預測與驗證平面凸多邊形面積公式(II)

預測與驗證平面凸多邊形面積公式

(II)

李輝濱

嘉 義 縣 私 立 同 濟 高 級 中 學 【(續)科學教育月刊第 398 期第 24 頁之後】

貳、本文(續)

三、預測平面凸多邊形面積平方式公式與驗證(續)

(三 ) 平 面 凸 六 邊 形 a. 預 測 原 型 面 積 平 方 式 公 式 圖 7 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形 A A A A A A_{1 2 3 4 5 6}，如 圖 7.令 線 段A A1 2=V1，A A2 3=V2，A A3 4=V3， 4 5 A A =V₄， A A =_{5 6} V₅，A A =_{6 1} V₆， 令 此 凸 六 邊 形 面 積 為S(6)，n = 6， 則 m = 4， 故 連接 兩 個 頂 角 A₄與A₁使 形 成 一 對 角 線A A_{4 1}，將 此 凸 六 邊 形 分 割 成 四 邊 形 A A A A_{1 2 3 4}和 另 一 個 四 邊 形 A A A A_{1 4 5 6}，再 參 照 5 個 綜 合 規則，先 預 測出 這 平 面 凸六 邊 形 面 積平 方 式 公 式如 下 ；





2 (6) S =1 4[ 2 1 2 (VV ) + 2 1 3 (VV ) + 2 2 3 (V V) 2 4 5 (V V)  2 4 6 (V V)  + 2 5 6 (V V) ] － 1 ( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V _{) +}2 1 2[－VV V V1 2 3 4cos(A2A4)

－V V V V_{2 3 4 5}cos(A₃A₅)－V V V V3 4 5 6cos



A4A6



－V V V4 5 6 V1cos(A5A1)

－V V V V_{5 6 1 2}cos(A₆A₂)－V V V V_{6 1 2 3}cos(A₁A₃)]+1

2[VV V V1 2 3 5cos(A2A4A5)

+V V V V_{2 3 4 6}cos(A₃A₅A₆)+V V V V_{3 4 5 1}cos(A₄A₆A₁)+V V V V_{4 5 6 2}cos(A₅A₁A₂)

+V V V V_{5 6 1 3}cos(A₆A₂A₃)+V V V V_{6 1 2 4}cos(A₁A₃A₄)] +1

2[－VV V V1 2 4 5cos(A2A5)－V V V V2 3 5 6cos(A3A6)－V V V V3 4 6 1cos(A4A1)] (6-1)

若 令V₁= 0， 使 頂 點A1角 度 亦 等 於 零 ， 則 平 面 凸 六 邊 形 即 退 化 成 平 面 凸 五 邊 形 ， 此 為 凸 五 邊 形 A A A A A_{2 3 4 5 6}，而 方 程 式(6−1)式再 經 過 簡 單的 幾 個 轉 換後 即 退 化 成(5−1)式 的 相 同 類 型 態 ！ 若 此 凸 六 邊 形 內 接 於 一 圓，則A₁A₃A₅=A₂A₄A₆=2，將這角度關係代入(6−1)式， 經 化 簡 運 算 並 令S(6)_circle為 圓 內 接 六 邊 形 面 積 ，(6−1)式 即 變換 成 下 式 ；





2 (6)_circle S =1 4[ 2 1 2 (VV ) + 2 1 3 (VV) +(V V_{2 3})2 2 4 5 (V V)  2 4 6 (V V )  + 2 5 6 (V V ) ] － 1 ( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V

)

2+1 2[－V V V V1 2 3 4cosA6－V V V V2 3 4 5cosA1

－V V V V_{3 4 5 6}cosA₂－V V V_{4 5 6}V₁cosA₃－V V V V_{5 6 1 2}cosA₄－V V V V_{6 1 2 3}cosA₅] +1

2[VV V V1 2 3 5cos(A5A6)+V V V V2 3 4 6cos(A6A1)+V V V V3 4 5 1cos(A1A2)

+V V V V4 5 6 2cos(A2A3)+V V V V5 6 1 3cos(A3A4)+V VV V6 1 2 4cos(A4A5)]

+1

2[－VV V V1 2 4 5cos(A2A5)－V V V V2 3 5 6cos(A3A6)－V V V V3 4 6 1cos(A4A1)] (6-2)

此 方 程 式 (6−2)式 即 為原 型 的 圓 內 接 六 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ！ b. 驗 證 (略)； 此 驗證 過 程 與 五邊 形 ， 七 邊形 者 完 全 類似 ， 請 參 考這 兩 者 。 c. 將 原 型 的 公 式 化 成 半 角 的 公 式 ； 仿 效 五 邊 形 【(二)−c.】 的 計算 過 程 ， 得到 下 列 公 式：





