基因演算法在重複性工程時間成本 分析之應用
劉昱江
1馮重偉
2鄭道明
3關鍵詞：基因演算法、重複性工程、時間成本權衡
摘要
重複性工程的管理及規劃控制中，時間-成本權衡分析是個相當重要的過程，透 過時間-成本權衡分析，工程規劃工程師能有效的利用作業間的浮時及不同工組或機 具，使得工程成本降低或時程縮短而達到不同的工程目標。目前有關重複性工程之 時間-成本權衡(Time-Cost Trade-Off)問題仍以解析法(Mathematical method)為主，但 由於解析法的求解過程缺乏效率，並不適用於現實的營建環境。本文旨在針對重複 性工程排程階段之時間成本權衡技術，以基因演算法(Genetic Algorithms)之搜尋技 術，建立能同時考量專案趕工之時間與成本解析模式，以增進類似問題之求解效率。
一、前言
近年來因經濟之發展及社會環境之變遷，國內重大工程，如捷運系統、鐵路地 下化、高速鐵路等工程建設如雨後春筍般地陸續展開，而這些重大工程皆具有重複 性。因為工程的重複進行，決策人員若能依作業需要選取較佳的施工技術，不僅能 縮短作業之時程，亦能減少工程之總工期，但由於不同的施工技術伴隨著不同的施 工成本，因此重複性工程的管理及規劃控制中，時間-成本權衡分析是個相當重要的 課題，透過時間-成本權衡分析，工程規劃工程師能有效的利用作業間的浮時及不同 工組或機具，使得工程成本降低或時程縮短而達到不同的工程目標【Feng，1997】。
目前重複性工程之時間-成本權衡問題仍以解析法為主【Moselhi et al.，1993】，
但由於解析法在求解重複性工程工期與成本最佳化過程中，須將所有可能之完工工 期範圍或總直接成本範圍全部加以解析，因而會造成大量的重複計算，導致其求解 時間壅長的缺點。本文旨在針對重複性工程排程階段之時間成本權衡技術，以基因 演算法(Genetic Algorithms)之搜尋技術，建立能同時考量專案趕工之時間與成本解析 模式，以增進類似問題之求解效率，作為營建專案時間成本規劃之參考。
二、文獻回顧
2.1 重複性工程排程技術
重複性工程之排程法自 1970 年以來，就陸續發展出來，儘管這些排程法的名稱
1 朝陽科技大學營建工程系研究生
2 成功大學土木工程系助理教授
3 朝陽科技大學營建工程系副教授
不盡相同，但多半是以線性排程法(Linear Scheduling Methods)為基礎【 Thabet et al.，
1994】，例如：垂直生產法(Vertical Production Method，VPM) 【O’Brien，1975】、 線性排程法(Linear Scheduling Method，LSM) 【Johnston D.W，1981】、線性平衡法 (Line of Balance，LOB) 【Arditi et al.，1986】、水平及垂直邏輯排程法(Horizontal and Vertical Logic Scheduling，HVLS) 【Thabet et al.，1994】、重複排程法(Repetitive Scheduling Method，RSM) 【Harris and Ioannou，1998】。例子有 O’Brien(1975)將 專案中重複性部份利用線性排程法規劃。Johnston (1981)針對線性排程法的專有名詞 定義，並探討其在工程實務上應用之可行性。Arditi 和 Albulak (1986)則以舖面工程 為例，分段說明線性平衡法之使用方式。Thabet 和 Believeau (1994)以相同單元之相 鄰作業與不同單元間相同作業之間隔限制為依據，分析各作業於各單元之開始時 間。Harris 和 Ioannou(1998)認為傳統的 CPM 排程技術僅能從網圖中了解作業順序 及各作業資源使用量，運用於重複性工程則無法確定資源能持續被利用。所以依據 CPM之概念發展一套適用於水平及垂直構造之排程法。
2.2 時間成本權衡問題
目前在求解時間成本權衡分析的模式，仍主要以 CPM(要徑法)為基礎，其中解 題的方式大致可分為：啟發法(Heuristics method)和解析法(Mathematical method)
【Feng et al.，1996】。
啟發法的特性為不需大量的運算便可求得近似解，例如 Siemens(1971)發展的 SAM(Siemens Approximation Method)， Moselhi’s(1993) 建 構 之 勁 度 法 (structural stiffness method)，雖然啟發法在應用上可以得到不錯的解答，但並不保證之最佳解。
