4 =12( θ − θ | )= − 12tan π 121 θ = (11+cos2 − 1) dθ =12 (1 − θ ) dθ − 12 12sec ˆ ˆ (1+ r ) r ț  = = (11+ | ) dθ rdrdθ − 12 ˆ ˆ ˆ R : − ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤√ cos2 θ ὃY : 1.(10%)   ᑖ , ᐸ R ʖ `   r =cos2 θ 5Ȗ Ό  ╵ B  ᡠ Ⱥ ᡂḄ ᓜ 9 ஺5 ˜

1.(10%) 求積分^˜

R

dA

(1+x²+y²)²,其中 _R 是雙紐線 ^{r2 = cos 2θ} 右半邊封閉曲線所圍成的區域。

參考解答_:

R : −^π₄ ≤ θ ≤ ^π₄, 0 ≤ r ≤√ cos 2θ

原式₌ ˆ ^π

4

−^π

4

ˆ ^√_{cos 2θ}

0

r drdθ

(1 + r²)² = −1 2

ˆ ^π

4

−^π

4

( 1 1 + r² |

√ cos 2θ

0 ) dθ

= −1 2

ˆ ^π

4

−^π

4

( 1

1 + cos 2θ − 1) dθ = 1 2

ˆ ^π

4

−^π

4

(1 − 1

2sec²θ) dθ

= 1 2(θ − 1

2tan θ |

π 4

−^π

4

) = π 4 −1

2

2.(10%) 求積分 ^´8

0

´2

√3

y

√1 + x⁴dxdy。

參考解答_:

R : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x³ 原式₌^´2

0

´x³ 0

√1 + x⁴dydx =´2 0 x³√

1 + x⁴dx = ¹₆(x⁴+ 1)³² |²₀= ¹₆(17³² − 1)

3.(10%) 如圖。一個半徑為 ₂之球體與直徑為₂之直圓柱體相切。 求兩立體相交部份的體積。

參考解答_:

取方程式為 _x²_{+ y}² _{+ z}² _{= 4} 及 _{(x − 1)}²_{+ y}² _{= 1} Let x = r cos θ, y = r sin θ

原方程式可改寫為 _{0 ≤ z ≤}^√_{4 − r}² 及 r = 2 cos θ V = 4

ˆ ^π

2

0

ˆ 2 cos θ 0

√

4 − r²· r drdθ = −2 ˆ ^π

2

0

ˆ 2 cos θ 0

√

4 − r²d(4 − r²)dθ

= −2 ˆ ^π

2

0

2

3(4 − r²)³² |^{2 cos θ}₀ dθ = −4 3

ˆ ^π

2

0

[4(1 − cos²θ)]³² − 4³² dθ

= −4 3

ˆ ^π

2

0

8(sin³θ − 1) dθ = −32 3

ˆ ^π

2

0

sin³θ dθ + 32 3

ˆ ^π

2

0

dθ

= −32 3

ˆ ^π

2

0

(1 − cos²θ) d cos θ + 32 3

ˆ ^π

2

0

dθ

= −32

3 · (cos θ − cos³θ 3 ) |

π 2

0 +32 3 · θ |

π 2

0

= −32 3 (2

3− π

2) = 48π − 64 9

2

4.(10%) 求積分 ^{´ 23}

0

´₁₋^y

2

y (2x + y)e^y−xdxdy。 參考解答_:

令  u = x − y

v = 2x + y ⇒ x = ¹₃(u + v)

y = ¹₃(−2u + v) , J = ^∂(x,y)_∂(u,v) =    

1 3

1

−2 3 3

1 3

= ¹₃. 所以邊界變為 u = 0, v = 2, v = 2u.

原式₌ ˆ 2

0

ˆ ^v

2

0

1

3v · e^−ududv = 1 3

ˆ 2 0

v · (−e^−u) |

v 2

0 dv

= −1 3

ˆ ₂

0

v · (e^−v2 − 1) dv = 2 3

ˆ ₂

0

v de^−v2 +1 3

ˆ ₂

0

v dv

= 1

3(2ve^−v2 + 4e^−v2 +v²

2) |²₀= 1

3(4e⁻¹+ 4e⁻¹+ 2 − 4)

= 8

3e⁻¹− 2 3.

