非線性反算分析於LTPP 試驗道路之研究

(1)

非線性反算分析於 LTPP 試驗道路之研究

劉明樓林智強

義守大學土木與生態工程學系

廖小媛莊怡芳

國立中央大學土木工程研究所

摘要

反算分析是使用落體測位儀試驗結果之資料進行反算，並將所得之材料參數做為鋪面強度評估及鋪面維護與管理之依據。由室內之試驗及現場FWD 試驗結果皆證實鋪面材料具有非線性之應力與應變關係。故本研究之目的即在發展非線性反算及結構分析程式，並探討非線性與線性參數對反算與結構分析之影響。首先將由美國聯邦公路總署之長期鋪面績效 (Long-Term Pavement Performance, LTPP) 資料庫選擇六個試驗路段，取其落體測位儀 (Falling Weight Deflectometer, FWD) 之試驗資料進行線性與非線性反算分析。並將反算結果與試驗值作比較。此外，反算所得參數亦用於預測FWD 其它落錘荷重所造成之位移，並與FWD 之試驗結果作比較。最後亦將所得之反算參數進行結構分析，結果說明使用線性與非線性反算參數所得之位移與應力有所差異。

關鍵詞：非線性反算、落體測位儀、結構分析。

THE NONLINEAR BACKCALCULATION FOR LTPP TEST SECTIONS

Ming-Lou Liu Chih-Chiang Lin Department of Civil & Ecological Engineering

I-Shou University Kaohsiung, Taiwan 840, R.O.C.

Hsiao-Yuan Liao Yi-Fang Chuang Department of Civil Engineering

National Central University ChungLi, Taiwan 320, R.O.C.

Key Words: nonlinear backcalculation, falling weight deflectometer, structural analysis.

ABSTRACT

Backcalculation analyses are used to analyze the Falling Weight De- flectometer test results, and the backcalculated material properties can be used for the evaluation of pavement structural capacity and management.

From laboratory and FWD test results, it can be shown that pavement materials have a nonlinear stress-strain relationship. The purpose of this

(2)

to the backcalculation and structural analysis are studied. At first, the six test pavement sections from the Long-Term Pavement Performance (LTPP) database of the Federal Highway Administration in the United States are selected, and the FWD test results from these sections are used for the linear and nonlinear backcalculation analysis. The FWD results will be compared with the results obtained from the linear and nonlinear backcalculation analysis. The backcalculated material properties are also used to predict the deflections of FWD tests which are not used for the backcalculation analysis. Finally, structural analyses based on nonlinear and linear backcalculated properties are studied, and the structural re- sponses are different from these two properties.

一、前言

國內目前之公路現有長度已達二萬餘公里以上，道路管理單位每年均需定期對現有道路進行評估以作為維護管理之依據，而在評估的方法中又以非破壞性試驗[1-3]之落體測位儀 (Falling Weight Deflectometer, FWD) 較能合理的評估現有鋪面的性質。國內自民國84 年首先引進第一部落錘式撓度儀後[4]，即開始利用此方面資料進行反算分析及研究並有些成果[5-6]。目前反算分析大都以求得線性之鋪面性質為主，然而將此結果用於鋪面結構及績效分析上之研究較少，且近幾年來鋪面反算分析程式大都限於線性彈性分析。因鋪面材料大都具有非線性之特性[7-8]，目前已有非常多非線性鋪面分析程式，故有學者開始使用不同的非線性模式進行非線性反算分析[9-11]。鋪面反算分析之基本原理為對一組實測撓度值，找出鋪面結構各層之材料性質如鋪面各層之線性回彈模數或非線性之參數性質等，

由於有無限多組之材料性質可滿足此實測之撓度值，故如何使用適當的方法得到這些材料性質即非常重要，而這些尋找參數之邏輯又以最佳化方法最為適當。

美國聯邦公路總署 (Federal Highway Administration, FHWA) 所負責之鋪面長期成效 (Long Term Pavement Performance, LTPP) 資料庫中擁有數千個鋪面試驗路段之試驗與成效資料，目前亦廣泛的被研究者使用作為鋪面模式驗證與分析之用[12-14]。本研究首先將非線性有限元素程式與最佳化方法結合，發展非線性反算程式並進行驗證。由於不同之試驗路段其材料強度亦不同，有些試驗路段在 FWD 荷重下具有明顯非線性之荷重與位移關係曲線，有些試驗路段則較具線性之關係。故本研究首先由二十幾個試驗路段中找出 FWD 試驗結果中荷重與位移關係較具非線性的六個試驗路段進行分析，使能探討非線性與線性分析之差異。然後再由LTPP 資料庫取得此六個試驗路段之 FWD 試驗資料，如不同落錘荷重下各感應器所量測之最大位移及鋪面結構與材料相關資料。接著進行線性