解析法則是將專案之時間-成本權衡問題轉變為數學模式並利用線性規劃、整數 規劃、動態規劃來求解。例如 Kelly(1961)採用參數線性規劃來求解最佳工期。Mayer 和 Shaffer(1963)則以整數規劃建構當作業選項關係成線性或離散關係皆可適用之模 式。Butcher(1967)假設作業之施工時間與直接成本函數為不規則型態，在直接成本 已知的情況下，使用動態規劃求解最短完工工期。黃裕鈞等(1995)以時間分配為基 礎，採用成本斜率為變數，進行最佳工期決策理論推導。Feng(1996)等人則結合線 性規劃及整數規劃求解營建工期與成本的權衡問題。王慶煌等(1998)以施工時間為 直接成本之函數，建立一套具有高計算效率最佳工期解析模式及階段遞推演算法。
上述的研究皆以傳統的要徑法(CPM)為基礎所建構的各種數學模式；而以線性 排程為原則進行時間-成本權衡問題的探討，則有 Honda 與 Barcia(1986)利用最佳控 制理論，考慮每經過一段時間可改變一次資源的投入量，建構可分析最低總成本之 數學規劃模式。Russell 和 Caselton(1988)以作業在各單元之工作量及相鄰單元間之中 斷時間為二維之狀態變數，根據動態規劃之概念，解析單元內各作業之開始時間、
各作業進入下一單元緩衝時間之二維問題，建構出能求得最短工期之數學解析模 式。Reda(1990)依據作業間之關係限制，建構出能計算工程專案進行至特定工期時 之最低成本線性規劃模式。Mselhi 和 EI-Rayes(1993)則根據 Russell 和 Caselton 的模 式缺點，加入成本之因素予以考量，以最低工程總成本為原則，建構能同時考慮作 業直接成本與間接成本之資源排程規劃模式。
2.3 基因演算法在工程排程技術之應用
近來由於基因演算法有效率的搜尋能力，使其在工程排程的應用增加不少，但 主要仍以 CPM 為基礎，例如 Feng 等人(1997)以基因演算法來求解營建工程上之時 間-成本權衡問題。Heng and Peter (1997)以改良後之基因演算法求解時間成本權衡問
題，使得基因演算法在求解最佳化之過程能減少計算成本及增加效率。葉怡成、呂 守陞等(1998、1999)考慮資源投入速率受限制的情況下，以基因演算法解資源限制 排程最佳化問題，並發展一套資源限制排程最佳化軟體供工程實務界應用。Heng and Peter(1999)則發展一套結合機器學習(machine learning)與基因演算法的系統 MLGAS (Machine Learning and Genetic Algorithms bases System)來求解時間成本權衡問題，以 機器學習的方法產生時間成本曲線。
由上述的文獻討論可以得知，解析法及啟發法各有其缺點，而基因演算法應用 於營建工程之時間成本權衡分析有不錯的效益，但是僅止於以 CPM 為主要的排程 法，對於重複性工程排程則尚少研究，因此本研究將以基因演算法為主，並針對重 複性工程排程之時間成本權衡問題提出模式分析及解答方案。
三、基因演算法在重複性工程排程時間成本權衡分析之應用
在下面的章節將說明如何利用基因演算法求解重複性工程排程之時間成本權衡 問題，首先將基因演算法作一簡介。
3.1 基因演算法
基因演算法乃是根據「物競天擇」原理及基因演變的理論來尋求最佳解的演算 法。基因演算法最主要的理論依據乃是自然界生物的演化，也就是達爾文進化論中 的「最適者生存」原理。在生物的進化過程中，如何調適並生存在多變的環境中一 直是每種生物所必須要面對的挑戰。換言之，每種生物都必須依生活環境的不同而 改變其本身的基因組合方式，進而達到最適合生存的狀態。因此生物進化的結果往 往是適存度較高的比較能生存下來。因此依相同的原理，在求取目標導向問題中的 最佳解時亦可應用此「適者生存」的原理，來尋找到最佳的答案。
在應用基因演算法求解「最佳化問題」之前，必須將所遇到的問題轉換成所對 應的函數(Fitness Function)，並產生隨機母世代，透過模擬自然界遺傳的過程，包括：
複製(reproduction)、交配(crossover)及突變(mutation)產生新的世代，進而反覆進行世 代演化達最佳解，如圖 1 所示【Cheng and Gen，1998】，其詳細演算過程可參考 Goldberg(1989)之著作。
3.2 時間成本分析之基因演算法模式 3.2.1 染色體結構
由於求解時間成本權衡問題主要在於決定每個作業的選擇項為何，亦如同在基 因演算法中決定各染色體內容的值為何，因此本研究以專案所擁有的作業項目代表 染色體的總長度，而染色體的內容則代表各作業的選擇項。例如一專案包含 7 個作 業項目，其染色體結構如圖 2 所示，圖中染色體之內容表示該作業所選擇之施工選 項，以作業 A1 為例，其選擇施工之時間成本組合為該作業所有施工選項之第 2 選 項。
