布朗運動時顆粒體的能量均分現象
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(2) 致謝 兩年半的時間轉眼即逝，首先感謝中研院杜其永老師對我非常有耐心，細心 的教導，總是能讓我獲益良多，特別是有關於程式方面和硬體設備方面的知識。 接下來我要感謝我的指導教授師範大學黃仲仁老師，黃老師教了我作為一個研究 生，或是做學問需要有的專業、嚴謹的態度，就算我以後不走學術，從黃老師身 上或在師範大學軟物質實驗室學到的所有東西對於我來說也是受用一輩子的，珍 貴的財產，無法把碩一進行到一半的表面張力儀和相關工作完成一直是我最大的 遺憾。 我也要感謝我實驗室的許多好同學們，駿仁和璋駿對於物理知識方面提供了 我很多幫助，幫助我突破的許多實驗上的困境，誼謙對於我生活，學業遇到的許 多困難，總是可以幫我想到好的解決方法。哲豪對於我看事情的角度，研究態度 方面有很多啟發，純安是唯一跟我同屆的夥伴，遇到實驗上的挫折時，都會替我 打氣。沒有你們在兩年半的時光帶給我快樂和鼓勵我前進，我無法順利完成學業。 我還要感謝我的父母和家人，在這兩年半的時間裡不斷支持和鼓勵我，讓我可以 無後顧之憂的完成學業。最後特別感謝張宜仁教授能在百忙之中抽空前來擔任我 的口試委員，也提出了許多寶貴的意見，使這篇論文更加的完整。.
(3) 摘要 我們研究宏觀下被釐米大小的顆粒氣體(視為分子)所環繞的物體(公分大小)之 布朗運動(Brownian motion)行為，當振動台給予系統垂直振動時，我們利用高速 攝影技術來追蹤物體在水平面之位置、速度、方向及角速度。藉由這些影像，我 們測量物體在水平面之兩個方向的移動及轉動的平均動能，令人驚訝的是，我們 發現在誤差範圍下物體的移動自由度和轉動自由度的平均動能是相同的，即在非 平衡態下的顆粒體系統中物體是遵守能量均分定律的。之後，我們做了二維分子 動力學模擬，但是發現除非粒子的表面極度粗糙否則粒子無法有能量均分現象。. 關鍵字 : 顆粒體,能量均分,布朗運動. i.
(4) Abstract We study the Brownian motion of a macroscopic (centimeter size) granular object surrounded by a granular gas composed of millimeter size spheres acting as the molecules. While the system is vibrated vertically by an electromagnetic shaker, we use a fast camera to capture the temporal variations of the horizontal position and the orientation from above. From the captured image sequences, we manage to measure the translational and the rotational velocities in the horizontal plan. Suprisingly, we find that the average kinetic energies carried by the translational degrees of freedom and the rotational degree of freedom of the disk are the same within experimental uncertainty. Hence energy equipartition is found to valid even for nonequilibrium granular systems. We find granular object obey Equipartition law. Then, we do the two dimentional molecular dynamic simulation and we find granular object won’t obey Equipartition law unless the granular object surface is extremely rough.. Keywords : granular, equipartition, Brownian motion. ii.
(5) 目錄 摘要......................................................................................................................................................... i Abstract .................................................................................................................................................. ii 目錄....................................................................................................................................................... iii 圖、表目錄............................................................................................................................................ v 第一章 緒論.......................................................................................................................................... 1 1-1 顆粒體.................................................................................................................................... 2 1-1-1 顆粒體介紹................................................................................................................ 2 1-1-2 顆粒氣體.................................................................................................................... 3 1-1-3 顆粒氣體的能量均分問題........................................................................................ 5 1-2 目標和計畫............................................................................................................................ 7 1-2-1 實驗方法..................................................................................................................... 7 1-2-2 論文大綱..................................................................................................................... 8 第二章 實驗........................................................................................................................................ 10 2-1 實驗過程.............................................................................................................................. 11 2-1-1 實驗步驟.................................................................................................................. 11 2-1-2 轉動慣量、碰撞系數、摩擦係數量測.................................................................. 12 2-2 實驗數據分析....................................................................................................................... 14 2-2-1 影像、數據分析...................................................................................................... 14 2-2-2 位置和速度變化...................................................................................................... 15 2-2-3 能量統計時間.......................................................................................................... 16 2-3 顆粒布朗物體的和顆粒氣體的速度分布.......................................................................... 17 2-4 顆粒布朗物體的平均能量................................................................................................... 18 2-4-1 顆粒布朗物體遵守能量均分.................................................................................. 18 2-4-2 振動強度不影響能量均分...................................................................................... 18 2-4-3 質量和大小不影響能量均分.................................................................................. 19 2-5 實驗結論.............................................................................................................................. 19 第三章 分子動力學模擬.................................................................................................................... 21 3-1 系統設置............................................................................................................................... 22 3-1-1 碰撞模型.................................................................................................................. 22 3-1-2 溫度調節.................................................................................................................. 24 3-1-3 蛙跳積分法.............................................................................................................. 25 3-1-4 無因次單位.............................................................................................................. 26 3-1-5 細節處理.................................................................................................................. 27 3-1-6 系統測試.................................................................................................................. 28 3-2 模擬結果............................................................................................................................... 29 iii.
(6) 3-2-1 顆粒布朗物體能量不均分...................................................................................... 29 3-2-2 改變垂直碰撞係數 系統能量不均分.................................................................. 30 3-2-3 改變摩擦係數 對平均能量的影響 ..................................................................... 30 3-3 模擬結論............................................................................................................................... 30 第四章 討論與結論............................................................................................................................ 32 參考資料.............................................................................................................................................. 61 附錄:程式............................................................................................................................................ 63 gif2xyat...................................................................................................................................... 63 do.060302.s................................................................................................................................ 66 m.c................................................................................................................................................ 68 m.h................................................................................................................................................ 77 m0.h.............................................................................................................................................. 79 m1.h.............................................................................................................................................. 81 m.in.............................................................................................................................................. 85 do.m.s.......................................................................................................................................... 85. iv.
(7) 圖、表目錄 圖 2-1 實驗儀器圖...................................................................................................................... 34 圖 2-2 顆粒布朗物體結構示意圖.............................................................................................. 35 圖 2-3 實驗儀器架設圖.............................................................................................................. 36 圖 2-4 轉動慣量測量圖.............................................................................................................. 37 圖 2-5 碰撞係數、摩擦係數量測示意圖.................................................................................. 38 圖 2-6 顆粒布朗物體影像分析圖.............................................................................................. 39 圖 2-7 計算顆粒布朗物體速度示意圖...................................................................................... 40 圖 2-8 顆粒氣體位置、速度分析圖.......................................................................................... 41 圖 2-9 顆粒布朗物體位置分布圖.............................................................................................. 42 圖 2-10 顆粒布朗物體位置、角度隨時間變化圖:.................................................................. 43 圖 2-11 粒布朗物體速度隨時間變化圖:.................................................................................. 44 圖 2-12 顆粒布朗物體的能量變化............................................................................................ 45 圖 2-13 顆粒布朗物體能量自相關圖........................................................................................ 46 圖 2-14 顆粒布朗物體、顆粒氣體速度的機率分布圖............................................................ 47 圖 2-15 顆粒布朗物體和顆粒氣體能量分布機率圖:............................................................. 48 圖 2-16 不同振動強度 的圓形顆粒布朗物體平均能量圖 .................................................... 49 圖 2-17 不同形狀顆粒布朗物體能量分布................................................................................ 50 表 2-1 圓盤顆粒布朗物體參數和結果...................................................................................... 51 圖 3-1 分子動力學模擬能量自相關函數圖.............................................................................. 52 圖 3-2 顆粒體碰撞示意圖.......................................................................................................... 53 圖 3-3 分子動力學模擬初始情況示意圖.................................................................................. 54 圖 3-4 顆粒氣體和顆粒布朗物體速度分布圖.......................................................................... 55 圖 3-5 顆粒氣體和顆粒布朗物體能量分布圖.......................................................................... 56 圖 3-6 平均動能隨碰撞係數 的變化 ..................................................................................... 57 圖 3-7 平均動能隨摩擦係數 的變化 ..................................................................................... 58 表 3-1 單位對應表..................................................................................................................... 59 表 3-2 模擬參數表..................................................................................................................... 60. v.
(8) 第一章 緒論 在熱平衡系統中，運動中的物體有能量均分(equipartition)的現象對我們來說 並不陌生。假設我們讓半徑約 10 微米或更小的固體粒子或是液滴散佈在液體介 質中，這種系統被稱為膠體溶液[1]。膠體溶液大家生活上處處可見，例如工業或 建築業上常用的墨水和油漆，我們常食用的美乃滋、冰淇淋、牛奶，或我們自身 的血液都屬於膠體溶液。在膠體溶液中粒子受到液體分子的碰撞，會進行連續、 快速而不規則的隨機運動，這就是著名的布朗運動(Brownian motion)。這種現象 最早是西元 1852 年，英國的植物學家利用顯微鏡觀察到懸浮水中的花粉而發現。 我們可以將液體分子的碰撞想像成來自隨機方向的擾動力，而粒子必須回應這些 擾動力，因此產生布朗運動的現象。布朗運動中的物體其能量分布機率可以表示 為波茲曼分布，計算其平均動能後，我們可以發現這種布朗運動中的物體會遵守 能量均分定律[2]，意即物體的每個自由度會得到相同的平均動能。但是當粒子 處在非平衡態時，例如顆粒體(granular)系統。一大群顆粒體在有外加能量供給時 互相碰撞，因為有能量耗散，能量的機率分布形式並不會是波茲曼分布，因此不 一定會有能量均分的現象，我們希望對這個問題更進一步的探討。 在本章 1-1 章節會介紹顆粒體的特性、顆粒氣體(granular gases)系統，還有 對於顆粒氣體系統是否有能量均分現象的這個問題，前人的研究成果。在 1-2 章 節會說明我們的主要問題: 若一個物體被放置在顆粒氣體系統中，它不處於熱力 1.