2 (6) S = 1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V ) V V V ] × 2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V ) (V V ) (V V) (V V) V V V ] 4 5 6 1 2 3 1 ( ) 2 V V V VV V   (V V₁ ₂   V₃ V₄ V₅ V₆)－[ 2 2 4 1 2 3 4cos ( ₂ ) A A VV V V  + 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 4 6 3 4 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 5 1 4 5 6 1cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 6 2 5 6 1 2cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 1 3 6 1 2 3cos ( ₂ ) A A V V V V  ]－[ 2 2 4 5 1 2 3 5sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 3 5 6 2 3 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 4 6 1 3 4 5 1sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 5 1 2 4 5 6 2sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 6 2 3 5 6 1 3sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 1 3 4 6 1 2 4sin ( ₂ ) A A A V V V V   ]－[ 2 2 5 1 2 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 4 1 3 4 6 1cos ( ) 2 A A V V V V  ] (6−3)

方 程 式(6−3)式 即為半 角 型 的 平 面 凸 六 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ！ 同 樣 地 ， 若 令V₁= 0， 使 頂 點A1角 度 等 於 零 ， 則 平 面 凸 六 邊 形 即 退 化 成 凸 五 邊 形 ， 此 為 五 邊 形 A A A A A_{2 3 4 5 6}，而 方 程 式(6−3)式再 經 過 簡 單的 幾 個 轉 換後 即 退 化 成(5−8)式 的 相 同 類 型 態 ！ 另 外 ， 又 得 到 下 列 公 式 ,





2 (6)_circle S = 1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V) (V V ) V V V ]  2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V ) (V V ) (V V) (V V) V V V ] 4 5 6 1 2 3 1 ( ) 2 V V V VV V   (V V₁ ₂   V₃ V₄ V₅ V₆)－[ 2 6 1 2 3 4cos ( ₂) A V V V V + 2 1 2 3 4 5cos ( ) 2 A V V V V + 2 2 3 4 5 6cos ( ) 2 A V V V V + 2 3 4 5 6 1cos ( ₂) A V V V V + 2 4 5 6 1 2cos (₂) A V V VV + 2 5 6 1 2 3cos ( ₂) A V V V V ]－[ 2 5 6 1 2 3 5sin ( ₂ ) A A VV V V  + 2 6 1 2 3 4 6sin ( ) 2 A A V V V V  + 2 1 2 3 4 5 1sin ( ₂ ) A A V V V V  + 2 2 3 4 5 6 2sin ( ) 2 A A V V V V  + 2 3 4 5 6 1 3sin ( ₂ ) A A V V V V  + 2 4 5 6 1 2 4sin ( ₂ ) A A V V V V  ]－[ 2 2 5 1 2 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 4 1 3 4 6 1cos ( ₂ ) A A V V V V  ] (6-4) 方 程 式 (6−4)式 即為 半 角 型 的圓 內 接 六 邊形 面 積 平 方式 公 式 ！ (四 ) 平 面 凸 七 邊 形 a. 預 測 原 型 面 積 平 方 式 公 式 現 在 再 參 照 前 述 的 5 個 綜 合規 則 來 預 測平 面 凸 七 邊形 面 積 平 方式 公 式 圖 8 如 圖 8. 在 平 面上 給 定 一 個凸 七 邊 形 A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7，令 線 段 A A1 2=V1，A A2 3=V2，A A3 4 =V₃， A A =4 5 V4，A A =5 6 V5， A A =6 7 V6， A A =7 1 V7， 令 此 凸 七 邊 形 面 積 為 S(7)， n = 7， 則 m = 4，故 連接 兩 個 頂 角A4與 A1使 形 成 一 對 角 線 A A4 1，將 此 凸 七 邊 形 分 割 成 四 邊 形

1 2 3 4 A A A A 和 五 邊 形A A A A A_{1 4 5 6 7}， 則 先 預 測 出 的 平 面 凸 七 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 如 下 ；





2 (7) S =1 4[ 2 1 2 (V V ) + 2 1 3 (V V) + 2 2 3 (V V ) 2 4 5 (V V )  2 4 6 (V V )  2 4 7 (V V )  + 2 5 6 (V V ) + 2 5 7 (V V ) + 2 6 7 (V V ) ] － 1( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V － 2 7 V ₎2₊1 2[−VV V V1 2 3 4cos(A2A4)

－V V V V_{2 3 4 5}cos(A₃A₅)－V V V V3 4 5 6cos



A4A6



－V V V4 5 6V7cos(A5A7)

－V V V V_{5 6 7 1}cos(A₆A₁)－V V V V_{6 7 1 2}cos(A₇A₂)－V V V V_{7 1 2 3}cos(A₁A₃)] +1

2[VV V V1 2 3 5cos(A2A4A5)+V V V V2 3 4 6cos(A3A5A6)+V V V V3 4 5 7cos(A4A6A7)

+V V V V4 5 6 1cos(A5A7A1)+V V V V5 6 7 2cos(A6A1A2)+V V V V6 7 1 3cos(A7A2A3)

+V V V V_{7 1 2 4}cos(A₁A₃A₄)] + 1 2[-VV V V1 2 3 6cos(A2A4A5A6) －V V V V_{2 3 4 7}cos(A₃A₅A₆A₇)－V V V V_{3 4 5 1}cos



A₄A₆A₇A₁



－V V V_{4 5 6}V₂cos(A₅A₇A₁A₂)－V V V V_{5 6 7 3}cos(A₆A₁A₂A₃) －V V V V_{6 7 1 4}cos(A₇A₂A₃A₄)－V V V V_{7 1 2 5}cos(A₁A₃A₄A₅)] +1

