上底
腰 中線
下底
底角 底角
腰
梯形的基本概念
梯形的定義:四邊形中,有一雙對邊平行,另ㄧ雙對邊不平行,則稱此四邊形為梯形。
名詞介紹:上底、下底、腰、中線、底角。
(1)上底與下底:梯形中互相平行的兩邊,稱為上底與下底。
(2)腰:不平行的兩邊稱為腰。
(3)中線:連接兩腰中點的線段,稱為梯形的中線。
(4)底角:兩腰與下底的夾角稱為底角。
梯形的面積=
2
1 ×(上底+下底)×高
以下我們用兩種不同方式來證明梯形的面積:
【方法一】將梯形化為三角形。
【已知】梯形 ABCD 中, AD// BC ,AH ⊥ BC 。
【求證】梯形 ABCD 面積=
2
1 ×(AD+ BC )×AH 。
【證明】(1)取 CD 之中點 E,作uuur AE 交 BC uuur
於 F 點。
(2)由△ADE 與△CFE 中,∵DE = CE
Ð 1= Ð 2(對頂角相等)、 Ð 3= Ð 4(內錯角相等)
∴△ADE@△FCE(ASA) ∴AD= CF 梯形 ABCD 面積=△ABF=
2
1 ×(BF )×AH
= 2
1 ×( CF + BC )×AH
= 2
1 ×(AD+ BC )×AH
A
B C
D
E
F H
1 2 3
4
【方法二】利用兩個梯形組合成平行四邊形。
【已知】梯形 ABCD 中, AD// BC ,AH ⊥ BC 。
【求證】梯形 ABCD 面積=
2
1 ×(AD+ BC )×AH 。
【證明】(1)我們將梯形 ABCD 複製成梯形 A ' B ' C ' D ' ,並將梯形 A ' B ' C ' D ' 旋轉使得 C ' 點 與 D 點,C 點與 D ' 點重合。則四邊形 ABA ' B ' 為平行四邊形(兩雙對邊平 行且相等) 。
(2)梯形 ABCD 面積=
2
1 ×
□
ABA ' B ' = 21 ×( A ' D ' + BC )×AH
= 2
1 ×(AD+ BC )×AH
梯形的相關中線性質
【性質 1】梯形的中線必平行於上下底,且其長等於上下底和的一半。
【性質 2】連接梯形兩對角線中點的線段,必平行於上下底,且其長等於兩差的一半。
接著我們來證明以上這 2 個性質:
【性質 1】梯形的中線必平行於上下底,且其長等於上下底和的一半。
【已知】梯形 ABCD 中 E、F 分別為 AB、 CD 之中點。
【求証】EF = 2
1 (AD+ BC ),EF //AD,EF // BC
【証明】(1)連接AF ,並延長AF 交 BC 的延長線於 G 點。
(2)在△ADF 和△GCF 中,∠AFD=∠GFC(對頂角相等),
又AD// BC Þ ∠ADF=∠GCF(內錯角相等),
且EF 為中線 Þ DF = CF
∴△ADF@△GCF(ASA 全等性質) Þ AF = GF ,且AD= CG (3)∵E 為AB的中點,F 為 AG 的中點
Þ EF // BG ,EF = 2
1 × BG = 2
1 ×( CG + BC ) 【三角形中點連線性質】
∴
AD// BC ,且AD= CG∴EF //AD,EF // BC ,EF = 2
1 (AD+ BC )
A
B C
D
H
B'
A' C'
D'
A
B C
D
E F
G
【範例】如圖梯形 ABCD 中, AD// BC ,P、Q、R 四等分AB;S、T、U 四等分 DC , 若AD=12, BC =30,求 PS +QT + RU =?
