5-3-2矩陣-矩陣的乘法及其應用
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(2) 【定義】 聯立方程組： ⎧ a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn = b1 ⎪ # 可以寫成 AX = B ， ⎨ ⎪a x + a x + " + a x = b m2 2 mn n m ⎩ m1 1. ⎡ a11 ⎢a 21 其中 A = ⎢ ⎢ # ⎢ ⎣am1. a12 " a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢ ⎢b ⎥ ⎥ ⎥ a22 " a2 n ⎥ x2 2 ， X = ⎢ ⎥，B = ⎢ ⎥。 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ # #⎥ # # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ am 2 " amn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣bm ⎦. 【性質】 1. 矩陣係數積： r ( AB ) = ( rA) B = A( rB ) 證明： 設 A = [ aij ]m×n ， B = [bij ]n× p ， n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 r ∑ aik bkj = ∑ r (aik bkj ) = ∑ (raik )bkj = ∑ aik (rbkj ) 。 2. 3.. 係數積對矩陣加法的分配律： r ( A + B ) = rA + rB , r ∈ R 。 矩陣乘法對加法分配律： (1) A( B + C ) = AB + AC 。 (2) ( B + C ) A = BA + CA 。 證明：設 A = [ aij ]m×n ， B = [bij ]n× p ， C = [cij ]n× p n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 ∑ aik (bkj +ckj ) = ∑ (aik bkj +aik ckj ) = ∑ aik bkj + ∑ aik ckj 。 4. 零矩陣的性質： AO = OA = O 。 5. 矩陣乘法結合律： ( AB )C = A( BC ) 證明： 設 A = [ aij ]m×n ， B = [bij ]n× p ， C = [cij ] p×q p. n. 則 ∑ (∑ aik bkl )clj l =1 k =1 p n. = ∑∑ (aik bkl )clj l =1 k =1 n p. = ∑∑ (aik bkl )clj k =1 l =1 n p. = ∑∑ aik (bkl clj ) k =1 l =1 n. p. k =1. l =1. = ∑ ( aik ∑ bkl clj ) 。. 【定義】 對角線矩陣： 如果一個方陣中除了對角線上的元不為零外，其餘都是零者稱之，對角線其餘的.
(3) ⎧ 0 , 當i ≠ j 元可以為零或非零實數，即 aij = ⎨ 。 ⎩實數, 當i = j 【問題】 對角線矩陣有何優點？ 【定義】 n 階單位矩陣(乘法單位元素)： ⎡1 0 " 0 ⎤ ⎢0 1 " 0 ⎥ ⎥ ，即 aij = ⎧⎨0, 當i ≠ j 且 I n k = I n 。 In = ⎢ ⎢# # #⎥ ⎩ 1, 當i = j ⎢ ⎥ ⎣0 0 " 1 ⎦ 【性質】 設 A = [ aij ]m×n ，則 I n A = AI m = A 。 【問題】 設 A = [ aij ]m×n ，則下列何者正確？ 1. I m A = A ？ 2. I n A = A ？ 3. AI m = A ？ 4. AI n = A ？ 【定義】 乘法反矩陣： 設 A, B 皆為 n 階方陣，若 AB = BA = I n ，稱 A, B 互為乘法反矩陣(乘法反元素)。 【問題】 1. 若 A = [ aij ]m× n , m ≠ n ，是否可以考慮反矩陣？ 2. 乘法反矩陣若存在是否唯一？ 3. 是否每個方陣的乘法反矩陣都存在？ 4. 乘法反矩陣若存在且唯一的條件為何？ 【求法】 求法： 將 [A | I n ] → [I n | B ] ，即可求出，. ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 將⎢ # ⎢ ⎢ # ⎢⎣ a n1. 1 0 " " 0⎤ a 22 " " a 2 n 0 1 0⎥⎥ # % # # % #⎥ ⎥ # % # # % #⎥ a n 2 " " a nn 0 0 " " 1⎥⎦ ⎡1 0 " " 0 b11 b12 " " b1n ⎤ ⎢0 1 " " 0 b b22 b2 n ⎥⎥ 21 ⎢ # # % # ⎥ 化成 ⎢ # # % ⎢ ⎥ % # # % # ⎥ ⎢# # ⎢⎣0 0 " " 1 bn1 bn 2 " " bnn ⎥⎦ 此即為同時求出數組聯立方程組的解之意，即將高斯消去法合併。 a12. " " a1n.