與非線性之反算分析，並將反算所得之位移與不同落錘荷重所得之最大位移作比較，最後則探討線性與非線性反算所得參數對鋪面結構分析之影響。

二、非線性回彈模式與反算分析

1.非線性回彈模式

由實驗及現場之試驗結果，均顯示鋪面材料具有非線性之應力與應變關係。近來已有許多學者提出不同的非線性回彈模式[7,15,16]，本研究所採用之模式為將 Uzan 所提之公式進行簡化，其所提之原始公式如下所示：

3 1 2

1 )( ) ( )

( ^k

a k oct a

a P P

P I k

E τ

= ⁽¹⁾

上式中k1、k2、和k3是材料參數，Pa是參考壓力，I1是第一應力不變式，τoct 是 octahedral shear stress，而柏松比ν 則假設為常數。由於上式中包含三個參數，將增加反算分析之困難，且由研究中亦說明若不使用k3 仍可合理的模擬瀝青混凝土之非線性應力與應變行為[17]。本研究採用較簡單的模式即令k3為零，此回彈模式可表示如下：

)2

)(

( ¹

1 k

a

a P

P I k

E= ⁽²⁾

此模式用於模擬LTPP 兩個試驗路段中所取之瀝青混凝土鑽心試體之體積壓縮試驗，其結果如圖1 所示。由圖中可知瀝青混凝土受力有明顯的非線性行為，而所提之模式可合理預測此二試體非線性之反應[15]。由於本研究將進行非線性分析，先將Owen 及 Hinton[18]所發展之二維有限元素程式修改為軸向對稱非線性有限元素程式，由於應力與應變矩陣D 是應力的函數，及給定一初始應力下，其內外 力差不為零可用下式表示之：

ϕ=

∫

_Ω^B^TDBdu － df ≠ 0 ⁽³⁾

(3)

2 3 4

v=0.3

v =0.35

v =0.4 30cm

5 6 7 8 落錘

瀝青混凝土層

底層

v =0.35 基層

1

k1, k2

k₁, k₂

k1, k2

路基

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018

0 100 200 300 400 500 600

Axial Stress (kPa)

Axial Strain

Measured Predicted

(a) 試驗路段 1

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012

0 100 200 300 400 500 600

Axial Stress (kPa)

Axial Strain

Measured Predicted

(b) 試驗路段 2

圖 1 兩 LTPP 試驗路段瀝青混凝土鑽心試體於體積壓縮試驗時預測值與實驗值之比較

其中積分項為內力，且 B 為應變與位移關係矩陣，而 du 為位移增量。為使公式(2)中ϕ 為 0，本研究使用 Zienkiewicz [19]等所提出 initial stress 方法，將每次計算所得不為 0 之殘餘力作為下一次的外力，再求出相對應的位移增量，如此反覆運用直到ϕ 趨近於 0 為止。本研究將此非線性模式 與有限元素程式結合發展非線性之正算及反算程式，並進行鋪面之正算、反算與結構分析。

2. 最佳化方法

本研究選用能穩定收斂之圖形尋覓法 (Pattern Search Method) 作為反算分析工具，此方法是由 Hooke 及 Jeeves [20] 所提出，其優點為易於程式化又不須使用導數。由於圖形尋覓法見上述優點，已有研究者將其程式化，並進行最佳化之分析[21]。另外亦有將其使用於鋪面模式參數之反算[22-23]，皆有非常好的結果。以下對此方法之原理與步驟作一說明。圖形尋覓法的基本概念與流程為先假設一多變數之目的函數f，並尋找此多變數未拘束的最小化，此 其目的函數最小值W 可表示如下：

) , , ,

(x₁ x₂ x_N f

Min

W = L ⁽⁴⁾

上式中x1, x2,…, xN為考慮的變數。最佳化目的函數之運算過程如下，首先找一初始基點 (initial basic point)，然後探查沿各獨立變數方向的一個已知增量時其目的函數的改

