動態需求下存貨模式之研究(II)

(1)

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

動態需求下存貨模式之研究(2/2)

計畫類別：個別型計畫

計畫編號： NSC93-2213-E-011-016-

執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日執行單位：國立臺灣科技大學工業管理系

計畫主持人：周碩彥

計畫參與人員：吳宇玄王怡珍張凱翔周士豪吳政泰

報告類型：完整報告

報告附件：出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中華民國 94 年 12 月 8 日

(2)

行政院國家科學委員會補助產學合作研究計畫成果完整報告

（計畫名稱）動態需求下存貨模型之研究(2/2)

計畫類別：產學合作研究計畫

計畫編號：NSC93－2213－E－011－016

執行期間： 92 年 8 月 1 日至 94 年 7 月 31 日

計畫主持人：周碩彥國立台灣科技大學教授 E-Mail: [email protected]

共同主持人：

計畫參與人員：

王怡珍吳宇玄羅凱文張凱翔周士豪吳政泰

處理方式：完整報告內容因涉及專利、技術移轉案或其他智慧財產權，不予公開。

執行單位：國立台灣科技大學工業管理所

中華民國 94 年 10 月 07 日附件一

(3)

中文摘要

產品在其生命週期中需求應是動態性的，如呈現鐘型曲線的模式。然而，在研究上礙於研究模式及分析工具的限制，以及資料取得不易的問題，多數仍以固定和常態的需求模式探討。研究者及管理者往往只注重於延長成熟期的經濟數量之決定及控制，但是在眾多產品中，動態需求的實例亦非常多。

本研究目的在於導入兩種動態需求描述 —logistic model 及 fractional Brownian motion—以提供研究及實務上特定需求資料的描述模式。對需求狀況以更確實的資料描述，才得以在供應鏈下游的分析規劃工作上真正取得成效。所謂 garbage in, garbage out；若沒有正確的需求模式反應實際需求，供應鍵上規劃與排程亦會受到錯誤資料的直接影響。無論規劃及排程技術如何的高深及有效率，

所得到的分析結果將與實際狀況有極大的出入。因此在強化供應鍵管理系統的功效時，亦必須強化輸入資料的正確性，以達到真實資料透通化的效果。

關鍵詞：需求模式、需求預測、需求曲線、碎型、生產及存貨模式

(4)

ABSTRACT

Variable demands are more suitable for characterizing products with short lifecycles. However, in the past, few analytical models have been proposed and adopted in the research due to their difficulty in analysis and computation. Without appropriate demand characterization, the planning and scheduling for production will not be accurate no matter how efficient and extensive the planning and scheduling algorithms are.

This research intends to introduce two analytical models, namely logistic model and fractional Brownian motion, for characterizing products with variable demands.

Both methods have been studied and utilized extensively in many other application areas. The legitimacy and effectiveness of the two modeling techniques will be demonstrated in this research. Subsequent applications of such data characterization will also be shown for various fields in the area of production and inventory control.

Keywords: demand modeling, demand forecast, logistic model, fractional Brownian motion, production and inventory models

(5)

1. 前言

對於具有長期生命週期的傳統性的商品，管理者會藉由多種的行銷手段來促銷產品，刺激消費者購買，產品的需求因此為動態性的。在產品生命週期間，需求亦存在著眾所皆知的階段性變化，即鐘型曲線的模式。然而，在研究上礙於研究模式及分析工具的限制，以及資料取得不易的問題，多半仍以固定而常庇的需求模式探討。存貨乃至於供應鍵管理之研究多數假設需求率為固定，或是固定但加上隨機因素而產生變量。研究學者及管理者往往只注重於延長成熟期（the elongated maturity period）的經濟數量之決定及控制。

但是，在眾多產品中，動態需求的實例亦非常多。最近十年以來，因為通訊技術、資訊技術及計算技術的快速進步，各式產品的需求，在其生命週期中皆有明顯的變動。在消費性的環境下，商品如成衣、消耗電子產品及玩具等都具有短期命週期的特性，從產品引入市場到退出或被取代，需求的變化甚巨。特別的是流行性產品，如 CD、辦公產品及電子手錶等的生命週期甚至短於 90 天。因此，

對於短生命週期特性的產品，企業有必要以需求作為預測的基礎，並立即取得產品的銷售資料，以降低預測誤差，提升存貨管理的績效。不僅對存貨成本的降低、

客戶服務水準的提昇，乃至於整體供應鍊競爭力的強化皆有極決定性的影響。

傳統性商品所存在的環境假設條件為需求率固定及貨品可長期儲存；然而，

流行性產品的銷售在達到市場飽和之後，或因替代性的新產品導入，或因流行性季節已過，銷售量會開始下降。因此，以整體的生命週期觀點而言，固定需求及時間變化需求（time-varying demand）只是生命期週期的某一階階段。雖然需求性的存貨模式已經有人提出，如 Mendoza 的整數規劃（integer programming）、

