第2章 三角函數

第2章 三角函數

2-1 一般三角函數的性質與圖形 主題一 弧度

1. 若一圓的半徑為 r，則弧長 s 所對應的圓心角 θ 為 s

r弧度。

定義：1 弧度等於弧長為半徑時所對應的圓心角。

2. 弧度與度的關係：

2π 弧度＝360° 或 π 弧度＝180° 或 1 弧度＝180



。

3. 度與弧度的換算：

(1) 1 弧度＝180



≈57.3°。 (2) 1°＝

180

 弧度。

或可利用 π 弧度＝180° 與比例關係換算。

4.

度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

弧度 0

180



6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6

 _π

例題1 度與弧度的換算

(1) 分別將 80° 及 240° 化為弧度。

(2) 分別將5 4

 弧度及 2 弧度化為度。

解 (1) ∵1°＝

180

 弧度 ∴80°＝80×

180

 弧度＝4 9

 弧度，240°＝240×

180

 弧度＝4 3

 弧度

(2) ∵1 弧度＝180



 ∴5 4

 弧度＝5 4

 ×180



＝225°，2 弧度＝2×180



＝360





類題

(1) 分別將 160° 及－270° 化為弧度。

(2) 分別將11 6

 弧度及－10 弧度化為度。

解 (1) ∵1°＝

180

 弧度 ∴160°＝160×

180

 弧度＝8 9

 弧度，

－270°＝（－270）×

180

 弧度＝－3 2

 弧度

(2) ∵1 弧度＝180



 ∴11 6

 弧度＝11 6

 ×180



＝330°，

－10 弧度＝（－10）×180



＝ 1800



 

主題二 弧長與扇形面積

若圓半徑為 r，扇形 COD 的圓心角∠COD＝θ（弧度），如下圖所示。令扇形的弧長為 s，

面積為 A，則：

(1) s＝rθ；(2) A＝1

2 r²θ＝1 2rs。

說明：(1) 弧CD 的長度為 s，由圓心角 2π（一圈）對應的圓周長是 2πr， ^ 故2 2

s r



 ^  ^{⇒ s＝rθ。}

(2) 扇形 COD 的面積為 A

∵圓心角 2π（一圈）對應的扇形面積（即整個圓面積）是 πr²

故 ₂

2

A r



 ^{ ⇒ A＝}

1

2r²θ＝1

2r（rθ）＝1 2rs。

例題2 扇形的弧長與面積

已知一扇形的半徑為 18 公分，圓心角為 150°，試求此扇形的弧長及面積。

注意 扇形弧長 s＝rθ，扇形面積 A＝1 2r²θ。

解 如右圖，因 150°＝150×

180

 弧度＝5 6

 弧度

故扇形弧長為 s＝rθ＝18×5 6

 ＝15π（公分）

而扇形面積為 A＝1

2r²θ＝1

2×18²×5 6

 ＝135π（平方公分）

類題

已知一扇形的半徑為 8 公分，圓心角為 225°，試求此扇形的弧長及面積。

解 如右圖，因 225°＝225×

180

 弧度＝5 4

 弧度

故扇形弧長為 s＝rθ＝8×5 4

 ＝10π（公分）

而扇形面積為 A＝1

2r²θ＝1

2×8²×5 4

 ＝40π（平方公分）

主題三 三角函數的定義 1. 銳角三角函數的定義：

如下圖，當 θ 為一銳角，可以畫出一個三個角為 θ，90°－θ，90° 的直角三角形，

我們定義

(1) θ 的正弦：sin θ＝對邊長

斜邊長。 (2) θ 的餘弦：cos θ＝鄰邊長 斜邊長。 (3) θ 的正切：tan θ＝對邊長

鄰邊長。 (4) θ 的餘切：cot θ＝鄰邊長 對邊長。 (5) θ 的正割：sec θ＝斜邊長

鄰邊長。 (6) θ 的餘割：csc θ＝斜邊長 對邊長。 2. 廣義角三角函數的定義：

設 θ 是一個標準位置角，在角 θ 的終邊上任取一點 P（x，y），x，y 不同時為 0 且 OP＝r＝ x²y² ＞0，如右圖所示。

則定義角 θ 的六個三角函數值如下：

sin θ＝y

r ，cos θ＝x r ， tan θ＝y

x ，cot θ＝ x y ， sec θ＝r

x，csc θ＝r y。

例題3 特殊角的三角函數值 試求 cot

3

 ，sec 3

 ，csc 3

 的值。

解 由 3

 弧度＝60°，如右圖所示

在 30°－60°－90° 的直角三角形中三邊長的比例為 1： 3 ：2 故由定義可得 cot 60°＝ 3

3 ，sec 60°＝2，csc 60°＝2 3 3

類題 (1) 試求

6

 的六個三角函數值。

(2) 試求 4

 的六個三角函數值。

(3) 利用和角公式，試求5 12

 的六個三個函數值。

（提示：sin（α＋β）＝sin α cos β＋cos α sin β，cos（α＋β）＝cos α cos β－sin α sin β）

解 (1) 由 6

 弧度＝30°，如右圖所示

在 30°－60°－90° 的直角三角形中三邊長的比例為 1： 3 ：2 故由定義可得 sin 30°＝1

2，cos 30°＝ 3

2 ，tan 30°＝ 3 3 cot 30°＝ 3 ，sec 30°＝2 3

3 ，csc 30°＝2 (2) 由

4

 弧度＝45°，如右圖所示

在 45°－45°－90° 的直角三角形中三邊長的比例為 1：1： 2 故由定義可得 sin 45°＝ 2

2 ，cos 45°＝ 2

2 ，tan 45°＝1 cot 45°＝1，sec 45°＝ 2，csc 45°＝ 2

(3) 5 2 3 2 1 6 2

sin sin sin cos cos sin

12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

               

5 2 3 2 1 6 2

cos cos cos cos sin sin

12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

               

sin5

5 12 6 2

tan 2 3

12 cos5 6 2 12

 

 ^

   

 ， 5 1 1

cot 2 3

12 tan5 2 3 12



    



5 1 4

sec 6 2

12 cos5 6 2 12



    

 ， 5 1 4

csc 6 2

12 sin5 6 2 12



    

