談天說地話數學

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數學百子櫃系列（四）

談天說地話數學

作者梁子傑

教育局

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版權

本書任何部分之文字及圖片等，如未獲版權持有人之書面同意，不得用任何方式抄襲、節錄或翻印作商業用途，亦不得以任何方式透過互聯網發放。

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前言

為配合香港數學教育的發展，並向教師提供更多的參考資料，課程發展處數學教育組於 2007 年開始蒐集和編撰一系列的文章，當中包括大學學者及資深老師的著作和講座資料，輯錄成《數學百子櫃系列》。本書《談天說地話數學》是這個系列的其中一冊，當中輯錄了梁子傑老師的十篇文章，有談及生活中的數學，也有講述數學發展的故事，文章內容豐富多彩。文章除可供教師參考外，亦可作為學生的讀物。本文集內各文章的內容只是作者的個人意見，與教育局無關。

本系列能夠出版，實在是各方教育工作者共同努力的成果。在此，謹向提供資料、撰寫文章的老師、學者，以及所有為本書勞心勞力的朋友，致以衷心的感謝。

如有任何意見或建議，歡迎致函：

九龍油麻地彌敦道 405 號九龍政府合署 4 樓教育局課程發展處

總課程發展主任（數學）收

(傳真： 3426 9265 電郵： [email protected] )

教育局課程發展處數學教育組

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鳴謝

荷蒙香港科技大學數學系及香港道教聯合會青松中學惠允教育局數學教育組轉載其刊物上的文章，特此申謝。

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作者簡介

梁子傑老師，1985 年畢業於香港大學數學系，並獲得一級榮譽學位。翌年於香港大學教育學院取得教育證書。2008 年於香港中文大學取得數學教育理學碩士學位。

自大學畢業後，梁老師一直從事中學數學教育工作，亦曾於 2004 至 2006 年間，借調教育統籌局數學教育組，協助編寫新高中數學課程。在過去的 10 多年間，梁老師經常在境內不同的刊物中，發表與數學教育有關的文章，亦到不同的學校演講，與學生和老師分享他研究和學習數學的心得。在過去，梁老師曾出版兩本著作，分別為《圖龜幾何》及《幾何原本導讀》。

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第一章為什麼要學習數學？

第一章為甚麼要學習數學？

數學，既是一門科學，亦是一門藝術，自古以來曾經有無數的學者歌頌她的偉大，亦願意將畢生的精力供獻在這門學科的研究之上。可是，當數學變成一個中學的課程時，情況便不再相同了！對於在數學科中表現平平，又或者強差人意的學生來說，他們往往會對這科目產生抗拒或不滿的情緒，「為甚麼要學習數學？」便成為他們經常掛在口邊的疑問了。

要回答「為甚麼要學習數學？」這個問題，我們便要明白學習數學的目的。在綜合很多數學家和數學教育工作者的意見之後，我們不難總結出三個學習數學的原因：一、以數學作為工具，解決生活中所面對的問題，以及解釋大自然中的種種現象；二、以數學作為思考訓練的平台，培養學生邏輯思考及推理分析的能力；三、透過研習數學的發展歷史，讓學生認識和欣賞人類文化的發展歷程。

有效工具

相信大家不會質疑數學的應用價值，簡單如計算長方形 面積的公式，即 A = b × l ，以至愛因斯坦相對論中的能量公 式， E = mc²，都用了數學符號來表達。至於這些公式背後的意義和證明，就更要數學來解釋了。

可能大家會覺得，我們並不是大科學家，在日常生活中，除了簡單的四則運算之外，便沒有使用課堂中所學到的東西了，那麼我們又如何談得上應用數學呢？

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其實，數學的應用不一定是將一些數學公式應用於生活之中。有些時候，運用一些數學的思想和分析方法，也可算是其中一種應用，只是大家沒有留意罷了。現在讓我們看一個關於數學應用的例子。

2003 年的春天，在香港出現了一件不幸事件，那就是非典型肺炎的爆發。在病毒散播的初期，由於人們並不認識這種新型的病毒，因此誤以為那疾病的殺傷力很弱。當時，當局估計患此病的死亡率為 3 至 4 %。但隨著疫情的發展，我們發現死亡率最後竟然高達 17 %，是原先估計的 4 至 5 倍！

那時候，有人認為可能由於政府故意隱瞞疫情的嚴重性，因此將死亡率說得小一點。但後來有專家指出，出現上述差別的原因是我們當初對死亡率的估算方法不正確所致。

首先，我們要明白，甚麼是「死亡率」呢？事實上，在學界中，學者對死亡率的定義也不是統一的，但為了方便以後的討論（亦相信讀者都會同意以下的那種簡單說法），我們將感染某種疾病的死亡率定義為：「因該種疾病而引至死亡的總人數與感染該種疾病的總人數之比。」

假如我們以 r 表示死亡率， T 表示在某天感染了非典型 肺炎的累積人數， D 表示在該天因患此病而死亡的累積人 數，那麼一個直接的想法就是用比率

T

D 來估計死亡率 r。

由表 1.1 的資料可以知道，在非典型肺炎爆發的初期，例如： 4 月 12 日，累積染病人數 T = 1180，累積死亡人數 D = 35，

因此死亡率 r 估計為 1108

35 × 100 % ≈ 3.16 %。但到疫情結束

後 ，有 T = 1755， D = 299 ，而 r 估計為 1755

299 × 100 % ≈

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17.04 % 。這兩個比率明顯有很大的差別。為甚麼？

日期 ^{累積染病人數}

（T）

累積死亡人數

（D）

累積痊癒人數

（R）

D

T × 100% D

D+R× 100%

2003.4.12 1108 35 215 3.16 % 14.00 % 2003.4.13 1150 40 223 3.48 % 15.21 % 2003.4.14 1190 47 229 3.95 % 17.03 %

… … … … … …

2003.4.28 1557 138 710 8.86 % 16.27 % 2003.4.29 1572 150 759 9.54 % 16.50 % 2003.4.30 1589 157 791 9.89 % 16.56 %

… … … … … …

2003.5.18 1713 247 1203 14.42 % 17.03 % 2003.5.19 1714 251 1213 14.64 % 17.14 % 2003.5.20 1718 253 1229 14.73 % 17.07 %

… … … … … …

2003.6.20 1755 296 1403 16.87 % 17.42 % 2003.6.21 1755 296 1408 16.87 % 17.37 % 2003.6.22 1755 296 1410 16.87 % 17.35 %