2[－V V V V1 2 4 5cos(A2A5)－V V V V2 3 5 6cos(A3A6)－V V V V3 4 6 7cos



A4A7



－V V V_{4 5 7}V1cos(A5A1)－V V V V5 6 1 2cos(A6A2)－V V V V6 7 2 3cos(A7A3)

－V V V V_{7 1 3 4}cos(A₁A₄)] +1

2[V V V V1 2 4 6cos(A2A5A6)+V V V V2 3 5 7cos(A3A6A7)

+V V V V3 4 6 1cos



A4A7A1



+V V V4 5 7V2cos(A5A1A2)+V V V V5 6 1 3cos(A6A2A3)

+V V V V6 7 2 4cos(A7A3A4)+V V V V7 1 3 5cos(A1A4A5)] (7−1) 此 方 程 式 (7−1)式 就 是 原 型 的 平 面 凸 七 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ！ (7−1)式 第 三 部 份總 共 有 C(7,4)=35 個 cosine 項，分 成 5 循 環 組，每 一 循 環組 有 7 項。 依 照 所 歸 納 出 的 循 環 順 序 很 容 易 將 它 們 排 列 出 來，勿 擔 心 其 有 多 複 雜 且 都 完 全 正 確 沒 有 一 項 重 複 ！ 若 令V₇= 0， 使 頂 點A₇角 度 亦 等 於 零 ， 則 平 面 凸 七 邊 形 即 退 化 成 平 面 凸 六 邊 形 ， 而 方 程 式 (7−1)式 經過 簡 單 的 轉換 後 即 退 化成 (6−1)式 ！ 令 圓 內 接 七 邊 形 的 面 積 為S(7)circle， 由 圓 內 接 奇 數 邊 形 的 性 質 知 圓 內 接 七 邊 形 7 個 內 角 之 間 任 幾 個 內 角 和 無 任 何 其 它 特 殊 關 係，故 此 方 程 式 (7−1)式 也 是 原 型 的 圓 內 接 七 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ！ 則



S(7)circle



2=





2 (7) S (7−1)

b. 驗 證 如 下 圖9. 此 凸七 邊 形 被 分割 成 四 邊 形 A A A A1 2 3 4和 五 邊 形 A A A A A1 4 5 6 7， 圖 9. 由 引 理2.和 引 理 5.的 餘 弦 公式 性 質 ， 可得 下 列 關 係式 ； 1 2( 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V − 2 6 V − 2 7 V )

=VV_{1 2}cosA₂+V V_{2 3}cosA₃−V V1 3cos



A2A3



−V V4 5cosA5−V V5 6cosA6−V V6 7cosA7

+V V4 6cos



A5A6



+V V5 7cos



A6A7



−V V4 7cos



A5A6A7



(7−2)

另 由 引 理 3.和 引 理 6.的 面 積公 式 性 質 ，可 得 下 列 關係 式 ； 2 S(7) =V V_{1 2}sinA₂+V V_{2 3}sinA₃−V V1 3sin



A2A3



+V V4 5sinA5+V V5 6sinA6

+V V_{6 7}sinA₇−V V4 6sin



A5A6



−V V5 7sin



A6A7



+V V4 7sin



A5A6A7



(7−3)

則 由 (7−2)式 的平 方 加 上 (7−3)式 的 平方 ， 再 經 詳細 化 簡 ， 得





2 (7) S =1 4[ 2 1 2 (V V ) + 2 1 3 (V V) + 2 2 3 (V V ) 2 4 5 (V V )  2 4 6 (V V )  2 4 7 (V V )  + 2 5 6 (V V ) + 2 5 7 (V V ) + 2 6 7 (V V ) ]－ 1( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V － 2 7 V ₎2₊1 2 2 1 2 3 2 3 [V V V cos(A A) － 2 1 2 3cos 3

V V V A －V V V V_{1 2 4 5}cos(A₂A₅)－V V V V_{1 2 5 6}cos(A₂A₆)－V V V V_{6 7 1 2}cos(A₇A₂)

+VV V V1 2 4 6cos(A2A5A6)+V V V V7 1 2 5cos(A2A6A7)－ 2

1 2 3 cos 2

V V V A

－V V V V_{1 2 4 7}cos(A₂A₅A₆A₇)－V V V V_{2 3 4 5}cos(A₃A₅)－V V V V_{2 3 5 6}cos(A₃A₆)

－V V V V_{6 7 2 3}cos(A₇A₃)+V V V V_{2 3 4 6}cos(A₃A₅A₆)+V V V V_{2 3 5 7}cos(A₃A₆A₇)