 例題4 單位圓上的分析

右圖為一單位圓，已知 0°＜θ＜90°，試以 θ 的三角函數來表示下列線段的 長度：

(1)_CD。 (2)_OD。

(3) AE 。 (4) BF 。

(5)_OE。 (6)_OF 。

解 ∵OC＝1，在直角△OCD 中，CD

OC ＝sin θ⇒CD＝sin θ，而OD

OC ＝cos θ⇒OD＝cos θ ∵OA＝1，在直角△OAE 中，AE

OA＝tan θ⇒ AE ＝tan θ，而OE

OA＝sec θ⇒OE＝sec θ ∵OB＝1，在直角△OBF 中，∠OFB＝θ

故BF

OB＝cot θ⇒ BF ＝cot θ，而OF

OB＝csc θ⇒OF ＝csc θ

可得(1)CD＝sin θ (2)OD＝cos θ (3) AE ＝tan θ (4) BF ＝cot θ (5)OE＝sec θ

(6)OF ＝csc θ 類題

如下圖，△OPQ 為直角三角形，其中斜邊 PQ 切單位圓 O 於 A 點。又AB ⊥ OQ，試以 θ 的 三角函數來表示下列線段的長度：

(1)AB 。 (2)OB。 (3) AQ 。 (4)AP 。 (5) OQ 。 (6)OP。

解 圓 O 是半徑為 1 的圓，故OA＝1 在直角△OAB 中， AB

OA＝sin θ⇒ AB ＝sin θ，而OB

OA＝cos θ⇒OB＝cos θ 在直角△OAQ 中， AQ

OA ＝tan θ⇒ AQ ＝tan θ，而OQ

OA＝sec θ⇒ OQ ＝sec θ 在直角△OPA 中，∠OPA＝θ（∵∠OPA＋∠AOP＝θ＋∠AOP＝90°）

∴ AP

OA＝cot θ⇒ AP ＝cot θ，而OP

OA＝csc θ⇒OP＝csc θ

可得(1)AB ＝sin θ (2)OB＝cos θ (3) AQ ＝tan θ (4)AP ＝cot θ (5) OQ ＝sec θ

(6)OP＝csc θ 例題5 廣義角的三角函數值

已知（－5，12）為標準位置角 θ 終邊上的一點，試求 cot θ，sec θ，csc θ 的值。

注意 廣義角三角函數的定義：cot θ＝ x

y ，sec θ＝r

x，csc θ＝ r y 。

解 令 P（－5，12），如下圖所示，故 x＝－5，y＝12，r＝ x²y² ＝13

由定義可得 5 5

cot 12 12 x

  y ^   ， 13 13

sec 5 5

r

  x  

 ， 13

csc 12 r

  y

類題

已知 （1，－ 3 ）為標準位置角 θ 終邊上的一點，試求 cot θ，sec θ，csc θ 的值。

解 令 P（1，－ 3 ），如下圖所示，故 x＝1，y＝－ 3 ，r＝ x²y² ＝2

由定義可得 1 3

cot 3 3

x

  y  

 ， 2

sec 2

1 r

    ，x 2 2 3

csc 3 3

r

  y  



例題6 特殊角的三角函數值 (1) 試求 cot11

6

 ，sec11 6

 ，csc11 6

 的值。

(2) 試求 π （弧度）的六個三角函數值。

注意 在標準位置角 11 6

 與 π 的終邊上各取一點。

解 (1) 標準位置角11 6

 弧度＝330°

在標準位置角11 6

 的終邊上取一點 P

由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點，如右圖所示 直角三角形 OPQ 中，∠POQ＝

6



設OP＝2， OQ ＝ 3 ， PQ ＝1，則點 P 的坐標為（ 3 ，－1）

故得 11 3

cot 3

6 1

x y

 _{   }



11 2 2 3

sec 6 3 3

r x

 _{  }

11 2

csc 2

6 1

r y

    



(2) 如右圖，在標準位置角 π 弧度的終邊上找一點 P，取 P（－1，0）

∴OP＝r＝1，x＝－1，y＝0

可得 0

sin 0

1 y

    ，r 1

cos 1

1 x

  r ^   ， 0

tan 0

1 y

  x 



1

cot 0

x

  y ^ （不存在）， 1

sec 1

1 r

  x  

 ， 1

csc 0

r

   （不存在） y 類題

(1) 試求 cot2 3

 ，sec2 3

 ，csc2 3

 的值。

(2) 下列三角函數值何者為正？

(A) sin 2

 (B) cos π (C) tan3 2

 (D) sec 2π (E) csc 2π²

解 (1) 標準位置角2 3

 弧度＝120°

在標準位置角2 3

 的終邊上取一點 P

由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點，如右圖所示

直角三角形 OPQ 中，∠POQ＝

3



設OP＝2， OQ ＝1， PQ ＝ 3 ，則點 P 的坐標為（－1， 3 ）

故得 2 3

cot 3 3

x y

 _{  }

， 2

sec 2

3 r x

 _{   ，} 2 2 3 csc 3 3

r y

 _{ }

(2) (A) ○：sin 2

 ＝1 (B) ×：cos π＝－1 (C) ×：tan3

2

 不存在 (D) ○：sec 2π＝sec 0＝1

(E) ○：2π²＝（2π）×π ∴6π＜（2π）×π＜13

2 π，故 （2π）×π 是第一象限角，

可得 csc 2π²＞0 故選(A)(D)(E)

主題四 倒數關係、商數關係、平方關係

1. 倒數關係：對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin θ‧csc θ＝1。

(2) cos θ‧sec θ＝1。

(3) tan θ‧cot θ＝1。

2. 商數關係：對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 記憶圖 (1) tan θ＝sin

cos



 ^。 (2) cot θ＝cos

sin



 ^。

3. 平方關係：對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin² θ＋cos² θ＝1。

(2) tan² θ＋1＝sec² θ。

(3) 1＋cot² θ＝csc² θ。

例題7 商數關係與平方關係

設 0°＜x＜45°，若 tan x＋cot x＝25

12，試求：

(1) sin x cos x 的值。 (2) sin x＋cos x 的值。 (3) sin x－cos x 的值。

注意 tan θ＝sin cos



 ^{，cot θ＝}

cos sin



 ^。 解 (1) tan x＋cot x＝25

12⇒sin cos 25 cos sin 12

x x

x x  （商數關係）

⇒

2 2

sin cos 25 cos sin 12

x x

x x

  ⇒ 1 25

cos sinx x 12（平方關係）⇒ sin x cos x＝12 25 (2) （sin x＋cos x）²＝sin² x＋2 sin x cos x＋cos² x＝1＋2 sin x cos x（平方關係）

＝1＋2×12 25＝49

25 故 sin x＋cos x＝7

5（∵0°＜x＜45° ∴sin x＋cos x＞0）

(3) （sin x－cos x）²＝sin² x－2 sin x cos x＋cos² x＝1－2 sin x cos x（平方關係）

＝1－2×12 25＝ 1

25 故 sin x－cos x＝－1

5（∵0°＜x＜45° ∴sin x＜cos x）

類題

設 θ 為銳角，若 sin θ＋cos θ＝ 6

2 ，試求方程式 x²＋（tan θ＋cot θ）x＋1＝0 的兩根之和。

解 設 α 與 β 為方程式 x²＋（tan θ＋cot θ）x＋1＝0 的兩根 由根與係數的關係，α＋β＝－（tan θ＋cot θ）＝－ 1

sin cos  又 sin θ＋cos θ＝ 6

2 ⇒ （sin θ＋cos θ）²＝6

4⇒ 1＋2 sin θ cos θ＝3

2（平方關係）

⇒ sin θ cos θ＝1

4⇒ α＋β＝－ 1

sin cos  ^＝－4 例題8 商數關係、平方關係與倒數關係

試證 tan² θ－sin² θ＝tan² θ sin² θ。

證 tan² θ－sin² θ＝ sin²₂ cos



 ^－sin

2 θ＝ 1₂ cos  1

  