… … … … … …

疫情結束 1755 299 1456 17.04 % 17.04 % 表 1.1

其實只要大家細心想想便會明白，當疫情結束後，以比率 1755

299 來計算死亡率，與我們當初對死亡率的定義是沒有

分別的。但在疫情期間，單以一天內的累積染病人數與累積

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死亡人數之比來估計死亡率便有問題了。例如：在 4 月 12 日那一天，我們知道總共有 1108 人染病，死了 35 人，但餘下的 1108 − 35 = 1073 人之中，並非每一個人都會幸運地痊癒，當中亦會有一部分人過了幾天後會去世。因此單以

1108 35 來

估計死亡率，必定會有偏差。

或者我們從另一個角度看看這個問題。前面說過， D 表 示在某天內患非典型肺炎而死亡的累積人數，而按照定義， rT 便是由累積染病人數而推算出來的死亡人數。亦正如前面 所說，除非疫情結束了，否則這兩個數是不會相等的，而且 rT 應大於 D。不難理解， rT − D 應該表示撇除已經死亡的病 人之外，那些仍在生病而將會在未來數天不幸病死的人數。

現在再引入多一項資料 R，它表示在某天內的累積痊癒 人數，那麼 T − D − R 便應該等於感染了疾病但仍未痊癒或死 亡的人數。按照死亡率的意義，在這些病人當中，亦將會有 r(T − D − R) 人過身，而這個數字亦理應等於前面的結果， 即 rT − D = r(T − D − R)。刪去 rT，移項後得 r =

R D

D

+ ^。

從表 1.1 的最右欄看到，由上述比率所估計的死亡率一直都超過 14 %。到了 5 月的時候，更徘徊於 17 至 17.4 % 之間。由此可見這比率的可靠性，亦知道以

T

D 來估計死亡

率是不理想的。

事實上，這個例子更使我們明白到，如果能夠適當地應用數學來進行分析，那麼我們的確可以更有效地掌握資料，認清目前的形勢來做好準備。

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思考訓練

自古以來，人們重視數學教育的原因之一，就是數學是一個思考訓練的理想場地。在數學世界裏，我們會面對不同的數學問題，通過認識和解決那些題目，不單可以令自己的思想變得更有系統和更具邏輯性，更可以加強我們表達和溝通的能力。

大家不妨想想以下的問題：「植樹九株，使成十行，每行有樹三株，當用何法？」

對於這道題，一個很自然的想法就是如圖 1.2 般，將 9 株樹排成一個 3 × 3 的方陣。但數一數當中的行數後，我們卻發現方陣中只有 8 行樹，離題目的要求還差 2 行！所以這不是正確的解答。

圖1.2

如果我們就此將這個解答捨棄，那麼便非常可惜了。其實，只要我們細心分析上面解答失敗的原因，或許我們可以從中找到解決問題的方法。事實上，目前我們只欠 2 行便可符合題目的要求。為了達到目的，我們應該仔細分析一下目前所處的狀況。

細心看看圖 1.2，圖中有 1 株樹是很特別的，那就是位於正中央的那株樹。那樹有 4 條直線經過它，因此負起構造 4 行樹的責任。在正方形 4 個角上的樹，每一株都有 3 條直線

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經過它們。至於其餘在 4 邊上的 4 株樹，它們的「供獻」最小，每株樹只有 2 條直線經過它們。

到這裏我們要想想：為甚麼位於中央的那株樹會有 4 行樹經過它，而 4 邊上的樹卻只得 2 行呢？原來位於中央那樹的八個方向都有別的樹包圍著，而 4 邊上的樹只得 3 個方向上有樹，因此經過它的直線數量自然比中央那株樹小了。為了增加樹的行數，最自然的想法就是移動 4 個角上的樹，使在邊上的樹會有更多別的樹包圍著它們。

按照上述的想法，將正方形 4 個角分別向左方和右方移動，使它成為圖 1.3 的形狀，雖然這樣做會破壞了原本的 2 條垂直線，但卻增加了 4 條斜線，如此減 2 加 4，便得到 10 行樹的分佈，我們由此獲得一個圓滿的解答！

圖 1.3

另一道和大家分享的習題是這樣的：「有桶三個，容量分別為 8 升、5 升和 3 升。8 升的桶裏裝滿了牛奶，其餘兩桶是空的。只用這三個桶，怎樣把牛奶平均分成兩份？」

這道題不難解，大家胡亂地嘗試幾次，或者都可以找到答案。但如果想有一個較為系統化的結果，那麼便要分析一下題目所提供的數字了。假如我們要將 8 升的牛奶平均地分成兩份，則每一份為 4 升。現在我們有一個較小的桶，它的容量是 3 升，所以只要我們能夠量出 1 升的牛奶，那麼便會

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有 3 + 1 = 4 升的牛奶，問題便解決了。但如何量得 1 升的牛奶呢？

由於我們有一個 5 升的桶，因此只要利用那 3 升的桶量度牛奶 2 次，得 6 升，同時利用那個 5 升的桶來量出當中 5 升的牛奶，便可以分出 1 升的牛奶了！具體的量度方法，可以用以下的符號來表示：

(8 , 0 , 0) → (5 , 0 , 3) → (5 , 3 , 0) → (2 , 3 , 3) → (2 , 5 , 1)

→ (7 , 0 , 1) → (7 , 1 , 0) → (4 , 1 , 3) → (4 , 4 , 0) 相信不用多解釋，大家都可以明白上述符號的意思了。

這裏，我們同時可以感受到數學的威力，那就是以極簡單的符號來表達複雜的意思。試想想，如果我們將上述的量度過程化成文字，那麼將會變得長篇大論，而且亦不容易看懂。由此可見，雖然很多人當看到大量的數學符號時，會感到十分害怕，但是數學家卻是為了精簡文字，因而設計了這些有用的符號。

文化繼承

人類研究數學，至少也超過了 5000 年。在這段期間，有無數的學者為這學問作出了供獻，豐富了我們的知識，並將我們的社會建設成今天的面貌，我們理應好好地保存這個重要的文化遺產。

在這裏，我想為大家介紹一部中國古代的數學巨著《九章算術》。

《九章算術》是從西漢（公元前 2 世紀）流傳下來的一部古籍，是我國流傳至今最古老的數學文獻之一。它經過多

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個朝代的數學家研究、整理和補充，然後才變成今天的模樣。但此書的作者是誰，現已無從稽考了。此書一共分成九章，當中收集了很多不同性質的數學問題和它們的解答。由於它的內容豐富，並且論述大體正確無誤，因此一直獲得中外人士給予極高的評價。書中第七章叫「盈不足」，主要是討論一些合資買賣時所遇到的問題。當中的一道題是這樣的：「今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六。問人數、雞價各幾何？」

題目的意思是說：現在有一些人合資買雞，如果每人出 9 元，那麼買雞後便剩下 11 元；如果每人出 6 元，那麼還欠 16 元才能付清雞價。問共有多少人買雞，而雞價又是多少？

