目目目目

目 目目 目 錄錄錄 錄 第十章

第十章 第十章

第十章 平面座標平面座標平面座標平面座標 ... 1 10.1 節節節節 直角座標直角座標直角座標直角座標... 1

定義 定義 定義

定義 10.1-1 數線與點座標數線與點座標數線與點座標數線與點座標 ... 1 定義

定義 定義

定義 10.1-2 直角座標平面與平面上之點座標直角座標平面與平面上之點座標直角座標平面與平面上之點座標直角座標平面與平面上之點座標 ... 4 定義

定義 定義

定義 10.1-3 象限象限象限象限 ... 10 習題

習題 習題

習題 10.1... 17 10.2 節節節節 座標平面與幾何性質座標平面與幾何性質座標平面與幾何性質座標平面與幾何性質 ... 20

定理 定理 定理

定理 10.2-1 座標平面上兩點距離公式座標平面上兩點距離公式座標平面上兩點距離公式座標平面上兩點距離公式 ... 20 定理

定理 定理

定理 10.2-2 數線上的分點公式數線上的分點公式數線上的分點公式數線上的分點公式 ... 23 定理

定理 定理

定理 10.2-3 數線上的中點公式數線上的中點公式數線上的中點公式數線上的中點公式 ... 27 定理

定理 定理

定理 10.2-4 座標平面上的分點公式座標平面上的分點公式座標平面上的分點公式座標平面上的分點公式 ... 30 定理

定理 定理

定理 10.2-5 座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式 ... 33 定理

定理 定理

定理 10.2-6 座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式 ... 39 習題

習題 習題

習題 10.2... 44 本章重點

本章重點 本章重點

本章重點... 47 歷年基測題目

歷年基測題目 歷年基測題目

歷年基測題目 ... 48

10-1

第 第 第

第十 十 十 十章 章 章 平面 章 平面 平面座 平面 座 座標 座 標 標 標

本章介紹座標來表示點的位置關係，以及幾何圖形在座標平面上的一些性質。

10.1節 節 節 節 直角 直角 直角 直角座 座 座 座標 標 標 標

定義 定義 定義

定義 10.1-1 數線數線數線數線與點與點與點與點座座座座標標標標 在直線上取一點 在直線上取一點在直線上取一點

在直線上取一點，，，設為原點，設為原點設為原點 O，設為原點 ，，以，以以 O 點為中心以 點為中心點為中心，點為中心，，箭頭方向為正向，箭頭方向為正向箭頭方向為正向，箭頭方向為正向，，箭頭反方向，箭頭反方向箭頭反方向箭頭反方向 為負向為負向為負向

為負向，，，此直線稱為數線，此直線稱為數線此直線稱為數線。此直線稱為數線。。點。點點座點座座標座標標標為為為為此點距離原點此點距離原點此點距離原點此點距離原點 O 多少單位長度的大小多少單位長度的大小多少單位長度的大小多少單位長度的大小。。。。 如圖 10.1-1，A 點在原點 O 的右方 3 個單位，A 點座標為 3，記為 A(3)；B 點在 原點 O 的左方 2 個單位，B 點座標為－2，記為 B(－2)。

圖 圖圖

圖 10.1-1

例題 例題 例題

例題 10.1-1

在圖 10.1-2 的數線上標出 P(－5)，Q(2)，R(3.5)三點的位置。

圖圖圖

圖 10.1-2 想法

想法 想法

想法：：：：根據數線與點座標的定義

圖圖

圖圖 10.1-2(a) 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 如圖 10.1-2(a)所示

P 點座標為 －5，記作 P(－5) Q 點座標為 2，記作 Q(2) R 點座標為 3.5，記作 R(3.5)

P 點在原點 O 左方 5 個單位 Q 點在原點 O 右方 2 個單位 R 點在原點 O 右方 3.5 個單位

例題 例題 例題

例題 10.1-2

如圖 10.1-3，數線上有 A、B、C、D 四個點，其點座標分別為 A(－5)、B(－2)、

C(1)、D(4)，則 、 、 、 、 、 之值各為何？

圖圖圖

圖 10.1-3 想法

想法 想法

想法：：：：線段長度就是兩點間的距離 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) ＝(－2)－(－5)＝3 單位

(2) ＝1－(－5)＝6 單位

(3) ＝4－(－5)＝9 單位

(4) ＝1－(－2)＝3 單位

(5) ＝4－(－2)＝6 單位

(6) ＝4－1＝3 單位

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 A(－5)、B(－2)

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 A(－5)、C(1)

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 A(－5)、D(4)

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 B(－2)、C(1)

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 B(－2)、D(4)

線段長度就是兩點間的距離 ＆ 已知 C(1)、D(4)

10-3

例題 例題 例題

例題 10.1-3

如圖 10.1-4，一數線以右方為正向。在此數線上，A 點所表示的數為 2，從 A 點 先向右移動 3 單位，再向左移動 6 單位到達 B 點，則 B 點所表示的數為多少？

圖圖圖

圖 10.1-4 想法

想法 想法

想法：：：：線段長度就是兩點間的距離 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 如圖 10.1-4 所示，

B 點所表示的數 ＝2＋3－6＝－1

已知一數線以右方為正向。A 點所表示的數為 2，從 A 點先向右移動 3 單位，再向左移動 6 單位到達 B 點

＆ 線段長度就是兩點間的距離

定義 定義 定義

定義 10.1-2 直角座標平面直角座標平面直角座標平面直角座標平面與平面上之點座標與平面上之點座標與平面上之點座標與平面上之點座標 平面上畫兩相互垂直的數線

平面上畫兩相互垂直的數線平面上畫兩相互垂直的數線

平面上畫兩相互垂直的數線，，，兩線交點為原點，兩線交點為原點兩線交點為原點兩線交點為原點 O，，，，水平的數線叫水平的數線叫水平的數線叫水平的數線叫 x 軸軸軸，軸，，箭頭方向，箭頭方向箭頭方向箭頭方向 為正為正為正

為正，，，，箭頭反方向箭頭反方向箭頭反方向箭頭反方向為負為負為負為負，，，垂直的數線叫做，垂直的數線叫做垂直的數線叫做垂直的數線叫做 y 軸軸軸，軸，，，箭頭方向箭頭方向箭頭方向為正箭頭方向為正為正為正，，，箭頭反方向，箭頭反方向箭頭反方向箭頭反方向為負為負為負為負，，，， 這個平面稱為直角

這個平面稱為直角這個平面稱為直角

這個平面稱為直角座座座標平面座標平面標平面，標平面，，簡稱，簡稱簡稱座簡稱座座座標平面標平面標平面標平面。。。。

P 點的點的點的座點的座座座標標標標以以以以 P(a,b)表示表示表示表示，，，，a 為為為 P 點為 點點與原點點與原點與原點 O 的水平方向與原點 的水平方向的水平方向距離的水平方向距離距離，距離，，叫做，叫做叫做 P 點的叫做 點的點的 x 座點的 座座座 標或橫

標或橫標或橫

標或橫座座座標座標標；標；；；b 為為為 P 點與原點為 點與原點點與原點 O 的垂直方向點與原點 的垂直方向的垂直方向距離的垂直方向距離距離距離，，，，叫做叫做叫做叫做 P 點的點的點的點的 y 座座座座標或標或標或標或縱縱縱縱座座座標座標標標。。。。

