實習八實習八實習八

(1)

通訊系統模擬通訊系統模擬通訊系統模擬

通訊系統模擬實習八實習八實習八實習八 1 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

實習八實習八實習八

實習八取樣取樣取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析定理之模擬與分析定理之模擬與分析

余兆棠南台科技大學電子系

實習八實習八

實習八實習八取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析 2 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

目的目的目的目的

本實習主要分析並模擬取樣定理，進而了解取樣頻率的選擇如何影響取樣後訊號之重建。

了解訊號取樣之疊化或稱膺頻(aliasing)現象。

了解抗疊化(anti-aliasing)濾波器之作用。

大綱大綱大綱大綱

訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析

理想取樣理想取樣理想取樣理想取樣

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣

疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量

MATLAB/ Simulink模擬模擬模擬模擬

理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬

自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬

疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化(anti-aliasing)濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬

(2)

實習八實習八實習八

實習八取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析 4 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考

類比訊號之取樣與重建(取樣定理)要探討兩個問題

第一，類比訊號經過取樣是否可重建回原訊號?(如何重建?)

第二，若可重建回原訊號，是否要考慮什麼條件?

實習八實習八

在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序

a) 絕對可積分之類比訊號x(t) b) 理想取樣函數p(t)

c) 均勻取樣得到的離散時間訊號

相乘

∑

^∞

−∞

=

−

=

n

s s

st xnT t nT

x

( ) ( ) δ ( )

訊號訊號

訊號訊號理想理想理想理想均勻均勻均勻均勻取樣取樣取樣取樣

將離散時間訊號x

_s

(t)看成原來訊號x(t)乘上一理想取樣函數理想取樣函數理想取樣函數理想取樣函數 (ideal sampling function) p(t)，即可表示成

∑

^∞

−∞

=

−

=

n

s

t x t p t x t t nT

x ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( )

其中理想取樣函數p(t)是由週期的脈衝訊號組成的週期訊號，實際上我們無法產生這種由週期脈衝序列組成的函數 p(t)，因此p(t)取名為理想取樣函數，也因此本方式的取樣也稱為理想取樣理想取樣理想取樣(ideal sampling)。理想取樣

s

s f

T

= 1 /

(3)

訊號訊號訊號

訊號理想理想理想理想均勻均勻均勻均勻取樣取樣取樣取樣(續續續續)

上述週期訊號p(t)可以用傅利葉級數表示成

改寫為

, )

( ∑

^∞ ²

−∞

=

n

t nf j n

e

s

P t

p

^π

P

_n

= 1 / T

_s

t nf j n

n s

e

s

t x P t p t x t

x ( ) ( ) ( ) ∑

^∞

( )

²^π

−∞

=

由傅利葉轉換之頻移特性，即利用以下傅利葉轉換對：

) ( )

(

² s

t f

j

X f f

e t

x

^π^s

↔ −

可得到

x_s(t)

的傅利葉轉換：( X( f )是原訊號x(t)的傅利葉轉換)

∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

=

−

=

n

s n s

s n

s

X f nf

nf T f X P f

X 1 ( )

) ( )

( ) (t x

_s

實習八實習八

圖解圖解圖解

圖解訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣

的傅利葉轉換 )

(t

x X

(f )

(a) 情況1：fs=2fm時的頻譜X_s( f)

圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣(續續續) 續

(b) 情況2：f_s>2f_m時的頻譜X_s

(f )

頻譜有重疊現重疊現重疊現重疊現

象

象(aliasing)

(4)

取樣定理取樣定理取樣定理取樣定理

取樣訊號之重建

整理前述分析可定義取樣定理(Sampling theorem)如下：

一個有限頻寬訊號x(t)之頻寬為 f

_m

，今以取樣速率f

_s

取樣此訊號，若取樣速率大於等於2 f

m

，則可利用理想低通濾波器由其取樣後之離散時間訊號x

_s

(t)重建回來。反之，取樣速率小於2 f

_m

會造成取樣後之離散時間訊號的頻譜有重疊現象重疊現象重疊現象(aliasing)，無法重建原訊號。取樣速率2 f 重疊現象

m

稱為奈式頻率

奈式頻率奈式頻率

奈式頻率(Nyquist rate)。

實習八實習八

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

由取樣定理得知若以大於等於奈式頻率之取樣速率取樣有限頻寬之類比訊號，其取樣後之離散時間訊號可利用理想低通濾波器重建回取樣前之類比訊號，在頻域上看此問題非常容易了解，以下說明時域上取樣訊號如何以內插法表示訊號重建的方法。

