碎形維度評量法的應用

國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授： 許天維 博士

廖博毅 博士

碎形維度評量法的應用

研究生：林明儀 撰

中華民國 九十八 年 八 月

謝 誌

離開學校十年後，又再度返回台中教育大學進修碩士學位。經過四個暑 期進修，畢業在即。在這段日子裡要感謝我的指導教授許天維老師在論文方 向的引導；感謝廖博毅老師，帶領我進入地震的領域，提供研究的方向，教 導我程式的應用。在研究的路途上遇到的困難，老師更是不厭其煩的給予意 見，伸出援手。使得我的論文能如期完成。並感謝口試委員胡豐榮教授、范 瓊盛校長、辛俊德博士提供寶貴的建議。因為有他們的協助才使本文去蕪存 菁，更臻完善。 在論文寫作期間，感謝一同研究的夥伴：冰海、秉哲和玟秀。冰海就像 大哥一樣，安排連絡討論時間，使的研究時程順利進行；感謝秉哲在論文寫 作時給予寶貴的意見；感謝玟秀在研討會發表的幫助。大家就像一同作戰的 夥伴往前邁進，終於來到成功的門口。 最後、感謝我的太太雅鈴，因為有你精神上的支持，可以讓我讓我無後 顧之憂的進行研究；倍感壓力時，你適時的鼓勵是我最大的後盾，使我繼續 前進。 感謝所有協助我的人，因為您的協助讓本文順利完成。

中文摘要

九二一地震是百年來台灣陸地上規模最大的地震，不但造成中部地區重 大的傷亡及經濟上的損失，而且觸發大量的餘震，並在地表形成一百多公里 的破裂帶。本研究利用九二一地震及其餘震資料進行地震 b 值和相關碎形維 度的計算，並且探討兩種數值的相關性。本研究選取九二一地震前一年及後 兩年的地震序列。得到 b 值為 0.3105 到 1.3993，Dc 值為 0.4426 到 1.7862。 本研究發現九二一地震前 b 值和 Dc 會同時下降。地震後十三個月之間地震 b 值和 Dc 值為負相關；地震十三個月後兩者轉為正相關。 碎形維度廣泛運用在各個領域，研究者本身任教於國小，發現兒童繪圖 中經常出現對稱或重複排列的情形，符合碎形理論。於是本研究蒐集兒童繪 畫，利用盒子維度來計算繪畫的碎形維度，來探討其結果與兒童繪畫發展的 相關。從 917 件彰化縣四所國小一至六年級兒童繪圖「一顆樹」結果。得到 三年級的繪畫碎形維度最低，和兒童繪畫發展階段理論相同。而此繪畫的碎 形維度折線圖也與 Gardner(1983)的 U 型曲線的藝術發展模式類似。本研究 期望此一方法對兒童繪畫可提供一種新的評分方式，並能和美術專業評分結 果做比較。 關鍵字： b 值、碎形維度、兒童繪畫發展、U 型曲線

Abstract

The 921 earthquake which brought a large number of significant casualties and economical loss was the largest earthquake occurred in Taiwan in 20th century. It had triggered massive aftershocks and formed more than 100 km fault rupture. The aftershock data provided a good opportunity to analyze the relation of b-value and correlation dimension. The researchers selected the seismic sequence of the 921 earthquake occurred in preceding year and the latter two years. The researchers found the b value was 0.3105 ~1.3993, and the Dc value was 0.4426 ~1.7862. There had been a decrease in the b value and Dc value before the 921 earthquake, when in the time the large-scale earthquakes occurred in frequency. Also, it was found that the b value and the Dc value were negative correlations in the latter 13 months of the 921 earthquake. After the 13 months of the earthquake, however, the b value and the Dc value converted into positive correlation.

The fractal dimension was applied extensively in each domain. The researchers was teaching in the elementary school finding the situation was accorded with the fractal theory when child drew a chart symmetrically or reduplicately. Therefore, the researchers collected child drawings, calculated the fractal dimension of the drawings by the box dimension and discussed the relation between its result and child drawing development . The graph of “a tree” made by 917 children were chosen from four elementary schools. It was found the drawing fractal dimension was the lowest in the third-grade. It was agree with the child drawing development phase theory. And the fractal dimension's booklet graph was similar with Gardner(1983) U-curve model of artistic development. This research expected that this method may provide a new grading way to the child drawing, and can make the comparison with the specialized grading result from fine arts.

Key word： b-value 、fractal dimension、Child drawing development、U-curve model

目次

 

第一章 緒論 ... 1 

第一節 研究動機 ... 1  第二節 研究目的 ... 2 第三節 研究問題 ... 2  第四節 名詞定義 ... 3

第二章 文獻探討 ... 5 

第一節 九二一地震 ... 5  第二節 地震 b 值 ... 6  第三節 碎形 ... 8  第四節 碎形維度 ... 15  第五節 地震 b 值與碎形維度的關係 ... 16  第六節 兒童繪畫發展 ... 18

第三章 研究方法 ... 27 

第一節 資料來源 ... 27  第二節b 值的計算 ... 33  第三節 相關維度 ... 34  第四節 盒子維度 ... 35  第五節 統計分析 ... 36

第四章 研究結果與討論 ... 37 

第一節 九二一地震 b 值和 Dc 相關 ... 37  第二節 九二一地震 c 值 ... 44  第三節 兒童繪畫碎形維度 ... 47 

第五章 討論與建議 ... 65 

第一節 結論 ... 65  第二節 研究建議 ... 67

參考文獻 ... 69

 

附錄 ... 74 

表次

表 4.1.1 b 值與 Dc 之平均 ... 39 表 4.2.1 1999 年 9 月 21 日至 2001 年 9 月 20 日 c 值的計算 ... 45

圖次

圖 2.3.1 不同量測單位下的英國海岸線長度。 ... 9 圖 2.3.2 「曼德布洛特集合」 ... 10 圖 2.3.3 樹枝生長繪圖過程 ... 12 圖 2.3.4 卡區曲線 ... 14 圖 2.6.1 Davis（1997）實證研究結果驗證 U 型曲線的藝術發展模式 23 圖 2.6.2 祈藹嵐等（2003）台灣具美術背景的評圖員對於台灣及加拿大不 同組群畫作平均給分 ... 25 圖 3.1.1 九二一地震及其餘震二維分布圖 ... 29 圖 3.1.2 九二一地震及其餘震三維分布圖 ... 30 圖 3.1.3 去除的繪畫樣本 ... 31 圖 3.1.4 繪圖樣本人數統計圖 ... 錯誤! 尚未定義書籤。32 圖 4.1.1 九二一地震前一年及後二年餘震地震 b 值和 Dc 關係圖 ... 38 圖 4.1.2 1998.9.21~1999.9 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖 ... 40 圖 4.1.3 1999.9.21~2000.10 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖 ... 41 圖 4.1.4 2000.10~2001.9 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖 ... 42 圖 4.2.1 1999 年 9 月 21 日至 2001 年 9 月 20 日 c 值的計算 ... 46 圖 4.3.1 兒童繪畫碎形維度折線圖 ... 48 圖 4.3.2 一年級圖畫 ... 50 圖 4.3.3 三年級圖畫 ... 51 圖 4.3.4 一年級圖畫 ... 52 圖 4.3.5 碎形維度折線圖和加拿大 5-14 歲繪畫的評分折線圖比較 ... 54 圖 4.3.6 四年級圖畫 ... 56 圖 4.3.7 五年級圖畫 ... 57

圖 4.3.8 三年級圖畫 ... 58

圖 4.3.9 四年級圖畫 ... 59

圖 4.3.10 六年級圖畫 ... 61

圖 4.3.11 四年級圖畫 ... 62

第一章 緒論

第一節 研究動機

1999 年9 月21 日凌晨1 點47 分12.6 秒，台灣地區發生了百年以來陸地上規模 最大的地震，也是台灣近半世紀以來唯一規模大於7的地震（芮氏規模7.3），震央在 北緯23.87 度、東經120.75 度，即位於日月潭西方12.5 公里處，震源深度為8 公里， 地點在南投縣集集鎮附近，因此又將其命名為集集大地震。 主震釋放強大的能量，造成地表近百公里的破裂，垂直位移最高11公尺，觸發大 量餘震，並造成台灣重大災情傷害。台灣位於歐亞大陸板塊與菲律賓板塊的交界上， 地震活動相當活躍。地震在台灣島上發生機率頻繁，每年大大小小地震約4000多個， 其中有感地震200個以上，幾乎年年都有規模5以上的地震發生，容易發生地震災害。 而地震是最難預防的天然災害，許多專家學者一直研究探討，以既有的地震資料來尋 求大地震發生的先兆，建立地震震前的預警系統。而九二一地震和其餘震序列，完整 的地震資料及地表破裂資料可供提供我們研究。期望藉由分析九二一地震及其餘震的 地震b值和碎形維度的關係，瞭解九二一地震及其餘震分佈的關係，盼能歸納出地震的 前兆和徵候，提供日後地震預測能更加有效的方法。 現在，碎形幾何數學概念已經應用在不同領域，碎形的應用領域既深且廣。許多 不規則、不穩定、具變動性的現象都能應用碎形予以解釋。在繪畫藝術領域，碎形可 供運用之處甚多。例如從圖畫的碎形結構可以鑑定畫作的真偽。碎形的自我相似性結 構及自我複製特質，可以成為繪畫素材，作品的自我相似性可以很簡單，亦可以很複 雜。研究者本身在小學任教，發現兒童繪畫中對稱和圖形重複排列經常出現，符合碎 形結構的理論。期望使用碎形維度的概念來分析兒童繪畫的情況，並和兒童繪畫發展 階段的理論加以比較，希望可提供另一種兒童繪畫的評分方式。