 

 sin² θ＝（sec² θ－1）sin² θ＝tan² θ sin² θ 類題

試證 cos 1 sin 1 sin cos 2sec

  

 

  

 。

證

2 2

2 2

cos 1 sin cos (1 sin ) 1 sin cos (1 sin ) cos

cos 1 2sin sin (1 sin ) cos

1 1 2sin 2(1 sin ) 2 (1 sin ) cos (1 sin ) cos cos 2sec

   

   

  

 

  

    

  

 

 

  

 

  

   

 

主題五 負角關係、補角關係、餘角關係 1. 角 θ 為各象限角時的正負情形：

，其餘皆為負值。

2. 負角關係：

cot（－θ）＝－cot θ，sec（－θ）＝sec θ，csc（－θ）＝－csc θ。

3. 補角關係：

cot（π－θ）＝－cot θ，sec（π－θ）＝－sec θ，csc（π－θ）＝csc θ。

4. 餘角關係：

tan^ 2  ^

 ＝cot θ，cot

 2

  

 

 ＝tan θ，

sec^ 2  ^

 ＝csc θ，csc

 2

  

 

 ＝sec θ。

5. 三角函數的其他關係：

(1) tan

 2

 

 

 ＋ ＝－cot θ，cot

 2

 

 

 ＋ ＝－tan θ，

sec

 2

 

 

 ＋ ＝－csc θ，csc

 2

 

 

 ＋ ＝sec θ。

(2) tan 3 2 

 

 

 ＋ ＝－cot θ，cot 3 2 

 

 

 ＋ ＝－tan θ，

sec 3 2 

 

 

 ＋ ＝csc θ，csc 3 2 

 

 

 ＋ ＝－sec θ。

例題9 比較大小

已知 a＝cos 1，b＝cos 2，c＝cos 3，d＝cos 4，試問下列選項何者為真？

(A) a＞0.5 (B) b 為負 (C) c 為正 (D) d＞－0.5 (E) a＞b＞c＞d 解 (A) ○：a＝cos 1≈cos 57.3°＞cos 60°＝0.5

(B) ○：b＝cos 2≈cos 114.6°＜0（∵2 弧度為第二象限角）

(C) ×：c＝cos 3≈cos 171.9°＜0（∵3 弧度為第二象限角）

(D) ×：d＝cos 4≈cos 229.2°＝－cos 49.2°＜－cos 60°＝－0.5 (E) ×：由(A)(B)(C)(D)的分析可知

a 為正，b≈cos 114.6°＝－cos 65.4°

c ≈cos 171.9°＝－cos 8.1°，d ≈cos 229.2°＝－cos 49.2°

∴a＞b＞d＞c 故選(A)(B)

類題

對於一個角，我們可以用“弧度＂與“度＂兩種單位來表示。關於三角函數值的大小，下列 哪些選項是正確的？

(A) cos 1＞cos 1° (B) cos 10＞cos 1 (C) sin 10＞sin 10° (D) sec 4＜sin 4 (E) cot 3＜csc 3 解 (A) ×：cos 1≈cos 57.3°＜cos 1°

(B) ×：cos 10≈cos 573°＝cos 213°＜0 ∴cos 10＜cos 1 (C) ×：sin 10≈sin 573°＝sin 213°＜0 ∴sin 10＜sin 10°

(D) ○：sec 4≈sec 229.2°＝－sec 49.2°

sin 4≈sin 229.2°＝－sin 49.2° ∴sec 4＜sin 4 (E) ○：cot 3＝cos3

sin 3，csc 3＝ 1 sin 3

又 sin 3≈sin 171.9°＞0，cos 3≈cos 171.9°＜0 ∴cot 3＜csc 3

故選(D)(E)

例題10 求相關角度的三角函數值

已知 sin 260°＝k，試求 cot 260° 與 csc 10° 的值。

注意 cot θ＝cos sin



 ^{，csc θ＝}

1 sin ^。

解 由平方關係：sin² 260°＋cos² 260°＝1^⇒ cos 260°＝－ 1 k ² （∵260° 為第三象限角）

∴

cos 260 1 2

cot 260

sin 260

k k

  

  



又 sin 260°＝sin（270°－10°）＝－cos 10°＝k 可得 cos 10°＝－k ⇒ sin10  1 ( k)²  1k²

∴ 2

1 1

csc10

sin10 1 k

  

 

類題

已知 tan 20°＝k，試求 sec 250° 的值。

解 sec 250°＝sec（270°－20°）＝－csc 20°＝－ 1 sin 20

又 tan 20°＝k ⇒ sin 20 2

1 k

  k



∴

1 1 2

sec 250

sin 20

k k

 

   



例題11 應用問題─三角測量

如下圖，從地面一直線上三點 A，B，C 測得一山頂的仰角分別為 30°，45°，60°（山頂的垂 足 O 與 A，B，C 不共線）且 AB ＝600 公尺，BC＝400 公尺，試求山的高度。

注意 _OA＝h×cot 30°，_OB＝h×cot 45°，_OC＝h×cot 60°。

解 設山頂高為 h，則OA＝h×cot 30°＝ 3 h OB＝h×cot 45°＝h，OC＝h×cot 60°＝ 1

3h

令∠ABO＝θ，則∠CBO＝180°－θ 由餘弦定理可知

在△ABO 中，cos θ＝

2 2 2

600 ( 3 ) 2 600

h h

h

 

 

在△CBO 中，cos（180°－θ）＝

2

2 2 1

400 3

2 400

h h

h

 

   

  又 cos（180°－θ）＝－cos θ

∴

2

2 2

2 2 2

400 1

600 ( 3 ) 3

2 400 2 600

h h

h h

h h

 

       

    可得 h²＝600000 ⇒ h＝200 15 （公尺）

類題

某艘船以每分鐘 23 公尺的航速，在紐約 曼哈頓 哈得遜灣的外海等速直線航行，此時此刻 自由女神像頂端的仰角為 30°。而兩分鐘前及四分鐘前自由女神像頂端的仰角均為 45°。若 已知此船行進的直線不通過自由女神像，試計算自由女神像頂端的高度。

解 該船四分鐘前、兩分鐘前及此刻的位置分別為 A、B、C 而OD 為自由女神像的高度，如右圖所示

令OD＝h，則OA＝OB＝h，而OC＝h×cot 30°＝ 3 h 且依題意得知AB ＝46＝BC

令∠ABO＝θ，則∠CBO＝180°－θ 由餘弦定理可知在△ABO 中，cos θ＝

2 2 2

46 2 46

h h h

 

  在△CBO 中，cos（180°－θ）＝

2 2 2

46 ( 3 ) 2 46

h h

h

 

  又 cos（180°－θ）＝－cos θ

∴

2 2 2 2

46 46 3

2 46 2 46

h h

h h

   

  