) (t x )

(t x

_s

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

X_s

( f )剛好是此週期性頻譜的傅利葉級數表示式，其係數為

∫

= ^f^s _s ^j ^nT^s^f

s

s X f e df

nT f

x 0

) 2

1 ( )

( ^π

假定用來重建原訊號之理想低通濾波器的頻率響應定義為

 

 <

=

else , 0

|

| ) ,

(

T^s f f^cut f

H

理想低通濾波器的頻率響應

∑

^∞

−∞

=

= − n

f nT j s s

e s

nT x f

X ( ) ( ) ²^π

(5)

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

由取樣訊號之重整系統頻域分析可得濾波器之輸出為

為了在時域表示重建的訊號，將X(f)作逆傅利葉轉換：



 

 − ≤ ≤

=

= ∑

^∞

−∞

=

−

else 0,

, ) ) (

( ) ( ) (

2

m m n

f nT j s s s

f f f e

nT x f T X f H f X

π s

df e e nT x T

df e f X t x

m

s f

f

ft j n

f nT j s s

ft j

∫ ∑

∫

−

∞

−∞

=

−

∞

−

=

2 2 2

) ( ) ( ) (

π π π

實習八實習八

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

互換積分與加總運算可得

將上式積分，再利用歐拉公式可得

∑

^∞

∫

₋ ⁻

−∞

=

^m

m s f

f

f nT t j n

s

T e df

nT x t

x ( ) ( )

²^π⁽ ⁾

)]

( 2 sinc[

) ( 2

) ( 2 2 sin ) (

2 )

) ( (

) ( ) 2 ( ) (

) ( 2 ) ( 2

) ( 2

s n

m s m s

n m s

s m m s s n

f nT t j f nT t j

s s s

f f

n

f nT t j

s s s

T n t f nT x f T

nT t f

nT t f f

T nT x

j e e

nT t nT T x

e nT t j nT T x t x

m s m s

m m s

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

∞

−∞

=

−

=

−

= −

−

=

−

=

π π π

π

π π

π

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

簡化上式為

) 2 ( sinc ) ( ) ( ∑

^∞

−∞

=

−

=

n

m

s ft n

nT x t x

經上述推導，可得到取樣後訊號以理想低通濾波器重建原訊號在時域上的表示法。觀察此式可知原訊號是由取樣序列分別乘上對應之再加總得到，因此取樣點之間的訊號是由這種方式重建，換句話說，上式是重建訊號的一種內插內插內插內插公式

公式公式

公式(interpolation formula)，因此函數也稱為內內內內插函數插函數插函數

插函數(interpolating function)。

) (nTs

x

)

2 (

sinc

f_mt

−

n

(6)

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

取樣訊號之重建(時域表示時域表示時域表示時域表示)

實習八實習八

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣

右圖 (b) 所示一振幅為 A 、波寬為 T 且週期為 T

_s

的週期訊號

k_(t₎

，此週期訊號可以用傅利葉級數表示成

∑

^∞

−∞

=

n

t nf j n

e

s

K t

k ( )

²^π

(a) 絕對可積分之類比訊號

x

(t ) (b)自然取樣函數k(t)

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣(續續續續)

取樣後的離散時間訊號x

_s

(t)，其表示式為

t nf j

n n

st xtkt Kxte ^s

x() ()()

∑

^∞ () ²^π

−∞

=

(c) 均勻自然取樣得到的離散時間訊號x

_s

(t)

(7)

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣(續續續續)

x

_s

(t)的傅利葉轉換

∑

^∞

−∞

=

−

=

n

s n

s f KX f nf

X

( ) ( )

傅利葉級數之係數

K_n

可表示為

) ( sinc

s s

n T

nT T K =TA

最後可將均勻自然取樣得到的離散時間訊號之傅利葉轉換寫成

∑

^∞

−∞

=

−

=

n

s s

s

X f nf

T nT T

f TA

X ( ) sinc ( ) ( )

實習八實習八

訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖

一限頻訊號經自然取樣後的離散時間訊號可以利用低通濾波器加以還原，但仍要滿足取樣速率要大於等於原訊號頻寬的兩倍的條件。

訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖( f

_s

> 2 f

_m

)

疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量

在分析取樣定理時我們先假設欲取樣之類比訊號必須是一限頻訊號，從分析結果我們也發現若原類比訊號頻寬無限大，

那麼不管取樣速率多快一定發生疊化現象，以致於無法重建原類比訊號。

實際上產生或處理之類比訊號一定有起始點及結束點，也就是說實用上的訊號在時域上一定是有限區間，此種情況下，

其頻譜分佈一定無法在有限頻寬內，也就是說實際情況下取

樣訊號之頻譜一定會產生疊化現象，

(8)

