光達點雲資料面特徵重建

Journal of Photogrammetry and Remote Sensing

發行人：王蜀嘉 

出版者：中華民國航空測量及遙感探測學會   

地址：台北市文山區羅斯福路五段 113 號三樓 信箱：台北市郵政 93‐158 號信箱 

電話：886‐2‐8663‐3468        886‐2‐8663‐3469  傳真：886‐2‐2931‐7225 

電子信件：csprsmail@csprs.org.tw  網址：http://www.csprs.org.tw 

PUBLISHER: S. C. Wang 

PUBLISHED BY: Chinese Society of Photogrammetry and    Remote Sensing 

Address: 3F, No.113, Sec.5, Roosevelt Road, Taipei, Taiwan  Mail Address: P. O. Box. 93‐158, Taipei, Taiwan 

Tel: 886‐2‐8663‐3468        886‐2‐8663‐3469  Fax: 886‐2‐2931‐7225 

E‐mail：csprsmail@csprs.org.tw  Web Site：http://www.csprs.org.tw   

總編輯         曾義星 

國立成功大學測量及空間資訊學系  電 話：886‐6‐275‐7575 分機 63835  傳 真：886‐6‐237‐5764 

電子信件：jprssubmit@proj.ncku.edu.tw 

EDITOR‐IN‐CHIEF       

Yi‐Hsing Tseng 

Department of Geomatics, National Cheng Kung University  Tel: 886‐6‐275‐7575 ext. 63835 

Fax: 886‐6‐237‐5764 

E‐Mail: jprssubmit@proj.ncku.edu.tw  編輯委員  EDITORIAL BOARD 

Š 農林 

鄭祈全  (文化大學)  申雍  (中興大學) 

Š Agriculture and Forestry

C. C. Cheng (Chinese Culture University)  Y. Shen (National Chung Hsing University) 

Š 海洋與大氣  劉振榮  (中央大學)  何宗儒  (台灣海洋大學)

Š Oceanography and Atmospheric Science  G. R. Liu (National Central University)  C. R. Ho (National Taiwan Ocean University) 

Š 防災 

劉進金  (工業技術研究院)  徐百輝  (台灣大學) 

Š Disaster Management

J. K. Liu (Industrial Technology Research Institute)  P. H. Hsu (National Taiwan University) 

Š 土地利用與覆蓋  陳永寬  (台灣大學)  詹進發  (政治大學) 

Š Land Cover and Land Use

Y. K. Chen (National Taiwan University)  J. F. Jan (National ChengChi University) 

Š 地理資訊系統  何維信  (政治大學)  蔡榮得  (中興大學) 

Š Geographical Information System  W. H. Ho (National ChengChi University)  J. D. Tsai (National Chung Hsing University) 

Š 遙感探測 

陳良健  (中央大學)  陳錕山  (中央大學) 

Š Remote Sensing

L. C. Chen (National Central University)  K. S. Chen (National Central University) 

Š 攝影測量與光達  廖揚清  (成功大學)  史天元  (交通大學)  趙鍵哲  (台灣大學) 

Š Photogrammetry and LiDAR

Y. C. Liao (National Cheng Kung University)  T. Y. Shih (National Chiao Tung University)  J. J. Jaw (National Taiwan University) 

封面圖片說明 About the Cover

本圖由六條空載光達航帶所構成，圖中的屋頂面係應用張量投票法由光達點雲資料中萃取出來的，

航帶間的對應區域或連結點係以萃取面的 (動量、面積) 和 (面間距、面間水平角、面間垂直角)等位相關 係應用類神經演算法和二分樹法進行二階段匹配的結果。實驗結果顯示，應用這個二階段匹配法的正確 率相當高。本法的優點是可以在不同航帶間自動化地找出對應區域或連結點，以供空載光達航帶平差使 用。

(封面圖片出處：光達點雲平面特徵自動化匹配於航帶平差之應用，第十四卷 第三期 第 185-199 頁)

Volume 14, No.3, September 2009, pp. 171-184

1國立成功大學測量及空間資訊學系 碩士 收到日期:民國 98 年 03 月 21 日

2國立成功大學測量及空間資訊學系 教授 修改日期:民國 98 年 11 月 13 日

*通訊作者, 電話: 886-6-2757575ext.63835, E-mail: tseng@mail.ncku.edu.tw 接受日期:民國 98 年 12 月 04 日

光達點雲資料面特徵重建

羅英哲

曾義星

摘 要

光達具有快速獲取大量三維坐標點資訊的優點，可提供每秒數千點至數萬點的觀測數據，這些大量 的點雲分佈幾何隱含豐富的物面資訊。然而這些物面特徵資訊並非直接的幾何描述，必須轉換為數學函 式或向量描述資料，才能成為可直接利用的顯性資訊。本研究利用區域成長法的概念，搭配面擬合的計 算，合併具有共面特性的點群，進而萃取出點雲中的面特徵。在區域成長的過程中，以鄰近擬合面的法 向量夾角以及掃描點到擬合面的距離為合併的判斷依據，則經由區域成長運算所集結的同類元素形成連 結的區域可視為一個面特徵，所發展的面重建方法可重建點雲中的平面、球面、圓柱面及多項式曲面等 面特徵。針對幾種不同地物的地面光達點雲資料進行實驗，得到相當良好的面重建成果，應用於空載光 達點雲上，亦能成功地萃取屋頂面。實驗中亦針對面重建過程中所需要設定的預定參數，包括點雲的切 割網格尺寸、角度門檻值、距離門檻值及種子的成長位置進行探討，並以半自動化的方式由點雲資料來 獲取預定參數設置的相關資訊，以提供設定之參考依據。

關鍵詞：光達、區域成長法、面擬合、面重建

1. 前言

光達具有快速獲得大量點位資料之能力，所產 生的資料是密佈於物體表面的三維點位，包括點位 三維坐標及反射強度值，這些大量點位的分佈幾何 隱含著豐富的物面資訊，然而這些物面特徵資訊並 非直接的描述資料，通常必須轉換為數學函式或向 量描述資料，才能成為可直接利用的顯性資料。由 於光達點雲的掃描點之間並沒有連結性與關聯性，

在應用時難以依不同地物分割或選取點雲，故有以 八分樹的概念光達點雲進行分割與合併，利用最小 二乘理論解算點雲的最適平面，依此平面參數來決 定是否分割的依據，而後再將具有相近參數的平面 進行合併，進行平面資訊的萃取(賴志恆，2003)。

此外，Filin and Pfeifer (2005)提出針對單一掃描點 及其鄰近點所組成的點群來探討點雲組織化之可 能性。

上述觀念發展出從點雲資料萃取面特徵之研

究領域，如利用 3D Hough Transform 來萃取平面 資訊，或者將光達點雲進行三角化結構後合併成平 面，再從三角網格之間的相關性來萃取出點雲的平 面資訊(Vosselman and Dijkman, 2001；Vosselman, 1999)。亦有採自動化的結構偵測，利用點與點之 間的連結性與連續性，以剖面的方式進行分割，再 針 對 不 同 的 特 性 將 點 雲 分 成 不 同 的 地 物 結 構 (George and Vosselman, 2003)。而 Filin and Pfeifer (2006)提出利用點雲密度、量測的精度、水平和垂 直的分佈來定義點群之間的鄰近關係，進一步的利 用 slope-adaptive 的概念來計算法向量，而此方法 比起利用三角網格計算的結果更為可靠且精確。除 了上述的方法外，亦可針對點雲進行特徵值與特徵 向量的計算，進行隱性資訊的萃取，而張量投票法 便是藉由點雲位於點、線、面上所獲得的張量有所 不同的特性，可以進行光達點雲中平面及邊緣線的 萃取(Schuster, 2004)，此外亦可以結合主軸分析法 (Principal Component Analysis)和區域成長法來進