圖2 鋪面結構示意圖

假設值

(k1i、k2i, i=1,2,...) 非線性有限

元素分析誤差標準最佳之材

料參數小於誤差標準

最佳化方法修正參數

大於誤差標準假

設新的材料參數

計算誤差

圖3 非線性反算分析流程圖

變。當目的函數已獲得改進時 (即變小)，則建立一個新的暫時基點。當完成所有獨立變數的分析後，即以獲得改進的基點為新基點，然後將圖形移動 (pattern move)。此圖形之移動包含沿新基點 x_i⁽^k⁺¹⁾與舊基點 x_i^(k⁾^{的直線作外} 插，移動之距離最好超過新舊基點間的距離。在數學上，

此新的暫時基點可外插表示如下：

) ( ⁽ ¹⁾ ⁽ ⁾

) ( ) 1 (

0 ,

k i k i k i k

i x x x

x ⁺ = +α ⁺ − ⁽⁵⁾

) 1 (

0 ,

+ k

xi 為移動至新位置的暫時基點，而i 是指標變數，k 是 疊代次數，α是加速因子 (acceleration factor)，其值可大於 1 或等於 1。當找到新的暫時基點，再探查以此點為基點是否有更新的暫時基點，若有更新的基點則重覆公式 (5) 之尋覓步驟。由於圖形尋覓法易於收斂及容易程式化，故本研究將使用此最佳化方法與所發展之非線性有限元素結合作為非線性反算分析工具。

反算分析基本原理為如圖2 之鋪面系統，當落體測位儀之重錘打於鋪面時，於一側設置數個感應器並取量測之最大值位移w_i^m^{，其中下標}i 表示位置，而上標 m 代表量 測值。接著假設鋪面之初始材料性質後計算於各感應器位置之位移反應w_i^p^，其上標 p 表示預測值，再使用下列公 式計算誤差：

∑ −

=

= n i

p i m i

r w w

E

1

]2

[ ⁽⁶⁾

Axial stress (kPa) Axial stress (kPa)

Axial strainAxial strain

(4)

Thickness (cm) 25 35 ∞ k1 15000 3000 1000 假設鋪面1

k2 0.4 0.2 0.1 Thickness (cm) 25 50 ∞ k₁ 10000 2000 1000 假設鋪面2

k2 0.5 0.2 0.1 Thickness (cm) 30 15 ∞ k1 8000 3000 500 假設鋪面3

k2 0.4 0.3 0.1

表二驗證鋪面之反算結果 (初始假設值為給定值之半倍)

k1 k2

瀝青面層路基瀝青面層路基正確值 15000 3000 1000 0.4 0.2 0.1 初始值 7500 1500 500 0.2 0.1 0.05 反算結果 14993 3000 1000 0.40 0.20 0.10 假

設鋪面

1 誤差(%) 0.05 0 0 0 0 0 正確值 10000 2000 1000 0.50 0.20 0.10 初始值 5000 1000 500 0.25 0.1 0.05 反算結果 9990 2000 1000 0.50 0.20 0.10 假

設鋪

面 2 誤差(%) 0.1 0 0 0 0 0 正確值 8000 3000 500 0.40 0.30 0.10 初始值 4000 1500 250 0.2 0.15 0.05 反算結果 7996 2999 500 0.40 0.30 0.10 假

設鋪面

3 誤差(%) 0.05 0.05 0 0 0 0

此公式中誤差是採用觀測值與量測值差的平方，其原理同最小二乘法使用誤差的平方以避免正負誤差相互抵銷。一般而言FWD 之量測感應器數 n 為 8 個。使用公式(6)計算 得誤差後，藉由圖形尋覓之最佳化方法修正材料參數，由疊代的過程中求得誤差為最小時之目的函數W 如下所示：

) E ( Min

W = r ⁽⁷⁾

當誤差為最小時，即為最佳的材料性質，而反算所得之材料參數包含各層之非線性參數。反算分析流程如圖 3 所示，首先分別假設各層之材料參數k1及k2，其中上標表示

其為第 i 層鋪面之材料參數，再由上述最佳化理論進行疊

代計算與改變材料性質直至誤差小於所定之誤差標準。

3. 反算程式之驗證

因非線性分析並無正確解，為驗證所發展反算程式之正確性，故需給定一已知材料性質以驗證反算所得結果之正確性。驗證用之鋪面結構包含瀝青混凝土層、面層及路基之三層鋪面，並假設三種不同之鋪面結構與給定材料性質分別示於表一及圖2 所示，所採用之鋪面結構則採用參考文獻[24]中方法進行假設，而給定鋪面材料性質亦同。