如圖 10.1-5 中，A(－3,1)表示 A 點在原點 O 的左方 3 個單位，上方 1 個單位的位置， B(1,2) 表示 B 點在原點 O 的右方 1 個單位，上方 2 個單位的位置，C(2,-3) 表示 C 點在原點 O 的右方 2 個單位，下方 3 個單位的位置。

圖圖圖

圖 10.1-5

10-5

例題 例題 例題

例題 10.1-4

如圖 10.1-6，請標示出座標平面上 O、A、B、C、D、E、F、G、H 九點的座標。

圖圖圖

圖 10.1-6 想法

想法 想法

想法：：：：根據直角座標平面點的定義 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) O 點座標以 O(0,0)表示 (2) A 點座標以 A(2,0)表示 (3) B 點座標以 B(3,2)表示 (4) C 點座標以 C(0,3)表示 (5) D 點座標以 D(－4,3)表示 (6) E 點座標以 E(－3,0)表示 (7) F 點座標以 F(－2,－1)表示 (8) G 點座標以 G(0,－4)表示 (9) H 點座標以 H(2,－3) 表示

O 點位於 x 軸原點 0 上，y 軸原點 0 上

A 點位於 x 軸原點右方 2 個單位，y 軸原點 0 上

B 點位於 x 軸原點右方 3 個單位，y 軸原點上方 2 個單位 C 點位於 x 軸原點 0 上，y 軸原點上方 3 個單位

D 點位於 x 軸原點左方 4 個單位，y 軸原點上方 3 個單位 E 點位於 x 軸原點左方 3 個單位，y 軸原點 0 上

F 點位於 x 軸原點左方 2 個單位，y 軸原點下方 1 個單位 G 點位於 x 軸原點 0 上，y 軸原點下方 4 個單位

H 點位於 x 軸原點右方 2 個單位，y 軸原點下方 3 個單位

例題 例題 例題

例題 10.1-5

如圖 10.1-7，請畫一直角座標平面，並在其上標示 A(3,5)、B(－2,－3)、C(3,0)、

D(－3,3)、E(1,－4)、F(0,－2)、G(－4,0)、H(0,3)各點的位置。

圖圖圖 10.1-7 圖 想法

想法 想法

想法：：：：根據直角座標平面點的定義 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) A(3,5)位置如圖 10.1-7

(2) B(－2,－3)位置如圖 10.1-7

(3) C(3,0)位置如圖 10.1-7 (4) D(－3,3)位置如圖 10.1-7

(5) E(1,－4)位置如圖 10.1-7

(6) F(0,－2)位置如圖 10.1-7 (7) G(－4,0)位置如圖 10.1-7 (8) H(0,3)位置如圖 10.1-7

A 點位於 x 軸原點右方 3 個單位，y 軸原點上方 5 個單位

B 點位於 x 軸原點左方 2 個單位，y 軸原點下方 3 個單位

C 點位於 x 軸原點右方 3 個單位，y 軸原點 0 上 D 點位於 x 軸原點左方 3 個單位，y 軸原點上方 3 個單位

E 點位於 x 軸原點右方 1 個單位，y 軸原點下方 4 個單位

F 點位於 x 軸原點 0 上，y 軸原點下方 2 個單位 G 點位於 x 軸原點左方 4 個單位，y 軸原點 0 上 H 點位於 x 軸原點 0 上，y 軸原點上方 3 個單位

10-7

例題 例題 例題

例題 10.1-6

如圖 10.1-8，座標平面上有 A、B、C、D 四個點，且各點座標分別為 A(4,3)、

B(－2,4)、C(－4,－2)、D(3,－4)，則各點與兩座標軸的距離分別為何？

圖圖圖

圖 10.1-8 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 根據直角座標平面點的定義 (2) 線段長度就是兩點間的距離 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) A 點到 x 軸的距離為 3 單位、

A 點到 y 軸的距離為 4 單位；

(2) B 點到 x 軸的距離為 4 單位、

B 點到 y 軸的距離為 2 單位；

(3) C 點到 x 軸的距離為 2 單位、

C 點到 y 軸的距離為 4 單位；

(4) D 點到 x 軸的距離為 4 單位、

D 點到 y 軸的距離為 3 單位。

已知 A(4,3) ＆

A 點位於 x 軸上方 3 個單位，y 軸右方 4 個單位 已知 B(－2,4) ＆

B 點位於 x 軸上方 4 個單位，y 軸左方 2 個單位 已知 C(－4,－2) ＆

C 點位於 x 軸下方 2 個單位，y 軸左方 4 個單位 已知 D(3,－4) ＆

D 點位於 x 軸下方 4 個單位，y 軸右方 3 個單位 x

y

例題 例題 例題

例題 10.1-7

如圖 10.1-9，直角座標平面上有一矩形 ABCD，已知其四個頂點座標分別為 A(4,3)、B(－3,3)、C(－3,－2)、D(4,－2)，則 、 、 、 之值各為何？

圖 圖圖

圖 10.1-9 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 根據直角座標平面點的定義 (2) 線段長度就是兩點間的距離 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ＝4－(－3)＝7 單位

(2) ＝3－(－2)＝5 單位

(3) ＝4－(－3)＝7 單位

(4) ＝3－(－2)＝5 單位

已知 A(4,3)、B(－3,3) ＆ 為 A、B 兩點 x 座標的距離 已知 B(－3,3)、C(－3,－2) ＆

為 B、C 兩點 y 座標的距離 已知 C(－3,－2)、D(4,－2) ＆

為 C、D 兩點 x 座標的距離 已知 D(4,－2)、A(4,3) ＆

為 D、A 兩點 y 座標的距離 y

x

10-9

例題 例題 例題

例題 10.1-8

如圖 10.1-10，直角座標平面上有一點 A(3,4)，若自 A 點出發，向左 7 個單位到 達 B 點，再向下 6 個單位到達 C 點，接著向右 5 個單位到達 D 點，最後向上 4 個單位到達 E 點，則 B、C、D、E 各點的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.1-10 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 根據直角座標平面點的定義 (2) 線段長度就是兩點間的距離 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) B 點座標為(－4,4)

(2) C 點座標為(－4,－2)

(3) D 點座標為(1,－2)

(4) E 點座標為(1,2)

已知 A(3,4) ＆ 自 A 點出發，向左 7 個單位到達 B 點，B 點 x 座標為 3－7＝－4，B 點 y 座標仍為 4

由(1) B(－4,4) ＆ 自 B 點出發，向下 6 個單位到達 C 點，

C 點 x 座標仍為－4，C 點 y 座標為 4－6＝－2

由(2) C(－4,－2) ＆ 自 C 點出發，向右 5 個單位到達 D 點，D 點 x 座標為－4＋5＝1，D 點 y 座標仍為－2 由(3) D(1,－2) ＆ 自 D 點出發，向上 4 個單位到達 E 點，

E 點 x 座標仍為 1，E 點 y 座標為－2＋4＝2 y

x

定義 定義 定義

定義 10.1-3 象限象限象限象限 直角直角

直角直角座座座座標平面被標平面被標平面被標平面被 x 軸和軸和軸和 y 軸分成四個區域軸和 軸分成四個區域軸分成四個區域，軸分成四個區域，，這四個區域為四個象限，這四個區域為四個象限這四個區域為四個象限，這四個區域為四個象限，，，分別為分別為分別為分別為：：：： 第一象限第一象限

