93學測(數學考科)

2 線規0 線 98

93 學年學科能力測驗數學考科試題

第 一 部 分 ： 選 擇 題 壹 、 單 一 選 擇 題 說明：第1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。 1.( )已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之和為 30，則下列哪一選項為此數列之公差？(1) 1(2) 2(3)3(4)4(5)5 2.( )下列選項中的數，何者最大？(1)₁₀₀10₍₂₎₁₀100₍₃₎₅₀50_(4)50!(5)100! 50! [其中 n!    n (n 1) 2 1] 3.( )右圖陰影部分所示為複數平面上區域

A＝{z： (cos sin ), 0 1, 3 5

4 4 z r i   r     } 之略圖。令 D＝{w：_{w z} 3_{, z}_{A}，試問下} 列選項中之略圖，何者之陰影部分與區域D 最接近？ (1) (2) (3) (4) (5) 4.( )在坐標空間中給定兩點 A(1,2,3)與 B(7,6,5)。令 S 為 xy-平面上所有使得向PA量垂直於向量PB的 P 點所成的集合，則 (1) S 為空集合(2)S 恰含一點(3)S 恰含兩點(4)S 為一線段(5)S 為一圓 5.( )設ABC為平面上的一個三角形，P 為平面上一點且AP ABtAC 3 1 ，其中 t 為一實數。試問下列哪一選項為 t 的最大 範圍，使得 P 落在ABC的內部？(1) 0＜t＜1 4(2) 0＜t＜ 1 3(3) 0＜t＜ 1 2(4) 0＜t＜ 2 3 (5) 0＜t＜ 3 4 6.( )台灣證劵交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價)的漲、跌 7%範圍內變動。例 如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間。假 設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌 7%)，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請問經過這十個交易日後，該支股票每股的收盤 價最接近下列哪一個選項中的價格？(1)39 元(2) 39.5 元(3) 40 元(4) 40.5 元(5) 41 元 貳 、 多 重 選 擇 題 說明：第7 至 11 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未答者 不給分。只錯一個可獲2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。 7.( )中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌「外側車道 大客車專用」。請選出 不違反此規定的選項(1)小型車行駛內側車道(2)小型車行駛外側車道(3) 大客車行駛內側車道(4) 大客車行駛外側車道 (5) 大貨車行駛外側車道 8.( )在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面？(1)3x＝2 2 y (2)3_x2_＋2 2 y ＝1(3)3_x2_－2 2 y ＝1(4) x y ＝1(5) x  y ＝1 9.( )如右圖 O-ABCD 為一金字塔，底是邊長為 1 之正方形，頂點 O 與 A、B、C、D 之距離均為 2。試問下列哪些式子是正確的？ 2 ) 5 ( ) 4 ( 0 ) 3 ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 (                  OC OA OD OC OB OA OD OC OB OA OD OC OB OA OD OC OB OA x y x y y x x y y x D

O

C B A x y

2 10.( )從 1,2,…,10 這十個數中隨意取兩個，以 p 表示其和為偶數之機率，q 表示其和為奇數之機率。試問下列哪些敘述是正 確的？(1) p＋q＝1 (2) p＝q (3) 1 10 p q  (4) 1 20 p q  (5) p 1 2 

11.( )設 f(x)為三次實係數多項式，且知複數 1＋i 為 f(x)＝0 之一解。試問下列哪些敘述是正確的？(1) f(1－i)＝0 (2) f(2＋i) 0(3)沒有實數 x 滿足 f(x)＝x(4) 沒有實數 x 滿足 f(_x3_{)＝0(5)若 f(0)＞0 且 f(2)＜0, 則 f(4)＜0.} 第 二 部 分 ： 填 充 題 說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–31)。 2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 某數學老師計算學期成績的公式如下：五次平時考中取較好的三次之平均值佔 30%，兩次期中考各佔 20%，期末考佔 30%。某生平時考成績分別為 68、82、70、73、85，期中考成績分別為 86、79，期末考成績為 90，則該生學期成績為 。(計算到整數為止，小數點以後四捨五入) B. 某電視台舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有 1000、 800、 600、 0 元獎額的球。參加者自行從抽獎 箱裡摸取一球(取後即放回)，主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次，但是所得 獎金折半(若再摸到 0 就沒有第三次機會)；則一個參加者可得獎金的期望值是 元。(計算到整數為止，小數點以後四 捨五入)

C. 設 a, b, c 為正整數，若alog5202blog5205clog 13 3520  , 則 a＋b＋c＝ 。

D. 設ABC為一等腰直角三角形，BAC 90 。若 P、Q 為斜邊_BC的三等分點，則tan PAQ ＝ 。(化成最簡分數 ) E. 某高中招收高一新生共有男生 1008 人、女生 924 人報到。學校想將他們依男女合班的原則平均分班，且要求各班有同樣

多的男生，也有同樣多的女生；考量教學效益，並限制各班總人數在 40 與 50 人之間，則共分成 班。

F. 在坐標空間中，平面 x－2y＋z＝0 上有一以點 P(1,1,1)為圓心的圓, 而 Q(－9,9, 27)為圓上一點。若過Q 與圓相切的直 線之一方向向量為 (a, b, 1)，則 a＝ ，b＝ 。

G. 設270  A 360且 3 sinAcosA2sin 2004. 若 A＝m, 則 m＝ 。 H. 坐標平面上的圓 C： 2 (x7) ＋ 2 (y8) ＝9 上有 個點與原點的距離正好是整數值。 I. 在坐標平面上，設直線 L：y＝x＋2 與拋物線： 2 x ＝4y 相交於 P、Q 兩點。若 F 表拋物線的焦點，則PF QF ＝ 。 12 13 14 15 16 17 18 20 19 23 25 26 27 21 22 24 28 29 30 31

2 參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值 1. 一元二次方程式 ax2_{+bx+c=0 的公式解：} a ac b b x 2 4 2 _    2. 平面上兩點P₁



x₁, y₁



，P₂



x y₂, ₂



間的距離為P P_{1 2} x₂ x₁ 2 y y 2 1 2  (  ) (  ) 3. 1 2 1 2 2 2 1 1, ) ( , ) ( x x y y m y x y x    的直線斜率 與 通過 , x2 x1.

4. 三角函數的和角公式：sin(A＋B)＝sinA cosB＋cosA sinB

1 2 1 2 1 2 tan tan tan( ) 1 tan tan           5. ABC 的餘弦定理： _c2 _a2_b2_2abcosC

6. 棣美弗定理: 設z r



cosisin ，則



zn _rn



_cosn_i_sinn_



_{，n為一正整數}

7. 算術平均數： 1 2 1 1 1 ( ) ( _n) n _i i M X x x x x n n       



8. 參考數值： 2 1.414; 31.732; 5 2.236; 6  2.449;  3.142

9. 對數值： log₁₀20.3010, log₁₀30.4771, log₁₀50.6990, log₁₀70.8451

常用對數表 log N10 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表 尾 差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 …. 91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4 92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4 93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4 94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4 95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4 96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4 97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4 98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4 …. 註 1. 表中所給的對數值為小數點後的值。 2. 表中最左欄的數字表示 N 的個位數及小數點後第一位，最上一列的數字表示 N 的小數點後第二位。