     ，可得 h＝46 故自由女神像頂端的高度為 46 公尺

主題六 三角函數的圖形 1. 週期函數：

函數 y＝f（x） 的圖形若每隔一固定單位的形態皆相同，亦即可找到固定的正數 p，使 得對於其定義域中的每一個元素 x，恆有 f（x＋p）＝f（x），我們就稱這個函數為一週 期函數，而滿足上述性質的最小正數 p，就稱為這個週期函數的週期。

2. 六個三角函數的繪圖：

(1) 正弦函數

正弦函數 y＝sin x 的圖形如上，其中 x 的單位是弧度 且正弦函數的

① 定義域為｛x│x 為實數｝。

② 值域為｛y│y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。

③ 週期為 2π，即 sin（x＋2π）＝sin x。

④ 振幅為 1。 1 2

 

 

振幅＝ （最大值－最小值）  (2) 餘弦函數

餘弦函數 y＝cos x 的圖形如上，其中 x 的單位是弧度 且餘弦函數的

① 定義域為｛x│x 為實數｝。

② 值域為｛y│y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。

③ 週期為 2π，即 cos（x＋2π）＝cos x。

④ 振幅為 1。

(3) 正切函數

正切函數 y＝tan x 的圖形如上，其中 x 的單位是弧度且正切函數的

① 定義域為

x x x 2 k k

  

 

│ 為實數且 ＋ ， 為整數 。  ② 值域為｛y│y 為實數｝。

③ 週期為 π，即 tan（x＋π）＝tan x。

(4) 餘切函數

餘切函數 y＝cot x 的圖形如上，其中 x 的單位是弧度且餘切函數的 ① 定義域為｛x│x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。

② 值域為｛y│y 為實數｝。

③ 週期為 π，即 cot（x＋π）＝cot x。

(5) 正割函數

正割函數 y＝sec x 的圖形如右，其中 x 的單位是弧度且正割函數的 ① 定義域為

x x x 2 k k

  

 

 │ 為實數且 ＋ ， 為整數 。  ② 值域為｛y│y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。

③ 週期為 2π，即 sec（x＋2π）＝sec x。

(6) 餘割函數

餘割函數 y＝csc x 的圖形如上，其中 x 的單位是弧度且餘割函數的 ① 定義域為｛x│x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。

② 值域為｛y│y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。

③ 週期為 2π，即 csc（x＋2π）＝csc x。

例題12 三角函數的圖形比較

將 y＝sin x 與 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，並利用圖形回答下列問題：

(1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，y＝sin x 與 y＝cos x 的圖形有幾個交點？

(2) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，解 sin x＝cos x。

(3) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，何時 sin x ≤ cos x？

解

將 y＝sin x 與 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，如上圖所示觀察圖形可得：

(1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，兩圖形有兩個交點 (2) 上述兩個交點的 x 坐標是 x＝

4

 和 x＝5 4

 (3) 在 0 ≤ x ≤

4

 或5 4

 ≤ x ≤ 2π 時，sin x ≤ cos x

類題

將 y＝tan x 與 y＝cot x 的圖形畫在同一平面上，並利用圖形回答下列問題：

(1) 在 0 ≤ x ≤ π 時，y＝tan x 與 y＝cot x 的圖形有幾個交點？

(2) 在 0 ≤ x ≤ π 時，解 tan x＝cot x。

(3) 在 0 ≤ x ≤ π 時，何時 tan x ≤ cot x？

解

將 y＝tan x 與 y＝cot x 的圖形畫在同一平面上，如上圖所示觀察圖形可得：

(1) 在 0 ≤ x ≤ π 時，兩圖形有兩個交點 (2) 上述兩個交點的 x 坐標是 x＝

4

 和 x＝3 4

 (3) 在 0＜x ≤

4

 或 2

 ＜x ≤ 3 4

 時，tan x ≤ cot x

主題七 三角函數圖形的平移與伸縮

1. 函數圖形的平移：（設 h，k 均大於 0）

(1) y＝f（x）＋k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向上平移 k 單位而得。

(2) y＝f（x）－k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向下平移 k 單位而得。

(3) y＝f（x＋h） 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向左平移 h 單位而得。

(4) y＝f（x－h） 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向右平移 h 單位而得。

2. 函數圖形的伸縮：（設 a＞0）

(1) y＝a f（x）的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的縱坐標都乘以 a 倍而得。

(2) y＝f（ax）的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的橫坐標都乘以1

a倍而得。

證明：(1) 設 P（x0，y0） 在 y＝f（x）上 ⇔ y0＝f（x0）⇔ ay0＝af（x0）

⇔ P'（x0，ay0）在 y＝af（x）上 (2) 設 P（x0，y0） 在 y＝f（x）上 ⇔ y0＝f（x0）⇔ y0＝ 1 ₀

f a x a

  

 

 

⇔ P' 1 _{0 0} , ax y

 

 

 在 y＝f（ax） 上 例題13 三角函數圖形的平移（一）

試利用 y＝cos x 的圖形，畫出下列的函數圖形：

(1) y＝cos x－1。

(2) y＝cos x 3

  

 

 。 解 (1)

y＝cos x－1 的圖形為 y＝cos x 的圖形向下平移 1 單位而得，如上圖所示 (2)

y＝cos x 3

  

 

  的圖形為 y＝cos x 的圖形向左平移 3

 單位而得，如上圖所示 類題

試利用 y＝sin x 的圖形，畫出下列的函數圖形：

(1) y＝2＋sin x。

(2) y＝sin x 6

  

 

 。

解 (1)

y＝2＋sin x 的圖形為 y＝sin x 的圖形向上平移 2 單位而得，如上圖所示 (2)

y＝sin x 6

  

 

 的圖形為 y＝sin x 的圖形向右平移 6

 單位而得，如上圖所示

例題14 三角函數圖形的平移（二）

試利用 y＝tan x 的圖形，畫出下列的函數圖形：

(1) y＝tan x 2

  

 

 。 (2) y＝tan

x 2

  

 

 。

解 (1)

y＝tan x 2

  

 

 的圖形為 y＝tan x 的圖形向左平移 2

 單位而得，如上圖所示

(2)

y＝tan x 2

  

 

 的圖形為 y＝tan x 的圖形向右平移 2

 單位而得，如上圖所示

註：我們發現(1)與(2)的圖形相同

∵ tan tan tan

2 2 2

x  ^ x  ^ x 

         

      

       故兩者圖形相同 類題

試利用 y＝sec x 的圖形，畫出下列的函數圖形：

(1) y＝sec x 2

  

 

 。 (2) y＝sec

x 2

  

 

 。 解 (1)

y＝sec x 2

  

 

 的圖形為 y＝sec x 的圖形向左平移 2

 單位而得，如上圖所示

(2)

y＝sec x 2

  

 

 的圖形為 y＝sec x 的圖形向右平移 2

 單位而得，如上圖所示

例題15 三角函數圖形的伸縮

(1) 試作 y＝2 sin x 的圖形，並求其週期。

(2) 試作 y＝sin 2x 的圖形，並求其週期。

解 (1)

y＝2 sin x 的圖形是將 y＝sin x 的圖形上每一點的圖形縱坐標都乘以 2 倍而得，如 上圖所示：可看出由 y＝sin x 變成 y＝2 sin x 的效果是沿著 y 軸方向伸長成 2 倍 故週期為 2π