第二節 研究目的

本研究的目的，在於利用中央氣象局網站所提供的九二一地震及其餘震資料，來 探討大地震發生前、後的地震 b 值和碎形維度（相關維度）的變化及相關。進一步分 析大地震來臨前是否有前兆，提供地震先行預告研究。 此外碎形維度已在各個領域中，充分發揮。在圖畫繪製上的評分，以往是依靠以 具有美術背景人士的專業判斷主觀評分。本研究探討以碎形維度（盒子維度）來為繪 畫評比，再與兒童繪畫發展相關研究來加以比對。提供以科學的方式來為兒童繪畫客 觀評分。依據上述，本研究的目的有以下幾點： 1、 探討九二一地震前後地震 b 值的變化，以及 b 值大小和地震大小的關聯性。 2、 探討九二一地震前後地震碎形維度變化及其意涵。 3、 探討九二一地震地震 b 值和碎形維度的相關及其意涵。 4、 探討九二一地震的 c 值及其意涵。 5、 探討以碎形維度來分析圖畫，可以提供較客觀的評分方式，針對兒童繪畫來評分。

第三節 研究問題

本研究根據上述研究目的，提出下列研究問題： 1、 碎形維度評量法運用在九二一地震時，b 值的變化與其地震規模相關為何？ 2、 碎形維度評量法運用在九二一地震時，碎形維度的變化的意涵為何？ 3、 碎形維度評量法運用在九二一地震時，b 值和碎形維度相關為何？ 4、 碎形維度評量法運用在九二一地震時，地震 c 值計算，代表意義為何？ 5、 碎形維度評量法運用在兒童繪畫時和兒童繪畫發展的階段比較的結果為何？

第四節 名詞定義

壹、 主觀評分

測驗分數會受到評分者主觀判斷影響，而導致評分的誤差，使得評分結果不一， 例如：論文式成就測驗、創造思考力測驗、投射測驗、藝術評分。其評分結果多少受 到不同評分者主觀判斷的影響。本研究將此類評分稱為「主觀評分」。

貳、 客觀評分

測驗分數因為評分者在評分上無個人判斷的空間，同樣的作答情況所得到的分數 也會相同。例如：選擇式反應測驗、填充式題型、配合題型。其評分結果評分有固定 標準，不受個人主觀因素影響。本研究中由程式來計算圖形碎形維度將此稱為「客觀 評分」。

第二章 文獻探討

本章節共分為六個部分，包括：九二一地震、地震 b 值、碎形、碎形維 度、地震 b 值與碎形維度的關係、兒童繪畫發展。下列就分成這六節來探討 各自的內涵。

第一節 九二一地震

1999 年 9 月 21 日凌晨 1 點 47 分 12.6 秒，於台灣南投集集鎮附近發生 芮氏規模 7.3 的強烈地震。其震央位於東經 120.75 度、北緯 23.87 度、深 度 8 公里。九二一地震因車籠埔斷層，北起自大甲溪南岸至濁水溪北岸，上 下錯動所引發的內地淺層地震。地表破裂在主斷層長約 83 公里，東北延長 段約 22 公里，全長約 105 公里。車籠埔斷層為一逆衝斷層，其斷層面以約 25 至 35 度之低角度向東傾斜。主震發生時，能量從震央沿南北走向的斷層 向外傳播，每秒約二至三公里。此次地震造成地表斷層最大垂直錯動 11 公 尺，最大水平錯動 10 公尺，平均錯動約 5 公尺，破壞力相當大。氣象局名 間地震站測得最大水平加速度高達 1G 是日本阪神地震 0.8G 的 1.2 倍。震動 持續約三十秒，威力之大，造成中部地區許多鄉鎮，在斷層線上，從北到南， 包括卓蘭、東勢、石崗、豐原、大坑、太平、大里、霧峰、草屯、中興新村、 南投、名間、竹山等，及附近鄉鎮台中市、彰化市、埔里鎮、國姓、魚池、 中寮、集集、員林，皆受到強震的襲擊。甚至連到 200 公里外的台北市亦受 到波及（陳勉銘等人，2002）。 依據內政部消防署公布的地震災害統計資料，這次地震造成 2415 人死 亡、24 人失蹤，一萬多人受傷，近 11 萬戶房子全倒或半倒，二十多座橋樑 受損，經濟損失難以估計，中部災情慘重。 主震後一星期，餘震次數高達每小時約 160 次，之後逐漸遞減到每小時

十幾次左右，共一萬多次的餘震。其中最大的餘震是九月二十六日和十月二 十二日的地震，規模達 6.8；其他有四百多次的有感地震規模在四以上。餘 震的分佈範圍與主震震央差距最大約一百公里，引起餘震的斷層帶包括大茅 埔-雙冬斷層、梅山-觸口斷層等許多斷層（中央氣象局）。 九二一地震對台灣中部地區，產生相當大的危害。不論在經濟、地形變 化和生態改變，都造成極大的影響。而其完整的地震資料亦提供研究人員分 析的大量資訊。期望從了解九二一地震，進一步能建立地震災害的預防措 施。

第二節 地震 b 值

地震是種複雜的時空現象，當地震發生時，不僅會釋放出應力也會造成 應變，觀察b 值的大小與應力的變化剛好成反比，通常應力大的地方，b 値 會較小，待其區域釋放應力後，其b値回復正常。b值由Gutenberg and Richter 兩位學者依據地震頻率和地震規模的關係導出古登堡關係式（Gutenberg - Richter law,1944）。log N=a-bM，其中b值反應大小地震之間的比例關係。 b值隨著研究區域的地質分佈、地體構造、地溫與應力形式等條件不同而有 所變化。

Aki and Ustu（1965）提出最大概率法（Maximun likehood method） 是依照實際地震資料的分佈，大規模的地震次數少，其地震發生率的誤差分 佈範圍較大；反之，小規模地震次數多，地震發生誤差分佈範圍小。此方法 給於規模區間的數目越多，給予的權重越重。因此最大概律法所推估的b值， 適合表示地區地震活動的特性。Shi andBolt （1982）利用最小平方法分析 b值，但此方法會因地震資料不完整，使b值易因遠離群體的特異值所影響。 但只要資料篩選妥當，所獲得的b值仍然是正確的。 大地震前夕，b 值會降低是一種眾所皆知的現象，而群震現象會造成地 震空間分佈的碎形維度降低（Ouchi ＆ Uekawa, 1986）。觀察1995年日本

Kobe大地震前兩三年地震資料，發現地震前b 與D 值都有明顯下降，兩者呈 現很好的相關性（Enescu ＆Ito, 2001）。Roy and Nath （2007）發現，大 地震前Dc與b值會同時明顯降低。陳培善等（2003）利用全球24年的17488 個地震資料計算b值，全球b值平均值約為1。一般而言b值在板塊內部約 0.4~0.7，在板塊邊界約0.7~1.0，中洋脊約1.0~1.8，而火山地區的群震可 達2.5。 黃聰哲(2002)研究集集地震前十年期間，發生規模 6 以上的地震前十天 的震源區域，b 值會下降，但是台灣其他區域 b 值卻有上升現象。而 Wu 和 Chiao (2006)利用 1994 到集集地震前，發生於陸地及近岸 20 公里內的地震 目錄進行 b 值估算，發現大地震發生前九個月規模較小的地震減少，b 值也 有變小的趨勢。 江準熙(2005)以規模 2.5 到 5.5 之間資料分析，集集大地震前後 b 值分 別是 1.08 與 0.95，降低了 0.13，顯示大規模地震相對於小規模地震個數比 例增加。王薇茜(2006)計算集集大地震一年內餘震，累積規模 Mc2.2 到 5， 每增加規模 0.1 計算一次，得到 b 值介於 0.6 至 1.1 之間。吳美琍（2007） 研究集集大地震前後的 b 值變化，在 15 公里上下深度，集集震央所在區域 觀察到震前 b 值顯著變小(0.65)，震中升至 0.85，震後更增到 1.15。表示 集集大地震發生前在此深度累積了較大的地殼應力，而經由車籠埔斷層的錯 動釋放區域內之應力。而車籠埔斷層是集集大地震餘震序列中，主滑脫面的 大量地震活動，使得累積的應力獲得釋放。