－V V V V_{2 3 4 7}cos(A₃A₅A₆A₇)+VV V V1 3 4 5cos(A2A3A5)－ 2 4 5 6cos 6 V V V A +VV V V_{1 3 5 6}cos(A₂A₃A₆)+V V V V_{6 7 1 3}cos(A₇A₂A₃)+ 2 4 5 6cos( 5 6) V V V A A －V V V V_{1 3 4 6}cos(A₂A₃A₅A₆)-V V V V_{7 1 3 5}cos(A₂A₃A₆A₇)－ 2 4 5 6 cos 5 V V V A +V V V V_{7 1 3 4}cos(A₂A₃A₅A₆A₇)+V V V_{4 5 6}V₇cos(A₅A₇)+ 2 4 5 7cos( 6 7) V V V A A － 2 4 5 7cos( 5 6 7) V V V A A A + 2 5 6 7cos( 6 7) V V V A A － 2 5 6 7cos 7 V V V A － 2 4 5 7 cos 5 V V V A +V V V_{4 5 6}V₇cos(A₅A₇)－ 2 4 6 7cos( 5 6 7) V V V A A A － 2 5 6 7 cos 6 V V V A － 2 4 6 7cos 7 V V V A + 2 4 6 7 cos( 5 6) V V V A A +V V V4 5 6V7cos(A5A7) (7−4) 注 意 (7−4)式 第三 部 份 內 容裡 共 出 現 36 個 cosine 項，其 中 也 出現 了 17 個 不符 和 綜 合 規 則 的 項 數 ， 而 這 17 項 恰分 配 成 5 組； 每 一 組 都須 經 由 角 度修 正 參 數 法來 修 正 成 符 和 綜 合 規 則 的 項 ， 修 正 完 成 最 後 的 項 數 也 回 歸 到 35 項 。

(1) 第 一 組 是 F = 2 4 5 7cos( 6 7) V V V A A − 2 4 5 7cos( 5 6 7) V V V A A A − 2 4 5 7 cos 5 V V V A +V V V_{4 5 6}V₇cos(A₅A₇)

= V V V4 5 7[V4cos(A6A7)−V5cos(A5A6A7)+V6 cos(A5A7)−V7cosA5]

應 用 角 度 修 正 參 數 法 將F 的 [ ]內 4 個 項作 轉 換 ， 運算 過 程 如 下；

應 用 引 理 1. 取 n=7 代 入 一組 方 程 式(1)與(2)， 並 化簡 可 得 到 以V₁為 底 的 方 程 式 ；

1

V = V₂cosA₂−V3cos



A2A3



+V4cos(A2A3A4)−V5cos(A2A3A4A5)

−V₆cos(A₇A₁)+V₇cosA₁ (1−7.1) 0 = V2sinA2−V3sin



A2A3



+V4sin



A2A3A4



−V5sin



A2A3A4A5



+V6sin(A7A1)−V7sinA1 (2−7.1) 比 對 (1−7.1)式 與 F 的[ ]內 4 個項，得 知 須將 7 個 內 角分 成A2A3A4A6A7與 A1A5 的 2 組，並 令 A1A5(2.5)  且A2A3A4A6A7=(2.5)  ， 為角度修正參數， 將 此 2 組 角 度 分別 代 入(1−7.1)式 與(2−7.1)式 內 ， 化簡 並 加 以 移項 ， 提 出 公因 式 ， 組 合 ， 整 理 ， 得 1

V = sin[−V₂cos(A₃A₄A₆A₇)+V₃cos(A₄A₆A₇)−V₄cos(A₆A₇)

+V₅cos(A₅A₆A₇)−V₆cos(A₅A₇)+V₇cosA₅]

+cos[V₂sin(A₃A₄A₆A₇)−V₃sin(A₄A₆A₇)+V₄sin(A₆A₇)

+V₅sin(A₅A₆A₇)−V₆sin(A₅A₇)+V₇sinA₅]

將 上 式 改 寫 成 V₁= sin(F₁)+ cosF₂ (7−4a) 0 = cos[V2cos(A3A4A6A7)−V3cos(A4A6A7)+V4cos(A6A7)

−V5cos(A5A6A7)+V6cos(A5A7)−V7cosA5]

+sin[V2sin(A3A4A6A7)−V3sin(A4A6A7)+V4sin(A6A7)

+V5sin(A5A6A7)−V6sin(A5A7)+V7sinA5]

將 上 式 改 寫 成 0 = cosF₁+ sinF₂ (7−4b) 將 (7−4a)式 與 (7−4b)式 聯 立解 出 ， 得 V₁sin =−F₁

而 cos(A₁A₅) = cos((2.5)  )= sin ，則 V₁cos(A₁A₅)=−F₁， 故 得

1

V cos( A₁A₅)+V₂cos(A₃A₄A₆A₇)−V₃cos(A₄A₆A₇)+V₄cos(A₆A₇)

−V₅cos(A₅A₆A₇)+V₆cos(A₅A₇)−V₇cosA₅= 0 因 cos(A₃A₄A₆A₇)= −cos(A₅A₁A₂)， 則上 式 轉 換 成

4cos( 6 7)

V A A −V5cos(A5A6A7)+V6cos(A5A7)−V7cosA5

= −V1cos( A1A5)+V2cos(A5A1A2) +V3cos(A4A6A7) (7−4c)

將 (7−4c)式 代 回第 一 組 F 式 中 ， 因 此 ，第 一 組 F 式 轉 換 完 成 ，得

(2) 第 二 組 是 G. = − 2 4 6 7cos 7 V V V A +V V V_{4 5 6}V₇cos(A₅A₇)+ 2 4 6 7 cos( 5 6) V V V A A − 2 4 6 7cos( 5 6 7) V V V A A A