抗疊化濾波器抗疊化濾波器抗疊化濾波器抗疊化濾波器

抗疊化濾波器取得之限頻訊號頻譜

抗疊化濾波器濾除頻率高於f

_b

之部份(為了避免取樣造成疊化現象所捨棄之部份) 抗疊化濾波器(anti-aliasing filter)

截止頻率f_b

實習八實習八

抗疊化誤差濾波器效果分析示意圖抗疊化誤差濾波器效果分析示意圖抗疊化誤差濾波器效果分析示意圖抗疊化誤差濾波器效果分析示意圖

誤差包括兩部份：捨棄高頻部份與回摺影響低頻部份

誤差只包括捨棄高頻部份

大綱大綱大綱大綱

訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析

理想取樣理想取樣理想取樣理想取樣

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣

疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量

MATLAB/ Simulink模擬模擬模擬模擬

理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬

自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬

疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化(anti-aliasing)濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬

(9)

理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬

本模擬以弦波作為被取樣訊號，脈波做為取樣訊號，理想取樣為例做訊號模擬，實驗取樣定理在取樣訊號及復原訊號的影響。

Step 1：：：建立模擬系統：建立模擬系統建立模擬系統建立模擬系統

1. 開啟MATLAB\Simulink Browser。

2. 開新檔案。

3. 依數學分析模型連結成模擬系統，如圖所示。

被取樣訊號頻率100Hz 週期性脈波頻率150Hz 週期性脈波頻率250Hz 週期性脈波頻率500Hz

乘法器零階保持器

LPF 示波器

實習八實習八

取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定

Step 2：：：：設定訊號參數設定訊號參數設定訊號參數設定訊號參數

被取樣(弦波)訊號：，取樣時間設定為0.0001。

取樣脈波:振幅皆設定為1，頻率分別設定為150Hz、250Hz和500Hz。

) 200 cos(

)

(

t t

m

=

π

乘法器設定乘法器設定乘法器設定乘法器設定

乘法器設定，Number of inputs設定為2，表示為兩個乘法輸入。

(10)

增益設定增益設定增益設定增益設定

增益設定主要為補償還原訊號。

增益設定，設定與取樣頻率 f_s相同的大小。

實習八實習八

類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定

低通濾波器設定，截止頻率為125Hz。

Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

示波器設定，Number of axes這邊設定為，Time range為想要顯示的時間終點，設定為auto時， Time range與環境模擬所設定的時間相同。

(11)

Zero-Order Hold之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定

頻域訊號的零階保持設定，取樣時間設定為0.001。

實習八實習八

Spectrum Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

頻域訊號的頻譜分析器設定，Buffer size設定為1024，Buffer overlap設定為1000，FFT length設定為1024；Frequency units選擇Hertz ， Frequency range選擇[-Fs/2….Fs/2] 。

模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定

模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

Step 3：：：：模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

執行時間設定為1秒，此處的時間為模擬的停止時間。

可以先存檔再執行模擬。

3 2

1

(12)

理想取樣時理想取樣時理想取樣時

理想取樣時域模擬結果域模擬結果域模擬結果域模擬結果

Step 4：：：：模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析

在時域觀察取樣訊號：首先我們在時域上觀察取樣頻率不同，所造成之取樣訊號的情形。

m

s f

f <2

m

s f

f ≥2

取樣頻率150Hz

取樣頻率250Hz

取樣頻率500Hz

m

s f

f ≥2

被取樣訊號

頻率100Hz

實習八實習八

理想取樣時域模擬結果理想取樣時域模擬結果理想取樣時域模擬結果理想取樣時域模擬結果(續續續續)

在時域觀察解調訊號:我們可以觀察到取樣頻率250Hz的解調情況，雖 然其取樣頻率大於2f_m奈式頻率奈式頻率(Nyquist rate)，解調出基頻訊號仍有失奈式頻率奈式頻率真，所造成的原因是LPF並不是理想低通濾波以及原基頻訊號並非完全是限頻訊號，因為輸入訊號在時域是有限區間。

m

s f

f <2

m

s f

f ≥2

取樣頻率150Hz

取樣頻率250Hz

取樣頻率500Hz

m

s f

f ≥2

被取樣訊號

頻率100Hz

理想取樣頻域模擬結果理想取樣頻域模擬結果理想取樣頻域模擬結果理想取樣頻域模擬結果

在頻域觀察訊號: 下圖顯示不同取樣頻率所取樣訊號頻譜，其中取樣頻率150 Hz (小於nyquist rate)的情況，有明顯的疊化現象。取樣頻率500 Hz的情況，頻譜週期較大，使得重建訊號的LPF較易設計。