行不同建物上點雲的分割和形狀的偵測，由於主軸 分析法對於點雲中所包含的雜訊是強鈍的，而區域 成長法則是可以應用於多維度的資料上，結合兩者 的優點便可以從光達點雲中萃取出正確的平面資 訊(Roggero, 2002)。

本研究以半自動化萃取面特徵之應用觀點，由 使用者選取某一屬於面特徵之掃描點為種子點，以 區域成長法的概念，搭配面擬合的計算，針對不同 型態的點雲資料，合併具有相同特性(角度和距離) 的點群，萃取出屬於此面特性的點群。此方法可適 用於空載光達和地面光達的點雲，且使用者只須指 定種子的成長起始位置，其他為自動化運算。面擬 合的概念則是利用最小二乘的計算，將選定的面模 型與點雲進行最佳擬合，劉嘉銘(2005)共提出了四 種擬合面特徵，包括了平面、球面、圓柱面以及多 項式曲面，藉由特定面特徵的指定，將光達點雲與 面特徵方程作最小二乘的計算，求解最佳的擬合面 參數，並當作區域成長的約制條件，如此可確保面 成長的結果符合使用者所選定的特徵類型。本研究 方法所適用的範疇是可以數學式描述的規則曲面，

未來研究應可擴及不規則曲面之萃取。

2. 面重建演算法

2.1 區域成長法工作流程

所提的面重建演演算法採區域成長的概念，從 種子元素開始搜尋周圍的元素並判斷其共面特性，

若符合共面特性則將其納入為同類，直到無法再延 伸為止。如此所集結的同類元素將形成連結的區域，

若每個元素視為小擬合面，則連結的區域將可形成 一個面特徵。共面特性的判斷以小擬合面間角度和 點雲至擬合面距離為門檻值，當作是否合併鄰近網 格的依據，完整的作業流程如圖 1。

2.2 三維規則網格分割

光達點雲中點與點之間並沒有關聯性，為建立 點群之間的鄰近關係及順序，採用三維規則網格切 割的方法 (湯凱佩及曾義星，2004)形成空間指標

(spatial index)。將資料空間分割成

n m l × ×

將點雲切割成三維網格的優點是可以建立點與點 之間的關聯性，同時增加區域成長的搜尋速度。三 維網格分割的規則性，可方便搜尋鄰近網格的資料，

透過網格可以判別某點位與鄰近點位的關係。如此 可以加速鄰近點位的搜尋與合併，大幅減少演算時 間。利用三維規則網格組織化的點雲，經由指定種 子的位置，可以快速的算出種子所坐落的網格編號 以及其鄰近網格編號，更進一步可以得知鄰近網格 內所包含的掃描點資訊。

切割網格大小的不同會影響後續的運算效率 及品質，當網格越大，網格內所包含的點數越多，

反之亦然。網格太大，所包含的點雲數太多，會造 成面重建結果太過粗糙，邊界部分成果不平整。相 反的，如果網格尺寸設定得太小，網格內所包含的 點數過少，造成後續的特徵值計算不穩定，或造成 區域成長計算中斷，也無法正確的執行自動化種子 成長的搜尋。

圖 1 區域成長法作業流程圖

圖 2 三維網格分割示意圖

2.3 特徵向量與角度門檻值

以成長種子網格為中心計算其點雲分佈特徵，

計算時採鄰近 5×5×5 個網格內的點雲為計算資料，

計算方法採用主軸分析方法(Pauly and Gross, 2002；

Hoppe et al., 1992)，亦即計算區域點雲分佈之特徵 值(Eigen Values)及特徵向量(Eigen Vectors)。因點 雲為三維分佈，可計算得三個特徵值λ1、λ2及λ3， 相對於三個特徵值之特徵向量為 V₁、V₂及 V₃。若 點雲具面狀之分佈，則λ3應相對小於λ1及λ2，而 V3則為點雲擬合平面之法向量，如圖 3。設納入計 算的點雲點數為 N，點坐標向量為 P₁、P₂、…P_N， PAVE為點雲分佈重心坐標向量，則主軸分析的計算 方法如下：

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

⋅

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

AVE N

AVE 2

AVE 1

AVE N

AVE 2

AVE 1

P P

P P

P P

P P

P P

P P C

T

M

M

{ ^{1 , 2 , 3} }

, ∈

⋅

=

⋅ V V l

C

λ

C

3 3 ×

圖 3 特徵向量與點雲擬合平面之面法向量示意圖 圖 1 所示之區域成長流程中，角度判斷是指種 子網格與鄰近網格之擬合平面法向量之夾角，如圖 4。而於流程中可持續應用上述之主軸分析法，計 算得各網格之擬合平面法向量。令݊ሬറ௦是種子網格擬 合平面法向量，݊ሬറ௡௘௜是鄰近網格擬合平面法向量，

則其夾角如式(3)。角度門檻值可依所要萃取的面 特徵曲率來設定，但為了能容許因物面粗糙度及掃 描誤差之影響，經驗上以設定 30°以上為佳，亦即

平面特徵可設定 30°，其他種曲面則視其面曲率增 加門檻值，最大門檻值為 90°。

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⋅

=

⋅

nei s

nei s

n n

n n v v

v

1

v

θ cos

圖 4 種子網格與鄰近網格之擬合平面法向量之夾 角示意圖

2.4 面擬合與距離門檻值的關係

在區域成長流程中，本研究採用最小二乘面擬 合方法，從點雲資料之分佈情形求得其最適面，亦 即擬合面特徵重建。過程中，除了 3.2 節所述之角 度判斷外，亦採用距離判斷來篩選屬於擬合面之點 雲，距離判斷的定義是「掃描點至擬合面的距離」。

擬合面是泛指點雲分佈的共同面(劉嘉銘，2005)，

可以是簡單的平面或是數學曲面，在此僅探討四種 簡單的數學擬合面，來建置面成長的機制，如圖 5。

圖 5 中的黑色點位代表光達掃描所獲得的三維點 位，藍色區域則是代表各種擬合面，而虛線則是掃 描的三維點位到擬合面的距離值，距離門檻值也就 是依此來做判斷。

上述四種擬合面之數學函數如表 1，最小二乘 面擬合方法乃利用這些數學式描述掃描點至擬合 面之垂直距離，解算條件是掃描點至擬合面之垂直 距離平方和為最小。如表 1 所列，擬合平面的未知 參數有 4 個，其中(a, b, c)為平面法向量，為使解算 值有唯一解，應加上平面法向量長度為 1 之條件。

擬合圓柱面之未知參數中的 a、b、c 為圓柱中心線 的方向向量，而 d、e、f 則為圓柱中心線上任一點，

λ

≈ λ

> λ

V

V

V

擬合平面

r 為圓柱半徑。擬合球面之未知參數中之 r 為球的 半徑長，(x₀, y0, z0)為球的圓心。擬合多項式曲面之 未知參數數量與多項式階數有關，以二階多項式而 言為 6 個，此簡單函數並非實質三維曲面，因此應 用時需視點雲分佈的情形，選擇以 x, y 或 z 為函數 左項。

上述數學函數皆為非線性函數，因此利用牛頓 漸進法進行最小二乘法來解算未知參數。配合圖 1 之區域成長流程，每次納入新的成長區域點雲皆須 重新計算面參數，未知參數起始值乃由已經納入之 種子點雲所計算得，如此逐步更新參數並納入共面 點雲(湯凱佩及曾義星，2004) 。

2.5 面特徵值與自動化種子搜 尋機制

應用本研究所提的區域成長法，須提供面函數 類型並指定種子位置。若種子位置能透過自動化搜 尋機制來獲得，則整體流程可高度自動化。以重建 面特徵觀點，種子的位置應選在點雲分佈為面狀之 處，如圖 6 之斜線區域，若落於邊角區域(如圖 6 白色區域)則可能會導致錯誤的成長結果。因此，