第一象限第一象限：：：點：點點 P(a,b)，點 ，，，a＞＞＞＞0 且且且且 b＞＞＞0；＞ ；； ； 第二象限第二象限

第二象限第二象限：：：點：點點 P(a,b)，點 ，，，a＜＜＜＜0 且且且且 b＞＞＞0；＞ ；； ； 第三象限第三象限

第三象限第三象限：：：點：點點 P(a,b)，點 ，，，a＜＜＜＜0 且且且且 b＜＜＜0；＜ ；； ； 第四象限第四象限

第四象限第四象限：：：點：點點 P(a,b)，點 ，，，a＞＞＞＞0 且且且且 b＜＜＜0；＜ ；； ； x 軸上軸上軸上：軸上：： 點： 點點點 P(a,b)，，，，b＝＝＝＝0；；；；

y 軸上軸上軸上：軸上：： 點： 點點點 P(a,b)，，，，a＝＝＝＝0。。。。 如圖

如圖如圖

如圖 10.1-11 所示所示所示所示，，，，直角座標平面直角座標平面直角座標平面直角座標平面依逆時針方向依逆時針方向依逆時針方向，依逆時針方向，，右上方為第一象限，右上方為第一象限右上方為第一象限，右上方為第一象限，，左上方，左上方左上方左上方 為第二象限

為第二象限為第二象限

為第二象限，，，左下方為第三象限，左下方為第三象限左下方為第三象限左下方為第三象限，，，右下方為第四象限，右下方為第四象限右下方為第四象限右下方為第四象限，，，x 軸與， 軸與軸與 y 軸上的點不屬於軸與 軸上的點不屬於軸上的點不屬於軸上的點不屬於 任何一象限

任何一象限任何一象限 任何一象限，，，。，。。 。

圖 圖圖

圖 10.1-11

10-11

例題 例題 例題

例題 10.1-9

如圖 10.1-12，請判斷 P(－1,4)、Q(－2,－3)、R(3,－1)、S(2, 3)、T(0,1)、

U(0,－2)、V(4,0)、W(－4, 0)各點屬於那一象限。

圖 圖 圖

圖 10.1-12 想法

想法 想法

想法：：：：根據直角座標平面象限的定義 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) P(－1,4)位於第二象限 (2) Q(－2,－3)位於第三象限 (3) R(3,－1)位於第四象限 (4) S(2, 3)位於第一象限 (5) T(0,1)在 y 軸上 (6) U(0,－2)在 y 軸上 (7) V(4,0)在 x 軸上 (8) W(－4, 0)在 x 軸上

根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義 根據直角座標平面象限的定義

接下來，讓我們利用直角座標平面的基本觀念，搭配上先前所學平行四邊形的性 質，來作以下例題 10.1-10~例題 10.1-12。

例題 例題 例題

例題 10.1-10

如圖 10.1-13，已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，已知其中三頂點的座標分別為 A(3,4)、B(1,1)、C(6,1)，則平行四邊形 ABCD 的第四個頂點 D 座標為何？

圖圖

圖圖 10.1-13 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形對邊等長 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ＝

(2) ＝6－1＝5

(3) ＝5

(4) D 點 x 座標為 3＋5＝8 D 點 y 座標為 4

(5) 所以 D 點座標為(8,4)

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形對邊等長

已知 B(1,1)、C(6,1) ＆ 為 B、C 兩點 x 座標的距離 由(1) ＆ (2) 遞移律

由(3) ＝5 ＆ 已知 A(3,4) ＆ D 點與 A 點 y 座標相同

由(4) 已證

10-13

例題 例題 例題

例題 10.1-11

如圖 10.1-14，已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，四頂點的座標分別為 A(3,4)、

B(1,1)、C(6,1)、D(8,4)，則平行四邊形 ABCD 的面積為何？

圖圖

圖圖 10.1-14 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形面積為底與高之乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 在直角座標平面上畫出此平行四邊 形 ABCD，過 A 點作垂直 的直線 交 於 E 點，如圖 10.1-14 所示，

則 E 點座標為(3,1)

(2) 為平行四邊形 ABCD 的底，

為平行四邊形 ABCD 的高 (3) ＝6－1＝5

＝4－1＝3

(4) 平行四邊形 ABCD 面積

＝ ×

＝5×3

＝15 平方單位

根據已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，

四頂點的座標分別為 A(3,4)、B(1,1)、

C(6,1)、D(8,4)作圖 ＆ 過直線外一點垂 直線作圖

由(1) 過 A 點作垂直 的直線交 於 E 點，則 ⊥

已知 B(1,1)、C(6,1) ＆

為 B、C 兩點 x 座標的距離 已知 A(3,4) ＆ (1) E(3,1)

為 A、E 兩點 y 座標的距離 平行四邊形面積為底與高之乘積 ＆ (3) 平行四邊形 ABCD 的底 ＝5、

平行四邊形 ABCD 的高 ＝3

例題 例題 例題

例題 10.1-12

如圖 10.1-15，已知座標平面上有一四邊形 ABCD，且此四邊形的頂點座標分別 為 A(－2,2)、B(1,4)、C(5,3)、D(3,－1)，則此四邊形的面積為何？

圖圖

圖圖 10.1-15 想法

想法 想法

想法：：：：四邊形 ABCD 面積＝長方形 EFGH 的面積 − △AGD 面積 − △DHC 面積 − △CEB 面積 − △BFA 面積

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 在直角座標平面上畫出此四邊形 ABCD，

過 A 點作平行 y 軸的直線、過 B 點作 平行 x 軸的直線、過 C 點作平行 y 軸 的直線、過 D 點作平行 x 軸的直線，

四直線分別相交於 E、F、G、H 四點，

如圖 10.1-15 所示，則 EFGH 為長方形，

且 E 點座標為(5,4)、F 點座標為(－2,4)、

G 點座標為(－2,－1)、H 點座標為(5,－1) (2) 長方形 EFGH 之長 ＝5－(－2)＝7

長方形 EFGH 之寬 ＝4－(－1)＝5

(3) 長方形 EFGH 的面積

＝ × ＝7×5＝35 平方單位

過直線外一點平行線作圖 ＆

直角座標平面的 x 軸與 y 軸相互垂直

，因此和 x 軸平行的兩直線，與和 y 軸平行的兩直線互相垂直，所以四邊 形 EFGH 為長方形，且已知 A(－2,2)、

B(1,4)、C(5,3)、D(3,－1)，故長方形 四頂點座標分別為 E(5,4)、F(－2,4)、

G(－2,－1)、H(5,－1)

由(1) G(－2,－1)、H(5,－1) ＆ 為 G、H 兩點 x 座標的距離 由(1) G(－2,－1)、F(－2,4) ＆

為 G、F 兩點 y 座標的距離 長方形面積為長與寬之乘積 ＆ (2) ＝7、 ＝5

10-15

(4) ∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝90°

(5) △CEB、△BFA、△AGD、△DHC 皆為直角三角形

(6) 為△CEB 的底、 為△CEB 的高

△CEB 的底 ＝5－1＝4

△CEB 的高 ＝4－3＝1

(7) △CEB 面積＝(4×1)÷2＝2 平方單位

(8) 為△BFA的底、 為△BFA的高

△BFA的底 ＝1－(－2)＝3

△BFA的高 ＝4－2＝2

(9) △BFA面積＝(3×2)÷2＝3 平方單位

(10) 為△AGD的底、 為△AGD的高

△AGD的底 ＝3－(－2)＝5

△AGD的高 ＝2－(－1)＝3

(11) △AGD面積＝(5×3)÷2＝7.5 平方單位

(12) 為△DHC的底、 為△DHC的高

△DHC的底 ＝5－3＝2

△DHC的高 ＝3－(－1)＝4

(13) △DHC面積＝(2×4)÷2＝4 平方單位

由(1) EFGH 為長方形 ＆ 長方形四個內角均為 90°

由(4) ∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝90°

由(5) △CEB 為直角三角形 ＆ 由(1) E(5,4) ＆ 已知 B(1,4) ＆

為 B、E 兩點 x 座標的距離 由(1) E(5,4) ＆ 已知 C(5,3) ＆ 為 C、E 兩點 y 座標的距離 三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (6) ＝4、 ＝1