(9) 學平衡狀態，處於非平衡穩定狀態。根據統計力學的概念，對於它的每個自由度 的平均動能而言，是否存在能量均分?. 1-1 顆粒體 1-1-1 顆粒體介紹 顆粒體在我們日常生活上隨處可見。舉凡鹽，砂糖，粉塵，沙子等等，日常 生活中的食品，藥品，這些顆粒最小可以小到 1 微米，最大可以大到像星體中的 小行星帶，上述物質都可被歸類為顆粒體。顆粒體物質在靜態地心引力下行為主 要受到流體力學和摩擦力的影響，在運動過程中，顆粒體間彼此的碰撞是非彈性 碰撞，碰撞之後能量會散失。即能量藉由顆粒間的碰撞，振動等等因素變成熱。 在一大群顆粒體所形成的系統中，顆粒體透過顆粒之間的摩擦力將力傳播出去。 這和一般的固體、流體和氣體不相同。因此顆粒體可以像固體一樣承受應力，也 可以像液體一樣的流動，隨著不同容器改變形狀。顆粒體的研究應用方面相當多。 例如礦物、粉末的運輸過程、地質研究、食品製造，甚至自然現象，土石流、山 崩、雪崩等都屬於顆粒體的研究範圍[3]。 在運動中的顆粒體，溫度的定義跟一般流體和氣體不一樣，顆粒體系統中溫 度定義為顆粒溫度(granular temperature)。在物體運動的時候顆粒溫度為正值，顆 粒不動時，其顆粒溫度為零。顆粒的速度分成兩部分，第一部分是粒子的平均速 度 u ，另外一部分是由不穩定擾動所造成的速度 u' 。顆粒的擾動來自於顆粒 2.
(10) 和顆粒、顆粒和邊界、或顆粒的間係介質之間的作用力。在擾動下，假設顆粒體 的質量為 m ，顆粒溫度 T 可以定義為: ⟨𝑢′2 ⟩ 𝑇=𝑚 2. (1.1). 因此顆粒溫度 T 代表顆粒溫度的擾動平均動能，其單位為能量的單位焦耳。. 1-1-2 顆粒氣體 若顆粒體相對於其他顆粒都是靜止狀態，此時系統顆粒溫度為零，這些顆粒 體可以看成固體。但是假設提供這些顆粒外加能量，讓它們開始運動並互相碰撞， 這些顆粒就會展現出流體的性質。如果外加能量很高讓他們頻繁的產生碰撞，這 些顆粒就可以產生氣體的行為，我們稱這種系統為顆粒氣體。要觀察顆粒氣體系 統最簡單的方法是將顆粒體放在振動台上，振動台用一個恆定的振幅 A0 和頻率 f 做垂直振動，其位置 z 可以寫成時間 t 的函數即 z(t ) A0 sin(t ) ， 是振動角頻率. 2f 。我們可以定義振動強度 A0 2 / g ，是一個無因次的加速度。振動台振 動時在端點的加速度為 a A0 2 ，若是 a g 即 1時，因為端點速度小於重力加 速度，顆粒體不會跟振動台分離，所以顆粒無法像流體或氣體一樣自由移動。若 1時，顆粒體將會和振動台分離並與振動台底部碰撞，產生流體化的現象。T.. Wang 和 K. To 說明了為何垂直的震動方向會產生水平速度，他們將一群顆粒氣 體放在類二維圓形盒子下做垂直振動，容器的高只有顆粒直徑的數倍大小。他們 發現球與球之間產生非彈性碰撞時，根據碰撞的角度不同，球會產生不同的水平 3.
(11) 方向的速度[4]。此外，此時的顆粒氣體有類似於布朗運動的擴散現象(diffusion)。 W. Chen 和 K. To 觀察一群在類二維盒子中的顆粒氣體，發現顆粒氣體有自我擴 散的行為，並且和顆粒氣體的密度有關。他們提出這種擴散行為在系統中主要受 到兩種機制，分別是球與盒子和球與球彼此之間的碰撞所影響[5,6]。而 K. To 也 製作了特殊形狀的顆粒，例如正四面體、立方體等等。在三種不同形狀的底板的 運動，求出顆粒體對應的運動方程式來解釋顆粒體在不同底板的運動和擴散行為 [7]。 進行布朗運動中的物體的速度機率分布可以表示成馬克斯威爾分布或高斯分 布(Gaussian distribution)，但顆粒氣體系統則不是。根據 J. S. van Zon 和 F. C. MacKintosh 研究稀疏的顆粒體系統在振動台下的速度機率分布，發現不是高斯 分布，而是拉伸指數函數(stretched exponential function) [8]，其機率 P(v) 可以被 表示為: 𝑃(𝑣) = 𝑃0 𝑒. −𝐴|. 𝑣 𝛿 | 𝑣0. (1.2). A 為常數， P0 為速度為零的機率， v0 為方均根速度， 為指數項，而指數項的範圍. 是 1.5 2， =2的情況即為高斯分布。這個指數項跟顆粒體的碰撞係數和平均碰 撞時間有關。經由F. Rouyer和N. Menon測量在垂直二維平面的玻璃珠的速度分布， 與其它文獻得到同樣的結果，發現指數項 趨近於1.5[9,10]。J. S. Olafsen和J. S. Urbach研究單層顆粒物質在垂直振動下的情形，當振動台為高振幅時顆粒體的速 度分布會趨近於高斯分布，也就是說指數項 會趨近於2[11]。而G.W. Baxter和J. 4.
(12) S. Olafsen 將兩層的球放在振動台下振動，發現上層球的速度偏向高斯分布，類 似理想氣體的行為，原因是上層球的能量來源是跟下層的球碰撞所獲得，並不是 直接跟振動台接觸所得，所以跟前人做的實驗結果不太相同[12]。. 1-1-3 顆粒氣體的能量均分問題 對於顆粒體能量均分的問題研究一直有很多爭議。K. Feitosa 和 N. Menon 提 出若將同大小不同質量的兩種顆粒混合放在在振動台下振動，兩種顆粒最後會得 到不同的顆粒溫度，此結果違反熱力學第零定律。即對於兩種顆粒而言，它們並 不會獲得相同的溫度，能量均分定理是無效的。同時他們發現兩種物質顆粒溫度 的比值跟質量比有很大的相關[13]。相反的兩種物質所佔比例，以及振動台的振 動強度和顆粒所佔密度對兩種物質的溫度比例影響不大。但是 K. Nichol 和 K.E. Daniels 將兩種不同大小的顆粒懸浮在氣墊上，計算它們自身的移動和轉動動能 卻發現它們會達到能量均分，並且兩種顆粒的速度分布相同，為前述拉伸指數函 數的形式[14]，這告訴我們雖然兩種顆粒得到的溫度不相同，但是它們的自身每 個自由度的移動跟轉動動能卻是一樣的，即能量會均分。不過之前 S. McNamara 和 S. Luding 提出一個理論模型，單一種顆粒體物質不管有沒有受外力驅動，除 非滿足特定條件，否則不會得到能量均分的結果[15]，並用程式模擬證明他們的 推測。因為之後會跟實驗結果做比較，因此在這裡簡述他們的模型。. 5.
(13) 假定顆粒體系統中有 N 個粒子，定義 Et 為平均每個粒子每個自由度的移動 動能， Er 為平均每個粒子每個自由度轉動動能: 𝑁. 1 𝑚 ⟨𝐸𝑡 ⟩ = ∑ 𝑣𝑖 2 𝑁𝑓𝑡 2. (1.3). 𝑖=1. 𝑁. 1 𝑚𝑞 2 2 ⟨𝐸𝑟 ⟩ = 𝑎 𝜔𝑖 ∑ 𝑁𝑓𝑟 2. (1.4). 𝑖=1. m 為粒子質量，a 為半徑， q 是轉動慣量係數，假設轉動慣量為 I ，粒子半徑為 a ，. 則 I qma2 ， vi 為第 i 個粒子的速度， i 為第 i 個粒子的角速度， D 為維度，因此移 動的自由度 f t D ，轉動的自由度 f r 2D 3。接下來他們定義參數 R，R 的定義為: 𝑅=. ⟨𝐸𝑟 ⟩ ⟨𝐸𝑡 ⟩ + ⟨𝐸𝑟 ⟩. (1.5). 意義為轉動動能占總能之比率。如果 R 0 則轉動自由度完全無能量， R 0.5 表示移動動能和轉動動能所占比率相同，即為能量均分。他們最後得到在有外加 能量(例如振動台振動)時顆粒體系統的 R 值的公式: 𝑅=. 𝑞(1 + 𝛼𝑡 ) 𝑞(1 + 𝛼𝑡 ) + (1 + 2𝑞 − 𝛼𝑡 ). (1.6). t 是切線碰撞係數，跟垂直碰撞係數和摩擦係數以及碰撞的角度有關，在 3-1-3. 會詳細介紹。若根據此公式， R =0.5 時，能量均分定理成立。換句話說， R 只跟 動慣量係數 q 和切線碰撞係數 t 有關，並且在 t =1 時不論 q 值為何必然為能量均 分，而在 3-1-1 章會提到 t 受摩擦係數 影響，這篇論文的模擬一個重要的結果 就是觀察摩擦係數 對系統平均能量造成的影響。至此，前人對於顆粒氣體的能. 6.