為使反算程式能由各方向收斂至給定值，分別將初始材料性質假設給定值之兩倍及一半如表二及表三所示。因驗證

k1 k2

瀝青面層路基瀝青面層路基正確值 15000 3000 1000 0.4 0.2 0.1 初始值 30000 6000 2000 0.8 0.4 0.2 反算結果 14844 2992 1000 0.40 0.20 0.10 假

設鋪面

1 誤差(%) 1.04 0.28 0 0 0 0 正確值 10000 2000 1000 0.5 0.2 0.1 初始值 20000 4000 2000 0.9 0.4 0.2 反算結果 9864 2004 998 0.50 0.20 0.10 假

設鋪

面2 誤差(%) 1.36 0.18 0.22 0 0 0 正確值 8000 3000 500 0.4 0.3 0.1 初始值 16000 6000 1000 0.8 0.6 0.2 反算結果 8037 2998 500 0.40 0.30 0.10 假

設鋪

面3 誤差(%) 0.46 0.06 0 0 0 0

表四 LTPP 六個試驗路段之 SHRP ID 及結構性質 Thickness(cm)

SHRP ID

AC Base Subbase Subgrade 01-1019 8.89 7.62 13.97 ∞ 34-1030 19.56 17.27 59.44 137.16 13-1031 29.21 22.35 0 ∞ 06-8156 9.91 38.1 0 ∞ 34-1031 23.62 27.94 0 ∞ 47-1028 17.78 12.95 9.65 ∞

分析只用三層結構，故不考慮圖2 中之基層。FWD 之模擬試驗中，荷重盤半徑為15 cm，所施加之荷重壓力為 540 kPa，

並將所給定之材料性質 (正確值) 使用正算程式計算鋪面在各感應器位置之最大撓度值，此結果做為反算分析之量測值。各感應器之位置與FWD 試驗相同，其分別距荷重中心0 cm、20 cm、30 cm、45 cm、60 cm、92 cm、121 cm 及152 cm，如圖 2 所示。表二為反算分析時初始材料參數為給定材料參數之一半所得結果，表二中之誤差為反算後各層材料參數與正確值之相對誤差。由表中可知最大之相對誤差發生於假設鋪面1 之面層及假設鋪面 2 之瀝青層的 k1，其誤差大小為0.1%。誤差函數與疊代次數之關係如圖 4 之 (a) 所示，三組鋪面反算疊代至最小誤差時次數約為 180 次。圖 5 為三個假設鋪面反算所得性質與給定之材料性質代入正算程式後計算出各感應器位置之最大撓度值之比較，由圖可知假設鋪面1 由反算得之預測撓度值與給定值相當一致，而假設鋪面2 與假設鋪面 3 反算結果亦皆相當接近給定撓度值。接著再將初始假設值設為給定值之兩倍，其反算結果如表三所示，由表中可知最大之相對誤差發生於假設鋪面2 瀝青層之 k1，其大小為1.36%。誤差函數與疊代次數之關係如圖4 之 (b) 所示，三個假設鋪面反算疊代至最小誤差函數之次數分別約為190 次、230 次及 260 次。由以上分析結果可知本研究所發展之反算程式

(5)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0 50 100 150 200 250 300

Number of Iterations Er(×100)

Profile 1 Profile 2 Profile 3

(a) 假設值為正確值之半倍

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 50 100 150 200 250 300

Number of Iterations Er(×100)

Profile 1 Profile 2 Profile 3

(b) 假設值為正確值之兩倍圖4 反算之誤差函數與疊代次數之關係

0 50 100 150 200 250 300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Distance (cm)

Deflection (micron)

True Value Prediction Profile 1

Profile 2 Profile 3

圖5 假設鋪面給定與反算之材料參數所得之位移曲線

可合理的求出所給定之非線性材料參數。

三、LTPP 試驗道路之反算分析與應用

1. LTPP 試驗道路之 FWD 資料

本節將由美國聯邦公路總署網站中之DataPave 介面選擇二十幾個試驗路段，分別取得其 FWD 之試驗資料及鋪面結構性質，由所尋找之試驗路段資料中選擇非線性行為較明顯的六個試驗路段進行分析，其SHRP ID 及結構性質

100 150 200 250 300 350 400 450 500

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Load pressure(kPa)

Deflection (Micron)

SHRP ID:13-1031 SHRP ID:01-1019 SHRP ID:06-8156

(a) 路段 ID 為 13-1031、01-1019 與 06-8156

0 100 200 300 400 500

600

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Load pressure(kPa)