部份期間（part-period）解法或 Silver-Meal 啟發式解法，這些模型都未將有關於生命週期的需求納入存貨模式之中討論。

本研究導入兩項動態需求描述模式—logistic model 以及 fractional Brownian motion—以提供研究及實務上針對特定需求模式下的需求資料描述。如此對需求狀況更正確的資料描述，才得以在供應鏈下游的分析規劃工作上真正取得成效。

所謂 garbage in, garbage out；若沒有正確的需求模式，爾後供應鍵上規劃與排程亦會受到錯誤資料的直接影響。無論規劃及排程技術如何的高深及有效率，所得到的分析結果將與實際狀況有極大的出入。故在強化供應鍵管理系統的功效時，

亦須強化輸入資料的正確性，以達到真實資料透通化的效果。

2. 研究目的

羅吉斯需求模式讓我們得到符合短暫生命週期的存貨模型，透過羅吉斯需求模式得到最佳化的存貨模式。我們以實驗的方法，將不同的生產系統、存貨系統、品管系統、程序控制系統等建構描述的碎形模型。以描述系統中存貨水平之

(6)

變化為例，碎形可提供的最主要描述功能包括碎形模型 (如特定的 contraction mapping 或特定的 fractional Brownian motion) 和碎形空間度（fractal dimension）。首先針對預測方法進行分析應用，1972 年 Croston 發展出預測間斷需求的方法，且這種方法到目前為止是最為廣用的。雖然這個方法常被使用，但在模式中並沒有考慮到資料與資料之間的關連。根據 Croston 的方法，假設需求是 i.i.d.，

間隔服從伯努力過程，且需求批量與間隔之間是獨立的。雖然 Croston 的方法應用於，其假設下是適合的，但是在實際的需求環境中，並沒有完全服從他的假設。

傳統時間序列的隨機模型的資料是根據時間序列的增量是 i.i.d.的假設。近來的證據顯示，財務資產的回收既非獨立也不符合穩定的機率分配，需求的模式也可能具有相類似的情形，即需求之間也有可能並非獨立。

在相依需求的假設下發展一個隨機模型，藉由碎形布朗運動以及赫斯特冪數，我們可以陳述獨立、持續以及非持續的現象。我們結合碎形布朗運動以及 Croston 的方法以處理需求間的關係，建構出完成的模型，更進一步地發展其伴隨的預測及控管的模式。例如以製程資料而言，可比較兩種同類製程碎形空間度之差異或是其間的 Hausdorff 距離，以判斷其系統穩定度之高低差異；或是以同一組 basis function，而以不同解析度來描述其資料之變化，藉以預測長期及短期的變化，及進一步制訂長期及短期的目標和因應措施。而以存貨而言，我們已藉由此模型建立一套存貨策略來控制存貨成本。

3. 文獻探討

碎形（fractals）之發展為近年來數學界之最重要的突破之一，其所能描述的為連續且不可微分之現象，和傳統描述連續可微分現象之理論有互補的關係。特別是自然界多種現象，小至物體之粗糙面，大至銀河系，其間如雲層、海岸線、

樹枝等原本似乎無法以數學的方式表示之現象皆能以碎形來描述。在工程上亦有多項的研究結果，如在通訊上雜訊之描述、在電腦圖學上之資料壓縮、在音樂的樂曲上描述曲風、在機械現象上之振動描述等。

碎形一詞是Mandelbrot為複雜形狀與無規現象創造的一個新詞，意指有些破碎部份不規則集合在一起的狀態，可是到目前為止，碎形仍無一個嚴格的定義。

碎形的特徵是描述一個集合（set），當此集合對於本身在不同程度的放大後，

而所看到的形態總是相同的。簡而言之，碎形本身具有兩個重要的特性：自我相似性（self-similarity）及碎形維度（fractional dimension）。

一般要對於碎形有一個較明確的概念，皆從碎形幾何的角度開始，學術上的範例為由許多數學家創造出的規則碎形，如科赫雪片（Koch Snowflake）、康托集合（Cantor Set）、西爾平斯基襯墊（Sierpinski Gasket）等，而最典型的工程

(7)

範例則是海岸線長度的量測問題，這些內容在介紹碎形的相關書籍中皆有詳細的說明。

3.1 碎形之特性

(一)自我相似性（self-similarity）

指不論採用什麼樣大小的標度（scale）對碎形本體進行測量，其形皆不變。

以一條曲線為例，觀察取出曲線的一小部份，加以適當放大以後，仍與曲線整體的形狀是一樣的，曲線的任何一小部份都是整體的縮形。實際的現象並不如想像中及實驗創造出的現象那般規律，但從統計上的意義來看，仍然是具有自我相似性的，即統計的自我相似性（statistically self-similar）。所謂的統計意義，就是我們收集許多類似的形狀，把其中之一的一小部份加以放大後，其形狀與收集中的另一個形狀是相搭配的。

就時間序列而言，將資料的一小段放大，所呈現的特徵和原先尺度所呈現的特徵相似。以系統而言，常見的recursive/adaptive系統是個很好的例子，在此類系統中，系統的輸入值即為前階段的輸出值，在此程式下產生的時間序列即存在自我相似性。如美國數學家Barnsley提出的「概率論式的重覆法」，可不斷的通過搭配概率的轉換產生自我相似的圖形。