第三節 碎形

Mandelbrot 在1967年創造了碎形理論，在論文中提出「英國的海岸線 有多長？」發展出新的維度觀念-碎形（fractal）。他認為英國海岸線線的 長度是不確定的，使用單位越小的度量單位，所得到的海岸線越長（圖2.3.1）。 如此一來英國的海岸線變得無限長。但是，Mandelbrot 利用使用不同的度 量單位測量，從中找出共同的規則，自我相似的特徵，發展成碎形的概念， 計算出英國海岸線的長度。 碎形揭露的是自然幾何學，不規則中蘊藏某種規則的秩序，卻和尺寸無 關，就算放大或縮小，其中的複雜程度並未因此減弱，例：「曼德布洛特集 合」（Mandelbrot Set）(圖2.3.2) 是碎形結構的重要代表作，從依序放大的 圖檔中，可以清楚發現無關尺寸大小，就算放大到一百萬倍，它們所顯現的 自我相似性仍舊存在。自然界中的碎形處處可見，如天空中的雲、閃電、星 星、雪花、海浪、山的形狀、岩石、樹木的枝葉、掉落的樹葉，土地的龜裂、 地殼的斷層破裂、衛星空照圖、海岸線、我們所吃的花椰菜、甚至於一大群 人的聚會所成的圖形，都可以碎形描述這些自然界的結構本質。 碎形包含一些重要概念：碎形具有自我相似性的結構、碎形是非線性動 力過程的結果、碎形和尺度不具相關性、碎形是分數維度。我們依據這些概 念來說明碎形。

壹、碎形具有自我相似性的結構

碎形具有自我相似性的結構，一個東西經過不斷放大後，始終都具有自 我相似性的結構，不論該結構有多複雜、多粗糙、多摺疊，都存在某種相似 性的結構；自我相似是一種很容易辨認的特質，係指在愈來愈小的尺度中， 重覆製造細節，並且以某種固定方式縮小細節，造成某種循環的複雜現象。 也就是在任何一個觀測尺度下，其形狀會完全一樣。

圖2.3.1不同量測單位下的英國海岸線長度。資料來源:＂ Fractal Geometry in Architecture and Design”(p30), by Bovill,1996, Boston : Birkhauser.

單位長度（mile） 線段數 總長度（mile）

200 7 1400

100 16.25 1625

50 40 2000

圖2.3.2 「曼德布洛特集合」（Mandelbrot Set）。資料來源:” The Fractal Geometry of Nature “by Mandelbrot,1983, W. H.Freeman, New York .

在繪畫藝術領域，碎形的自我相似性結構及自我複製特質，可以成為繪 畫素材。例如：一枝樹幹初次分成兩枝，每一根分枝看起來跟整棵樹很像。 就某種意義而言，一棵樹是由兩個、三個跟自己一樣的複本製作而成。這兩 個或三個也許不是很完美，但複製的效果就是一棵樹，透過數學公式簡單的 運算，再交由電腦繪製，可以很快地繪製完成一棵樹的「生長」過程(圖 2.3.3)(陳義裕，2003)

貳、碎形是非線性動力過程的結果

碎形是非線性動力過程的結果，大自然的外貌及結構皆是經由非線性動 力過程所產生，因此在非線性現象中往往能找到碎形的蹤跡，比如在晶體的 成長過程中，也可能發現碎形，因此碎形可以解釋過去科學忽略的非線性現 象與大自然複雜結構。更重要的是碎形觀念已延伸到不同的領域，如生理學、 經濟學、社會學、氣象學、音樂、美術、建築以及天文學中的星體分布等， 碎形在各個領域充分發揮它的功用。

參、碎形和尺度不具相關性

碎形和尺度不具相關性，無論尺寸大或小，在一定可觀察的區域中，碎 形會有一致性的碎形維度，也就是碎形的複雜程度不會因為大小而有所改變。 碎形就是部分與整體存在某種自我相似性的幾何圖形，形狀的變換與尺度無 關，這種現象在自然界比比皆是。例如地震在物理學的相當程度上與尺度無 關，大地震只是小地震按尺度放大的結果。由大地震可以看到小地震不斷分 裂，不斷被觸發的現象，也就是所謂的地震碎形現象，而地震會造成地表破 裂，此破裂情形在特定的尺度下呈現自我相似的幾何圖形，所以可以從破裂 地表圖案計算出碎形維度。

圖2.3.3 樹枝生長繪圖過程: 碎形的自我相似性結構及自我複製特質，可以 成為繪畫素材，由繪圖步驟可看出碎形理論中的自我相似。 第一步驟：首先畫一個丫形狀，這是樹的主幹。 第二步驟：再將圖形的每一條線都變成丫形狀。 第三步驟：重覆第二步驟。 第四步驟：在線段上加上深淺顏色。 第五步驟：再重覆第四步驟，一棵樹就長大完成了。資料來源：碎形-奇怪 的形狀，無窮的應用。（頁49-53），陳義裕，2003，科學發展，370。

肆、碎形維度是分數維度

碎形理論的發展是建立在混沌現象下的分析方法。在碎形尚未發展之前， 人類的形象概念，都建立在歐基里德幾何的整數空間基礎，即點、線、面、 立體之間的零、一、二、三維空間，再加上愛因斯坦的相對論的時間因素的 第四維，都是整數維度。維度（dimension）是用來測量物體的量化標準， 與度量的尺度有關。一維是線條概念，就像縫衣服的線一樣；二維是平面概 念，就像街道地圖，有長有寬；三維是空間概念，就像經常說的三度空間。 但是描述混沌現象的數學空間不再是整數而是分數。分數空間提供人類新的 形象概念，也為描述複雜狀態的自然狀態提供新的數學方法，這就是所謂的 碎形維度(馮正民，2002)。 碎形維度是有分數的，就像無窮擴張的三分之四的卡區雪花曲線(圖 2.3.4)，圖形的維度＝log4/log3＝1.2618。卡區雪花曲線是瑞典數學家范 卡區（Helege von Koch）於一九○四年首創的，這條既不是筆直又不是圓 形的連結曲線，看起來很像雪花圖案，其維度就不是整數，是介於一及二的 維度，即所謂的分數維度又稱碎形維度。當n=0 時，為一直線。n=1 時，中 間一段尖起，總長度變成原來的4/3 倍。n=2 時，每一線段的中間又隆起， 變成兩倍長度，總長度是上個步驟的4/3 倍長。當n 越大時，卡區曲線則長 度越長，且長度呈等比級數增加，照此繼續成長，卡區曲線會變成看似複雜 的圖案，但每一小部分放大後，都可以看到相同的結構存在。

圖 2.3.4 卡區曲線。Mandelbrot, Fractals）。” The Fractal Geometry of Nature “by Mandelbrot,1983, W. H.Freeman, New York .

第四節 碎形維度

碎形維度種類很多，有自我相似維度、相關維度、盒子維度和訊息維度， 還有不指單一碎形的碎形維度。各種碎形維度有其應用層面。本研究使用相 關碎形維度，利用兩點之間距離的相關性來分析九二一的地震資料；將兒童 繪畫結果，以碎形的理論來分析，利用盒子維度的方法，計算出圖畫的碎形 維度。針對相關碎形維度及盒子維度說明如下:

壹、相關碎形維度

地震相關研究中，因為地震資料中包含地震發生的經度、緯度和深度。 因此我們可以確知兩個地震的相關位置，進而找出兩者之間的距離。相關維 度是利用兩者之間的距離，使用 Grassberger and Procaccia(1983)提出的 相關積分式計算。專家學者除了盒子維度外來分析斷層破裂的地表的碎形維 度，也應用相關維度來分析震源之間距離的相關維度。

Richa and Dimri (2003) 研究 1999.3.29 Chamoli 地震 (ML=6.4)的 餘震，其相關碎形維度維度 Dc=1.67，顯示主震、餘震有沿著斷層帶分佈的 趨勢，且彼此有關連性。可知道大地震後，大量應力沿著斷層觸發餘震，造 成較高的碎形維度。

貳、盒子維度

大自然中有許多的碎形卻不太容易區分其自我相似的形態，我們要如何 求出它們的碎形維度呢？這裡，我們要介紹另一種碎形維度的概念，我們稱 做「盒子維度（Box-Counting Dimension）」，它是「Hausdorff Dimension」 的簡化型，由於它的概念與計算並不複雜，所以，常常被實際應用於物理學 與地理學之中。就平面上的碎形而言，我們只需要把碎形圖案放在適當大小 的方格中，然後再計算碎形圖案佔據了多少小方格即可。

埔斷層碎形維度為:1.24、1.11、1.08、1.08，顯示北高南低。王薇茜（2006） 計算車籠埔的地表破碎點集合的碎形維度算出的 D 值在 0.5 到 1 之間。

