Electrical Circuit Electrical Circuit--

Electrical Circuit Electrical Circuit--

Handout #3 Handout #3

Objective Objective::

z

z

節點分析法節點分析法節點分析法節點分析法

z

z

迴路分析法迴路分析法

方程式的解 方程式的解 方程式的解 方程式的解

z

z

ff (( xx )) 為為 nn次多項式，稱次多項式，稱ff (( xx ) = 0) = 0 為一元為一元 nn 次方程式，使方次方程式，使方

z

z

f f ( ( x x ) ) 為為 nn次多項式 稱次多項式 稱f f ( ( x x ) 0 ) 0 為一元為一元 n n 次方程式次方程式 使方使方 程式程式 f f ( ( x x ) = 0 ) = 0 成立的成立的xx值，稱為此方程式的根、解或零點值，稱為此方程式的根、解或零點

z

z

設設 aa、設設 、bb、、c c 都是實數，且都是實數，且 aa 0 都是實數都是實數 且且

≠

0 一元二次方程式一元二次方程式一元二次方程式一元二次方程式 ax

ax²² + + bxbx + + c c = 0= 0的根為的根為

‹

‹ 一元二次方程式一元二次方程式 axax²² + + bxbx + + c c = 0= 0

2 4

b 2b ac

x a

− ± −

= 9

9 若若 bb²²–– 44ac ac > 0> 0，有兩相異實根。，有兩相異實根。

9

9 若若 bb²²–– 44ac ac = 0= 0，有兩相等實根。，有兩相等實根。

9

9 若若 bb²² 44acac < 0< 0 ，沒有實數解。，沒有實數解。

9

9 若若 bb²²–– 44ac ac < 0 < 0 ，沒有實數解。，沒有實數解。

z

z

求求nn次多項式次多項式方程式的解方程式的解

‹

‹ 求解聯立方程式求解聯立方程式

‹

‹ 求解聯立方程式求解聯立方程式

‹

‹ 長除法來因式分解求解長除法來因式分解求解

‹

‹ 克萊姆法則克萊姆法則(Cramer’s Rule)(Cramer’s Rule)求解求解

方程式的解

方程式的解::行列式 行列式(Cont’d) (Cont’d) 方程式的解

方程式的解::行列式 行列式(Cont d) (Cont d)

z

z

22 ×× 22 的行列式的行列式 (determinant)(determinant)

z

z

2 2 ×× 2 2 的行列式的行列式 (determinant)(determinant)

11 12

11 22 21 12

| | a a

A = = a a − a a

‹

‹ 矩陣的行列式可以為正、零或負值矩陣的行列式可以為正、零或負值。。

21 22

a a

z

z

Ex:Ex:

2 3 2 3

2(2) 1( 3) 7 1 2

− = − − =

2 1 2(2) 4(1) 0

4 2 = − =

4 2

方程式的解

方程式的解::行列式 行列式 (Cont’d) (Cont’d) 方程式的解

方程式的解::行列式 行列式 (Cont d) (Cont d)

z

z

33 ×× 33 的行列式的行列式 (determinant)(determinant) ^{減這三個乘積}

z

z

3 3 ×× 3 3 的行列式的行列式 (determinant)(determinant)

11 12 13

| |

a a a

A

^{21 22 23 21 22}

12 11

13 12

11

a a

a a

a

a a

a a

a

21 22 23

31 32 33

| | A a a a

a a a

=

32 31

33 32

31

22 21

23 22

21

a a

a a

a

a a

a a

a

加這三個乘積

11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12

| |

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

= + +

− − −

加這三個乘積

z

z

Ex:Ex:

31 22 13 32 23 11 33 21 12

⎤

⎡0 2 1

_{0 2}

-4 0 6

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

1 4

4

2 1

3 A

4 4

1 3

2 0

−

−

| | 0 16 12 ( 4) 0 6 2 A = + − − − − − =

⎥⎦

⎢⎣4 4 1

4 4 ^{| | ( )}

克萊姆法則

克萊姆法則(Cramer’s Rule) (Cramer’s Rule) 克萊姆法則

克萊姆法則(Cramer s Rule) (Cramer s Rule)

z

z

一元二次方程式求解一元二次方程式求解

z

z

一元二次方程式求解一元二次方程式求解

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x b a x a x b

+ =

+ =

z

z

Sol:Sol:

21 1 22 2 2

a x + a x b

11 12

21 22

| | a a

A = a a

^{1 12}

1

2 22

| | b a

A = b a

₂ ^{11 1}

21 2

| | a b

A = a b

1 2

1 2

| | | |

| | , | |

A A

x x

A A

= =

| | A | | A

克萊姆法則

克萊姆法則(Cramer’s Rule) (Cramer’s Rule) 克萊姆法則

克萊姆法則(Cramer s Rule) (Cramer s Rule)

z

z

一元三次方程式求解一元三次方程式求解

z

z

一元三次方程式求解一元三次方程式求解

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

a x a x a x b a x a x a x b

+ + =

+ + =

z

z

Sol:Sol:

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x + a x + a x = b z

z

Sol:Sol:

11 12 13

| |

a a a

A a a a

1 12 13

b a a ^{11 1 13}

| |

a b a

A a b a

11 12 1

| |

a a b

A = a a b

21 22 23

31 32 33

| |A a a a

a a a

= 1 2 22 23

3 32 33

| A | b a a

b a a

= ^{2 21 2 23}

31 3 33

| A | a b a

a b a

= _{3 21 22 2}

31 32 3

| A | a a b

a a b

=

1 2 3

1 2 3

| | | | | |

, ,

| | | | | |

A A A

x x x

A A A

= = =

| | | | | |

Example:

Example:

Example:

Example:

1

3

2

4

3

3

x + x + x =

⎧

_{1 2 3}

⎧ ^x

₁

^{+ 3 x}

₂

^{+ x}

₃

^{= − 2}

1 2 3

3 4 3

2 6 9 5

3 2 7

x x x

x x x

x x x

+ +

⎧ ⎪ + + =

⎨ ⎪ + − =

⎩

1 2 3

1 2 3

3 2

2 5 5

2 3 6

x x x

x x x

x x x

+ +

⎧ ⎪ + + = −

⎨ ⎪ + + =

⎩

1 2 3

3 x + x 2 x = 7

⎩ ⎩ ^x

¹

^{+ 2 x}

²

^{+ 3 x}

³

^{= 6}