(2)

y＝sin 2x 的圖形是將 y＝sin x 圖形上每一點的橫坐標都乘以1

2倍而得，如上圖所示：

可看出由 y＝sin x 變成 y＝sin 2x 的效果是沿著 x 軸方向壓縮成1

2倍，而函數的週 期由 2π 變成 π

類題

(1) 試作 y＝1

2cos x 的圖形，並求其週期。(2) 試作 y＝cos1

2x 的圖形，並求其週期。

解 (1)

y＝1

2cos x 的圖形是將 y＝cos x 的圖形上每一點的縱坐標都乘以1

2倍而得，如上圖 所示：

可看出由 y＝cos x 變成 y＝1

2cos x 的效果是沿著 y 軸方向壓縮成1

2倍，故週期2π (2)

y＝cos1

2x 的圖形是將 y＝cos x 圖形上每一點的橫坐標都乘以 2 倍而得，如上圖所 示：

可看出由 y＝cos x 變成 y＝cos1

2x 的效果是沿著 x 軸方向伸長成 2 倍，而函數的 週期由 2π 變成 4π

例題16 方程式的實根個數

試求方程式 10 sin x＝x 的實根個數。

注意 觀察 y＝sin x 與 y＝

10

x 函數圖形的交點個數。

解 直接求解 x 並不可行，我們將問題轉換成 sin x＝

10 x

即“y＝sin x 的函數圖形和 y＝

10

x 的函數圖形有幾個交點？”

作 y＝sin x 與 y＝

10

x 的圖形於同一坐標平面上 而 π ≈ 3.14 ⇒ 3π ≈ 9.42，故圖形如下圖所示：

兩圖形共有 7 個交點，故方程式 10 sin x＝x 的實根個數有 7 個

類題

試求方程式 cos x＝x² 的實根個數。

解 直接求解 x 並不可行，我們將問題轉換成

“y＝cos x 的函數圖形和 y＝x² 的函數圖形有幾個交點？”

作 y＝cos x 與 y＝x² 的圖形於同一坐標平面上，如下圖所示：

兩圖形共有 2 個交點，故方程式 cos x＝x² 的實根個數有 2 個

例題17 給定範圍下的三角函數極值問題 設 0 ≤ x ≤ 2π，若 sin x ≥ 1

2，試求 x 的範圍。

解 將 y＝sin x 與 y＝1

2畫於同一坐標平面上

兩圖形在 0 ≤ x ≤ 2π 時交於 P 1 6 2,

 

 

 與 Q 5 1 6 2,

  

 

 

∴當6

 ≤ x ≤ 5 6

 時，sin x ≥ 1 2 類題

設3

 ≤ x ≤ 5 3

 ，試求 cos x 在這個範圍內的最大值與最小值。

解 畫出 y＝cos x 的圖形，其中 1 cos3 2

 _{ ，} 5 1

cos 3 2

 _

可知當3

 ≤ x ≤ 5 3

 時，cos x 的最大值為1

2，最小值為 －1 例題18 圖形分析

設 a＞0，令 A（a） 表示 x 軸、y 軸、直線 x＝a 與函數 y＝f（x）＝102＋sin x 的圖形所

圍成的面積。則下列哪一個選項是正確的？

(A) A（4π）＝2A（2π）

(B) A（3π）－A（2π）＝A（2π）－A（π）

(C) f（x）＝f（π－x）恆成立 (D) f（x）＝f（π＋x）恆成立

(E) 若斜率不為 0 的直線 L 過 （0，102），則直線 L 與 y＝f（x）＝102＋sin x 的交點個 數必為奇數

解

(A) ○：如略圖，x 軸、y 軸、直線 x＝4π 與函數 y＝102＋sin x 所圍成的面積是 x 軸、

y 軸、直線 x＝2π 與函數 y＝102＋sin x 所圍成面積的 2 倍 (B) ×：如略圖，A（3π）－A（2π）＞A（2π）－A（π）

(C) ○：f（π－x）＝102＋sin （π－x）＝102＋sin x＝f（x）（∵sin（π－x）＝sin x）

(D) ×：f（π＋x）＝102＋sin （π＋x）＝102－sin x≠f（x）（∵sin（π＋x）＝－sin x）

(E) ○：如略圖，y＝f（x） 的圖形對稱於點（0，102）

∴通過 （0，102） 的直線與函數圖形 y＝f（x）在 y 軸左、右兩側的交點個數 相同

再加上點 （0，102），故交點個數必為奇數 故選(A)(C)(E)

類題

設 a＞0，令 A（a） 表示 x 軸、y 軸、直線 x＝a 與函數 y＝2＋sin x 的圖形所圍成的面 積。下列選項有哪些是正確的？

(A) A（a＋2π）＝A（a） 恆成立 (B) A（2π）＝2A（π）

(C) A（4π）＝2A（2π）

(D) A（3π）－A（2π）＞A（2π）－A（π） 93.指考甲

解 (A) ×：如下圖，A（a＋2π）＞A（a）

(B) ×：如下圖，A（2π）＜2A（π）

(C) ○：如下圖，A（4π）＝2A（2π）

(D) ○：如下圖，A（3π）－A（2π）＞A（2π）－A（π）

故選(C)(D)

重要性：★★★★☆

2-1 段考實力演練 一、基礎題

1. 將下列度化為弧度或將弧度化為度：

(1) 75°。 (2)－315°。 (3)5 6

 。 (4)4 15

 。 (5)－11 6

 。

解 (1) 75°＝75×

180

 弧度＝5 12

 弧度

(2) －315°＝－315×

180

 弧度＝－7 4

 弧度

(3) 5 6

 弧度＝5 6

 ×180



＝150°

(4) 4 15

 弧度＝4 15

 ×180



＝48°

(5) －11 6

 弧度＝－11 6

 ×180



＝－330°

2. 已知一扇形面積為 6 平方公分，且弧長為 3 公分，試求此扇形的半徑與圓心角。

解 設此扇形的半徑等於 r，圓心角為 θ

∴

2 2

3 3

1 6 12

2

r r

r r

 

 

   

 

   







①

②

②

①得 r＝4 ∴θ＝3

4 故扇形的半徑為 4 公分，圓心角為3

4弧度 3. 點 P（sec 10，cot 10）落在

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (E) 坐標軸上 解 10 弧度約等於 573°

573° 與 213° 為同界角 又 sec 213°＜0，cot 213°＞0

可得（sec 213°，cot 213°）落在第二象限 故選(B)

