偏光膜製程之動態模擬分析與成形最佳速度設定

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

偏光膜製程之動態模擬分析與成形最佳速度設定 研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 94-2218-E-011-014-

執 行 期 間 ： 94 年 08 月 01 日至 95 年 11 月 30 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學機械工程系

計 畫 主 持 人 ： 黃世欽

計畫參與人員： 博士班研究生-兼任助理：邱亦睿、林高安 碩士班研究生-兼任助理：范國瑋、鄭佩漪

報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處 理 方 式 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中 華 民 國 95 年 12 月 26 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 成果報告 偏光膜製程之動態模擬分析與成形最佳速度設定

計畫類別：

;

個別型計畫 □ 整合型計畫 計畫編號：NSC 94－ 2218 － E － 011 － 014

執行期間： 94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日

計畫主持人：黃 世 欽 國立台灣科技大學機械系 教授

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)： ; 精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計 畫、列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢 執行單位：國立台灣科技大學

中 華 民 國 95 年 7 月 31 日

偏光膜製程之動態模擬分析與成 形最佳速度設定

一、中文摘要

本研究建立偏光膜(PVA)延伸成 形之動態模型與張力分析，並進而探 討延伸製程之最佳速度調控。

利 用 推 導 之 延 伸 系 統 動 力 方 程 式，撰寫成一延伸系統測試程式，讓 使用者可設定輥輪的配置與材料之相 關參數，了解張力及應力之變化，提 供使用者一初步之資訊，以利設計評 估，提高設計效率。

續進行偏光膜延伸加工製程之最 佳化分析，定義加工案例之目標函數 與最佳化準則，以遺傳演算法求得輥 速與壓輪荷重之最佳參數組合，並探 討輥速與壓輪荷重對張力分佈之影 響。本研究對於延伸系統的設計者與 分析者，提供一有效、可行之工具。

二、計畫緣由與目的

偏光板或偏光膜是液晶顯示銀幕 之關鍵材料，不僅如此，偏光膜之應 用產品還包含手機、太陽眼鏡、數位 相機、背光型電視顯示器等不勝枚 舉，近年來隨著筆記型電腦與LCD顯 示器的大幅成長，偏光膜之技術研發 已成為近年來的重點技術之ㄧ。偏光 膜是液晶顯示螢幕之關鍵材料，過去 五十年來的偏光膜技術大都掌握在日 本手上，幾無重要技術文獻可參考。

而偏光膜之各段製程中尤以其延伸技 術最為關鍵，因該段製程決定分子之 定向，而分子之定向直接決定偏光效 果之好壞，因此如何建立偏光膜延伸 技術，對國內廠商投入相關產業技術

有相當大之助益，本研究成果可提供 偏光膜業者ㄧ初步之規劃與參考。

延 伸 製 造 為 機 械 工 業 常 用 之 製 程，從線拉伸如彈簧線製程，到薄膜 材料如偏光膜成形，皆可視為不同複 雜程度的延伸系統，因此研究延伸系 統之動態特性，使得系統運轉適當，

並確實掌控機具之特性，為機械工程 上重要課題之ㄧ。

延伸系統的動態模擬分析，除了 運轉中的各參數調校變化分析外，事 先預知設定的輥輪配置及材料動線等 先期之評估，對延伸系統配置相當有 幫助。因此本文首先藉由推導之系統 動力方程式，建構ㄧ延伸系統之測試 程式，以便使用者對預先的設定能有 初步的概念，再輔以最佳化方法演算 所需參數的最佳設定，提供我們迅速 而有效地調校製程的機械參數以達到 需求的製程目標。

三、研究方法及成果

1. 延伸動力分析 1.1 理論推導

茲描述一延伸系統如圖1所示，其 主要組成包含主動輥輪、壓輪與惰 輪。主動輥輪提供速度，而速度可由 操作人員設定，藉由材料與輥輪之間 的摩擦力帶動材料，左輪與右輪之間 的速度差造成材料延伸。壓輪提供荷 重作用在材料與主動輥輪上的一點，

旨在提供一摩擦力，此摩擦力在主動 輥輪與材料接觸面上產生一分界點，

使得在壓輪接觸的點，左右兩側之摩 擦力方向不同。

惰輪(被動輪)之主要作用在於改 變材料與主動輥輪間的包角，因主動 輥輪之包角改變摩擦力之大小，當主

動輥輪間的軸間距離與位置固定時，

加入一惰輪之配置，可使主動輥輪包 角增加，提供足夠的摩擦力。延伸系 統中的各主動輥輪皆為定速，在跨過 惰輪之材料，可視為不受摩擦力作 用，故張力值不變。

材料與主動輥輪及壓輪接觸下即 會形成包角，依序分別表示為

θ

₁、

θ

2、…、

θ

₈。圖1中，點1~8為材料與 主動輥輪之切點。假設點1~3段為一 組，點3~5段為一組，依此類推。

本章節首先推導點1~3段之方程 式，將其分解為材料接觸主動輥輪部 分(點1~2段)與材料未接觸主動輥輪部 分(點2~3段)，分別求得其方程式，組 合成一延伸系統之動力方程式，同理 亦可獲得其他組之動力方程式。