可分析網格內點雲分佈特性來搜尋種子，實做上可

依 2.3 節所述之網格點雲分佈之特徵向量來檢視合 適的種子。以分佈如圖 6 之點雲，網格點雲分佈之 特徵值及特徵向量關係，在平面、邊線及角點之關 係如圖 7。依照上述的關係，本研究以λ³/(λ¹+λ²+λ³) 為判斷網格點雲分佈是否為面狀的依據。當網格位 於角點時，此判斷值為最大(因λ¹≈λ²≈λ³，其值應略 小於 1/3)，其次為位於邊線的面特徵值，最小者則 為位於平面的面特徵值(因為λ¹與λ²均遠大於λ³)。

(a) 擬合平面 (b) 擬合圓柱面

(c) 擬合球面 (d) 擬合多項式曲面 圖 5 本研究所採用之數學擬合面(劉嘉銘，2005)

表 1 四種擬合面之數學函數

面類型 數學函數 未知參數

平面

ax + by + cz + d = 0

條件

a

+ b

+ c

= 1

圓柱面

[ ]

2 2 2

2 2 2

2 2

) (

) ( ) (

) (

) ( ) (

c b a

z f c y e b x d a

z f y

e x

d r

+ +

− +

− +

−

−

− +

− +

−

= a, b, c, d, e, f, r

(圓柱半徑) 球面 r² =(x−x₀)² +(y−y₀)² +(z−z₀)² x⁰, y⁰, z⁰, r (球半徑)

多項式曲面

+ L +

+ + + +

= a bx cy dxy ex

fy

z

或

y = a + bx + cz + dxz + ex

+ fz

+ L

x = a + by + cz + dyz + ey

+ fz

+ L

a, b, c, d, e, f…

平

邊

角

1 2 3

λ λ ≈ ≥ λ

1 2 3

λ λ ≥ ≈ λ

1 2 3

λ ≈ λ ≈ λ

圖 6 合適之區域成長法種子區域(斜線區)示意圖

圖 7 網格點雲分佈之特徵值及特徵向量在平面、

邊線、角點的關係

以實際雷射掃描儀資料來檢視上述判斷值的 值域範圍。測試資料為吊鐘紀念碑(如圖 8(a))光達 點雲資料，由於此紀念碑的表面粗糙度低、幾近平 坦，無明顯的凸出物，因此該光達點雲資料包含了 平面、邊線、角點等特徵，適合當作測試對象。實

驗結果如圖 8(b)~(d)，依序所設定邊線與平面特徵 的區分門檻值分別為 0.03、0.013 及 0.008，而角點 和邊線特徵的區分門檻則皆為 0.08。圖中之洋紅色 代表的平面特徵，黃色代表邊線特徵，青綠色代表 角點特徵。圖 8(b)中，紀念碑的下方應為邊線以及 角點的部份，但卻顯示為平面的特徵，代表該平面 特徵值的值域設定太大。而在圖 8(c)中，為最符合 平面、邊線、角點的顯示情形，而該邊線上有青綠 色與黃色的混雜(角點特徵)是因為網格切割的關 係，造成屬於邊線上的點雲資料無法連貫地呈現線 狀的特徵。然而在圖 8(d)中，平面的部分卻顯示成 邊線的特徵，代表了該面特徵值值域設定的太小，

導致應該顯示成平面的區域被判斷成邊線。

根據圖 8(b)~(d)的特徵判斷，在本研究中採用 0.013 為平面面特徵值的門檻，當網格內的掃描點 進行特徵向量計算，且獲得該平面的三個特徵向量 及特徵值時，可依此三個特徵值來計算面特徵的大 小，如果小於 0.013 則判定該網格落於平面上，若 大於 0.013 則非落於平面上，而自動化平面種子搜 尋的機制即是建立在判斷該網格是否屬於平面特 徵的一部分。

(a) (b) (c) (d)

圖 8 判斷值的值域範圍測試實驗：(a) 測試地物影像；及網格點雲分佈類型判斷值測試結果，角點(綠色) 和邊線(黃色)特徵的區分門檻為 0.08，而邊線(黃色)與平面(洋紅色)區分門檻於(b)～(d)分別為 0.03、

0.013 及 0.008。

3. 散佈量、密度與網格尺寸 的估算

網格的分割尺寸在本研究中考量的因素為點 雲的散佈量及分佈的密度，適當的網格尺寸能獲得 良好的面重建成果。若點雲資料因作業目的的不同 或現地掃描間距設定的不一致，所獲得的點雲資料

「密度」也有所不同，故網格尺寸也應該相對性地 調整。另一方面，因為掃描過程中所產生的誤差以 及牆面的粗糙度影響，造成點雲並非平整的散佈於 物體的表面上，而是具有起伏的散佈量，該「散佈 量」亦會影響網格尺寸的決定。故在此章節中，將 針對散佈量及密度來探討適當的網格尺寸。圖 9 為網格尺寸、散佈量及密度的示意圖。

圖 9 網格尺寸、散佈量及密度示意圖

3.1 散佈量的計算

散佈量之定義為區域內點群至點群所擬合的 平面距離之標準偏差值，故必須先求其擬合平面參 數。經由最小二乘平差所求解的平面參數 a、b、c、

d，便可計算所有掃描點到擬合平面的距離 Si，則 其散佈量為：

1

2

∑

S_i

(4) 針對任一群點雲資料，可框選一小區點群來估算該 點雲資料的散佈量。此估算的散佈量可當作距離門 檻值設定的依據，當距離門檻值設定成兩倍的散佈 量時，大約可囊括該平面的 95%的點雲資料。

3.2 密度的計算

點雲分佈密度的是某區域內掃描點數與該區

域所包圍面積的比值，在計算上與使用者框選的面 積大小有關，然而因為存在散佈量的關係，所以欲 處理的點群並不是平整的分佈於平面上，故在計算 面積之前，必須先將三維的點群必須先投影到二維 的平面上，然後將投影後的點位利用坐標轉換，轉 換至二維坐標系統，坐標轉換的目的是為了方便後 續凸殼多邊形(Convex Hull)的計算。

將點群投影至平面並轉換為二維坐標後，即可 進行凸殼多邊形面積的計算，所謂凸殼多邊形其本 義為包圍所有點位的最小多邊形。使用 Andrew's Monotone Chain 方法來建立凸殼多邊形。此方法 會先對所有的 2D 點作 x 和 y 方向的排序，再依序 判斷是否為邊界點位，其時間複雜度是 O (n log n)。

最後以點位的編號來記錄凸殼多邊形，而點位的編 號則對應到相對的坐標，這對於大量點雲資料的儲 存非常的有利。經過凸殼多邊形的計算後，可以得 到邊界點的編號以及坐標，再利用多邊形面積公式 來求算包覆的面積。

3.3 適當網格尺寸之決定

在此針對數種不同的實驗資料進行分析，並推 估散佈量、密度與切割網格之間的關係。以地面雷 射掃描儀觀測了七種不同粗糙度的牆面(圖 10)，對 此七種牆面的點雲資料進行散佈量和密度的計算，

這七種牆面分別是"大理石牆面"、"木板條紋牆面"、

"磁磚牆面"、"紅磚牆面"、"洗石子牆面"、"深凹凸 牆面"、"紀念碑牆面"。

表 2 顯示七種實驗的牆面點雲之散佈量和密 度，其中點雲的密度和當時掃描設定的間距有關，

間距越小則點數越多、密度越大。散佈量則與掃描 誤差量以及實際物體表面的粗糙度相關，可以明顯 看出其牆面粗糙度越大者，其散佈量也較大，如深 凹凸牆面的散佈量約為 0.0112 公尺遠大於大理石 牆面的 0.0065 公尺。再以單一大理石牆面的散佈 量來看，其表面幾近平滑的特性，可以將其視為粗 糙度為 0 的平面，即該散佈量主要反映雷射掃描儀 的誤差量(參考第 4 節實驗及成果分析)。

