表徵與國小學生代數思考之初探性研究

陳嘉皇、梁淑坤 教育研究集刊 第六十輯第二期 2014年6 月 頁卜的 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

l

表徵與國小學生代數思考

之初探性研究

陳嘉皇、梁淑坤

摘要

-

.-1 11:祖F間心liIlt區區自_. 一一 一 一 一 一 一 回聲喝搞研 本研究旨在透過不同表徵問題，檢驗理解學生一般化表現情形，依據表現顯 示之難易度，解析學生一般化適用之表徵類型，並探索表徵可提供何種相關歐 示來協助學生一般化。研究樣本為國小五、六年級學生，共423 人，利用測驗調 查及訪談方式蒐集資料，資料分析採量化與質性併陳方式進行。研究發現包括: 一、六年級學生一般化的表現較五年級學生佳，且有顯著差異存在;二、學生在 各問題的反應呈現以表格表徵的問題表現最佳，其次是文字與圖形表徵'再者為 圖像表徵問題的表現，而數字表徵則最凰困難;三、表格、圖形與文字表徵的問 題可適用於學生一般化歷程發想、問題的理解、變數的辨識、結構關係的連結和 發展;四、圖像與數字表徵問題可激發學生對變數關係的發展加以推理與臆測， 形成規則進行解題。 關鍵詞:一般化、代數思考、表徵 陳嘉皇，國立金中教育大學數學教育學系副教授(通訊作者) 梁淑坤，國立中山大學教育研究所教授 電子郵件:

[email protected]

投稿日期: 2013 年05 月 01 日;修改日期: 2014年02 月 20 日;採用日期 :2014年04 月 23 日

An Exploratory Study of Mathematical

Representation and Algebraic Thinking of

Elementary School Students

Chia-Huang Chen Shuk-Kwan Leung

Abstract

This study provided various representation problems with which to evaluate

students' performance in generalization. The types of representation appropriate

for generalization were determined according to the difficulty and characteristics of

the representation problems. A total of

423 日fth

and sixth grade students underwent

generalization tests and interviews

,

the results of which were subjected to both

quantitative and qualitative analysis. The results showed that sixth grade students

significantly outperformed fifth grade students in generalization problems. In addition

,

students performed most favorably in table representation problems

,

followed by text

,

graphs

,

and pictorial representations. The students felt that numeric representation

was the most difficul

t.

We found that representation problems adopting tables

,

graphs

,

and text are suitable for thinking in the process of generalization problems

,

variable

Chia-Huang Chen

,

Associate Professor

,

Department of Mathematics Education

,

National

Taichung University ofEducation (Correspondence Author)

Shuk-Kwan Leung

,

Professor

,

Department ofEducation

,

National Sun Vat-sen University

Email: [email protected]

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

3

recognition

,

and the connection and development of structural relationships. Pictorial

and numeric representations were shown to stimulate students to speculate about

variable relationships and form rules with which to solve problems. We believe that the

results of this study provide a valuable reference for researchers in terms of algebraic

thinking and instructional developmen

t.

壹、緒論

代數是數學教育的核心，可幫助學生理解數學的概念與步驟，創造和解釋數 學的模式，但長久以來，卻只被視為是進入較高階數學的門檻，是種「不公平的 機器 J '嚴重使得學生產生疏離 (Kaput，

1998)

0 Kaput認為，要解決代數學習 所造成的不公平現象，須將代數的學習視為是新公民的權力、所有學生都需擁有 的經驗。為呼應「所有人的代數」之要求，美國數學教師學會 (National

Council

of Teachers of Mathematics

[N

CTM]

,

2000) 重新檢驗學校的代數教學，認為代數 不應是國中以後才被教導的科目，應從幼稚園起就不斷地持續接觸。而我國教育 部 (2003 )順應世界潮流，為培養學生觀察數量關係，展現數學結構的能力，也 將代數主題向下延伸至小學。 Kaput提議代數的內涵需包含一般化和形式化的樣 式與其限制、系統的引導形式化的操弄、抽離關係結構與系統計算的研究、整合 控制的變項、模式與現象的語言群集，才能透過數學知識的應用，融入不同形式 的代數思考。 Kaput同時也主張代數的學習應提供有規則變化的樣式給予學生操 作，從推理的歷程發現數學問題的結構關係，進而以數學的符號或表列式整合數 學概念。 但何謂一般化?

Dreyfus

(1991) 將其視為辨認範例的共通性

( commonalities)

，對特殊範例進行推知 (derive) 或化約 (induce) ，將正確歸

納的結果擴展到更多案例的歷程。Kieran

( 1996

)認為，代數進程需包含表徵、 轉化與後設層次活動的連結，才能有效地協助學生進行代數思考。表徵的活動包 含產出表列式以呈現問題關係;轉化的活動則以規則之間的變化為主，例如:因 素分解與簡化項目，其重點在於形式變化時能保留等價的概念;後設層次的活動 則為應用適當的代數內容做為工具，進行解題、塑造和證明。 上述學者皆建議，算術是代數的一部分，小學的教學必須將重點放在支持 算術有關的代數特徵上，而代數特徵的呈現，就以樣式一般化的活動最為適宜

(Kaput

,

1998; NCTM

,

2000) 。在臺灣， {九年一貫課程綱要》中之「連結」能 力指標詮釋有關「轉換」部分，強調學生能把情境中與問題相關的數、量及形析 出，並以數學語言表出，熟悉解題的各種歷程，包含蒐集、觀察、臆測、檢驗、

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思主之初探性研究

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推演、驗證、論證等，以求克盡其功，如此一般化就是最佳的活動(教育部，

2003

)。例如:小學低年級之九九乘法活動，教師若能以數列的方式逐次呈現， 將有助於學生觀察積的前後變化以及被乘數和乘數之間的關係，經由一般化而學 習乘法「倍數」的概念;中年級之乘法交換律與結合律律則的學習，亦可透過數 量之圖示範例比較，經由一般化整合後得出AxB=BxA或 (A

x B) xC = A x

(B

x C) 的概念;到高年級怎樣解題的單元，一般化更可促進學生對函數關係 的理解。另外，在圖形面積公式的歸納、分數小數概念的理解上，若能透過一般 化的活動，亦可協助學生輕易解題。由此可知，一般化能力的展現可應用於國小 數學許多重要的領域上。代數符號包含複雜的規則與內在關係，學生若能理解樣 式和符號規則與它們之間的關係，將能進行數學的溝通並產出概念。協助學生克 服代數思考的困境，首要任務就在於理解他們如何對樣式問題進行推想和解題? 如何對樣式一般化的推想和解題進行連結?

Bl

antonWKaput

(2002) 主張，學生 可透過表徵對情境進行厭知與呈現組織的意義，進而描述情境的運算與關係'問 題可探取文字、圖形、表格、方程式等呈現案例，經過判讀與應用後，可做為發 展一般化的基礎。 表徵是符號、特徵、影像或物件的輪廓圖像，可以「代表」或「呈現」某些 事物。以表徵的本質而言. I 呈現」此術語可探用多種方法加以說明，例如:

對應 (correspond to) 、表示 (denote) 、描繪 (depict) 、體現 (embody) 、 編碼 (encode) 、誘導 (evoke) 、標記 (label) 、解釋 (mean) 、產出

(produce) 、指涉 (refer to) 、建議 (suggest) 、符號化( symbolize) 等

(Goldin

,

1998) 。要具體呈現這些定義，需將進行「呈現」時所包含的實體加 以區別，採取一些方式讓某實體可代表另一實體，例如:可用符號或文字表示可 被計數出的具體物件集合。 近年來.