第五節 地震 b 值與碎形維度的關係

b 值觀念由 Gutenberg and Richter 兩位學者提出後，地震學者紛紛探 討地震 b 值與碎形維度的相關。Aki(1981)假設地震 b 值與地震碎形維度間， 存在一關係式：D = 3b / c (c=1.5，是地震矩(Mo)取對數與值是用最大概 率法算出)，他假設地震 b 值和碎形維度成正相關。後來 Turcotte (1986) 計 算出 b= D /2，證明地震 b 值和碎形維度成正相關，但與 Aki 的假設不同。 此外 Hirata(1989)從 Tohoku 地區地震分布計算 b 值和碎形維度卻得到負相 關(Dc=2.3-0.73b)。但 Hirata 利用相關碎形維度(Correlation Dimension， Dc)來算出地震震央空間分布的碎形維度和 Aki 利用盒子維度是不同的。 Wang and Lin(1993)算出台灣西部地震的地震 b 值與碎形維度呈現負相 關，他們認為研究的斷層可能不是獨立法發展完整的斷層，所以計算出來的 只是斷層破裂表面的碎形維度。 Henderson(1999)從注井實驗發現地震 b 值和 Dc 有正相關也有負相關。 在注水一開始，地震 b 值與 Dc 呈負相關；過了一段時間後地震 b 值與 Dc 成 為正相關。可以把這樣的關係看成地震時應力的釋放過程:大地震發生前較 大的應力的累積 b 值下降，當水壓持續增加並超過地層所能承受時，將誘發 應力釋放，使得 b 值升高；並造成許多相關集中的餘震，使得 Dc 降低，造 成負相關，而經過一段時間後，水壓逐漸擴散，代表應力的分佈也逐漸均勻 而呈現正相關。恢復到一般情況，地震 b 值與碎形維度成正相關。唐毅鈞等 (2007)以 1022 嘉義地震，分析嘉義地區地震活動。當大地震發生前後，b 值 和 Dc 是呈正相關，但在第一餘震區段內，b 值和 Dc 值卻是呈負相關。 Mandal(2005)分析 1968 年到 1996 年的 Koyna-Warna 地震目錄，計算 出地震 b 值和碎形維度，呈現出正相關也存在著負相關。正相關較弱的群震

關係或地震分布填滿整個二維空間。負相關則在較大地震時，b 值較小，而 碎形維度因為主震周圍強震較多，碎形維度較高，而呈現負相關。 Mandal and Rastogi (2005) 在 India 的 Bhuj 地震序列發現，主震後前兩個月的 餘震，地震 b 值與碎形維度呈負相關，兩個月之後則呈現正相關。指前兩個 月餘震中發生規模較大的地震較多，應力沿著斷層大範圍釋放；之後較大規 模餘震便減少，斷層區逐漸分裂成小的破裂，應力釋放趨於平衡。 楊貴鈞（2006）收集了自 1992 年至 2003 年間地震，發現在台灣的西部 以及中部地區 b 值和 D 值有著負相關關係，顯示該地區在大地震發生時主震 周圍有較強的群震效應，也說明了此區的斷層系統是屬於多斷層系統。 Chang 等人 (2007)研究集集地震後餘震，依據車籠埔斷層表面破裂計算出 碎形維度，並用餘震資料計算地震 b 值。得到 D 值在 1.08 ~ 1.24 之間；b 值則在 0.75 ~ 1.14 之間。發現小規模但數量多的地震較常出現於高 D 值 （Fractal Dimension）且高 b 值的區域；而低 D 值且低 b 值的區域對於中規 模和大規模的地震有較大發生的可能性。 吳相儀（1999）從台灣地區 1993～1999 年間取規模大於 5 的地震，做 地震震源分析，得到 c=1.6±0.219。 Legrand(2002)依據分別對地震規模的 大、中、小做碎形維度的分析。發現 c 值(D=3b/c)會因為地震的大小而改變 成 2、1.5、1。而得到大地震 D=3b/2、中型地震 D=2b ，小地震 D=3b ，可 知地震 b 值與碎形維度成正相關。王薇茜(2006)算出九二一地震後一年餘震 的 c=1.6。由此可看出 Aki(1981)雖然假設 c=1.5，但是依照地震的規模不 同，c 值會改變。

第六節 兒童繪畫發展

兒童繪畫和兒童發展是密切相關，所以我們從兒童認知發展階段和兒童 繪畫發展階段等相關論述，探討兒童繪畫發展階段的區分。 兒童認知發展以皮亞傑(Piaget)的認知發展理論最為世人接受，皮亞傑 認為認知的發展依照年齡來區分可分為四個階段，雖然分為四個階段但階段 間仍有連續性，所有的兒童都是經歷這四個階段順序發展認知（王文科， 1991）。

1.感覺運動期（sensory motor stage）：出生至兩歲，在本階段的嬰 兒的認知主要依賴自己感觀的經驗，透過肢體的反射行為來認識環境，漸漸 形成習慣並且固定的反應方式，此時的活動大都集中在自己身上。在本階段 中，嬰兒會發展物體恆存及因果概念的觀念。 2.前運思期（preoperational stage）：兩歲至七歲，本階段的兒童擁 有運用符號的能力，可以透過延宕模仿、象徵遊戲或扮演遊戲、繪畫或圖畫 意象、心理意象、語言的使用等五種行為模式觀察出。在此階段中會出現幾 個特殊的思考現象，如：約在二到四歲期間常出現不具邏輯的直接推理的現 象，他的思考模式會出現自我中心，並且無法區別自己與他人的觀點，思考 為單向的，無法接受可逆性，且缺乏質、重量、容量保留的觀念。在注意力 方面會集中在特定的範圍，而不會注意其他方面。

3.具體運思期（concrete operational stage）：七歲至十一歲，在此 階段重要的發展特徵開始脫離自我中心觀，發展具體、合乎邏輯的思考能力， 思考模式由籠統漸漸變為分化、絕對到相對、靜態到動態，知覺開始有可逆 性、保留、轉變性的概念，並且發展出算數運思、空間運思的能力。

4.形式運思期（formal operational stage）：十一歲至成人，此為皮 亞傑所提認知發展理論的最後一個階段。在本階段中，兒童能夠不藉由具體 事物，來做抽象的思考，並具有假設－演繹推理、歸納推理的能力。但在青 少年時期會出現自我中心觀，常會因個體建構理想與實務比較而產生困擾，

透過參與實務後，會縮短理想與實務間的差距，進而能客觀的思考。 在藝術發展階段方面，Lowenfeld and Brittain（1987）在「創造與心 智成長」（Creativeand Mental Growth）兒童繪畫發展分為五個階段、Burt (1922)曾在心理與學業測驗(Mental and ScholasticTests)中所做的兒童造 形分類、Gardner（1980）將兒童繪畫發展分為三個階段，這些學者將兒童 繪畫做階段劃分:

壹、Lowenfeld and Brittain（1987）的兒童繪畫發展

Lowenfeld and Brittain（1987）在「創造與心智成長」（Creativeand Mental Growth）書中提出和皮亞傑一樣的發展觀點，指出兒童的藝術表現 也有發展階段。書中將兒童繪畫發展分為塗鴉階段（scribblingstage）、 樣式化前階段（pre-schematic stage）、樣式化階段（schematic stage）、 黨群寫實階段（gang age stage）、擬似寫實階段（pseudo-naturalistic stage）： 1. 塗鴉階段（2-4 歲）：此階段兒童只能畫出分化且無秩序的線，反 映出兒童生理發展，只能控制大肌肉，小肌肉的協調性尚在發展階段。 2. 樣式化前階段（4-7 歲）：此階段兒童隨著語言的發展，思想不斷 進步。開始發現自己想表現與事物的關係。開始有意識的造形活動，開始繪 畫人物，如「蝌蚪人」圖式，所繪畫的人物有圓圓的大頭加上眼睛和嘴巴， 身體及四肢則為簡單的線條。另外還有「X光畫」，將視覺無法看到的部分 依據自己的想像加畫上去。 3. 樣式化階段（7-9 歲）：此階段兒童作畫的興趣濃厚，各種型態已 能按照自己的意思描繪出來，想像力豐富，創造性高。他們以主觀的方式去 觀察，強調自己所描繪的重點，擬人化的畫風表現在圖畫中。有時會反覆或 對稱的把事物做規則的排列。 4. 黨群寫實階段（9-11 歲）：此階段兒童不再強調自我，從主觀的看 法，足見進入客觀的觀察。對於事物比較傾向寫實，著重於一些重要細節的

區別，如：人物男生、女生的區別，但筆觸會較為僵硬死板；表現景物也有 前後的區別。 5. 擬似寫實階段（11-13 歲）：此階段兒童因為生活經驗的增加，觀 察力、欣賞力都提高。但技術尚未成熟，對自己的作品產生批判的意識，感 到不滿意而失去創作的信心。這階段的兒童繪畫已進入客觀的寫實描繪階段， 表現類型分為視覺型、觸覺型和綜合型。

