教育部 100 學年度高級中學數學競賽

教育部 100 學年度高級中學數學競賽

台中區複賽試題（一） （時間二小時）參考解答

注意事項：

.

1 本試卷共五題計算證明題，滿分為四十九分。

2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。

一、 觀察一組 0, 1 所組成的數列，我們定義：當 1 個或多個相同數連在一 起時，稱為一個”串”。例如”1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1”共有 5 個串，或說其 串數為 5. 今將 n 個 0 和 m 個 1 隨機排列，形成一串數為 R 的數列。

(a) 求 R  2 的機率。

(b) 若 R  2 k  1 ，k 為整數，則 k 的範圍為何？

(c) 求 R  2 k  1 的機率。

【解】

(a) ²_{m n} Cn^

(b) 當nm, 1 k min ( , )m n 當nm, 1  k m 1 (c)

1 1 1 1

1 1

m n m n

k k k k

m n n

C C C C

C

   

 





令R 代表 ”1” 的串數，₁ R 代表 ”0” 的串數，則 ₀ RR₀R₁. 若R₁r, 則 R 的值只可能是 r, ₀ r1, 或 r1, 反之亦然。

所以，

1 0 1 0

( 2 1) ( 1 ) ( +1).

p R k  p R  k 且R k  p R k 且R k --- (1) 先求 p R( ₁ k 1 且R₀ k).

(a) 先將 n 個 0 分成 k 堆，各有x₁, .. ., x 個，即滿足 _k x₁    _kx , nx_i 1, 共有C_kⁿ_^₁¹種分法。

(b) m 個 1 要形成k1個串，則要在其m1個間隔中，選出 k 個間隔並插入

(9 分)

(a)中的”0”串，共有C_k^m1種選法。

所以，由(a), (b)知：

1 1

1

1 0

( 1 )

m n

k m n k

n

C C

P R k R k

C

 

 

  且   . --- (2) 同理可得，

1 0

1 1

( 1 1)

m n

k m k

n n

C C P R k R k

C

 

 且     . --- (3) 因此，由 (1), (2), (3) 知，

1 1 1 1

1 1

( 2 1)

m n m n

k k k k

m n n

C C C C

p R k

C

   

 



    .

二、 設 1

2

2   a 3 , a

 a

(2  a

) , n  1, 2, 3, ... , 證明

1 2

1 1 1 1

2

n 2

a a a

      .

【解】

由 a_n1a_n(2a_n1) 得 ₁ ² 1

n n

n

a a

  a

 .

解方程 2

1 x x

 x

 , 得到兩個不動點x₁0, x₂ 1;

再由 ₁ ²

1

n n

n

a a

 a

 和 ₁ 1 ¹ 1

n n

n

a a

 a

  

 , 可得 ¹

1

1 1 1

2

( )

n n

n n

a a

a a





   ,

由此得出，

1 1

1 1 1

1 1

( )( )

an a

    .

注意到 1 ₁ 2

2 a 3 時，

1

1 1

2 a  1 1, 故

1

1 1 1

1 1

2

2ⁿ a_n ^n

    .

(10 分)

所以，

₁

1 2

1 1 1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

1 2

1 2ⁿ a a  an        ^ 1

2 2

2ⁿ

n n

     ;

₂

1 2

1 2

1 1 1 1 1

(1 ) (1 ) (1 )

2 2ⁿ

a a  an        1 1

1 2ⁿ 2

n n

     . 故，

1 2

1 1 1 1

2 _n 2

n n

a a a

       .

三、 找出所有的正整數 , , , , n x y z t 使得

x y z t

n  n  n  n .

【解】

很明顯地，n1, 所以我們可假設n1. 不知一般性，假設x  y z t.

x y z t

n n n n  1 n^{y x} n^{z x} n^{t x} .

若yx, 則 mod n 後得1 0 (mod n), 矛盾，所以yx. 因此，方程式簡化為 2n^a n^b, 其中a z x, b t x.

