妙地推得這些類似圖案的 函數或方程式。

首先我們先考慮圖形的平移 (translation) 。假設 c 為一正 數，則 y = f(x) + c 的圖形，便會在 y = f(x) 的圖形上方 c 單位之處，原因是前者的 y 座標都比原來的 f(x) 還要多 c 單位。

函數的變換

同樣的道理，若 g(x) = f(x – c) ，其中 c 為一正數。則 g 在 x 的值與 f 在 x 左邊 c 單位處的值相同。

此時 y = f(x – c) 的圖形，

便是將 y = f(x) 往右移 c 單 位長。

考慮 c 的正負號，共四種 平移方式，可參考右圖。

圖一

f 圖形的平移

函數的變換

整理一下四種位移：

接著我們考慮伸縮 (stretching) 與反射 (reflecting) 。考慮 c > 1 ，此時 y = cf(x) ，其 y 座標值為原先 y = f(x) 的 c 倍。

因此其圖形為原先圖形沿垂直方向伸長 c 倍。

若 c < 1 ，則是縮短。

[函數圖形的水平與垂直位移] 給定 c > 0 ，給定函數 f 。 y = f(x) + c 的圖形，為 y = f(x) 的圖形上移 c 單位；

y = f(x + c) 的圖形，為 y = f(x) 的圖形左移 c 單位；

y = f(x) – c 的圖形，為 y = f(x) 的圖形下移 c 單位；

y = f(x – c) 的圖形，為 y = f(x) 的圖形右移 c 單位。

若 c < 0 ，例如 y = -f(x) ，其座標值剛好是原先相差一個負 號，若 (x, y) 落在 y = f(x) 圖形上，則 (x, -y) 將落在 y = -f(x) 上，因此 y = -f(x) 圖形會與原先

之圖形對 x 軸對稱。

同理， y = f(-x) 是對 y 軸做對稱 假設 c > 1 。

右圖列出了伸長 c 倍，縮短 1/c 倍，對 x 軸做對稱，對 y 軸做 對稱四種圖形。

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圖二

f 圖形的伸縮與反射

函數的變換

同樣整理一下函數的伸縮與反射：

註：注意到 c 乘在 f 裡面是剛好相反的結果。

y = f(cx) 的圖形是縮短 c 倍，例如 y = f(2x) 是圖形沿水 平縮短兩倍。理由是若 (x, y) 在 y = f(x) 的圖形上，

則 (x/2, y) 會落在 y = f(2x) 之圖形上。

[函數的水平/垂直伸縮、反射] 給定 c > 1 ，則

y = cf(x) 之圖形，為 y = f(x) 圖形沿垂直方向伸長 c 倍；

y = 1/c f(x) 之圖形，為 y = f(x) 圖形沿垂直方向縮短 c 倍；

y = f(cx) 之圖形，為 y = f(x) 圖形沿水平方向縮短 c 倍；

y = f(x/c) 之圖形，為 y = f(x) 圖形沿水平方向伸長 c 倍；

y = -f(x) 之圖形，為 y = f(x) 圖形對 x 軸做反射；

y = f(-x) 之圖形，為 y = f(x) 圖形對 y 軸做反射。

函數的變換

下圖三我們實際來看 cos 函數的伸縮，左圖是垂直伸縮兩倍

、右圖是水平伸縮兩倍。

圖三

函數的變換

若我們想得到 y = 2cos x 的圖形，便是將 y = cos x 圖形的 每一點的 y 座標乘上兩倍。

也就是最後 y = 2cos x 的圖形，就是 y = cos x 沿著垂直方 向伸長兩倍。

其它三種伸縮變換也可以實際參考上圖。

給定圖形 試利用函數的位移變換得下列函數圖形：

解:

下圖 (a) 為 之圖形。 (b) 是下移兩單位 (c) 是右移兩單位。

範例一

圖四

範例一 / 解

(d) b 是將圖形對 x 軸做反射。

(e) 是將圖形沿著垂直方向作兩倍的伸長。

(f) 是將圖形對 y 軸做反射。

圖四

cont’d

函數的變換

還有一種有趣的變換是取絕對值。

考慮 y = |f(x)| ，我們根據絕對值的定義，有 當 f(x) ≥ 0 ，則 y = f(x)