Deflection (Micron)

SHRP ID:34-1030 SHRP ID:47-1028 SHRP ID:34-1031

(b) 路段 ID 為 34-1030、47-1028 與 34-1031

圖6 六個試驗路段第一感應器位移與四級落錘荷重之

關係

如表四所示。DataPave 網站資料中可提供 FWD 試驗中每個感應器所量測之最大位移，圖2 中亦示反算分析時鋪面各層假設之柏松比。

由LTPP 每個試驗路段之 FWD 試驗資料，顯示每個車道皆進行數個測站的FWD 試驗，且各個測站亦進行四級不同落錘荷重。所分析六個鋪面在四級荷重中第一個感應器之最大位移與荷重壓力關係如圖6 所示，由圖可知各級荷重壓力大小稍有些差異，但都在400 kPa、600 kPa、800 kPa 及 1000 kPa 此四種荷重值附近。FWD 試驗時每級荷重分別打擊4 次，而僅在第 4 次時才取其荷重及各感應器之歷時資料，此資料可用來進行動態分析。本研究僅針對靜態分析，故只取每個感應器之最大位移。為探討落錘荷重與所量測位移之關係，亦將圖6 中各試驗路段之第一與第二級荷重壓力之位移連成一直線，並延伸至第四級壓力之位移範圍。由圖可知荷重壓力與位移之關係為非線性，其中試驗路段06-8156、34-1030 及 34-1031 其位移趨勢在落錘荷重增加時會往直線上方偏移，而試驗路段 01-1019、

13-1031 及 47-1028 其位移趨勢在荷重增加時會往直線下方偏移，此六組路段 FWD 試驗之荷重壓力與位移大都具有非線性關係。鋪面在荷重越大時其非線性行為越明顯，本研究嘗試由較輕之第二級荷重之反算結果預測第三級荷重之反應。故取第二級荷重之 FWD 試驗結果進行線性與非線性反算分析，並將所得之材料參數預測其它三級荷重下

Number of iterations

(6)

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100

0 50 100 150 200

Distance (cm)

Deflection (Micron)

Nonlinear FWD Linear SHRP ID: 34-1030

SHRP ID: 13-1031

圖7 試驗路段 13-1031 及 34-1030 反算結果與 FWD 試驗之比較

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

0 50 100 150 200

Distance (cm)

Deflection (Micron)

SHRP ID: 01-1019

圖 8 試驗路段 06-8156 及 01-1019 之反算結果與 FWD 試驗之比較

-250 -200 -150 -100 -50 0

0 50 100 150 200

Distance (cm)

Deflection (Micron)

SHRP ID: 34-1031

圖 9 試驗路段 47-1028 及 34-1031 之反算結果與 FWD 試驗之比較

第一感應器之最大位移並與FWD 試驗結果做比較。

2. 線性與非線性反算分析

使用前節所發展之非線性反算程式分別進行各試驗路段之反算分析，唯在線性反算分析時令每層之k₂為0。表五及表六分別為使用線性與非線性反算分析結果所得六個試驗路段之最佳材料參數，而各路段之線性與非線性反算分析之最小誤差即公式(6)中之 W 如表七所示，由此結果可知預測值與FWD 試驗值之誤差相當小。圖 7~9 為六個試驗路段利用線性及非線性反算參數所預測位移與FWD 試

-600 -550 -500 -450 -400 -350 -300 -250 -200

0 200 400 600 800 1000 1200

Load (kPa)

Deflection (Micron)

Linear FWD Nonlinear

SHRP ID： 34-1030

SHRP ID：13-1031

圖10 試驗路段 13-1031 及 34-1030 於不同荷重下預測與觀測位移之比較

-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100

0 200 400 600 800 1000 1200

Load (kPa)

Deflection (Micron)

SHRP ID： 06-8156

SHRP ID： 01-1019

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50

0 200 400 600 800 1000 1200

Load (kPa)

Deflection (Micron)

linear FWD nonlinear

SHRP ID： 47-1028

SHRP ID： 34-1031

驗結果之比較，由圖可知線性與非線性分析所得之結果與試驗值接近。由於上述之分析僅對第二級落錘荷重之試驗結果之反算，接著亦將反算所得之材料參數分別預測其它三種落錘荷重下第一個感應器之最大位移反應，並將此結果與FWD 之試驗值作比較。圖 10 為試驗路段 13-1031 及 34-1030 使用反算所得之參數預測其它落錘荷重下所得第一感應器位移之結果，由圖可知線性反算參數在預測較大荷重所造成位移時有較大之誤差，而非線性反算之參數所預測之位移則與試驗值接近。圖中亦知試驗路段 13-1031 之非線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為1 %，而線

