沒有定義，則lim ( )x c f x 不存在 （3）若 f(x) 在xc 連續，則lim ( )x c f x 存在 （4）若 f c

國立高師大附中101學年度第二學期高三自然組數學科第一次段考試題

1、 多重選擇題：（共16分）

(每題的所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得5分；答錯2個選項者，

得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。) 1. 設aⁿ  與bⁿ  為兩數列﹐試問下列哪些選項是正確的？

1 若aⁿ  與bⁿ  皆為收斂﹐則數列aⁿbⁿ  必為收斂　 2 若aⁿ  與bⁿ  皆為收斂﹐則數列a bⁿ．ⁿ 必為收斂　 3 若aⁿ  與bⁿ  皆為發散﹐則數列aⁿbⁿ  必為發散　 4 若aⁿ  與bⁿ  皆為發散﹐則數列a bⁿ．ⁿ 必為發散　 （5）若 a_n 收斂，則a_n 不一定收斂

2. 下列哪些選項是正確的？

（1）lim([2 ] [ ])²

x x x

  不存在，其中[x]

表示小於或等於x

的最大整數 （2）若 f c( )

沒有定義，則^{lim ( )x c f x} 不存在 （3）若 f(x)

在xc

連續，則^{lim ( )x c f x} 存在 （4）若 f c( )

有意義且lim ( )

x c f x

 存在﹐則 f x( )

在x c

處連續

（5）若

lim ( ) 1 ( )

x c

f x g x

 

且

lim ( ) 0

x cg x

 

﹐則

lim ( ) 0

x c f x

 

二、填充題 ：（每格5分，全對才給分，共70分）

1. 已知一無窮等比級數的首項為 0.3﹐第2項為 0.26 ﹐試求此無窮等比級數的總和 為______。

2. 設 ²

3 12, 4 ( ) | |, 4 4

3, 4

x x

f x x x x

x x

  

    

   



( 1) 2

g x x

，則

( ( 3)) f g  

______。

3. 求下列各式的極限值 1

5 1

lim 9 6

n

n n

n n



   

   ________

2

3 3 1

9 2 2 7 23 lim 2 5 7 9

n n

n n

n 

    

   ________

4. 求下列各式的極限值 （1） ^{2 2 2}

1 1

lim( )

3 2 5 6

x^ x x x x 

    ________

（2）求

5 1 2

( 1)( 1)

lim^x ( 1)

x x

x



 

 ________

5. 設函數 ( ) 1 f x 1

 x

 其中

0 x

1 並定義

1( ) ( ) f x  f x

且

1( ) ( ( ))

n n

f _ x  f f x

n為正整 數） 試求 f102(2013)之值為__________。

6. 已知 a _b

均為實數﹐函數 ²

2 , 1 ( ) 3 , 2 1

3 2 , 2 x a x

f x ax b x

x b x

  

    

   

 為一連續函數﹐

試求數對 ( , )a b  __________。

7.三次多項式 ( ) f x

滿足： ¹

lim ( ) 10 1

x

f x x

 

 ，且 ²

lim ( ) 5 2

x

f x x

  

 ﹐則 ³

lim ( ) 3

x

f x x

 

 __________。

8. 函數 f x( ) 7 6 x x ² ，設 f x( )

的定義域為x a x b x R^|   ^,  ， 值域為^{f x c( ) |  f x( )d}_，則^{a b c d   }_{________。}

9. 若 | x 3 | | x 1 | | x 2 | k有兩個實數解，求k之範圍為__________。

10. 試求 1

3 1 2ⁿ

n

 n



 

 _{________。}

11.如附圖，一正方形的邊長為5，以1 3的順序內分各邊，再連各 分點得第二個正方形，再以同順序、同比例內分第二個正方形各

邊，連接各分點得第三個正方形，如此繼續下去，則所有正方形 的面積總和為

12.設

2 2

2 2

( ) 1

x x f x x x

  

  的值域為

^{f x a( ) |  f x( )b}

，則數對 ( , )a b  __________。

三、計算題：（每題7分，共14分，需過程，否則不予計分）

1. 試證：對所有正整數 n ^n4﹐恆有 3ⁿ>n³

2. 利用夾擠定理求 ^{2 2 2}

1 1 1

lim( )

9 1 9 2 9

n^ n  n   n n

  ⋯ 

之值﹒

國立高師大附中101學年度第二學期高三自然組數學科第一次段考答案卷

高三____班 姓名:___________座號:_____

1、 多重選擇題：（共16分）

(每題所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得5分；答錯2個選項者，

得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。)

1 2

二、填充題：(每格5分，共70分)

1 2 3（1） 3（2） 4（1）

4（2） 5 6 7 8

9 10 11 12

三、計算題：（每題7分，共14分，需過程，否則不予計分）

國立高師大附中101學年度第二學期高三自然組數學科第一次段考答案卷

高三____班 姓名:___________座號:_____

1、 多重選擇題：（共16分）

(每題所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得5分；答錯2個選項者，

得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。)

1 2

1、2、5 3、5

二、填充題：(每題5分，共70分)

1 2 3（1） 3（2） 4（1）

5

3 36

4 3

9

2 2

4（2） 5 6 7 8

1

10 2013 ( 1, 2) 10 2

9 10 11 12

1 k 3或k 4 5

200 3

(1,5)

三、計算題：（每題7分，共14分，需過程，否則不予計分）

1. （1）當n1時---(給1分)

（2）當n k ，k4時成立-，---(給1分)

2. 寫出 ^{2 2 2}

1 1 1

9 1 9 2 9

n n

A B

n n n n

    

  ⋯ 

---(給2分)