在今天，當遇到這類題目時，我們通常會設立聯立方程來求解：

解 設人數為 n，雞價為 t 元。

則 9n = t + 11 ... (1) 6n = t − 16 ... (2) (1) − (2) : 3n = 11 − (−16) = 27

n = 9

6 × (1) : 54n = 6t + 66 ... (3) 9 × (2) : 54n = 9t − 144 ... (4) (4) − (3) : 0 = 3t − 210

t = 3

210 = 70

∴ 人數為 9，雞價為 70 元。

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在《九章算術》中，作者提出了以下一個很特別的解題方法：「盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以為實。并盈、不足為法。 ……盈不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實為物價，法為人數。」

上文的方法是先將題目中有關的數字列成下列方陣：

所出率 9 6

盈不足 11 16

然後以「維乘」，即我們今天所說的「交叉相乘」，計算出一個數，叫做「實」，即實 = 9 × 16 + 6 × 11 = 210。又以將「盈」、「不足」兩數之和設定為「法」，即法 = 11 + 16 = 27。

再稱所出錢之差為「餘」，即餘 = 9 − 6 = 3。

這時候，雞價 = 實 ÷ 餘 = 210 ÷ 3 = 70，

人數 = 法 ÷ 餘 = 27 ÷ 3 = 9。

如果大家仔細比較《九章算術》的方法和前面解聯立方程的方法，不難發現這兩個方法是一致的。而透過術文中的一些簡單「口訣」，我們更可以直接地解每一道與盈不足有關的問題，毋須每次都設聯立方程了！

大家是否同意，我們祖先的智慧是非常值得我們學習和保留的呢？

怎樣可以學好數學？

其實，當學習某一個學科出現困難時，便立刻質疑學習這個學科的目的和原因，態度上是過於消極了。所以當我們學習數學出現困難時，與其問：「為甚麼要學習數學？」倒不

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如積極地想一想：「怎樣可以學好數學？」不是更積極、更有建設性和更有意義嗎？

要學好一個學科，必定要培養對這個科目的興趣。數學科的趣味，正正由於它十分困難！試想想，古人從看似雜亂無章的大自然中，慢慢地找出事物的規律，因而發展出今天的數學內容，不是很有趣和有意義嗎？當我們面對一道數學題，幾經探索和思量，然後找到了正確的答案，不是很有滿足感和令人興奮嗎？

其實，數學本身就充滿著無窮的妙趣。中國近代數學家華羅庚教授曾經說：「認為數學枯燥無味，沒有藝術性，這看法是不正確的。就像站在花園外面，說花園裏枯燥乏味一樣。」^(*)

當然，我們亦不得不承認，這個「數學花園」的入口有一條很高、很長的梯級，要觀賞到花園內美麗的花朵，便非要下一番苦功、努力地走一段崎嶇的路不可。每當遇到一些較為困難的問題時，我們應該抱著不輕言放棄的態度，多動腦筋，克服困難，找出自己的不足和經常犯的錯誤，避免下次再重蹈覆轍，那麼成績才會有進步。

讓我再為大家舉一個例子。相信大家都有學過一些簡單 的指數規律，例如： a^m × aⁿ = a^{m + n}、 a^m × b^m = (ab)^m。即當計算 3² × 3⁵時，我們可以使用第一式得 3² × 3⁵ = 3⁷；當我們計算 2⁴ × 5⁴時，我們可以使用第二式得 2⁴ × 5⁴ = 10⁴。不過，當計算 2 × 4³時，很多人都會錯誤地以為可以使用第二式得 2 × 4³ = (2 × 4)³ = 8³，但這是不正確的。

(*) 見「和同學談談學習數學」，原載於1955 年 1 月「中學生」，後來轉載於（1984）

《華羅庚科普著作選集》，上海：上海教育出版社。

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大家有沒有留意到，無論在上面的第一式或者第二式 中，雖然我們好像都在簡化形如 a^m × bⁿ的算式，但是仔細地看看便會發現，其實在上述兩式的左方都要求最少有一個變 數是相等的，即第一式要求兩底（ a）相等，而第二式則要求 兩指數（ m）相等。而在 2 × 4³中，前面「2」的指數是 1，

後面「4」的指數是 3，它們互不相等，因此根本不能使用任何一式來簡化！

事實上，我們應先將 4³改寫成 4³ = (2²)³ = 2⁶，再使用第一式，才能得到一個合情合理的答案，即 2 × 4³ = 2 × 2⁶ = 2⁷。

由此可見，我們學習數學，除了可以訓練我們的分析和思考能力，以及認識自然界的規律之外，更重要的，是令我們明白，只有依循那些規律進行運算和推理，才能夠得到正確的答案。假如我們不用心地學習，盲目地亂試亂碰，根本不可能得到任何成果。

其實，人生在世，我們待人處事的態度，何嘗不是這樣呢？就讓我們一同學好數學，從而領悟當中的美麗和做人的道理吧！

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思考題

1. 植樹 16 株，使成 15 行，每行有樹 4 株，當用何法？ 2. 本文提到平分 8 升牛奶的方法其實並非「最佳解答」。即

是說，文中的解答所需的步驟比較多，大家能否想出一個步驟更少的解答呢？

3. 若將文中平分牛奶問題的條件改為：「有桶三個，容量分別為 10 升、6 升和 4 升。10 升的桶裏裝滿了牛奶，其餘兩桶是空的。」問只用這三個桶，能否把牛奶平均分成兩份？為甚麼？

4. 試以《九章算術》的方法解以下同樣出自「盈不足」章的問題：

今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。問家數、牛價各幾何？

5. 在一次測驗中，小明用了以下的方法錯誤地簡化下面左方的算式。試幫助小明找出錯誤的地方，及向他解釋其錯誤的原因及改正的方法。

n n n

4 2

4 8 4

3 ²

⋅

−

⋅ ⁺

= n

n n

8 32 12 ⁺² −

= 4 (2) ) 8 3 ( 4 ²

n

n −

= 2

8 9−

= 2 1

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第二章國慶日與中秋節

眾所周知，國慶日是西曆的 10 月 1 日，而中秋節則是農曆的 8 月 15 日。這兩個節日都是每年秋季的重要日子。不講不知，雖然這兩個節日是從兩個不同的曆法所得出來的，但它們也有「相遇」的一天。例如：2001 年的 10 月 1 日，亦是農曆的 8 月 15 日，國慶日和中秋節剛好在同一天。究竟這只是一個巧合的現象，還是在背後有一個規律呢？