貳、Burt在心理與學業測驗中所做的兒童造形分類

Burt(1922)曾在心理與學業測驗(Mental and ScholasticTests)中所做 的兒童造形分類，被認為此分類為研究兒童畫發展階段理論的學者，提供了 一個合理、有系統的一項綱要分類。其分類階段如下: 1.塗鴨(scribble)：約2至5歲，3歲為顛峰。分四小階段:無目的的塗鴨、 有目的的塗鴉、模仿的塗鴨和局部性的塗鴨。 2.線晝(line)：4至6歲，視覺控制較前期進步，人物乃是最有興趣的畫 題，但是形象不完整，通常以圓為頭部，點為眼睛，兩條單線為腿。 3.描述的象徵主義階段(Descrlptive Symbolismstage)：約5至6歲，對 於人物型態較能正確的描繪，但仍然是概略的象徵性圖形。對於人的五官印 象不清晰。 4.描述的寫實主義階段(Descriptive Realismstage)：約7至8歲，此時 期的畫仍是理論的而不是視覺的，兒童是畫其所知，而非畫其所見，所以表 現的造型是類屬性的形式。已能注意細節的表現，而且對裝飾性的表現特別 感興趣。 5.視覺的寫實主義階段(VisualRealismstage)：約9至10歲，此期是兒 童從由記憶和想像的階段，轉為依照自然型態作畫的階段。 6.抑制階段（Repression Stage)：約11歲至14歲，因為依照此期，兒 童的「自然發展」對事物已有客觀的認識，但是技巧不成熟，眼高手低，因 而喪失信心。此期兒童繪畫較偏向於機械型的圖案設計，人物描繪較少。

7.藝術的復活期(Atistic Rivtval stage)：15歲以後，柏特認為大約 在15歲以後，繪畫活動才真正開始具有藝術性的內涵。此時繪畫已是有意義 的內容，男女的表現也有明顯的差異。

參、Gardner（1980）的兒童繪畫發展

Gardner（1980）將兒童繪畫發展分為三個階段： 1. 塗鴉階段（0-4 歲）:是兒童本能的繪畫、其線條是無意義的亂畫階 段。 2. 圖式階段（4-8 歲）:為兒童繪畫的黃金時期，已開始畫像樣圖案的 時期，此時兒童憑印象描畫，並大膽創作，可把實物圖式。 3. 寫實階段（9 歲以後）:兒童已能正確描繪物體的形狀、顏色及遠近 情況，但因為為了寫實而使得創意降低，繪畫較為僵硬。

Gardner and Winner (1982) 提出兒童繪畫發展呈現「U 形曲線」，學 前兒童出現創造性高的狀態，就學期間的兒童與青少年出現傾向寫實期的潛 伏期，如果U 形能再度升起時，則表示重新達到較高層次的藝術成就。U 型 曲線的藝術發展模式(U-curve model of artistic development)認為四至 六歲兒童處在人類藝術發展之最高點，自八歲開始即在繪畫作品中呈現衰退 現象，此現象持續至青少年或成人時期，然而，特別具有藝術傾向的人，則 會出現藝術技能的再生現象。他們認為四到六歲兒童，其圖畫表現與許多傑 出西方藝術家作品相似，因此在具有專業美術素養的評圖員眼中，評比會比 較高。而這些相似性在兒童成長至八歲時開始逐漸消失，因此一般人在八歲 至十一歲之後的繪畫表現逐漸衰退，直至成人還是沒有進展，形成「L 型」 的發展傾向；當中只有少數人能夠在成人之後呈現繪畫表現的成長，即「U 型 曲線」的藝術發展模式。 Davis(1997) 的實證研究結果驗證了U 型曲線的藝術發展模式；其研究 針對美國地區五歲、八歲、十一歲兒童及「具美術專業背景」與「未具美術 專業背景」的青少年及成人之於「快樂」「悲傷」和「生氣」三個主題的圖

畫，由兩位藝術專家根據Goodman(1976)分析的美感特徵(symptoms of the aesthetic)來評量這些圖畫，結果應證了U 型曲線的藝術發展模式（圖 2.6.1）。

圖2.6.1 Davis實證研究結果驗證U型曲線的藝術發展模式。資料來源：” Drawing demise: U-shaped development in graphic symbolization” (p132-157) by Davis,j.,1997, Studies in Art Education, 38(3).

Pariser and Berg(1997)對 U 型曲線的藝術發展模式質疑，進行了一項 跨文化研究。他們以華裔的加拿大兒童、青少年與成人的圖畫作為研究對象， 請加拿大蒙特婁市華裔加拿大評圖員針對這些畫作評斷。其結果並不符合 U 型曲線的藝術發展模式，華裔的評圖員對於幼兒畫作的評價並未超過他們對 年長兒童畫作的評價。但是研究只用了少數幾名評圖員進行繪畫評斷工作。 且評斷規則、繪畫樣本數不足亦有可能影響結果，此外，研究者認為華裔評 圖員具有中國生長背景，其中國美術觀念與西方美術觀念有差別，亦可能導 致評分結果不合於以西方藝術為主的假設。 祈藹嵐等（2003）收集台灣與加拿大五歲、八歲、十一歲、十四歲、具 有美術專業背景及未具備美術專業背景的成人之繪圖，並以台灣和加拿大不 同年齡及美術專業背景的人針對這些圖進行審美判斷，以跨文化的觀點來檢 視「U型曲線的藝術教育發展模式」。在台灣具美術背景的成人評圖員對加 拿大畫作，出現類似「U型」的評分結果（圖2.6.2）。但最後成人具美術專 業的作品分數比較低，探討原因是加拿大成人的繪畫作品以抽象畫居多非寫 實。 除了年齡之外，性別是否也會影響兒童繪畫的發展？Lowenfeld and Brittain（1987）在「創造與心智成長」，認為兒童繪畫發展階段與兒童生 理年齡發展階段有正相關，但是沒有性別差異存在。陳金燕（2006）兒童的 繪畫發展階段的歸類結果：性別方面，沒有產生顯著性別差異。依上述所言， 男、女學生的繪畫發展階段並沒有顯著差異存在。

圖2.6.2 祈藹嵐等（2003）台灣具美術背景的評圖員對於台灣及加拿大不同組群畫作 平均給分。

第三章 研究方法

本章節依據研究的目的，將所獲得的資料，尋求正確的計算方法。其資 料來源和研究的方法如下說明:

第一節 資料來源

本研究所採用的資料分為兩部分：地震資料和兒童繪畫資料。地震資料 是由中央氣象局網站所獲得的九二一地震前後三年內的地震資料。兒童繪畫 資料由彰化縣四所國小全校一至六年級學生共 1093 人所繪製的圖。地震資 料和兒童繪畫資料選取說明如下:

壹、地震資料來源和選取標準

從 1991 年起，中央氣象局地震網（CWBSN）與中央研究院地震研究所 （TTSN）合併後，台灣本島有超過 80 個以上的測站遍佈全島，加上測站的 電腦自動化，將地震的定位縮短在三分鐘內。平均每年觀測的地震一萬個以 上，能定位規模 2 以上的地震，誤差陸地為 2 公里，近海為 5 公里，建立了 更確實詳盡的地震資料。 本研究分析之地震資料來源來自中央氣象局網站資料，在中央氣象局網 頁上，可以獲得歷年來的有感地震資料，其規模大於 3.7，資料內容包括時 間、經度、緯度、深度及規模。這些資料內容提供本研究所需的資訊。 本研究從網站上，獲得九二一地震前一年到地震後三年內（1998.9.21 ~ 2002.9.20）區域內的地震規模 4.0≦ ML≦5.5 的地震資料研究進行分析。 本研究依據時間分布以每一個月為一單位時間，將資料分成 36 組資料。選 取空間以南北長達約一百公里的車籠埔斷層為主，以及受到主震引發附近大 茅埔-雙冬斷層，梅山-觸口斷層附近所發生的地震資料。其範圍北起苗栗卓

蘭，南至嘉義；東起台中東勢谷關，西至嘉義所為位置。換算成經緯度大約 位於北緯 23.2 至 24.5 度、東經 120 至 121.5 度的中部地區所發生地震規模 4.0 以上的餘震來探討(圖 3.1.1)。紅色星號為九二一地震震央位置，藍色 圈圈是餘震的位置，其大小依據規模大所繪製。綠色三角形為附近主要測站: 德基、台中、日月潭、竹山。餘震大致沿著車籠埔斷層分布，東側大茅埔-雙冬斷層，左下角 1022 嘉義地震附近亦形成餘震聚集區。九二一地震為淺 層地震，我們再選取這個範圍內，深度 50km 以內的地震資料(圖 3.1.2)。 紅色星號為九二一地震震央位置，藍色圈圈是餘震的位置，其大小依據規模 大所繪製。由圖可看出餘震大部分是在地下 20 公里以內的淺層地震。

貳、兒童繪畫資料

大自然中許多現象符合碎形理論，樹的生長過程就充滿自我相似的結構。 兒童繪畫中時常出現樹的圖畫，大部分的兒童都有畫樹的經驗。本研究決定 以「樹」為題材，收集兒童繪畫資料。為了分析兒童繪畫發展的階段，以一 至六年級全校兒童來蒐集資料。 本研究以彰化縣四所國民小學全部一至六年級學生 1093 人為研究對象， 請這些兒童在統一的規格 B5 的紙張上利用鉛筆素描繪製「一顆樹」的圖案。 得到的圖案再經過篩選，去除一些圖案中出現其他物件、過於簡單和隨意塗 鴉的無效樣本如（圖 3.1.3）。得到 917 件樣本，其中男生 488 人、女生 429 人，各年級人數如(圖 3.1.4)。經過掃描後，利用盒子維度來計算圖形的碎 形維度，再利用 SPSS 電腦套裝軟體計算。