(4) [A | I n ] → [E1 A | E1I n ] → [E2 E1 A | E2 E1I n ]. →" → [Ek Ek −1 " E1 A | Ek Ek −1 " E1I n ] → [I n | B ] ，. 如此則左側變為 I n ，右側變為 B ， 即 A 的乘法反矩陣，且 AB = BA = I n 。 此時 B = A −1 = E k E k −1 " E1 且 A = E1 −1 " Ek −1 【性質】 條件：有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。 【性質】 1. 若 AB = AC ， A 為方陣且 A−1 存在，則 B = C 。 2. AB 乘法反矩陣為 ( AB) −1 = B −1 A −1 ， 即 ( AB )( B −1 A −1 ) = A( BB −1 ) A −1 = A( I n ) A −1 = AA −1 = I n ， 且 ( B −1 A −1 )( AB ) = B −1 ( A −1 A) B = B −1 ( I n ) B = BB −1 = I n 。. ⎡a b ⎤ 若A=⎢ ⎥ ， det A ≠ 0 (反矩陣才存在)， ⎣c d ⎦ −b ⎤ ⎡ d ⎥ ⎢ 1 ⎡ d − b⎤ 1 ⎡ d − b⎤ = 則 A −1 = ⎢ ad − bc ad − bc ⎥ = ⎢− c a ⎥ 。 ⎥ ⎢ a −c c a − A ad bc det − ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎥ ⎢ ad bc ad bc − − ⎦ ⎣ 4. 方陣 A 有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。 註：因聯立方程組有唯一解的充要條件為 det A ≠ 0 。 5. ( AB) T = B T AT 。 6. ( AT ) −1 = ( A −1 ) T 。 7. ( AB) −1 = B −1 A−1 。 8. 反矩陣唯一性： 若 A 為方陣且 B, C 皆為 A 的反矩陣，則 B = C 。 證明： 設 B, C 皆為 A 的反矩陣 則 AB = BA = I 且 AC = CA = I 得 B = BI = B ( AC ) = ( BA)C = IC = C (矛盾)。 【例題】 求反矩陣例子： 1. 對聯立方程組： 3.. ⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x3 + x 4 = 2 ⎪ ⎪ x1 + 3 x 2 + 3x 3 + 2 x 4 = 4 可以寫成 AX = B ， ⎨ ⎪2 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x 4 = 5 ⎪⎩ x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6.
(5) 2 3 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 4⎥ ⎥ 3 3 2⎥ 2⎥ ⎢ ，X = ，B=⎢ ⎥。 ⎢ x3 ⎥ ⎢5 ⎥ 4 3 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 1 1⎦ ⎣6 ⎦ ⎣ x4 ⎦ 先如下求出 A −1. ⎡1 ⎢1 其中 A = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1. 則可得到解 X = A −1 B 。 ⎡1 ⎢ 1 AI =⎢ ⎢2 ⎢ ⎢⎣1. [ ]. 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 3 3 2 0 1 0 0⎥ 4 3 3 0 0 1 0⎥ ⎥ 1 1 1 0 0 0 1⎥⎦. 3 (−1) R1 + R2 ⎡1 2 ⎢ 0 (−2) R1 + R3 ⎢0 1 (−1) R1 + R4 ⎢0 0 − 3 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0 − 1 − 2. 0 0 0⎤ ⎥ 1 − 1 1 0 0⎥ 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 0 − 1 0 0 1⎦⎥. 1 1. ⎡1 ⎢ (1) R2 + R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. 2 3 1 0 0 −3 0 −2. 1 1 1 −1 1−2 1−2. 0 1 0 1. ⎡1 ⎢ 2 (− ) R3 + R4 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣ ⎡1 ⎢ (3) R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. 2. 3. 1 1. 1. 0. 1 −1. 1 0 1 −1 0 −3 1−2 0 0 1−2. (−1) R4 + R1 ⎡1 ⎢ (−1) R4 + R2 ⎢0 (−1) R4 + R3 ⎢0 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0. 2 3 1 0 0 −3 0 0. 0 3 0 1 0 0 1 −2. 0⎤ ⎥ 1 0 0⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 2 1 − 1⎥ 3 ⎦ 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 0⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 3 − 2 3⎥⎦ − 3 2 − 3⎤ ⎥ − 2 2 − 3⎥ − 3 3 − 3⎥ ⎥ 3 − 2 3 ⎦⎥. ⎡1 (−2) R2 + R1 ⎢ 0 (1) R3 + R1 ⎢ ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎢⎣0. 0 0 1 0 0 −3 0 0. 0⎤ 0 1 −2 1 ⎥ 0 1 − 2 2 − 3⎥ 0 0 − 3 3 − 3⎥ ⎥ 1 − 2 3 − 2 3 ⎥⎦. 0 −3 1 −2 1 2 − 0 0 3 3 2 3 1 1. 0. 0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦. 0 0 1 0 0.