(7)

表五 LTPP 六個試驗路段線性反算分析之結果

k₁ k₂

ID AC Base Subbase Subgrade AC Base Subbase Subgrade

01-1019 108700 68750 3840 1120 0 0 0 0 34-1030 35265 2033.5 622 1491.5 0 0 0 0 13-1031 48090 10530 0 491.85 0 0 0 0 06-8156 41000 858.7 0 3682 0 0 0 0 34-1031 16825 3844 0 2457.5 0 0 0 0 47-1028 59300 31310 20535 1954 0 0 0 0

表六 LTPP 六個試驗路段非線性反算分析之結果

k1 k2

ID AC Base Subbase Subgrade AC Base Subbase Subgrade

01-1019 34450 10650 1840 780 0.484 0.484 0.386 0.3 34-1030 31255 2725 1429.5 788.5 0 0.9461 0.9024 0.1085 13-1031 13505 9177 0 477 0.5605 0.4652 0 0.04078 06-8156 42070 922.3 0 2981 0 0.4302 0 0.09387

34-1031 4365 2892 0 1792 0.3764 0.4186 0 0.3677 47-1028 58730 30680 20535 1891 0 0.2943 0.194 0.094

表七線性與非線性反算分析之最小誤差

SHRP ID 01-1019 34-1030 13-1031 06-8156 34-1031 47-1028 線性誤差 0.5464×10^-7 0.3828×10^-7 0.7981×10^-7 0.7013×10^-6 0.1144×10^-6 0.5423×10^-7 非線性誤差 0.7914×10^-7 0.6445×10^-7 0.7124×10^-7 0.5202×10^-6 0.1574×10^-6 0.5334×10^-7

性反算之相對誤差則為4 %。在試驗路段 34-1030 之線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為9 %，而非線性反算分析所造成之相對誤差為 4 %。圖 11 為試驗路段 06-8156 及 01-1019 使用反算參數預測其它荷重之結果，由圖可知非線性反算所得之參數可合理的預測較大落錘荷重之結果，而線性反算之參數預測較大的落錘荷重時，其位移則有明顯的偏移。由圖知試驗路段01-1019 中非線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為1 %，而線性反算之相對誤差則為 6 %。試驗路段 06-8156 之線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為13 %，而非線性反算分析所造成之相對誤差為 4 %。試驗路段47-1028 及 34-1031 所得反算參數預測其它落錘荷重之位移如圖12 所示，其結果亦說明非線性反算參數可較合理的預測 FWD 試驗各級荷重下所得之位移反應。由圖 12 可知試驗路段 47-1028 中非線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為1 %，而線性反算之相對誤差則為 6 %。試驗路段 34-1031 之線性反算預測最大荷重之位移相對誤差為 2

%，而非線性反算分析所造成之相對誤差為 0.4 %。由以上之結果可說明非線性反算分析對FWD 試驗預測其它落錘荷重所得位移之模擬較線性分析為佳。

3. 結構分析

反算分析目的之一為將所得之材料參數做為鋪面強

度之評估，亦即探討鋪面在此材料性質下受車輛荷重所產生之位移與應力。本研究將反算所得之非線性與線性材料參數探討鋪面在受車輛荷重下的反應。所分析之試驗路段如表四所示，而分析路段之線性與非線性材料參數則如表五及表六。此六個試驗路段皆承受兩輪荷重，其胎壓與荷重半徑分別為 965 kPa 及 11.43 cm，而兩輪之中心距為 35.56 cm。結構分析所用之程式為結合公式(1)所發展之非線性有限元素程式，而兩輪荷重所造成之位移是由各輪荷重所產生之位移量相加而成。所分析六個試驗路段線性與非線性結構分析中所得之最大位移結果如表八所示，以下則分別探討各路段線性與非線性分析結果垂直位移之差異。圖13 為試驗路段 13-1031 及 34-1030 在受兩輪荷重下，