4. 已知 P（－7，24）為標準位置角 θ 終邊上的一點，試求角 θ 的六個三角函數值。

解 OP ( 7) ²24² 25 r

∴r＝25，x＝－7，y＝24

∴ 24

sin 25 y

  r

7 7 cos 25 25

x

  r ^   24 24

tan 7 7

y

  x  



7 7 cot 24 24

x

  y ^   25 25

sec 7 7

r

  x  

 csc 25

24 r

  y 5. 試計算下列各式的值：

(1) 1 1

1 sin  ^1 csc  。 (2) tan 20° tan 70°－sec² 31°＋cot² 59°。

解 (1) 1 1 1 1 1 sin

1 1

1 sin 1 csc 1 sin 1 1 sin 1 sin sin



    



     

     

(2) 由餘角關係可知

tan 70°＝cot 20°，cot 59°＝tan 31°

故 tan 20° tan 70°－sec² 31°＋cot² 59°＝tan 20° cot 20°－sec² 31°＋tan² 31°

＝tan 20° 1

tan 20－（sec² 31°－tan² 31°）

＝1－1＝0

6. 如下圖，河兩岸平行，在河沿岸 A 測對岸 C 得∠CAB＝α，今前行 100 公尺至 B，再 測得∠ABC＝β，試以 α 與 β 的三角函數表示河寬。

解 設CD為△ABC 中 AB 邊上的高 ∴河寬即為CD CD×cot α＝ AD ，CD×cot β＝ BD

又AD ＋ BD ＝ AB ＝100

⇒CD×cot α＋CD×cot β＝100

⇒CD（cot α＋cot β）＝100

⇒_CD＝ 100 cot cot 7. 把 y＝sin x 的圖形向右平移

2

 個單位，所得新圖形為下列哪一個函數的圖形？

(A) y＝cos x (B) y＝－cos x (C) y＝sin x (D) y＝－sin x (E) y＝sin x＋

2



解

將 y＝sin x 的圖形向右平移 2

 個單位可得

sin sin sin cos

2 2 2

y x   x   x  x

∴新的函數圖形為 y＝－cos x，故選(B) 8. 下列各函數的週期，何者為 π？

(A) y＝sin x (B) y＝tan x (C) y＝cos 2x－3 (D) y＝1

2cos x＋3 (E) y＝│tan x│

解 (A) ×：y＝sin x 的週期為 2π (B) ○：y＝tan x 的週期為 π (C) ○：y＝cos 2x 的週期為2 2

 ＝π

∴y＝cos 2x－3 的週期亦為 π (D) ×：y＝1

2cos x 的週期為 2π

∴y＝1

2cos x＋3 的週期亦為 2π (E) ○：y＝│tan x│的圖形如下：

∴其週期為 π 故選(B)(C)(E)

9. 試問下圖為下列哪些選項的函數圖形？

(A) y＝2 sin 3x (B) y＝－2 sin 3x

(C) y＝2 sin x 3

  

 

  (D) y＝2 cos 3

x 6

  

 

  (E) y＝－2 cos 3

x 6

  

 

 

解 圖形的振幅為 2，週期為2 3

 ， 且通過原點（0，0）， , 2 6

  

 

 

故此圖形為 y＝－2 sin 3x 的函數圖形 (A) ×：y＝2 sin 3x 不通過 , 2

6

  

 

 

(B) ○

(C) ×：y＝2 sin x 3

  

 

 的週期為 2π (D) ○：y＝2 cos 3

x 6

  

 

 ＝2 cos 3 x 2

  

 

 ＝－2 sin 3x

(E) ○： 2cos3 2cos 3 2cos 3 2sin 3

6 2 2

y  x   x     x  x

     

故選(B)(D)(E)

10. 下圖是三角函數 y＝c＋b cos ax 的部分圖形，其中 a＞0，試求 a，b，c 的值。

解 由圖形觀察可知，

此函數的振幅為3 ( 1) 2 2

   ∴b＝2 又 A 點坐標為 （0，3），

B 點坐標為 3 2 , 1

   

 

 

圖形由 A 到 B，經過了半個週期

∴2 3

2 0 3

2 a

  ^   ^ 

∴a＝2

3（∵a＞0）

故此為 y＝c＋2 cos2

3x 的圖形

而圖形通過 A（0，3），將（0，3）代入，可得 c＝1 故 a＝2

3，b＝2，c＝1

二、進階題

11. 如下圖，ABCD 為一矩形， AB ＝6，BC＝12，以 A 為圓心， AB 、 AD 分別為半徑畫弧，

試求陰影部分的面積。

（提示：連接AE ，分別計算△ABE 與扇形 ADE 中的陰影區域面積）

解 連接AE ，交BF^於 P 點

△ABE 為直角三角形

其中AE AD12，AB6⇒BE6 3

∴∠BAE＝60°＝

3

 弧度

∠DAE＝30°＝

6

 弧度

由圖形可知，陰影區域面積為

（△ABE 面積－扇形 ABP 面積）＋（扇形 AED 面積－扇形 APF 面積）

＝△ABE 面積＋扇形 AED 面積－扇形 ABF 面積

＝6×6 3 ×1 2＋1

2×12²× 6

 －1 2×6²×

2



＝18 3 ＋12π－9π＝18 3 ＋3π

12. 遊樂中心有一圓形摩天輪，中心軸高 21 公尺，直徑 36 公尺，逆時針方向運轉一圈需費 時 15 分鐘，當摩天輪開始運轉時，祥志恰坐在離地最近的位置上，試問運轉 5 分鐘後：

(1) 祥志繞圓心旋轉多少弧度？

(2) 祥志共繞行多少公尺？

(3) 祥志離地面多少公尺？

（提示：s＝rθ）

解

(1) 運轉一圈需費時 15 分鐘 所以 5 分鐘旋轉 5 2

15 2 3

 

  （弧度）

故祥志繞圓心旋轉2 3

 弧度

(2) ∵∠AOB＝2 3

 ∴^AB＝18×2 3

 ＝12π（公尺）

可知祥志共繞行 12π 公尺 (3) 2

3

 ＝120°＝90°＋30°

祥志離地面高度為OC＋BH ＝21＋18×sin 30°＝21＋18×1

2＝30（公尺）

13. 已知 sin（－100°）＝a，試以 a 表示 cot 260°。（提示：－100° 與 260° 為同界角）

解 sin（－100°）＝a＝

1

a，r＝1，y＝a

如下圖，在直角坐標平面－100° 的終邊上取 P（ 1 a² ，a）

cot 260°＝cot（260°－360°）＝cot（－100°）＝x y ＝

1 a2

a

 

14. 已知 sin θ 與 cos θ 為方程式 8x²－kx＋5＝0 的兩根，且 sin θ 與 cos θ 皆為正數，試 求：(1) 實數 k 的值。(2) sec θ＋csc θ 的值。 1 1

sec csc

cos sin

 

 

 

 

提示： ＋ ＝ ＋ 

解 (1) 由根與係數的關係可得 sin θ＋cos θ＝

8

k ，sin θ‧cos θ＝5 8 又（sin θ＋cos θ）² ＝1＋2 sin θ‧cos θ

∴

2

8

 k

   ＝1＋2‧5 8＝9

4 可得

8 k ＝3

2（負不合） 故 k＝12

(2) sec θ＋csc θ＝ 1 1 cos^＋sin ^＝

sin cos cos sin

 