圖

圖

圖 3.1.3 去除的繪畫樣本。左圖的樹隨意塗鴉 ，右圖樹中加入不相關的元素。本研 究把這類圖形歸為無效樣 本。

圖 3.1.4 繪圖樣本人數統計圖。1093 件樣本去除無效樣 本後剩下男生 488 人，女生 429 人 共 917 人。

第二節 b 值的計算

地震是一種複雜的時空現象。在地震的相關研究中，當地震發生時，會釋放出應 力。b 值的大小與應力的大小成反比。所以有大地震發生時，其間的 b 值會變小；當 應力釋放完，b 值會回升到正常背景值 1。Gutenberg 與 Richter 兩位 學者依據地震頻率和地震規模的關係導出古登堡關係式（Gutenberg-Richterlaw,1944）: log N=a - bM ………(1) M 是地震規模（本研究採用芮氏規模 ML），a、b 是常數，N 是為發生規模大於或 等於 M 的地震累積個數。b 值、是 log N 與 M 呈現關係的斜率。b 值小代表區域內大地 震發生的次數比例較大，反之，b 值大則表示區域內大地震發生的次數比例較小。 在 處 理 地 震 目 錄 時 ， 對 於 地 震 次 數 的 使 用 方 法 有 兩 種 ： 間 隔 （noncumulative）地震個數與累積（cumulative）地震個數兩種方式來分析 b 值。間 隔地震次數是指將規模等間隔方式切割成數個規模間隔，然後再統計位於每個規模區 間內的地震次數；累積地震次數則直接將規模大於或等於選地規模的地震次數全部累 加。間隔次數可較清楚的分辨地震次數在規模上的實際分佈。但資料點所呈現的局部 變化大，尤其是地震規模比較大的那一端較明顯。累加地震次數的方式相當於把間隔 地震次數進行累加，可以降低局部變化震盪的現象，將資料曲線平滑化。所以實際運 算 b 值，大部分使用累積地震個數的計算方式，本研究也使用此方式。 本研究採用最小估計法（Least-squares method）來計算規模 M 以上的地震個數 N 與規模 M 的關係式。另外也可以採用最大概率法（Maximun likehood method）來計 算 b 值。理論上地震目錄中會呈現完整的地震資料，大規模的地震次數少，小規模的 次數多。所以資料回歸時，給予不同的權重。規模區域間地震次數越多的權重越高； 規模區域間地震次數越少的權重越低。所以最大概率法的 b 值較偏重次數多小規模的 地震。因此使用最大概率法，所需要的地震資料，選取從規模小的地震目錄資料，越 完整越準確。 本研究採用地震規模 4≦ML≦5.5 區間的地震資料，因此事件數較少，且小規模地

震資料也未採用，為了避免資料數較少，而產生誤差較大的結果，所以，不宜選用最 大概率法，因此選用最小平方法。以往也有許多學者採用最小平方法計算 b 值，獲得 的結果仍滿足 Gutenberg - Richter law。

第三節 相關維度（Correlation Dimension

）

相關維度是利用兩點之間距離的相關性，來計算兩點的相關維度。使用的關係式 由 Grassbrger and Procaccia(1983)所提出，其公式為：

………(2) θ:Heaviside function 兩點(xi,xj)之間距離小於 r 時，表示兩者有相關性，θ=1。反之θ=0。由相關積分公 式得出 C( r)與 r 有指數關係: C(r) ………(3) 其指數為 Dc，稱為相關維度。本研究利用相關維度來分析地震資料，因為地震參數經 度、緯度和深度確定了兩個地震間的距離。故此相關維度可分析大地震和其餘震間的 相關。

∑

− − − = N j i j i x x r N N r C , ) ( ) 1 ( 1 ) ( θ

第四節 盒子維度(Box-Counting Dimension)

大自然中有許多現象符合碎形，可以輕易發現其自我相似性的結構。但還是

有一些複雜的幾何圖形雖屬於碎形卻不易看出其自我相似的情況。例如：地震訊號和 地表破裂情形。因此我們採用大小不同的方格去覆蓋幾何圖形，依據計算覆蓋圖形所 需的方格數，和方格邊長的關係來計算幾何圖形的碎形維度。此種方法叫做盒子計數 法（Box Counting）。所得到的碎形維度叫盒子維度(Box-Counting Dimension)。盒子 維度是 Haudroff Dimenison 的簡化型，假設以邊長 r 的方格去測量一平面圖形(二維 圖形)，可測得 N 格；則 r 越小所測得的 N 越多。得到一關係式: N(r)=k ………(4) 同理以假設以邊長 r 的方格去測量維度為 D 的物件，可得到關係式: N(r)=k ………(5) 測量一物體時，使用的 r 越小則能越精準的測出此物體。當 r 趨近於 0 時，得到 關係式: limr→0N(r)=k D r) 1 ( ………(6) 取對數: ln(N(r))=ln(k)+Dln( ) ………(7) 當 r 趨近於 0 時，k 可以忽略，得到公式: 0 lim_r→ D=

………(8) 其中 ln( )與 ln(N(r))呈現線性關係，斜率為 D，就是盒子維度。本研究利用此方 法來計算兒童繪畫出樹的圖形碎形維度，再來加以比較圖形間的差異及和兒童繪畫發 展相關研究結果加以比對。

第五節 統計分析

獲得兒童繪畫的碎形維度資料後，再利用電腦統計軟體 SPSS，來分析男生和女生， 各年級之間，是否有顯著差異情形。本研究以獨立樣本 t 檢定來分析男女生繪圖的碎 形維度，年級間繪圖的碎形維度是否有差異情形？獨立樣本 t 檢定的公式是： t =

df = ………(9) 1 X 、X2 是二個獨立樣本的平均數。 p S 是標準差。 1 N 、N₂是二個獨立樣本的個數。 df 是自由數。 t 檢定是用來檢定兩個樣本平均數之差有無顯著性的考驗。男生樣本和女生樣本 及各年級樣本均不互相影響，是獨立樣本，所以本研究使用獨立樣本 t 檢定。

第四章 研究結果與討論

本章節依據第三章研究方法內容所提出的計算方法，來分析所得到的各項資 料。得到的結果如下列各節所示，透過文獻參考加以分析討論所得到的結果，其 內容如下列各節所示。

第一節 九二一地震 b 值和 Dc 相關

本研究依據中央氣象局網站資料，將九二一地震前一年到之後二年的餘震 資料，選取研究區域內地震規模 4.0≦ML≦5.5 的地震資料。依時間序列每一個 月一期，共區分成三十六個時間段。取得地震 b 值和 Dc 如（圖 4.1.1），其 b 值 範圍:0.3105~1.3993。此數值和王薇茜（2006）計算集集大地震一年內餘震，每 三個月為一區段，累積規模 Mc2.2 到 5，每增加規模 0.1 計算一次，得到 b 值介 於 0.6 至 1.1 之間加以比較，因為本研究選取時間區段為一個月，所以變異會變 大。 從圖 4.1.1 黃色框框中可看到地震前 b 值明顯下降，b 值由 0.9077 降到0.30 15 下降約 0.6。表示九二一地震前這個區域，因為應力的累積使得 b 值下降，此 結果和 Ouchi and Uekawa (1986）研究所述，大地震發生前地震 b 值會下降相符 合。九二一地震後 b 值則因為應力的釋放而回升到 0.9373。

另外從圖 4.1.1 中的深黃色框框也發現，地震前一個月地震 b 值與 Dc 同時下 降，和 Roy and Nath （2007）發現，大地震前 Dc 與 b 值會同時明顯降低的結果 相符。而 Enescu and Ito( 2001）觀察 1995 年日本 Kobe 大地震前兩三年地震資 料，也發現地震前 b 與 D 值都有明顯下降，可以再度證實，大地震發生前該地區 的地震 b 值與 Dc 會同時下降。

圖 4.1.1 九二一地震前一年及後二年餘震地震 b 值 和 D c 關係圖。第一條紫線是 921 地震發生的第一個月，第二條 紫線是 921 地震後第十三個月 。 921 地震後 b 和 Dc 成負相關 ， 921 地震第十三個月後 b 和 Dc 成正相關 。 紫線是 921 地震後第十三個月 921 地震後 b 和 Dc 成負相關 921 地震第十三個月後 b 和 Dc 成正相關

