隨堂測驗
11-1. 下列各選項中每一組數的和均為 10000，問哪一組數中兩數的乘積為最大？
(A) 1234，8766 (B) 5500，4500 (C) 6001，3999 (D) 5000，5000 (E) 19，9981
答 ：______。 (D)
解：由算幾不等式可知：兩正數 a 與 b 的和為定值時，當 a＝b 時，兩數的乘積有最大值。
因為各組數的和均為 10000，所以當 a＝b＝5000 時，兩數的乘積有最大值，故選(D) 11-2. 設 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝6，求：
(1) xy2的最大值為_______；此時 x＝8 _______，y＝2 _______。 2 (2) x2y 的最大值為_______；此時 x＝16 _______，y＝4 _______。 1 解：(1) x＋y＋y
3 ≥ 3xy2 ⇒ 2 ≥ 3xy2 ⇒ xy2 ≤ 8，即 xy2的最大值為 8，此時 x＝y＝2
(2) x 2 ＋
x 2 ＋2y 3 ≥
3 x2y
2 ⇒ 2 ≥
3 x2y
2 ⇒ x2y ≤ 16，
即 x2y 的最大值為 16，此時 x
2 ＝2y＝2 ⇒ x＝4，y＝1。
11-3. 設 x＞0，y＞0，且 x2y＝8，求：
(1) 2x＋y 的最小值為_______；又最小值成立時，x＝6 _______，y＝2 _______。 2 (2) x＋2y 的最小值為_________；又最小值成立時，x＝3 34 _________，y＝2 34 1
2
34 _________。 解：(1) x＋x＋y
3 ≥ 3x2y ⇒ 2x＋y ≥ 3 38 ⇒ 2x＋y ≥ 6，
即 2x＋y 的最小值為 6，此時 x＝y＝2
(2) x 2 ＋
x 2 ＋2y 3 ≥
3 x2y
2 ⇒ x＋2y ≥ 3
3 4 ，
即 x＋2y 的最小值為 3 34 ，此時 x 2 ＝
x
2 ＝ 2y＝
34 ⇒ x＝2 34 ，y＝ 1 2
34
11-4. 設 y＝x＋ 9
x＋2 ＋4，若 x＞－2，則當 x＝_______時，y 有最小值為1 _______。 8 解：∵ y＝x＋ 9
x＋2 ＋4＝( x＋2 )＋
9 x＋2 ＋2
又
( x＋2 )＋ 9 x＋2
2 ≥ 9 ⇒ ( x＋2 )＋ 9
x＋2 ≥ 6，∴y ≥ 6＋2＝8，最小值為 8 此時 x＋2＝ 9
x＋2 ⇒ ( x＋2 )2＝9 ⇒ x＋2＝±3，但 x＞－2，故 x＝1
2 2 2
(2) 此時序組 ( a , b , c )＝____________。 ( 2 ,－2 , 1 )
解：由柯西不等式可知 ( a2＋b2＋c2 ) ( 22＋(－2 )2＋12 ) ≥ ( 2a－2b＋c )2， 得 9．9 ≥ ( 2a－2b＋c )2，即－9 ≤ 2a－2b＋c ≤ 9 當“＝”成立時， a
2 ＝ b
－2 ＝ c
1 ＝t，t 為實數，a＝2t，b＝－2t，c＝t 此時 2a－2b＋c＝9，t＝1，
故當 t＝1 時，a＝2，b＝－2，c＝1，2a－2b＋c＋1 有最大值 10 11-6. 設 a＋b＋c＝6，求：
(1) a2＋b2＋c2之最小值為______；(2) 此時序組 ( a , b , c )＝12 ____________。 ( 2 , 2 , 2 ) 解：(1) 利用柯西不等式：
( a2＋b2＋c2 ) ( 12＋12＋12 ) ≥ ( a＋b＋c )2
⇒ 3 ( a2＋b2＋c2 ) ≥ 36 ⇒ a2＋b2＋c2 ≥ 12，最小值 12 (2) 此時 a
1 ＝ b 1 ＝
c
1 且 a＋b＋c＝6 ∴( a , b , c )＝( 2 , 2 , 2 )
11-7. 設 a，b，c＞0，求 ( a＋b＋c ) ( 1 a ＋
1 b ＋
1
c ) 的最小值為______。 9 解：利用柯西不等式：
〔( a )2＋( b )2＋( c )2〕〔( 1
a )2＋( 1