= V V V4 6 7[−V4cosA7+V5cos(A5A7)−V6cos(A5A6A7)+V7cos(A5A6)]

比 對 (1−7.1)式與 G 的[ ]內 4 個 項，得 知 須將 7 個 內 角分 成A₂A₃A₄A₇與 A₁A₅A₆

的 2 組，並 令 為角度修正參數，A₂A₃A₄A₇=(2.5)  且 A₁A₅A₆ (2.5)  ， 將 此 2 組 角 度 分別 代 入 (1−7.1)式 與 (2−7.1)式 內，化 簡 並 加 以移 項，提 出公 因 式，組 合 ， 整 理 ， 得

1

V = sin[−V₂cos(A₃A₄A₇)+V₃cos(A₄A₇)−V₄cosA₇+V₅cos(A₅A₇)

−V6cos(A5A6A7)+V7cos(A5A6)]+cos[V2sin(A3A4A7)

−V3sin(A4A7)+V4sinA7+V5sin(A5A7)−V6sin(A5A6A7)+V7sin(A5A6)]

將 上 式 改 寫 成 V1= sin(G1)+ cosG2 (7−5a)

0 = cos[V2cos(A3A4A7)−V3cos(A4A7)+V4cosA7−V5cos(A5A7)

+V6cos(A5A6A7)−V7cos(A5A6)]+sin[V2sin(A3A4A7)

−V₃sin(A₄A₇)+V₄sinA₇+V₅sin(A₅A₇)−V₆sin(A₅A₆A₇)+V₇sin(A₅A₆)]

將 上 式 改 寫 成 0= cosG₁+ sinG₂ (7−5b) 將 (7−5a)式 與 (7−5b)式 聯 立解 出 ， 得 V₁sin = −G₁

而cos( A₁A₅A₆) = cos((2.5)  )= sin ，則V₁cos(A₁A₅A₆)=−G₁， 得

1

V cos( A₁A₅A₆)=.−V₂cos(A₃A₄A₇)+V₃cos(A₄A₇)−V₄cosA₇

+V5cos(A5A7)−V6cos(A5A6A7)+V7cos(A5A6)

將 上 式 移 項 ， 整 理 ， 得

−V4cosA7+V5cos(A5A7)−V6cos(A5A6A7)+V7cos(A5A6)

= V1cos( A1A5A6)+V2cos(A3A4A7)−V3cos(A4A7) (7−5c)

將 (7−5c)式 代 回第 二 組 G 式 中 ，因 此 ，第 二 組 G 式 轉 換完 成 ，得

G = V V V_{4 6 7}[V₁cos(A₁A₅A₆)+V₂cos(A₃A₄A₇)−V₃cos(A₄A₇)] (7−G) (3) 第 三 組 是 H = 2 1 2 3cos( 2 3) V V V A A - 2 1 2 3cos 3 V V V A − 2 1 2 3 cos 2 V V V A

= VV V_{1 2 3}[−V₁cosA₃+V₂cos(A₂A₃)−V₃cosA₂]

仿 效 (1−7.1)式 與(2−7.1)式 ，但 換 成 以V₇為 底 的 方 程 式 ， 得 下 列 兩 式 ；

7

V = V₁cosA₁−V2cos



A1A2



+V3cos(A1A2A3)−V4cos(A1A2A3A4)

−V5cos(A6A7)+V6cosA7 (1−7.7)

0 = V₁sinA₁−V2sin



A1A2



+V3sin



A1A2A3



−V4sin



A1A2A3A4



比 對(1−7.7) 式 與 H 的 [] 內 3 個 項 ， 得 知 須 將 7 個 內 角 分 拆 成 2 組 為 A1A3 與 2 4 5 6 7 A A A A A ， 並 令 角 度 修 正 參 數 ，A₁A₃(2.5)  且 A₂A₄A₅A₆A₇= (2.5)  ， 將 此 2 組 角 度代 入(1−7.7)式 與(2−7.7)式 內， 化 簡並 加 以 移 項， 提 出 公 因 式，組 合，整 理，再 參 照 模 仿 F 組 及 G 組 的 演 算 過程(省 略 這 些過 程)，最 後得 (7−6) 式 ， 如 下 ；

−V₁cosA₃+V₂cos(A₂A₃)−V₃cosA₂

= −V₄cos(A₂A₄)+V₅cos(A₂A₄A₅)−V₆cos(A₂A₄A₅A₆)−V₇cos(A₁A₃) (7−6) 將(7−6)式 代 回 第三 組 H 式 中， 最 後 得 轉換 完 成 的 第三 組 H 式 ，如 下

H = VV V1 2 3[−V4cos(A2A4)+V5cos(A2A4A5)−V6cos(A2A4A5A6)−V7cos(A1A3)]

(7−H) (4) 第 四 組 是 T = 2 4 5 6cos( 5 6) V V V A A − 2 4 5 6 cos 5 V V V A − 2 4 5 6cos 6 V V V A

= V V V4 5 6[−V4cosA6+V5cos(A5A6)−V6cosA5]