(6) ⎡1 ⎢ 1 (− ) R3 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎣⎢0. [. = I A −1. 2.. ]. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0⎤ 0 1 −2 1 ⎥ 0 1 − 2 2 − 3⎥ 1 −1 1 ⎥ 0 0 ⎥ 1 − 2 3 − 2 3 ⎦⎥. 則可得 X = A −1 B 0 ⎤ ⎡2⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡ 1 −2 1 ⎢ 1 − 2 2 − 3⎥ ⎢4⎥ ⎢− 14⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ =⎢ ⎢0 1 − 1 1 ⎥ ⎢5 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 3 − 2 3 ⎦ ⎣6⎦ ⎣ 16 ⎦ 例題：. ⎡ 4 −1 −1 −1 1 0 ⎢ [A I ] = ⎢⎢−− 11 −41 −41 −− 11 00 10 ⎢ ⎣⎢− 1 − 1 − 1 4 0 0. 0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦⎥. 0 0 1 0. ⎡1 1 1 1 1 ⎢ ( R2 + R3 + R4 ) + R1 ⎢− 1 4 − 1 − 1 0 ⎢− 1 − 1 4 − 1 0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎢⎣− 1 − 1 − 1 4 0 ⎡1 ⎢ (1) R1 + R3 ⎢0 ⎢0 (1) R1 + R4 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0 (1) R1 + R2. 1 ⎡ ( ) R2 5 ⎢1 ⎢ 1 ( ) R3 ⎢0 5 ⎢0 ⎢ 1 ( ) R4 ⎢0 5 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣. 1 5 0 0. 1 1 0 0. 1 0 5 0. 11 01 01 51. 1 0 1 0. 1 1 5 1 5 1 5. 1 0 0 1. 1 2 1 1 1 2 5 1 5 1 5. 1⎤ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 2⎦⎥. 1 1 2 1 1 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 1⎥ 5⎥ 1⎥ ⎥ 5⎥ 2⎥ 5 ⎥⎦. 1 1 0 0. 1 0 1 0. 1⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦.
(7) ⎡ ⎢ (−1) R2 + R1 ⎢1 ⎢ (−1) R3 + R1 ⎢0 (−1) R4 + R1 ⎢0 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣. [. = I A −1. ]. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0 0 0 1. 2 5 1 5 1 5 1 5. 1 5 2 5 1 5 1 5. 1 5 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 5 ⎥⎥ 1 ⎥ 5⎥ 1⎥ 5⎥ 2⎥ ⎥ 5⎦.
(8) 【定義】 機率矩陣（機率向量）： ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 若 X = ⎢ ⎥ ，且滿足 xi ≥ 0, (i = 1,2,", n) ， ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ n. 其中 ∑ xi = x1 + x2 + " + xn = 1 ，則稱 X 是一個機率矩陣。 i =1. ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 即若行矩陣 X = ⎢ ⎥ 中的每一個行矩陣的元都是非負的實數，且各元的和為１， ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ 這種矩陣稱之為機率矩陣（或稱機率向量）。 【定義】 轉移矩陣(推移矩陣、隨機矩陣、馬可夫矩陣)： ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a a22 " a2 n ⎥⎥ 21 ⎢ ， 若A= ⎢ # # # ⎥ ⎥ ⎢ ⎣an1 an 2 " ann ⎦ 且滿足 aij ≥ 0, (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n) ， n. 其中 ∑ aij = a1 j + a 2 j + " + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ， i =1. 則稱 A 是一個轉移矩陣。 註： ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a a22 " a2 n ⎥⎥ 21 ⎢ 即用 A = ⎢ # # # ⎥ ⎥ ⎢ ⎣an1 an 2 " ann ⎦ 表示從現在狀態 S1 , S 2 ," , S n 至下一觀察期狀態 S1 , S 2 ," , S n 的機率變換情形， 狀態. S1 形如 S 2 # Sn. S1 a11 a 21 # a n1. S2 a12 a 22 # an 2. " Sn " a1n " a2n 。 % # " a nn.