  

＋ ＝

12 85 8

＝12 5

15. 若 cos x ≤ 3

2 ，且－2π ≤ x ≤ 2π，試求 x 的範圍。

cos 3 y x y 2

 

 

 

^{提示：將 ＝ 與 ＝ 畫在同一坐標平面上} 解 將 y＝cos x 與 y＝ 3

2 畫於同一坐標平面上，觀察當－2π≦x≦2π 時的交點

當 x＝

6

 ，11 6

 ，－

6

 ，－11 6

 時，cos x＝ 3 2

∴－11 6

 ≦x≦－

6

 或 6

 ≦x≦11 6

 時，cos x≦ 3 2

16. 電流強度 I（單位：安培） 隨時間 t（秒） 變化的函數 I（t）＝a sin（bt＋c），其函數 的部分圖形如下所示，其中 a 與 b 皆大於 0，而 0 ≤ c＜π，試分別求 a， b，c 的值。

（提示：觀察此三角函數圖形的振幅與週期）

解 (1) 由圖形可知，此函數的振幅為 10

∴a＝10

(2) 由圖形可知，此函數的週期為 4 1 1 2 300 300 50

 

  

 

∴^{2 1} 50 b

 _

，可得 b＝100π

(3) 圖形過點 1 300,10

 

 

 ⇒ 10＝10×sin 1 100 300 c

   

 

 

∴1＝sin 3 c

  

 

 

又 0≦c＜π，可得

3 c 2

 _{  ，故 c＝} 6

 由 a＝10，b＝100π，c＝

6

 ，

可得此函數為 I（t）＝10 sin 100 t 6

   

 

 

三、歷屆試題

17. 兩條公路 k 及 m，如果筆直延伸將交會於 C 處成 60° 夾角，如圖所示。為銜接此二公 路，規劃在兩公路各距 C 處 450 公尺的 A，B 兩點間開拓成圓弧型公路，使 k，m 分 別在 A，B 與此圓弧相切，則此圓弧長為 公尺。（公尺以下四捨五入， 3 ≈1.732，

π≈3.142）

（提示：設 O 為^AB所對應的圓心，則∠AOB＝120°） 90.學測

18. 有一輪子，半徑 50 公分，讓它在地上滾動 200 公分的長度，問輪子繞軸轉動 度。（度以下四捨五入） 88.學測

（提示：s＝rθ）

19. 如下圖所示，每個小方格的邊長為 1，圓 O 的圓心為 O，半徑為 1

2 ^AO；AC與BD 均 為圓 O 的切線，切點分別為 C 點與 D 點。

(1) 試求∠COD。

(2) 求線段AC、圓弧CD 及線段 DB 的長度之和。 88.社會組 ^

（提示：A，O，B 三點共線且△AOC 與△BOD 均為30°－60°－90° 的直角三角形）

20. 有一等腰三角形，底邊為 10，頂角 72°，下列何者可以表示腰長？

(A) 5 sin 36° (B) 5 tan 36° (C) 5 cot 36° (D) 5 sec 36° (E) 5 csc 36°

（提示：作等腰三角形底邊上的中線） 89.學測

21. 設 0＜θ＜

4

 ，且 2＋ 3 為 x²－（tan θ＋cot θ）x＋1＝0 的一根，求 tan θ＝ 。

0 0 tan 1

4

  

 

 

提示：＜ ＜ 時，＜ ＜ 88.學測

22. 若 sin θ＝3 5，

2

 ＜θ＜π，下列何者正確？

(A) cos θ＝4

5 (B) tan θ＝3

4 (C) cot θ＝－4

3 (D) sec θ＝－5

4 (E) csc θ＝5 3

90.學測 23. 設 H 為銳角△ABC 的垂心（三高之交點），若以 c 表 AB 之長，則 AH 之長等於

(A) c cos A sin C (B) c cos A cos C (C) c cos A tan C (D) c cos A sec C (E) c cos A csc C

（提示：∠AHE＝∠C） 89.自然組 24. 在 A、B 兩支旗竿底端連線段中的某一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 29°、B 旗竿頂端的 仰角為 15°。在底端連線段中的另一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 26°、B 旗竿頂端的仰 角為 19°。則 A 旗竿高度和 B 旗竿高度的比值約為 （四捨五入到小數點後第一 位）。 98.指考甲

θ 15° 19° 26° 29°

cot θ 3.73 2.90 2.05 1.80

（提示：AC＋BC＝AD ＋ BD ）

25. 如下圖，單位圓 O 與 y 軸交於 A，B 兩點。角 θ 的頂點為原點，始 邊在 x 軸的正向上，終邊為OC

，直線 AC 垂直於 y 軸且與角 θ 的 終邊交於 C 點，則下列哪一個函數值為AC？

(A)│sin θ│ (B)│cos θ│

(C)│tan θ│ (D)│cot θ│

(E)│sec θ│ 86.社會組

26. 考慮函數 f（x）＝2 sin3x，試問下列選項何者為真？

(A)－2 ≤ f（x） ≤ 2 (B) f（x） 在 x＝

6

 時有最大值 (C) f（x） 的週期為2 3

 (D) y＝f（x） 的圖形對稱於直線 x＝

2

 (E) f（2）＞0 88.社會組 27. 令 a＝cos（π²），試問下列哪一個選項是對的？

(A) a＝－1 (B)－1＜a ≤ －1

2 (C)－1

2＜a ≤ 0 (D) 0＜a ≤ 1

2 (E)1

2＜a ≤ 1

（提示：π² 弧度約等於 9.8596 弧度） 98.學測

28. 關於坐標平面上函數 y＝sin x 的圖形和 y＝

10 x

 的圖形之交點個數，下列哪一個選項是 正確的？

(A)交點的個數是無窮多 (B)交點的個數是奇數且大於 20

(C)交點的個數是奇數且小於 20 (D)交點的個數是偶數且大於或等於 20

(E)交點的個數是偶數且小於 20 96.學測

0,0 10 ,1 10

y x 



 

 

提示： ＝ 的圖形通過（ ）與（ ） 

29. 遊樂區中有一圓形摩天輪，中心軸高 22 公尺，直徑 40 公尺，逆時針方向運轉一圈需時 15 分鐘。當摩天輪開始運轉時，阿美恰坐在離地最近的位置上，x 分鐘後，阿美離地的 高度可表為 y＝a sin（bx＋c）＋d，a＞0 且 b＞0。試問下列選項有哪些是正確的？

(A) a＝20 (B) a＝40 (C) b＝2 15

 (D) c＝0 (E) d＝2

（提示：觀察 y＝a sin（bx＋c）＋d 的最大值，最小值與週期） 93.指考乙（補）

30. 地面某定點測得數公里外高塔塔尖仰角為 θ1，朝高塔方向沿直線前進 100 公尺之後，重 新測得塔尖仰角為 θ2，再沿同一直線繼續前進 100 公尺後，測得仰角為 θ3。請問下列哪 一個選項的數值依序成等差數列？ 103.指考甲 (A) θ1，θ2，θ3 (B) sin θ1，sin θ2，sin θ3 (C) cos θ1，cos θ2，cos θ3