(14) 量均分的行為有做實驗的結果和理論程式模擬的結果，但是卻沒有一個確定的機 制，解釋顆粒氣體系統的這些現象。. 1-2 目標和計畫 1-2-1 實驗方法 粒子在熱動力平衡態時，布朗運動的粒子存在能量均分。但如果在非平衡穩 定態時，是否如 S. McNamara 和 S. Luding 所提出的模型，粒子自身不遵守能量 均分。或是如 K. Nichol 和 K.E. Daniels 所做的實驗，粒子自身會遵守能量均分 定律。為了近一步研究這個問題，我們在容器內放入釐米大小的球狀顆粒(以下 稱顆粒氣體)和一個較大的盤狀物體。盤狀物體被放在一層顆粒氣體之上，並且 用振動台讓容器做垂直方向的振動，觀察在其中盤狀物體的運動。此物體可看作 一個顆粒布朗物體（granular brownian object）。如 1-1-2 章節所述，由於顆粒系 統能量會耗散，它不會達到熱動力平衡態，我們藉由振動台補充系統能量，當耗 散跟振動台補充的的能量達成平衡時，系統可以維持在非平衡穩定態。若我們假 設在統計物理中熱浴(heat bath)的概念可以適用，這樣顆粒布朗物體跟熱浴之間 將有特定交互作用，使得顆粒布朗物體具有能量 E 的機率 P 可以寫為: P ~ exp(E / kBT )。這裡 k B 是波茲曼常數。把這結果應用於二維的布朗運動，我們. 考慮顆粒布朗物體移動的兩個自由度和轉動一個自由度，假設 vx 、 v y 、 分別代. 7.
(15) 表物體的 x 方向速度、 y 方向速度和角速度，顆粒布朗物體的質量和轉動慣量分 別為 m 和 I 。所以顆粒布朗物體的能量機率函數為： 1 1 1 1 1 1 1 𝑃( 𝑚𝑣𝑥 2 , 𝑚𝑣𝑦 2 , 𝐼ω2 )~exp(− ( 𝑚𝑣𝑥 2 + 𝑚𝑣𝑦 2 + 𝐼ω2 )) 2 2 2 𝑘𝐵 𝑇 2 2 2. (1.7). 或: 𝑃(𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝜔 )~exp(−. 1 (𝐸 + 𝐸𝑦 + 𝐸𝜔 )) 𝑘𝐵 𝑇 𝑥. (1.8). Ex 、 Ey 、 E 為 x 方向動能、 y 方向動能和轉動動能。每個自由度的平均動能是相. 同的，且等於1/ 2kBT 。但是顆粒氣體系統碰撞時會有能量耗散，因此能不能用這 種統計物理的概念去解釋還不清楚。我們相信，我們提出的實驗結果將不僅解釋 顆粒布朗物體的行為，也提供了一些參考數據，對於統計物理可否描述這種非平 衡穩定系統可以有更進一步的了解。. 1-2-2 論文大綱 這篇論文總共有六章。在第二章將介紹我們的實驗設計以及操作，整個實驗 的流程，振動台和高速攝影機參數的設定和量測顆粒布朗物體的轉動慣量、系統 的碰撞係數和摩擦係數的方法，之後用程式追蹤顆粒布朗物體，並計算它的位置 和速度，最後算出速度機率分布和能量。我們發現顆粒布朗物體的速度分布為高 斯分布，且顆粒布朗物體遵守能量均分定律。第三章將介紹我們分子動力學模擬 設置的參數，和用完全彈性極端粗糙的情況做基本測試。我們發現當粒子摩擦係 數不超過 50 時，它自身的移動和轉動平均動能就不會一樣。第四章做總結，實 8.
(16) 驗中顆粒布朗物體是遵守能量均分的，但是我們用電腦模擬的方法上卻發現它不 會遵守能量均分，最後對於這個結果提出ㄧ些討論。. 9.
(17) 第二章 實驗 如第一章所述，為了研究非平衡穩定系統下的能量均分問題，我們架設了一 個顆粒氣體系統，所用的儀器如圖 2-1。將一個特殊標記的顆粒布朗物體放在一 群顆粒氣體中，並用振動台給予垂直方向的振動，我們希望知道當顆粒布朗物體 受到顆粒氣體的碰撞時，統計上是否會有能量均分的現象。實驗和影像分析完成 後，算出顆粒布朗物體的位置和速度資訊，並計算顆粒布朗物體的三個自由度速 度分布。最後觀察三個自由度的平均能量，即為 x 方向的平均移動動能 Ex 、 y 方向的平均移動動能 E y 、以及平均轉動動能 E 。在我們的系統中， x 、 y 方 向是對稱的，因此 Ex Ey 是可預見的結果，但如果 Ex Ey E ，那我們 就可以確定顆粒布朗物體遵守能量均分定律。 章節 2-1 介紹顆粒布朗物體的製作方法和實驗流程和量測轉動慣量、碰撞係 數、摩擦係數的方法。章節 2-2 說明我們如何追蹤顆粒布朗物體，得到顆粒布朗 物體的位置、速度、能量，並觀察顆粒布朗物體位置和速度以及能量隨時間的變 化。2-3 計算顆粒布朗物體和顆粒氣體的速度分布，發現顆粒布朗物體的速度為 高斯分布，而顆粒氣體為拉伸指數函數。2-4 計算顆粒布朗物體的平均能量，發 現有能量均分的現象，2-5 說明實驗結論。. 10.
(18) 2-1 實驗過程 2-1-1 實驗步驟 首先我們介紹如何製作可讓我們追蹤的顆粒布朗物體。顆粒布朗物體是用壓 克力材料做成的盤狀物體，以圓盤形的顆粒布朗物體為例，其半徑為 2.5 公分。 製作方法如圖 2-2(a)，將不同形狀的壓克力材料挖空後，在槽內裝入強力磁鐵。 為了做影像追蹤和處理，用畫有兩個黑點的白紙貼上，並在側邊貼上黑色膠帶， 完成圖 2-2(b)。而顆粒氣體是直徑 1 釐米的小銅球。 為了驗證能量均分定律，需要計算顆粒布朗物體的移動動能和轉動動能，要 先測量出顆粒布朗物體的質量和轉動慣量。我們使用電子秤量測顆粒布朗物體的 重量並記錄，並量測顆粒布朗物體 z 軸(跟地面垂直) 過質心的轉動慣量。在實驗 中顆粒氣體和顆粒布朗物體會碰撞，我們測量顆粒氣體彼此之間的碰撞係數和顆 粒布朗物體和顆粒氣體之間的碰撞系數以及摩擦係數，這些參數是我們之後的程 式模擬要使用的，上面提到的參數，其測量方法在 2-1-2 章節會提到。 接下來架設實驗裝置，裝置架設圖如圖 2-3。將一個直徑約 50 公分的圓柱型 鋁製容器裝在振動台上，在振動台的外圍架了鋁擠型來裝相機和 LED 燈，除此之 外，圓柱型容器周圍放了許多方型的強力磁鐵(圖 2-3(b)、(d))。最後在容器上 方的鋁擠型上裝設 LED 光源和兩台高速攝影機(Prosilica GE680 CCD camera)和 (IDT MotionPro X3)。用水平儀調整容器水平，確認容器水平後將顆粒布朗物體 11.
(19) 和顆粒氣體放入容器內，實驗中顆粒氣體的數目在容器中約有 5 萬顆，顆粒氣體 佔容器的體積密度約為 5%。 開啟振動台和高速攝影機，確認振動台的速度、加速度、振幅、頻率並記錄。 振動台開始振動後使顆粒氣體和顆粒布朗物體開始運動。用高速攝影機(Prosilica GE680 CCD camera)以 100f/s 的拍攝速率在 0.1 秒內拍攝 10 張解析度為 500× 480 像素平方的影像，用這麼高的拍攝速度是為了計算速度，時間間隔必須足夠 小使顆粒布朗物體的運動是彈道特徵(ballistic regime)。過了 0.5 秒後，在重複用 100f/s 在 0.1 秒內拍 10 張影像，這個動作是為了由速度算出能量後，希望彼此 之間是不相關的，故隔較長時間。共拍攝 5000 次，存成 5000 張圖形轉換格式(gif) 影像。每個檔案一共有 10 張影像，用顆粒布朗物體的實際半徑可以計算出影像 中每 1 像素=0.1075 釐米。完成後，維持振動台的振動，用另一臺高速攝影機(IDT MotionPro X3)以 500f/s 的速度拍攝顆粒氣體 100x100 像素平方的影像 5 張，並 重複 4000 次，儲存成 4000 張圖形轉換格式影像。 在實驗中顆粒布朗物體運動到邊界時會產生誤差，所以我們在顆粒布朗物體 之中裝入強力磁鐵，而在容器的外圍亦裝上強力磁鐵，都為北極朝上。因此當顆 粒布朗物體運動到靠近邊界時，會被磁力排斥被推回中央。. 2-1-2 轉動慣量、碰撞系數、摩擦係數量測. 12.
(20) 如 2-1-1 節所說，為了計算顆粒布朗物體的轉動動能，需求顆粒布朗物體的 轉動慣量。我們量測轉動慣量的方法如圖 2-4。將正多邊形的顆粒布朗物體用三 條尼龍線懸吊，三個懸吊的位置是對稱的，且三者與顆粒布朗物體的質心距離相 同。輕輕旋轉使顆粒布朗物體以 z 方向為軸做小角度的週期性旋轉，並錄下影片， 計算顆粒布朗物體平均 15 次來回旋轉的週期。在這種小角度扭動中，顆粒布朗 物體的轉動慣量 I 可以表示為:. 𝑚𝑔𝜏 2 𝑟 2 𝐼= 4𝜋 2 𝐿. (2.1). m 為顆粒布朗物體的質量， 為顆粒布朗物體扭動的周期，L 為懸吊的線之長度， r 懸吊點跟物體質心的距離。在圖 2-4 中我們也跟直接積分出來的結果比較。使. 用這個方法的原因是當不同形狀的顆粒布朗物體有裝入強力磁鐵的情況下積分 很困難，圖 2-4 的表中的積分結果沒有考慮放入強力磁鐵造成密度不均勻的情況， 其結果只是為了跟測量出的結果做一個簡單的比較，之後的章節中轉動動能是以 測量出的轉動慣量計算而得的。 在實驗中，顆粒氣體跟顆粒氣體會互相碰撞，顆粒氣體跟顆粒布朗物體也會 互相碰撞。碰撞過程中能量會散失，由垂直碰撞係數(3-1-1 會詳細介紹)所決定， 令顆粒氣體和顆粒布朗物體的碰撞係數為 1，顆粒氣體和顆粒氣體的碰撞係數為. 2 。為了測量 1 和 2 ，我們準備了一個銅做的底板，和一個貼了黑色膠帶的壓 克力板，這代表實驗中顆粒氣體和顆粒氣體碰撞的界面，以及顆粒氣體和顆粒布 朗物體碰撞的界面。如圖 2-5(a)，我們拿一顆實驗中所使用的顆粒氣體由一固定 13.