(9) 【性質】 ⎡ a11 ⎢a 21 若A=⎢ ⎢ # ⎢ ⎣an1. a12 " a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢x ⎥ a22 " a2 n ⎥ 2 是一個轉移矩陣，且 X = ⎢ ⎥ 是一個機率矩陣， ⎢#⎥ # # ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ an 2 " ann ⎦ ⎣ xn ⎦ n. 則 aij ≥ 0, (i = 1,2,", n; j = 1,2,", n) ，其中 ∑ aij = a1 j + a 2 j + " + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ， i =1. n. 且 ∑ xi = x1 + x2 + " + xn = 1 ， i =1. n. 則 AX 的每一個元 ∑ aik xk 都大於或等於零， k =1. ⎡ a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + " + a x ⎥ 21 1 22 2 2n n ⎥ 且 AX = ⎢ 中各元相加的和也必等於 1， ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎣an1 x1 + an 2 x2 + " + ann xn ⎦. (a11 x1 + a12 x2 + " + a1n xn ) + (a21 x1 + a22 x2 + " + a2 n xn ) + " + (an1 x1 + an 2 x2 + " + ann xn ) = (a11 + a21 + " + an1 ) x1 + (a12 + a22 + " + an 2 ) x2 + " + (a1n + a2 n + " + ann ) xn = x1 + x2 + " + xn = 1 ， 所以 AX 也是一個機率矩陣。 【性質】 設 A, B 皆為 n × n 階馬可夫矩陣，則 AB 也是馬可夫矩陣。 證明： 設 A = [ a ij ] n×n , B[bij ] n×n 且 ∀i, j , a ij ≥ 0, bij ≥ 0 ， n. ∑a i =1. ij. = 1, j = 1,2," , n. n. 及 ∑ bij = 1, j = 1,2," , n i =1. 令 AB = [cij ] n×n n. 則 ∑ cij i =1 n. = ∑ (ai1b1 j + ai 2 b2 j + " + ain bnj ) i =1 n. n. n. i =1. i =1. = (∑ ai1 )b1 j + (∑ ai 2 )b2 j + " + (∑ ain )bnj i =1. = b1 j + b2 j + " + bnj = 1. 故 AB 也是馬可夫矩陣.
(10) 【應用】 假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品， 3 1 每一年甲工廠的顧客中有 轉向乙工廠購買此產品，只有 仍然向甲工廠購買； 4 4 1 2 而乙工廠的顧客中有 轉向甲工廠購買，其餘 的顧客仍然向乙工廠購買， 3 3 請問一年、二年、三年後，甲乙兩家工廠的市場佔有率為何？ 經過一段很長的時間後，最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何？ 解答： 設甲乙兩工廠目前市場佔有率為 x0 , y 0 ，其中 x0 + y0 = 1 n 年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為 x n , y n 1 1 第一年甲工廠的市場佔有率 x1 = x 0 + y 0 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y1 = x 0 + y 0 4 3 ⎡1 1⎤ ⎢ ⎥ 令 A = ⎢4 3⎥ 3 2 ⎢ ⎥ ⎣4 3⎦ ⎡ xn ⎤ 第 n 期的狀態為 P ( n ) = ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦ (稱 P ( 0 ) , P (1) , P ( 2 ) ," , P ( n ) 形成一個馬可夫鏈，矩陣 A 稱為此馬可夫鏈的轉移矩陣 或推移矩陣) ⎡1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 4 3 ⎥ ⎡ x0 ⎤ (1) = AP ( 0 ) 表示上述的關係 則可用 P = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ y1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y 0 ⎦ ⎣4 3⎦ 1 1 第二年甲工廠的市場佔有率 x 2 = x1 + y1 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y 2 = x1 + y1 4 3 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎢ 4 3 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ( 2) = AP (1) 則P = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y1 ⎦ ⎣4 3⎦ 依據上述類推可得： ⎡1 1⎤ x ⎢ ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ P ( n +1) = ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ n ⎥ = AP ( n ) ⎣ y n +1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y n ⎦ ⎣4 3⎦ 11 ⎤ ⎡ 15 11 ⎤ ⎡ 15 ⎢ 48 36 ⎥ ⎡ x0 ⎤ ⎢ 48 x0 + 36 y 0 ⎥ ( 2) = 所以 P = ⎢ 25 ⎥ 33 25 ⎥ ⎢⎣ y 0 ⎥⎦ ⎢ 33 ⎢ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 36 ⎦ ⎣ 48 36 ⎦ ⎣ 48.