2 3 1 3 1 2 1
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
該作業選擇項
專案包含七個作業項目
圖 2.染色體結構示意圖
3.2.2 適存值之建立
在基因演算法中，適存值建構的優劣往往會影響整個演算的結果，因此如何建 構一有效率的適存值方程式一直是應用基因演算法在研究上的重要議題。有鑑於基 因演算法乃是以族群搜尋(population search)為尋求最佳解的基礎，因此若是以尋求 最短工期或是最少成本等單一目標為適存值並不經濟。再者，搜尋專案之最佳時間 成本權衡曲線的過程，可視為尋求最短時間及最少成本等之雙目標最佳化過程。所 以本研究將以多目標最佳化做為建構適存值之依據，試著建立有效的適存值方程式。
在決策分析的最佳化問題大多具有多重目標的特性(multiple objectives)的特 性，例如利潤與社會責任、工程之工期與成本，而在搜尋最佳解的過程，則稱為多 項目標最佳化(MOP，Multi-objective Optimization Problem)。這些目標往往是建立在 相衝突的價值判斷上。因此如何在多目標的衝突狀況下權衡取捨，以獲取各方面損 失最小的滿意解，即為多目標最佳化的重要研究課題。
傳統在解決多目標問題經常將多項目標量化成單一目標進行求解，常用的方法 有多目標權重(multi-objective weighting)及效用方程式(utility function)兩種【Feng et al.，1997】。多目標權重法即是將所有目標依其重要性給予適當權重，但其結果通常 只由較佔優勢的目標決定整體的最佳化。效用方程式是將所有目標值轉換成單位相 同的屬性進行運算，決策者可以樂透性的問題(lottery question)得知各目標的屬性。
然而，樂透問題不僅定義上有困難，決策者對樂透問題的回答經常無法一致。
圖 1.基因演算法流程圖
定碼
交配
轉輪盤
突變
評估 後代
計算適存值 答案
解碼 答案
選取
本研究對多目標最佳化則採用 Pareto 在 1986 年所提出多目標的解不受支配解 (Non-dominated set)的觀念。其定義為：假設任何二解 S1及 S2對所有目標而言，S1 均優於 S2，則我們稱 S1支配 S2，若 S1的解沒有被其他解所支配，則 S1稱為不受之 配解。這些不受支配解的集合即所謂的 Pareto front，如圖 3 所示。所以座落在 Pareto front中的所有解皆不受 Pareto front 以外的解所支配，因此這些不受支配解較其他解 而言亦擁有最少的目標衝突，所以提供決策者一個較佳的選擇空間。
3.2.3 適存度方程式
由於本研究乃依多目標最佳化為基礎，因此適存度方程式分別結合成本與工 期。在接下來的部份將分別說明成本、工期之計算及適存度方程式的定義。
1.成本：將各作業所選擇之單一作業成本乘以其單元數，再總和所有作業項目。
2.工期：在工期的計算上，本研究設定 4 個假設條件以限定研究範圍(a)作業一旦開 始便不可以中斷，以保持工作的連續性；(b)各單元間之關係僅有完成-開始(FS)；(c) 同一作業之選項一旦決定，便適用於所有單元作業；(d)無資源限制。依上述之假設 及作業之工作選項，專案之最短工期之計算可依以下之說明求得。
當後續作業的工期大於前置作業的工期，為了維持作業工作的連續性，及作業 間之前後置關係，工期計算如圖 4(A)所示，即由作業 A 之第一單元的結束時間決定 作業 B 第一單元的開始，進而決定整個 B 作業的開始及結束時間。
S 2
S 1
不受支配解之集合 受支配解之集合 多目標之解
圖 3 多目標支配解與非支配解 Pareto front
圖 4.重複性工程之工期計算
0 2 4 6 8 10 11 A1 A2 A3
B1 B2 B3
3 2 1
專案總工期 11 天
0 2 4 6 8 10 11 工期
工期 單
元 數
(A)
B1 B2 B3 A1 A2 A3
3 2 1
專案總工期 11 天
0 2 4 6 8 10 11
0 2 4 6 8 10 11 工期
工期 單
元 數
(B)
當後續作業工期小於前置作業工期，同樣為了保持作業工作的連續性及作業間 之前後置關係，工期計算如圖 4(B)所示，即由作業 A 之最末單元的結束時間(在此例 為第三單元的結束時間)決定 B 之作業最末單元的開始時間，進而決定整個作業的開 始及結束時間。若作業有不只一個前置作業，則由最大之可能開始時間決定，如此 便可計算已知各作業時間的重複性工程之最短工期，詳細內容可參考 Harris 與 Ioannou(1998)之著作【Harris and Ioannou，1998】。