b )2＋ 1
c )2〕≥ ( 1＋1＋1 )2， 得 ( a＋b＋c ) ( 1
a ＋ 1 b ＋
1 c ) ≥ 9
11-8. 由周長 6 之三角形的三邊分別向外作正方形，如右圖所示，
求三個正方形的面積和之最小值為______。 12 解：設三角形的三邊長為 x，y，z
則三個正方形的面積和為 x2＋y2＋z2，且 x＋y＋z＝6
由柯西不等式， ( x2＋y2＋z2 ) ( 12＋12＋12 ) ≥ ( x＋y＋z )2＝62＝36
⇒ x2＋y2＋z2 ≥ 36 3 ＝12 且等號成立的條件為 x
1 ＝ y 1 ＝
z
1 ＝t，t 為實數，且 x＋y＋z＝6 ⇒ x＝y＝z＝2 故此三個正方形的面積和最小值為 12
12-1. 解不等式 ( x－1 )3 ( 3x－2 )5 ( x＋3 )7 ( 2x＋1 )2＞0。
解：當 r 為大於 1 的奇數時，( x－a ) r為正或為負與 x－a 相同，
故原不等式與下列不等式有同解：
( x－1 ) ( 3x－2 ) ( x＋3 ) ( 2x＋1 )2＞0，
又 ( 2x＋1 )2必為正或 0，參考圖如下：( 因不等式不含等號，故以空心表示各點 )
故其解為－3＜x＜ 2
3 或 x＞1 、但 x≠－
1 2
12-2. 解不等式 3
x＋2 ≥ x。
解：移項通分式得 3－x ( x＋2 ) x＋2 ≥ 0，
－x2－2x＋3 x＋2 ≥ 0，
即 x2＋2x－3 x＋2 ≤ 0，
( x＋3 ) ( x－1 ) x＋2 ≤ 0，
此不等式之解為 ( x＋3 ) ( x＋2 ) ( x－1 ) ≤ 0，但 x≠－2，
故解為 x ≤－3 或－2＜x ≤ 1
12-3. 解不等式 x2－25 ＞x－1。
解： (ⅰ)
x2－25 ≥ 0 x－1＜0 或(ⅱ)
x2－25 ≥ 0 x－1 ≥ 0
x2－25＞( x－1 )2
⇒ (ⅰ)
x ≤－5 或 x ≥ 5
x＜1 或(ⅱ)
x ≤－5 或 x ≥ 5 x ≥ 1
x＞13 由(ⅰ) (ⅱ)得 x ≤－5 或 x＞13
12-4. 設兩點 P (－2 , 5 )、Q ( 4 ,－1 ) 與直線 L：2x－3y＋k＝0，試回答下列問題：
(1) 若 P、Q 兩點在直線 L 的同側，試求 k 的範圍。
(2) 若連接 P 與 Q 的線段與 L 相交，試求 k 的範圍。
解：(1) P (－2 , 5 )、Q ( 4 ,－1 ) 兩點在直線 L：2x－3y＋k＝0 的同側，
〔2×(－2 )－3×5＋k〕〔2×4－3×(－1 )＋k〕＞0，
即 ( k－19 ) ( k＋11 )＞0，故 k 的範圍為 k＞19 或 k＜－11 (2) 因PQ¯¯ 與直線 L 相交，( k－19 ) ( k＋11 ) ≤ 0，故－11 ≤ k ≤ 19
＋ ＋ ＋
－3 1
3 2 2
－1
－ － x
＋ ＋
－3 －2 1
－ － x
O x y
x＋2y＝4
x－y＝1 ( 0,2)
( 0,0)
( 2,1) ( 1,0) ( 0,－1)
( 2,2) ( 3,3) ( 0,6) ( 4,6)
( 1,3)
x y
O
12-5. 果園裡種了 20 棵檸檬樹，平均每棵年產 600 個檸檬，根據統計，在此果園中每加種一棵 檸檬樹，則平均每棵年產量減少 10 個，請問應加種______顆可使年產量最多。 20
解：設應加種 x 棵，
產量：f (x)＝( 20＋x ) ( 600－10x )＝－10x2＋400x＋12000＝－10 ( x－20 )2＋16000
∴當 x＝20 時，可得最大產量 16000 個
12-6. 圖解二元一次聯立不等式：
x ≥ 3 y ≤ 4 y＞x－2。 解：作圖如右：
12-7. 寫出聯立不等式，使其圖形為圖中的四邊形區域 ( 含邊界 )，並求四邊形面積。
解：由圖形知四邊形區域 ( 含邊界 ) 的聯立不等式為
y ≥ 0x ≥ 0 x－y ≤ 1 x＋2y ≤ 4 四邊形面積＝ 12 ×3×2－
1
2 ×1×1＝