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

圖 10 以七種不同粗糙度的實驗牆面推估散佈量，(a)～(g)分別為大理石牆面、木板條紋牆面、磁磚牆面、

紅磚牆面、洗石子牆面、深凹凸面牆面、紀念碑牆面

表 2 七種材質的散佈量及密度計算成果

材質 密度(pts/cm

) 散佈量(m)

大理石牆面 5.54 0.0065

木板條紋牆面 5.48 0.0069

洗石子牆面 2.66 0.0083

磁磚牆面 2.26 0.0082

紅磚凹凸牆面 2.50 0.0095

深凹凸牆面 2.68 0.0112

紀念碑牆面 1.91 0.0067

表 3 七種牆面的密度、散佈量與適當的網格尺寸

牆面 密度(pts/cm

) 散佈量(m) 適當的網格尺寸(m)

大理石 5.54 0.0065 0.031

木板條紋 5.48 0.0069 0.033

洗石子 2.66 0.0083 0.038

磁磚 2.26 0.0082 0.040

紅磚凹凸 2.50 0.0095 0.045

深凹凸 2.68 0.0112 0.052

紀念碑 1.91 0.0067 0.031

3.3.1 網格尺寸與密度的關係

為了瞭解網格尺寸與點雲分佈密度之間的關 係，本研究針對七種實驗牆面資料的面特徵值與最 佳網格尺寸來進行比較：實驗方式是對每一組資料，

改變網格尺寸的大小，並判定該網格尺寸是否使得 牆面光達資料呈現正確的面特徵資訊，進而決定最 適當的網格尺寸，表 3 為實驗結果所呈現的數據。

表 3 為顯示點雲分佈密度與適當網格關係並 不一致，大理石與木板條紋牆面資料之密度為其他 資料的兩倍以上，但適當的網格尺寸沒無相對的比 例變化，尤其是大理石牆面資料之密度幾乎是紀念 碑牆面資料的三倍，但兩者適當的網格尺寸幾乎是 相同的。由結果可推論適當網格的決定與點雲密度 並無正比關係。雖然點密度不影響適當網格尺寸的 決定，但是如果點密度太小以至於網格內的點數太 少，會造成特徵向量無法解算的情形。適當網格尺 寸的基本要求是先以密度為考量，使網格內平均點 數大於 1，以確保面重建的動作可以順利運作。

3.3.2 網格尺寸與散佈量的關係

點雲散佈量與網格的尺寸都會影響面特徵值 的計算，在此以數個不同邊長的正方形模擬點位資 料，代表計算面特徵值時所涵蓋範圍內的點群，並 對這些模擬資料加上不同的散佈量，以模擬光達點 雲資料，然後對模擬資料進行面特徵值的計算，其 流程如圖 11，而測試結果如表 4。

由表 4 可以看出，當固定散佈量而僅改變模擬 邊長時，面特徵值會隨之變動，反之，當固定模擬 邊長僅改變散佈量時，面特徵值也是隨之變動，故 可以驗證：點雲的散佈量與網格的尺寸影響著面特 徵值的變化。將表 4 中散佈量與最佳網格邊長建立 關係圖，並求出趨勢線(如圖 12)，如此一來使用者 在估算網格尺寸時便可參照圖 12 來查詢散佈量與 適當網格尺寸之間的對應關係，為了驗證該關係式 是否正確，針對兩個不同的牆面資料來進行測試 (如圖 13)。

圖 11 面特徵變化實驗流程 表 4 模擬資料計算結果

散佈量 0.0065m 散佈量 0.0083m 散佈量 0.0095m 散佈量 0.0112m 模擬邊長 面特徵值 模擬邊長 面特徵值 模擬邊長 面特徵值 模擬邊長 面特徵值

0.10m 0.0232 0.10m 0.0363 0.10m 0.0461 0.10m 0.0609 0.13m 0.0140 0.15m 0.0171 0.15m 0.0220 0.23m 0.0134 0.135m 0.0130 0.16m 0.0150 0.19m 0.0140 0.24m 0.0124 0.14m 0.0121 0.17m 0.0132 0.20m 0.0126 0.25m 0.0114 0.15m 0.0107 0.18m 0.0119 0.22m 0.0106 0.26m 0.0106 0.16m 0.0094 0.19m 0.0107 0.23m 0.0098 0.27m 0.0099

圖 12 散佈量與網格尺寸關係

(a) (b)

(c) 圖 13 (a)樓梯面特徵值展現；(b)樓梯面特徵值展現局部放大；(c)牆柱面特徵值展現 圖 13(a) 與 (b) 為 樓 梯 測 試 資 料 ， 散 佈 量 為

0.00291 公尺、密度為 2.8428 點/平方公分，圖 13(c) 為平面牆柱的測試資料，散佈量為 0.0065 公尺，

密度為 4.678 點/平方公分。兩份資料的散佈量利用 圖 12 中散佈量與網格尺寸的對應關係可分別求得 對應的網格尺寸為 0.014 公尺與 0.031 公尺，而分 割後的面特徵值展現也呈現合理的情形，在平面部 分都呈現洋紅色的分佈，而在邊線部分則呈現黃色 和青綠色。

4. 實驗成果與分析

本研究所使用的地面光達點雲資料是採用 Optech ILRIS-3D 雷射掃描儀觀測而得，雷射光的 波長為 1500nm，而其記錄內容為三維坐標 X、Y、

Z、反射強度(Intensity)，以及當時掃描現況所設定 的參數資料，而該儀器在 100 公尺時的距離精度約

為 7 公厘，位置精度約為 8 公厘。空載光達的部分，

則是由內政部所提供，掃描的區域為台北市京華城 及周邊建物，儀器型號為 Leica ALS50，航高約 1830 公尺，點密度約 2.01 點/每平方公尺。

4.1 地面光達資料面重建實驗

4.1.1 平面重建實驗

由使用者於紀念碑(圖 14(a))點雲中點選種子 位置，並進行平面區域成長，進而重建光達點雲中 的平面特徵，圖 14(b)～(d)為平面重建的三個成果，

其中角度門值檻均為 30°但距離門檻分別為 5 公分、

3 公分及 2 公分。可以明顯的看出，隨著距離門檻 的減小，面重建的成果也有所改變，當距離門檻為 5 公分時，其囊括的點雲總數為 74007 點，紀念碑 中間的圓盤並不屬於該平面的一部分，但由於距離

門檻值太大，造成非同一平面的點雲納入的情形。

當距離門檻為 2 公分時，囊括點雲的總點數為 67269 點，此時該紀念碑中間的圓盤點雲已被剔除，

故隨著距離門檻值的不同，可能會涵蓋到不同平面 的點群，而距離門檻值亦可從估算的散佈量來決定，

在設定上可依散佈量的兩倍或三倍來當作距離的 門檻值，如紀念碑的散佈量為 0.67 公分，距離門 檻則可以設定 1.4 公分或 2.0 公分。

應用 3.4 節所述之種子搜尋機制可進行自動化 的面重建，圖 15(a)與(b)為紀念碑光達點雲利用平 面自動化種子搜尋面重建的成果，角度門檻值為 15°，距離門檻值為 2 公分。由圖 15 (a)可出看出，