【解答】(1) ∵AP=PQ=QR =RB,且 DS = ST =TU =UC
∴AD// PS //QT // RU // BC (2) QT =
2
1 (AD+ BC )=
2
1 (12+30)=21
(3)同理QT = 2
1 ( PS + RU ) ∴ PS + RU =42
(4) ∴ PS +QT + RU =42+21=63
【性質 2】連接梯形兩對角線中點的線段,必平行於上下底,且其長等於兩差的一半。
【已知】梯形 ABCD 中, AD// BC , BC >AD,E、F 分別為DB、 AC 之中點。
【
求證】(1)EF //AD// BC (2)EF =2
1 ( BC -AD)
【
證明】(1)∵
AD// BC ,∴∠ADE=∠GBE(內錯角),又BE=DE (E 為BD中點),∠AED=∠GEB(對頂角),
故△AED@△GEB(ASA),可得AE= EG (對應邊),
在△AGC 中,AE= EG ,AF = FC (F 為 AC 中點),
故EF // GC (三角形兩邊中點連線性質),即EF //AD// BC (2)由(1)可得EF =
2 1 GC
又 GC = BC - BG = BC -AD,故EF = 2
1 ( BC -AD)
A
B C
D
E F
G A
B C
D P
Q R
S T
U
A
B C
D
E A
B C
D
E
【範例】已知梯形 ABCD 中, AD// BC , BC =2AD,M、N 分別為兩腰的中點。
【求證】ME=EF = FN
【證明】(1) ∵AD// BC 且 M、N 分別為兩腰上的中點
∴ MN //AD// BC
(2)在△ABD 中,∵ME//AD,且AM =BM
∴BE=ED ∴ME= 2
1 AD 同理 NF = 2 1 AD
(3)EF = 2
1 ( BC -AD)=
2
1 (2AD-AD)=
2 1 AD
(4) ∴ME=EF = FN = 2 1 AD
等腰梯形
1.等腰梯形的定義:兩腰相等的梯形。如圖,梯形 ABCD 中 AD// BC ,AB= DC , 則稱四邊形 ABCD 為等腰梯形。
2.等腰梯形的性質:在小學我們已經學過以下等腰梯形的性質,現在我們一一來證明。
【性質 1】等腰梯形的兩底角相等。
【性質 2】若一梯形的兩底角相等,則此梯形必為等腰梯形。
【性質 3】等腰梯形的兩對角線相等。
【性質 4】若一梯形的兩對角線相等,則此梯形必為等腰梯形。
Note:【性質 1】與【性質 2】互為等價,【性質 3】與【性質 4】也互為等價。
【性質 1】等腰梯形的兩底角相等。
【已知】等腰梯形 ABCD 中, AD// BC ,AB= DC 。
【求證】∠B=∠C。
【證明】(1)過 D 點作 AB的平行線DE ,交 BC 於 E。
(2) ∵DE //AB,AD//BE,∴ABED 為平行四邊形,∴AB=DE 。 (3) ∵AB= DC ,∴DE = DC ,即△DEC 為等腰三角形 ∴∠DEC=∠C。
(4) ∵AB//DE ,∴∠B=∠DEC。
(5)由(3)與(4)可知∠B=∠C。
A
B C
D
M E F N
A
B C
D A
B C
D
E
【性質 2】若一梯形的兩底角相等,則此梯形必為等腰梯形。
【已知】梯形 ABCD 中, AD// BC ,∠B=∠C。
【求證】AB= DC 。
【證明】(1)過 D 點作 AB的平行線,交 BC 於 E。
(2) ∵DE //AB,AD//BE,
∴ABED 為平行四邊形, ∴AB=DE 。
∵DE //AB ∴∠B=∠DEC
(3) ∵∠B=∠DEC=∠C,即 DEC D 為等腰三角形
∴DE = DC Þ AB= DC
【性質 3】等腰梯形的兩對角線相等。
【已知】在等腰梯形 ABCD 中, AD// BC ,AB= DC 。
【求證】 AC =BD。
【證明】(1) ∵ABCD 為等腰梯形,∴∠ABC=∠DCB。
(2) 在△ABC 與△DCB 中,
∵AB= DC ,∠ABC=∠DCB, BC = BC ,
∴△ABC@△DCB(SAS) ∴ AC =BD。
【性質 4】若一梯形的兩對角線相等,則此梯形必為等腰梯形。
【已知】梯形 ABCD 中, AD// BC , AC =BD。
【求證】AB= DC 。
【證明】(1)過 D 點作DE // AC 交 BC uuur
於 E 點,
∵DE // AC ,AD// BC
∴四邊形 ACED 為平行四邊形 Þ DE = AC 由△BDE 中, AC =BD=DE