由(5) △BFA 為直角三角形 ＆ 由(1) F(－2,4) ＆ 已知 B(1,4) ＆

為 B、F 兩點 x 座標的距離 由(1) F(－2,4) ＆ 已知 A(－2,2) ＆

為 A、F 兩點 y 座標的距離 三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (8) ＝3、 ＝2

由(5) △AGD 為直角三角形 ＆ 由(1) G(－2,－1) ＆已知 D(3,－1) ＆

為 D、G 兩點 x 座標的距離 由(1) G(－2,－1) ＆已知 A(－2,2) ＆

為 A、G 兩點 y 座標的距離 三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (10) ＝5、 ＝3

由(5) △DHC 為直角三角形 ＆ 由(1) H(5,－1) ＆ 已知 D(3,－1) ＆

為 D、H 兩點 x 座標的距離 由(1) H(5,－1) ＆ 已知 C(5,3) ＆

為 C、H 兩點 y 座標的距離 三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (12) ＝2、 ＝4

(14) 長方形 EFGH 的面積

＝四邊形 ABCD 面積＋△AGD面積＋

△DHC面積＋△CEB 面積＋△BFA面積 (15) 四邊形 ABCD 面積

＝長方形 EFGH 的面積－△AGD 面積－

△DHC 面積－△CEB 面積－△BFA 面積 ＝(35－7.5－4－2－3) 平方單位

＝18.5 平方單位

如圖 10.1-15 所示，全量等於分量之和

由(14) 等量減法公理 ＆

(3) 長方形 EFGH 面積＝35 平方單位 (7) △CEB 面積＝2 平方單位、

(9) △BFA 面積＝3 平方單位、

(11) △AGD 面積＝7.5 平方單位、

(13) △DHC 面積＝4 平方單位

10-17

習題 習題

習題 習題 10.1

習題 習題 習題

習題 10.1-1

在圖 10.1-16 的數線上標出 P(－6)，Q(－1.5)，R(3)三點的位置。

圖圖

圖圖 10.1-16 習題習題

習題習題 10.1-2

如圖 10.1-17，數線上有 A、B、C、D 四個點，其點座標分別為 A(－6)、B(－3)、

C(2)、D(5)，則 、 、 、 、 、 之值各為何？

圖圖

圖圖 10.1-17

習題習題

習題習題 10.1-3

一數線以右方為正向。在此數線上，A 點所表示的數為－2，從 A 點先向右移動 4 單位，再向左移動 6 單位到達 B 點，則 B 點所表示的數為多少？

習題 習題 習題

習題 10.1-4

如圖 10.1-18，請標示出座標平面上 O、A、B、C、D、E、F、G、H 九點的座標，

並判斷各點所在的位置屬於哪一象限。

圖 圖 圖

圖 10.1-18 習題

習題 習題

習題 10.1-5

座標平面上有 A、B、C、D 四個點，且各點座標分別為 A(3,4)、B(－4,5)、

C(－3,－2)、D(4,－3)，則各點與兩座標軸的距離分別為何？

習題 習題 習題

習題 10.1-6

直角座標平面上有一矩形 ABCD，已知其四個頂點座標分別為 A(5,2)、

B(－2,2)、C(－2,－4)、D(5,－4)，則 、 、 、 之值各為何？

10-19

習題 習題 習題

習題 10.1-7

直角座標平面上有一點 A(5,3)，若自 A 點出發，向下 6 個單位到達 B 點，再向 左 9 個單位到達 C 點，接著向上 8 個單位到達 D 點，接著向右 6 個單位到達 E 點，最後向下 4 個單位到達 F 點，則 B、C、D、E、F 各點的座標為何？

習題習題

習題習題 10.1-8

已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，已知其中三頂點的座標分別為 A(3,4)、

B(－2,4)、C(－4,－2)，則平行四邊形 ABCD 另一個頂點 D 的座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.1-9

已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，四頂點的座標分別為 A(3,4)、B(－2,4)、

C(－4,－2)、D(1,－2)，則平行四邊形 ABCD 的面積為何？

習題習題

習題習題 10.1-10

已知座標平面上有一四邊形 ABCD，且此四邊形的頂點座標分別為 A(－3,2)、

B(1,5)、C(4,－3)、D(－1,－4)，則此四邊形的面積為何？

10.2節 節 節 節 座 座 座 座標 標 標 標平面 平面 平面 平面與幾何性質 與幾何性質 與幾何性質 與幾何性質

本節我將敘述一些座標平面與幾何的相關性，利用幾何性質求座標，利用座標平 面來證明幾何定理等。

定理 定理 定理

定理 10.2-1 座標平面上座標平面上座標平面上座標平面上兩點兩點兩點兩點距離公式距離公式距離公式距離公式 座座座

座標平面上標平面上標平面上 A、標平面上 、、、B 兩點兩點兩點，兩點，，A 點， 點點點座座座座標為標為標為標為(x₁, y₁)，，，B 點， 點點點座座座座標為標為標為標為(x₂, y₂)，，，則，則則 A、則 、、、B 兩點兩點兩點兩點 的距離

的距離的距離

的距離 d ＝＝＝＝ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² 。。 ( 即。。 即即即 ＝＝＝＝ (x₁−x₂)² +(y₁−y₂)² )

圖圖圖

圖 10.2-1 已知

已知 已知

已知：：：：如圖 10.2-1，座標平面上 A 點坐標為(x1, y1)，B 點座標為(x2, y2)。

求證 求證 求證

求證：：：：A、B 兩點的距離 d ＝ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² 。。。。

( 即 ＝ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² )

想法 想法 想法

想法：：：： 利用畢氏定理。

證明 證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) 過 A 點作平行 y 軸的直線，過 B 作 平行 x 軸的直線，兩直線交於 C 點，

如圖 10.2-1 所示，

則 C 點座標為(x₁, y2)，且 ⊥

過線外一點的平行線作圖 ＆

已知 A 點坐標為(x₁, y1)，B 點座標為(x2, y2)

＆ 平行 y 軸， 平行 x 軸，兩坐標軸 相互垂直

10-21

(2) ＝ y₁−y₂

(3) ＝＝＝＝ x1−x2

(4) △ABC 為直角三角形

2＝ ²＋ ²

(5) ²＝ x₁−x₂ ^2＋ y1−y2 ²

(6) ＝ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)^{2 或}

＝－ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²

(7) 所以 ＝ (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²

已知 A(x1, y1) ＆ (1) C(x1, y2)

＆ 為 A、C 兩點 y 座標的距離 已知 B(x₂, y₂) ＆ (1) C(x₁, y₂)