在平面的部分皆可以進行完整的面重建，然而由於 自動化判別的關係，在紀念碑上方的掛鐘點雲雖然 是曲面的特徵，但只要有一個網格符合面特徵值就 會被判定為平面種子，故造成在掛鐘的部分有許多 的零星成長面，而這些零星的成長面往往都不是良 好的成果，反而造成後續應用上的不便。故在自動 化種子面重建的過程中，可以加入成長平面的限制 條件，例如當平面種子完成面重建後，加以判斷該 平面的涵蓋面積或涵蓋的點數，如果該平面的涵蓋 面積或涵蓋點數小於門檻值，則判定該平面並非主 要平面，不予群聚。

圖 15(c)為樓梯光達點雲利用自動化種子搜尋 機制並加上限制條件後的成果，設定參數分別如下：

網格尺寸為 0.014 公尺、角度門檻值為 20°、距離 門檻值為 0.8 公分、限制條件為 2000 點，其中不

同的顏色代表了不同的重建平面，圖 15(d)為僅顯 示成長面的示意圖。

4.1.2 球面重建實驗

在球面測試的資料部分，所選取的資料如圖 16(a)與(b)，在此針對上方兩個球型的路燈來進行 面重建的動作，藍色和紅色的點群為兩個球面重建 成果，設定的網格尺寸為 0.03 公尺，角度為 60 度，

距離門檻值分別為 2 公分與 3 公分的面成長結果。

4.1.3 圓柱面重建實驗

由圖 17(a)可以發現該圓柱上方有兩條橫樑與 其連接，而在圓柱的中間另有圓筒型的路燈附著其 上，實驗目標為藉由圓柱的面重建，能將兩條橫樑 及附著的圓筒路燈點雲與該圓柱點雲分離開來，僅 提供使用者該圓柱的點群。在實驗中，所設定的角 度門檻值為 70°，距離門檻值為 4 公分，而藍色的 點群為圓柱面重建成果。

在進行圓柱面重建之前，必須先對圓柱作初始 值的估算，由實驗中發現，如果給予的初始值不夠 精確，很可能造成計算過程的發散或無法計算。由 圖 17 (b)與(c)可以看出圓柱面重建的成果符合最 初的期望，能正確的將兩面橫樑、筒形路燈與圓柱 的點雲給分離開來，而面重建的成果除了合併相同 圓柱面的點群外，亦提供了該圓柱的參數，以利後 續的應用。

(a) (b) (c) (d) 圖 14 (a)紀念碑實地照片，(b)～(d)為不同距離門檻值的面重建成果

(a) (b) (c) (d)

圖 15 (a)、(b)為紀念碑點雲利用自動化種子搜尋面重建的成果，(c)、(d)為樓梯點雲利用自動化種子搜尋 面重建成果

(a) (b) (c) (d)

圖 16 (a)地面路燈實地影像；(b)掃描所獲得的光達點雲；(c)距離門檻 2 公分球面重建成果；(d)距離門檻 3 公分球面重建成果

(a) (b) (c)

圖 17 (a)建物圓柱實地照片；(b)圓柱面重建成果；(c)圓柱面重建成果俯瞰圖

(a) (b) 圖 18 (a)弧形牆面實地照片；(b)弧形牆面重建成果

(a) (b) (c)

圖 19 (a)京華城及其周邊建物屋頂面重建俯瞰圖；(b)成果側視圖；(c)僅展示面重建後的成長面點群

4.1.4 多項式曲面重建實驗

圖 18 為弧面磚牆及其面重建成果，該實驗目 的是希望能透過多項式曲面的擬合，來對弧形面進 行面重建的動作，分離圖 18 (a)中磁磚弧型牆面與 白色網格的點雲，實驗中角度門檻值為 60°，距離 門檻值為 6 公分，而多項式曲面面重建的成果如圖 18 (b)，藍色部分代表的是重建後弧型牆面的點群，

白色部分則是不屬於同一曲面的白色網格的點群，

其結果也符合當初的期待。

4.2 空載光達資料面重建實驗

圖 19 (a)為京華城及其周邊建物屋頂面重建的 成果，平面角度門檻值 30°、距離門檻 20 公分，

而球面角度門檻值為 70° 距離門檻 1.8 公尺，紅色 點群為京華城大樓的屋頂部分、藍色點群為京華城 球形屋頂的重建成果、紫色為京華城旁平坦的地表，

而其他顏色則為周邊建物屋頂面的重建成果。由於 京華城本身具有球形屋頂的特徵，故這部分的點雲 則是採用球形面擬合的方式來重建該球形屋頂，至 於其他的屋頂面則是採用平面擬合的方式來進行

重建。圖 19 (b)為面重建成果的側視圖，圖 19 (c) 為僅顯示成長面的情形。由成果可以看出區域成長 法的概念亦可以用於空載光達屋頂平面的重建，且 對於分離屋頂面上的凸出物也是能有不錯的效 果。

5. 結論與建議

本研究提出利用區域成長法的概念並搭配面 擬合的計算來重建點雲中的特徵面，進而萃取出具 有相同面特性的點群。由實驗證實了利用區域成長 法的計算可以減少使用者的人工介入、提高自動化 的可行性，且適用於地面光達和空載光達點雲資料，

而面擬合的計算可提供成長過程中距離判斷的依 據，確保最後的面重建成果為使用者所指定的類 型。

針對成長過程所需設定的四個參數，探討網格 尺寸、角度門檻值、距離門檻值、種子起始位置之 設定上的問題，並提供依據不同光達資料的而預設 的參考值。網格尺寸之設定可以參考 3.3 節之網格 尺寸與散佈量的關係圖，平面區域成長之角度門檻 值的設定範圍約 5°～30°、曲面成長之角度門檻值

設定範圍則約 30°～70°，距離門檻值可以二至三倍 的散佈量為標準，平面種子的起始位置則可利用面 特徵值的概念來判斷網格是否落於平面上，進而以 自動化方式進行種子搜尋及成長。針對研究中所提 出的四種面特徵：平面、球面、圓柱面及多項式曲 面，進行光達點雲面重建實驗。測試資料包括了地 面光達及空載光達點雲，實驗的結果顯示所提的演 算法可成功運用於光達點雲面重建，無論是針對平 面或曲面，均可以萃取出完整的面特徵點群，並提 供該面特徵的擬合係數。空載光達所獲得的光達點 雲資料在密度和散佈量上皆與地面光達點雲有所 差異，可調整參數的設定獲得良好的結果。

參考文獻

湯凱佩及曾義星，2004，『以八分樹三維網格結構 組織光達點雲資料並進行平面特徵萃取』，第 二十三屆測量學術及應用研討會論文集，pp.

143-150。

劉嘉銘，2005，『光達點雲資料特徵萃取之研究』，

國 立 成 功 大 學 測 量 及 空 間 資 訊 學 系 碩 士 論 文。

賴志恆，2003，『雷射掃描點雲資料八分樹結構化 之研究』，國立成功大學測量工程學系碩士論 文。

Filin, S. and Pfeifer, N., 2006, "Segmentation of airborne laser scanning data using a slope adaptive neighborhood", ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 60(2), pp.

71-80.

Filin, S. and Pfeifer, N., 2005, "Neighborhood systems for airborne laser data", Photogrammetric Engineering & Remote Sensing, 71(6), pp. 743-755.

George, S. and Vosselman, G., 2003, "Automatic structure detection in a point-cloud of an urban landscape", Remote Sensing and Data Fusion over Urban Areas, 2nd GRSS/ISPRS Joint Workshop, pp. 67- 71.

Hoppe, H., DeRose, T., Duchamp, T., McDonald, J.

and Stuetzle, W., 1992, "Surface reconstruction from unorganized points", Computer Graphics, 26(2), pp.71-78.

Lichti, D. and Harvey, B. , 2002, "The effects of reflecting surface material properties on

time-of-flight laser scanner measurements", Symposium on Geospatial Theory, Processing and Applications.