1.1.1 接觸主動輥輪段

材料與主動輥輪接觸的部分，輥 輪 以 一 定 轉 速 Ω 運 轉 ， 線 速 度

V

= Ω × ，上方壓輪荷重 N 作用在材

r

料與主動輥輪上，如圖2所示。今將接 觸主動輥輪部分區分成三小段：第一 段為左側材料接觸輥輪部分，包角

θ

L；第二段為壓輪接觸作用在一微小 段上，包角遠小於左右兩側包角，可 忽略不計；第三段為右側材料接觸輥 輪部分，包角

θ

_R。張力從左到右側分 別為

T

_A、

T

_B、

T

_C、

T

_D。

第一段：延伸系統乃是藉由左右 主動輥輪之速度差，而右輪速度必定 大於左輪速度，材料才能持續行進並 延伸。因右輪速度較左輪快，在此段 輥輪帶動接觸在輥輪上之材料，提供 較左輪快的速度拉扯左段材料進行延 伸，所受摩擦力方向與材料行進方向 同向

(

²

)

^{L 2}

B A

T

=

T

−

ρ AV e

^−μθ +

ρ AV

(1) 第二段：在此壓輪接觸的微小段上，

壓輪提供一荷重 N ，產生一與材料行 進方向反向之摩擦力作用，防止材料 與壓輪之間打滑的情形發生

C B

T

=

T

+

μ N

(2) 第三段：右輪速度較左輪快之情形

下，在此段材料受右輪較快之速度所 帶動造成右段之材料延伸，所受摩擦 力方向與材料行進方向反向

(

²

)

^{R 2}

D C

T

=

T

−

ρ AV e

^μθ +

ρ AV

(3) 將上述三式合併，可得到加入壓輪之 接觸主動輥輪段方程式

(

²

)

^{( R L) R 2}

D A

T

=

T

−

ρ AV e

^{μ θ θ−} +

μ Ne

^μθ +

ρ AV

(4) 其中，

ρ

為材料之比重(

kg m

/ ³)，

A

為

材料之截面積(

m

²)。

在最末端出口處之輥輪，為延伸 系統中最大輥速，帶動接觸在輥輪上 之材料。在壓輪所接觸的微小段上，

因無後方主動輥輪帶動，壓輪提供荷 重

N

產生之摩擦力，方向與材料行進 方向同向，提供較左輪快的速度拉扯 左段材料進行延伸。

1.1.2 未接觸主動輥輪段

材料未接觸到主動輥輪部分，可 用質點流方式估算，今考慮具質量

dm

，體積

dv

=

dxdydz

的流體微分元 素，並考慮在其上之作用力的x方向之 分量。x方向上的淨作用力

dF

_s(作用於 表面上的力)

xx yx zx

dF

s

dxdydz

x y z

σ

^∂

τ τ

⎛∂ ∂ ⎞

=⎜⎝ ∂ + ∂ + ∂ ⎟⎠ (5) 將牛頓第二定律應用於質點時，

吾人可得到描述流體運動的動力公

式。同理，當吾人應用牛頓第二定律 於質量 dm 之有限流體質點時，我們便 可求得動量微分方程式。

牛頓第二運動定律之向量式

dF dm DV Dt

V V V V

dm u v w

x y z t

=

⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎤

= ⎢⎣ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ ⎥⎦ K K

K K K K (6)

再將我們之前所求得的(5)式，代入(6) 式中，可得

xx yx zx

V V V V

u v w

x y z t

x y z

ρ

σ τ τ

⎡ ∂ + ∂ + ∂ +∂ ⎤

⎢ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎣ ⎦

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

G G G G

(7)

考慮一維穩流系統：

xx

u u

x x ρ

^∂ = ^∂

σ

∂ ∂ ⁽⁸⁾

而 _xx

T

^xx

σ

=

A

，m =

ρ Au

，故兩邊積分之 後可得未接觸輥輪段之張力-速度方 程式

2

T m V

Δ = Δ

(9)