(21) 高度 h0 自由落下，下方放了底版。自由落下的顆粒氣體碰到底板後會反彈，令顆 粒氣體第 i 次反彈的高度為 hi ，跟前一次反彈的的高度做比較，顆粒氣體與基板 的垂直碰撞係數 1 和 2 可表示為: 𝛼1,2 = √. ℎ𝑖 ℎ𝑖−1. (2.2). 反覆多次實驗統計後，我們可以算出 1 和 2 的值分別為 1 =0.65±0.01， 2 =0.67±0.02。 由 1-1-3 的理論可知摩擦係數對於系統平均能量(特別是轉動能量)有很大的 影響。因此同樣的方法我們可以量測兩個介面，銅-壓克力，和銅-銅的摩擦係數. 1 和 2 ，如圖 2-5(b)，我們讓兩個底板並調整斜面傾斜角度而當物體恰開始運 動，此時摩擦係數可表示為: 𝜇1,2 = 𝑡𝑎𝑛𝜃. (2.3). 測量物體洽開始產生相對運動的角度 ，我們計算出摩擦係數 1 和 2 大致相同 為 0.21±0.05。. 2-2 實驗數據分析 2-2-1 影像、數據分析 實驗完成後我們將會得到許多影像檔案。我們用程式計算顆粒布朗物體的位 置、方向、水平速度和角速度。追蹤顆粒布朗物體的位置的程式為 gif2xyat.s、 14.
(22) do.060302.s，參見附錄。在章節 2-1-1 提到在顆粒布朗物體上有貼特殊的標記 紙，我們利用這張紙做影像分析。分析的方法如圖 2-6，圖 2-6(a)為拍攝到的影 像，白紙上有兩個黑點，如圖 2-6(b)灰色的外框是影像大小。我們先將 A 、 B 兩 個黑點用膨脹的方式塗白，並計算白色圓形部分求得圓盤的中心位置，之後利用 程式反白平滑後求出 A 、 B 兩黑點座標，並用 A 、 B 的位置找出向量 BA 。 BA 可 以決定目前顆粒布朗物體的角度。找出顆粒布朗物體的 x 位置、 y 位置、角度後， 分別畫出 10 張影像中顆粒布朗物體的位置、角度對時間圖，結果如圖 2-7。觀察 顆粒布朗物體在 0.1 秒內的移動及轉動，在算出圖 2-7 中擬合直線的斜率即為顆 粒布朗物體沿 x 軸移動、沿 y 軸移動、轉動的速度。 用另外一台高速攝影機拍攝的顆粒氣體影像，算出顆粒氣體位置，如圖 28(a)，每次攝影機視野內的顆粒氣體約有 7~13 顆。我們畫出 5 張照片中的顆粒 氣體位置的軌跡，並篩選在 5 張照片間位移相近、沒有消失或跑出邊界、過程中 沒有碰撞的數據留下，顆粒氣體運動軌跡即圖 2-8(b)。對圖 2-8(b)中圈起的數 據分別作出 x 、 y 位置對時間圖，即圖 2-8(c)、圖 2-8(d)，計算擬合直線的斜率 算出顆粒氣體的 x 、 y 方向速度。以圖 2-8(a)紅色十字標示的顆粒氣體來說，其 在運動過程中的 x 、 y 方向速度分別為-7.91(公分/秒)、-2.37(公分/秒)，重複 此過程可以算出在拍攝區域內所有顆粒氣體的速度。. 2-2-2 位置和速度變化. 15.
(23) 我們觀察顆粒布朗物體在容器中運動的情形。圖 2-9 為前 100 秒顆粒布朗物 體的軌跡，圖中可以觀察到在外部磁場作用下，顆粒布朗物體因為受到磁力排斥， 運動範圍被限制在ㄧ定範圍內。圖 2-10(a)為顆粒布朗物體的 x、 y 位置隨時間變 化圖，顆粒布朗物體在容器內做隨機移動，可以看出短時間內如布朗運動的隨機 漫步(random walk)的圖像，但是長時間後會被磁場限制在一定範圍，圖 2-10(b) 是顆粒布朗物體的角度 隨著時間的變化圖，角度 的變化因為沒有被磁場限制， 是隨機漫步的圖像。最後我們可以觀察顆粒布朗物體的速度隨時間變化，圖 211(a)為速度隨時間變化圖，可以觀察到 x 、 y 方向的速度變化是對稱的，圖 211(b)為角速度隨時間變化圖。. 2-2-3 能量統計時間 計算出顆粒布朗物體的速度後，有質量和轉動慣量，就可以知道顆粒布朗物 體 x、 y 方向的移動動能 E x、 E y ，以及轉動動能 E 隨時間的變化。結果如圖 2-12， 我們可以觀察到能量的漲落現象。在我們計算平均能量時，如果兩個能量的時間 間隔相距很近時，那麼顆粒布朗物體還未忘記自己前一刻的能量，即顆粒布朗物 體的能量還未鬆弛，那對我們的統計平均會造成誤差，因此我們做 E x 、 E y 、 E 能 量的自相關函數(autocorrelation fuction)，定義為. E (t ) E0 ， E (t ) 為經過 t 時間後 E0 E0 . 的能量， E0 為一開始的能量，自相關函數可以看出 E (t ) 跟 E0 的相關性，若能量自 相關函數等於 1，則此時 E (t ) E0 。反之若自相關函數為 0， E (t ) 和 E0 就已經完全 16.
(24) 無相關，能量自相關函數如圖 2-13，我們發現 E x 、 E y 、 E 的自相關函數皆隨著 時間衰減，轉動動能 E 的自相關函數衰減最慢。在一秒後衰減到小於 0.1。因此 在過了兩個時間間隔(1 秒)後，所有自由度的能量幾乎會前一刻無關，我們統一 用 1 秒當作時間間隔統計能量計算平均，以得到正確的平均能量。. 2-3 顆粒布朗物體的和顆粒氣體的速度分布 我們對顆粒布朗物體的三個自由度速度做出機率統計，圖 2-14(a)為速度和 角速度的機率分布圖，實線為高斯分布函數，但是數據點不足以讓我們辨認是不 是高斯分布。我們可以利用 1-2 式，速度機率分布 P(v) 可以表示為: 𝑃(𝑣) = 𝑃0 𝑒. −𝐴|. 𝑣 𝛿 | 𝑣0. (1.2). 其中 A 為常數項，P0 為速度為零的機率， 為指數項，我們取一次自然對數後變為: 𝑣 𝛿 𝑙 𝑛 𝑃(𝑣) = 𝑙𝑛𝑃0 −𝐴 | | 𝑣0. (2.4). 因此我們將右邊第一項移到左邊，並同乘負號後兩邊再取一次自然對數: 𝑃(𝑣) 𝑣 𝑙𝑛 (− 𝑙𝑛 ( )) = 𝛿𝑙𝑛 | | + 𝑙𝑛(𝐴) 𝑃0 𝑣0. (2.5). 因此，若我們將 ln( ln( p(v) / p0 )) 對 ln(v) 作圖，可以得到一直線，而指數項 為此直線的斜率，我們分別對 x 、 y 方向速度以及角速度的機率分布圖取兩次自 然對數估算其斜率為 1.99、2.00、1.81。同樣的我們觀察顆粒氣體的速度分布， 圖 2-14(b)為顆粒氣體 x 、 y 方向速度機率分布圖，但我們無法追蹤顆粒氣體的轉. 17.
(25) 動。用上述方法對 x 、 y 方向速度的機率分布取雙對數後做線性擬合，擬合直線 分別算出來的斜率分別是 1.72、1.72。 我們改觀察顆粒布朗物體的動能 E 1 / 2mv 2 的機率分布圖，結果如圖 2-15(a)， 我們發現圖形趨近直線，並且斜率相同。因此顆粒布朗物體的速度機率分布是高 斯分布，斜率相同的結果其實也已經說明移動和轉動的平均動能是相同的。我們 觀察顆粒氣體的動能機率分佈圖，結果如圖 2-15(b)，我們可以發現圖形並不是 直線，所以證明顆粒氣體的速度分布不是高斯分布，為拉伸的指數函數，指數項 不等於 2。. 2-4 顆粒布朗物體的平均能量 2-4-1 顆粒布朗物體遵守能量均分 如表 2-1，我們計算質量為 59.7 克、半徑為 2.5 公分、轉動慣量為 155.62 克‧公分平方的圓形顆粒布朗物體在振動強度 =3.69 下的平均動能。誤差來源 為能量統計的平均標準誤(standard error of the mean)。我們發現在誤差範圍內 Ex Ey E ，也就是這個圓形的顆粒布朗物體遵守能量均分定律。之後我. 們將改變環境參數確認是否在實驗系統中顆粒布朗物體永遠遵守能量均分定律。. 2-4-2 振動強度不影響能量均分. 18.