(二)碎形維度（fractional dimension）

碎形維度的值不是整數而是分數，在歐氏幾何中，所研究的形狀維度都是整數，分數維度在歐氏幾何中是不可思議的，但是碎形這種怪異性質在自然界卻普遍存在，在此引用一句碎形理論大師Mandelbrot（1982）說過的話：『雲朵不是球體，山峰不是圓錐體，海岸線不是圓弧，樹皮不是光滑的，甚至閃電走的路徑也不是直線』，反映出歐幾裏得幾何學的應用是有限制的，對於解釋自然界的複雜物體方面是如何的無能為力，遂誕生了「碎形幾何學」。

混沌系統的背後必隱藏有特殊碎形結構的奇異吸子，鑑別時間序列是否具混沌現象，可藉由碎形維度的衡量作判斷，並由碎形維度的大小得知系統的複雜程度。

3.2 混沌現象鑑別方法

在時間序列實證上，通常由檢視一系統是否具有奇異吸子，來判別系統是否屬於隨機、混沌抑或其他特性的系統。由幾何的角度觀示，混沌現像是屬於一種具有特別維度的碎形，可將軌跡顯示於座標為(X X_t, _t₊₁)的平面上，由於奇異吸子的存在，軌跡不會將平面填滿，所以軌跡圖不具有整數的維度，而是具有非整數

(8)

的維度（碎形維度）。計算時間序列的碎形維度成為判斷是否具有混沌現象的依據，碎形維度的大小則為系統複雜度的依據。

3.2.1 鑑別混沌現象的 R/S 分析法

R/S分析法是英國科學家赫斯特（Hurst, 1880-1978）花費大量時間研究尼羅河流量的變化，所發展出的統計方法，此方法主要是用來衡量在一個時間序列中，是否存在長期記憶的現象。因為此方法對於不常發生的現象亦具有很好的解釋能力，所以推廣至研究許多自然界中的景象，如溫度的變化、海浪高度的變化、

河川的流量變化、降雨量的多寡、樹木年輪厚度的變化等等，皆有明顯的分析結果。這些自然現象所記錄下來的時間數列資料具有以下共同的特徵，即不論以長期或短期的時間尺度來觀測資料內容，皆呈現出混亂、不規則的行為。這些自然界的觀測現象，可用赫斯特定律（Hurst’s Law）來解析，而這些觀測記錄可以赫 斯特冪數（Hurst Exponent）H的關係式來表示。

3.2.2 R/S 分析法的研究背景

赫斯特為了要解決河川氾濫的問題，研究關於水流儲存的問題。假設要在一條河川上興建一座理想的水庫，此水庫的功能是必須提供穩定的水量供應鄰近的用水需求，而『理想的水庫』即表水庫永不滿溢或乾凅，所以水庫的容量大小是建造時的重要關鍵問題。

赫斯特於規劃水庫建置的位置，觀察紀錄每期（每隔固定的時間，例：每年）

注入水庫的水量；因水庫要提供穩定的用水，假設每期排出的水量即等於觀察期間注入總水量的平均值，而水庫的容量與每期累積留在水庫中的水量多寡相關，

故計算每期的注入量與平均值的差異，並累計每期的差異值，即每期於水庫的儲水量；累計差異最大值減累計差異最小值將可對應於水庫水位高低的變化範圍，

此變化範圍可提供作為興建水庫容量大小的參考依據。

赫斯特發展出 R/S 分析之公式如下：

( )

ⁿ₂ ^H

RS =

從赫斯特的 R/S 分析中，可以求算一個參數值 H，由 H 值的大小來判斷時 間序列的持續性（persistence）。持續性係表示時間序列中前期的資料值會影響後期資料值的變化，有別於時間序列分析中的自我相關，此指的是長期（long-run）

的影響，亦有人稱為記憶效應（memory effect），至於影響的序列長度為多長，

現在仍為研究的一個目標。R/S 分析結果發現一個重要的根本問題，就是對於時間序列資料的假設，一般我們都會將其機率分配假設為常態分配，時間序列資料

(9)

假設為隨機漫步，並根據常態分配的假設來進行分析，但是實際情形卻不全然如此，赫斯特冪數多介於 0.6 至 0.8 之間。

赫斯特冪數 H 為評定時間序列有無持續性的良好指標，因此我們藉由 H 值 的大小來判斷時間序列的持續性。其中，持續性表示時間序列中前期的資料會影 響後期資料的變化，可將 H 值分下列三種情況討論：

1. 當H=0.5 時，時間序列為一隨機漫步的過程，無持續性存在且服從常態分 配。

2. 當0.5<H <1時，時間序列呈現正相關的持續性，亦即如果過去有上升的趨勢，那麼在未來也有上升的趨勢；若過去是下降的趨勢，那麼暗示著未來也有下降的趨勢。

3. 當0<H <0.5時，時間序列呈現負相關的持續性，亦即過去的上升暗示著未來的趨勢是下降的；若過去是下降的趨勢，則未來會有上升的趨勢。

許多學者亦以R/S分析推求過許多不同自然界時間序列的赫斯特冪數，其結果顯示多介於0.6至0.8之間，而且幾乎落在0.5至1.0之間，反映自然界時間序列普遍存在持續性現象，後來將此為稱為赫斯特現象（Hurst Phenomenon）。