1.2 延伸系統方程式

經由1.1.1與1.1.2章節所推導之接 觸主動輥輪段與未接觸主動輥輪段方 程式，即可完整的描述整個延伸系統 中的一個構成單元，而全系統就是由 這些構成單元串聯而成。方程式表示 如下：

接觸主動輥輪段：

( )

^{( 2 2 1)}

2

2

2 2 1

2

i i

i

i i i i

i i i

T T AV e

N e AV

μ θ θ

μθ

ρ

μ ρ

− −

= − −

+ + (10)

未接觸主動輥輪段：

( )

2 1 2 1

i i 2 i i

T

₊ −

T

=

m

^

V

₊ −

V

(11) 將(10)與(11)式合併，可得延伸系統之

統御方程式

( )

^{( )}

( )

( )

^{( )}

2 2 1 2

2 2 1 2

2

2 1 2 1

2

1 2

2 1 2 1

2

, 1 ~ 1 2

,

i i i

i i i

i i i i i

i i i i

i i i i i

i i

T T AV e N e

AV m V V i n

T T AV e N e

AV i n

μ θ θ μθ

μ θ θ μθ

ρ μ

ρ

ρ μ

ρ

−

−

−

+ −

+

−

+ −

⎧ = − +

⎪⎪ + + − = −

⎪⎨

⎪ = − −

⎪⎪ + =

⎩



(12) 其中，n為輥輪配置組數。

1.3 延伸系統之測試程式

此程式[1]主要針對延伸系統作先 期之評估，讓使用者可設定輥輪的配 置與材料之相關參數，了解張力、應 力及收縮面積之變化，令使用者初步 了解整個系統，以避免不合理的配置 設定。程式之介面如圖3所示，其流程 執行步驟如下：

1. 輸入輥輪之組數與尺寸等資訊，並 輸入主動輥輪與惰輪位置以(X,Y) 座標表示。

2. 輸入材料之相關參數及初始條件。

3. 將各組壓輪荷重與主動輥輪輥速輸 入，顯示出各包角、張力、應力及 收縮面積之變化。

2. 偏光膜延伸製程之參數最佳化 偏 光 膜 製 造 流 程 包 括 染 色 、 延 伸、貼合、乾燥等步驟，其中染色材 料配方是最重要的關鍵技術，而PVA 的延伸定向控制也會影響偏光膜的光 學特性。

延伸製程中，是將一富化學活性 之透明塑膠板(通常為PVA)浸在碘與 碘化鉀溶液中，一段時間後，碘離子 擴散滲入PVA內層，微熱後利用延伸 機械拉伸，直到數倍長度，PVA分子

本來是任意角度無規則性分佈的，受 力拉伸後就逐漸一致地偏轉於作用力 方向，附著在PVA上的碘離子也跟隨 著有方向性排列成長鏈，因為碘離子 有很好的起偏性，可以吸收平行於其 排列方向的光束電場分量，並阻擋垂 直方向的光束電場分量，造成偏光效 果。

從上述製程中吾人可發現，偏光 效果的好壞，延伸的定向控制是其中 之關鍵因素。通常延伸過程中材料不 僅經過彈性變形區，最後更定向在塑 性變形區。在此成形過程中，碘離子 排列定向不僅受最後延伸倍率影響，

各階段的延伸速度更是製作優良偏光 膜的重要參數。

今吾人設計一PVA延伸系統示意 圖如圖4所示。共配置4組主動輥輪，

由左至右編號分別為第1組至第4組，

每組輥輪配置皆含一主動輥輪及壓 輪，中間加入導輪的配置，增加材料 與主動輥輪之間的包角。材料走線之 入口角

θ

₁與出口角

θ

₈皆為0^D，

θ

₂ ~

θ

₅ 為90^D，

θ

₆、

θ

₇為60^D。延伸之材料為 PVA膜(Polyvinyl Alcohol，聚乙烯醇) [2] ， 比 重 1.23 ， 降 服 強 度

2.55 / 2 Y

kg mm

σ

= ， 抗 拉 強 度 8.16 / 2

M

kg mm

σ

= 。原材之尺寸為高 (厚度) 80 m

μ

、寬10cm ，初始截面積 8mm ，入口張力2

T

₁為5N，質量流率

0.0492 /

m

 =

kg s

，與輥輪之摩擦係數為 0.02 [3]，主動輥輪與壓輪、惰輪之半 徑皆為5cm。

在PVA延伸系統中，第1~2組輥輪 段為膨潤區，將PVA浸泡在化學藥槽 中，PVA之抗拉強度隨著濕度的增加 而減少。第2~3組輥輪段為主要的延伸 區，在此段增大左右輥速之倍率差進