(11) ⎡ 177 ⎢ = ⎢ 432 255 ⎢ ⎣ 432. 133 ⎤ 133 ⎤ ⎡ 177 x0 + y0 x ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 432 0 = 432 432 ⎥ P ( 3) 299 ⎥ ⎢⎣ y 0 ⎥⎦ ⎢ 255 299 ⎥ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 432 ⎦ 432 ⎦ ⎣ 432 ⎡α ⎤ 經過多年之後的市場佔有率為 P = ⎢ ⎥ ⎣β ⎦ ( n) 即 P = lim P ，且 α + β = 1 n →∞ ( n +1). 因為 P = AP ( n ) 所以 P = lim P ( n+1) = lim AP ( n ) = A lim P ( n ) n →∞. n →∞. n →∞. 4 ⎧ ⎪α = 13 ⇒ X = AX ⇒ ⎨ 9 ⎪β = 13 ⎩ 觀察可知： 1. A 的每一行都是非負的實數。 2. A 的每一行的元之和都等於 1。 ⎡ xn ⎤ 3. P ( n ) = ⎢ ⎥, x n + y n = 1 。 ⎣ yn ⎦ 【性質】 馬可夫性質： 若 A 是一個 n 階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方的所有元都是正數，則對於任意 的 X 0 ，當 n 趨近無限大時，若 X n = A n X 0 會趨近一個行矩陣 X ，這個 X 滿足性 質 ( A − I n ) X = O ，且 X 的各元之和為 1 。 證明： 若 lim X n = lim An X 0 = X n→∞. n→∞. 則 lim X n +1 = lim AX n = A lim X n = AX n →∞. n →∞. n →∞. ⇒ AX = X ⇒ AX − X = O ⇒ ( A − I n ) X = O 又 X 之各元和為 1 (機率矩陣) 故用上述性質可以求出 X 之各元的值。 ⎡0 0 1 ⎤ 註：(1)一般的馬可夫鏈不一定會趨近穩定的狀態，例如 A = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ 。(循環) ⎣⎢0 1 0⎥⎦ ⎡u ⎤ (2)點 P (u , v ) ↔ 行矩陣（行坐標） ⎢ ⎥ 。 ⎣v ⎦ 【性質】 若矩陣 A 為一馬可夫鏈的推移矩陣，其中 P 為 A 的穩定狀態矩陣，Q 為任一狀態 矩陣，則 lim A k Q = P 。 k →∞. 證明： lim A k Q = lim A k + h P ( 0) = lim P k + h = P k →∞. k →∞. k →∞.
(12) 【應用】 對角化(diagonalization)： 例題一： 1 ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 − λ ，則 det( A − λI ) = det ⎢ = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3)(λ + 1) 設A=⎢ ⎥ ⎥ 1− λ⎦ ⎣4 1⎦ ⎣ 4 為特徵方程式(characteristic polynomial of A ) 特徵根(eigenvalue)為 3,−1. ⎡ x1 ⎤ ⎡− 2 1 ⎤ ，x = ⎢ ⎥ (1)對 λ1 = 3 時， ( A − λ1 I ) = ⎢ ⎥ ⎣ 4 − 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡− 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ =⎢ = ⎢ ⎥ ，則解為 x = ⎢ 1 ⎥ = t ⎢ ⎥ = t v1 , t ≠ 0 若⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 4 − 2⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ 4 x1 − 2 x 2 ⎦ ⎣0⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣2⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡2 1 ⎤ (2)對 λ2 = −1 時， ( A − λ 2 I ) = ⎢ ，x = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣4 2⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ =⎢ = ⎢ ⎥ ，則解為 x = ⎢ 1 ⎥ = t ⎢ ⎥, t v 2 , t ≠ 0 若⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣4 2⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣4 x1 + 2 x 2 ⎦ ⎣0⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ − 2⎦ ⎡3 0 ⎤ ⎡1 1 ⎤ = [v1 , v 2 ] ，則 Q −1 AQ = ⎢ 取Q = ⎢ ⎥ 為對角化矩陣 ⎥ ⎣0 − 1⎦ ⎣ 2 − 2⎦ 【理論】 ⎡λ1 0 ⎤ −1 −1 設 Q = [v1 , v 2 ], D = ⎢ ⎥ ，並希望 A = QDQ ⇒ Q AQ = D ⇒ AQ = QD 0 λ 2⎦ ⎣ ⎡λ ⎤ ⎡3 − 1⎤ = [λ1 v1 λ2 v 2 ] = [v1 v 2 ]⎢ 1 ⎥ = QD 即 AQ = A[v1 v 2 ] = [ Av1 Av 2 ] = ⎢ ⎥ ⎣6 2 ⎦ ⎣λ 2 ⎦ ⎡0 0 ⎤ ⇒ [ Av1 Av 2 ] = [λ1 v1 λ2 v 2 ] ⇒ [( A − λ1 I )v1 ( A − λ 2 I )v 2 ] = ⎢ ⎥=O ⎣0 0 ⎦ ⎧ ⎡0 ⎤ ⎪( A − λ1 I )v1 = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣0 ⎦ ⇒ [ A − λ1 I A − λ2 I ][v1 v 2 ] = O ⇒ ⎨ ⎪( A − λ I )v = ⎡0⎤ 2 2 ⎢0 ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ 當 det( A − λI ) = 0 時，才能取到 v1 ≠ ⎢ ⎥, v 2 ≠ ⎢ ⎥ 之解 ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ 故取滿足 det( A − λI ) = 0 之 λ 即可 ⎡0⎤ ⎡0 ⎤ 再代回去解 v1 ≠ ⎢ ⎥, v 2 ≠ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0 ⎦ ⇒ det( A − λI ) = 0 之解即為 λ1 , λ2. 此時 A = QDQ −1 ⇒ Q −1 AQ = D ⇒ AQ = QD 求 A k = (Q −1 DQ)(Q −1 DQ)" (Q −1 DQ) = Q −1 D k Q ，並可以求 lim A k 之極限矩陣。 k →∞.
(13) 例題二： ⎡1 1 0 ⎤ 設 A = ⎢⎢0 2 2⎥⎥ ⎢⎣0 0 3⎥⎦. ⎡1 − λ 則 det( A − λI ) = det ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 特徵根為 1,2,3. 1 2−λ 0. 0 ⎤ 2 ⎥⎥ = −(λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) 為特徵方程式 3 − λ ⎥⎦. ⎡0 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (1)對 λ1 = 1 時， ( A − λ1 I ) = ⎢0 1 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡0 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 若 ⎢0 1 2⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢ x 2 + 2 x3 ⎥ = ⎢0⎥ ，則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢0⎥⎥ = t v1 , t ≠ 0 ⎢⎣0 0 2⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦. ⎡− 1 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (2)對 λ2 = 2 時， ( A − λ2 I ) = ⎢ 0 0 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡− 1 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡− x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 若 ⎢ 0 0 2⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢ 2 x3 ⎥ = ⎢0⎥ ，則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢1⎥⎥ = t v 2 , t ≠ 0 ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎡− 2 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ (3)對 λ3 = 3 時， ( A − λ3 I ) = ⎢ 0 − 1 2⎥ ， x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ 0 0⎥⎦ ⎡− 2 1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ − 2 x1 + x 2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 若 ⎢ 0 − 1 2⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢− x 2 + 2 x3 ⎥ = ⎢0⎥ ，則解為 x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ = t ⎢⎢2⎥⎥ = t v3 , t ≠ 0 ⎢⎣ 0 ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ 0 0⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡1 1 1⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ −1 取 Q = ⎢0 1 2⎥ = [v1 v 2 v3 ] ，則 Q AQ = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ 為對角化矩陣 ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 3⎥⎦ (即. AQ = A[v1 v 2 v3 ] = [ Av1 Av 2 Av3 ] = [λ1 v1 λ2 v 2 λ3 v3 ] = [v1 v 2. ⎡ λ1 ⎤ v3 ]⎢⎢λ2 ⎥⎥ = QD ⎢⎣λ3 ⎥⎦. ⇒ AQ = QD ⇒ A = Q −1 DQ ) 此時若要求 A k = (Q −1 DQ)(Q −1 DQ)" (Q −1 DQ) = Q −1 D k Q ，可以簡化計算，並可以 求 lim A k 之極限矩陣。 k →∞.
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