Mandelbrot以碎形的觀點探討赫斯特現象，將0.5<H <1的情形稱為碎形布朗運動（Fractional Brownian Motion），認為此現象代表時間序列具有統計上的自我仿射性（statistically self-affinity）的碎形特徵。根據之前許多學者的研究結果，而由碎形布朗運動產生的數列又與赫斯特冪數相關，所以碎形布朗運動應該是個模擬自然界存在之時間數列資料很好的模式。

R/S分析法係屬於時間序列分析法的一種，為單一變數（時間）的分析，旨在衡量時間序列是否存在長期記憶效果，但在工業工程的範疇中未曾提出引用此方法的概念對於領域中的時間序列資料進行分析，例如：存貨管制、品管或製程等；本研究嘗試以此方法用於工業工程的時間序列資料分析上，藉由其方法的特點，發覺時間序列的特性。若所得赫斯特冪數不為0.5，表拒絕時間序列為隨機漫步，而是具有長期持續性關係存在，若基於這項特性，傳統預測技巧的方法勢必會造成較大偏估，適合的預測方法也勢必隨即發展。

使用R/S分析法所得的參數赫斯特冪數，經多數學者證實為評估時間序列具長期持續性的良好指標，將可輔以發展適配預測方法參數設定的參考。

3.3 存貨控制

存貨控制問題的產生是因為企業對於需求變動的不確定所設置的緩衝數

(10)

量，但是存貨數量的多寡牽涉到企業成本支出的問題，而企業的目標是期望以最低的成本提供最高的品質，所以期望能有需求預測的方法提供較高的準確度。一般採用的技術是平滑法（smoothing methods），為Brown R. G.所設計的，旨在估計每一存貨項目在前置時間（lead time），內的最大合理需求，以便存有現貨迎合實際需求，根據Brown先生的經驗，良好的預測方法可減少企業在存貨方面的大量投資。

指數平滑法為Brown 所取的名稱，目前應是短期預測使用最廣泛的技術，

由於此法無須保持過去需求的任何記錄，使其在資料處理上甚為經濟，再加上實際使用時簡單方便，不要太多的計算，甚具彈性容易獲得預測的精確度，大家皆認為其為較合理的預測方法。但是此方法的理論基礎是建構在最近的過去的需求型態，在某種程度上會持續到最近的未來；所需要的條件是序列型態所具有的穩定性或規則性。唯其穩定與規則，順勢推延才被認為合理。

R/S分析法並無上述的限制，而且其具有鑑別序列特性的能力，是傳統方法所不及的，存量控制問題所關心的是前置時間內存貨量的最大需求，本研究試圖以赫斯特研究水庫之模型套用，期以發覺其可行性或貢獻性。

4. 研究方法 4.1 存貨模型

存貨的管制是生產管理上非常重要的基礎。良好的存貨管理可使製造成本降低，進而提高企業的競爭優勢。傳統的存貨管制系統，其基本上分為：（1）永續盤存制（Continuous-review System），此系統為經常監督存貨，當庫存量低於一定量時，則發出固定訂購量的請購單。（2）定期盤存制（Periodic-review System），每隔一固定時間檢查存貨在決定訂購量，又稱固定訂購期間系統。

我們將赫斯特冪數與碎形布朗運動代入以上兩種存貨管制系統，試著描述前置時間內需求量的變動過程，並找出最佳訂購量或最佳訂購間隔。最後針對相關的係數做敏感度分析，找出彼此間存在的關係。

4.2 參數設定與基本假設 4.2.1 參數設定

D 每年的平均需求量 Q 訂購量

A 每次訂購的固定訂購成本 h 每年每項物件的存貨持有成本

(11)

k 安全因子

β 允許欠撥比例；即在缺貨期間內，顧客願意接補貨的機率，且0≤ ≤ β 1 q 在前置時間內，發生缺貨的機率

π 每項物件缺貨時的固定懲罰成本 π0 每項物件的邊際利潤

r 再訂購點

x 前置時間內單位時間需求量 t

µ x 之平均值 _t t 固定之前置時間

H 赫斯特冪數，且 0<H<1

C 與 fBm 相關之正係數 H

X 前置時間內之需求量 ( )

B r 一個週期間期望的缺貨數量 N 訂購點時持有庫存量

4.2.2 基本假設

1. 固定前置時間下的需求量 X 是由一連串的x 所累積。 _t

2. 假設x 與 H 相關，且 0<H<1。當 H=0.5 時，_t x 則為獨立隨機變數。 _t

3. 當存貨管制系統為永續盤存制（Continuous-review System）時，若存貨水準低於再訂購點時即立刻補貨。

4. 參數 q 表示在一個週期結束後缺貨的機率；而β 則表示在缺貨期間內，顧客願意接受補貨的機率。

5. 再訂購點r 為前置時間內的期望需求量加上安全存貨。

6. 當 H 值介於 0.5 至 1 之間時，即產生 persistence。換而言之，在固定前置時 間內的需求量有持續性上升或持續性下降的趨勢發生；當 H 值介於 0.5 至 1 之間則產生 anti-persistence，即在固定前置時間內需求量會呈現上下來回振動的趨勢。