(26) 我們改變振動台的振幅，如 1-1-2 章節所述，振動台的高度 z 可以表示為 z A0 sin( 2ft) ， 在 平 衡 點 速 度 為 V A0 ， 頻 率 為 2f ， 最 大 加 速 度 為. a 4 2 f 2 A0 。振動強度的定義為 A 2 / g ，因此改變振動台的振幅會影響振動 強度 值，我們觀察相同的圓形顆粒布朗物體顆粒在不同振動強度 值下的平均 動能，結果如圖 2-16。 值增加會讓氣體顆粒跟振動台碰撞的頻率增加，導致顆 粒氣體和顆粒布朗物體的平均動能上升。我們可以觀察到振幅變高時顆粒布朗物 體的平均動能 Ex 、 E y 、 E 都變大，但顆粒布朗物體遵守能量均分定律。. 2-4-3 質量和大小不影響能量均分 接下來我們改變顆粒布朗物體的形狀和大小。顆粒布朗物體的底面形狀分別 為圓形(較小)、圓形(較大)、正三角形、正方形、和正六邊形。實驗結果如圖 217，為了忽略質量所造成的影響，我們將平均動能除以質量。我們發現不同質量、 形狀和大小的布朗物體在相同的 值之下皆符合能量均分定律。. 2-5 實驗結論 在實驗中我們發現顆粒布朗物體的速度機率分布為高斯分布，而顆粒氣體的 速度分布為拉伸指數函數。若我們改變系統的振動強度 ，則顆粒布朗物體的三 個自由度的平均動能都會增加。改變顆粒布朗物體的大小和形狀，隨著質量增加， 顆粒布朗物體的平均動能也會增加。但是以上情況顆粒布朗物體都遵守能量均分 定律 Ex Ey E 。 19.
(27) 因此 1-2-1 統計力學理論似乎可以套用在這個系統上，但是在 1-2-1 的理論 中有個重要假設，所有的粒子皆為彈性的，垂直碰撞係數 =1，則速度分布可以 表示為波茲曼分布或高斯分布，積分後能得到能量均分。但我們的實驗中粒子並 不是完全彈性碰撞，每次碰撞後會有能量耗散，而振動台會補充系統能量，達成 穩定後形成一個非平衡穩定態。但是在這種情況下，顆粒布朗物體居然得到能量 均分的結果，跟許多前人的理論和模擬不合，為了解釋實驗結果，我們將用一個 二維的分子動力學模擬來對這個結果做更多的說明。. 20.
(28) 第三章 分子動力學模擬 分子動力學(MD)模擬一種程式模擬方法，它的理論基礎是牛頓定律。對於熱 平衡理論，或是在統計力學的研究，有相當豐碩的成果。在平衡系統中，雖然統 計力學對系統有很好的解釋，但是統計力學的解釋必須假設系統無窮大，通常是 跟真實情況不符的。各種模擬方法(包含分子動力學)有助於解釋這些特殊情況。 一般來說，物理理論的基礎是數學模型，都是建立在一些假設上。有時候必須用 一些近似法來做簡化。模擬基於物理理論，但是避免使用太多的近似使系統失真， 用更多的計算量代替。分子動力學模擬使用現在無所不在的計算機，可以做一些 動力學測試，處理相變，複雜流體問題，聚合物，生物分子，流體等等問題，我 們分子動力學模擬使用的參考書籍是[16]，使用的程式為 m.c、m.h、m1.h、m0.h、 m.in，見附錄。 以下我們使用分子動力學模擬來模擬我們的實驗的系統，我們的實驗系統是 三維，但是只觀察 x y 平面。因此我們模擬了一個平面即二維的系統。3-1 說明蛙 跳積分法(LeapFrog)[16]，以及為了使系統能持續下去做的溫度(能量)調整，顆 粒氣體碰撞的粗糙硬球模型介紹，模擬中長度、速度、能量的真實單位的換算， 最後做完全彈性粗糙的程式測試。接下來如 2-3-3 章，我們做出顆粒布朗物體的 能量自相關函數，結果如圖 3-1。我們發現過了 5 秒後，所有自由度的能量自相 關函數值都小於 0.1，因此我們每過 5 秒統計一次能量。3-2 計算顆粒氣體和顆 21.
(29) 粒布朗物體的平均動能，我們發現在實驗的環境參數下，顆粒布朗物體不會遵守 能量均分。最後改變碰撞係數和摩擦係數，發現除非是摩擦係數大於 50 的情形， 否則顆粒布朗能量物體和顆粒氣體皆不會遵守能量均分。3-3 提出模擬的結論。. 3-1 系統設置 3-1-1 碰撞模型 分子動力學模擬中，當粒子發生碰撞時，必須計算球所受的衝量而算出碰撞 後的狀態。我們使用的模型是有摩擦力的粗糙硬球模型[17,18,19,20,21]。碰撞 時要同時考慮切線方向和法線方向的碰撞。假設兩粒子編號 1、2 半徑分別為 a1 和 a 2 ，質量為 m1 和 m2 進行碰撞，連心線的單位向量𝑛⃑定義為: 𝑛⃑ =. 𝑟1 − 𝑟2 |𝑟1 − 𝑟2 |. (3.1). 其中𝑟1,2 是粒子的質心位置向量，碰撞時在接觸點的相對速度𝑣𝑐 定義為: 𝑣𝑐 = 𝑣1 − 𝑣2 − (𝑎1 𝜔 ⃑ 1 + 𝑎2 𝜔 ⃑ 2 ) × 𝑛⃑. (3.2). 其中𝑣1 和𝜔 ⃑ 1 是粒子 1 的速度和角速度，其中𝑣2 和𝜔 ⃑ 2 是粒子 2 的速度和角速度，碰 撞示意圖為圖 3-2，其中 是碰撞角度，為𝑛⃑跟𝑣𝑐 的夾角。每次碰撞時根據速度和 方向不同會改變，範圍是 / 2 到 。接下來我們定義垂直碰撞係數 和切線碰撞 係數 t : 𝑢 ⃑𝑐. (𝑛). 𝑢 ⃑𝑐. (𝑡). = −𝛼𝑣𝑐. (𝑛). = −𝛼𝑡 𝑣𝑐 22. (3.3) (𝑡).
(30) 𝑣𝑐. (𝑛). 為碰撞前法線方向的相對速度，𝑢 ⃑𝑐. 碰撞前切線方向的相對速度，𝑢 ⃑𝑐. (𝑡). (𝑛). 為碰撞後法線方向的相對速度，𝑣𝑐. (𝑡). 為. 為碰撞後切線方向的相對速度。垂直方向的恢. 復係數為 。對於 而言， 0 1。假設 =1，為完全彈性碰撞， 越小碰撞中造 成的能量損失越大。切線方向的恢復係數 t 跟摩擦係數 、碰撞的角度 、 有關， 對於切線碰撞係數 t 而言， 1 t 1 。若 t =1 時，為完美粗糙彈性粒子，碰撞後 兩個粒子的角速度進行交換。若 t =-1，為完美光滑彈性粒子，碰撞後兩個粒子的 角速度完全不變，但若 t 不等於 1 或-1 時碰撞後轉動動能會散失。有了 3.3 式就 可以計算在垂直方向的動量改變∆𝑃⃑(𝑛) : (𝑛) ∆𝑃⃑(𝑛) = −𝑚12 (1 + 𝛼)𝑣𝑐. (3.4). m12 為縮減質量 m12 m1m2 /(m1 m2) 。接下來考慮切線方向的∆𝑃⃑: (𝑛) ∆𝑃⃑ = −𝑚12 (1 + 𝛼)𝑣𝑐 −. 𝑞 (𝑡) 𝑚12 (1 + 𝛼𝑡 )𝑣𝑐 𝑞+1. (3.5). q 為轉動慣量係數。若轉動慣量為 I ，粒子半徑為 a ，則 I qma 2 ，接下來我們找. 出 t 跟摩擦係數 的關係式，在模擬過程中改變 跟 t 的對模擬結果造成的影響 可以參考[19]。考慮庫倫摩擦力，摩擦係數 可表示成: |∆𝑃⃑(𝑡) |= −𝜇|∆𝑃⃑(𝑛) |. (3.6). (𝑛) (𝑡) ∆𝑃⃑ = −𝑚12 (1 + 𝛼)𝑣 ⃑⃑⃑𝑐 + 𝜇𝑚12 (1 + 𝛼)𝑐𝑜𝑡𝛾𝑣 ⃑⃑⃑𝑐. (3.7). 代入 3.5 式後:. 因此將式 3.7 和 3.5 比較可知道切線碰撞係數 為: 𝛽 = −1 − 𝜇(1 + 𝛼)𝑐𝑜𝑡𝛾( 23. 1+𝑞 ) 𝑞. (3.8).
(31) 注意 3.8 的 並不完全等於式 3.5 的切線碰撞係數 t ，因為在 3.8 中，明顯的當. → 時 cot →−∞，會使 發散到無窮大。因為 t 不可超過 1，我們將 t 的最大 值設成 1。因此最後 t 表示為: 1, 𝛼𝑡 = { 𝛽,. >1 ≤1. (3.9). 最後用 3.5 式計算出動量∆𝑃⃑後，根據碰撞動量守恆，可得到: 𝑣1′. ∆𝑃⃑ = 𝑣1 + 𝑚1. 𝑣1′ = 𝑣2 −. ∆𝑃⃑ 𝑚2. (3.10). 𝑎1 (𝑛⃑ × ∆𝑃⃑ ) 𝐼1 𝑎2 𝜔 ⃑ 2′ = 𝜔 ⃑ 2 − (𝑛⃑ × ∆𝑃⃑ ) 𝐼2 𝜔 ⃑ 1′ = 𝜔 ⃑1−. ′ ′ 其中𝑣1,2 為碰撞前速度，𝑣1,2 為碰撞後速度，𝜔 ⃑ 1,2 為粒子碰撞前角速度，𝜔 ⃑ 1,2 為碰. 撞後角速度。. 3-1-2 溫度調節 在顆粒氣體系統中，因為碰撞並非完全彈性碰撞，系統在每次碰撞時會損失 能量，若持續進行下去最終系統因能量不足而崩潰。在實驗中，振動台不斷提供 顆粒氣體隨機力，使其溫度維持固定。在分子動力學模擬中我們也必須用外加手 段使系統獲得能量，指定顆粒氣體的溫度為 T ，顆粒氣體過了一段時間後因為碰 撞而損失能量造成使溫度下降為 T ' 。我們將全部顆粒氣體的速度都乘上 T T ' 。 24.