NCTM

(2000) 明瞭算術「轉換J (translating) 代數的重要性， 將表徵視為是「歷程的標準J .將其解釋為數學領域獲得和運用知識的方法，例 如:學童會運用數字呈現號碼、字母代表變數、特殊的特徵(如+、一、×、÷ 代表數學和邏輯的運算) 0 NCTM指出. I 不同的表徵可從不同的觀點詮釋相同 複雜的概念或關係」。因此，要深入確認數學知識，學童需要一些不同表徵來支 持他們的理解。而不同表徵問題的呈現，將有助於學生推理、臆測等一般化能力

的促進。雖然表徵應用的研究愈來愈受到重視，然觀察教學實務與樣式關聯的議 題，除文字與圓形表徵較常用於課室外，其餘表徵案例成效的探討則較為缺乏。 是否任何表徵的問題都可促進學生一般化?學生在不同表徵問題的解題表現都一 樣?若要提升學生數學成就表現，針對不同表徵問題可提供學生何種樣式，一般 化的歐示是值得探討的。透過上述動機說明，本研究擬透過數學作業的調查與訪 談方式探索學生一般化的表現及表徵與一般化表現交互作用的情形，目的如下: 一、探究國小五、六年級學生一般化表現的情形，明暸學生代數思考作業的 狀況，以做為改善教學之依據。 二、比較學生在不同表徵問題之一般化表現，瞭解表徵作業與學生代數思考 之交互作用情形，以做為代數思考課程設計參考之要領。 三、探索不同表徵問題可提供學生一般化表現何種歐示，以掌握一般化進 程，提升學習表現。

貳、文獻探討

一、代數思考與表徵的關係

數學一般化是個體對數學物件的特性加以觀察、連結以產生合宜的規則，進 而利用此規則解題與應用的歷程。如何讓學生辨識問題、正確推想，獲得一般化

的能力，是數學概念連結與發展的重要議題 (Nathan

&

Kim

,

2007)

0 Nathan與

Kim

(2007) 認為，運用表徵可幫助學生理解數學概念; Earnest與Balti

(2008)

則認為代數問題的設計取向，會影響代數思考如何進行，因此問題設計的重點應 在於激發與提升學生參與辨識、擴展及預測樣式的運用，表徵就是最佳的工具。

呈現表徵的方式可分為描述(depiction) 和符號化(symbolization) 兩種

( Goldin & Kaput

,

1996)

，前者以圖像為主，後者則以公式為代表。賦予這些符

號和圖像表徵力量的方法，可透過較高層次的結構，即同時呈現不同表徵而建立 彼此的關係。表徵內或表徵之間的結構，以及內在和外在表徵之間的符號關係， 可將數學的「意義」和「理解」進行編碼。Goldin (2003) 認為，學童表徵的發 展需經三個階段:

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

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(一)創造/符號的( inventive/semiotic) 階段:經由先前已建立的表徵推 論而賦予內在輪廓結構的意義。

(二)結構發展的階段(

a period of structural development)

:透過最初賦予

的意義而敢動，這些存在於較新系統內的關係'是建構在先前意義的模板上。 (三)白發階段 (an

autonomous stage)

:此時的表徵依照功能情況，彈性 配合新意義及新情境，從較早的表徵中分離，此階段可被描述成數學概念的歷史 發展。 此三階段對見童概念的理解和意義的建構，可提供代數學習歷程的分析。在 符號階段，經過新特徵和結構的介紹後，經常提供最初表徵的意義做為長期心 理狀態「真實的意義J

(real

meaning) 。因此，對學童來說，計數具體物件的 結果，可依其功能當作是「真實的」數字。而結構化階段雖無明顯特徵可加以觀 察，但仍會持續發展，因為真實意義的概念已經被確認。最後，此新表徵會增加 力量而變成自發性，但也只有在表徵成為其他新的解釋時才行。由此可見，這些 說明設下了認知障礙，因為學生必須放棄最初、己建構的表徵所連接的符號，直 到形成新符號的行動，才能提供新的意義(

Goldin

,

2003

)。 至於如何將表徵的符號意義連結一般化?

Dreyfus ( 1991

)認為，需經歷四 個階段才能展現一般化的能力: (一)能使用單一的表徵代表變數的意義。 (二)運用更多類型的表徵表示變數發展或變化的意義。 (三)可同時將不同表徵產生的意義做連結。 (四)整合及彈性運用表徵。 此歷程建議學生需經辨識、理解變數意義、連結變數變化關係，整合與歸納 成規則或結構，進而解決問題。此論述與 NCTM (2000) 所強調的學生是否理解 數學概念可從其能否對各種表徵進行轉換和應用的觀點一致。然觀察課室，教 師常將教學的焦點放在單一變數與其變化意義的呈現上，認為只要配合意義的呈 現，無需線索的暗示或重點指導，學生自然就能達到後兩階段的連結與轉換。但 事實不然.

Dreyfus ( 1991

)認為，學生雖可辨識問題中表徵呈現的變數意義， 卻無法根據變數發展的脈絡來歸納問題的結構和規則。另一現象則為教師以文字 或圖形表徵的文本進行教學，並末配合其他表徵進行數學概念的轉化。為協助學

生進行一般化， Dreyfus認為，問題設計必須放在多元表徵的發展與連結，融合 一般化的活動，不只建構變數的意義，還需協助學生進行表徵的轉化，連結問題 情境的結構。 Kilpatrick 、 Swafford與Findell (2001) 在《加入進來:幫助兒童學

習數學~

(Adding it

均:

Helping Children Learn

Mathematics) 一書裡，針對學生

數學能力的培養，不僅大聲疾呼教師應藉由此種方式的引導，建構學生堅實的數 學能力，同時還舉出許多研究實例支持其觀點。鑑此，本研究採取Dreyfus的觀 點，設計多種不同形式表徵提供學生操作，以進行數學概念的轉換，從中探索其 表現情形。 表徵與學生一般化的發展關係密切，具體而言，小學學生的數學一般化在於 能辨識情境變項、尋找規則與關係'並利用文字、符號歸納算式以解決複雜的問 題。因此，一般化的發展與培養，可根據學生接觸的學習材料，配合其認知思考 層次，融入數字模式與幾何圖形等表徵而增強。這些表徵設計的問題可協助學生 從問題提供的資訊，辨識何者為常數，並從不同表徵問題中發現變數，推想至離

原先問題更遠的數值，利用一般化的規則解題 (Nathan

&

Kim

,

2007

)。

儘管學者己對一般化活動設計的法則提供具體的建議與步驟，然而，不同表 徵問題產出的一般化表現，是否會因為學生的經驗而有所差異?學生知覺到何種 表徵的問題最容易進行一般化?表徵可提供何種助益協助學生一般化?在樣式一 般化歷程中，這些議題是值得探究的，因為從這些反應可瞭解何種表徵設計的活 動適用於國小學生一般化的發展，從學生解題歷程呈現出的思考與策略，亦可協 助教師掌握一般化教材的重點與學生能力發展的脈絡。