被取樣訊號

取樣頻率150 Hz

取樣頻率250 Hz

取樣頻率500 Hz LPF 設計較難

LPF 設計較易 LPF

疊化現象

(13)

自然取樣模擬自然取樣模擬自然取樣模擬自然取樣模擬

本模擬是以弦波作為被取樣訊號，脈波作為取樣訊號，以自然取樣為例做訊號模擬，探討取樣脈波寬度在取樣訊號及復原訊號的影響。

2. 開新檔案。

被取樣訊號頻率100Hz 週期性脈波週期寬度20%

頻率250 Hz 週期性脈波週期寬度50%

頻率250 Hz 週期性脈波週期寬度80%

頻率250 Hz

乘法器

LPF 示波器

實習八實習八

取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定

被取樣(弦波)訊號：，取樣時間設定為0.0001。

取樣脈波:振幅皆設定為1，頻率250Hz，寬度分別設定為20%、50%和80%。

) 200 cos(

)

(

t t

m

=

π

乘法器設定乘法器設定乘法器設定乘法器設定

(14)

Zero-Order Hold之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定

實習八實習八

類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定

Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

示波器設定，Number of axes這邊設定為，Time range為想要顯示的時間終點，設定為auto時， Time range與環境模擬所設定的時間相同。

(15)

Spectrum Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

實習八實習八

模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定

模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

執行時間設定為1秒，此處的時間為模擬的停止時間。

3 2 1

自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果

在時域觀察取樣訊號：經由觀察時域自然取樣訊號，可以知道取樣週期性脈波對取樣訊號的影響，而訊號的取樣頻率剛好設定為奈式頻率。

被取樣訊號

週期性脈波寬度20%

(16)

自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果自然取樣時域模擬結果(續續續續)

在時域觀察解調訊號：在時域上觀察解調之訊號可知到取樣週期性脈波寬度寬度愈寬時重建訊號失真愈小。(與取到訊號愈多失真愈小的直覺相符) 。

被取樣訊號

實習八實習八

自然取樣頻域模擬結果自然取樣頻域模擬結果自然取樣頻域模擬結果自然取樣頻域模擬結果

在頻域觀察取樣訊號：在頻域上觀察接收端之訊號，可以驗證取樣的週期脈波寬度影響頻譜的情況。

被取樣訊號

LPF LPF

疊化現象與抗疊化濾波器作用之模擬疊化現象與抗疊化濾波器作用之模擬疊化現象與抗疊化濾波器作用之模擬疊化現象與抗疊化濾波器作用之模擬

此模擬設定鋸齒波為被取樣訊號頻率50Hz，取樣脈波頻率為250Hz，模擬疊化現象以及抗疊化(anti-aliasing)濾波器之作用。

2. 開新檔案。

LPF 乘法器

示波器

抗疊化(anti-aliasing)濾波器被取樣(鋸齒波)訊號頻率50Hz

取樣脈波頻率250Hz

(17)

取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定取樣訊號設定

被取樣(鋸齒波)訊號：設定Time value:[0 0.02]，即表示0.02秒為一週期。

取樣(脈波)訊號：設定振幅5，取樣頻率250Hz，脈波寬度0.001%。

實習八實習八

乘法器設定乘法器設定乘法器設定乘法器設定

類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定類比低通濾波器設定

(18)

增益設定增益設定增益設定增益設定

增益的主要用為補償還原訊號。

增益設定，設定與取樣頻率 f_s相同的大小。

實習八實習八

Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

示波器設定，Number of axes這邊設定為，Time range為想要顯示的時間終點，設定為auto的話會跟所設定的環境模擬時間一樣。

Zero-Order Hold之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定

(19)

Spectrum Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

實習八實習八

模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定

模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

執行時間設定為0.2秒，此處的時間為模擬的停止時間。

3 2 1

訊號時域模擬結果訊號時域模擬結果訊號時域模擬結果訊號時域模擬結果

在時域觀察取樣訊號：首先我們在時域上觀察取樣訊號，下圖是取樣後之訊號，可以得知有無經過抗疊化(anti-aliasing)濾波器之差別。

被取樣訊號

取樣訊號無抗疊化濾波器

取樣訊號

有抗疊化濾波器

(20)