5.(10%) 考慮 _x²_{+ y}²_{+ z}² _{= 1} 與_{y = 1 − x}² 在第一卦限部分的交線^{, C} 為其上從 ₍^√2

2 ,¹₂,¹₂) 到 _{(1, 0, 0)} 的曲線段。 令 F = −3z i + ³₂x j, 求 ^´

C F · dr。 參考解答_:

r(x) = h x, 1 − x²,√

x²− x⁴i ˆ

C

F dr = ˆ 1

√ 2 2

−3√

x²− x⁴dx +3

2x · (−2x) dx

= ˆ 1

√ 2 2

3 2

√

1 − x²d(1 − x²) − ˆ 1

√ 2 2

3x²dx

= (1 − x²)³² − x³ |^1√₂

2

= −1

4

6.(10%) 令 _{F = (px}² _{+ y}² ₋ ^x

1+y²) i + (e^x + tan⁻¹y) j, C 為心臟線 r = 1 + cos θ. 求 fl

C F · nds。 參考解答_:

ˆ

C

F · n ds =

¨

r≤1+cos θ

( x

px²+ y² − 1

1 + y² + 1

1 + y²) dA

=

¨

r≤1+cos θ

x

px²+ y² dA

= 2 ˆ π

0

ˆ 1+cos θ 0

r cos θ drdθ

= ˆ π

0

(1 + cos θ)²cos θ dθ

= ˆ π

0

2 cos²θ dθ

= π.

7.(10%) (a) 令向量場 _{F = e}^yz_{i + (xze}^yz+ z cos y) j + (xye^yz+ sin y) k。 求此向量場的位 勢函數( potential function )。

(b) 令 _C 為從 _{(1, 0, 1)}經由 _(1,^π

2, 1), 再到_(1, ^π

2, 2) 的折線段。_F將一物體沿著 C 移動_, 求所作的功。

參考解答_: (a)

f_x = e^yz ⇒ f (x, y, z) = xe^yz+ g(y, z) f_y = xze^yz+ ∂g

∂y(y, z) = xze^yz+ z cos y ⇒ g(y, z) = z sin y + h(z) f_z = xye^yz+ sin y + h⁰(z) = xye^yz+ sin y ⇒ h(z) = C

∴ f (x, y, z) = xe^yz+ z sin y + C (b) 所作的功_{=f (1,}^π

2, 2) − f (1, 0, 1) = e^π+ 1.

8.(10%) 求輪胎面 (torus) r(u, v) = (R + r cos u) cos v i + (R + r cos u) sin v j + r sin u k, 0 ≤ u, v ≤ 2π 的表面積_, 其中 _{r < R} 為常數。

參考解答_:

r_u = −r sin u cos v i − r sin u sin v j + r cos u k

r_v = −(R + r cos u) sin v i + (R + r cos u) cos v j + 0k

⇒ r_u× r_v = −(R + r cos u)(r cos v cos u) i − (R + r cos u)(r sin v cos u) j + (−r sin u)(R + r cos u) k

|r_u× r_v| = r(R + r cos u)

⇒ A = ˆ 2π

0

ˆ 2π 0

(rR + r²cos u) dudv = 4π²rR.

6

9.(10%) 令 _S 為平面 _{z = x + 2} 在圓柱 _x² _{+ y}² _{= 1} 之內的部份_{, n} 為向上的法向量_, F = y i + xz j + (x + 2y) k。 求^˜

S

curlF · n dσ。 參考解答_:

curlF = (2 − x) i − j + (z − 1) k, n = ^√1₂(−i + k).

curlF · n = ^√1

2(−2 + x + z − 1) = ^√1

2(−2 + x + x + 2 − 1) = ^√1

2(2x − 1)

¨

S

curlF · n dσ = 1

√2

¨

S

(2x − 1) dσ

(Let x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2 + r cos θ)

= 1

√2 ˆ 2π

0

ˆ 1 0

(2r cos θ − 1) ·√

1 + r²r drdθ = −π 另解: C : h cos θ, sin θ, 2 + cos θ i, θ ∈ [0, 2π]

由 _Stokes 定理 原式₌

ˆ

C

F · dr

= ˆ 2π

0

[− sin θ sin θ + cos θ(2 + cosθ) cos θ + (cos θ + 2 sin θ + 2 sin²θ cos θ)] dθ

= ˆ _2π

0

[−3 sin²θ + 2 cos²θ] dθ

= ˆ 2π

0

−3(1 − cos 2θ

2 ) + 2(1 + cos 2θ 2 ) dθ

= −1

2· 2π = −π

10.(10%) 令 _D 為立方體 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ 1。 _S 為 _D 的六個面_{, F =} (−x² − 4xy) i − 6yz j + 12z k。 試求 _{a, b} 之值^, 使得通量 _(flux) ^˜

S F · n dσ 為最 大_, 並求其值。

參考解答_:

由 _Divergence 定理 Flux =

˚

D

divF dV

= ˆ a

0

ˆ b 0

ˆ 1 0

(−2x − 4y − 6z + 12) dzdydx

= ˆ _a

0

ˆ _b

0

(−2x − 4y + 9) dydx = ˆ _a

0

[(−2x + 9) · b − 2b²] dx

= −a²b − 2ab²+ 9ab := f(a, b)

∂f

∂a = ^∂f_∂b = 0 ⇒ −2a − 2b + 9 = 0

−a − 4b + 9 = 0 ⇒ a = 3, b = ³₂, f (3,³₂) = ²⁷₂.

8