二、不同表徵之一般化表現探討

學生在不同表徵設計的問題解題表現如何?根據研究分析，大致呈現語文

表現較為優勢的結果 (Friel，

Curcio

,

&

Bright

,

2001; Koedinger & Nathan

,

2004;

Nathan & Kim

,

2007)

0 Nathan與Kim (2007) 研究發現，具語文優勢者在文字樣

式一般化的表現，相較於圖形作業，其成功比率較高，他們認為主要原因在於自 然語言是學生最容易理解的，文字表徵與學生的社會和認知發展有很大的連結， 當理解文字和意義的歷程被活化後，學生就會調整解題的行動，所以在此種表徵 設計的問題表現會比較好。 Koedinger與Nathan (2 004) 的研究也提供支持的證

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

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據，他們給予六至八年級的學生文字說明與代數符號的等式，配對故事的問題加 以呈現、描述關係，比較學生學習代數課程的表現和策略，分析符號與文字情境 之間表現的差異，以及故事情境對文字與符號等式產生的影響，結果發現，修習 代數的學生會透過策略的運用及發明的解題方案，解決文字等式問題，文字較符 號設計的等式問題有較高層次的表現。 Friel等人(2001 )的研究發現，學生在語文表徵的解題表現較圖形佳，而且 經常對於圖形的意義和運用產生混淆，以致產生錯誤，包括: (一)描繪特殊數量關係時，對圖形基本意義理解的貧乏。當學生利用語言 說明圖形時，常會期待圖形形狀的呈現能配合情境的趨勢，而非數值之間的數量 關係。 (二)對圖形要素理解的欠缺 o 學生也常投射特定的線性觀念在圖形的表徵 上，只顯示某種斜率或是軸上的刻度，或是零截距。 (三)學生透過圖形呈現的架構範間，受限於其呈現的極端模式而變得僵 化。 Friel等人(2001 )指出，學生對閱讀與解釋圖形的意義是困難的，他們發現 一般化歷程若只呈現圖形的模式，學生的解題表現會降低，若要改善其缺失，較 佳的方式是能同時結合語文和圖形呈現資料。透過語文的特徵協助描述圖形資 料，可提升學生一般化的表現。 Blanton與 Kaput (2002) 主張，任何表徵的一般 化是代數思考重要的能力，但研究發現，學生對一般化的認識、創造正確說明和

驗證的經驗是困難的(陳嘉皇.

2006 • 2007 • 2013 ;

Bl

anton

&

Kaput

,

2002)

;

有關樣式活動的檢驗也顯示，學生雖能辨識多元樣式表徵'但無法獲得有用的代

數式進行一般化(Blanton

&

Kaput

,

2002

)。有關圖像表徵對學生解題的表現，

Rivera

(2010) 主張，圖像可促進學生一般化能力的發展。 Ste倍( 1992) 的研究 也發現，圖像可促進學生對於數列概念的一般化。然而，上述學者的研究重點均 集中於圖像的應用，並未擴及到與文字或符號等其他表徵的比較，有關何種表徵 對一般化的促進作用孰優孰劣亦未探討。 近來，研究者也重視學生在離散與連續形式問題的一般化能力發展。 Nathan 與 Kim (2007) 研究發現，學生在連續樣式的一般化表現(線段圖形與語文規 則) .與離散樣式的表現(點狀圓形)相較，具明顯的優勢，亦即學生較容易產

出正確的一般化。但Nathan與Kim也發現，雖然離散資料的樣式會引導學生對抽 離的概念產生質疑，但一些學生在解題歷程中會因資料的特徵而出現「插入」作 業環境的策略(即在兩變數間插入一數字，連結變數完整的關係) ，由於這些離 散特徵的影響，反而強化了學生以身體和知覺為主的推理本質。由Nathan與Kim 的發現可知，連續和離散特徵設計的數學問題會影響學生一般化的表現，若要應 用在一般化活動的設計，可先行呈現連續資料特徵的樣式，培養學生辨識、發現 變數關係的能力，然後藉由離散資料特徵的樣式，激發學生轉換與解題的表現。 一般化的展示需具備理解表徵及操弄變數的能力，若要有效學習代數概念， 只有當不同的、合適的表徵伴隨它們之間的關係進行轉換與結合，才有可能發 展。數學教育目標必須培養學生以不同的表徵系統來發展，學習如何從觀察外在 顯示的現象進行推論，並加以解題。根據上述文獻探討得知，學生一般化的表現 在文字或語言設計之問題較佳，其他表徵的問題則讓學生戚到困難、甚至混淆。 國內學生的表現是否也與上述學者的發現一致，抑或有不同的結果，則仍待後續 探討。

參、研究方法與步驟

本研究採調查法進行資料蒐集。由於表徵與學生一般化表現具有密切關聯， 為瞭解國小五、六年級學生一般化的表現，研究者以自行編製的作業進行調查， 比較其間是否有顯著差異存在。再者，為探討何種表徵問題較適合學生一般化學 習與應用，本研究從問題表現的比較來推測學生應用的難易度。此外，為瞭解各 種表徵問題可提供何種助益的特徵﹒協助學生一般化，研究者於調查結束後再選 取六位學生進行結構性訪談，從訪談內容抽離相關要素。研究架構如圖 l 。

一、研究對象

樣本以立意抽樣方式選取，受試者為臺灣地區 10所公立國民小學五、六年級

學生，共423 人(五年級為 192人、六年級為 231 人) ，參與一般化作業調查。參

與研究之國小皆屬都會型學校，規模中型，全校約為40至60班左右，五、六年級 各有七班以上，研究者從這些學校中各取五、六年級一班學生(總計划班)進行

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小奎生代主墨、考之初探性研究

11

比較國小五、六

•+

進行表徵問題表現比較 結構j性訪談

年級學生一般化 I.文字表徵(words) _~一 I.影響一般化表現因素

測驗的表現 2. 表格表徵 (tables) 2. 表徵扮演的角色 3. 圖形表徵 (graphics) 4 圖像表徵 (diagrams) 5. 數字表徵 (numbers)

!6J

1

本研究架構圖 施測(每班人數約22至28人) .學生家長社經地位中等，普遍為小康家庭，大多 從事商業、工業。學童數學成就表現中等，班級導師大多採用講述法配合問題練 習教學。研究進行時，五年級學生尚未接受任何有關以常用的數量關係，列出適 當算式進行解題，或在比例的情境及幾何公式中，透過列表的方式認識變數，但 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題的經驗;而六年級學生除能以常用 的數量關係列出適當算式進行解題外，尚能用中文簡記式表示物件結構的公式。 為暸解不同表徵問題之特徵如何影響學生一般化，研究者於調查結束後，針 對參與測驗之學生，依照其所屬行政區域(三個區域) .每一行政區域隨機抽取 六名白願接受訪談的學生(五、六年級各三人，以蚓、 A2 、 A3

'