4.3 EOQ 與 EOP 模型架構

4.3.1 永續盤存制（Continuous-review System）

在此模型架構中，年度的期望總成本可定義為訂購成本（Ordering Cost）、持有成本（Holding Cost）與缺貨成本（Stockout Cost）的總和。

( )

EAC Q =OC+HC+SC……….（4.1）

每一年期望的訂購次數為D

Q ，因此訂購成本為

(12)

OC AD

= Q ……….…（4.2）

根據假設，當X = 時存貨正好滿足需求量。因此當 X rr > 時，缺貨就會產生且在期末的期望缺貨量為^{E r}[ ⁻^X]^。此外

(

¹⁻^β

) ( )

^{B r} ^{則表示在缺貨期間所損}

失的量。

平均的存貨量為

[ ]

(

¹

) ( ) (

¹

) ( )

2 2

Q Q

E r X β B r r µt β B r

+ − + − = + − + − ….（4.3）

根據再訂購點r=µt+k C t_H ^H，可將上式轉換為

(

¹

) ( )

2

H H

Q+k C t + −β B r ………...（4.4）

因此，可推導出年度期望持有成本為

(

¹

) ( )

2

H H

HC=h^⎡⎢⎣Q+k C t + −β B r ^⎤⎥⎦…………...…（4.5）

由於^{B r}

( )

為每一週期的期望短缺量，所以期望懲罰成本為^π^{B r}

( )

^；期望的

損失利潤為π0

( ) ( )

1-β B r 。因此，每一年的期望缺貨成本為

( ) ( )

0 1

SC D B r

Q π π β

= ⎡⎣ + − ⎤⎦ ………...（4.6）

最後，可將年度期望總成本表示如下

( ) (

1

) ( )

0

(

1

) ( )

2

H H

D Q D

EAC Q A h k C t B r B r

Q ^⎡ β ^⎤ Q π π β

= + ⎢⎣ + + − ⎥⎦+ ⎡⎣ + − ⎤⎦ ..（4.7）

為了更進一步的分析，將EAC Q 對 Q 做偏微分，我們可得到 ( )

( )

² ₂ ₂ ² ⁰

(

¹

)

^H ^H

(

¹ ²

)

EAC Q AQ h D

C t k k

Q Q Q π π β

∂ ∂ = − + − ⎡⎣ + − ⎤⎦ + − ....（4.8）

再對 Q 做二次偏微分，可得到

( ) ( ) ( )

2

2 3 3 0

2 1 _H ^H 1 0

EAC Q AD D

C t k k

Q Q Q π π β

∂ ∂ = + ⎡⎣ + − ⎤⎦ + − > ....（4.9）

對於給定的安全因子k而言

(

¹⁺^k² ⁻^k

)

> ，所以可得知圖形為凹向上的曲⁰ 線。

對 Q 而言，總期望成本的最小值會發生在Q=Q^*。因此，令一次微分為零可得到最佳解

(13)

( ) ( )

{

⁰ ²

}

*

2 1 _H ^H 1

D A C t k k

Q h

π π β

+⎡⎣ + − ⎤⎦ + −

= ……....（4.10）

對另一決策變數 r 而言，k為其變動因子。因此，將EAC Q 對( ) k做偏微分可得到

( ) ( )

0

( )

2

1 1 1 1

2 1

H H

EAC Q D k

h C t h C t

k Q k

β π π β ^⎛ ^⎞

∂ ⎧ ⎫

= + ⎨ − + ⎡⎣ + − ⎤⎦⎬ ⎜ − ⎟

∂ ⎩ ⎭ ⎝ + ⎠..

（4.11）

再對k做二次偏微分，可得

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

2 2 2 0

1 1 1 1 0

2

H H

EAC Q D

h C t k

k β Q π π β ⁻

∂ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤

= ⎨ − + ⎡⎣ + − ⎤⎦⎬ ⎢ + ⎥>

∂ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ..（4.12）

對k而言，總期望成本的最小值會發生在k= 。因此，令一次微分為零可k^* 得到最佳解

( )

*

*2

2 1

1

H

h C tH

k

k g β

=− +

+ …...……….（4.13）

其中

( ) { (1- ) D[ 0(1- )]} _H ^H

g h C t

β = β +Q π π+ β ………….（4.14）

4.3.2 定期盤存制（Periodic-review System）

所謂的固定訂購期間是指依固定期間檢視存貨，然後下單補足訂購量。例如藥房、便利商店等並不允許連續的盤點存貨，而是鼓勵採取固定訂購期間系統，

只需定期盤點存貨水準即可。

先討論以需求率和前置時間兩者皆固定下，使得年持有成本與年訂購成本總成本為最低的經濟訂購期間（EOP）。此可以用 EOQ 所求得的經濟訂購量Q ，^* 再由全年的需求量 D 求得T^*=Q D^* ，表示每隔T 時間後即訂購一次。然後將^*