當 f(x) < 0 ，則 y = –f(x) 。

因此這告訴我們，將原本 y = f(x) 在 x 軸上方的圖形保留，

而在 x 軸下方的圖形，也就是 f < 0 的部分，對 x 軸作對稱 得到 y = -f(x) 。

最後便可以得到 y = |f(x)| 。

函數的合成

函數的合成

給定兩個函數 f 跟 g，我們可以藉由四則運算得到新的函數 f + g , f – g, fg 以及 f/g (當 g 不為 0) 。

函數的四則運算都是由其值的運算結果所定義：

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x)

但其值要相加減，我們必須要求 x 同時在 f, g 的定義域中。

因此函數運算後的新定義域，便是原先各自定義域的交集：

例如, 例如 的定義域為 A = [0, ) ，而

的定義域為 B = ( , 2] ，因此取交集後，

我們可以知道 的定義域為

A ∩ B = [0, 2] 。

函數的合成

同樣，函數相乘與相除，也是由其值相乘除後的值來定義：

同樣的道理， fg 之定義域為 A ∩ B ，而由於除法除以 0 沒 有定義因此 f/g 之定義域為 {x  A ∩ B | g(x)  0} 。

實際舉例說明，給定 f(x) = x² 及 g(x) = x – 1 ，則比值函數 (f/g)(x) = x²/(x – 1) 之定義域為 {x | x  1} ，或者我們寫成 ( , 1) U (1, ) 。

函數的合成

另一種得到新的函數的方式是迭代，例如 y = f(u) = ， 且 u = g(x) = x² + 1 。

由於 y 是 u 的函數， u 同時也是 x 的函數，因此給定 x ， 可以得到 u 再來決定 y 的函數值，因此 y 是 x 的函數。

我們利用代換得到 y 對 x 的函數表示：

y = f(u) = f(g(x)) = f(x² + 1) =

這種透過函數迭代得到新函數的方式，我們稱為函數的合成 (composition of functions) 。

函數的合成

一般而言，給定任意兩函數 f, g ，我們從 g 的定義域挑選 一點 x 開始，計算得到 g(x) 之值。若 g(x) 落在 f 的定義域 之中，這時我們才可以計算得到 f(g(x)) 的值。

於是這個透過 f, g 迭代而成的新函數 h(x) = f(g(x)) ，我們 稱為 f 跟 g 的合成，記作 f _ g （而念作 “f circle g”）。

其定義即為 f _ g(x) = f(g(x)) 。

函數的合成

f _ g 的定義域即為，在 g 的定義域中滿足 g(x) 在 f 的定義域 中的所有 x 。

換言之 (f _ g)(x) 有意義，必須要 g(x), f(g(x)) 代入的值同時有意義。

右圖解釋了合成函數的黑箱過程。

圖十一

f _g 黑盒子，是由先通過 g 這個黑盒子 再通過 f 這個黑盒子所組成。

範例六

給定 f(x) = x² 及 g(x) = x – 3 ，求合成函數 f _ g 與 g _ f 。 解:

我們直接代入計算可得：

(f _ g)(x) = f(g(x)) (g _ f)(x) = g(f(x))

= f(x – 3) = (x – 3)²

= g(x²) = x² – 3

函數的合成

注意到合成函數的符號 f _ g 表示這個函數作用的過程是，先 經過 g 的作用，再通過 f 的作用。

在前述的範例六當中，兩個函數得作用分別是： f 為平方，

g 為減三。因此 f _ g 就是先減三再平方的函數， g _ f 就是 先平方再減三。

了解先後作用的順序之後，我們甚至可以合成三個或者更多 函數。例如合成函數 f _ g _ h ，就是先經過 h 作用，再經過 g ，最後再經過 f ：

(f _ g _ h)(x) = f(g(h(x)))