Bl 、 B2 、 B3 命名之. Al 與 B3 為女生，其餘四人為男生)進行結構性訪談。選擇這些學生的 主要考量為: (一)訪談時期，這些學生恰好有空堂時間可配合研究者進行訪 談; (二)他們可對一般化測驗的反應加以描述說明，協助研究者推論與理解一 般化歷程的行動。

二、研究工真

研究者整合Goldin

(1998

,

2003

)以及GoldinWKaput

( 1996

)提出之表徵定 義與其特徵，設計文字、表格、圖形、圖像與數字等五種表徵問題(如附錄)之 「一般化測驗 J .問題中的變數資料融入Nathan與Kim (2007) 建議的連續與離 散形式呈現。各表徵問題之定義與特徵如表 l 。 由於學生進行不同表徵一般化問題的解題需經發想、推理與歸納的歷程，花 費時間較長，考量評量時間、學生作答耐力與問題多樣性的限制，因此，將每

表 1 -IN化各表貨品7盡湖獻之定義與符餅說明 試題題號與表徵類型 定義 問題特蝕 1.文字遞增 運用語言文字陳述的方式，呈現問題情境中變數以連續遞增 6. 文字遞減 變數的意義及其間的關係 或遞減方式呈現 2. 表格遞增 將問題中相關變數以表列方式呈現其間數量變數以連續遞增 3. 表格遞減 的變化關係 或遞減方式呈現 4. 圖形遞增 將問題情境中之變數以座標圖形方式呈現其變數以連續遞增 5. 圖形遞減 間數量的變化與關係 或遞減方式呈現 7. 圖像線性數列題 將問題中的物件以幾何圖像結構方式呈現數物件以連續過增 8. 圖像二次函數題 量的變化與關係 之幾何圖像呈現 9. 數字線性數列題 以未知數或數列方式呈現問題發展的趨勢及數字以連續遞增 10. 文字二次函數題 其間變數的關係 方式呈現 種表徵問題各設計兩子題，採取對照比較的方式，以兩項特徵呈現:一部分題目 中數量的變化採取遞增方式呈現(試題 1

'

2 、 4) .另一部分則採遞減方式出現 (試題6 、 3 、 5) 。以往的研究大多探討學生於變數遞增情境的反應，研究者鑑 於進行一般化解題時，亦應有逆向思考能力之表現，為擴展先前研究範園，因此 納入變數遞減的問題，這些問題經預測結果發現，學生能接受且有良好表現。另 外，因圖像和數字表徵之一般化問題難以變數遞增減的方式呈現，所以，將試題 7與9的問題採線性數列的方式呈現，相對的試題 8與 10則以二次函數方式呈現; 這四題問題除提供視覺變化的線索外，變數的數目亦加以限制，讓學生能以其認 知和經驗加以思考解題。此設計的用意在於協助明瞭問題中資料呈現的特徵與變 化的趨勢，是否會影響學生一般化表現。 另為激發學生一般化解題表現，研究者參酌 Dreyfus

( 1991 ) WKaput

(

1998) 有關一般化的定義:一般化的歷程是個體對物件特性加以觀察、連結以 產生合宜規則，進而利用此規則解題與應用的歷程，將每道問題設計成五小題， 分別包含(一)近程推理、(二)遠程推理、(三)符號連結、(四)解題及 (五)應用等陳述，要求學生依據問題描述進行解題，以瞭解受試者解題歷程展 現的一般化相關能力與技巧。其中，遠程推理是要求學生逐步抽離情境(問題中

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

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的數量呈現離散現象) ，能對未知的數量關係加以推理。此設計可指引學生依照 線索提示，從已知的條件逐步擴展至未知的範圍，其推理可呈現線性的演化，亦 即學生在某子題發生錯誤，其後的子題答案亦會產生錯誤，由此可讓評分者做 正確的判斷。另外，符號連結則是要求學生能夠利用符號，例如:英文字母 A 、

B

、 x 、 y等，表示問題情境中固定變化的變數，連結變數之間關係形成結構， 亦即要求學生進行規則的建立;解題與應用則要求學生對所建立的規則加以檢 驗、應用與擴展。如此設計可協助學生明暸及推論學生一般化發展的層次。有關 問題陳述與學生需呈現之一般化能力，整合如表2 。 表2 一股化周君陳述與要求之能力 解題進程 問題陳述內容 呈現之一般化能力 近程推理 按照這種方式每星期固定把錢存入郵局，理解題意，進一步將變數之間 小玉在第 10個星期時，會存多少錢? 的關係予以近程擴展延伸 遠程推理 請你推測小玉連續要存幾個星期的錢，郵結合變數發展趨勢，進一步將 局的存款才會有 8，000元? 變數之間的關係予以遠程擴展 延伸 符號連結 小玉存了 A 個星期的錢後，郵局的錢是利用符號呈現變數特性或關 7，200元 'A的答案是幾星期? 係，進行抽象思考 解題 小玉存了 30個星期的錢後，郵局的錢是M 形成運算規則進行解題 元 'M的答案是?元 應用 小玉如果存了 B 星期的錢，郵局的錢總共以列算式的策略呈現問題結 有D元，想一想，用一個算式表示D和B的構，進行思考解題，並應用於 關係。 較複雜之案例。 學生針對提供的問題，經文本閱讀後，可依據認知與學習經驗逐步解題，最 後呈現算式以表示問題結構並擴展應用。每一子題答對可得 1 分，錯誤或未答者 以0分計算，每題最多可得5 分，每種表徵(各兩題)合計 10分，最高總分為 50 分。得分愈高，表示其對一般化測驗的表現愈佳。試題經由主成分分析後，得 到文字表徵試題( 1 、 6) 因素分析值為 .84 ;表格表徵c2、 3) 為 .85 ;圓形表徵 (4 、 5) 為 .84 ;圖像表徵c7、 8) 為 .80 ;數字表徵 (9 、 10 )為 .84 。全部試題 之KMO值為 .90

'

Alpha值係 82 。據此，本測驗為一良好之試題，可客觀測量學

生一般化的表現。 本研究亦包含訪談，協助理解影響學生一般化表現的原因及表徵對解題提供 的特徵'每位學生接受訪談時間約為30分鐘: (一)描述你在這道問題裡看到了什麼? (二)此問題中的數字(量)規律如何變化的? (三)這個問題中，什麼東西會改變，什麼還會保持一樣?從哪裡得知? (四)你會採用何種方法解題?為何要用這種方法，是什麼理由? (五)你還會利用什麼方法解決這道題目?你是怎麼想到的? (六)你覺得不管採用的方法是什麼，得到的結果都相等? (七)這個問題為何會產生錯誤?是什麼原因? (八)解這個問題時，你覺得哪些地方會有困難?為什麼?