比 對(1−7.1)式 與 T 的 [ ]內 3 個 項 ， 得 知 須 將 7 個 內 角 拆 分 成 為 A₂A₃A₄A₆與 1 5 7 A A A 的2 組，並 令 為角度修正參數，A₁A₅A₇ (2.5)  且A₂A₃A₄A₆= (2.5)  ，將 此2 組 角 度分 別 代 入(1−7.1)式 與(2−7.1)式 內，化 簡並 加 以移 項，提 出 公 因 式，組 合，整 理，再 參 照 模 仿 F 組 及 G 組 的 演 算 過程(省 略 這 些過 程)，最 後得 (7−7) 式 ， 如 下 ；

−V4cosA6+V5cos(A5A6)−V6cosA5

= −V7cos(A5A7)+V1cos(A5A7A1)−V2cos(A5A7A1A2)−V3cos(A4A6) (7−7)

將 (7−7)式 代 回第 四 組 T 式中 ， 最 後 得轉 換 完 成 的第 四 組 T 式， 如 下 ； T.=.V V V4 5 6[−V7cos(A5A7)+V1cos(A5A7A1) −V2cos(A5A7A1A2)−V3cos(A4A6)] (7−T) (5) 第 五 組 是 W = 2 5 6 7cos( 6 7) V V V A A − 2 5 6 7 cos 6 V V V A − 2 5 6 7cos 7 V V V A

=V V V_{5 6 7}[−V₅cosA₇+V₆cos(A₆A₇)−V₇cosA₆]

仿 效 (1−7.1)式 與(2−7.1)式 ，但 換 成 以V₄為 底 的 方 程 式 ， 得 下 列 兩 式 ；

4

V =V₅cosA₅−V6cos



A5A6



+V7cos(A5A6A7)−V1cos(A5A6A7A1)

−V2cos(A3A4)+V3cosA4 (1−7.4)

0 =V5sinA5−V6sin



A5A6



+V7sin



A5A6A7



−V1sin



A5A6A7A1



+V₂sin(A₃A₄)−V3sinA4 (2−7.4)

1 2 3 4 6

A A A A A ，並 令 為角度修正參數，A₅A₇(2.5)  且A₁A₂A₃A₄A₆

=(2.5)  ,將此 2 組角度代入(1−7.4)式與 (2−7.4)式內，化簡並加以移項，提出公因

式 ， 組 合 ， 整 理 ， 再 參 照 模 仿 F 組 及 G 組 的 演 算 過程(省 略 這 些過 程)， 最 後得(7−8) 式 ， 如 下 ；

−V₅cosA₇+V₆cos(A₆A₇)−V₇cosA₆

= −V₁cos(A₆A₁)+V₂cos(A₆A₁A₂)−V₃cos(A₆A₁A₂A₃)−V₄cos(A₅A₇) (7−8)

將 (7−8)式 代 回第 五 組 W 式中 ，最 後 得轉 換 完 成 的第 五 組 W 式， 如下 ；

W.=V V V_{5 6 7}[ −V₁cos(A₆A₁)+V₂cos(A₆A₁A₂)−V₃cos(A₆A₁A₂A₃)−V₄cos(A₅A₇)] (7−W) (6) 以 上這 五 組 全 部轉 換 完 成 的項 數 共 計 18 項 ， 其 中包 含 在(7−W)式與(7−T)式 內 的 2 個 完 全 相 同 項：−V V V V_{4 5 6 7}cos(A₅A₇)及16 個 完 全相 異 的 項。而 原 來(7−4)式 中 還 有 19 項， 包 含+V V V V4 5 6 7cos(A5A7)這 一 項 。 將(7−F)式 、(7−G)式 、(7−H)式 、 (7−T)式 及(7−W)式 這 五 組 全 部 轉 換 完 成 的 新 18 個項 取 代原 來(7−4)式中 那 不 符 規則 的 17 個 項， 形 成 37 個 項 ； 這 37 項內 容 裡 包 括有 2 個 −V V V V4 5 6 7cos(A5A7)及 1 個 +V V V V4 5 6 7cos(A5A7)， 加 減 之 後 少 了 2 項， 剛 好 構 成了 完 全 符 合綜 合 規 則 條件 下 相 異的 35 項 ！ 再依 據 每 一 項 邊 長 右 下 標 數 字 按 順 序 作 循 環 組 排 列 ， 並 要 特 別 檢 查 及 調 整 每 一 cosine 項( )內 的 角 度 組 合 使 符 合 內 角 排 列 法 則, 如 此 操 作 即 完 美 無 缺 地 將 這 全 新 轉 換 完 成 的 第 三 部 份 35 個 cosine 項 排列 成(7−1)式正 確 的 原 型平 面 凸 七 邊形 面 積 平 方式 公 式 標 準型 式 ！ 驗 證 完 成 。 (五 ) 平 面 凸 八 邊 形 由 前 述 四 種 原 型 平 面 凸 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 的 內 容 知，每 一 cos 項( )內 的角 度 組 合 都 是 呈 現 加 法 性 分 佈 ， 因 此 為 了 縮 減 敘 述 長 度 ， 直 接 定 義 出(1)邊 長 乘 積 與 (2)角 度 組 合 兩 者 符 號 如 下 ； 定 義(1) 邊 長 乘積 ：Vpq rt =V Vp qV Vr t 定 義(2) 角 度 組合 ： Abcdxyz= AbAcAdAxAyAz 如 此 ， 所 有 的 面 積 平 方 式 公 式 長 度 即 可 大 大 地 縮 減 ！ a. 預 測 原 型 面 積 平 方 式 公 式 現 在 再 參 照 前 述 的 5 個 綜 合規 則 來 預 測平 面 凸 八 邊形 面 積 平 方式 公 式 ；