於鋪面上之垂直位移在兩輪軸向方向之變化，由圖可知在兩輪荷重中心下所得之位移最大，其中路段13-1031 線性分析所得之垂直位移又較非線性分析大0.06×10^-2公分，而路段34-1030 非線性所得垂直位移較線性分析大 0.09×10^-2 公分。上述兩個路段所得位移反應之不同主要受鋪面各層厚度及材料性質之影響。試驗路段06-8156 及 01-1019 在鋪面表面沿軸向方向垂直位移之變化如圖 14 所示，由圖可知試驗路段06-8156 於線性分析較非線性分析所得之垂直位移大0.08×10^-2公分，而另一路段線性與非線性分析結果接近。圖15 為試驗路段 34-1031 及 47-1028 在車輛荷重

(8)

SHRP ID 13-1031 34-1030 06-8156 01-1019 34-1031 47-1028 線性(cm) 3.57×10^-2 5.21×10^-2 6.89×10^-2 4.04×10^-2 3.22×10^-2 1.80×10^-2

非線性(cm) 3.51×10^-2 5.30×10^-2 6.81×10^-2 4.03×10^-2 3.21×10^-2 1.90×10^-2

表九六個試驗路段線性與非線性分析之最大τoct應力

SHRP ID 13-1031 34-1030 06-8156 01-1019 34-1031 47-1028 線性(kPa) 230.43 722.21 1219.42 700.00 265.03 260.04 非線性(kPa) 208.34 692.80 1039.70 626.11 261.66 239.66

-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

-150 -100 -50 0 50 100 150

x (cm)

Deflection (cm)

Linear Nonlinear SHRP ID: 34-1030

SHRP ID: 13-1031

圖13 試驗路段 13-1031 及 34-1030 受兩輪荷重下垂直之位移反應

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0

-150 -100 -50 0 50 100 150

x (cm)

Deflection (cm)

SHRP ID: 06-8156

-0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

-150 -100 -50 0 50 100 150

x (cm)

Deflection (cm)

SHRP ID: 47-1028

0 20 40 60 80

100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 τoct (kPa)

Depth (cm)

Nonlinear Linear

0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 SHRP ：34-1030

SHRP ：13-1031

圖16 試驗路段 13-1031 及 34-1030 之

τ

oct與深度關係

0 20 40 60 80

100

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 τoct (kPa)

Depth (cm)

Nonlinear Linear SHRP：06-8156 SHRP：01-1019

0 200 400 600 0 200 400 600 800 1000 1200

圖17 試驗路段 06-8156 及 01-1019 之

τ

oct與深度關係

0 20 40 60 80

100

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 τ_oct (kPa)

Depth (cm)

Nonlinear Linear 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250

SHRP：34-1031 SHRP：47-1028

圖18 試驗路段 47-1028 及 34-1031 之

τ

oct與深度關係

(9)

下之位移反應，由圖可知試驗路段47-1028 非線性分析較線性所得位移為大，其差異為0.1×10^-2公分。而另一試驗路段之線性與非線性垂直位移分析結果則較接近。值得注意的是，在圖10 中路段 34-1030 在 FWD 試驗時於荷重中心下非線性之垂直位移較小，但在圖 13 之結構分析時，

又以非線性分析所得之位移較大。此結果不一致之原因為在FWD 試驗時只有一個荷重，且其荷重半徑為 15 cm，而在結構分析時為兩輪荷重，且其單輪之荷重半徑只有11.43 cm，故在鋪面所造成之應力狀態不同，其反應亦不同，且鋪面內之應力狀態亦受鋪面性質與各層厚度而有差異。

接著探討鋪面在受兩輪荷重作用下所產生之應力。在軸向對稱之假設下，因兩輪荷重作用下對鋪面內同一點所得之應力方向並不相同，故無法直接相加。首先需將每輪荷重作用下所得應力轉換為三維座標系統之應力後再相加即可得兩輪荷重作用下之應力。因在三維座標分析下之應力有6 個應力分量，為使分析問題簡化，本研究使用應力不變量τ_oct來表示每一點之應力狀態，而τ_oct之定義如下：

[ ]

⁽ ⁾

3 ) 2 ( ) ( ) 9(

1 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

oct σx σy σy σz σz σx τxy τyz τxz

τ = − + − + − + + + (8)