∴∠1=∠3L L (i) ∵DE // AC ∴∠2=∠3L L (ii) 由(i) (ii) Þ ∠1=∠2
(2)在△ABC 與△DCB 中,∵ AC =BD,∠1=∠2, BC = BC ,
∴△ABC@△DCB(SAS),∴AB= DC
A
B C
D
E
1 2 3
A
B C
D 10
13
E F
12
A D
B H G C
E 梯形的相關應用:
【範例】等腰梯形腰長 13 公分,高 12 公分,上底長 10 公分,求其面積、周長及 中線長。
【解說】(1)作AE ^ BC 於 E,DF ^ BC 於 F
∴EF =AD=10
(2)∵ABCD 為等腰梯形 ∴BE= CF = 132- 12 2 =5
∴ BC =5+10+5=20
(3)梯形面積=
2
1 (10+20)×12=180(平方公分)
(4)周長=10+20+13×2=56(公分)
(5)中線長=(10+20)÷2=15(公分)
【範例】如右圖, ABCD 為一梯形,已知上底 AD = 2 ,下底 BC = 7 ,兩腰 AB = , 3 4
CD = ,求此梯形的高 AH 的長度。
【解說】作 DE // AB 交 BC 於 E
∵ AD // BC , DE // AB ∴ABED 為平行四邊形
∴ DE = AB =3, BE = AD =2 ∴ CE = BC - BE =7-2=5
∵DDEC 之三邉長為 3、4、5 ∴DDEC 為直角D 作 DG ^ BC 於 G,則 DG = DE DC ´ / CE =
5 4 3´ =
5
12 = AH
【範例】如右圖,梯形 ABCD 之高為 10, AB // CD ,且 AE = EG = GD , BF = FH = HC , 若 EF =6, GH =8,則梯形 ABCD 之面積為多少?
【解說】(1) ∵ AE = EG = GD ,且 BF = FH = HC
∴AB// EF //GH// DC (2) EF=
2
1 (AB+ GH )
Þ 6=
2
1 (AB+8) Þ AB=4
GH= 2
1 ( EF + DC) Þ 8=
2
1 (6+ DC) Þ DC=10
∴梯形面積=(4+10)×10÷2=70
A
B C
D A
B C
D
E F
8
13
【範例】如右圖,梯形
ABCD
, CD// AB 且 AD = 21 BC ,
F
為對角線 AC 之中點,E
為對角線 BD 之中點, EF 分別交 AB 、 DC 於
M
、N
,若 BC =4,則 MN ?【解說】∵ AD = 2
1 BC , BC =4 ∴ AD =2
Þ 2
1 ( AD + BC )= MN Þ 2
1 (2+4)=3
【範例】等腰梯形ABCD中,已知AB// CD、AD= BC ,E、F、G、H分別為AB、 BC 、CD
、AD的中點,那麼四邊形EFGH為何種四邊形?
【解說】連接 AC 、BD,∵ABCD為等腰梯形,∴ AC =BD
△ABD中,∵E、H為AB、AD中點
∴EH //BD,且EH = 1 2 BD 同理 FG = 1
2 BD,又同理EF = 1
2 AC , GH = 1 2 AC
∵ AC =BD ∴EF = FG = GH =EH = 1 2 AC 故四邊形EFGH為菱形
【範例一】 【練習一】
梯形 ABCD 中,AD// BC,AB=AD= CD = 2
1 BC ,求 Ð A=?
等腰梯形腰長 13 公分,高 12 公分,上底長 8 公分,求其面積。
A
B C
D
M E F N
A
B C
D
6 60 0
6
6
【範例二】 【練習二】
一等腰梯形 ABCD 中, 若 AD// BC,AB=AD
=6 公分, Ð ABC=60 0 ,求對角線BD的長及 此梯形的面積。
一等腰梯形 ABCD 中,AD// BC,AB= CD,
若AD=2,BC =6,BD=5,求此梯形面積。
【範例三】 【練習三】
已知一梯形的上底為 5,下底為 7,求:
(1)此梯形的中線長
(2)此梯形對角線中點所連成的線段長
梯形一底長 10 公分,連接對角線中點的線段 長 4 公分,求另一底長
【範例四】 【練習四】
如圖,等腰梯形 ABCD,AD// BC,AB=15,
BC =25, AC ^ AB,
求:(1)此梯形之高 (2)上底AD之長 (3) 梯形 ABCD 面積 (4)此梯形的中線長。
如圖梯形 ABCD 中,AD// BC,E 為 CD 中點,
延長AE交 BC 的延長線於 F,若DABF 面積 為 36 平方公分,且其高為 9 公分,則:
(1)梯形 ABCD 面積為多少平方公分 (2) AD+ BC =?