翻查《萬年曆》^(*)，我們不難發現，1982 年和 2020 年的國慶日，剛好亦是中秋節！算一算亦會發現，1982、 2001 和 2020 之間剛好相隔了 19 年。換句話說，西曆中的國慶日和農曆中的中秋節，每隔 19 年便會相遇一次！可能大家會懷疑，為甚麼一定要等 19 年，那兩個節日才會相遇呢？為了明白 19 年循環的奧秘，我們先要明瞭究竟「西曆」和「農曆」是怎樣制定出來的。

我們現時所採用的西曆，顧名思義，就是一套從西方傳入的曆法系統。遠在古羅馬時期，西方就已經有「年」這個概念。及後亦將地球環繞太陽公轉一周所需的時間定為「1 年」。通常我們會說 1 年有 365 日，即是說地球自轉了 365 次

（日），它便環繞太陽公轉了 1 次（年）。如果地球自轉時間和公轉時間之比，剛好是一個整數，那麼一切便好辦了。但很可惜，經過仔細的天文觀測後發現，地球環繞太陽公轉較精確的時間應為 365 日 5 小時 48 分 46 秒，即約 365.2422 日。

(*) 《萬年曆》是一本西曆和農曆的對照表，載有相應的年份、日期、星期、節氣等資料。

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故此，1 年有 365 日的說法，和地球公轉所需的實際時間，約有 0.2422 日的偏差。

相信大家都知道，我們每 4 年便會在第 4 年中增加一天

（即該年的 2 月 29 日），目的就是為了彌補上述的差別。注意，0.2422 × 4 = 0.9688，而 1 − 0.9688 = 0.0312 日，約等於 44 分 56 秒。換句話說，使用了「四年一閏」的曆法，我們每隔 4 年便可以將上述的差別減少至 4 年才相差 44 分 56 秒。

相信這是一個較佳的處理辦法了。

由於西曆是按照太陽和地球的關係而制定出來的，因此亦有人將西曆稱為「陽曆」。而為了方便後面的討論，我們稱地球公轉所需的時間（即 365.2422 日）為 1 個「太陽年」。

農曆的曆法比西曆稍為繁複。有人稱農曆為「陰曆」，這是因為農曆主要是根據月球環繞地球公轉所需的時間來制定的。根據觀測，月球環繞地球公轉一周所需的時間亦不是一個整數，而是 29 日 12 小時 44 分 2.8 秒，即約 29.5306 日。故此，在農曆裏，1 個月有時候是 29 日，亦有時候是 30 日。一個月究竟有多少日是由月缺和月圓的時間來決定的。通常，我們會將月圓的那一天定為每月的第 15 日。同樣，為了方便後面的討論，我們稱月球環繞地球公轉所需的時間（即 29.5306 日）為 1 個「太陰月」。

將 1 個太陽年和 1 個太陰月的日數相除，得 365.2422 ÷ 29.5306 = 12.368262。由此可知 1 個太陽年比 12 個太陰月多出 0.368262 個太陰月，約 10 日 21 小時。如果我們將 1 個農曆年定為 12 個月，那麼每過 1 年，我們便要提早差不多 11 天過新年了！這樣的曆法會引致很多混亂和困擾的情況。例如：某農夫發覺今年農曆 3 月 1 日天氣回暖，春天到了，適

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合播種，那麼到了第二年便要改於 3 月 12 日播種，第三年便要改於 3 月 23 日。十年後便要在 7 月才開始耕種，二十年後便要到 11 月了！

為了解決上述的困難，農曆的曆法亦好像西曆「四年一閏」的制度一樣，會在適當的年份之中多加一個月（即閏月）來調節上述的差距。要推算出這個合適的年份亦十分簡單，就是直接將每年多出來的時間（即 0.368262 個太陰月）累積地加起來，如果剛好超過或十分接近 1 個太陰月，那麼就可以在該年加插一個閏月了。

例如：第 1 年多了 0.368262 個太陰月，第 2 年便會多出 0.736524 個太陰月，第 3 年將會多出 1.104786 個太陰月。這時剛好多於 1 個太陰月，所以我們就在第 3 年中加添一個閏月，因而得到農曆「三年一閏月」的規律。

但「三年一閏月」這個方法並不完美，原因是即使增加 1 個閏月， 3 年後仍然和實際的太陽年相差了 0.104786 個太陰月，約 3 日 2 小時。這個差距依然很大。為了建造一個更好的曆法，我們可以繼續算下去，從而得到表 2.1。

從表 2.1 可以看到，當過了 8 年後，雖然差額只有 2.946096 個太陰月，不足 3 個太陰月，但這個數字卻和 3 十分接近，故此，在農曆的曆法中，亦有「八年三閏月」的規定，即除了在第 3 和第 6 年分別插入 1 個閏月外，亦在第 8 年再加插 1 個閏月。這樣，雖然只是相隔了一年，我們又再有 1 個閏年了。類似地，到了第 16 年，就應該有 6 個閏月。

注意，按「八年三閏月」的規定推算，8 年後太陽年和農曆年應該相差了 3 − 2.946096 = 0.053904 個太陰月，即約 1 日 14 小時。亦即是說 8 年後的農曆年和太陽年其實只有一至

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年數累積差額（太陰月）與最接近整數之差 1 0.368262 0.368262 – 0 = 0.368262 2 0.736524 1 − 0.736524 = 0.263476 3 1.104786 1.104786 – 1 = 0.104786 4 1.473048 1.473048 – 1 = 0.473048 5 1.841310 2 − 1.841310 = 0.158690 6 2.209572 2.209572 – 2 = 0.209572 7 2.577834 3 − 2.577834 = 0.422166 8 2.946096 3 − 2.946096 = 0.053904 9 3.314358 3.314358 – 3 = 0.314358 10 3.682620 4 − 3.682620 = 0.317380 11 4.050882 4.050882 – 4 = 0.050882 12 4.419144 4.419144 – 4 = 0.419144 13 4.787406 5 − 4.787406 = 0.212594 14 5.155668 5.155668 – 5 = 0.155668 15 5.523930 6 − 5.523930 = 0.476070 16 5.892192 6 − 5.892192 = 0.107808 17 6.260454 6.260454 – 6 = 0.260454 18 6.628716 7 − 6.628716 = 0.371284 19 6.996978 7 − 6.996978 = 0.003022 20 7.365240 7.365240 − 7 = 0.365240

表 2.1（加插閏月的年份以粗體表示）

兩天的差距。例如：1990、 2009 和 2028 年的中秋節，都在西曆的 10 月 3 日，和國慶日只相差了 2 天。

但一個更少的差距出現在第 19 年。如果我們定「 19 年 7 閏月」，那麼太陽年和農曆年就只相差 7 − 6.996978 = 0.003022 個太陰月，即約 2 小時！試想想：若果在 19 年的漫