3.適存度方程式：由於本研究之適存度方程式結合工期與成本，也就是希望在基因 演算法的演化過程中，能在世代的演化找到最佳之權衡曲線，因此適存度方程式依
「越接近權衡曲線，適存值越大」的原理定義，因此將定義為：
i max
i
d d
f = −
di = min [ dij ] j
其中 f i：各解之適存值
d max：所有各解至權衡曲線解之最長距離 d i：各點至權衡曲線解之最短距離
i = 世代中之所有解
j = 世代中在權衡曲線上之解，如圖 5 所示。
cj 2 2 ci
tj
ij
( P
tiT ) ( P T )
d = − + −
其中 d ij：各解至權衡曲線點之距離 P ti：各解之專案工期
P ci：各解之專案成本
T tj：現存世代權衡曲線解的專案工期 T cj：現存世代權衡曲線解的專案成本
如此定義後，透過世代不斷的演進將使得權衡曲線不斷演進而達到最佳之權衡 曲線，如圖 6 所示。
時間成本權衡曲線 di=minj [dij]
Solution Tj Solution Pi
圖 5.最適值的決定
時間 成本
cj 2 2 ci
tj
ij
( P
tiT ) ( P T )
d = − + −
四、模式應用結果
4.1 解析模式介紹
一個依本研究所建構之基因演算法為基礎，並結合 Microsoft®Excel 2000 與 Visual Basic for Application(VBA)程式語言所建構的電腦程式，名為「重複性工程時 間成本分析系統」，用來驗證本研究之結果。
「重複性工程時間成本分析系統」在使用方面大致可分為三個步驟：(1)各項基 本資料輸入，包括：專案中之作業項目、各作業施工選項的時間成本組合資料、專 案作業間之前後關係順序以及基因演算法各參數之設定。(2)依據各項輸入資料執行 程式。(3)求得時間成本權衡曲線，並求解曲線上各點之時間成本組合。圖 7 為「重 複性工程時間成本分析系統」輸入介面。其詳細內容可參考【劉昱江，2000】。
時間 圖 6.時間成本權衡曲線推進示意圖
初始世代之權衡曲線 最末世代之權衡曲線
成本
圖 7.「重複性工程時間成本分析系統」之輸入介面
4.2 實例應用
營建工程時間成本權衡的目的是在考量某特定總工期的限制下，求解該特定總 工期之最小成本的時間成本組合方式。案例一為有 19 個作業項目，作業單元數為 3 之專案為例，圖 8 為描述其作業間關係之網狀圖，各作業之施工選擇項的成本與工 期如表一所示。將基因演算之各項參數設定為：母體數 400、交配率 0.4、突變率 0.02、
世代數 50。
由於初始母世代是經由隨機亂數產生 400 個字串，因此從圖 9 可以看出初始世 代的分佈相當廣泛，並沒有特定集中在某一個範圍。經由 50 個世代的演化過程，所 有的字串漸漸的朝權衡曲線推進，圖 10 顯示第 50 個世代所產生之結果，圖上之線 段即為本案例之最佳時間成本權衡曲線。由於營建工程之間接成本通常假設為直接 成本之某個百分比，因此在求得時間成本權衡曲線後，營建規劃人員可加入預計之 間接成本曲線，即可求得專案之最佳工期，如圖 11 所示。
儘管利用「重複性工程時間成本分析系統」並無法保證每次所搜尋之解皆為最 佳解，但經由試驗結果顯示，「重複性工程時間成本分析系統」有 96%的機率可以找 到最佳解；此外以本案例而言，其所有的可能排程方式有 2.04*108種，而「重複性 工程時間成本分析系統」則搜尋 20000(=400*50)種不同的排程方式，僅是所有可能 解的 0.00098%。
由於「重複性工程時間成本分析系統」能以極少的搜尋範圍即可找到近 96%的 最佳解，證明「重複性工程時間成本分析系統」在執行上具有效率性及精確性。圖 12為執行結果之輸出介面，為時間成本權衡曲線上各點之時間成本組合，決策人員 可依實際上的需要決定採用何種的時間成本組合。
表一.應用案例一之工程基本資料
作業項目 作業選項 工期(天) 成本($) 作業項目 作業選項 工期(天) 成本($)
1 1 5 1000 2 15 215
2 10 500 3 16 200
3 15 250 10 1 15 300
4 20 125 2 18 240
1
3
4
5 7
2 6
11 10 9
14
15
13 8
17 16
12
18
19
圖 8.應用案例一之作業網狀圖
#
# 作業編號
表一.應用案例之工程基本資料(續)
作業項目 作業選項 工期(天) 成本($) 作業項目 作業選項 工期(天) 成本($)
2 1 14 2400 3 20 180
2 15 2450 11 1 15 450