A D
B C
2 5
6
A
B C
D 15
25
A
B C
D
E
H F
【範例五】 【練習五】
已知梯形高 10 公尺,中線長 8 公尺,求其 面積。
已知:ABCD 為等腰梯形,AD// BC ,AB= CD ,E、F、G、H 為 AB、 BC 、CD 、DA中 點
求證:EFGH 為菱形
A
B C
H D
E
F
G
A
B
C D
菱形的定義與性質
1.菱形的定義:四邊形的四邊都等長。如右圖,四邊形 ABCD 中,AB=AD= CB = CD 則 ABCD 稱為菱形。
2.菱形的性質:
平行四邊形的判別為四邊形兩雙對邊相等,菱形依其定義為四邊都相等,所以菱形 是平行四邊形之ㄧ種特例,故平行四邊形的性質,菱形都具備。
【已知】菱形四個邊等長。
【求證】菱形為平行四邊形。
【證明】1.在△ABD 與△CBD 中。
∵四個邊等長。
∴ AD = CD 、 AB = CB 、 DB = DB 則△ABD @ △CBD(SSS)
2.△ABD 與△CBD 皆為等腰三角形。
∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD(內錯角相等) Þ AD // CB 、 AB // CD
故可知菱形為平行四邊形。
菱形有下列六種性質,
其中(1)(2)(3)(4)項性質為平行四邊形與菱形皆有;(5) (6)項性質為菱形特有 性質,平行四邊形不一定有此性質。
(1)一對角線平分原平行四邊形為兩個全等三角形。
(2)兩雙對邊相等。
(3)兩雙對角相等。
(4)兩對角線互相平分。
(5)菱形任一對角線會平分其頂角。
(6)菱形的兩對角線互相垂直平分。
前四項性質前面有關平行四邊形已經證明,在此僅證明後兩項菱形特有性質。
A
B
C
D
A
B
C
D O
A
B
C
D O
(5)菱形任一對角線會平分其頂角
【已知】ABCD 為一菱形。
【求證】 AC 平分 Ð A 與 C Ð ,BD平分 Ð B 與 Ð D 。
【證明】在△ABC 與△ADC 中,
∵AB=AD, BC = DC , AC = AC ,
∴△ABC@△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
即 AC 平分∠A 與∠C。 同理,BD平分∠B 與∠D。
(6)菱形的兩對角線互相垂直平分
【已知】在菱形 ABCD 中,O 為 AC 與BD的交點。
【求證】 AC ^ BD, AO = CO , BO = DO 。
【證明】(1)在△ABO 與△CBO 中,
∵∠ABO=∠CBO(由菱形任一對角線會平分其頂角) 且AB= BC , BO = BO ,
∴△ABO@△CBO(SAS) ∴∠AOB=∠COB。
(2)∵∠AOB+∠COB=180 0 , ∴∠AOB=∠COB=90 0 ,∴ AC ^ BD。 (3)由(1)知,△ABO@△CBO,∴ AO = CO 。
(4)同理可證 BO = DO 。
Note:(5)、(6)項性質,平行四邊形不一定成立。
菱形的判別:我們如果已經知道以下其中一項判別性質,我們就可以說此四邊形是菱形。
1.若四邊形的兩對角線互相垂直平分,則這個四邊形一定是菱形。
2.若四邊形的兩對角線分別平分其內角,則此四邊形一定是菱形。
接著我們一一來證明:
1.若四邊形的兩對角線互相垂直平分,則這個四邊形一定是菱形。
【已知】在四邊形 ABCD 中, AC ^ BD, AO = CO , BO = DO 。
【求證】ABCD 為菱形。
【證明】(1)∵ AC 為BD的垂直平分線段,∴AB=AD, CB = CD (2)∵BD為 AC 的垂直平分線段,∴BA= BC ,DA= DC (3)由(1)與(2)得,AB=AD= DC = CB 即 ABCD 為菱形。
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
2.若四邊形的兩對角線分別平分其內角,則此四邊形一定是菱形。
【已知】在四邊形 ABCD 中, AC 平分 Ð A 與 C Ð ,BD平分 Ð B 與 Ð D 。
【求證】ABCD 為菱形。