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長歲月中，當設定了 7 個閏月之後，兩種曆法其實只相差 2 小時，這是一個多麼精確的結果！這亦是 19 年循環的原因。

不過，大家亦要明白，即使使用了「19 年 7 閏月」的設定，亦不表示一年中的每一天都會在 19 年後重複一次。以國慶日和中秋節為例，雖然 1982、 2001 和 2020 這 3 年中，這兩個節日都是在同一天發生，但 2039 的中秋節則在西曆的 10 月 2 日，卻與國慶日相差了 1 天！為甚麼會這樣呢？

其實，理由也很簡單，因為「太陽年」和「太陰月」的日數都不是整數，而我們實際使用的西曆和農曆，每一年和每一個月的日數都必須是整數。西曆每逢第 4 年便會多加一日，而由於 4 和 19 之間並沒有大於 1 的公因數，因此兩個曆法每 76 年才能重合一次。另外，農曆的月份亦有長有短，有時候是 29 日，有時候是 30 日，所以會引致部分預期中的日子和它的實際日期有一天的差距。

思考題

1. 各位讀者，你滿 19 歲了嗎？試從《萬年曆》中找找，當你 19、 38 或 57 歲時，你的西曆生日日期是否和農曆生日日期相同呢？又，當你 8、27 或 46 歲時，你的西曆生日日期是否和農曆生日日期只相差一至兩天呢？

2. 假如你出生於 2000 年的 3 月 1 日，那麼到了 2019 年，你的西曆生日和農曆生日又是否在同一天呢？為甚麼？試從《萬年曆》中找出答案。

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第三章雙春兼閏月

每逢春節（即農曆年的正月初一），總會有一些堪輿學家，在報章或電視上預測新一年的「流年運程」。每隔數年，便會聽到他們說新的一年是「雙春兼閏月」，適宜嫁娶云云。其實大家知不知道，甚麼是「雙春兼閏月」呢？

先談「閏月」。農曆主要是根據月球環繞地球公轉所需的時間來制定的。月球環繞地球公轉一周約需 29.5306 日。故此，在農曆裏，1 個月有時候是 29 日，亦有時候是 30 日，而這是依據月缺和月圓的時間來決定的。通常，我們會將月圓的那一天定為每月的第 15 日。

同時，地球環繞太陽公轉一周約需 365.2422 日（稱之為

「太陽年」）。如果將 1 個農曆年定為 12 個月，即 29.5306 × 12

= 354.3672 日，那麼 1 個農曆年便會比 1 個太陽年少 10.875 日了。很明顯，3 個農曆年便會比 3 個太陽年少超過 1 個月！因此，相對於太陽年而言，我們便會越來越早過春節了。

為了彌補這個差距，農曆的曆法便引入一個「閏月」的制度。在一個適當的年份中，增加 1 個月，從而將春節「推遲」，使農曆年可以和太陽年的時間大致上配合。換句話說，在這個農曆的「閏年」之中，1 年便會有 13 個月了。

如果沒有閏月的制度，那麼我們便會不斷地提早過春節了。但如果要引入閏月的制度，那麼我們又應該在哪一年加插閏月呢？

要回答這個問題，我們先要了解農曆曆法中的「節氣」。

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第三章雙春兼閏月

雖然農曆是以月球公轉的周期為基礎，但它並沒有忽略地球和太陽的關係。根據曆法，我們將地球環繞太陽公轉的軌道平均地定出 24 個位置，並稱相應的日期為「節氣」。每一個節氣有一個獨特的名稱，它們分別是：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、穀雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒和大寒。顧名思義，這些節氣的定立，是為了幫助農民掌握四季變化的規律。由於 1 個太陽年約有 365.2422 日，因此 2 個節氣之間便大約相隔 365.2422 ÷ 24 = 15.218425 日了。

另一方面，由於西曆的曆法也是以地球繞環太陽的時間為基礎，因此每年 24 節氣的西曆日期便大致相同。例如：立春通常會在西曆的 2 月 4 日，雨水在 2 月 19 日，清明在 4 月 5 日，冬至在 12 月 22 日，大寒則在 1 月 20 日等。

前面說過，2 個節氣相隔了 15.218425 日，那麼 3 個節氣便一共相隔了 30.43685 日，剛好比 1 個農曆月（ 29.5306 日）多了少許。所以在一般的情況下，1 個農曆月內可以有 1 個或 2 個節氣，但絕少在同一個月內有 3 個節氣。

關於應在何年加插閏月的問題，答案原來很簡單，只要在曆法上規定每年正月的第一個節氣，必定是立春或雨水，那麼我們就可以判斷哪一年要加插閏月了。

例如：2003 年的 2 月 1 日是農曆的正月初一，因為這天比立春（2 月 4 日）早，但比大寒（ 1 月 20 日）遲，正月的第一個節氣為立春，所以沒有問題。12 個月後，因為農曆年比太陽年短，正月初一提早至 2004 年的 1 月 22 日，這一天亦介乎於大寒和立春之間，所以亦沒有問題。但再過 12 個

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月，問題來了。12 個月後的初一應該是 2005 年的 1 月 10 日，

這一天比大寒早，所以不可能成為正月初一；否則該年的第一個節氣，便會變成大寒了。因此我們就將之前一年的農曆年定為閏年（即將 2004 年所對應的農曆年定為閏年，有 13 個月），而 2005 年的農曆正月初一，則順延至 2 月 9 日。由於 2 月 9 日比雨水早，因此該年的第一個節氣為雨水，並沒有違反上述的規定。

大家細心地數數亦不難發現：2004 年的農曆年由 1 月 22 日開始，至翌年的 2 月 8 日結束，這段段時間一共跨過了兩次立春（即 2004 年和 2005 年的 2 月 4 日），所以便有人稱這一年為「雙春」了。

由於 1 個月內最多只能有 2 個節氣，由立春到下一次立春，前後一共經過 25 個節氣，因此如果 1 年只得 12 個月，那麼是不可能有「雙春」的。但如果那一年有 13 個月（亦即是一個閏年），那麼「雙春」便有機會出現了。正因此，我們可以說，每逢「雙春」的年份，就必定要有「閏月」。

那麼有「閏月」的年份，是否必定是「雙春」呢？由立春到下一次立春，剛好是一個太陽年，共 365.2422 日。前面提過，我們規定了每年正月的第一個節氣，必定是立春或雨水。因此如果某閏年的第一個節氣是立春，即使立春的日期比較遲，也不會比正月初一遲超過 15.218425 日；否則該年的第一節氣便是大寒，那是不可能的。而 365.2422 + 15.218425 = 380.460625 日，比 29.5306 × 13 = 383.8978 日為少，所以即使該年的立春遲了開始，下一次的立春亦必定包括在這個閏年之內。