Pauly, M. and Gross, M., 2002, "Efficient simplification of point-sampled surfaces", IEEE, Visualization, pp.163-170.

Roggero, M., 2002,"Object Segmentation with region growing and principal component analysis", ISPRS Commission III, Symposium 2002 September 9 – 13.

Schuster, H., 2004, "Segmentation of lidar data using the tensor voting framework", International Archives of Photogrammetry, Remote Sensing and Spatial Information Sciences.

Vosselman, G. and Dijkman, S., 2001, "3D building model reconstruction from point clouds and ground plans", International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol.34, Part 3/W4, Annapolis, Maryland, pp.37-43.

Vosselman, G., 1999, "Building reconstruction using planar faces in very high density height data", Proc, ISPRS Automatic Extraction of GIS Objects from Digital Imagery, pp. 87-92.

1Master, Department of Geomatics, National Cheng KungUniversity Received Date: Mar. 21, 2009 2.Professor, Department of Geomatics, National Cheng Kung University Revised Date: Nov. 13, 2009

*.Corresponding author, Phone: 886-6-2757575ext.63835, Accepted Date: Dec. 04, 2009

E-mail: tseng@mail.ncku.edu.tw

Reconstruction of Surface Features from LiDAR Data

Ying-Zhe Luo

Yi-Hsing Tseng

ABSTRACT

Lidar (Laser Scanner) is capable of collecting a large number of 3D points, in which abundant surface features are implied in the distribution of point cloud data. However, these surface features should be extracted to from explicit information, i.e., it is necessary to transfer the point cloud data into mathematical expressions or vector data descriptions. The proposed algorithm of surface reconstruction is based on the schemes of surface growing and surface feature fitting. It merges the co-plan points and extracts surface features from point cloud data. There are two factors to conduct the growing process: the angle between two normal vectors of adjacent patches and the distance of the point from the growing surface. Every merged cell is considered as a small patch, then the connect areas by region growing regarded as a surface feature. The reconstructive surface features in the proposed method include planar, spherical,cylindrical, and polynomial surface features. The experimental data include ground-based Lidar and airborne Lidar. The overall results show the successful application examples of the proposed algorithm. In the experiment, the initial parameters such as grid sizes, threshold of angle, threshold of distance and the growing seed position are also discussed and extracted from point cloud data using a semi- automatic method. The results of reconstructive surface provide points cluster with the same surface characteristics and fitting parameter of the surface features. The extracted surface features will be useful for 3D modeling.

Keywords:

Volume 14, No.3, September 2009, pp. 185-199

1國立成功大學測量及空間資訊學系 副教授 收到日期:民國 98 年 03 月 21 日

2國立成功大學測量及空間資訊學系 碩士 修改日期:民國 98 年 12 月 04 日

*通訊作者, 電話: 886-6-2757575ext.63821, E-mail: rjyou@mail.ncku.edu.tw 接受日期:民國 98 年 12 月 08 日

光達點雲平面特徵自動化匹配於航帶平差之應用

尤瑞哲

王偉立

摘 要

空載光達的系統性誤差會造成相鄰航帶點位高程偏差，通常應用航帶平差方法來減低系統性誤差的 影響。使用這種方法時，必須在不同航帶找出對應區域或連結點的位置。一般以人工選取的方式決定對 應區域或連結點的位置，而人工選取的方式費工又費時。本文提出一套自動化選取對應區域或連結點的 方法：首先以張量投票法自動偵測光達平面特徵；其次計算同一航帶內所萃取出的平面之位相關係，並 將具有相似位相關係的平面以二階段的類神經網路演算法進行匹配，同時提出以二分樹法來提高匹配的 正確率；最後再將匹配後得到的共軛平面之重心坐標視為連結點進行航帶平差。本法的好處是連結點的 選取工作可以自動化地執行。航帶平差的實驗結果顯示：本文所提出的自動化匹配對應平面區域的方法 對於改善空載光達高程精度是相當可行的。

關鍵詞：張量投票、類神經網路、航帶平差、空載光達

1. 前言

空載光達是一種整合性的系統，它結合了高精 度的雷射掃描系統、全球定位系統以及慣性導航系 統，可以快速且大量地蒐集地面點在三維空間中的 坐標。由於空載光達是結合數種不同系統進行量測 工作，地面坐標的計算必須經過一連串的坐標轉換。

從誤差傳播理論可以得知，其中任意一個系統產生 誤差都會反應至計算得到的掃描點坐標上，造成點 位坐標偏差。

對於高精度的空載光達來說，改正系統誤差量 時，通常在重疊航帶中找出對應區域或連結點。但 由於空載光達掃描無法像航空攝影測量一樣直接 獲得所要量取的地物特徵點，這些特徵點的幾何資 訊係隱藏於點雲資料中。使用地物特徵點來進行對 應區域或連結點的匹配工作時，需要先將點雲資料 中地物特徵點的幾何資訊萃取出來。在光達特徵萃 取方面，Maas and Vosselman(1999)運用動量具有 平移與旋轉的不變性，由原始的點雲資料中萃取出 建物的山形屋頂面。Filin(2002)在特徵空間中，比

較點雲資料的幾何特性，將具有相似特性的點雲資 料合併在一起。Roggero(2002)結合了區域成長法 與principal component analysis以進行地物分群。

Schuster(2004)使用張量投票法從光達資料中萃取 高壓電力線與建物平面。

萃取出光達點雲的幾何資訊後，即可使用這些 由不同航帶中所萃取出來的幾何特徵進行匹配與 誤差改正的工作。傳統作法是使用航帶平差來改正 誤差，其原理是由重疊航帶對應區域或連結點具有 某些相同的特性來求解每條航帶的變形參數以進 行誤差改正，例如Kilian et al. (1996)、Vosselman and Maas (2001)、Crombaghs et al. (2000)、

Burman (2000)。這些方法中，對應區域或連結點 的選取通常是由人工指定位置。然而，人工選定費 時費力，因此本文研究自動化執行對應區域或連結 點的選取工作，以增進效率。

本研究假設不同航帶平面間的位相關係不因 系統誤差而有較大變化，對不同航帶間利用張量投 票法所找出的平面進行匹配。匹配方法則使用類神 經網路演算法將具有相似位相關係的光達平面進

行分類，再將匹配後所得到的共軛平面的重心當成 航帶平差的連結點。最後利用連結點在不同航帶具 有相同高程的特性進行航帶平差，以提高空載光達 成果的精度。本研究選取共軛平面或連結點完全自 動化，同時發展一套建立在二分樹概念下的檢核方 法，以提高配對成功率。

2. 理論基礎

2.1 張量投票法

Medioni et al. (2000)提出的張量投票法可以從 三維的點資料中推斷出這些點屬於點、線、面幾何 特徵的強度值。張量投票法主要分為張量編碼、張 量傳遞、張量分解三個步驟。

三維點資料可以用 3×3 的二階對稱張量加以 編碼，此張量紀錄每個點屬於點、線、面的幾何資 訊以及強度值，以矩陣

T

T

1 1

T

1 2 3 2 2

T

3 3

0 0 e T [e e e ] 0 0 e

0 0 e

λ λ

λ

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

(1)

其中e 、e 、e 為正交的特徵向量， 、 、 為 相對於e 、e 、e 方向的特徵值，且 。 為了顯示幾何特徵資訊，可以將第(1)式改寫如 下：

T e e ^T e e ^T e e ^T          e e ^T e e ^T e e ^T 其中e e ^T e e ^T e e ^T定義一個三維的球形張 量，以 代表屬於點特徵的強度值，其點特徵沒有 特定的方向。e e ^T e e ^T定義一個三維的平面張 量，此平面為一個位於 e , e 所構成的平面上的二 維圓盤，以e 代表此線特徵的切線向量，