(32) 如此一來顆粒氣體的 x 、 y 方向動能增加，而其溫度(平均動能)變回 T ，不改變 其速度方向和分布。特別注意的是我們並不會調整到顆粒氣體的轉動動能，以及 顆粒布朗物體的移動和轉動動能，溫度調節時間間隔為 5x10-5 秒。. 3-1-3 蛙跳積分法 在計算運動方程式時，可以選擇很多種積分方法。本次實驗選擇了一個被廣 泛使用的蛙跳積分法。這種方法計算出的位置的準確度到時間的三次項，而且對 記憶體儲存的要求也必較小。若粒子某時刻的位置函數為 x(t ) ，經過了時間間距 t 後其位置函數為 x(t t ) ，我們對它做泰勒級數展開:. ∆𝑡 2 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡) + ∆𝑡 ∙ 𝑣(𝑡) + ∙ 𝑎(𝑡) + 𝑂(∆𝑡 3 ) 2. (3.11). 其中 v(t ) 為 x(t ) 的一次微分，即粒子速度。 a(t ) 為 x(t ) 的二次微分，即粒子加速度。 O(t 3 ) 為三次項，接下來我們對 x(t t ) 作展開，並將兩式相加後整理:. 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) = 2𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡 − ∆𝑡) + ∆𝑡 2 ∙ 𝑎(𝑡) + 𝑂(∆𝑡 4 ). (3.12). O(t 3 ) 會被消去，留下四次項 O(t 4 ) 。將 x(t t ) ， x(t t ) 分別展開並相減:. 𝑣(𝑡) =. 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡 − ∆𝑡) + 𝑂(∆𝑡 2 ) 2∆𝑡. (3.13). 在次寫下 3.11 式，並整理: 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡) + ∆𝑡(𝑣(𝑡) +. ∆𝑡 ∙ 𝑎(𝑡)) + 𝑂(∆𝑡 3 ) 2. (3.14). 又邊第二項括弧號中即為 v(t t / 2) 。最後我們將 v(t t / 2) 和 v(t t / 2) 做相減， 加上 3.14 式，得到: 25.
(33) ∆𝑡 ∆𝑡 ) = 𝑣 (𝑡 − ) + ∆𝑡 ∙ 𝑎(𝑡) 2 2 ∆𝑡 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡) + ∆𝑡 ∙ 𝑣(𝑡 + ) 2. 𝑣 (𝑡 +. (3.15). 而速度函數 v(t ) 可以表示為: 𝑣(𝑡) = 𝑣 (𝑡 ∓. ∆𝑡 ∆𝑡 ) ± 𝑎(𝑡) 2 2. (3.16). 將 3-15 式和 3-16 式稍為整理，最終可得: ∆𝑡 ∆𝑡 ) = 𝑣(𝑡) + 𝑎(𝑡) 2 2 ∆𝑡 𝑥(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡) + ∆𝑡 ∙ 𝑣 (𝑡 + ) 2 𝑣 (𝑡 +. (3.17). 3-1-4 無因次單位 在分子動力學模擬中需要定義出分子動力學中的單位跟真實物理單位之間的 關係。實驗中顆粒氣體的直徑為 0.1 公分，我們因此定義分子動力學模擬中的長 度 1 單位等於實驗時顆粒氣體的直徑 0.1 公分。分子動力學模擬中 1 單位質量定 義為ㄧ個顆粒氣體的質量 4.47x10-3 克，模擬中能量(即顆粒溫度)的 1000 單位定 義為實驗中顆粒氣體的溫度 17.8 奈焦耳。由此即可決定時間的單位，因為能量 E 1/ 2mv2 ，因此模擬一單位時間約為. 0.5 秒。. 接下來要決定模擬中每步長的時間間隔(time step)。每步長的時間間隔不可 取太大(相對於我們指定的系統溫度而言)，否則積分誤差會很大。但若是時間間 隔太小又會造成無謂的計算浪費，我們決定分子動力學模擬中每步長的時間間隔 是 10-5。即分子動力學模擬中一步時間為 5x10-6 秒。我們在分子動力學模擬中顆 26.
(34) 粒氣體的初始速度分布設為常態分布，其溫度(即動能)為 1000 個模擬單位，因 此在顆粒氣體初始速度常態分布中，粒子速度大於 3 倍標準差(溫度)的機率約為 0.001，我們假設這是系統中運動最快的粒子，它的溫度為 3000 個模擬單位，其 速度為 2T / m ，約為 77.4 個模擬單位。它在分子動力學模擬中一步時間能移動 約 0.001 個自身直徑的距離，故位置的誤差約為 10-3 個模擬單位。表 3-1 為模擬 單位跟物理單位的對應。. 3-1-5 細節處理 如圖 3-3，在分子動力學模擬開始時，顆粒氣體是緊密堆積。放入顆粒布朗物 體後，指定一個特定總溫度 T ，一開始顆粒氣體的 x 、 y 方向速度為常態分布，其 顆粒溫度(能量)為 T / 2 。一開始顆粒氣體的角速度為 0，而顆粒布朗物體一開始 x 、 y 方向速度和角速度都為. 0，我們等待顆粒氣體的平均轉動能量幾乎不隨時間. 改變後才開始取數據。 有限大的系統和無限大的系統是不同的，有限大的系統會有邊界造成的影響 需要考慮，因此在考慮實際問題時，最好可以忽略邊際效應。因此我們的分子動 力學模擬的邊界設為週期性邊界條件。當原子或顆粒離開模擬區域的特定邊界時， 立刻從相反的方向進入，就可忽略邊界效應，而且以這種方式模擬可以保持系統 的空間均勻性。. 27.
(35) 單元分區是一種組織訊息的一種方法，它可以避免大部分多餘的計算，有效 的降低計算量，提升程式效能。模擬區域被區分成小單位的區域，每個小區加上 相鄰區域的邊界必須大於截止半徑，在顆粒體的情況不考慮位能，截止半徑必須 大於顆粒體自身大小。如此我們只需考慮在同一個單元或相鄰單元的原子或顆粒 的相互作用，在二維尺度中，共有八個相鄰的單元需要考慮。單元分區加上週期 性邊界的環繞效果很好整合。分子動力學模擬的運算速度會隨著區域的數量增加， 但是區域的邊長必須大於粒子的直徑。特別的是，為了與實驗作對應，我們的分 子動力學模擬中有一個顆粒布朗物體，它的半徑大於顆粒氣體。這意味著我們所 選擇的區域大小必須變大，這會影響整體的計算量。為了解決這個問題，我們在 顆粒布朗物體的表面放了一圈顆粒氣體，這些顆粒氣體是用來判斷顆粒布朗物體 的周邊有那些顆粒氣體，並不會列入計算，這樣一來就可以不必減少分區的數量 讓程式運行速度下降。 若粒子的位置向量為 R ，角位置向量為 ，在分子動力學模擬中我們會得到所 有粒子(包括顆粒布朗物體)位置的三維向量 R ( R1 , R2 , R3 ) ，以及所有粒子角度位 置三維向量 (1,2 ,3 ) 。我們只觀察二維 xy 平面下的運動，因此 R3 、 1 、 2 在模 擬過程中永遠為 0，因此我們輸出的位置向量 R ' 為 R' ( R1 , R2 ,3 ) ，同理，若粒子的 速度向量為 v ，角速度向量為 ，我們所輸出的速度向量 v' (v1 , v2 , 3 ) 。. 3-1-6 系統測試. 28.
(36) 為了證實我們程式的可信度，我們先假設顆粒氣體和顆粒布朗物體彼此之間 的垂直碰撞係數 =1，摩擦力 =1000，則顆粒氣體和顆粒布朗物體為完美粗糙的 彈性粒子，我們預期所有粒子速度分布可以表示為高斯分布，並根據統計力學理 論自身移動和轉動的自由度會遵守能量均分定律。在完全彈性時碰撞後的數值積 分誤差會漸漸增加，使系統失去真實性，因此也必須調整溫度。圖 3-4 為 =1 和摩擦力 =1000 時，所有顆粒氣體和顆粒布朗物體的速度分布圖，我們用高斯 分布做擬合(實線部分)。如我們所預期，不論是顆粒氣體或是顆粒布朗物體的速 度分布皆為高斯分布。我們觀察顆粒氣體和顆粒布朗物體的能量機率圖，結果如 圖 3-5。圖形為一直線，驗證了速度分布為高斯分布。而三條線的斜率相同，表 示為在這種情形下為兩方向的移動跟轉動的平均動能相同。. 3-2 模擬結果 3-2-1 顆粒布朗物體能量不均分 在 2-1-2 章節中我們測量了實驗中的轉動慣量、垂直碰撞係數、摩擦係數， 而顆粒布朗物體的質量和顆粒氣體的溫度我們相信不會影響系統的能量均分與 否，因此我們如表 3-2 設置參數，計算顆粒氣體和顆粒布朗物體的平均動能，模 擬結果也寫在表 3-2 上，不論是顆粒布朗物體或顆粒氣體，平均移動動能 Ex 和 E y 是相同的，這符合我們的預期，代表了系統有對稱性，但明顯的平均轉動 動能 E 遠比移動動能低，不遵守能量均分定律。 29.