圖 10. 如 圖 10. 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 八 邊 形 A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8， 令 線 段 A A1 2=V1， A A2 3=V2， 3 4 A A =V₃，A A_{4 5}=V₄，A A_{5 6}=V₅，A A_{6 7}=V₆，A A_{7 8}=

V

₇，A A_{8 1}=V₈，令 此 凸 八 邊 形 面 積 為 S(8)，n = 8，則 m = 5，故 連 接兩 個 頂角 A₅與 A₁使 形 成 一 對 角 線 A A5 1，將 此 凸 八 邊 形 分 割 成 五 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅ 和 五 邊 形

A

₁

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈，則 預 測 出 的 平 面 凸 八 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 如 下 ；





2 (8) S =1 4[ 2 12 V + 2 13 V + 2 14 V + 2 23 V + 2 24 V + 2 34 V + 2 56 V + 2 57 V + 2 58 V + 2 67 V + 2 68 V + 2 78 V ] − 1( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V + 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V － 2 7 V － 2 8 V

)

2−1 2[V1234cosA24+V2345cosA35

+V₃₄₅₆cosA₄₆+V₄₅₆₇cosA₅₇+V₅₆₇₈cosA₆₈+V₆₇₈₁cosA₇₁+V₇₈₁₂cosA₈₂+V₈₁₂₃cosA₁₃]

+1

2[V1235cosA245+V2346cosA356+V3457cosA467+V4568cosA578+V5671cosA681+V6782cosA712

+V₇₈₁₃cosA₈₂₃+V₈₁₂₄cosA₁₃₄]−1

2[V1236cosA2456+V2347cosA3567+V3458cosA4678

+V4561cosA5781+V5672cosA6812+V6783cosA7123+V7814cosA8234+V8125cosA1345]

+1

2[V1237cosA24567+V2348cosA35678+V3451cosA46781+V4562cosA57812+V5673cosA68123

+V6784cosA71234+V7815cosA82345+V8126cosA13456] −

1

2[V1245cosA25+V2356cosA36

+V₃₄₆₇cosA₄₇+V₄₅₇₈cosA₅₈+V₅₆₈₁cosA₆₁+V₆₇₁₂cosA₇₂+V₇₈₂₃cosA₈₃+V₈₁₃₄cosA₁₄]

+1

2[V1246cosA256+V2357cosA367+V3468cosA478+V4571cosA581+V5682cosA612

+V₆₇₁₃cosA₇₂₃+V₇₈₂₄cosA₈₃₄+V₈₁₃₅cosA₁₄₅]−1

+V3461cosA4781+V4572cosA5812+V5683cosA6123+V6714cosA7234+V7825cosA8345

+V8136cosA1456]−

1

2[V1256cosA26+V2367cosA37+V3478cosA48+V4581cosA51]

+1

2[V1257cosA267+V2368cosA378+V3471cosA481+V4582cosA512+V5613cosA623

+V₆₇₂₄cosA₇₃₄+V₇₈₃₅cosA₈₄₅+V₈₁₄₆cosA₁₅₆]−1

2[V1357cosA2367+V2468cosA3478] (8−1) 方 程 式 (8−1)式 即為 原 型 平 面凸 八 邊 形 面積 平 方 式 公式 ！ 公 式 中第 三 部 份 的 cos 項 共 出 現 70 個 完 全相 異 的 項 ，符 合 C(8,4)=70 的 關 係 。在 排 列 這 些項 數 時 ， 發覺 第 8 循 環 組 僅 出 現 前 4 項 (後 4 項 重 複了 )， 及 第 10 循 環 組僅 出 現 前 2 項 (後 6 項 都 兩兩 重 複)，而 其 餘 8 組 各 組 都 出 現 8 個 cos 項 。 b. 驗 證 (略 )。 驗 證 過 程 與 平 面 凸 七 邊 形 之 [(四 )−b].的 過 程 完 全 相 同 。 (六 ) 平 面 凸 N 邊 形 1. 定 義 各 循 環 組 的 組 成 表 示 式 符 號 若 已 知 任 一 循 環 組 領 頭 項 的 邊 長 乘 積 為Vaxby，則 這 整 個 循 環 組 的 組 成 內 容 表 示 式 被 定 義 成 C(Vaxby) 的 符 號。 例 4. 對 原 型 平面 凸 n 邊 形面 積 平 方 式公 式 言 ；

C(V₁₂₃₄) = V₁₂₃₄cosA₂₄+V₂₃₄₅cosA₃₅+V₃₄₅₆cosA₄₆+V₄₅₆₇cosA₅₇+V₅₆₇₈cosA₆₈+…… +V(n2)(n1) 1n cosA(n1)1+V(n1) 12n cosAn2+Vn123cosA13