三、資料蒐集與分析

本研究重點在於呈現學生於表現問題的思考，因此，研究方法採取質量混 合的方式來詮釋，希冀量化結果能簡單且清楚地呈現各種類表徵表現的差異， 此部分資料利用 t 考驗比較五、六年級學生一般化表現是否達到顯著水準 (α<

.05

)。男將學生在不同表徵問題的表現，採取成對樣本 t考驗方式加以比較，從 各表徵問題的表現研判學生對表徵問題一般化的難易程度。再根據學生訪談的內 容予以轉譯、整理、分析及歸類，形成研究結果。為使研究具良好之信、效度， 在信度上採用兩種策略: (一)資料的真實性:對資料的呈現以測驗和訪談紀錄 為依據，詳實予以量化或轉譯成逐字稿; (二)與研究人員討論修正:研究者於 研究過程中與兩位在職國小教師及共同主持人(數學教育學系教授)進行討論修 正，以避免主觀偏見。例如:問題中之數字不宜太大，以免計算時耗時費力影響 到解題效果。在效度的提升上，則採取: (一)研究人員之三角檢定:研究過程 中及資料蒐集後之轉譯分析，研究者與其他成員持續針對資料進行分析討論，以 提供研究者不同面向之思考，減少研究者疏失及主觀偏見，並取得共識。例如:

試題3 彈珠問題，學生對於列出的式子應為 80。一 20B

= D

'採用不同的符號代表

變數像是 800

- 20A= C

'或是800

= D

+

20B時，皆同意答案是正確的; (二)資 料來源的三角校正:研究者運用回溯法獲得之轉譯稿資料、錄影(音)、學生一

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究 的 般化測驗表現進行交叉比較與檢驗，目的是希冀能運用豐富及多元資料檢驗學生 的表現。

四、實施步驟

本研究參考文獻編製一般化測驗相關問題，經過討論、修正後，於2012年2 月至 10月期間進行。施測期間，鼓勵學生選擇和利用各種解題技巧呈現其對問題 的思考，測驗活動結束則進行學生訪談，每位學生約為30分鐘。訪談活動皆予錄 影(音) ，俟研究結束，即整理相關資料進行分類、統計，措寫結果。

肆、研究結果與討論

本節分為學生一般化測驗表現分析、表徵問題難易度比較分析，以及學生一 般化解題訪談內容分析等三部分加以討論說明。

一、學生一般化測驗表現分析

有關學生一般化測驗的表現，如表3 。五、六年級學生的一般化表現有顯著

差異存在 (13.68

<

17.94'

t

=

-4

.4

1 '

p

<

.001)

，六年級學生一般化的表現較五

年級學生佳，亦即在本研究裡，學生一般化的表現隨著年級增加其表現愈佳，此 項假設可獲得支持。從各試題加以分析得知，五、六年級學生除於試題3 (平均 數1.75與1.99 )和試題5 (平均數1.10與1.38 )的表現無顯著差異外，其餘試題的 表現皆呈現顯著差異。探討產出此結果的原因在於'六年級學生的數學概念較五 年級學生深厚，理解能力較強，且解題經驗較為豐富，所以在各測驗問題上，其 一般化表現較佳。學生一般化之表現情形，與其年齡和經驗有密切關係存在。 五、六年級學生於試題3 和試題5 的表現無顯著差異，研究者推論原因可能是: (一)這兩道試題屬於資料遞減方式的問題，五、六年級的教科書較少出現此種 類型題目，學生較為缺乏處理此類試題的經驗，所以五、六年級學生在此表現差 異較小; (二)試題3 和試題5 這兩道試題呈現的變項屬於離散方式的資料，學生 閱讀文本時，經常會忽略變項之間屬於非連續數量變化的關係，以致解題常會產 生錯誤，所以五、六學生皆表現不佳，彼此之間的差異較不顯著。

表3

五、大早級學生一般化油驗表現此實統計至于祈

試題項目

_年級

_平均

_{標準差 t值} 整體測驗 五

1

1.

68

9

.2

2

--'-- 一4 .4 1

***

/ \

15.94

10.65

1.文字遞增 五

1.

69

1.5

1

一1\

\

2.25

1.

69

-3.63***

2. 表格遞增 五

1.

76

1.

49

--'--

-4.19***

/ \

2

.4

1

1.7

6

3. 表格遞減 五 1.7

5

1.7

5

--'--

1.

33

/ \

1.

99

1.

89

4. 圓形遞增 五 1.5

7

1.

59

一1\

\

2.33

1.

82

一4.62*** 5. 圖形遞減 五

1.1

0

.56

--'-- 一1.70 / \

1.

38

1.

78

6. 文字遞減 五_--'--

1.

03

1.

47

一2.75** / \

1.

47

1.

83

7. 圖像線性數列 五

1.

04

1.

65

一1\

\

1.

58

1.

50

-3

.4

8**

8. 圖像二次函數 五

.4

5

.56

--'-- 一2.83** / \

.80

1

.4

7

9. 數字線性數列 五_--'--

.71

.86

-2.09*

/ \

.90

.98

10. 數字二次函數 五_--'--

.58

.97

-2.39*

/ \

.83

1.

20

'p

<

.05.

"p

<

.0

1.

'''p

<

.00

1.

另從問題資料變化的趨勢特徵進行分析，結果顯示，學生在資料遞增變化 或線性數列(試題 1 、 2 、 4 、 7與 9) 的問題上，五年級總分為 6.23 .六年級學生 總分為 8.61 .其一般化表現皆較以資料遞減或二次函數方式的問題(試題 6 、 3 、 5 、 8與 10) 表現佳，五年級總分為 5 .45 .六年級學生總分為 7 .3 3 。研究者探討其 原因有二: (一)遞增與線性數列的題目相對於遞減和二次函數的問題對學生而

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

17

言，前者在解題經驗上較為熟悉與豐富，因此表現較佳; (二)與學生認知發展 有關:對於加法與線性數列的問題，學生根據提供的參照資料，掌握變數的關係 往上加或推演即能解題，但後者除需理解問題結構意義，尚需對變數之間的關係 加以推論及轉換，所需認知資源較多，因此表現較差。 另從一般化歷程表現顯示，大部分學生對問題僅能展現近程推理與遠程推 理的能力(平均數低於 2) -而對符號連結、解題與應用等進階能力的表現則不 佳，此顯示出大多數五、六年級學生一般化的展現，僅能遵循問題中呈現的數據 及線索進行演算，對於超乎問題範圖外的要求，例如:符號連結或歸納等行動， 則 ft到困難，亦即學生能辨識和運用各問題中的變數，但若要組合其關係並加以 擴展則顯不易 -lit 現象 WDreyfus

(1991

)的發現相同，即學生雖可辨識問題中 表徵呈現的變數意義，卻無法根據變數發展的脈絡歸納問題的結構和規則。

二、表徵問題難易度比較分析

學生在各表徵問題一般化表現比對資料，如表4 。 表4 五、六年級學笙存表益費用F居-IN化表現i:c身分折 五年級

六年級

比較項目 _平均數 標準差 t值 _平均數 標準差 t值 文字表格

2.71

2

.4

4

一4.82***

3.72

2.97

-3.94***

3.51

2.74

4

.4

0

3.14

文字圖形

2.71

2

.4

4

.26

3.72

2.97

.03

2.67

2.74

3.71

3.06

文字圖像

2.71

2

.4

4

7.74***

3.72

2.97

8.21***

1

.4

9

2.20

2.38

2.35

文字數字

2.71

2

.4

4

8.97***

3.72

2.97

1

1.

23***

1.

29

1.5

2

1.