行單軸延伸，使碘離子排列定向。第 3~4組輥輪段為貼合與乾燥區，由於 PVA在經過延伸之後，機械性質會降 低，變得容易脆裂，兩側通常會鍍上 一層TAC(Triacetyl Cellulose，三醋酸 纖維)膜，作為保護及防止PVA膜回縮 的作用。吾人規劃膨潤區為點1~5，延 伸區為點5~8，貼合乾燥區為點8~13。

2.1 最佳化設計數學模型 設計變數：

共4組輥輪，設計變數為主動輥輪 輥速V及其所對應之壓輪荷重^N

1 4 1 4

( ) ( ~ , ~ )

f X

=

f V V N N

(13) 限制條件：

1. 在延伸系統中，右方配置之主動輥 輪輥速必定大於左方之輥輪輥速，

確保材料能持續行進並延伸。在速 度的限制條件

1 0

i i

V

−

V

₊ ≤ ， =1~3

i

(14) 2. 壓輪提供之應力限制條件，作用在

材料上之應力值不超過材料之降伏 強度，避免材料延伸過程中橫向塑 性變形。壓輪接觸材料之面積為材 料寬度乘上壓輪接觸點上的一微小 弧長 r× (假設一微小包角

θ θ

=2^D)

j

y

N

b r σ θ

^<

× ，

j

=1~4

4360.8⇒

N

_j <

N

(15) 3. 在材料縱向應力限制上，材料在系

統末端輥輪之最大應力值不超過抗 拉強度，避免材料產生破壞[4]。因 在接觸輥輪段上材料截面積不變，

末端輥輪之最大應力值發生在入口 切點12上

12

12 8.16

σ σ

M

σ

<

⇒ < (16) 目標函數：

根 據 PVA 延 伸 系 統 最 佳 化 的 需 求，定義兩種不同之目標函數如下：

1. 延伸過程中，材料不僅經過彈性變 形區[4]，最後更定向在塑性變形區 [4]。設定在延伸區(第2~3組輥輪 段，點5~8)之切點8，達到材料之降 伏應力值

Minimize

f X

^{1( )}=

( σ

⁸−

σ

y

)

² (17) 2. 材料在膨潤區(第1~2組輥輪段，點

1~5)及 乾 燥 貼 合 區(第3~4組 輥 輪 段，點8~13)張力增量小

Minimize

f X

2( )=

( T

5−

T

1

)

² (18) Minimize

f X

3( )=

( T

13−

T

8

)

² (19) 將(17)式、(18)式與(19)式之分目標函 數[5]，合併成一目標函數

( ) ( )

( )

1 1 2 2 3 3

2 2

1 8 2 5 1

2

3 13 8

( )

( ) ( ) ( )

y

Minf X

w f X w f X w f X

w w T T

w T T

σ σ

= × + × + ×

= × − + × − + × −

(20)

其中，

w w

₁: ₂:

w

₃ =0.6 : 0.2 : 0.2。 吾人使用之最佳化方法為遺傳演 算法[6]，(20)式之目標函數，為遺傳 演算法中之適應函數[7]。在後續之數 值範例中，皆取10次之樣本設計參 數，我們以具有最小適應值(最小目標 函數值)的該組樣本設計點為本範例 之最佳設計值。

2.2 數值範例

藉由PVA延伸之加工需求，在給 定入口輥速

V

₁ =5 /

m s

及設定質量流 率

m

 =

ρ AV

_{1 1}=0.0492之情形下，我們 分別考慮在相同適應函數(目標函數) 下，加入不同的速度限制條件之範 例，使用者可藉由對特定主動輥輪速

度的限制，來調置其他組輥速及壓輪 荷重。速度限制條件如下：

1. 出口及入口輥速限制 2. 中間輥速倍率限制

範 例 一 ：( 出 口 及 入 口 輥 速 限 制 ：

4 6.2 1

V

≤ × )

V

給定入口輥速的情形下，加入出 口輥速不超過6.2倍入口輥速之限制，

即材料總長度延伸倍率不超過6.2倍，

來調置第2、3、4組輥輪輥速及4組壓 輪荷重之值，達到所需求之目標。

輸入參數：

V

₁

速度限制條件：

V

₄ ≤6.2×

V

₁

輸出參數：

V 、

₂

V 、

₃

V 、

₄

N 、

₁

N 、

₂

N 、

₃

N

4

經遺傳演算法之運算，表1為最佳 適應值之參數組合，延伸系統經由此 最佳化參數組合調置，在出口輥速

V

₄ 約為6.15倍的入口輥速

V

₁之情形下，各 點張力值如表2所示，張力分佈曲線如 圖5所示。箭頭標示處代表為壓輪左右 兩側的點。

今定義張力差值符號

i j,

T

j

T

i

δ

= − (21) 其中，i、j為輥輪各點之編號。材料在

膨潤區之張力差值

δ

_1,5 =0.0002，乾燥 貼合區之張力差值

δ

_8,13= 。各點應力0 值如表3所示，在延伸區之切點8，達 到目標降伏強度

σ

₈ =2.55。

在末端出口處點14因無後方主動 輥輪帶動，張力值下降。點12為第4組 主動輥輪最大張力處，因材料在接觸 輥輪段上截面積不變，在應力限制 上，材料在系統末端輥輪之最大應力 值為