【證明】(1)考慮△ABC 及△ADC,由 AC 平分∠A 與∠C,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA。
且 AC = AC ,故△ABC@△ADC(ASA)
∴AB=AD, BC = CD 。
(2)同理可證AB= BC ,AD= CD 。
(3)由(1)與(2)可知,AB= BC =AD= CD ,∴ABCD 為菱形。
有關菱形的應用:
菱形的面積與周長的計算
l菱形的兩對角線長分別為 a 與 b,則菱形面積= 1
2 ab 。 l菱形的兩對角線長分別為 a 與 b,則菱形周長=2 a2+ b 2 。
【已知】在四邊形 ABCD 中, AB=AD= CB = CD 。
【求證】四邊形 ABCD 面積= 1
2 ab,且四邊形 ABCD 周長=2 a2+ b 2 。
【證明】∵四邊形 ABCD 為菱形且 O 為 AC 與BD的交點。
∴ AC ^ BD, AO = CO = 1
2 a, BO = DO = 1 2 b 四邊形 ABCD 面積=△ABD+△BCD
= 1
2 × AO ×BD+ 1
2 × OC ×BD
= 1
2 × AC ×BD= 1
2 × a × b 四邊形 ABCD 周長= AB+AD+ CB + CD
=4AB=4
2 2
2 2
a b æ ö æ ö ç ÷ + ç ÷ è ø è ø
=2 a2+ b 2
A
B
C a D b
O
A
B
C
D
【範例】一菱形的兩對角線長分別為 10 公分及 24 公分,求此菱形的周長及面積。
【解答】(1)菱形面積= 1
2 ab= 1
2 ×10×24=120(平方公分)
(2)菱形周長=2 a2+ b 2 =2 102+ 24 2 =2×26=52
【範例】菱形的邉長為 8 公分,有ㄧ內角為 60 0 ,試求菱形的面積。
【解答】作AH ⊥ BC 於 H,
則△ABH 為 30 0 、60 0 、90 0 的直角三角形,
∵AB=8 ∴AH =4 3
∴ABCD 面積=8×4 3 =32 3 (平方公分)
從菱形的性質,我們知道四邊都相等的四邊形是菱形,但若只有兩雙鄰邊相等則稱為鳶(箏) 形。如下圖。
鳶(箏)形的定義與性質
1.鳶(箏)形的定義:兩雙鄰邊分別等長的四邊形,稱為鳶(箏)形。
如圖,四邊形 ABCD 中,AB=AD, CB = CD ,則 ABCD 稱為鳶形。
(Note: AB=AD ¹ CB = CD )
2.鳶(箏)形的性質:鳶形的對角線互相垂直,且其一對角線被另一對角線平分。
【已知】在四邊形 ABCD 中, AB=AD, CB = CD 。
【求證】 AC ^ BD且 BO = DO 。
【證明】(1)∵AB=AD,∴A 在BD垂直平分線上。
(2)∵ CB = CD ,∴C 在BD的垂直平分線上。
(3)由(1)與(2)可知, AC 為BD的垂直平分線段,
∴ AC ^ BD且 BO = DO 。
A
B
C
D A
B
C D
A
B
C O D 8
60 0 A
B C
D
H
1 2
3 4
5 6
A
B D
E F
M N
C A
B D
E F
M N
C o
A
B
C D
P Q
R S
O
【範例】
【已知】AB=AD, BC = DC ,E、F 分別為AB,AD的中點。
【求證】(1) AEOF 為菱形 (2)OMCN 為鳶形。
【證明】(1)(i)∵AB=AD, BC = DC
∴ABCD 為鳶形 ∴ AC ^ BD (ii)在△AOB 中, Ð AOB=90 0 ,
且AE=BE ∴AE= OE = 2 1 AB
同理AF = OF = 2 1 AD
(iii)AB=AD
∴AE= EO = FO =AF ∴AEOF 為菱形 (2)(i) ∴ Ð 1= Ð 2,即 Ð 3= Ð 4
(ii)∵ABCD 為鳶形,∴△ABC@△ADC
∴ Ð 5= Ð 6
(iii)又 OC = OC ,∴△OMC@△ONC(ASA)
∴ OM = ON , MC = NC ,∴OMCN 為鳶形
【範例】ABCD 中,P、Q、R、S 分別為 AB、 BC 、 CD 、DA的中點,且AB=8 公 分, Ð A=60 0 ,求(1) B D (2) AC (3)矩形 PQRS 的周長及面積。