73

1.

85

表格一圖形

3.51

2.74

_5.12***

4

.4

0

3.14

_3.95***

2.67

2.74

3.71

3.06

表格一圖像

3.51

2.74

_15.12***

4

.4

0

3.14

₁

_1.

_73***

1.

49

2.20

2.38

2.35

(續下頁)

五年級

六年級

比較項目 _平均數 標準差 t 值 _平均數 標準差 t 值 表格數字

3.51

2.74

₁₆

.4

4***

4

.4

0

3.14

14.38***

1.

29

1.

52

1.

73

1.

85

圓形一圖像

2.67

2.74

_6.02***

3.71

3.06

_7.63***

1

.4

9

2.20

2.38

2.35

圓形一數字

2.67

2.74

7.50***

3.71

3.06

10.76***

1.

29

1.5

2

1.

73

1.

85

圖像一數字

1.

49

2.20

1.

05

2.38

2.35

3.76***

1.

29

1.5

2

1.

73

1.

85

可 <.001 表4 資料顯示，五、六年級學生在各問題的反應大致一樣，皆在表格表徵 的問題表現最佳，其次是文字與圖形表徵，再者為圖像表徵問題的表現，而 數字表徵對學生而言最戚困難。五年級學生在各類表徵問題平均分數分別為

3.51 > 2.71 > 2.67 >

1.

49>

1.訝，文字表徵和圖形表徵兩者之間無差異存在(t=

.26 '

p

> .05)

，圖像表徵和數字表徵兩者之間的表現亦無差異存在(t=

1.

05 '

p>

.05)

;六年級學生在各類表徵問題平均分數分別為4 .40>

3.72 > 3.71 > 2.38

>

1.

73

'其中文字表徵問題與圖形表徵問題兩者之間無差異存在(t =

.03 '

p

>

05 )

此研究發現與多位學者的結果不同 (Friel

et a

I.,

2001; Koedinger

&

Nathan

,

2004; Nathan

&

Kim

,

2007)

，他們研究呈現學生在文字表徵的一般化效果較佳，

本研究則明顯是以表格表徵的一般化表現較佳。至於為什麼學生在表格表徵表現 最佳，研究者推論，因為一般化的養成需能抽離問題中變數之間的關係，形成規 則解題，而表格表徵的問題在文本上會同時呈現物件及數字變化的趨勢，學生透 過視覺化即可直接進行物件與其關係的配對、比較及推理(類似有利於一般化發 展的「函數思考J ) ，形成對問題中變數的結構心像，較容易理解變數的關係， 因此一般化的表現較佳。而文字或圖形表徵雖在文本中亦可說明或展示變數發展 的趨勢，但學生解題歷程需先理解文本的意義，然後將這些敘述轉化成數量關 係'再將變數加以比較、配對產出規則，此歷程所需的認知資源較多，較不易正 確解題;此外，在圖像表徵上，學生需將圖像表徵呈現的物件轉換成數量關係進

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

19

行推理，轉換物件成數量關係，亦需運用計數或分割圖像成典型幾何圖形，再建 立樣式結構的關係，因此，與表格、文字或圓形表徵的問題相較，需用到更多認 知資源，所以一般化表現不佳。當學生面對數列問題時，由於這些問題是抽離情 境的，解題時需先從數列中數字的排列加以辨識與分析其變化趨勢，進一步推論 與檢驗其歸納的規則，才能正確表達與呈現問題的結構，在這些步驟上即需充分 的認知資源才能成功擴展和應用，在大量認知負荷下，學生解題表現就較差。 從學生在各表徵一般化表現的比對，可提供教師一般化教學實施與課程設計 的要點，亦即一般化教學的順序以視覺化的教材為先，提供可對照、推演關係發 展的變數，激發透過辨識與比對方式，協助對樣式的發想和規則產出，所以可先 以表格表徵問題的文本提供學生學習;其次，當熟悉一般化的要點後，可轉化成 文字和圖形表徵的問題，進一步要求學生展現推理和連結變數的能力和技巧，促 進問題結構中變數關係的建構;再者，導入圖像與數字表徵問題，鼓勵學生嘗試 連結、擴展等一般化步驟的應用。此課程設計與教學之進展是依據認知發展及表 徵之特徵而建議，符應 Dreyfus

(1991

)所主張，問題設計的重點必須放在多元 表徵的發展與連結，以一般化做為重點，而不單放在建構變數意義的表徵'忽略 表徵的轉化，致使學生無法連結問題情境的結構。 三、學生一般化解題訪談內容分析 以下以六位學生在資料遞減呈現或二次函數的問題(試題3 、 5 、 6 、 8與 10

)

訪談內容加以分析。選擇這些試題，一方面是考量學生對這些表徵設計的問題， 較不易應用固有的思考模式解題，若要成功解題，則需深入分析問題結構的關 係，採用思考、推理和歸納的技巧，而此行動正可提供研究者瞭解其一般化的表 現;其次是這些學生在五項問題的表現並不一致，學生對提供的問題作答並非全 部正確(除Al 與的外) ，有些會產生錯誤的反應，可見不同的表徵對學生一般 化的表現有不同的影響，訪談資料可提供暸解及比較各表徵對一般化表現的影響 特徵。學生在各問題的得分如表5 。

表5

學生在各表餅fb"思潮獻之得分統計

、 問題 問題 3 問題 5 問題6 問題8 問題 10 總得分 學生\\ (表格) (圖形) _(文字) (圖像) _(數字)

Al

5

5

5

5

5

25

A2

5

4

4

2

3

18

A3

5

5

5

5

4

24

Bl

5

5

5

4

2

21

B2

5

5

5

4

4

23

B3

5

5

5

5

5

25

(一)文字表租車一股化訪談兮析 針對學生文字問題表現的訪談內容，研究者抽離出兩點影響學生一般化表現 的要點:1.文字問題可協助對一般化變數的意義及其之間關係的理解; 2. 文字問 題之描述容易轉化數學符號與變數之間的關係。以下為學生文字表徵問題一般化 的表現(如圖 2) 與訪談的陳述。 1.文字問題可協助對一般化變數的意義及其之間關係的理解 研究者詢問學生「此問題中的數字(量)規律如何變化的? J 與「這個問題 中，什麼東西會改變，什麼還會保持一樣?從哪裡得知? J 問題後，學生的回應 如下:

Al

:題目裡面出現l 分鐘放水25 公升 -2 分鐘放水50公升 -4 分鐘放水 100公升- 5 分鐘放7.K 150公升，隨著分鐘增加，放的水就會增加。

A3

:每分鐘固定放水25 公升，所以 2 分鐘會放水50公升 -4 分鐘放 7.K 100 公升，從題目的說明 -6 分鐘放水 150公升- 8 分鐘放水200公升， 等到一個時間後，水就會放完。

Bl

:題目裡面左邊主現幾分鐘，然後放水幾公升，我看到他說每分鐘 固定放水25 公升 -4 分鐘是 100公升 -6 分鐘中就是150公升，時間 越長放的水越多。

B2

:每分鐘放水25 公升 -6 分鐘放水 150 分鐘，經過多少時間放的水可

陳嘉皇、梁淑主中 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

21

以用幾分鐘乘以 25 算出來，經過 4 分鐘放的水是 25

x

4

=

100 .