σ

₁₂，在應力值限制上設定不超過 抗拉強度，避免材料產生破壞。

因出口及入口輥速有一定之倍率

限制，使得輥速無法大幅增加，便需 調置較大的壓輪荷重值來增加材料之 張力來達到降伏強度。第二組壓輪荷 重N₂之值大，點5~6之張力增量較多，

使得在點8之應力值能到達降伏強度。

對於總延伸倍率給定一不等式限 制，設定材料總延伸倍率不超過某一 範圍，可避免過大延伸倍率之情形發 生。

範 例 二 ：( 中 間 輥 速 倍 率 固 定 ：

3 5 2

V

= × )

V

入口輥速已知的情形下，給定在 延伸區(第2~3組輥輪段，點5~8)輥速倍 率之限制，設定材料在延伸區延伸5倍 長度，來調置第2、3、4組輥輪輥速及 4組壓輪荷重之值，達到所需求之目 標。

輸入參數：

V

₁

速度限制條件：

V

₃ = ×5

V

₂

輸出參數：

V

₂、

V

₃、

V

₄、

N

₁、

N

₂、

N

₃、

N

4

將 等 式 限 制 條 件

1( ) 3 5 2 0

h X

=

V

− ×

V

= 和 待 定 係 數

M

1，組成懲罰項

M

1×

[ h X

1( )

]

²，然後 與(20)式之原目標函數組成一個單一 的目標函數

[ ]

1 1 2 2

2

3 3 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Minf X w f X w f X

w f X M h X

= × + × + × + ×

1: 2: 3: 1 0.6 : 0.2 : 0.2 : 3

w w w M

= (21) (21)式之目標函數，為遺傳演算法中之 適應函數。

經遺傳演算法之運算，表4為最佳 適應值之參數組合，其中，

V

₂與

V

₃符 合所訂定之速度限制條件

V

₃ = × 。5

V

₂ 延伸系統經由此最佳化參數組合調置 之後，各點張力值如表5所示，張力分 佈曲線如圖6所示。材料在膨潤區之張

力差值

δ

_1,5 =0.0213，乾燥貼合區之張 力差值

δ

_8,13= 。 0

因

V 影響點8之張力及應力值，在

₃

V

2與

V

₃之間有一固定倍率之限制下，

使得

V 之值相較前組範例來得大，造

₂ 成 在 膨 潤 區( 第 1~2 組 輥 輪 段 ， 點 1~5)

T

₅ − 之張力差值較大。各點應力

T

₁ 值如表6所示，在延伸區之切點8，達 到目標函數之降伏強度

σ

₈ =2.55。設 定PVA在延伸區中延伸特定倍率，使 之有較佳之偏光性，可提供在已有特 定延伸需求的製程一調置參數之依 據。

2.3 數值範例討論

上述PVA延伸製程之參數最佳化 數值範例中，使用者可藉由製程之需 求，對特定主動輥輪速度的限制(出口 及入口輥速限制、中間輥速倍率限制) 來調置其他組輥速及壓輪荷重，達到 所需求之目標。因各範例所訂定之適 應函數(目標函數)皆相同，所得之張力 分佈曲線走向皆近似，對張力分佈曲 線之探討如下：

1. 設定材料在膨潤區及乾燥貼合區張 力增量小，使得在張力分佈曲線圖 中，點1~5及點8~13的張力增量較 小。第1組壓輪控制點1、2之張力 值，其荷重趨近於零，使張力增量 小。又點3~5之張力值受第2組主動 輥輪速度之影響，第二組與第一組 輥輪速度之值相當接近。