【解說】(1)∵△AOD 為 30 0 、60 0 、90 0 的直角三角形,且 A B =8
∴ B O =4, AO =4 3
Þ BD=8, AC =8 3
∴ SR = 2
1 AC =4 3 ,
SP = 2
1 BD=4
(2)∴PQRS 周長=8+8 3
PQRS 面積= SR × SP =4 3 ×4=16 3 (平方公分)
A
B C
D
E
F
G H
1 3
4 2 O A
B
C D
P Q
R S
O
【範例一】 【練習一】
ABCD 為菱形,若 OB =3 公分,ABCD 面積為 24 平方公分,求此菱形周長。
一菱形的兩對角線長分別為 12 公分及 16 公 分,求此菱形的周長及面積。
【範例二】 【練習二】
ABCD 中,P、Q、R、S 分別為 AB、 BC 、CD 、 DA的中點,且AD=10 公分, Ð A=60 0 , 求矩形 PQRS 的面積。
已知菱形的一對角線長 7 公分,面積為 28 平 方公分,求此菱形四邊中點連線,所形成新 四邊形的周長。
【範例三】 【練習三】
已知:ABCD 為平行四邊形, EG ^ HF 求證:EFGH 為菱形
已知:△ABC 中,Ð A=90 0 ,AD ^ BC ,BF 平分 Ð ABC,FH ^ BC
求證:AEHF 為菱形
A
B C
D H
E F
1 2 3
A
B
C D O
A
B
C
D E
F
【範例四】 【練習四】
已知:線段 a 和線段 b
求作:以 a 和 b 為兩對角線的菱形
已知:ABCD 為平行四邊形,AE ^ BC , CF ^ AB,AE= CF
求證:ABCD 為菱形
【範例五】 【練習五】
已知:ABCD 為矩形,EF 垂直平分BD
求證:(1)BEDF 為菱形 (2)若 AB=4,BC = 8,求菱形 BEDF 面積
已知: 四邊形 ABCD 中 AC ^ BD,AC 平分BD 求證:ABCD 為鳶形
a
b
A
B
C A D
B C
E D
F O 1
2
………
一、選擇題:
( )1.如附圖,一個玩具車軌道圖,將白色車頭的玩具車自P點沿著箭頭方向前進,途中 經由A點轉向B點,再經由B點轉向 Q 點。若 ÐBAP = 130 o 、 ÐQBA = 95 o 。請問此 玩具車至少共要轉多少度才能抵達 Q 點?【91 年第一次基測】
(A) 35 (B) 55 (C) 135 (D) 225
( )2.如附圖,梯形
ABCD
中, AD// BC , AB¹ DC 。請問下列哪一種作圖法,可將此 梯形分割為兩個面積相等的圖形? 【91 年第二次基測】(A) 連接 AC
(B) 作 BC 的中垂線
L
(C) 分別取 AB 和 CD 的中點
P
、Q
,連接PQ (D) 分別取 AD 和 BC 的中點H
、K
,連接 HK( )3.如附圖,四邊形
ABCD
為平行四邊形, ED // FG , ÐD = 75 o , ÐABE = 25 o 。 求 Ð GFB + Ð GCB = ?【93 年第二次基測】(A) 155 o (B) 210 o (C) 235 o (D) 270 o
B Q
A P
C B
A D
A E D
F G 25
75
o
o
( )4.右圖是兩全等長方形玻璃板放置的情形,其中分成甲、乙、丙、丁四塊梯形及一 塊平行四邊形。若甲、乙、丙、丁的面積比為 4:3:5:6,則此四梯形的關係,
下列敘述何者正確? 【94 年第一次基測】
(A)甲乙相似 (B)甲丙相似 (C)乙丁相似 (D)甲乙丙丁均不相似
( )5.如右圖,四邊形
ABCD
為梯形, AD // BC , EF // BC , : 3 : 2AE EB = , AD = 3 公分, BC = 6 公分,求 EF =? (A) 12
5 (B) 24
5 (C) 12
7 (D) 24 7
( )6.如右圖,梯形ABCD中, AB // CD , AB = 3 , CD = 9 ,將兩腰 AD 、 BC 延 長相交於E點,若梯形ABCD的高為8,則△EAB中 AB 上的高是多少?