(37) 3-2-2 改變垂直碰撞係數 系統能量不均分 在表 3-2 的參數設置下，為了簡化問題，我們假設垂直碰撞係數 1 2 = 。 改變 並觀察顆粒布朗物體的平均動能，結果如圖 3-6。對於顆粒氣體來說，改 變垂直碰撞係數 ，平均動能 Ex 、 E y 、 E 並沒有明顯改變，這跟 1-1-3 所述理論吻合。對於顆粒布朗物體來說，改變垂直碰撞係數 時，平均轉動動能 E 並沒有明顯改變，但平均動能 Ex 、 E y 隨著改變垂直碰撞係數 下降卻. 有上升的趨勢。. 3-2-3 改變摩擦係數 對平均能量的影響 根據 1-1-3 章節的理論，必須在切線碰撞係數 t 恆為 1，即摩擦係數 很大時 才會有能量均分。因此我們改變摩擦係數 ，並計算顆粒氣體和顆粒布朗物體的 平均動能，結果如圖 3-7。我們發現摩擦係數 大於 50 時顆粒體和顆粒布朗物體 會遵守能量均分，但隨著摩擦係數 減少時，顆粒氣體和顆粒布朗物體的平均轉 動動能都會下降。不論是顆粒布朗物體或是顆粒氣體都不會遵守能量均分定律。. 3-3 模擬結論 用 2-1-2 所量到的實驗環境參數做分子動力學模擬，結果顆粒布朗物體和顆 粒氣體皆不遵守能量均分定律。改變垂直碰撞係數 時，隨著 下降顆粒布朗物 體的平均移動動能 Ex 、 E y 會增加，這與實驗結果相同[13]，在彈性的情況. 30.
(38) 下大球的平均動能會跟顆粒氣體相同，但是在顆粒系統中能量有耗散，因此質量 大的顆粒會有較高的平均動能。最後發現顆粒氣體和顆粒布朗物體依然不遵守能 量均分定理。改變摩擦係數 時， 增加時平均轉動動能 E 增加，當 超過 50 時，顆粒體和顆粒布朗物體就會遵守能量均分定律。. 31.
(39) 第四章 討論與結論 我們分別用實驗和模擬的方法觀察非平衡穩定態系統，用高速攝影機追蹤在 振動台提供垂直振動下被氣體顆粒環繞的顆粒布朗物體，觀察其行為。發現其速 度機率分布為高斯分布，並且遵守能量均分定律。接下來我們希望在模擬中找出 能使顆粒布朗物體滿足能量均分的情況，模擬時我們觀察二維系統，並且用溫度 調整的方式代替振動台的作用。在實驗中我們可以量測垂直碰撞係數，和摩擦係 數，將這些參數代入分子動力學模擬中，但是我們發現無論是顆粒氣體或是顆粒 布朗物體都不遵守能量均分定律，之後我們改變摩擦係數和垂直碰撞係數，發現 除非摩擦係數 大於 50，否則粒子不會遵守能量均分定律，它每自由度的平均轉 動動能都低於平均移動動能。 我們的模擬跟前人作的模擬的差別是我們的顆粒布朗物體，它的質量、半徑 都大於顆粒氣體，並且它沒有獲得任何的外加能量。相對而言，顆粒氣體有獲得 外加的能量。這樣考慮的理由是因為我們假設在實驗中顆粒布朗物體的水平運動 幾乎不受到振動台的影響，它的水平速度的產生主要是經由跟顆粒氣體碰撞，所 以在模擬中對於整個顆粒體系統而言，顆粒布朗物體是一個特例。在這種情況下， 我們希望能得到跟前人作的模擬不相同的結果，也就是我們實驗中得到的顆粒布 朗物體滿足能量均分定律之結果。不過最後的結果似乎跟大部分文獻相同，能量 是不均分的。而且模擬中在摩擦係數小的情況下，顆粒布朗物體的轉動動能是很 32.
(40) 低的，也就是顆粒布朗物體幾乎不會轉動。但是明顯違反我們的實驗數據。事實 上在實驗過程中，光用肉眼就可以看到顆粒布朗物體的轉動是很劇烈的，因此我 們的模擬明顯沒有辦法完全代表實驗的情況。 而這篇論文中實驗跟模擬最大的不同點是實驗的情況是三維，但我們模擬只 模擬二維，三維時顆粒布朗物體被碰撞機率將大幅提升。另外在實驗中顆粒布朗 物體下方的顆粒氣體，在我們的模擬之中是沒有考慮的。雖然顆粒布朗物體並未 直接受到振動台的作用，但或許間接的受到其下方的顆粒氣體撞擊而產生水平運 動和轉動，如果我們能確認使顆粒布朗物體產生的水平速度和轉動的主要機制為 何，就可以解釋我們實驗結果和模擬結果的不同點。. 33.
(41) 圖 2-1. (a) 33 公分. (b). 圖 2-1 實驗儀器圖: 圖(a)本實驗所用的振動台為 Labworks 公司的型號為(LW 127 123-500)振動台機組， 最大振動頻率可達 4500Hz。圖(b)為用來攝影的高速攝影機的型號 Prosilica GE680 CCD camera 和 IDT MotionPro X3。. 34.
(42) 圖 2-2 (a) 有黑點的白紙. 強力磁鐵. 壓克力材料 黑色膠帶. 5 公分 (b). (b). 圖 2-2 顆粒布朗物體結構示意圖: (a)顆粒布朗物體的製成示意圖，將壓克力材料挖空後後，將磁鐵裝入，最後將有黑 點的白紙貼上，最後在側邊貼上黑色膠帶，完成圖如(b)。. 35.
(43) 圖 2-3 (a). (b) 高速攝影機. 高速攝影機. 容器. 50cm 5cm. 容器 振動台. (d). (c). 強力磁鐵 強力磁鐵. 顆粒布朗物體. 顆粒氣體. 圖 2-3 實驗儀器架設圖 (a)、(c)是實驗儀器照片，將容器(紅框部分)固定在振動台上，並將高速攝影機架 設於上面。(b)、(d)為示意圖，容器中裝入顆粒布朗物體(有兩黑點的白色圓形部分) 和顆粒氣體(黃色圓形部分)、並在容器周圍加了一圈方形強力磁鐵，北極朝上。. 36.
(44) 圖 2-4. 𝑚𝑔𝜏 2 𝑟 2 𝐼= 4𝜋 2 𝐿 形狀. 測量的轉動慣量. 積分的轉動慣量. (克‧平方公分). (克‧平方公分). 三角形. 30.8 4.4. 36.7. 圓形. 155.7 9.3. 155.6. 顆粒布朗物體. 正方形. 122.2 8.3. 121.8. 2𝑟. 正六邊形. 97.9 6.6. 109.8. 𝐿. 圖 2-4 轉動慣量測量圖: 以圓形為例，圖中灰色圓盤為顆粒布朗物體，懸吊線(紅線)的長度為 L ，假設顆粒布 朗物體的質量為 m ，物體的外接圓半徑為 r ，我們使顆粒布朗物體做小角度扭動，並 記錄其轉動週期 ，就可以根據右上公式計算顆粒布朗物體的轉動慣量 I ，右方的表 格為對於測量的方法和積分的方法的結果比較，積分的時候假設顆粒布朗物體是均勻 的，不考慮中間挖洞裝入強力磁鐵對於轉動慣量所造成的誤差。. 37.
(45) 圖 2-5 (a). 顆粒氣體. 𝛼1,2 = √. ℎi ℎ𝑖−1. 底板 (b). 𝜇1,2 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 基板. 圖 2-5 碰撞係數、摩擦係數量測示意圖: (a)為碰撞係數量測方法，黃色的圓形為顆粒氣體，讓顆粒氣體從高度 h0 落下後，並 落到藍色的基板上並反彈，假設虛線為顆粒氣體落下之軌跡(只考慮垂直方向)，第 i 次反彈後高度 hi ，可用圖中公式求得顆粒氣體與基板的垂直碰撞係數。(b)摩擦力量 測示意圖，增加傾斜角度 ，讓兩板剛好開始產生相對運動，記錄此時的角度 ，顆 粒氣體和顆粒布朗物體的摩擦係數的摩擦係數 1 以及顆粒氣體彼此之間 2 可以表示 為𝜇1,2 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 。. 38.
(46) 圖 2-6. (a). (b). 顆粒布朗物體 B A. θ ( , ). 圖 2-6 顆粒布朗物體影像分析圖: 圖(a)為顆粒布朗物體的照片，顆粒布朗物體在半徑為 25 公分的圓型容器中運動，如 圖 2-3(c)。在運動過程中我們追蹤它的位置及角度。圖(b)為影像分析示意圖，顆粒 布朗物體上的白紙畫的兩個黑點 A 、 B ，經影像處理後，顆粒布朗物體的白色部分中 心即顆粒布朗物體的 x 、 y 座標， A 、 B 兩黑點可以決定顆粒布朗物體的方向(或角 度) 。. 39.
(47) 圖 2-7. (a). (. 位 置 公 分. ). 時間(秒). (b). (. 位 置 公 分. ) 時間(秒). (c). (. 角 度 弧 度. ) 時間(秒) 圖 2-7 計算顆粒布朗物體速度示意圖: 用高速攝影機以 100 張/秒的速度連續拍攝 10 張影像，觀察顆粒布朗物體在 0.1 秒 內的(a) x 位置、(b) y 位置、(c)角度隨時間變化，時間間隔為 0.01 秒，此時間間隔 中顆粒布朗物體的速度在彈道特徵，我們求出擬合直線，其斜率即為顆粒布朗物體的 速度。. 40.
(48) 圖 2-8 (a). (b). (. 位 置 公 分. ) x 位置(公分). (c). (d). 位 置 公 分. (. (. 位 置 公 分. ). ) 時間(秒). 時間(秒). 圖 2-8 顆粒氣體位置、速度分析圖: 用高速攝影機以 500 張/秒的速度連續拍攝 5 張在 1.42x1.42 平方公分區間中的顆粒氣體的 照片如(a)，追蹤其位置中心((a)圖紅色十字)，並留下良好的數據。得到 5 張影像中的顆粒 氣體位置軌跡如圖(b)，紅色的十字點為顆粒氣體中心位置，把(b)圖中籃色虛線圈起的顆粒 氣體的 x 、 y 位置分別對時間作圖，得到(c)、(d) 圖，算出(c)、(d)圖中擬合直線的斜率即 為顆粒氣體的 x 、 y 方向速度，分別為-7.91 公分/秒、-2.37 公分/秒。. 41.