＆ 為 B、C 兩點 x 座標的距離 由(1) ⊥ ＆

畢氏定理

由(4) ＆ (2) ＝y1－y2、(3) ＝＝x＝＝ 1－x2

由(5) 求平方根

由(6) ＆ 為線段長度必大於 0

Q. E. D.

例題 例題 例題

例題 10.2-1

如圖 10.2-2，已知座標平面上有一四邊形 ABCD，且此四邊形的頂點座標分別為 A(－4,3)、B(1,4)、C(4,－2)、D(－2,－3)，則此四邊形的周長為何？

圖 圖圖

圖 10.2-2 想法

想法 想法

想法：：：：座標平面上兩點距離公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 在直角座標平面上畫出此四邊形 ABCD，

如圖 10.2-2 所示

(2) ＝ ( 4 1)− − ²+ −(3 4)² ＝＝＝＝ 26

(3) ＝ (1 4)− ²+ − −[4 ( 2)]² ＝＝ 3 5 ＝＝

(4) ＝ [4 ( 2)]− − ²+ − − −[ 2 ( 3)]² ＝＝＝＝ 37

(5) ＝ [ 2 ( 4)]− − − ²+ − −( 3 3)² ＝＝＝＝ 2 10 (6) 四邊形 ABCD 周長

＝ ＋ ＋ ＋

＝ 26 ＋ 3 5 ＋ 37 ＋ 2 10

利用已知 A(－4,3)、B(1,4)、C(4,－2)

、D(－2,－3)作圖

已知 A(－4,3)、B(1,4) ＆ 兩點距離公式

已知 B(1,4)、C(4,－2) ＆ 兩點距離公式

已知 C(4,－2)、D(－2,－3)＆ 兩點距離公式

已知 D(－2,－3)、A(－4,3)＆ 兩點距離公式

周長定義 ＆ (2)~(5)

10-23

定理 定理 定理

定理 10.2-2 數線上的分點公式數線上的分點公式數線上的分點公式數線上的分點公式

數線上有數線上有數線上有數線上有 A、、、、B 兩點兩點兩點，兩點，，A 點座標為， 點座標為點座標為點座標為(a)、、、、B 點座標為點座標為點座標為(b)，點座標為 ，，若有一點，若有一點若有一點 C 在若有一點 在在在 上上上上，，，， 且且

且且 ：：：： ＝＝m：＝＝ ：：n，： ，，則，則則則 C 點座標為點座標為點座標為點座標為(na mb m n

+ + )

圖圖

圖圖 10.2-3(a)

圖圖

圖圖 10.2-3(b) 已知

已知 已知

已知：：：：數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(a)、B 點座標為(b)，若有一點 C 在 上，

且 ： ＝m：n (如圖 10.2-3(a)及圖 10.2-3(b)所示) 求證求證

求證求證：：：：C 點座標為(na mb m n

+ + ) 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 線段長度就是兩點間的距離

(2) 比例式中內項乘積等於外項乘積 證明

證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) 假設 b＞a，且 C 點座標為(c)，

如圖 10.2-3(a)，則 b＞c＞a (2) ＝c－a

(3) ＝b－c

(4) (c－a)：(b－c)＝m：n (5) m×(b－c)＝n×(c－a) (6) m×b－m×c＝n×c－n×a (7) m×b＋n×a＝n×c＋m×c

假設 ＆ 已知 A 點座標為(a)、B 點座標 為(b)，且 C 點在 上

由(1) c＞a ＆ 已知 A 點座標為(a)、假設 C 點座標為(c)

由(1) b＞c ＆ 已知 B 點座標為(b)、假設 C 點座標為(c)

將(2) ＆ (3) 代入已知 ： ＝m：n 由(4) ＆ 內項乘積等於外項乘積 由(5) 展開

由(6) 移項

(8) n×a＋m×b＝(n＋m)×c

(9) c＝na mb m n

+ +

(10) 假設 a＞b，且 C 點座標為(c')，

如圖 10.2-3(b)，則 a＞c'＞b (11) ＝a－c'

(12) ＝c'－b

(13) (a－c')：(c'－b)＝m：n (14) m×(c'－b)＝n×(a－c') (15) m×c'－m×b＝n×a－n×c' (16) m×c'＋n×c'＝n×a＋m×b (17) (m＋n)×c'＝n×a＋m×b

(18) c'＝na mb m n

+ +

(19) 所以 C 點座標為(na mb m n

+ + )

由(7) 等式左邊加法交換律 ＆ 等式右 邊乘法分配律提出 c

由(8) 等量除法公理

假設 ＆ 已知 A 點座標為(a)、B 點座標 為(b)，且 C 點在 上

由(10) a＞c' ＆ 已知 A 點座標為(a)、假 設 C 點座標為(c')

由(10) c'＞b ＆ 已知 B 點座標為(b)、假 設 C 點座標為(c')

將(11) ＆ (12) 代入已知 ： ＝m：n 由(13) ＆ 內項乘積等於外項乘積

由(14) 展開 由(15) 移項

由(16) 等式左邊乘法分配律提出 c'

由(17) 等量除法公理

由(9) ＆ (18) 已證

Q. E. D.

10-25

例題 例題 例題

例題 10.2-2

如圖 10.2-4，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(4)、B 點座標為(20)，若有一點 C 在 上，且 ： ＝5：3，則 C 點座標為何？

圖 圖圖

圖 10.2-4 想法

想法 想法

想法：：：：數線上的分點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為na mb m n

+ +

＝3 4 5 20 5 3

× + × + ＝14

已知 A 點座標為(4)、B 點座標為(20)，點 C 在 上，且 ： ＝5：3 ＆

數線上的分點公式，C 點座標為na mb m n

+ +

例題 例題 例題

例題 10.2-3

如圖 10.2-5，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－8)、B 點座標為(12)，若有一 點 C 在 上，且 ： ＝7：3，則 C 點座標為何？

圖 圖圖

圖 10.2-5 想法想法

想法想法：：：：數線上的分點公式 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為na mb m n

+ +

＝3 ( 8) 7 12 7 3

× − + × + ＝6

已知 A 點座標為(－8)、B 點座標為(12)，

點 C 在 上，且 ： ＝7：3 ＆ 數線上的分點公式，C 點座標為na mb

m n +

+

例 例 例

例題題題題 10.2-4

如圖 10.2-6，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－8)、B 點座標為(－2)，若有一 點 C 在 上，且 ： ＝1：2，則 C 點座標為何？

圖 圖圖

圖 10.2-6 想法

想法 想法

想法：：：：數線上的分點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為na mb m n

+ +

＝2 ( 8) 1 ( 2) 1 2

× − + × − + ＝－6

已知 A 點座標為(－8)、B 點座標為(－2)，

點 C 在 上，且 ： ＝1：2 ＆ 數線上的分點公式，C 點座標為na mb

m n +

+

10-27

定理 定理 定理

定理 10.2-3 數線上的中點公式數線上的中點公式數線上的中點公式數線上的中點公式

數線上有數線上有數線上有數線上有 A、、、、B 兩點兩點兩點，兩點，，A 點座標為， 點座標為點座標為點座標為(a)、、、、B 點座標為點座標為點座標為(b)；點座標為 ；；若；若若 C 點為若 點為點為點為 中點中點中點中點，，，， 則則則則 C 點座標為點座標為點座標為點座標為(

2 a b+

)

圖 圖圖

圖 10.2-7 已知已知

已知已知：：：：如圖 10.2-7，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(a)、B 點座標為(b)，且 C 點為 中點