(A) 3 (B) 3 . 5 (C) 4 . 5 (D) 4 二、計算題
1.如附圖,平行四邊形中, ̄平分∠
CF BCD
,若 ̄=11,BF
 ̄=8,∠AB BCD
=110˚ , 試求:(1) ∠F
=? (2) 求平行四邊形ABCD
的周長為何?2.已知:
□
ABCD 中,對角線 AC 、 BD 相交於O
,又 E、F、G、H 分別為 AO 、 BO 、 CO 、 DO 的中點。求證:EFGH 為平行四邊形。3.如附圖,已知四邊形
AB
CD
的面積為 60 cm 2 ,且 ̄= 8 cm、AC
 ̄= 9 cm,若BD E
、F
、G
、H
分 別為 ̄、AB
 ̄、BC
 ̄、CD
 ̄之中點,則:DA
(1) 四邊形
EFGH
為何種四邊形?(2) 四邊形
EFGH
的周長為何?(3) 四邊形
EFGH
的面積為何?A B
D C
H G
F E
O 甲
丁
乙 丙
A B
C D
A D
B C
E F
4.如圖,等腰梯形
ABCD
中,AB
 ̄// ̄,CD M
、N
分別為 ̄、AB
 ̄的中點,CD E
、F
分別是AC
 ̄、 ̄的中點,若
BD
 ̄= 2,AB
 ̄= 4,BC
 ̄= 8,則四邊形CD MFNE
的面積為何?5.如附圖,梯形
ABCD
中,AD
 ̄// ̄,BC
 ̄=AB
 ̄=AD
 ̄=CD
12  ̄,求∠
BC A
。6.如附圖,等腰梯形
ABCD
中,AD
 ̄// ̄,BC
 ̄⊥AC
 ̄, BD ⊥AB
 ̄,若CD
 ̄=25,BC
 ̄=15,AB
求梯形ABCD
的面積。7.如附圖,在梯形
ABCD
中, AD // BC 。如果 AB = AD , BC = BD ,∠A
=120˚,求:(1) ∠
ABC
、∠ABD
及∠CBD
的角度。(2) ∠C
及∠ADC
的角度。8.如附圖,梯形
ABCD
中,AD
 ̄// ̄,BC E
為 ̄的中點,延長CD
 ̄交AE
 ̄的延長線於BC F
,若AD
 ̄=8, ̄=12,△
BC ABF
中, ̄上的高為 16,若BF EG
 ̄⊥ ̄,且AB
 ̄=18,求AB
 ̄=?EG
9.兩條寬度(膠帶上、下邊之間的垂直距離)相同的透明膠帶交叉重疊,如附圖。
請問重疊部分的四邊形是不是菱形?
10.如附圖,四邊形
ABCD
與四邊形AEFG
為兩個全等鳶形, ̄與EF
 ̄相交於CD H
。 若∠ABC
=∠BCD
=∠ADC
=∠BAG
=101 度,則∠DHF
=?11.如附圖,在矩形
ABCD
中,兩對角線AC
 ̄、 ̄相交於BD M
。設 ̄=6、AB
 ̄=8,AD P
為BC
 ̄ 上一點,且 ̄垂直PQ
 ̄於BD Q
, ̄垂直PR
 ̄於AC R
,求PQ
 ̄+ ̄=?PR
12.如附圖,平行四邊形ABCD中, AE 平分∠A, DF 平分∠D,則:
(1)若∠C = 108˚,求∠APD的度數=?
(2)若 AD =12 公分, CD =8 公分,求 EF =?。
13.如附圖,平行四邊形ABCD、平行四邊形BCEF在同一平面上,若∠1=43˚、∠2=104˚、
∠3=35˚,求: (1) ∠4 =? (2) ∠CDE =?
14.如附圖長方形
ABCD
中,E
、F
、G
、H
分別是AB
 ̄、 ̄、BC
 ̄、CD
 ̄ 的中點,DA
若 ̄=12 公分,BC
 ̄= 13 公分,則:AC
(1) 四邊形