(49) 圖 2-9. (b). y. (. 位 置 公 分. ) x 位置(公分). 圖 2-9 顆粒布朗物體位置分布圖: 我們將前 100 秒顆粒布朗物體的位置標註在圖中，圖中藍色圓圈為容器的邊界，可 以發現顆粒布朗物體因受磁力作用分布在一定範圍。. 42.
(50) 圖 2-10. 𝒙. (a). 𝒚. (. 位 置 公 分. ). 時間(秒) (b). (. 角 度 弧 度. ) 時間(秒) 圖 2-10 顆粒布朗物體位置，角度隨時間變化圖: (a)100 秒內每隔 0.5 秒顆粒布朗物體的 x 、 y 座標隨著時間變化圖，(b)100 秒內每 隔 0.5 秒顆粒布朗物體角度 隨時間變化圖。. 43.
(51) 圖 2-11 𝑽𝒙. (a). 𝑽𝒚. (. 速 度 公 分 秒. / ). 時間(秒) (b) (b). 角 速 度 ( / ). 弧 度 秒. 時間(秒) 2-11 顆粒布朗物體速度隨時間變化圖: 100 秒內(a)顆粒布朗物體每隔 0.5 秒 x 、 y 方向速度隨時間的變化圖。(b)顆粒布朗 物體每隔 0.5 秒角度隨時間的變化圖。. 44.
(52) 圖 2-12. 𝑬𝒙 𝑬𝒚. 𝑬𝝎. (. 動 能 微 焦 耳. ) 時間(秒) 圖 2-12 顆粒布朗物體的能量變化: 顆粒布朗物體的三個自由度的能量在 100 秒內每隔 0.5 秒隨時間變化圖，其中 E x 是 x 方向動能， E y 是 y 方向動能、 E 是轉動動能。. 45.
(53) 圖 2-13. 方向 方向 轉動. 能 量 自 相 關 函 數. 時間(秒) 圖 2-13 顆粒布朗物體能量自相關圖: 6 秒內的能量自相關函數圖，橫軸為時間，黑色線為 x 方向動能自相關函數，紅色 線為 y 方向動能自相關函數，藍色線為轉動動能的自相關函數。. 46.
(54) 圖 2-14. 𝑽𝒙 𝑽𝒚. (a). 𝝎. 速度(公分/秒)、角速度(弧度/秒) 𝑽𝒙 𝑽𝒚. (b). 機 率. 速度(公分/秒) 圖 2-14 顆粒布朗物體、顆粒氣體的速度機率分布圖: (a)顆粒布朗物體速度的機率分布圖， Vx 是 x 方向速度， V y 是 y 方向速度，單位是(公 分/秒)， 是角速度，單位是(弧度/秒)，(b)顆粒氣體移動方向的速度機率分布，Vx 是 x 方向速度， V y 是 y 方向速度，實線為高斯分布函數擬合。 47.
(55) 圖 2-15 (a). 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. 機 率. 動能(微焦耳) 𝑬𝒙 𝑬𝒚. (b). 機 率. 動能(微焦耳) 圖 2-15 顆粒布朗物體和顆粒氣體能量分布機率圖: (a)顆粒布朗物體(b)顆粒氣體之不同自由度之能量機率分布， E x 是 x 方向動能， E y 是 y 方向動能、 E 是轉動動能。 48.
(56) 圖 2-16. 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. (. 動 能 微 焦 耳. ) 振動強度 Г 圖 2-16 不同振動強度 的圓形顆粒布朗物體平均能量圖: 質量為 59.7 克、半徑為 2.5 公分、轉動慣量為 155.62 克‧平方公分的圓形顆粒布朗 物體在不同的振動強度下的三個自由度之平均動能。 Ex 是 x 方向平均動能， E y 是 y 方向平均動能、 E 是轉動平均動能。. 49.
(57) 圖 2-17. (. 單 位 質 量 平 均 動 能 微 焦 耳 克. / ). 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. 質量(克) 圖 2-17 不同形狀、質量顆粒布朗物體平均能量: 不同形狀、質量的顆粒布朗物體在相同的振動台振動強度 值下，三個自由度之每單 位質量的平均動能。 Ex 是 x 方向平均動能、 E y 是 y 方向平均動能、 E 是轉 動平均動能。. 50.
(58) 表 2-1. 參數 物體質量. 59.7(克). 物體底面半徑. 2.51(公分). 物體高度. 2.01(公分). 物體轉動慣量. 155.62(克‧公分平方). 振動台振動強度. 3.63. 平均動能. Ex : x 方向平均動能. 67.3 2.0(微焦耳). E y : y 方向平均動能. 69.5 2.1(微焦耳). E :轉動動能. 67.2 2.1(微焦耳). 表 2-1 圓盤顆粒布朗物體參數和實驗結果: 圓形顆粒布朗體的參數，以及振動台的振動強度振動強度，和實驗完成後的平均動 能。. 51.
(59) 圖 3-1. x 方向. (a). y 方向 轉動. 能 量 自 相 關 函 數. 時間(0.5 秒) x 方向. (b). y 方向 轉動. 能 量 自 相 關 函 數. 時間(0.5 秒) 圖 3-1 分子動力學模擬能量自相關函數圖: (a)能量自相關函數圖，橫軸為時間，黑色線為 x 方向移動動能，紅色線為 y 方向移 動動能，藍色線為轉動能量之自相關函數，(b)縱軸取對數後之圖形。. 52.
(60) 圖 3-2. 顆粒 2 顆粒 1. 𝑣1 𝜔 ⃑1. 𝛾. 𝑣𝑐. 𝑛⃑. 𝜔 ⃑2 𝑣2. 圖 3-2 顆粒體碰撞示意圖: 有旋轉的粗糙顆粒體 1,2 互相碰撞，黑點為球心，𝑣1,2 為碰撞前速度，𝜔 ⃑ 1,2為碰撞前 角速度，𝑛⃑為連心線的單位向量，𝑣𝑐 為接觸點相對速度，𝑛⃑和𝑣𝑐 的夾角為碰撞角度 。 。. 53.
(61) 圖 3-3. 週期性邊界. 顆粒布朗物體. 𝑣𝑥 =0 𝑣𝑦 =0 𝜔 =0. 顆粒氣體. 𝐸𝑥 =𝑇/2 𝐸𝑦 =𝑇/2 𝐸𝜔 =0. 圖 3-3 分子動力學模擬初始情況示意圖: 模擬的初始情形，藍色圓圈是顆粒氣體，紅色圓圈是顆粒布朗物體，邊界為週期性邊 界，一開始顆粒氣體的 x 、 y 方向速度為常態分布，其顆粒溫度(能量)為 T / 2 。初始 情況顆粒氣體的角速度為 0，而顆粒布朗物體一開始 x 、 y 方向速度和角速度都為 0。. 54.
(62) 圖 3-4 (a). 機 率 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝝎. 速度(公分/秒)，角速度(弧度/秒) (b). 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝝎. 機 率. 速度(公分/秒)，角速度(弧度/秒) 圖 3-4 顆粒氣體和顆粒布朗物體速度分布圖 (a)顆粒氣體(b)顆粒布朗物體之三個自由度速度的分布機率，紅色的點為 x 方向速 度，黑色的點為 y 方向速度，綠色的點為角速度。. 55.
(63) 圖 3-5 (a) 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. 機 率. 動能(奈焦耳) 𝑬𝒙 𝑬𝒚. (b). 𝑬𝝎. 機 率. 動能(奈焦耳) 圖 3-5 顆粒氣體和顆粒布朗物體能量分布圖: (a)顆粒氣體(b)顆粒布朗物體之三個自由度能量的分布機率，其中 E x 是 x 方向動 能， E y 是 y 方向動能、 E 是轉動動能。 56.
(64) 圖 3-6 (a) 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. (. 平 均 動 能 奈 焦 耳. ) 垂直碰撞係數 (b). 平 均 動 能 𝑬𝒙 𝑬𝒚. ). (. 奈 焦 耳. 𝑬𝝎. 垂直碰撞係數 圖 3-6 平均動能隨碰撞係數 的變化: 改變不同的碰撞係數 值的(a)顆粒氣體(b)顆粒布朗物體的三個自由度的平均動能 變化， E x 是 x 方向平均動能、 E y 是 y 方向平均動能、 E 是轉動平均動能。. 57.
(65) 圖 3-7. (a). (. 平 均 動 能 奈 焦 耳. ). 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. 摩擦係數 . (b). 平 均 動 能 (. 奈 焦 耳. ) 𝑬𝒙 𝑬𝒚 𝑬𝝎. 摩擦係數 圖 3-7 平均動能隨摩擦係數 的變化: 改變不同的摩擦係數 值的(a)顆粒氣體(b)顆粒布朗物體的三個自由度的平均動能 變化， E x 是 x 方向平均動能， E y 是 y 方向平均動能、 E 是轉動平均動能。. 58.
(66) 表 3-1 時間對應表. 模擬單位. 真實物理單位. 長度. 1. 0.1(公分). 單元分區寬度. 1.1. 0.11(公分). 質量. 1. 4.47x10-3(克). 速度. 1. 0.2(公分/秒). 溫度(能量). 1. 1.78x10-5(微焦耳). 時間. 1. 0.5(秒). 每ㄧ步時間間隔. 10-5. 5x10-6(秒). 溫度調整時間間隔. 10-4. 5x10-5(秒). 數據截取時間間隔. 10-1. 0.05(秒). 模擬總時間. 109. 5000(秒). 表 3-1 單位對應表 模擬的時間跟真實時間的對應表，模擬總時間和溫度調整的時間間隔以及數據截取 的時間間隔，經過換算得出真實物理時間。. 59.
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