2. 材料在點5開始進入延伸區，因設定 在前段膨潤區張力增量小，而在延 伸區末端點8處又必須達到降伏強 度，使得在進入延伸區時必須大幅 增加張力。又因質量流率設定較小 (

m

 =

ρ AV

_{1 1} =0.0492)之緣故，主動 輥輪間速度差造成之張力增量有

限，此時必須藉由提高壓輪荷重來 增加張力值。張力在第2組壓輪作用 下，點5~6之張力值大幅增加。設定 延伸區在點8達到降伏強度值，此點 為延伸區最大張力值之點。

3. 第 3 組輥速之值皆明顯大於第 1、2 組輥速，相較於輥速對主動輥輪上 之張力影響較顯著。在點8~9 之間 因摩擦力方向與材料行進方向同 向，使得

T 之值些許下降，在第 3

₉ 組壓輪便需給定一較大於第1 組壓 輪荷重之值，使得張力值回升。點 10~12 因第 3 與第 4 組輥速差作用 下，使得張力值持續上升。點12~13 又因摩擦力方向與材料行進方向同 向，使得

T 之值又些許下降。在最

₁₃ 後出口處點 14 因無後方主動輥輪 帶動，張力值下降。

四、結論

1. 本研究提供一有效的分析與設計模 式，此法對於延伸系統設計者提供 一 良 好 的 設 定 (setting) 與 修 正 (modification)工具，其軟體發展亦 相當易於開發，故應用性高。

2. 本研究提供延伸系統之測試程式，

令使用者在設計未底定之前，提供 一初始設計的基本概念，對所需參 數作一個有效且合理的評估。

3. 延伸之成敗關鍵在於速度與張力配 置，由數值範例可知，調置主動輥 輪輥速及壓輪之荷重，對目標函數 (張力及應力值)有一定程度的影

響。其中，壓輪對張力之變化量較 為顯著，而輥輪速度主要控制材料 之延伸倍率。亦即，利用最佳化方 法調置輥速與壓輪荷重，可以協助 我們儘速達到目標之張力分佈。

4. 本文根據不同加工製程之特性，給 定多個限制條件及不同之目標函 數，可求得所需之最佳參數組合。

對於實際延伸系統的設計應用，亦 可依據加工製程不同的需求，設定 目標函數及限制條件，使所得之最 佳解更能符合實際工程狀況。

五、參考文獻

1. 范國瑋，一維延伸之動態模擬分析 與成形參數最佳化，國立台灣科技 大學碩士學位論文，2006。

2. Finch, C. F., Polyvinyl Alcohol, John Wiley & Sons Ltd, 1992.

3. 鄭珮漪，一維延伸之動態模擬與最 佳化程式開發，國立台灣科技大學 碩士學位論文，2005。

4. 楊榮顯著，工程材料學，台北，全 華科技圖書股份有限公司，1997。

5. 劉惟信著，機械最佳化設計，台北，

全華科技圖書股份有限公司，1996。

6. Holland, J. H., “Genetic Algorithms,”

Sci. Am., pp.66-72, July, 1992.

7. Goldberg D. E., Genetic Algorithms

in Search, Optimization and Machine Learning,Reading,

MA:Addison-Wesley, 1989.

圖1:延伸系統示意圖

圖2:接觸輥輪段示意圖

圖3:延伸系統測試程式介面

圖4:PVA延伸系統示意圖

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tension(N)

Position Sequence Roller No.

1 2 3 4

圖5:範例一之張力分佈曲線圖

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0

5 10 15 20 25 30 35 40

Tension(N)

Position Sequence Roller No.

1 2 3 4

圖6:範例二之張力分佈曲線圖

表1：範例一之最佳參數組合

V

1

V

₂

V

₃

V

₄

輥速

(m/s) 5.0000 5.00014 29.4396 30.7493

N

1

N

₂

N

₃

N

₄

最 佳 設 計 值

荷重

(N) 0.0022 1366.4565 48.6214 1347.2995 適應函數值 9.21E-06

表2：範例一之各點張力值

T

1

T

₂

T

₃

T

₄

T

₅

T

₆

T

₇

5.0000 5.0000 5.1518 5.1518 5.0002 32.3292 33.3531

T

8

T

₉

T

₁₀

T

₁₁

T

₁₂

T

₁₃

T

₁₄

各點 張力

( N )

33.9543 32.949 33.9214 34.6087 34.6409 33.9543 7.0083

δ

1,5

T

₅− =

T

₁ 0.0002

δ

_8,13

T

₁₃− =

T

₈ 0

表3：範例一之各點應力值

σ

1

σ

₂

σ

₃

σ

₄

σ

₅

σ

₆

σ

₇

0.0638 0.0638 0.0657 0.0657 0.0638 0.4124 0.4254

σ

8

σ

₉

σ

₁₀

σ

₁₁

σ

₁₂

σ

₁₃

σ

₁₄

各點應力

( kg mm

²

)