6 分 鐘放的水是 25

x

6

=

150 '

10 分鐘就是25

x

10

= 250 。 的:題目裡呈現時間越久，放的水量越多，而且每分鐘固定放水 25 公 升，所以經過幾分鐘放水多少?可以將花的時間乘上 25 就可以算 出答案。 t;游泳池，誰車，豫地向巴.有;l:. ll閻公Jt 'U: 1;a喜Ill15 公婷的卒， JI~IIJlIll 封公脅，尚且可忌地向1l;l:."'<9?S 公升﹒ / Jl~總啥l&j鳥IIll1 SO 公外'I!i";j.池內的;1:."'1峙。公Jt.

JIll lIJl跑長 Illl岫公外'I!i，，;j.;t內的;1:."'1嘲的﹒ 司 J6 分攤峙，‘共.llISO 公升所以誰也內的;1:."'11閻公升﹒

(I間alUl UlU.，f.﹒~誰也在擎的 HII' 司Itlt 舍Jl'1l司長?

J'(明湖公JI'

p)n»刻刻刻'ltUUUH Il，f.'他的拿暈才 tl嗎?當閻公 H

事。 (1 1u)".

。l'!.iUI.A~" ﹒函，攝像地S啥nlHJC閻公JI'﹒ A 鷗$電 U~I?

J ,(80)

“-('l'!誰也..，刻 tll· 4l;j. lttlT 的 UlM 舍11-﹒ M 4I JU? 公JI'

J， (IISO) 公JI'. (司濁泳池..最.utl' 制干的4位量 lO 公外'.-龜，兩 -UU;'OI也 941." -2$民 B ，

D

食﹒ II誰也 111;1:.﹒揍，色，可巴 .f ，f.l(間舍Jt ·.(...lllj~Jt4l;l:.﹒ • I~1I "..1lj}外﹒ ""~ll包肉崎;1:.'"呵7'tHt· ， Fa2.叫“ll1 SO~ff 叫州州咽叫 'I~.""l‘IU.I曲 ~j時﹒"'"...他肉4I;l:.l~剛~Jt. m ‘~."﹒房I.ISO 傘Jt﹒1Itg~池內的4但是紛紛公Jt. II)lf UU"'U.·~綠化UltHJl'“ It舍Jl'4I，f. f

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J'(8"I tl '

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J: “騙 U'

(l)IIlO龜.""IN'“T 4I"UOU'.-.'.-'UUO~B4l"·

鼠的-海外B~D

Al

Bl

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.2~.".必....T 閻公外. 1't.CI.~缸，已內的象是呻且~11-' ..命....，‘...，閻公外·，，，，..itotl包間的，.，"'.吸"。傘Jt. 1- ....軸_..帥~'I'lt u肌肉的叫叫 M ﹒ (1 )lI..ll.﹒'$~~".'"''他 ...0....· ..，.，公..，...， $:('得γ:I， ~1t (2)...Jt.~..l u...~...* .他的...才.Of可 F"""""啥? .:(/'1.0)~..

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B2

A2

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_

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V

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A3

B3

軍2 學生對文字表徵問題一般化作業之表現

由說明顯示，文字問題的敘述可呈現相關變數的關係，提供學生對照、比較 的線索，進行一般化推理與思考，建構變數之間結構發展的關係。例如:此問題 呈現的說明，讓學生明瞭「時間」、「放水」和「水量」等變項之間的關係'時 間愈長，放水的水量就愈多，最後泳池的水就會放完，而放掉的水量可以時間乘 以每分鐘固定放的水量求出答案。 2. 文字問題之描述容易連結數學符號與變數之間的關係 研究者詢問學生「利用問題中的英文符號呈現時間及水量的關係'你會怎麼 做? J 及「說明你如何利用發現的規則解題? J 問題後，學生的回應如下: AI: 每分鐘已經知道固定放水 25 公升，泳池剩下水 3000 公升表示放了 2000 公升的水，將放掉的水量除以 25 就知道經過幾分鐘，

2000

-;-25

=

80 。

A2

:幾分鐘放多少水就用 25

x

A 表示，原來泳池有水 5000 '成去 25

x

A

的水就是泳池剩下的水。 BI: 經過 A 分鐘，放掉的水就用 25

x

A 算出來，剩下 M 公升的水 'M 的 意思可以用 5000減去 25

x

A算出來水量。

B2

:剩下的水量可以用 5000 減去 25 x 幾分鐘放掉的水，因為每分鐘固 定放水 25公升， ]0 分鐘放掉的水是 25

x

10

=

250

'剩下 5000-250= 4750 。

B3

:放掉的水可以用 25

x

A 表示 'A 指的是幾分鐘，剩下的水可以用

5000-25

x

A 算出來;要知道放幾分鐘，就用放掉的水量除以 25 就 知道答案。 上述學生的說明顯示，文字問題的說明協助學生明白及連結問題中變數之間 的關係，讓學生瞭解符號代表的意義，例如 :A代表「時間 J 'M代表「剩下的 水量 J '並利用他們進行解題。文字表徵的問題提供學生題意及變數結構關係的 說明，學生若對文字表徵問題的說明不清楚或不瞭解，那麼在一般化初始階段就 會產生錯誤或困難。本研究中， A2 學生忽略 M代表的意義，所以在開始作答時 呈現出「放掉的水量」表示「剩下的水量 J '訪談時即加以修正。

陳嘉皇、梁淑坤 _{表徵與圈 'J、學生代數思考之初探性研究}

23

(二)表格表者在一股化訪談分析 圖 3 為學生表格表徵問題一般化的表現，研究者針對訪談內容抽離出影響學 生一般化表現的要點如下: 主‘土且"'"霜 *_800. '..*..但-*，，，.車遂"l' l島...~命的"t+ ft d:: 且已﹒企且也"看 "...100. '.A.t~巳-傘"...電 .t.. ， tt"'* 日"面.互'.IT"'司‘ 劑."....a.g'b，?FE"e-間..‘而高高 ...-".... JIOO • "鬼，已‘...﹒

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B3

軍3 學生對表格表徵問題一般化作業之表現

1.表格問題提供變數對應變化趨勢的資訊，利於視覺化的判斷 研究者詢問學生「此問題中的數字(量)規律如何變化的? J 與「這個問題 中，什麼東西會改變，什麼還會保持一樣?從哪裡得知? J 問題後，學生的回應

如下:

A2: 第 l 天剩下 780顆彈珠，第 3 天剩下 740顆彈珠，第 5 天剩下 700顆彈 珠，第 7 天剩下 660顆彈珠，表示2 天用去40顆彈珠。

A3

:原有 800 顆彈珠，第 l 天剩下 780 '表示每天用去 20 顆彈珠， 2 天就 會用去 40顆彈珠。

BI

:這個表左邊是1 、 3 、 5 、 7 的方式，右邊是780 、 740 、 700 、 660的 方式主現，表示2 天用去40顆彈珠，那麼9 天時就會是620

'