另一方面，按照同樣的推理，如果一個閏年開始的第一

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第三章雙春兼閏月

個節氣是雨水，那麼下一次的雨水亦同時包括在這閏年之內，但這是不可能的；否則下一年的第一個氣節，將會是雨水之後的節氣，違反了每年由立春或雨水開始的規定。因此，在閏年之中，該年的第一個節氣必定不會是雨水，而是立春，亦將會於下一個立春之後結束。換句話說，每逢有「閏月」的年份，該年就必定是「雙春」了。

「雙春兼閏月」的那一年是否真的適宜嫁娶，實在是見仁見智。但因為「雙春」必須「閏月」，而「閏月」則必定「雙春」，所以在名稱上用了一個「兼」字（彷彿暗示了「雙春」和「閏月」並不容易同時發生），似乎有點誤導了！

最後還有一個問題可以討論：在一個閏年之中，我們應該將哪一個月定為「閏月」呢？原來答案亦很簡單。在一個閏年中，一共有 13 個月和 25 個節氣，當中應該有 12 個月包括 2 個節氣，而剩下的 1 個月只有 1 個節氣。因此，我們便將只得 1 個節氣的那個月定為閏月。例如： 2004 年中的農曆閏二月（由 3 月 21 日至 4 月 18 日），它只得 1 個節氣清明，所以就將它設定為閏二月，而不是該年的「三月」了。

一點補充

本文內的一切推算都以一個非常重要的假設為基礎，就是一個農曆月份之內不會出現 3 個節氣。雖然這是一個極之罕見的情況，但在 1984 年 12 月 22 日至 1985 年 1 月 20 日期間（即農曆的十一月），一共有 3 個節氣：冬至、小寒和大寒，所以當年的閏月設定等規則，和本文所提及的有所出入。不過既然這是一個很罕有的情況，有關的規則便不作討論了。

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探究題

1. 試找出 24 個節氣在西曆中的對應日期及它們名稱的意義。

2. 本文提出了一個設定每年正月的規則，即「每年正月的第一個節氣，必定是立春或雨水」，但有另一種學說規定：「每年正月初一為去年冬至之後的第二次新月（即農曆月份的第一天）」。試探究由以上兩個不同規定所得到的曆法是否相同。

參考書目

1. 鄭瑩、余宗寬著，蔡章獻審定（1995）。《時間與曆法》。

台北：銀禾文化事業有限公司。

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第四章復活節

大家有沒有發覺，每一年復活節的日期都是不同的呢？有時候我們早在 3 月底便過復活節，但有時候要等到 4 月下旬才是復活節（見表 4.1）。為甚麼這個節日會如此飄忽不定呢？每年復活節的日期是根據甚麼準則來確定的呢？

年份復活節日期

2001 4 月 15 日 2002 3 月 31 日 2003 4 月 20 日 2004 4 月 11 日 2005 3 月 27 日 2006 4 月 16 日 2007 4 月 8 日 2008 3 月 23 日 2009 4 月 12 日 2010 4 月 4 日 2011 4 月 24 日 2012 4 月 8 日

表 4.1

不講不知，如果你翻查一本比較舊版的英文字典（例如：由牛津大學出版社於 1963 年出版的《現代高級英漢雙解辭典》），便會發現字典中已經清楚寫出 “Easter”（即復活節）日期的規定。它是這樣寫的：「復活節， ……，是在 3 月 21 日或該日後之月圓以後的第一個星期日。」（英文原句為：

“Easter, … , observed on the first Sunday after a full moon on or

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after 21 March.”）^(*) 原來，復活節的日期，是經由三個曆法所確定的，怪不得它會如此飄忽不定了！

那麼，究竟是哪三個曆法呢？現在就讓我為大家逐一介紹：

西曆

首先要介紹的，就是我們現時俗稱的「西曆」。顧名思義，

西曆是沿自歐洲，是「西方人」所使用的曆法。這曆法主要是根據地球環繞太陽公轉一周所需的時間來制定的。一般來說，一年共有 365 日。但由於這個數字和地球公轉一周所需的實際時間少了約四分之一日，因此每隔 4 年，便會在第 4 年多加 1 天，該年會有 366 日，並稱該年為「閏年」。

為了方便記錄每一天的日期，我們亦將一年分為 12 個月。而 3 月 21 日當然是每年第 3 個月的第 21 天了。大家可能會問：「這個日子有甚麼特別呢？復活節的日期為甚麼要從這一天開始計算呢？」

我們要知道，地球的自轉軸和公轉軸並不是互相平行的，而是有一定程度的傾斜（見圖 4.2）。正因如此，當地球繞著太陽公轉時，地球面向太陽的角度便會不斷改變，從而令到不同日子中白天的長度和黑夜的長度出現差別。如果我們在北半球生活，那麼我們會發覺大約在每年 4 月至 9 月期間，白天的時間往往比黑夜的時間長，即是所謂的「日長夜短」現象；而大約由 10 月至翌年的 3 月，則變成「日短夜長」。在這一個變化過程中，自然會有一天的日照時間最長，又會

(*) 在近期出版的大多數英文字典中，都將 “Easter” 一條解釋為：「三月或四月的某個星期日，基督徒用來紀念基督的復活。」（“the Sunday in March or April when Christians celebrate Christ’s return to life.”）

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第四章復活節

有一天的日照時間最短。天文學家稱日照時間最長的那一天為「夏至」，這一天通常是每年的 6 月 21 日；而日照時間最短的那一天為「冬至」，大約在每年的 12 月 22 日。

與此同時，在這兩個日子的轉換之間，亦應該有兩天的白晝長度會剛好和黑夜的長度相等。介乎於「夏至」和「冬至」之間，日夜兩段時間剛好相同的一日，天文學家稱之為

「秋分」，大約在 9 月 23 日。相反，由「冬至」至翌年「夏至」，日夜長度剛好相同的一日，天文學家便稱為「春分」，

大約在 3 月 21 日（在某些年份中，春分日會提前至 3 月 20 日，見表 4.3），亦即是前面提到，開始計算復活節日期的那一天了！

圖4.2

從天文學家的角度來看，一年的開始不應是每年的 1 月 1 日，而是 3 月 21 日，即春分日。因為從這天開始（對北半球的人來說），白天比黑夜的時間會一天比一天多，象徵著冬天正式的結束和夏天的來臨，所以是一個快樂和喜悅的日子。

