微乙小考四 (2015/11/26)
1. (8分) 令 f (x) = 3x2+ 2x, x ∈ [0, 2]。令 ¯f 為 f(x) 在 [0, 2] 區間上的平均值。求一常數 c ∈ [0, 2]
使得 f (c) = ¯f . sol:
f (c) = ¯f = R2
0 f (x)dx 2 − 0
= R2
0(3x2+ 2x)dx 2
=
(x3+ x2)
2
0
2
= 6
∴ 3c2+ 2c = 6 ⇒ c = −2 +√ 76
6 ∈ [0, 2]
2. 求下列函數的導函數：
(a) (6分) d dx
Z 1 x2
sin t t dt (b) (6分) d
dxln x · Z x2
1
tan tdt
!
sol: (a)
d dx
Z 1 x2
sin t
t dt = 0 − sin x2 x2 · 2x
= −2 sin x2 x (b)
d dxln
x ·
Z x2 1
tan tdt
= 1
xRx2
1 tan tdt
Z x2 1
tan tdt + x · tan x2· 2x
= 1
x + 2x tan x2 Rx2
1 tan tdt
1