（4.10）的Q 代入，可得到 ^*

( ) (

²

)

* 0

*

2A 1 C t_H ^H 1 k k T Q

D Dh

π π β

+⎡⎣ + − ⎤⎦ + −

= = ...（4.15）

由於定購期間是固定的，因此所準備的安全存量除了要應付前置期間的需求外，亦要應付在訂購時距（隔次訂購時間的間隔(ReOrder Interval)，OI =T^*）內的需求。在固定訂購期間內，隔次訂購的數量是其現有的庫存來決定，故每次訂購量不一定相同，其公式如下：

訂購數量＝在保護期間之期望需求量＋安全存量－訂購點時持有庫存量

(14)

(

^*

)

^H

(

^*

)

^H

Q=µ T + +t z C T +t − ……...（4.16） N 為了更進一步的分析，我們將訂購時距T 對^* β做偏微分，可得到

(

²

) ⁽ ⁾

²¹

(

²

)

* 1 2 1 0 1 0 1

2 0

H H

C t k k C t k k

T A

Dh Dh Dh

π π β π

β

⎧ + − ⎡⎣ + − ⎤⎦⎫− ⎡ + − ⎤

∂∂ = ⎪⎨⎪⎩ + ⎪⎬⎪⎭ × −⎢⎢⎢⎣ ⎥⎥⎥⎦<

...（4.17）

將訂購時距T 對做^* k偏微分，可得到

( )

( ) ( )

* 0 2

2 0

1 1

2 0

2 1 1

H H

C t k

T k

k ADh Dh C t k k

π π β π π β

⎛ ⎞

+ − −

⎡ ⎤ ⎜ ⎟

⎣ ⎦

∂ = ⎝ + ⎠ <

∂ + ⎡⎣ + − ⎤⎦ + −

...（4.18）

4.4 敏感度分析

1. 將（4.10）式對β 做偏微分，可得到

*

Q 0 β

∂ <

∂ 。最佳訂購量Q 與顧客願意接^* 受補貨率β 呈現負相關，亦即β 上升會造成訂購量Q 下降。換而言之，顧客^* 願意接受補貨的機率越高意味著可以減少訂購量的訂購，可將關係式寫成

* * *

1 0

Q _β₌ <Q _β <Q_β₌

2. 將（4.7）式對β 做偏微分，可得到 EAC 0 β

∂ <

∂ 。總期望成本EAC與允許欠撥比例β 呈現負相關，表示願意接受補貨的機率越高，則每年期望總成本就越低。其關係式為EAC_β₌₁<EAC_β <EAC_β₌₀

3. 將（4.10）式對k做偏微分，可得到

*

Q 0 k

∂ <

∂ 。對於任意的安全因子k>0，最佳訂購量Q 與^* k為負相關，亦即提高安全因子k就可以減少訂購量的訂購。

4. 從（4.10）式中，可明顯看出在此存貨模型中的兩個決策變數，最佳訂購量Q^* 與再訂購點 r 都與赫斯特冪數 H 相關。當0.5<H <1時，需求量有持續性上升或持續下降的兩種趨勢。若是呈現持續上升時，則應該增加訂購量Q 與提高^* 再訂購點 r ；反之，則應該減少訂購量與降低再訂購點。當0<H <0.5時，需求量會呈現上下不斷震動的趨勢。若前一期呈現上升的趨勢，則暗示下一期會有下降的趨勢。

5. 從（4.2）式中，可看出每年的訂購次數也與赫斯特冪數 H 相關。每年的訂購 次數 D_*

Q 會隨著訂購量Q 的上升而下降；反之，則會隨著訂購量^* Q 的下降而^*

(15)

上升。同理，可得證訂購成本 D OC A

= Q 有相同情況。

6. 將（4.5）與（4.6）式對 H 做偏微分，可得到 HC 0 H

∂ >

∂ 與 SC 0 H

∂ >

∂

7. 安全存貨＝k× C t_H ^H受到赫斯特冪數 H 的影響。當0<H <0.5時，若前置時間內的需求量呈現上升的趨勢，則應該提高安全存貨的存量已避免缺貨；反之若呈現下降的趨勢，則應該降低安全存貨以避免過多的庫存。

8. 由（4.17）式可看出，訂購時距T 與允許欠撥比例^* β 為負相關；其表示顧客願意接受補貨的機率越高，則訂購時距應越小。其關係式為T_β^*₌₁<T_β^*<T_β^*₌₀ 9. 由（4.18）式可看出，訂購時距T 與安全因子^* k為負相關；亦即若提高安全

因子，則訂購時距會縮小。

10. 當0.5<H <1時，表示前置時間內的需求量有正相關的持續性。若需求量是向上遞增的持續性，則T 應越小越好；若需求量是向下遞減的持續性，則^* T^* 應越大越好。