代表線特徵的強度值。e e ^T定義一個三維的棒狀 張量，以e 代表此面特徵的法線向量， 代 表面特徵的強度值。

在張量傳遞的過程中，每一個點會藉由一個張 量場將本身所屬的幾何特徵傳播至鄰近的範圍，而

每個點也會接收鄰近點所傳來的資訊，傳遞與接收 資訊的範圍是由設定的搜尋半徑而定，總和其他點 傳來的張量後可以得到每個點最終的張量。經過張 量傳遞的過程後，可以得到最終的張量場，將此張 量場分解為第(2)式的形式，可從點位特徵的強度 值判斷該點是屬於點、線或是面特徵。

2.2 類神經網路

類神經網路是一種模仿生物神經網路的資訊 處理系統，它使用大量簡單的相連人工神經元來模 仿生物神經網路的能力。透過反覆地訓練，可以讓 類神經網路學習輸入值與輸出值之間的數學模式。

訓練完成後，當其他未曾訓練過的輸入值輸入網路 時，網路即可由剛學習完成的數學模式推論出正確 的輸出值 (葉怡成，2003) 。

本 研 究 使 用 機 率 神 經 網 路(Probabilistic Neural Network, PNN ;Specht,1990)對光達平面 進行匹配，此網路是一種監督式學習網路，可以用 來處理分類問題。網路共包含了輸入層、隱藏層與 輸出層，其中輸入層與隱藏層間具有一組加權連結 值，隱藏層與輸出層間也具有另一組加權連結值。

機率神經網路的學習過程主要分為下列幾個 步驟：

1. 設定網路的散佈值

網路的散佈值影響整個網路的輸出結果。當 使用過小的散佈值時，網路的容錯能力不佳，雖 然可以很明確的分類出訓練資料，但對於與訓練 資料稍有誤差的測試資料，即沒有辦法正確的進 行分類；當使用過大的散佈值時，網路輸出會過 於平滑使得每個輸出值都一致，而沒有辦法進行 分類。

2. 設定網路的加權連結值

網路的加權連結值直接由訓練資料的輸入值與 輸出值來決定。輸入層與隱藏層間的加權連結值 W1為：

ih hi

i h h i

W1 = X

× ×

(3) (2)

其中W1 代表加權連結值W1中第i列第h行的值，

X 代表訓練資料中第h列第i行的值。隱藏層與 輸出層間的加權連結值W2為：

ij ij

i i i i

ij i i

W2 =1 if Y 1;

=0 if Y 0;

× ×

×

=

= (4) 其中W2 代表加權連結值W2中第i 列第j 行的值，

Y 代表訓練資料的輸出值Y中第ｉ列第j行的值。

當網路學習完畢後，網路中的加權連結值W1 與W2即已經確定。此時若有測試資料輸入網路，

網路會根據學習到的知識來計算此輸入資料所對 應的輸出值而將資料進行分類，輸出值的計算分為 下列兩部分：

隱藏層輸出值H 為：

2

ik hk ih

i k h h k i h

net1 = ( X - W1 )

×

∑

2

ik ik

i k i k

H = exp (- net1 /2

σ

× ×

(6)

第(5)式的X 代表測試資料中第h列第k行的值，

net1 代表此輸出值中第 i 列第 k 行的值。第(6) 式的

σ

輸出層輸出值

Y

ik ij ik

i k i i i k

net2 = W2 H

× × ×

(7)

ik i ik ik

ik

if (net2 = max net2 ), Y =1

else , Y =0

而第(8)式的 _ik

max net2i 代表 _net2ik的第k行所包含 i個元素中的最大值。

2.3 航帶平差

因為空載光達航帶平差的模式並非本研究探 討的重點，因此本文僅使用三參數航帶平差模式求 解航帶變形參數，以驗證自動化配對的成果。三參 數航帶平差模式是由Crombaghs et al.(2000)所提 出，此模式只針對高程部分作改正。該模式假設造

成高程系統誤差的參數有三個，分別是高程平移量 a、飛機飛行時繞E、N兩坐標軸傾斜所造成的高 程誤差參數b^與c，其誤差量可以用下式來表示：

∆ , (9) 其中

Δ H E N

( , )

E

N

   , ∆ , ,    _, ∆ , , (10) 其中k、j代表航帶編號，i代表兩航帶中連結點編

號，      _, 與      _, 分別代表k航帶與j航帶中

由空載光達觀測得到連結點i的高程。等號移項後 可得到連結點的觀測方程式如下：

   ,

   ,

   ,

   , , 

, , , ,

其中 _, 與 _,代表k 航帶中連結點i的E、N 坐 標， _, 與 _, 代表j航帶中連結點i的E、N坐標。

而控制點觀測方程式則為

   ,

     ,

, ,

其中    代表地面控制點 的高程。

3. 平面自動化匹配

本研究首先使用張量投票法對光達資料進行 面特徵萃取，接著引入第2.2 節所介紹的機率神經 網路概念對找出的光達平面進行匹配。配對成功後，

將配對所得共軛平面的重心作為航帶平差時的連 結點，以進行航帶平差，並使用粗差檢測機制剔除 配對錯誤的平面，求解出每條航帶的變形參數，以 改善光達點高程精度。

3.1 面特徵萃取

以張量投票法計算出每個點的最終張量場，將 此張量場分解為第(1)式和第(2)式的型式，並計算

(11)

(12)

出屬於面特徵的強度值。接著將大於面特徵強度門 檻值0.9 的所有點取出，並以其中面特徵強度最大 的點當種子點作區域成長法，若是種子點鄰近的點 與種子點的法向量夾角小於面成長的門檻角度 20 度時，則將這些點合併。以未合併的點中面特徵強 度最大的點當成第二次區域成長法的種子點，重複 此步驟直到沒有種子點，如此即可得到光達平面。

詳細作法請參閱You and Lin (2007)。

3.2 以機率神經網路進行位相 關係的匹配

本研究採用PNN 對光達平面進行配對的原因 是它的加權連結值只與訓練資料有關，可以由訓練 資料中直接得到並一次確定，而不像其他類神經網 路需要迭代更新加權連結值，因此相較之下學習過 程較為快速。

本研究計算五種位相關係以進行PNN匹配：

面積、動量、平面間的面重心距離、面重心水平角 以及面重心垂直角。Maas and Vosselman (1999) 利用動量(moment)具有平移與旋轉的不變性來獲 取建物的模型參數，所以本研究將平面的動量納入 配對條件中。假設共軛平面的動量和面積不會因為 點位坐標偏移而有太大的改變，因此一開始計算每 個航帶所萃取出的平面的面積和動量，並使用它們 作為第一階段PNN演算法的訓練資料。然而，動 量和面積並不具有唯一性，即使不是共軛平面，也 有可能因為動量和面積相似而產生誤認的情形，因 此只使用動量和面積作為訓練資料並不足夠，還需 要加入額外的元素。

由於光達點雲為三維坐標資料，欲確認三度 空間中的唯一位置，至少還要使用距離、方位角與 垂直角這三個元素，因此在本研究的PNN演算法 中加入這三個位相關係。本研究以每個平面的重心 來代表該平面的位置。假設平面彼此間的面重心距 離、面重心水平角以及面重心垂直角固定，在不同 航帶應是相同的。應用時，先找出對應關係正確的 共軛平面作為計算位相關係的參考面，以其他平面 相對於此參考面的面重心距離、面重心水平角以及