(D) tan θ1，tan θ2，tan θ3 (E) cot θ1，cot θ2，cot θ3

簡 答 一、基礎題 1.(1)5

12

 弧度；(2) －7 4

 弧度；(3) 150°；(4) 48°；(5) －330° 2.4 公分，3

4弧度 3.(B) 4.sin θ＝24

25，cos θ＝－ 7

25，tan θ＝－24

7 ，cot θ＝－ 7

24，sec θ＝－25

7 ，csc θ＝25 24 5.(1) 1；(2) 0 6. 100

cot cot 7.(B) 8.(B)(C)(E) 9.(B)(D)(E) 10.a＝2

3，b＝2，c＝1

二、進階題

11.18 3 ＋3π 12.(1)2 3

 弧度；(2) 12π 公尺；(3) 30 公尺 13. ^{1 a2} a

 

14.(1) 12；(2) 12

5 15.－11 6

 ≤ x ≤－

6

 或 6

 ≤ x ≤11 6

 16.a＝10，b＝100π，c＝

6



三、歷屆試題

17.544 18.229 19.(1) 3

 ；(2) 2 2 4 6 3

  20.(E) 21.2－ 3 22.(C)(D)(E) 23.(E) 24.3.3 25.(D) 26.(A)(B)(C)(D) 27.(B) 28.(C) 29.(A)(C) 30.(E)

能力提升特訓

範例1 週期函數

設－2π ≤ x ≤ 2π，試作 y＝sin x＋│sin x│的圖形，並求其週期。

注意 (1) 當 sin x＞0 時，y＝sin x＋│sin x│＝2 sin x。

(2) 當 sin x＜0 時，y＝sin x＋│sin x│＝0。

解 畫出 y＝sin x 的圖形如下：

可知當 0＜x＜π 或－2π＜x＜－π 時，sin x＞0 而 π＜x＜2π 或－π＜x＜0 時，sin x＜0

(1) 當 0＜x＜π 或－2π＜x＜－π 時，y＝sin x＋│sin x│＝2 sin x (2) 當 π＜x＜2π 或－π＜x＜0 時，y＝sin x＋│sin x│＝0

故 y＝sin x＋│sin x│在－2π ≤ x ≤ 2π 的圖形如下：

圖形的週期為 2π 類題

設－2π ≤ x ≤ 2π，試作 y＝cos x－│cos x│的圖形，並求其週期。

解 畫出 y＝cos x 的圖形如下：

可知當3 2

 ＜x＜2π 或－

2

 ＜x＜

2

 或－2π＜x＜－3 2

 時，cos x＞0

而－3 2

 ＜x＜－

2

 或 2

 ＜x＜3 2

 時，cos x＜0

(1) 當3 2

 ＜x＜2π 或－

2

 ＜x＜

2

 或－2π＜x＜－3 2

 時，y＝cos x－│cos x│＝0

(2) 當－3 2

 ＜x＜－

2

 或 2

 ＜x＜3 2

 時，y＝cos x－│cos x│＝2 cos x 故 y＝cos x－│cos x│在－2π ≤ x ≤ 2π 的圖形如下：

圖形的週期為 2π

範例2 三角函數圖形的分析

下列五個圖形中，有一個是 y＝－x（sin x） 的部分圖形，判斷哪一個選項是該圖形？

(A) (B) (C) (D) (E)

注意 觀察（0，0）附近的圖形特徵。

解 y＝－x（sin x）的圖形通過點（0，0）

且當 0＜x＜

2

 時，其值為負，此時點（x，y）在第四象限

而－2

 ＜x＜0 時，其值為負，此時點（x，y）在第三象限 滿足這些條件的圖形僅有(E)，故選(E)

類題

已知下列五個圖形中有一個是 y＝－x（cos x） 的部分圖形，判斷哪一個選項是該圖形？

(A) (B) (C) (D) (E)

解 y＝－x（cos x） 的圖形通過點 （0，0）

且當 0＜x＜

2

 時，其值為負，此時點 （x，y） 在第四象限

而－2

 ＜x＜0 時，其值為正，此時點 （x，y） 在第二象限 滿足這些條件的圖形僅有(B)，故選(B)

補充資料

1. 先伸縮再平移：

y＝sin 2 x 3

   

  

 ：由 y＝sin x 平行 x 軸對原點伸縮1

2倍 1

2

 

 

每一點的橫坐標都乘以 ，

再向右平移 3

 。 2. 先平移再伸縮：

y＝sin 2 x 3

  

 

 ：由 y＝sin x 先向右平移 3

 ，再平行 x 軸對原點伸縮1 2倍 1

2

 

 

每一點的橫坐標都乘以 。 3. sin 2 sin 2

3 6

y  x   x 相當於將 y＝sin x 先平行 x 軸對原點伸縮1

2倍，再向 右平移6

 。比較此兩圖形，y＝sin 2 x 3

   

  

 在 y＝sin 2 x 3

  

 

 的右側 6

 單位。

範例3 平移與伸縮 將函數 y＝sin 2

x 4

  

 

 圖形上各點向右平移 2

 個單位後，再將圖形平行 x 軸伸縮 2 倍；

平行 y 軸伸縮 3 倍（每一點的縱坐標都乘以 3），試求所得的圖形函數關係。

注意 函數圖形的伸縮與平移。

解 (1) 將 y＝sin 2 x 4

  

 

 向右平移 2

 個單位，可得 3

sin 2 sin 2

2 4 4

y  x  x   (2) 將 y＝sin 3

2x 4

  

 

 平行 x 軸伸縮 2 倍，可得 y＝sin 3 x 4

  

 

 

(3) 將 y＝sin 3 x 4

  

 

 平行 y 軸伸縮 3 倍，可得 y＝3 sin 3 x 4

  

 

 

故最後所得圖形的函數關係為 y＝3 sin 3 x 4

  

 

 

類題

下圖為三角函數 y＝3 sin（ax－b） 的部分圖形，其中 a＞0 且 0＜b＜2π ，則下列各項敘 述何者成立？

(A) B＝－3 (B) b＝

6

 (C) C＝5 6

 (D) y 的週期為2 3



(E)其圖形可由 y＝3 sin 3x 向右平移 6

 而得

解 (A) ○：－1 ≤ sin（ax－b） ≤ 1 ∴－3 ≤ 3 sin（ax－b） ≤ 3，可得 B＝－3

(B) × ：函數圖形的週期為 2

2 2 6 3

  

 

  

 

∴此圖形為 y＝3 sin（3x） 向右平移 6

 個單位可得

故此圖形的函數關係為 3sin 3 3sin 3

6 2

y  x   x  ∴b＝

2

 (C) ○：C＝

6

 ＋2 3

 ＝5 6

 (D) ○：故週期為2

3

 (E) ○：y＝3 sin 3

x 2

  

 

 的圖形即 y＝3 sin（3x）向右平移 6

 個單位可得

故選(A)(C)(D)(E)