求證 求證 求證

求證：：：：C 點座標為(

2 a b+

) 想法想法

想法想法：：：：利用數線上的分點公式來證明 證明

證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) 假設 C 點座標為(c)，如圖 10.2-7，

： ＝1：1 (2) c＝1 1

1 1

a b

× + × + ＝＝＝＝

2 a b+

(3) 所以 C 點座標為(

2 a b+

)

假設 ＆

已知 C 點為 中點

已知 A 點座標為(a)、B 點座標為(b) 、 (1) 假設 C 點座標為(c)、 ： ＝1：1

＆ 根據數線上的分點公式，c＝na mb m n

+ + 由(1) 假設 C 點座標為(c) ＆ (2) 已證

Q. E. D.

例題 例題 例題

例題 10.2-5

如圖 10.2-8，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(4)、B 點座標為(20)，則 中點 C 的座標為何？

圖圖圖

圖 10.2-8 想法

想法 想法

想法：：：：數線上的中點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為 2 a b+

＝4 20 2

+ ＝12 已知 A 點座標為(4)、B 點座標為(20)，

C 點為 中點 ＆ 數線上的中點公式

例題 例題 例題

例題 10.2-6

如圖 10.2-9，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－8)、B 點座標為(12) ，則 中 點 C 的座標為何？

圖 圖圖

圖 10.2-9 想法想法

想法想法：：：：數線上的中點公式 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為 2 a b+

＝ 8 12 2

− + ＝2 已知 A 點座標為(－8)、B 點座標為(12)，

C 點為 中點 ＆ 數線上的中點公式

10-29

例題 例題 例題

例題 10.2-7

如圖 10.2-10，數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－8)、B 點座標為(－2) ，則 中點 C 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-10 想法

想法 想法

想法：：：：數線上的中點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點座標為 2

a b+

＝( 8) ( 2) 2

− + −

＝－5

已知 A 點座標為(－8)、B 點座標為(－2)，

C 點為 中點 ＆ 數線上的中點公式

定理 定理 定理

定理 10.2-4 座標平面座標平面座標平面座標平面上的分點公式上的分點公式上的分點公式上的分點公式

座標平面上有座標平面上有座標平面上有座標平面上有 A、、、、B 兩點兩點兩點，兩點，，A 點座標為， 點座標為點座標為點座標為(x₁, y₁)、、、、B 點座標為點座標為點座標為(x點座標為 ₂,y₂)；；；；若有一點若有一點若有一點若有一點 C 在在在在 上上上上，，，，且且且且 ： ＝m：n，，，，則則則則 C 點座標為點座標為點座標為(點座標為 nx¹ mx²

m n +

+ ,ny¹ my² m n

+ + )

圖圖

圖圖 10.2-11 已知

已知 已知

已知：：：如圖 10.2-11，座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(x： 1, y1)、B 點座標為(x2,y2)；

若有一點 C 在 上，且 ： ＝m：n

求證求證

求證求證：：：：C 點座標為(nx¹ mx² m n

+

+ ,ny¹ my² m n

+ + ) 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用三角形之平行線截比例線段性質 (2) 利用數線上的分點公式來證明 證明

證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) 分別過 A、B、C 三點作 x 軸、y 軸的垂 直線相交於 B'、B''、C'、C''四點，如圖 10.2-11 所示，則：

∥ 、 ∥ ；

B'座標為(x₂,y₁)、B''座標為(x₁, y₂) (2) △ABB'中

： ＝ ：

(3) ： ＝m：n

已知 A 點座標為(x1, y1)、B 點座標為 (x2,y2)且 C 點在 上 ＆ 直角坐標平面 的 x 軸與 y 軸互相垂直 ＆ 垂直於同一 直線的兩直線互相平行

由(1) △ABB'中， ∥ ＆ 三角形之平行線截比例線段

由(2) ＆ 已知 ： ＝m：n 遞移律

10-31

(4) C'點的橫座標為(nx¹ mx² m n

+

+ ) C'點的縱座標為(y1)

因此 C'點的座標為(nx¹ mx² m n

+

+ ,y1) (5) △ABB''中

： ＝ ：

(6) ： ＝m：n (7) C''點的橫座標為(x1)

C''點的縱座標為(ny¹ my² m n

+ + ) 因此 C''點座標為(x1, ny¹ my²

m n +

+ )

(8) C 點的橫座標為(nx¹ mx² m n

+ + )

C 點的縱座標為(ny¹ my² m n

+ + )

(9) 因此 C 點的座標為(nx¹ mx² m n

+

+ ,ny¹ my² m n

+ + )

C'點縱座標與 A、B'兩點的縱座標相同

＆ 由(3) ： ＝m：n、C'點的橫座 標可由數線上的分點公式求得 ＆ 由(1) B'座標為(x₂,y₁) ＆ 已知 A 點座標 為(x1, y1)

由(1) △ABB''中， ∥ ＆ 三角形之平行線截比例線段

由(5) ＆ 已知 ： ＝m：n 遞移律 C''點橫坐標與 A、B''兩點的橫座標相同

＆ 由(6) ： ＝m：n、C''點的縱 座標可由數線上的分點公式求得 ＆ 由(1) B''座標為(x₁, y₂) ＆ 已知 A 點座標 為(x₁, y1)

C 點橫座標與 C'點橫座標相同 ＆ (4) C'點的橫座標為(nx¹ mx²

m n +

+ ) C 點縱座標與 C''點縱座標相同 ＆ (7) C''點的縱座標為(ny¹ my²

m n +

+ ) 由(8)

Q. E. D.

例題 例題 例題

例題 10.2-8

如圖 10.2-12，座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(1,2)、B 點座標為(5,4)，若 上有一點 C，且 ： ＝1：3，則 C 點座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-12 想法

想法 想法

想法：：：：座標平面上的分點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點的橫座標為nx¹ mx² m n

+ + ＝3 1 1 5

1 3

× + × + ＝2 C 點的縱座標為ny¹ my²

m n +

+ ＝3 2 1 4

1 3

× + × + ＝5

2 (2) C 點座標為(2, 5

2)

已知 A 點座標為(1,2)、B 點座標為(5,4)，

且 ： ＝1：3 ＆ 座標平面上的分點公式 C 點的橫座標為nx¹ mx²

m n +

+ C 點的縱座標為ny¹ my²

m n +

+

由(1) 已證

10-33

定理 定理 定理

定理 10.2-5 座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式座標平面上的中點公式 座標平面上有

座標平面上有座標平面上有

座標平面上有 A、、、、B 兩點兩點兩點，兩點，，A 點座標為， 點座標為點座標為點座標為(x₁, y₁)、、、、B 點座標為點座標為點座標為點座標為(x₂,y₂)；；；；若若若若 C 點為點為點為點為 中點

中點中點

中點，，，則，則則 C 點座標為則 點座標為點座標為點座標為 ) , 2

(x¹+2x² y¹ +y²

圖圖

圖圖 10.2-13

已知 已知 已知

已知：：：如圖 10.2-13，座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(x： ₁, y₁)、B 點座標為(x₂,y₂)；