2.5500 2.4745 2.5475 2.5991 2.7173 2.6634 0.5497

表4：範例二之最佳參數組合

V

1

V

₂

V

₃

V

₄

輥速

(m/s) 5.0000 5.7710 28.8550 30.4646

N

1

N

₂

N

₃

N

₄

最 佳 設 計 值

荷重

(N) 0.0891 1400.4129 49.3546 234.5510 適應函數值 1.08E-03

表5：範例二之各點張力值

T

1

T

₂

T

₃

T

₄

T

₅

T

₆

T

₇

5.0000 5.0018 5.1536 5.1725 5.0213 33.0296 34.0747

T

8

T

₉

T

₁₀

T

₁₁

T

₁₂

T

₁₃

T

₁₄

各點 張力

( N )

34.6425 33.615 34.6021 35.3044 35.344 34.6425 29.9515

δ

1,5

T

₅− =

T

₁ 0.0213

δ

_8,13

T

₁₃− =

T

₈ 0

表6：範例二之各點應力值

σ

1

σ

₂

σ

₃

σ

₄

σ

₅

σ

₆

σ

₇

0.0638 0.0638 0.0657 0.0761 0.0739 0.4863 0.5016

σ

8

σ

₉

σ

₁₀

σ

₁₁

σ

₁₂

σ

₁₃

σ

₁₄

各點應力

( kg mm

²

)

2.5500 2.4744 2.5470 2.5987 2.7468 2.6923 2.3277

LATERAL VIBRATION OF ROTOR-BEARING SYSTEM WITH FLEXIBLE COUPLING AND PARALLEL OFFSET

Chao-Yang Tsai and Shyh-Chin Huang^*

Department of Mechanical Engineering, National Taiwan Univ. of Sci. and Tech., 43, Kee-Lung Rd, Sec.4, Taipei, Taiwan 106.

[email protected]

Abstract

A rotor system composed of a flexible shaft, unbalanced disks, elastic supports and a coupling of parallel offset/misalignment was investigated. The authors first derived the transfer matrix method (TMM) for a rotating shaft and discovered that its boundary shears were mutual coupling and time dependent in two perpendicular directions due to rotation. The coupling shears affected the shaft’s critical speeds up to 50%. The transfer matrix of a flexible coupling with parallel offset was then derived and its effects on critical speeds and whirling response were particularly focused on.

Numerical results showed that the flexibility of a coupling significantly influenced the rotor-bearing critical speeds. The parallel offset, yet, acted as an excitation force similar to an unbalance except it affected through the whole driven part rather than a single point excitation. The coexistence of disk unbalance and coupling offset revealed that the offset caused more significant effects at rational speeds but the unbalance increased its weight with the rotation speed due to the centrifugal force. Response amplitude and whirl orbits across the offset were illustrated and it was discovered that in certain rotation range the shaft whirled asynchronously across the offset.

INTRODUCTION

Approaches to dynamic analysis of rotor systems can be basically divided into two main streams. The first one is the FEM [1-2], and the second one is the TMM [3].As to the existing literature related to TMM, Prohl [4] employed it for the dynamic analysis of rotor systems. Lund and Orcutt [5] established the transfer matrix of a shaft in a continuous concept but neglected both rotary inertia and gyroscopic effect. Chao and Huang [6] introduced a modified transfer matrix extended from Myklestad’s transfer matrix but employed the Euler beam and rigid disk as fundamental elements and obtained better natural frequencies and shapes than those of discrete model. Many researchers [7-8] continuously added efforts into TMM such as developing oil-film bearing matrix, including rotary inertia, gyroscopic effects of disks and many others.

Chao-Yang Tsai and Shyh-Chin Huang

Though TMM has been extensively applied for rotor analysis, to the authors’

knowledge, none of them included the commonly seen case of coupling offset. Dewell and Mitchell [9] experimentally studied parallel and angular offset of a metallic- disk-type coupling. They used real time analyzer and verified that frequencies of n×

speed appeared due to offset. They suggested the 2× and 4× components be used for misalignment diagnosis. Xu and Marangon adopted a universal joint for misalignment and employed the component mode synthesis to analytically [10] studied and experimentally [11] validated the calculations. They concluded that the unbalance and misalignment could be characterized by 1× and 2× components, respectively.Lee and Lee [12] employed FEM for misaligned rotor-bearing system. In their studies, angular, parallel, and combined effects but no coupling were discussed with extensively shown whirling orbits. Al-Hussain and Redmond [13] analytically derived the equations of two Jeffcott rotors with rigid coupling of parallel offset. In their conclusions, they did not obtain the 2× component as predicted by the others.