面重心垂直角是否相似而將平面進行配對。

具體的匹配過程分為下列幾個部份。首先，計 算各平面的面重心位置、動量與面積。接著，使用 動量和面積進行第一階段匹配。第二階段PNN演 算法由配對成果中找出兩組共軛平面作為引入位 相關係的參考面。選取兩組參考面的原因是需要由 這兩組參考面重心連接而成的邊來固定面水平角 與面垂直角的起算方向，如此才可計算其他平面相 對於這兩組參考面的2個面距離、2個面水平角、2 個面垂直角共六個元素進行第二階段匹配。本文 PNN演算法分成兩個階段，第一階段以面積和動量 位相關係進行匹配，第二階段的PNN演算則以平面 間的面重心距離、面重心水平角以及面重心垂直角 位相關係進行匹配。雖然在類神經網路演算時，所 使用的位相關係越多，匹配結果會越好，但因空載 光達平面特徵可能相當多，一次使用越多的位相關 係，則類神經網路演算時間會越多。先以面積和動 量位相關係進行PNN演算可快速地匹配，而在第 二階段時，因為已在第一階段篩選掉一些不符合的 平面，所以此時以較精確的位相關係進行匹配，可 以節省PNN的演算時間。

3.2.1 計算平面重心位置、動量和面積

重心位置的計算，是將構成該平面所有點的X、

Y、Z 坐標分別相加並取平均值，使用的公式如 下：

1 1 1

1 1 1

, ,

n n n

i i i

i i i

X X Y Y Z Z

n ₌ n ₌ n ₌

=

∑

∑

∑

其中n代表此平面上的總點數。動量的計算使用公 式 (Maas and Vosselman,1999) 如下：

2 2 2

1

( ) ( ) ( )

n

i i i

i

X X Y Y Z Z

m n

=

− + − + −

=

∑

平面面積的計算則是以平面中每個邊界點坐 標計算而得。可將點雲資料平面坐標 (X,Y) 組成 不規則三角網後，以沒有和其他三角形具有相同共 界邊的三角形邊長所構成頂點集合而成邊界點，每 個邊界點再加上 Z 坐標後計算面積。更簡便的方 法將構成該平面之所有點進行求取其包圍凸多邊 (13)

(14)

形即可。

3.2.2 以動量和面積進行匹配

類神經網路的輸入資料分為訓練資料與測試 資料兩種。使用訓練資料的目的是要提供網路作為 訓練時的參考依據，而測試資料則是在網路訓練完 成後，由訓練得到的數學模式來推論此測試資料所 對應的輸出值。本研究的作法是將兩條相鄰航帶其 中一條航帶(假設為 B 航帶)的平面動量和面積作為 訓練資料，另一條航帶(假設為 A 航帶)的平面動量 和面積作為測試資料，藉由類神經網路將訓練資料 與測試資料中具有相似動量和面積的平面配對起 來。

配對完成後，航帶 A 的平面會對應到航帶 B 的平面，但並不能保證匹配結果是正確的，因為動 量和面積並不具有唯一性，分類後得到的結果只能 顯示航帶A 的某個平面最有可能對應到航帶 B 的 哪一個平面，確實的共軛平面仍須再以下列方法確 定之。

3.2.3 選取兩組平面對作為參考面

以面距離、面方位角以及面垂直角的位相關係 進行第二階段的 PNN 演算，需要兩組共軛平面對，

這兩組係以動量差和面積差的誤差函數值選定之。

首先，將所找出的平面對之動量差和面積差按第 (15)式計算誤差函數值：

(15)

式中的F 為誤差函數，

a

a

面水平角、面垂直角進行匹配的參考平面對，所有 其他在第一階段配對出的平面均計算它們和此參 平面的距離、水平角和垂直角，以進行第二階段的 PNN 演算。反之，若不在門檻值內，則以誤差函

數次小的兩組平面對重新進行判斷，直到符合門檻 值條件為止。

3.2.4 以面距離、面水平角、面垂直 角進行匹配

當兩組參考面選取完畢並通過面距離、面方位 角以及面垂直角門檻值的檢核後，即可以其他平面 重心相對於這兩組參考面重心的面距離、面水平角 以及面垂直角是否相似對光達平面進行PNN演算 配對。配對完成後，同樣需要以配對完成後所得到 平面對的重心相對於兩組參考面重心的面距離、面 水平角、面垂直角差值是否在預設的門檻值內為判 斷條件剔除錯誤的配對。

3.2.5 配對成功之檢核

完成以面距離、面水平角、面垂直角進行匹配 的程序後，配對即完成。然而，在研究中也發現平 面間水平角與垂直角的差異量會受到配對平面與 參考面間的距離所影響。當配對平面距離參考面較 近時，平面間角度的差異量會比較明顯；當配對平 面距離參考面較遠時，則可能因為平面間角度的差 異不顯著而造成類神經網路辨識上的困難。為了找 出這些因距離參考面較遠而難以辨識的平面，本研 究對前面的匹配演算法加以改進。我們使用二分樹 的概念 (Duckham and Worboys,2004) 逐步將匹配 區域進行分割。由於兩條航帶有著相同的地面坐標 系統，當找出參考面後，則兩航帶參考面上下兩個 範圍內應都會有對應的區域。此時以誤差函數最小 的參考面重心橫坐標為劃分界線，將未匹配成功的 平面資料分為上、下兩部分。再次於分割後兩航帶 參考面的上半部以及下半部重新找尋新的參考面 進行匹配，直到沒有任何配對成功的平面才停止迭 代的過程。匹配區域經過分割後，即可縮小待分類 平面間的距離。此時重新選取參考面後，其他平面 相對於參考面的距離會因此較短，使得平面間角度 的差異量較顯著而找出原先難以辨識的平面。同時，

這樣做的優點之一是在第一階段PNN 所找出的參 考面若不正確，此時仍可修正。我們的經驗顯示，

這樣一來可以有較佳的參考面，且又可以找出較多

的共軛面。

3.3 航帶平差與粗差檢測

將匹配後所得到的共軛平面的重心當成航帶 平差時的連結點，並以Crombaghs et al. (2000) 所

提出的三參數航帶平差模式求解航帶變形參數。另 外於航帶平差時，本研究使用數據探測法 (Data Snooping) 進行粗差檢測，以剔除錯誤的觀測量，

關於粗差檢測公式的詳細推導，請參閱李德仁 (1988)。整個演算法的流程圖如圖 1 所示。

圖1 PNN 演算法流程圖 表1 各航帶萃取出的平面數目

strip1 strip2 strip3 strip4 strip5 strip6 萃取出來平面數目 408 450 276 288 362 493

東西向長度(m) 350 360 350 320 2000 2000 南北向長度(m) 1500 1500 1500 1500 360 340

點雲資料

面特徵萃取

計算平面重心位置、動量和面積

以動量和面積進行匹配

選取兩組平面對作為參考面

以面距離、面水平角、面垂直角 進行匹配

配對成功之檢核 二分樹迭代分類

航帶平差與粗差檢測

否 是

以機率神經網路進行匹配

圖2 實驗區域航帶分佈圖

case 1 case 2 case 3 圖3 測試區域平面分佈圖

4. 實驗與分析

4.1 實驗資料介紹

本研究所使用的空載光達實驗資料以成功大 學光復校區周圍為實驗範圍，此實驗資料共有六條 航帶，包括四條南北向的航帶與兩條東西向的交叉 航帶。由於地面點邊界範圍不明確，容易造成重心 偏移而無法匹配成功，因此只選取建物屋頂面進行 匹配。各航帶經過張量投票法找出的平面數目於表

1 中，而以張量投票法取出的平面位置分佈如圖 2 所示。

我們選取三個區域(圖 2 和圖 3)作為測試我們 的PNN 演算法：

case 1：只選取一棟建物作為匹配區域，此建物中 有13 個平面參與配對；

case 2：選取四棟建物作為匹配區域，共 36 個平面 參與配對；

case 3：選取十六棟建物作為匹配區域，共 64 個平 面參與配對。