若 C 點為 中點 求證

求證 求證

求證：：：：C 點座標為 ) , 2

(x¹ +2x² y¹+ y² 想法

想法 想法

想法：：：：利用座標平面上的分點公式 證明

證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) ： ＝1：1 (2) C 點橫座標為

1 2

nx mx m n

+

+ ＝1 ¹ 1 ² 1 1

x x

× + ×

+ ＝ ^{1 2} 2 x +x

(3) C 點縱座標為

1 2

ny my m n

+

+ ＝1 ¹ 1 ² 1 1

y y

× + ×

+ ＝ ^{1 2}

2 y +y

(4) 所以 C 點座標為 ) , 2

(x¹+2x² y¹ +y²

已知 C 點為 中點

已知 A 點座標為(x1, y1)、B 點座標為(x2,y2) ＆ (1) ： ＝1：1 ＆

座標平面上的分點公式

已知 A 點座標為(x₁, y1)、B 點座標為(x2,y2) ＆ (1) ： ＝1：1 ＆

座標平面上的分點公式

由(2) ＆ (3)

Q. E. D.

例題 例題 例題

例題 10.2-9

如圖 10.2-14，座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(1,2)、B 點座標為(5,4)，則 中點 C 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-14 想法

想法 想法

想法：：：：座標平面上的中點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) C 點的橫座標為1 5 2

+ ＝3

C 點的縱座標為2 4 2 + ＝3

(2) C 點座標為(3,3)

已知 A 點座標為(1,2)、B 點座標為(5,4) ＆ 座標平面上的中點公式

由(1) 已證

10-35

接下來，讓我們利用直角座標平面的分點公式，搭配上先前所學平行四邊形的性 質與圓的性質，來作以下例題 10.2-10、例題 10.2-11。

例題 例題 例題

例題 10.2-10

如圖 10.2-15，座標平面上有一平行四邊形 ABCD，已知其中三個頂點座標分別 為 A(2,1)、B(6,2)、D(3,5)，則平行四邊形 ABCD 另一個頂點 C 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-15 想法想法

想法想法：：：：(1) 平行四邊形對角線互相平分 (2) 座標平面上的中點公式

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 根據題義在直角座標平面上畫出 此平行四邊形 ABCD，並作兩對角 線 及 ，如圖 10.2-15 所示；

則 E 點為 中點、E 點為 中點 (2) E 點的橫座標為6 3

2 + ＝9

2 E 點的縱座標為2 5

2 + ＝7

2 (3) E 點座標為(9

2,7 2) (4) 假設 C 點座標為(a,b)

已知平行四邊形 ABCD 中，其中三個頂點座標 分別為 A(2,1)、B(6,2)、D(3,5) ＆

平行四邊形對角線互相平分

由(1) E 點為 中點 ＆ 已知 B(6,2)、D(3,5)

＆ 座標平面上的中點公式

由(2) 已證 假設

(5) 中點 E 座標為(2 2 +a

,1 2 +b

)

(6) 2 2 +a

＝9

2 、 1 2 +b

＝7 2 (7) a＝7 、 b＝6

(8) 所以 C 點座標為(7,6)

已知 A(2,1) ＆ (4) 假設 C 點座標為(a,b) ＆ 座標平面上的中點公式 ＆ (1) E 點為 中點 由(3) ＆ (5)

由(6) 解一元一次方程式 由(4) 假設 ＆ (7) 已證

10-37

例題 例題 例題

例題 10.2-11

如圖 10.2-16，圓 K 與座標軸交於原點 O(0,0)、點 A (－12, 0) 與點 B (0,7)，

則圓心 K 的座標為何？

圖圖

圖圖 10.2-16 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 通過圓心對弦作垂直線，則此線段必平分此弦 (2) 數線上的的中點公式

圖圖圖

圖 10.2-16(a) 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 與 為圓 K 之兩弦

(2) 過 K 點作 垂直 x 軸、過 K 點 作 垂直 y 軸，如圖 10.2-16(a)；

則 C 點為 之中點、D 點為 之 中點

已知圓 K 與座標軸交於原點 O(0,0)、點 A (－12,0) 與點 B (0,7)

通過圓心對弦作垂直線，則此線段必平分此弦 (詳見定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理)

(3) C 點橫座標為 12 0 2

− + ＝－6

C 點縱座標為 0 (4) C 點座標為(－6,0) (5) D 點橫座標為 0

D 點縱座標為7 0 2 + ＝7

2 (6) D 點座標為(0,7

2) (7) 圓心 K 的座標為(－6,7

2)

由(2) C 點為 之中點 ＆ O(0,0)、A (－12,0)皆 在 x 軸上 ＆ 數線上的中點公式

由(3) 已證

由(2) D 點為 之中點 ＆ O(0,0)、B (0,7)皆在 y 軸上 ＆ 數線上的中點公式

由(5) 已證

K 點橫坐標與 C 點橫座標相同、K 點縱座標與 D 點縱座標相同 ＆

(4) C 點座標為(－6,0)、(6) D 點座標為(0,7

2)已證

10-39

定理 定理 定理

定理 10.2-6 座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式座標平面上三角形的重心公式

座標平面座標平面座標平面座標平面上有一上有一上有一上有一△ BC，A ，，，其頂點其頂點其頂點 A 點座標為其頂點 點座標為點座標為(x點座標為 ₁, y₁)、、、、B 點座標為點座標為點座標為點座標為(x₂,y₂)、、、、C 點座點座點座 點座 標為標為

標為標為(x₃,y₃)；；；；若若若若 G 點為點為點為點為△ BC 重心A 重心重心重心，，，則，則則 G 點座標為則 點座標為點座標為點座標為( ^{1 2 3}, ^{1 2 3})

3 3

x + +x x y + +y y

圖 圖 圖

圖 10.2-17 已知

已知 已知

已知：：：：如圖 10.2-17，座標平面上有一 A△ BC，其頂點 A 點座標為(x₁, y₁)、B 點座標 為(x₂,y₂)、C 點座標為(x₃,y₃)，且 G 點為△ BC 重心 A

求證 求證 求證

求證：：：：G 點座標為( ^{1 2 3} , ^{1 2 3})

3 3

x + +x x y + +y y 想法

想法 想法

想法：：：：利用座標平面上的分點與中點公式 證明

證明 證明 證明：：：：

敘述 理由

(1) 作△ BC 重心 G 點，如圖 10.2-17 A 則 D 點為 之中點、

： ＝2：1

(2) D 點座標為( ^{2 3}, ^{2 3})

2 2

x +x y +y

尺規作圖 ＆ 三角形重心為三中線之交點

＆ 重心到頂點的距離為中線長的2 3

已知 B 點座標為(x2,y2)、C 點座標為(x3,y3) ＆ (1) D 點為 之中點 ＆ 座標平面上的中點 公式

(3) G 點橫坐標為

2 3

1 ( )

2 x x nx m

m n + × +

+ ＝

2 3

1 1 2 ( ) 2 2 1

x x

x +

× + × + ＝ ^{1 2 3}

3 x + +x x

(4) G 點縱座標為

2 3

1 ( )

2 y y ny m

m n + × +

+ ＝

2 3

1 1 2 ( ) 2 2 1

y y

y +

× + × + ＝ ^{1 2 3}

3 y + +y y

(5) 所以 G 點座標為

1 2 3 1 2 3

( , )

3 3

x + +x x y + +y y

已知 A 點座標為(x₁, y₁) ＆ (2) D 點座標為

2 3 2 3

( , )

2 2

x +x y +y

＆ (1) ： ＝2：1 ＆ 座標平面上的分點公式

已知 A 點座標為(x₁, y₁) ＆ (2) D 點座標為

2 3 2 3

( , )

2 2

x +x y +y

＆ (1) ： ＝2：1 ＆ 座標平面上的分點公式

由(3) ＆ (4)