1 天固 定會用去 20顆彈珠。

B3

:這個題目可以知道每 2 天會用到 40 顆彈珠，用減去的的方式可以 知道第 9 天剩下 620 顆，第幾天剩下幾顆可以用減去 40 的方式算出 來。 學生的說明顯示出，表格問題呈現的資料可協助學生觀察而瞭解變數變化的 趨勢，進而推演更連問題可能的答案，例如:學生觀察表格資料，掌握 f2 天用 去40顆彈珠」此固定變化，利用此發展趨勢配合表格左右欄位資料的對照，推演 第9天或第 11 天剩下的彈珠。 2. 透過表格對應變數發展現象的觀察，容易瞭解問題結構的關係 學生如何整合成結構的關係?研究者詢問相關問題後，學生的回應如下:

Al :

2 天用去40顆彈珠， 1 天就是用去20顆彈珠 'A 天用去的彈珠就用 20 xA算出，剩下的彈珠就用 800去減A 天用去的彈珠。 A2: 表格主現的彈珠是2 天少 40顆彈珠，一天少 20顆彈珠， 800 彈珠以 這樣的方式減少，

800 -;- 20

=

40 '

40 天就會用完，幾天用多少顆彈 珠，用 20去乘以幾天就能算出答案。

A3

:每天用去 20 顆彈珠 'A 天就用去 20

x

A' 剩下的彈珠就用 800 減他

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

25

就可以了。

B2

:剩下的彈珠是用 800 站去 20

x A'

A表示幾天 'A 天用去的彈珠就是

20 x

A

0

B3

:每天用去 20顆彈珠 'A 天就用去 20 xA顆彈珠，剩下的彈珠就用 800 去減;用掉多少彈珠需要幾天，就用用掉的彈珠數量除以 20 就可 以算出幾夭。 學生的說明顯示，表格問題呈現之資料變化趨勢讓學生瞭解「天數」、「每 天用去的彈珠數量」與「原有彈珠數量」之間的關係'藉由表格資料的對應及比 較，很容易連結這些變數的關係'順利推演或運算欲解的答案。 (三)圓形表賞一根 T匕訪談兮析 圖4為學生圓形表擻問題一般化的表現，研究者針對訪談內容抽離出影響學 生一般化表現的要點如下: 1.圖形表徵提供變數發展趨勢比對的脈絡 研究者詢問學生「此問題中的數字(量)規律如何變化的? J 與「這個問題 中，什麼東西會改變，什麼還會保持一樣?從哪裡得知? J 問題後，學生的回應 如下:

Al

:這個圖形的黑點往下斜，表示剩下的距離越來越短，每個點和每 個點相差 100公里， 100公里是2 天所騎白色，一天是騎50公里。 A2: 我把左邊的地方每格加上 2 天，變成 9 天、 11 天、 13 天... ，因 為他每格相差 2 天，下面的部分則分別減去 100 變成 950 、 850 、

750···

，這樣看這個點，就可以知道第幾天的時候剩下多少公里 的路。

Bl

:圖中顯示l 個方格代表2 天，騎了 100公里的路，表示l 天騎 50公 里，所以第 l 天就剩下 1450公里，第3 天剩下 1350 '第 5 天就剩下

1250..·..·

，也可以用 50

x 5

=

250

'表示第 5 天騎了 250 公里的路， 剩下的 00

- 250

=

1250公里的路。 B2: 每格代表2 天騎的路是 100公里，表示 l 天騎的路是 50公里 'A 天騎

的距離就是 50 x

A

'剩下的距離就用的 00 減去 50 x _{A' 剩下的距離} 還需騎多少天，就用剩下的距離除以 50 就可算出答案。 的: 100-;- 代表每天期 50公里的路 'A代表天數時，騎的距離走到 xA' 剩下的距離就用的 00

- 50 x

A 。 /I, 主...，...a&...鳳，如..會的閻公星的軍.絕"珊，盼的，已蛤."從袋，的... ..".傘..."了列."﹒ lII'I_JIl!Il' "了 1 天...明B "7' 夾閻麗 "7' 天lU'揮 "Tn眨紋~J <

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學生對圖形表徵問題一般化作業之表現

陳嘉皇、梁淑坤 表徵與國小學生代數思考之初探性研究

27

學生的說明顯示，圖形表徵的問題提供利用縱座標與橫座標對應的數據，進 行比對與推理，因而得知兩天騎了 100 公里的路程，得到一天騎到公里的答案， 透過圖中物件變化的趨勢，瞭解「騎的天數愈多，剩下的距離愈短」此關係，剩 下的距離可由最初的距離減去騎過的距離獲得。學生需正確地連結圖形中對應位 置的變數，否則容易產生錯誤。本研究中， A2 學生解題開始時，誤以為座標第 五個點顯示是騎了 10天剩下距離的意義，對應的答案是1.1 50公里，雖然延伸縱 座標與橫座標的物件協助其正確推理，但忘記回頭修正答案。 2. 圓形表徵引導解題步驟及答案的驗證 研究者詢問相關問題後，學生的回應如下:

Al

:每天騎50公里的路 'A 天晴的路就是50

x

A' 剩下就用的 00

- 50 x

Ao 第 9 天就是 1500

- 50 x 9

=

1050

'跟這個點的答案一樣。 A2: 每一格會少 100公里，從圖裡看這個點，騎第 15 天時，剩下 750公 里的路，因為一天騎50公里， 15 天，騎了 50

x 15

=

750

.所以剩下

1500 - 750

= 1500 。

B2

:全部的距離減去騎的距離就是剩下的距離，騎了 A 天，剩下的距 離用的 00

- 50 x

A 就可以了。這個點應該在圖形的下面， 15 天剩

750 •

17 天剩下 650···

•

23 天剩 350

•

25 天剩 250 。

B3 :

1 天騎 50公里 'A 天總共騎50 xA公里，剩下的距離用的00減。全部 地完要 30 天，騎了 25 天，表示剩下 5 天的距離要騎.

50 x 5

= 250 。 學生的說明顯示，圖形表徵問題中的對應數字，可引導學生利用此技巧進一 步延伸座標位置的關係，推演與驗證「剩下的距離」等於「全部距離一騎過的距 離」的解題方法與答案是否正確，提升學生自我監控的表現。 (四)圖像表在進一股化訪談兮析 圖 5為學生圖像表徵問題一般化的表現，研究者針對訪談內容抽離出影響學 生一般化表現的要點如下:

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軍5 學生對圖像表徵問題一般化作業之表現 1.圖像表徵問題中的物件圖像，可刺激學生轉化數量關係進行推理 研究者詢問學生「此問題中的數字(量)規律如何變化的? J 與「這個問題 中，什麼東西會改變，什麼還會保持一樣?從哪裡得知? J 問題後，學生的回應

如下:

AI: 第 l 個固是 l 個，第 2個圖是4個，第 3 個圍是 9個，第 4個圍是 16個， 所以我想第 5 個國應該是5 X

5

= 25 個，第 6個圍就是 6 X

6

= 36個， 第幾個固有幾個方塊，就用號碼相乘去算。

A2

:第 l 個圓 l 個，第 2個國是4個，第 3 個圖是9個，第4個園是 16個，第 5 個圖畫出來是25 個... ，第 10個我畫出來是100個方塊，第 12 個