5. 結果與討論

從敏感度分析中，可以發現許多相關的參數與成本方程式都直接或間接的受到赫斯特冪數的影響，例如：訂購成本（OC）、缺貨成本（SC）、持有成本（HC）、最佳訂購量（Q ）^* 、再訂購點（ r ）。由於受到赫斯特冪數的影響，所以我們將存貨模型分為0<H <0.5、H =0.5以及0.5<H <1，這三種情況來探討。

當赫斯特冪數介於0.5<H <1之間時，有“persistence”之效應，亦即在固定前 置時間內需求量有持續性上升的趨勢，或者是持續性下降的趨勢；而當 H 值越 接近 1 時，將可以更顯著的看出持續性的趨勢。反之，當赫斯特密數介於 0<H <0.5時，有“anti-persistence”效應。在固定前置時間內，需求量會呈現上下起伏、來回震動的趨勢，亦即前一期的上升暗示著下一次會是下降的趨勢。最後一種情況，當H =0.5時，則所有存貨模型的參數與變異數都服從常態分配，不再適用原先的碎形布朗運動。

在相依需求的假設下我們發展出一個隨機的存貨模型，並藉由碎形布朗運動以及 Hurst 係數，可以陳述獨立、持續以及非持續的現象。最後結合碎形布朗運動以及 Croston 的方法以處理需求間的關係，完成建構模型，並進一步找出其模式建立一套存貨策略來控制存貨成本。此次的研究中，只針對基礎的存貨管制系統做假設與探討分析，未來仍有許多的空間作深入的研究，例如：變動的前置時間、趕工成本的考量與欠撥折扣的訂定等。同時也可將碎形布朗運動導入至其他不同的領域，例如：生產系統、品管系統、程序控制系統等等。

(16)

6. 參考文獻

1. M. Akay and R. Fischer, “Fractal analysis of biomedical signals,” Biomedical Engineering Applications, Basis Communications, 9(4)(1997), 209—213.

2. F. Bass, “A new product growth model for consumer durables,” Management Science, 15 (1969), 215—227.

3. M. Baxter, Product Design: Practical Methods for the Systematic Development of New Products, Chapman & Hall, London, 1995.

4. J.T. Buchanan, “Alternative solution methods for the inventory replacement problem under increasing demand,” Journal of the Operational Research Society, 31(1980), 615—620.

5. D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond and J.B. Bassingthwaighte,

“Analyzing exact fractal time series: Evaluating dispersional analysis and rescaled range methods,” Physical A: Statistical and Theoretical Physics, 246(3—4)(1997), 609—632.

6. O. Castillo and P. Melin, “Automated mathematical modeling for financial time series prediction using fuzzy logic, dynamical systems and fractal theory,” Proceedings of IEEE/IAEE Conference on Computational Intelligence for Financial Engineering, 1996, Piscataway, NJ, USA, 120—126.

7. D. Chaudhuri and O. Mohammed, “Inspection model for systems with a delay time between faults in components and actual system failure,” Proceedings of Industrial Engineering Research Conference 1997, IIE, Norcross, GA, USA, 13—17.

8. H.J. Chang and C.Y. Dye, “An EOQ model with deteriorating items in response to temporary sale price,” Production Planning and Control, 11(2000), 464—473.

9. H.J. Chang, and C.Y. Dye, “An EOQ model for deteriorating items with exponential time–varying demand and partial backlogging,” Journal of Information and Management Sciences, 10(1999), 1—11.

10. J.M. Chen, “An inventory model for deteriorating items with time-proportional demand and shortages under inflation and time discounting,” Int. J. Production Economics, 55(1998), 21—30.

11. M.A. Cohen, “Joint pricing and ordering policy for exponentially decaying inventory with known demand,” Naval Research Logistics, 24 (1977), 257—268.

12. R.B. Cover and G.S. Philip, “An EOQ model with Weibull distribution deterioration,”

AIIE Transactions, 5(1973), 323—326.

13. W.A. Donaldson, “Inventory replacement policy for a linear trend in demand – an analytical solution,” Operational Research Quarterly, 28 (1977), 663—670.

14. K.J. Dooley, “Estimating fractal dimension, with application to production systems,”

Proceedings of Industrial Engineering Research Conference, 1995, IIE, Norcross, GA, USA, 1025—1032.

(17)

15. P.M. Ghare, and G.F. Schrader, “A model for exponentially decaying inventory,” Journal of Industrial Engineering, 14(1963), 5—11.

16. R.J. Henery, “Inventory replacement policy for increasing demand,” Journal of Operational Research Society, 30(1979), 611—617.

17. A.K. Jalan, R.R. Giri and K.S. Chaudhuri, “EOQ model for items with Weibull distribution deterioration, shortages and trended demand,” International Journal of Systems Science, 27(1996), 851—855.

18. R. Kozma, N.K. Kasabov, J.S. Kim and A. Cohen, “Integration of connectionist methods and chaotic time-series analysis for the prediction of process data,” International Journal of Intelligent Systems, 13(3)(1998), 519—538.