2. N = 9， 平 面 凸 九 邊 形 令 此 凸 九 邊 形 面 積 為 S(9)，n = 9， 則 m = 5， 因 C(9,4) = 126，由 綜 合 規 則排 出 的 原 型 平 面 凸 九 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 被 大 大 地 縮 減 為





2 (9) S = 1 4[ 2 12 V + 2 13 V + 2 14 V + 2 23 V + 2 24 V + 2 34 V + 2 56 V + 2 57 V + 2 58 V + 2 59 V + 2 67 V + 2 68 V + 2 69 V + 2 78 V + 2 79 V + 2 89 V ] – 1 ( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V + 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V － 2 7 V － 2 8 V － 2 9 V

)

2 +1 2[－C(V1234)+C(V1235) – C(V1236)+C(V1237) – C(V1238) – C(V1245)+C(V1246) – C(V1247)+C(V1248) – C(V1256)+C(V1257) – C(V1258)+C(V1268) – C(V1357)] 上 列 公 式 中 ， 第 三 部 份cos 項 數 恰 呈 現 14 個 循 環 組， 每 一 循 環組 有 9 個 cos 項 。 證 明: 略 。 3. N = 10， 平 面 凸 十 邊 形 因 C(10,4) = 210， 由 綜 合 規 則 排 出 的 原 型 平 面 凸 十 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 中 ， 第 三 部

份 cos 項 數 計 有 22 個 循 環組 , 第 16 組 及 第 22 組 各 只 有 5 個 cos 項 ， 而其 餘 每 一 循 環 組 都 各 有 10 個 完 整 cos 項。 以 下 簡 要表 明 這 22 個 循 環組 領 頭項 ； –V1234, V1235, –V1236, V1237, –V1238, V1239, –V1245, V1246, –V1247, V1248, –V1249, –V1256, V1257, –V₁₂₅₈, V₁₂₅₉, –V₁₂₆₇(5 項), V₁₂₆₈, –V₁₂₆₉, V₁₂₇₉, –V₁₃₅₇, V₁₃₅₈, –V₁₃₆₈(5 項) 4. 自 N = 10 , 11 ,12, … 之 後， 公 式 中 第三 部 份 的 cos 項 數 都 超 過 210 項 ，愈 來 愈 多 ， 但 僅 需 應 用 5 個 綜 合規 則 的操 作 細 則 都能 正 確 完 整的 排 列 出 來。而驗 證 公式 時，任 一 多 邊 形 都 要 應 用 到 角 度 修 正 參 數 法 。

參、結論

公 元 1842 年 ，德 國 數 學 家 Bretschneider 首 次 獨自 發 現 半 角型 的 平 面 凸四 邊 形 面 積 公 式。此 後，更 見 五 邊 形，六 邊 形 的 面 積 公 式 愈 趨 繁 複，令 人 望 之 卻 步 ！ 現 在 只 要 應 用 作 者 研 究 歸 納 出 的 5 個 綜 合 規 則 細 則 即 能 正 確 又 快 速 地 排 列 出 原 型 的 平 面 凸 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 。 仔 細 衡 量 ， 推 演 比 對 ， 顯 然 這 樣 的 原 型 公 式 已 涵 蓋 了 Bretschneider 、 Brahmagupta、Heron 、 Archimedes 的 各家 面 積 公 式。 原 型 與 半角 型 公 式 之最 大 差 異 在於 前 者 內 容 是 具 有 共 同 規 律 秩 序 特 質 的 ， 而 後 者 較 凌 亂,由 比 對 五 邊形 的(5−8)式 與 六 邊 形 的 (6−3)式 即 可 得 知 ！ 選 擇 原 型 公 式 來 作 為 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 的 表 示 式 較 有 意 義 。 原 型 公 式 的 三 大 部 份 內 容 必 都 是 有 跡 可 尋 的 而 且 此 等 公 式 也 扮 演 著 承 先 啟 後 的 作 用 ！ 角 度 修 正 參 數 法 的 意 義 在 於 透 過 選 取 適 當 的 內 角 組 合，將 凸 多 邊 形 各 邊 長 與 各 內 角 之 間 的 組 合 關 係 作 重 新 轉 換，以 獲 得 演 算 中 所 需 要 的 新 關 係 方 程 式。奇 數 邊 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 中 第 三 部 份 cos 項 的每 一 循 環 組都 有 相 同 多的 項，而 偶數 邊 者 大 部份 循 環 組 都有 相 同 多 的 項 ， 其 餘 會 有 幾 個 循 環 組 出 現 重 複 的 項,這 些 重 複 的 項 數 必 為 邊 數 的 因 數 。 若 對 平 面 凸 多 邊 形 的 分 割 法 採 取 與 本 文 5 個 綜 合 規 則 的 方 法 不 同 ， 則 經 計 算 出 的 面 積 平 方 式 公 式 在 第 一 及 第 三 部 份 內 容 裡 將 同 步 增 加 更 多 項 數 ， 愈 趨 複 雜 ！

參考文獻

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