教育部 102 學年度高級中學數學競賽

教育部 102 學年度高級中學數學競賽

中投區複賽試題（二）【解答】

一、

5 分

四、

3 分

二、

4 分

五、

3 分

三、

3 分

六、

3 分

一、 【解】

設

由

16 2

1 ¹



2x2 2 2 3

: ( 1)

PA xm y

, : _m1 ( 1).

PAPB PB x  y

2

2 2

2

( 1) 4

( 1) 4( 1) 1 0 or 1

4( 1) ^m

x m y

m y y y y

x y

 

         

  



2

4 4

( , _{m m} 1)

A 

由

故 之面積為 的絕對值，即

當

當

故 面積之最小值為 16

二、 【解】

丟銅板 次，假設每次丟擲出現正面的機率為 ，出現反面的機率為 ，其中 恰為在丟擲 次銅板的過程中先出現 次正面的機

率， 恰為在丟擲 次銅板的過程中先出現 次反面的機率，而這

兩個事件彼此為補集，所以其和為 1，也就是

所以

三、 【解】

因為 和 皆為二次且首項係數都是 1，所以它們滿足以下：

(1) 由此可得

2 2

1 ( 1)

4 0 4

4( 1) x m y

x mx x or x m

x y

   

       

  



( 4 , 4 2 1)

B m m

  

APB

2

1 2

2 4 4

1 0 1

4 1 4 1

1 _m 1

m

m m



 



16

1 1

216m _m 8m_m

1 1 1

0, 2

2

m m m

m m  m   m

1 1 1

( ) ( )

0, ( ) ( ) 2

2

m m m

m m      m    m

1 2 8 1 16

m m

m m

     

APB

m n x y

1.

x y ^{1 1}

0 n

m i m i

i i

C x y

  



1 1 0

m

n j n j

j j

C y x

  



1 1

1 1

0 0

1.

n m

m i m i n j n j

i j

i j

C x y C y x

 

   

 

 

 

1 1 1001

1 1 1001

0 0

2 (1 2) 1.

n m

m i m i n j n j

i j

i j

C x y C y x

 

   

 

 

     

 



 

f g

( ) ( )

f x g x ax b

又 除以 之餘式為 因此

( 的首項係數為 1) 另一方面，

而 除以 的餘式為

即知

(3) ( 的首項係數為 1)

由(2)(3)可得

再由(1)可得 代回(2), (3)得

四、 【解】

因為 又

所以 其中

另一方面，

所以 其中

綜合以上，可知

其中

 

 

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) 2( ) ( )

f x g x ax b

g x g x ax b ax b

  

    

2( )

f x g x( ) 4x4,

2 2 2 2

2

( ) 2

( ) 4 4 (2) ax b a x abx b

a g x x

   

   

( ) g x

 

 

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) 2( ) ( )

g x f x ax b

f x f x ax b ax b

  

    

( )

g x f x( )  4x 4,

2 2

(ax b ) a f x( ) 4 x 4 ( )

f x

2

( ) ( ) 8

f x g x  a x

2

0, 8 , 2.

b a a a

2 2

( ) 1, ( ) 1

f x x  x g x x  x

log320 20log3 20 0.4771 9.542  

log325log 2 1.505, log 40 1 2log 2 1.602   

20 8

3  b 10 , 32 b 40.

log 230 30log 2 9.030 log12 2log 2 log3 1.0791

 

  

30 8

2  c 10 , 10 c 12

20 30 8

3 2  d 10 , d  b c, 20 d 30

其中 故 而 的整數部分為 2.

五、 【解】

六、 【解】

為等腰三角形

過 點作 的垂線，

10 ,9

 a 2 a 3 9,

n a

2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 5 ( )

4 ( ) 10 ( ) 2 25 ( ) 10 ( )

1

1 1

1 1 5

f x f x

f f x

f x f x

f x f x

x x

x x x

  



 



  



 



2

21 ( ) 2

( ) (2)

5 5 221

5 8 1

42 14

f x x

f x f

x xx

 



  





BEF    BE CF  

 

 

 

E BF EFGBFC

: : ;

:

EF GF BF CF BE BF CF

  

2 2 12

12 2 3 BF BE CF BF

   

 