19. A. Mendoza, “An economic lot-sizing technique: mathematical analysis of the part-period algorithm,” IBM systems Journal, 7(1) (1968), 39—46.

20. P.S. Meyer, ”Bi-logistic growth,” Technological Forecasting and Social Change, 47(1994), 89–102.

21. P.S. Meyer and J.H. Ausubel, “Carrying capacity: A model with logistically varying limits,“ Technological Forecasting and Social Change, 61(1999), 209–214.

22. P.S. Meyer, J.W. Yung, and J.H. Ausubel, “A primer on logistic growth and substitution:

the mathematics of the loglet lab software,” Technological Forecasting and Social Change, 61 (1999), 247–271.

23. W.L. Moore and E.A. Pessemier, Product Planning and Management: Designing and Delivering Value, McGraw-Hill, (1993).

24. M. Naito, N. Tanaka and H. Okamoto, “Distinguishing chaos from random fractal sequence by the comparison of forward and backward predictions: Utilization of the difference in time reversal symmetry of time series,” Proceedings of Int. Conf. on Knowledge-Based Intelligent Electronic Systems, KES 1, 1997, IEEE, Piscataway, NJ, USA, 101—107.

25. N. Nakicenovic and Gru¨ bler, A., eds.: Diffusion of Technologies and Social Behavior, Springer-Verlag, Berlin, Germany, (1991).

26. C.-Y. Peng and S.-S. Jang, “Fractal analysis of time-series rule-based models and nonlinear model predictive control,” Industrial & Engineering Chemistry Research, 35(7)(1996), 2261—2268.

27. R.I. Phelps, “Optimal inventory rule for a linear trend in demand with a constant

replacement period,” Journal of the Operational Research Society, 31(1980), 439—442.

28. G.C. Philip, “A generalized EOQ model for items with Weibull distribution,” AIIE Transactions, 6(1974), 159—162.

29. F. Raafat, “Survey of literature on continuously deteriorating inventory models,” Journal of the Operational Research Society, (1991), 27—37.

30. E.M. Rogers, Diffusion of Innovations, 3^rd Edition, The Free Press, New York, (1983).

(18)

31. S.M. Ryan, “Forecast frequency in rolling horizon hedging heuristics for capacity expansion,” European Journal of Operational Research, 109(3)(1998), 550—558.

32. E.A. Silver, “A simple inventory replacement decision rule for a linear trend in demand,”

Journal of the Operational Research Society, 30(1979), 71—75.

33. E.A. Silver and H.C. Meal, “A heuristic for selecting lot size quantities for the case of the case of a deterministic time-varying demand rate and discrete opportunities for

replenishment,” Production and Inventory Management Journal, 2^nd Quarter (1973), 64—74.

34. E.A. Silver, D.F. Pyke and R. Peterson, Inventory Management and Production Planning and Scheduling, 3^rd Edition, Wiley, New York, 1998.

35. P.H. Smith, “Optimal production policies for items with decreasing demand,” European Journal of Operational Research, 1(1977), 365—367.

36. C.T. Su, C.W. Lin and C.H. Tsai, “A deterministic production inventory model for

deteriorating items with an exponential declining demand,” Operational Research Society of India, 36(1999), 95—106.

37. C.T. Su, L.I. Tong and H.C. Liao, “An inventory model under inflation for stock dependent consumption rate and exponential decay,” Operational Research Society of India, 33(1996), 71—82.

38. J. Thomas, “Down but not out,” Distribution, (1995), 6—12.

39. S. Tokinaga, H. Moriyasu, A. Miyazaki and N. Shimazu, “Forecasting of time series with fractal geometry by using scale transformations and parameter estimations obtained by the wavelet transform,” Electronics & Communications in Japan, Part III: Fundamental Electronic Science, 80(8)(1997), 20—30.

40. A.Y. Tretyakov, H. Takayasu and M. Takayasu, “Phase transition in a computer network model,” Physical A: Statistical and Theoretical Physics, 253(1—4)(1998), 315—322.

41. N.M. Victor and J.H. Ausubel, “DRAMs as model organisms for study of technological evolution,” Technological Forecasting and Social Change, 69(2002), 243—262.

42. B.-F. Wu and Y.-L. Su, “On the relationship between the self-similarities of fractal signals and wavelet transforms,” Proceedings of the International Symposium on Signal

Processing and its Applications, ISSPA 2, 1996. IEEE, 736—739.

43. H.L. Yang, J.T. Teng and M.S. Chern, “Deterministic inventory lot-size models under inflation shortages and deterioration for fluctuating demand,” Naval Research Logistics, 48(2001), 144—158.

44. H.L. Yang, J.T. Teng and M.S. Chern, “A forward recursive algorithm for inventory lot-size models with power-form demand and shortages,” European Journal of Operational Research, 137(2002), 394—400.

45. Y. Yano, T. Oguma, H. Nagata and S. Sasaki, “Application of logistic growth model to pharmacodynamic analysis of in vitro bactericidal kinetics,” Journal of Pharmaceutical

(19)

Sciences, 87(1998), 1177—1183.