若a0, 則n3且b1, 可得解

( , , , , )n x y z t (3, , , , x x x x1), x .

若a0, 則 mod n 後得20(mod n), 所以n2, 此時方程式再簡化為 2 2 ^a 2^b, b a 0

2^b12^a1 1  a 1 and b2 所以，

( , , , , )n x y z t (2, , , x x x1, x2), x .

(10 分)

四、 設

是一個嚴格遞增函數，即 ( ) f m  f n ( ) , 對所有

皆成 立。已知 (2) 2 f  且 ( f mn )  f m f n ( ) ( ) 對所有互質的 , m n 都成立，試 找出所有滿足以上條件的函數 f 並證明之。( 代表所有正整數所成 的集合)

【解】 f n( )n,   n . 先求 f(3) :

(3) (5)f f  f(15) f(18) f(2) (9)f  f( 3 )f ( 5 ) f2 ( 9 )f 2 ( 1 0 )f 2f ( 2 ) f( 5 ) 4 ( 5 )  f( 3 ) 4

又 f(3) f(2)2, 所以， f(3)3.

f( 6 ) f ( 2 )f  ( 3 ) f(4)64 且 f(5)5. 接下來，以數學歸納法證明 f n( )n,   n . 首先，當 n1, 2, 3, 4, 5, 6 時，結果成立。

令n6且 f k( )k, kn. 欲證 f n( )n.

設 2 (2^r m1)為不小於 n 且不為 2 的次方的最小偶數，

則 2 (2^r m 1) n, n1, n2, 或 n3. 6

n , 2^r n, 2m 1 n,

 f(2 (2^r m1)) f(2 )^r f(2m 1) 2 (2^r m1).

由嚴格遞增性知： f k( )k，  k 2 (2^r m1).

 f n( )n.

五、 現有一個倒圓錐，放入兩個半徑不同的球

與

，使得

與

互相外 切，且同時與圓錐相切(

與

剛好卡在圓錐中，如下圖所示)。假設 在

、

與圓錐所圍出的空隙中（灰色區域）可以放入

個全等的小 球，使其圍成一圈、每個小球都與圓錐相切、分別與

、

外切、

(10 分)

(10 分)

且相鄰的小球也互相外切，試證：6   n 10 . （

）

【證】

DE² (Rr)²(Rr)² 4Rr DEDFFE

 Rr  Rx rx

x Rr

R r



　  …… (1)

因為小球的球心均在與圓錐軸垂直的一個平面上，

這些小球的球心在 上的投影是同一點 O。

它們均在以 O 為圓心，y 為半徑的圓上。

考慮梯形 ECBD 面積：

( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )

2 2 2 2

rR  Rr  r x xr  xR xR  rR y ( )

( ) ( ) ( )

2 r R y rR  Rr   r x xr x R  xR  

　 ( )

( ) ( ) ( )

2 r R y

r R Rr r x xr x R xR

        

　  

 (r R) Rr r xrx xr x xRR xR

(r R) R r r x r x( x r ) R R x R

 (r R) Rrx Rrr xr R xR (利用(1))

( ) Rr Rr

r R Rr x Rr r r R

r R r

R R

       

 

3 3

2 2

(^{r R}) ^{Rr x Rr R}

(

)

R r

     r

 

 (r R) Rrx Rr Rr R r(   Rr)

Rrx Rr x( R r)²x Rr x R r(   Rr)

∵ sin^{3 1}

2 ( ) 2

0

2

6 x R r

n y R r Rr

   

 

且 sin^{3 1}

2 2 3

60

( ) 3( )

x R r

n y R r R

R r R r r

    





 

(考慮分母，利用算幾不等式：

(2(R r  Rr)2R2r2 Rr 2R2r(R r )－等號不會成立)

 ¹ s i n^{3 6 0 1}

3 2 2

o

 n  .

1 360 1

sin18 sin sin 30

3 3 0 090 2

. 2

o

o o

    n   .

因為 sin 函數在 0 90 為增函數，所以 360

18 30

 2n  , 故 6 n 10.