5 2 12-8. 設 f (x)＝| x－1 |＋| x－2 |＋| x－3 |。
(1) 描繪 y＝f (x) 的圖形。
(2) 求 f (x) 的最小值。
解：(1) 折線函數(依區間決定絕對值得正負)：f (x)＝
3x－6，x ≥ 3 x，2 ≤ x＜3 －x＋4，1 ≤ x＜2－3x＋6，x＜1 因為 f (0)＝6，f (1)＝3，f (2)＝2，
f (3)＝3，f (4)＝6，所以 y＝f (x) 的圖形如右：
(2) 由圖知，f (x) 的最小值為 2
( 3,4)
( 6,4)
( 3,1)
x y
O
y＝4 y＝x－2
x＝3
13-1. 若x﹐y滿足 x ≥ 0，y ≥ 0，3x＋2y－12 ≤ 0，x＋y－2 ≥ 0，試作 不等式組的圖形。
解：x ≥ 0，y ≥ 0，
3x＋2y－12 ≤ 0，
x＋y－2 ≥ 0 之圖形如右：
13-2. 承第 1 題，求 3x＋y－2 的最小值為______，及此時之 ( x , y )＝0 __________。 ( 0 , 2 ) 解：用頂點法如下：
( x , y ) ( 0 , 6 ) ( 4 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 0 , 2 )
3x＋y－2 4 10 4 0
最小值為 0，此時之 ( x , y )＝( 0 , 2 )
13-3. 作不等式組
x＋y ≤ 4 x－y ≥－4 0 ≤ y ≤ 2
之圖形。
解：
x＋y ≤ 4 x－y ≥－4
0 ≤ y ≤ 2 之圖形如右：
13-4. 承第 3 題，求：(1) x＋y 之最大值。 (2) 不等式組所圍區域之面積。
解：(1) 用頂點法如下：
( x , y ) ( 2 , 2 ) (－2 , 2 ) (－4 , 0 ) ( 4 , 0 )
x＋y 4 0 －4 4
x＋y 之最大值為 4
(2) 所圍區域為一梯形，面積為 1
2 ×( 4＋8 )×2＝12 13-5. 圖中灰色部分的點坐標 ( x , y ) 代入 x－10y＝k，
則使 k 值最大的是哪一點？
(A)A點 (B)B點 (C)C點 (D)D點 (E)E點
答 ：________。 (D)
解：x－10y＝k 表：斜率為 1
10 、x 截距 k 之直線，
在斜率為 1
10 之直線中，過 D 點之直線的 x 截距最大
13-6. 建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下：甲型屋每 棟地價成本為 500 萬元，建築費用為 900 萬元；乙型屋每棟地價成本為 200 萬元，建築 費用為 1500 萬元。公司在資金部分限制地價總成本上限為 3500 萬元，所有建築費用的 上限為 1 億 2000 萬元；無論甲型或乙型售出，每棟獲利皆為 500 萬元。假設推出的預售
( 2,0) ( 0,2)
( 0,6)
( 4,0) x y
O 3x＋2y＝12
x＋y＝2
A B
C D E
O x
y
x＋y＝4 x－y＝－4
《12-1》 【背面尚有試題】
解：由題意，設甲型屋 x 棟，乙型屋 y 棟，將題意作成如下表格：（單位：萬元）
成本 建築費用
甲 500 900
乙 200 1500 總成本 3500 12000 則
500x＋200y ≤ 3500 900x＋1500y ≤ 12000
x ≥ 0，y ≥ 0 ，化簡可得
5x＋2y ≤ 35 3x＋5y ≤ 40 x ≥ 0，y ≥ 0 13-7. 承第 6 題，試以 x、y 表示 P。( 單位：萬元 )
解：P＝500x＋500y ( 萬元 )
13-8. 承第 6 題，求 P 之最大值為_________萬元，及此時之 x＝5000 ______，y＝5 ______。 5 解：因為 P＝500 ( x＋y ) 為獲利函數
用頂點法：( 圖形如右 )
( 0 , 0 ) ( 7 , 0 ) ( 5 , 5 ) ( 0 , 8 )
x＋y 0 7 10 8
所以，當 x＝5，y＝5 時，
P 最大利潤為 5000 萬元