上式中σ_x、σ_y及σ_z分別為x、y 及 z 方向之正向應力，τ_xy、 τ_yz及τ_zx則分別為x、y 及 z 方向之剪應力。此應力不變量 可做為鋪面破壞之指標。各試驗路段結構分析所得最大τ_oct 值發生約於瀝青混凝土層約三分之二厚度之位置，且線性與非線性分析之結果所得最大τ_oct整理如表九所示。以下則分別探討各路段線性與非線性分析結果之比較。圖 16 為試驗路段13-1031 及 34-1030 在上述兩輪荷重下，所得於一輪荷重中心下τ_oct與深度的關係。由圖可知線性與非線性反算分析所得之參數進行結構分析時所得之應力並不相同，且τ_oct在瀝青混凝土層中皆有逐漸變大再減少之情形，

所分析兩試驗路段在瀝青混凝土層中線性分析所得之最大τ_oct應力較非線性分析為大。路段13-1031 線性分析之最大τ_oct較非線性分析大22 kPa，而路段 34-1030 之線性分析最大τ_oct較非線性應力大30 kPa。圖 17 為試驗路段 06-8156 及01-1019 在兩輪荷重下所得於一輪荷重中心下τ_oct與深度之關係，其行為與上述兩個試驗路段類似。所分析兩試驗路段在瀝青混凝土層底部線性分析之應力皆大於非線性分析，其中路段06-8156 最大τ_oct較非線性分析大180 kPa，

而 01-1019 線性分析之最大τ_oct較非線性分析應力大 74 kPa。試驗路段 47-1028 與 34-1031 在兩輪荷重下所得其中一輪荷重中心下τ_oct與深度之關係如圖18 所示，由圖可知路段34-1031 線性分析所得之應力於瀝青混凝土中較非線性分析為大，且路段47-1028 線性分析之最大τ_oct較非線性分析值大20 kPa，而路段 34-1031 之線性分析最大τ_oct較非線性大 4 kPa。現有鋪面破壞模式須使用結構分析所得之應力，而本研究使用線性與非線性結構分析所得之應力有些差異，而此差異將影響鋪面破壞分析之結果。

四、結論

本研究由美國公路總署所管理之鋪面長期績效資料庫中取六個試驗路段之FWD 試驗資料，並進行線性與非線性反算分析，再將所得結果預測試驗路段受其它落錘荷重下之反應，及探討線性與非線性反算分析所得結果對結構分析之影響。本研究之重要結論如下：

1. 所提之非線性模式可合理的預測 LTPP 試驗路段鑽心試體在體積壓縮試驗下之應力與應變行為，且其應力與應變亦明顯有非線性之關係。

2. 在 LTPP 資料庫所分析的六個試驗路段中，由 FWD 之試驗結果均說明鋪面受力後其荷重與位移之關係為非線性。

3. 在非線性反算程式之驗證中，在所假設之三種鋪面結構及已知材料性質下，非線性反算程式皆能合理的反算出其材料參數，且其結果與給定值相當接近。反算所得材料參數之最大相對誤差為1.36%。

4. 使用線性與非線性反算分析皆可合理的預測 FWD 試驗於各感應器之最大位移，但將所得之參數預測其它荷重下之FWD 試驗反應時，非線性分析所得之參數可更合理的預測其它荷重下對鋪面所造成之位移，線性反算分析預測較大荷重所造成之位移有較大之誤差。

分析之六個試驗路段，在預測最大落錘荷重之位移時，非線性之最大誤差為4%，而線性分析之最大誤差為13%。

5. 將線性與非線性反算分析所得參數進行結構分析時，

線性與非線性分析所得之位移反應亦不同，其差異主要原因為非線性分析時其應力狀態受荷重大小及鋪面結構與性質而不同。應力分析時，兩種分析方法所得之應力反應亦不同，其中又以瀝青混凝土層之應力差異較大，且於此層中有 5 個試驗路段線性分析所得之 τ_oct均較非線性分析為大。

符號索引

B 應變與位移關係矩陣 D 應力與應變關係矩陣

du 位移增量

E 楊氏模數

E_r 誤差函數

f(x1, x2,…, xN) 函數及其變數 I₁ 第一應力不變量 k1, k2, k3 非線性材料參數 P_a 參考大氣壓力

W 目的函數

m

w

i 量測位移

(10)

0 ,

xi ^,x_i 新基點

) (k

xi ^舊基點

v 柏松比

α 加速因子

τoct octahedral shear stress σx , σy , σz x, y, z面上之正向應力分量 τxy ,τyz , τzx x, y, z面上之剪應力分量 ϕ 內力外力不平衡之殘餘值

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2006 年 08 月 29 日收稿 2006 年 09 月 10 日初審 2007 年 05 月 06 日複審 2007 年 05 月 09 日接受