3 16 1900 2 22 400
3 1 15 3000 3 33 320
2 18 2400 12 1 16 450
3 20 1800 2 20 350
4 1 15 4000 3 22 300
2 22 3500 13 1 22 2000
3 33 3000 2 24 1750
4 40 2500 3 28 1500
5 1 12 45000 14 1 14 4000 2 16 35000 2 18 3200 3 20 30000 15 1 15 2400
6 1 22 20000 2 18 2200
2 24 17500 3 21 2000 3 28 15000 16 1 16 25000 7 1 14 40000 2 19 22500 2 18 32000 3 22 21000 3 24 18000 17 1 20 3000
8 1 9 30000 2 22 2000
2 15 24000 18 1 16 3500 3 18 22000 19 1 9 3000
9 1 14 220 2 15 2400
T H E I N I T I A L G E N E R A T I O N
3 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0
D U R A T I O N ( D A Y S )
COST($)
圖 9.應用案例之初始母世代
THE FINAL GENERATION
350000 400000 450000 500000 550000 600000
120 140 160 180 200 220 240
DURATION(DAYS)
COST($)
圖 10.應用案例之第 50 世代
圖 12.「重複性工程時間成本分析系統」之結果輸出介面
200000 250000 300000 350000 400000 450000 500000 550000 600000 650000 700000 750000 800000 850000 900000
120 140 160 180 200 220 240
DURATION(DAYS)
COST($)
直接成本 間接成本 總成本
圖 11.應用案例之最佳工期
五、結論及未來研究方向
5.1 結論
本研究旨在建構一個重複性工程之時間成本權衡分析模式，並利用基因演算法 求得最佳權衡曲線。綜纜本研究過程中獲得下列結論：
1. 營建工程之時間成本權衡是個大型的最佳化問題，以傳統的解析法及啟發法求解 重複性工程時間成本權衡問題並不適用，分別就求解時間及品質而言，利用基因 演算法 Pareto front 的搜尋方式證明相當具有成效。
2. 本研究建構之「重複性工程時間成本分析系統」能以極少的搜尋範圍求得最佳 解，而且搜尋範圍並未因專案規模增大而提高。
3. 在作業施工選擇項的時間成本組合方面，本研究所建構之模式可適用於工期與成 本之關係不一定呈線性關係。
4. Microsoft Excel及 VBA 結合的程式，提供一方便且易於使用的介面，大大提升 本研究的適用性。
5.2 未來研究方向
本研究為簡化模式而作了一些基本假設，但由於工程特性的異同，在實務應用上 可能導致無法使用本研究之模式。故本研究對後續研究之建議有以下幾個方向：
1. 本研究以施工時，資源可充分供應為基本假設，然而實際的營建工程環境中可供 使用的資源受到限制，勢必影響專案工程的進度及作業施工順序，且資源的多寡 亦關係到專案總成本的高低，因此資源調配問題，仍有待進一步加以探討與研究。
2. 本研究將作業之工期成本假設為已知且確定能在限制內完成，但是現實的營建環 境中，作業施工之工期及成本充滿未確定性，如物料短缺、群眾抗爭等，因此如 何評估工程之未確定因素，使工程之工期與成本達最佳化，亦為值得探討之方向。
參考文獻
中文部份
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2. 王慶煌、黃裕鈞、吳旻謙、方炤琮，「以直接成本分配為基礎建立營建工期最佳 化模式」，中國土木水利工程學刊，第十卷，第四期，1998，第 731-741 頁。
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6. 劉昱江，「基因演算法在重複性工程時間成本分析之應用」，碩士論文，私立朝陽 科技大學營建工程研究所，台中，2000。
英文部份
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誌謝
本研究承蒙國家科學委員會提供經費(編號：NSC-89-2211-E-324-013)，特此申謝。