此外，從圖 4.1.1 中的綠色框框發現，第 27、31 和 33 個月，b 值和 Dc 也有 同時下降的情形，經由檢視其下個月資料地震資料發現，第 28 個月和第 34 個月 各有一規模 5.9 的地震但第 32 個月並無規模大於 5.5 的地震產生，可能是因為第 31 個月的 b 值並未降低很多。歸納 b 值和 Dc 同時下降時，下個月發生大規模地 震情形：當 Dc 下降 0.6 以上；b 值下降 0.2 以上，下月可能會發生較大規模的地 震。這和 Chang 等人（2007）分析集集地震時得到的結果相似，他們認為低 D 值 且低 b 值的區域對於中規模和大規模的地震有較大發生的可能性。 除了地震 b 值外，地震的碎形維度和 b 值之間的相互關連，更能為研究地震 資料提供更多的訊息。觀察圖 4.1.1 後發現地震後 b 值和 Dc 呈現相反的趨勢， 直到第十三個月後 b 值和 Dc 值大部分同時向上或同時下降，因此筆者再將這三 年分成 1998.9 ~ 1999.9、1999.9~2000.10 和 2000.10~2001.9 三段，求出 b 值與 Dc 之平均得到(表 4.1.1)。 表 4.1.1 b 值與 Dc 之平均 1998.9~1999.9 1999.9~2000.10 2000.10~2001.9 總平均 b 值 0.873 1.0287 0.7875 0.9031 Dc 1.3783 0.9876 1.0769 1.1451 由表 4.1.1 中發現九二一地震前一年 b 值比世界平均值 1 還低，顯示此地區累積 了較多應力，經過九二一地震後應力釋放，所以 b 值回升。但是地震 13 個月後 b 值又低於地震前，可能是因為斷層錯動後，該破裂處會經過一段癒合期。癒合期 後該區域的應力又開始累積，所以 b 值降低。Dc 由震前平均 1.3783 下降到 1 附 近，由此可說明地震前地震活動較為分散，而九二一地震後所引發的餘震較為密 集，所以 Dc 變小。 筆者再將三個時間段所得到的地震 b 值和 Dc 進行迴歸分析。地震前地震 b 值和碎形維度 Dc 的迴歸斜率是 0.3383（圖 4.1.2），呈現正相關；地震後十三個 月內餘震地震 b 值和碎形維度 Dc 的迴歸斜率為-1.154（圖 4.1.3），呈現負相關； 第十四個月到二年餘震地震 b 值和碎形維度 Dc 的迴歸斜率為 0.87（圖 4.1.4）， 又呈現正相關。

圖 4.1.2 1998.9.21~1999.9 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖。兩者之間的相關 得到斜率= 0.3383，是正相關。

圖 4.1.3 1999.9.21~2000.10 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖。兩者之間的相關 得到斜率= -1.154，是負相關。

圖 4.1.4 2000.10~2001.9 之間地震 b 值和 Dc 值的相關圖。兩者之間的相關得 到斜率=0.87，是正相關。

此三階段b值與Dc值的相關和Henderson等人 (1999)的注井實驗結果相符合。 Henderson 注井實驗中在注井開始前，b 值和 Dc呈現正相關，在開始將水注入 時，b 值和Dc 卻呈現負相關。我們可以將注水過程比喻成應力變化：因為注井 開始水壓持續增加，表示應力累積b值會變小，當水壓超過地層負荷量後，引起 斷層處錯動引發地震，應力隨著斷層面釋放，形成許多密集相關的小地震。應力 隨著斷層面釋放而使b值變大；Dc值因為地震集中在斷層附近而下降，於是b值和 Dc成為負相關。經過一段時間後，水壓慢慢擴散，代表應力釋放後漸漸平穩，b 值和Dc呈現正相關。而本研究發現，當地震開始後，b值與Dc由正相關變為負相 關，經過一段時間又恢復成正相關。顯示大地震的發生改變了這地區的應力系統， 導致b值與Dc變成負相關；經過13個月，應力釋放後逐漸回復平穩並均勻分佈， 因此b值與Dc又轉為正相關。

第二節 九二一地震 c 值

Aki(1981)假設地震 b 值與地震碎形維度間，存在一關係式: D = 3b / c（c=1.5）。 而 Legrand (2002) 依據地震規模的大小做碎形維度的分析。發現 c 值 (D=3b/c) 會 因為地震的大小而改變成：大型地震 c= 2、中型地震 c= 1.5 和小型地震 c= 1。 本研究依據九二一地震發生後的二年餘震資料進行研究計算 c 值。本研究將九二 一地震的餘震資料，每三個月累積計算一遍，二年共累積八個時間段，計算出其相關 維度 DC 和 b 值，獲得的數據如（表 4.2.1），畫成（圖 4.2.1）其平均數據，Dc=1.72、 b 值=1.19 算出 c= 2.08，此結果和王薇茜(2006)算出九二一地震後一年餘震的 c=1.6 有所差別，但是 Legrand (2002) 依據地震規模的大小做碎形維度的分析，c 值會因地 震規模的大小而改變，而大型地震的 c= 2。本研究所得到的 c＝2.08，由此可以印證 大型地震的 c=2。

表 4.2.1 1999 年 9 月 21 日至 2001 年 9 月 20 日 c 值的計算 時 間 Dc 值 b 值 c=3b/Dc 1999.9.21~1999.12(三個月) 1.58 1.08 2.04 1999.9.21~2000.3(六個月) 1.76 1.18 2.01 1999.9.21~2000.6(九個月) 1.71 1.23 2.15 1999.9.21~2000.9(十二個月) 1.71 1.21 2.13 1999.9.21~2000.12(十五個月) 1.73 1.24 2.15 1999.9.21~2001.3(十八個月) 1.76 1.19 2.03 1999.9.21~2001.6(二十一個月) 1.74 1.19 2.05 1999.9.21~2001.9(二十四個月) 1.75 1.19 2.04 平 均 1.72 1.19 2.08

圖 4.2.1 1999 年 9 月 2 1 日 至 2001 年 9 月 20 日 c 值 的計算。

第三節 兒童繪畫碎形維度

本研究請彰化縣四所國小全部的兒童 1093 人統一使用 2B 鉛筆，在 B5 空白紙上的 空間，仔細繪製「一棵樹」的圖案。獲得圖畫紙後，利用掃描器將圖案掃成電子檔， 挑選出有效樣本 917 件，再使用 MATLAB 來計算圖案的碎形維度（盒子維度）。 計算的結果為：一年級到六年級的平均為 1.3315 到 1.4580，再將此數據繪出折 線圖（圖 4.3.1）。初步觀察圖形後，發現一、二年級比三年級碎形維度高，三年級是 所有裡面碎形維度最低的，之後四、五、六年級碎形維度又逐漸升高。此節結果和 Lowenfled（1987）的兒童繪畫發展中第二階段(7 歲到 9 歲)樣式化階段和第三階段（9 歲至 11 歲）黨群寫實階段，階段轉換時間的年齡相像。並從黨群寫實階段中兒童開始 脫離樣式和幾何線條的表現方式，傾向寫實的畫法。因為經驗較為不足線條筆觸較為 僵硬，所以圖畫表現會出現停滯，比樣式階段繪圖較差，這樣的原因可能導致三年級 的繪圖結果比一、二年級差。 三到六年級的繪圖碎形維度逐漸升高，依照人類生理年齡的提升，生活經驗的累 積，繪畫發展應該是正相關。此結果Lowenfeld and Brittain（1987）「創造與心智 成長」書中，提出兒童繪畫發展階段與兒童生理年齡發展階段有正相關，可以相呼應。 可是那一、二年級的碎形維度為何比三年級高，就可以加以探究。 在 Lowenfled（1987）的兒童繪畫發展中，從樣式畫階段的兒童繪畫，發現此階 段兒童繪圖會有對稱概念，圖畫中可發現左右兩邊會有相似的物品互相對應。對稱圖 形在碎形理論中就是碎形的自我相似。且這階段兒童也會經常把事物或現象簡化後並 反覆一再出現，並做有規律的排列，如此也符合碎形的理論。所以一、二年級圖畫的 碎形維度比三年級高。從兒童繪畫發展的理論來觀察和碎形維度，判斷的結果是相符 合的。

圖 4.3.1 兒童繪畫碎形維度折線圖。彰化縣四所國小兒童繪畫碎形維度，其範圍為 1.3296 ~ 1.4738。 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 男 1.3636  1.3647  1.3330  1.4065  1.4144  1.4738  女 1.3915  1.3575  1.3296  1.3502  1.4206  1.4346  全 _{1.3766  1.3617  1.3315  1.3782  1.4177  1.4580}  1.2500  1.3000  1.3500  1.4000  1.4500  1.5000  男 女 全

根據 Gardner（1980）「U 型曲線」的理論，並經 Davis(1997) 的實證研究結果驗 證，五歲繪圖發展會比八歲表現較佳。我們從數據看到一、二年級圖畫的碎形維度高 於三年級的碎形維度，是和前述兩位的論述是相符合的。再從繪圖的內容來比較。一 年級的圖畫碎形維度是 1.4457 (圖 4.3.2)，可以觀察一年級的圖畫從樹幹中間分成二 半，兩個部分類似對稱圖形，樹幹上方分出對稱的樹枝。左邊三根樹枝，右邊就繪畫 出一樣三根的樹枝，樹枝尾端長出兩片葉子，樹枝上的樹葉也生長在類似的位置，數 量也差不多。連樹枝的分枝處也是呈現對稱的。三年級的圖畫也有對稱情形，樹幹上 的圓圈，兩根分出的樹枝，三年級的碎形維度是 1.2611(圖 4.3.3)進入寫實時期的三 年級，將樹木看起來的實際外觀，繪畫成為類似一團樹葉的外型，再加上幾筆線條表 示其中的樹葉，顯得和一年級實際把樹葉一葉一葉畫出有所區別。觀察其他一年級的 畫作(圖 4.3.4)，這幅畫也呈現左右對稱的情況，兩邊各自長出 11 根樹枝，樹枝上各 自長了一片葉子，畫的碎形維度是 1.4452。所得到的碎形維度產生一年級比三年級高 的情形。