The authors here derive the lateral transfer matrix for rotor-bearing system with flexible coupling and parallel offset. Through the derivation of a rotating shaft, the authors discover that the shaft’s boundary shears are time-dependent and coupled in two perpendicular directions. That was, to the authors’ knowledge, neither described nor noticed in the existing literature. Numerical results enhanced that these coupling shears could drasticallyreduce the shaft’s critical speeds up to 50% at high rotations.

The coupling stiffness is found to affect the rotor’s critical speeds and the offset acts as an excitation similar to an unbalance but influences through the whole driven shaft. The whirling orbits are investigated as well. The results showed that the two ends of a misalignment may whirl asynchronously as rotation falls into some regions.

EFFECT OF BOUNDARY COUPLING SHEARS OF ROTATING SHAFTS

Figure 1 shows the fundamental elements in TMM, in which there are shafts, disks, and bearings. The new one is the parallel offset. First, the equations of motion and the boundary equations of a rotating shaft is derived to be

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′′ = Ω

′′+ + Ω

′′+

−

′′+

′′

′′ = Ω

′′+ +

Ω

′′−

−

′′+

′′

0 ] )

( [

0 ] )

( [

2 2

w I v I I w I w A w

EI

v I w I I v I v A v

EI

zz zz

yy yy

yy

yy zz

yy zz

zz



















 ρ ρ

(1)

{ } { }

{ } ^{{ }}

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′=

− ′′

′ = Ω

′+ + Ω

′+

′′′− +

′= + ′′

′ = Ω

′+ + Ω

′−

′′′− +

0 ,

0 ]

) (

[

0 ,

0 ]

) (

[

2 2

w w EI M w

w I v

I I w

I w EI V

v v EI M v

v I w

I I v

I v EI V

zz Z ZZ

zz yy yy

yy Z

yy Y yy

zz yy zz

zz Y

δ δ

ρ ρ

ρ

δ δ

ρ ρ

ρ













(2)

Note that Eq. (2) reveals a very important phenomenon that boundary shears couple with the time derivatives of displacements in Y-Z directions, as underlined, due to rotation. Unlike a non-rotating shaft, in which the boundary shears, said V_y and V_z, are uncoupled and time independent. The coupling terms could be significant at very

ICSV13, July 2-6, 2006, Vienna, Austria

high rotational speed as to be shown. Solve the boundary value problem of eqs.(1,2) and draw its frequency loci on Figure 2, which illustrates the coupling shears effects on the shaft’s natural frequencies with the rotational speed, where ω^∗_n =ω_n/ω₀ ,

/ω0

Ω

=

Ω^∗ and

ω

_nis the rotating shaft’s n^th natural frequency and

ω

₀is shaft’s first flexural natural frequency at Ω=0. It is noticed that the exact (coupled) solutions have lower natural frequencies. That means the shaft’s critical speeds are overestimated if the coupling effects were ignored, e.g., around 50% higher for free-free case.

TRANSFER MATRIX OF AN OFFSET MISALIGNMENT AND TOTAL TRANSFER MATRIX

There are two types of coupling missalignment, one is of parallel offset, and the other is of angular offset. In the present studies a flexible coupling is modeled as a translational spring combined with a bending spring. In between two ends of the coupling, there is a parallel offset as shown in Figure 3. According to the equilibrium relations, the authors derive the misalignment transfer matrix in the following

1 ,

)

sin( ^L

B L R e

L L y R

MZ

t K K e

v

V

v

= + + ⋅ Ω +γ φ =φ − (3)

w

R 1

, )

cos( _Y^L

B L R e

L L z

K M t

K e

w − V − ⋅ Ω + = − ⋅

= γ θ θ (4)

Neglect coupling inertia so that, M^R=M^L,V^R =V^L. K_L and K_B are linear and bending stiffness of the coupling φ_e =Ωt+γ_e, γ_e is the phase relative to rotor’s reference. Note that the torsional vibration is not considered so that φ_e =Ωt+γ_e retains all the times. r= e+δ_e is dynamic offset, δ_e is linear displacement of the spring. The transfer matrix of a parallel offset coupling yields to be

{ }

S ^R =

[ ]{ } { }

M S ^L+ C (5)

[ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }

{ } { }

^⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

×

×

×

×

×

×

×

×

1 0

0

0 0

8 1 8

1

1 8 8

4 8 8 3 8

1 8 8 2 8 8 1 8

M M

M M

M (6) C T

C

C} {{ }{ }1}

{ _17×1= _{1 2} (7)

{ } { }

{ } { }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

=

0 0 0 cos 0 0 0 cos

0 0 0 sin 0 0 0 sin

2 1

e e

e e

e e

C

e e

C

γ γ

γ

γ (8)

Equation (5) is, for the first time derived, the transfer matrix of a coupling with