陰曆

與西方人不同，我們中國人的曆法主要以月球環繞地球

冬至春分

秋分夏至

太陽

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所需的時間為基礎（可能我們對月亮有較濃厚的感情吧！），

所以稱為「陰曆」。又因為我國「以農立國」，所以我們使用的陰曆，亦稱為「農曆」。

我們知道，月球環繞地球一周約需 29.5306 日，故此農曆中的一個月，有時候有 29 日，亦有時候有 30 日。不過，我們的曆法有一個特色，就是我們會將月圓的日子定為每月的第 15 天。所以，如果我們想知道在一個月中，哪一晚會有月圓，我們只要在日曆中找出農曆月份的 15 日便可以了，十分簡單。

回到我們有關確定復活節日期的問題，如果我們想知道春分之後的哪一天會有月圓，那麼我們便要找一本《萬年曆》來幫忙了。《萬年曆》是一本西曆和農曆的對照表，可以讓我們容易地找出兩個曆法中相應的日期。表 4.3 列出了春分日和其後之月圓日的關係。

從表 4.3 可見，如果春分那天之後不久便月圓（例如 2008 年），那麼我們便會很早過復活節了。如果月圓之後才是春分日（例如 2011 年），那麼我們便要等一段較長的時間才會過復活節。

據瞭解，基督的信仰起源自猶太民族，而猶太人的曆法和中國人的曆法同樣以月亮的運行規律來制定，因此復活節便和陰曆連繫起來。

星期

第三個曆法是一個大家都習以為常，不易察覺，但又對我們影響得最深的曆法，這就是一星期 7 日的制度。大家不妨想想，我們生活的規律在不知不覺間，已深受這制度所影

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第四章復活節

年份春分日春分後的月圓日

2001 3 月 21 日

（農曆2 月 27 日）

4 月 8 日

（農曆3 月 15 日）

2002 3 月 21 日

（農曆2 月 8 日）

3 月 28 日

（農曆2 月 15 日）

2003 3 月 21 日

（農曆2 月 19 日）

4 月 16 日

（農曆3 月 15 日）

2004 3 月 21 日

（農曆閏2 月 1 日）

4 月 4 日

（農曆閏2 月 15 日）

2005 3 月 21 日

（農曆2 月 12 日）

3 月 24 日

（農曆2 月 15 日）

2006 3 月 21 日

（農曆2 月 22 日）

4 月 12 日

（農曆3 月 15 日）

2007 3 月 21 日

（農曆2 月 3 日）

4 月 2 日

（農曆2 月 15 日）

2008 3 月 20 日

（農曆2 月 13 日）

3 月 22 日

（農曆2 月 15 日）

2009 3 月 20 日

（農曆2 月 24 日）

4 月 10 日

（農曆3 月 15 日）

2010 3 月 21 日

（農曆2 月 6 日）

3 月 30 日

（農曆2 月 15 日）

2011 3 月 21 日

（農曆2 月 17 日）

4 月 17 日

（農曆3 月 15 日）

2012 3 月 20 日

（農曆2 月 28 日）

4 月 5 日

（農曆3 月 15 日）

表4.3

響了。例如：星期一上補習班、星期二看電視片集、星期三參加課外活動、星期日休息等等。

復活節必定在星期日舉行。可能有人會奇怪，每年復活節我們皆享有 4 天的假期，通常由星期五開始，直至星期一

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結束，為甚麼復活節會定於星期日那一天呢？

原來，根據《聖經》上面的記載，耶穌基督被門徒出賣，繼而被帶上法庭，並在星期五被人釘死於十字架上。由於猶太人的法律，星期六是安息日，一切活動都要停止，因此，基督的追隨者只好在星期五日落前將基督的遺體草草安葬在一個墓穴內，便匆匆離開。到了星期日早上，當人們再次到基督的墓穴時，便發現不見了耶穌的屍首，同時知道耶穌基督已經復活了。自此，基督徒便將紀念基督復活的星期日稱為「復活節」，這就是復活節的起源。而同時，復活節之前的星期五，便定為「受難節」。

至於公眾假期為何會伸延至星期一，這是因為在香港，每個星期日本身已是法定假期，所以政府便將星期一定為假期來補償。

另一方面，我們知道春分月圓之後的第一個星期日是復活節，但我們如何得知月圓那天是星期幾呢？最簡單的辦法是翻查《萬年曆》。一般的《萬年曆》會同時紀綠某天的日期和星期的資料。不過，我們亦可以利用一些數學方法，計算出一年中的某天應該是一星期中的哪一天。

方法很簡單，我們先找出一個方便記憶並且同時是星期一的日子。例如：我們知道 2001 年 1 月 1 日是星期一（這個日子的確非常容易記憶！）。然後數一數我們想要計算的日子離上述日期一共有多少天（包括首尾兩天）。將這個結果除以 7，若整除，即餘數等於 0，則表示那天是星期日；若餘數是 1，則表示那天是星期一；若餘數是 2，則那天便是星期二了；餘此類推。

事實上，因為星期是每 7 天一個循環，所以如果將星期

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第四章復活節

一當作第 1 天，那麼以後的第 8 天、第 15 天等，都必定會是星期一。留意：將 8 或 15 等除以 7，所得的餘數是 1。因此凡餘數為 1 時，那天就應該是星期一了。類似地，星期二、星期三等，都可按照相同的道理推算出來。為方便後面的討論，我們亦稱這個用來計算星期幾的數字為「星期數」。

讓我舉兩個實際的例子來說明。例如：2001 年的 4 月 8 日（該年春分後的第一個月圓日），它離 1 月 1 日共 31 + 28 + 31 + 8 = 98 日，將 98 除以 7，剛好整除，沒有餘數，那麼我們便可以知道 4 月 8 日是星期日了。由於 4 月 8 日是星期日，

因此復活節便應該定在下一個星期日，即 7 日之後，亦即是 4 月 15 日（大家可從表 4.1 中驗證這個結果）。

又例如：2002 年的 3 月 28 日（也是春分後的第一個月圓日），因為 365 + 31 + 28 + 28 = 452，452 除以 7 得餘數 4，

所以那一天是星期四。該年的復活節應該在 3 日後，即 3 月 31 日。

上述的方法不單可以用來推算春分後月圓日子的星期數，亦可以用來推算 2001 年 1 月 1 日以後任何一天的星期數。但是，如果要推算的日期離 2001 年較遠，例如： 2022 年的 2 月 22 日，那麼所涉及的數字豈不是很大，計算豈不是很繁複嗎？其實我們只要利用算術上一個很巧妙的方法，便可以完成這項任務。方法就是利用加法和求餘數可以互調的性質。

先看看 2004 年 1 月 1 日的星期數。 2004 年的 1 月 1 日離2001 年 1 月 1 日共 3 年又 1 日，即 365 + 365 + 365 + 1 = 1096 日。將這個數除以 7，得餘數 4。留意如果我們先將 365 除以 7，那麼我們會得到餘數是 1，再將剛才式子中各項的餘數相