Q. E. D.

10-41

例題 例題 例題

例題 10.2-12

如圖 10.2-18，座標平面上有一 A△ BC，其頂點 A 點座標為(4,6)、B 點座標為(2,1)、

C 點座標為(6,2)，則△ BC 重心 G 點座標為何？ A

圖圖

圖圖 10.2-18 想法

想法 想法

想法：：：：座標平面上三角形的重心公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) G 點橫坐標為4 2 6 3

+ + ＝4

G 點縱座標為6 1 2 3

+ + ＝3

(2) 所以 G 點座標為(4,3)

已知 A 點座標為(4,6)、B 點座標為(2,1)、

C 點座標為(6,2) ＆ 座標平面上三角形 的重心公式

由(1) 已證

在本章的最後，讓我們將圓搬到直角座標平面上，利用圓的性質以及畢氏定理來 作以下例題 10.2-13。

例題 例題 例題

例題 10.2-13

如圖 10.2-19，圓 P 的圓心在 x 軸上，且圓 P 與 x 軸相交於 A ( 24 , 0 )，且與 y 軸 相交於 B ( 0 , 12 )，則圓心 P 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-19 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 同圓半徑相等 (2) 畢氏定理

圖圖圖

圖 10.2-19(a)

10-43

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 假設圓心 P 點座標為(a,0)，作

，如圖 10.2-19(a)；則 ＝a (2) ＝24 、 ＝12

(3) ＋ ＝ (4) ＝ － ＝24－a (5) ＝ ＝24－a (6) △BOP 為直角三角形

2＋ ²＝ ²

(7) (12)²＋a²＝(24－a)²

(8) a＝9

(9) 所以圓心 P 的座標為(9,0)

已知圓 P 的圓心在 x 軸上 ＆ 作圖

已知圓 P 與 x 軸相交於 A ( 24 , 0 )，且與 y 軸相交於 B ( 0 , 12 )

全量等於分量之和 由(3) 等量減法公理 ＆ (2) ＝24 、 (1) ＝a

同圓半徑相等 ＆ (4) ＝24－a 直角坐標平面兩座標軸互相垂直 ＆ 畢氏定理

將(2) ＝12、(1) ＝a、(5) ＝24－a 代入(6) ²＋ ²＝ ²

由(7) 解一元二次方程式

由(1) 假設圓心 P 點座標為(a,0) ＆ (8) a＝9 已證

習題 習題

習題 習題 10.2

習題 習題 習題

習題 10.2-1

已知座標平面上有一四邊形 ABCD，且此四邊形的頂點座標分別為 A(2,4)、

B(－4,1)、C(－1,－4)、D(4,－3)，則此四邊形的周長為何？

習題習題

習題習題 10.2-2

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(1)、B 點座標為(31)，若有一點 C 在 上，且 ： ＝2：3，則 C 點座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.2-3

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－10)、B 點座標為(20)，若有一點 C 在 上，且 ： ＝3：7，則 C 點座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.2-4

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－41)、B 點座標為(－11)，若有一點 C 在 上，且 ： ＝4：1，則 C 點座標為何？

習題習題

習題習題 10.2-5

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(1)、B 點座標為(31)，則 中點 C 的座標 為何？

10-45

習題 習題 習題

習題 10.2-6

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－10)、B 點座標為(20) ，則 中點 C 的座標為何？

習題習題

習題習題 10.2-7

數線上有 A、B 兩點，A 點座標為(－41)、B 點座標為(－11) ，則 中點 C 的座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.2-8

座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(－1,2)、B 點座標為(3,5)，若 上有 一點 C，且 ： ＝5：3，則 C 點座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.2-9

座標平面上有 A、B 兩點，A 點座標為(－1,2)、B 點座標為(3,5)，則 中點 C 的座標為何？

習習

習習題題題題 10.2-10

座標平面上有一平行四邊形 ABCD，已知其中三個頂點座標分別為 A(1,2)、

B(5,4)、D(2,6)，則平行四邊形 ABCD 另一個頂點 C 的座標為何？

習題 習題 習題

習題 10.2-11

如圖 10.2-20，圓 K 與座標軸交於原點 O(0,0)、點 A (－6, 0) 與點 B (0,8)，則圓 心 K 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-20 習題習題

習題習題 10.2-12

座標平面上有一△ BC，其頂點 A 點座標為(6,7)、B 點座標為(1,2)、C 點座 A 標為(5,1)，則 A△ BC 重心 G 點座標為何？

習題習題

習題習題 10.2-13

如圖 10.2-21，圓 P 的圓心在 x 軸上，且圓 P 與 x 軸相交於 A ( 8 , 0 )，且與 y 軸 相交於 B ( 0 , 4 )，則圓心 P 的座標為何？

圖 圖 圖

圖 10.2-21

x y

x y

10-47

本章重點 本章重點 本章重點 本章重點

1. 認識數線與點座標。

2. 數線上的分點公式。

3. 數線上的中點公式。

4. 認識直角座標平面與象限。

5. 座標平面上兩點距離公式。

6. 座標平面上的分點公式。

7. 座標平面上的中點公式。

8. 座標平面上三角形的重心座標。

歷年基測題目 歷年基測題目 歷年基測題目 歷年基測題目

1. 如圖 10.1，在座標平面上，△ABC 為直角三角形，∠B＝90°， 垂直 x 軸，M 為

△ABC 的外心。若 A 點座標為(3,4)，M 點座標為(−1,1)，則 B 點座標為何？(98-1) (A) (3,－1) (B) (3,－2) (C) (3,－3) (D) (3,－4)

圖圖 圖圖 10.1 解答

解答 解答

解答：：：：(B) (3,－2) 想法

想法 想法

想法：：：： (1) 直角三角形外心在斜邊中點 (2) 座標平面上中點公式 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) B 點橫座標與 A 點橫座標相同；

B 點縱座標與 C 點縱座標相同 (2) 假設 C 點座標為(a,b)，則 為直角

△ABC 之斜邊，且 M 點為 中點

(3) 中點座標為(3 2 +a

,4 2 +b

)

已知∠B＝90°

假 設 ＆ 已 知 △ABC 為 直 角 三 角 形 ，∠B ＝ 90° ＆ 已 知 M 為 直 角

△ABC 的外心 ＆ 直角三角形外心 在斜邊中點

已知 A 點座標為(3,4) ＆ (1) 假設 C 點座標為(a,b) ＆ 座標平面上中點公 式

10-49

(4) (−1,1)＝(3 2 +a

,4 2 +b

)

(5) −1＝3 2 +a

＆ 1＝4 2 +b

(6) a＝2×(－1)－3＝－5 ＆ b＝2×1－4＝－2

(7) C 點座標為(－5,－2)

(8) B 點橫座標為(3) ＆ B 點縱座標為(－2)

(9) 所以 B 點座標為(3,－2)，本題選(B)

由(2) M 點為 中點 ＆ 已知 M 點座 標 為 (−1,1) ＆ (3) 中 點 座 標 為 (3

2 +a

,4 2 +b

)

由(4) 縱座標相等且橫座標相等

由(5) 解 a 的一元一次方程式 ＆ 解 b 的一元一次方程式

由(2) 假設 C 點座標為(a,b) ＆ (6) a＝－5、b＝－2

由(1) B 點橫座標與 A 點橫座標相同

；B 點縱座標與 C 點縱座標相同 ＆ 已知 A 點座標為(3,4)、

(7) C 點座標為(－5,－2) 由(8)