為了將數據更進一步實證，本研究將一到六年級所有樣本的碎形維度，依照年級 逐一做獨立樣本 t 檢定，發現一年級高於三年級（t=2.843，p**<.01）；二年級高於三 年級（t=2.037，p*<.05）；四年級高於三年級（t=2.911，p**<.01）；五年級高於四年 級（t=2.310，p*<.05）；六年級高於五年級（t=2.286，p*<.05）。由上列數據可得到 六年級＞五年級＞四年級＞三年級；一、二年級＞三年級。顯示出小學時期三年級是 繪畫發展轉折的階段，以碎形維度來說也是繪畫發展最低的一個階段。就和 Gardner(1980) U 型曲線的藝術發展區線一樣，八至九歲是兒童繪畫的低潮。 觀察一到六年級的碎形維度圖形（圖 4.4.5），和 Gardner(1980) U 型曲線的藝術 發展模式相互比較，發現相似之處在八、九歲附近是兒童繪畫發展的低潮。Gardner 認 為八歲以後如果藝術沒有進展會成「L 形」的發展情形。但兒童不論心理還是生理一 直處於學習狀態，所以其藝術發展還是會提高，指是藝術成就有個別差異。所以三年 級後會從低潮逐漸上升，形成「U 形發展」。 本研究的碎形維度的折線圖和祈藹嵐等（2003）研究跨文化的繪畫發展研究中台 灣具美術背景的評圖員對於台灣及加拿大不同組群畫作平均給分，加拿大 5 到 14 歲的 圖形的評分狀況十分類似，呈現一樣的曲線分佈，且八、九歲的得分同樣是兒童時期 中最低的，兩者皆符合 Gardner 的 U 型曲線。

圖 4.3.5 (a)全部樣本的碎形維度折線圖。(a)圖內的碎形維度折線圖和(b)圖加拿大 5-14 歲繪畫的評分折線圖比較。 1.3000  1.3500  1.4000  1.4500  1.5000  一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 （年級） 碎形維度 (a) (b)

從數據來看，一到六年級男生和女生繪圖的碎形維度互有高低。於是我們採獨立 樣本 T 檢定，來檢驗男生、女生在繪圖上是否有明顯差異。先以各

年級男生和女生來檢驗，發現只有四年級的男生高於女生 （t=2.370， p*<.05）， 其他年級則無明顯差異。再以以整體來檢驗男生和女生，發現男生和女生繪畫的碎形 維度是沒有差異的（t=1.222，p>.05）。和 Lowenfeld and Brittain（1987）「創造 與心智成長」書中，兒童繪畫發展階段沒有性別差異存在是相符合；也和陳金燕(2006) 研究幼稚園到六年級 80 位學生，男女各一半的結果，兒童繪畫發展在性別上是無明顯 差異，也相符合。所以利用碎形維度也能判斷在兒童繪畫發展上男生和女生是沒有差 異的。 觀察碎形維度高的圖畫和碎形維度低的圖畫，是否有些圖畫的畫法或線條因為符 合碎形的一些理論，使得其圖畫的碎形維度較高？我們看到四年級（圖 4.3.6）、五年 級（圖 4.3.7），這兩幅圖的碎形維度分別為 1.7297 和 1.6447，較平均數 1.3782 和 1.4177，高出許多。可從圖中看到四年級圖案較重視樹枝、樹葉的分布，其畫法符合 碎形理論中的自我相似結構。五年級的圖畫可從圖畫的樹枝看出是大小不同「Y」形的 樹枝，一直複製堆疊而出樹的形狀，也表現出碎形理論的自我相似結構。所以，這兩 幅圖的碎形維度較高。 另外為三年級（圖 4.3.8）和四年級（圖 4.3.9）的圖，其碎形維度較低，分別是 1.1838 和 1.0600。從兩張圖中可看出重視樹的外表描繪，但枝葉的描繪很少，其對稱 及自我相似的地方也很少，所以碎形維度偏低。

圖 4.3.6 中的自我 四年級圖 我相似結構 圖畫。Dc=1 。 .7297，可可看出樹枝枝、樹葉的的分布，其其畫法符合碎碎形理論

圖 4.3.7 製堆疊而 7 五年級圖 而出樹的形狀 圖畫。Dc=1 狀。 .6447 圖畫畫的樹枝看看出是大小小不同「Y」」形的樹枝枝，一直複複

圖

再從不同年級看起來相似的兩張不同年級的圖畫--六年級（圖 4.3.10）和四年級 （圖 4.3.11），可從圖看出兩幅圖畫所表現的圖式很像，外觀皆是圓形樹葉加上些微 樹根的樹幹，樹幹上長出一些樹枝。而碎形維度計算結果分別是 1.2073 和 1.2071， 也幾乎一樣。所以經由本研究使用的計算方法所獲得碎形維度，再來比較圖畫構圖， 可獲得一致的評分性質。而且本研究使用的評分方法是客觀的評分方式，客觀的評分 方式的優點在於評分的方式較為一致性。一般的美術評分，由美術專業依照專業評分 和本研究提出的繪畫評分方式不一樣，本研究提出另一種評分方式。 比較研究者任教學校的繪圖結果與全體有效樣本的差異（圖 4.3.12），從圖中發 現三年的碎形維度仍然是全部六個年級中最低的，也是和兒童繪畫發展的階段理論符 合。 另外發現除了四年級的碎形維度高於全體平均，其他年級的碎形維度皆低於樣本 平均。而且研究者任教學校以四年級的碎形維度是最高的。似乎不符合前述 Lowenfeld and Brittain（1987）「創造與心智成長」書中，提出兒童繪畫發展階段與兒童生理 年齡發展階段的有正相關。探究其原因可能是四年級繪圖時，是美勞任課教師使用美 勞課時間，一節 40 分鐘的時間。所以任課教師給予時間較多，兒童也比較用心繪圖， 所以得到碎形維度較高。此外其他年段為了不影響正常上課的時間，所以使用的是早 上的導師時間或是中午的午休時間，所以兒童所繪製的圖畫可能比較草率，碎形維度 較低。所以如果能統一兒童繪畫的時間和背景，得到的結果應該可以更準確，其他年 段的碎形維度可能畫提高。 接者討論研究者任教學校比全部樣本平均數低，可能是研究者任教學校所在地點， 位於一般鄉村地區，文化刺激較少。課外學習美術機會較少，學習美術的兒童不多， 繪圖能力較差，導致這樣的結果。

圖 4.3.12 研究者任教學校與全體樣本比較之折線圖。 1.3766  1.3617  1.3315  1.3782  1.4177  1.4580  1.3050  1.3154  1.2568  1.4088  1.3745  1.3914  1.2000  1.2500  1.3000  1.3500  1.4000  1.4500  1.5000  一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 全部 茄荖國小

第五章 討論與建議

地震資料可供分析探討的方向甚多，本研究從地震 b 值和碎形維度來探討；兒童 繪畫表現和發展階段關係如何，在美術教學上是值得探討。本研究以碎形理論，來做 為兒童繪畫的評分判斷，期待能提供新的評分方式。以下就本研究所得到的經驗和資 料分析的結果，分別就研究結論和研究建議來說明。

第一節 結論

本節依據前一章所得到的結果來說明分為地震和兒童繪畫兩部分:

壹、地震研究

地震 b 值從 Gutenberg and Richter(1944)導出古登堡關係式後，一直以來是地 震的研究要項，本研究討論到九二一地震 b 值的變化，發現九二一地震前 b 值和 Dc 會明顯下降。也發現了 b 值和 DC 同時下降時段，代表會產生大規模的地震較多。這和 一般討論到的 b 值的大小和應力成反比，而地震規模大意味著地震前應力累積較大， 所以 b 值也和地震規模成反比。 前人研究中，b 值和 Dc 之間有正相關也有負相關(Henderson,1999； Mandal,2005 )，因為時間分布關係，說明地震一開始，地震 b 值和 Dc 會呈負相關， 當一段時間後，應力回復後，地震 b 值和 Dc 會回復成正相關。本研究所獲得的數據， 九二一地震後十三個月之內地震 b 值和 Dc 呈現負相關；而九二一地震十三個月後地震 b 值和 Dc 變成正相關，和上述吻合。 Aki(1981)假設地震 b 值與地震碎形維度間，存在一關係式: D = 3b/c (c=1.5)。 由 Turcotte(1986)證明 b=D/2(D=2b)。本研究依據九二一地震二 年內累計之 Dc 值和 b 值得到 c 值=2.08±0.07，和 c=1.5，有所差距。但Legrand( 2002)依據分別對地震規模的大、中、小做碎形維度的分析，發現 c 值(D=3b/c)會因為 地震的大小而改變成 2、1.5、1，顯示 c 值會因地震規模大小有所改變。而本研究所