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加，即 1 + 1 + 1 + 1，亦等於 4。換句話說，將加法和求餘數的次序對調後，所得的結果仍是一樣的。不過，對調後的計算量會比之前少得多了。同時，我們亦發現，因為 365 除以 7 的餘數是 1，所以每年 1 月 1 日的星期數，都會比前一年多加 1。當然，如果某一年是閏年，全年會再多一天，那麼到了下一年的 1 月 1 日，星期數便要加 2 了。

回看上面推算 2022 年 2 月 22 日星期數的問題，由 2001 至 2022 年，一共經過了 21 年，當中有 5 個閏年，所以星期數會增加 21 + 5 = 26，接著將 26 + 31 + 22 = 79 除以 7，得餘數 2，因此得知 2022 年的 2 月 22 日將會是星期二。

再仔細看看上面的計算，我們會發現，按照加法和求餘數可以互調的原理，我們其實不必將 26 + 31 + 22 真的加起來，我們可以先求餘數，然後才加，即得 5 + 3 + 1 = 9，再除以 7，亦可知餘數為 2。

應用以上原理，我們可以有一個更有效計算星期數的方法，就是預先計算每月最後的 1 天比 1 月 1 日增加了的星期數（見表 4.4）。

例如：想知道 2022 年 12 月 17 日是星期幾，那麼由年份可知星期數增加了 26，亦即 5（ 26 除以 7 的餘數是 5）。從表 4.4 得知到 11 月尾又再增加 5，所以最後得 5 + 5 + 17 = 27，

除以 7 得餘數 6，所以那天是星期六。

以上的計算其實是使用了一個數學家稱之為「同餘」的方法來進行的。為了避免使用太多數學符號，所以不打算在這裏引入那些正式的同餘記號了。其實同餘的概念很簡單，有興趣的讀者可以找一些關於數論的書籍看看。

另外，以上的討論只提到 2001 年 1 月 1 日以後星期數的

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第四章復活節

日期離1 月 1 日的天數除以7 後的餘數

1 月 31 日 31 3

2 月 28 (29)日 31 + 28(29) = 59(60) 3(4) 3 月 31 日 59(60) + 31 = 90(91) 6(0) 4 月 30 日 90(91) + 30 = 120(121) 1(2) 5 月 31 日 120(121) + 31 = 151(152) 4(5) 6 月 30 日 151(152) + 30 = 181(182) 6(0) 7 月 31 日 181(182) + 31 = 212(213) 2(3) 8 月 31 日 212(213) + 31 = 243(244) 5(6) 9 月 30 日 243(244) + 30 = 273(274) 0(1) 10 月 31 日 273(274) + 31 = 304(305) 3(4) 11 月 30 日 304(305) + 30 = 334(335) 5(6)

表4.4（當閏年時，則使用括號中的數字）

計算方法，如果我們想知道 2001 年 1 月 1 日之前的星期數，方法也差不多，但不打算在這裏為大家介紹了，留給大家自行研究吧。

總結

回到我們對復活節日期的討論。由以上的計算可知，如果某年的 3 月 21 日剛好月圓，而且又是星期六，那麼復活節便定於 3 月 22 日。但如果某年春分之前一天（即 3 月 20 日）月圓，那麼春分之後的月圓，便要等 30 天，即 4 月 19 日才出現。又如果那天剛好是星期日，那麼該年的復活節便要定於 4 月 26 日，比之前提到的 3 月 22 日，相差了超過一個月的時間呢！

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習題

1. 試推算以下日期是一星期的哪一天：

2008 年 8 月 8 日、2025 年 10 月 6 日、2047 年 6 月 30 日。

2. 試推算復活節日期的循環周期，即每隔多少年，復活節的日期會出現循環的現象。

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第五章漫談質數

我們從小學開始便已經認識甚麼是質數。一個大於 1 的整數，如果只能被 1 或自己整除，我們便稱該數為「質數」。

另外，我們稱 1 為「單位」，並稱其他質數以外的正整數為「合成數」。例如：2、 3、 5、 7 …… 等等，都是質數，而 4、 6、

8、9 …… 等等都是合成數。但是除了這些基本的定義之外，一般教科書中，都很少提到質數的其他性質。本文的目的，就是向大家介紹一些與質數有關的人和事。

《幾何原本》內的證明

人們相信，人類在古時，便已經發現了質數。而最先用文字記錄質數性質的人，要算是古希臘時代的偉大數學家歐幾里得了。

歐幾里得，約生於公元前 330 年，是古代亞歷山大里亞學派的奠基者。他的著作《幾何原本》，集合了平面幾何、比例論、數論、不可公度量和立體幾何之大成，一致公認為數學史上的一本巨著^(*)。

《幾何原本》全書共分 13 卷，一共包含 465 個命題。當中的第七、八、九卷，主要討論整數的性質。第九卷的命題 20 和質數有關，它是這樣寫的：「預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。」

歐幾里得原文的證明並不易看懂，現改用現代的數學符

(*) 關於歐幾里得和《幾何原本》，在本書第九章中還有更深入的介紹。

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號，寫出他的證明：

首先，假設有一些質數，分別是 a1、 a2、……、 ak。我們 用這些質數構作一個新的數 a1 × a2 × …… × ak + 1。

如果它是質數，那麼便加添了一個新的質數。

如果它不是質數，那麼這個數便有一個質因子 p，即 p 能夠整除 a1 × a2× …… × ak + 1。如果 p 是 a1、 a2、 ……、 ak

的其中之一，那麼它必定能夠整除 a1× a2 × ……× ak。但由 p 的定義得知它能夠整除 a1 × a2 × …… × ak + 1，因此它亦能夠整除 1。但因為 1 不能被任何質數整除，所以這是不可能 的！由此得知上述的 p 只能是一個新的質數。

綜合以上兩個情況，我們獲得了一個新的質數。命題得證。

命題 20 提供了一個製造質數的方法，而且可以無窮無盡地製造下去。由此可知，命題 20 實際上證明了質數有無窮多個。

梅森質數

到了 17 世紀初，法國數學家梅森（ 1588 − 1648）提出了一條計算質數的有趣公式。

梅森發現算式 xⁿ − 1 有以下的分解：

xⁿ − 1 = (x − 1)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + … … + x + 1)，

其中 x 和 n 為正整數， n ≥ 2。所以如果 xⁿ − 1 是質數，那麼 x − 1 必定要等於 1，即 x = 2。算式變為 2ⁿ − 1。

另外，假如 n = ab，其中 a 和 b 為正整數，並且 a ≤ b，

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數學百子櫃系列（四）