解調訊號時域模擬結果解調訊號時域模擬結果解調訊號時域模擬結果解調訊號時域模擬結果

在時域觀察解調訊號：在時域上觀察解調之訊號，下圖可觀察到有無經過抗疊化(anti-aliasing)濾波器在解調後的影響，從實驗中可以得知有抗疊化濾波器的效果的確比沒有使用抗疊化濾波器效果佳。(時域觀察結果差異不大) 。

被取樣訊號

取樣訊號無抗疊化濾波器

取樣訊號有抗疊化濾波器

實習八實習八

取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果

在頻域觀察傳送端訊號：首先我們先在頻域上觀察取樣訊號，由下圖中可觀察有無抗疊化(anti-aliasing)濾波器在取樣後在頻譜上的影響。

取樣前經過抗疊化濾波器

被取樣訊號

疊化現象

抗疊化濾波器

未使用抗疊化濾波器之

取樣

訊號

使用抗疊化濾波器之

取樣

訊號

取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果取樣訊號頻域模擬結果(續續續續)

在頻域觀察解調訊號：首先我們先在頻域上觀察取樣訊號，由下圖中可觀察有無抗疊化(anti-aliasing)濾波器在解調輸出端後在頻譜上的影響，並且驗證了前面所分析的結果。

被取樣訊號

未使用抗疊化濾波器之重建訊號

使用抗疊化濾波器之重建訊號

實習八 實習八 實習八

實習八 實習八 實習八

實習八 取樣 取樣 取樣定理之模擬與分析 取樣 定理之模擬與分析 定理之模擬與分析 定理之模擬與分析

余兆棠 南台科技大學電子系

目的 目的 目的 目的

本實習主要分析並模擬取樣定理，進而了解取樣頻率的選擇 如何影響取樣後訊號之重建。

了解訊號取樣之疊化或稱膺頻(aliasing)現象 。

了解抗疊化(anti-aliasing)濾波器之作用 。

大綱 大綱 大綱 大綱

訊號取樣分析 訊號取樣分析 訊號取樣分析 訊號取樣分析

理想取樣 理想取樣 理想取樣 理想取樣

取樣訊號之重建 取樣訊號之重建 取樣訊號之重建 取樣訊號之重建

訊號取樣實用上的考量 訊號取樣實用上的考量 訊號取樣實用上的考量 訊號取樣實用上的考量

自然取樣 自然取樣 自然取樣 自然取樣

疊化誤差與訊號取樣實用上的考量 疊化誤差與訊號取樣實用上的考量 疊化誤差與訊號取樣實用上的考量 疊化誤差與訊號取樣實用上的考量

MATLAB/ Simulink模擬 模擬 模擬 模擬

理想均勻取樣之模擬 理想均勻取樣之模擬 理想均勻取樣之模擬 理想均勻取樣之模擬

自然取樣之模擬 自然取樣之模擬 自然取樣之模擬 自然取樣之模擬

疊化現象與抗疊化 疊化現象與抗疊化 疊化現象與抗疊化 疊化現象與抗疊化(anti-aliasing)濾波器作用之模擬 濾波器作用之模擬 濾波器作用之模擬 濾波器作用之模擬

類比訊號之取樣與重建之問題思考 類比訊號之取樣與重建之問題思考 類比訊號之取樣與重建之問題思考 類比訊號之取樣與重建之問題思考

類比訊號之取樣與重建(取樣定理)要探討兩個問題

第一，類比訊號經過取樣是否可重建回原訊號?(如何重建?)

第二，若可重建回原訊號，是否要考慮什麼條件?

在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序 在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序 在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序 在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序

相乘

∑

−

=

( ) ( ) δ ( )

訊號 訊號

訊號 訊號理想 理想 理想 理想 均勻 均勻 均勻 均勻 取樣 取樣 取樣 取樣

將離散時間訊號x

(t)看成原來訊號x(t)乘上一 理想取樣函數 理想取樣函數 理想取樣函數 理想取樣函數 (ideal sampling function) p(t)，即可表示成

∑

−

=

=

t x t p t x t t nT

x ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( )

= 1 /

訊號 訊號 訊號

訊號理想 理想 理想 理想 均勻 均勻 均勻 均勻 取樣 取樣 取樣 取樣(續 續 續 續)

上述週期訊號p(t)可以用傅利葉級數表示成

改寫為

, )

( ∑

=

e

P t

p

P

= 1 / T

e

t x P t p t x t

x ( ) ( ) ( ) ∑

( )

=

=

由傅利葉轉換之頻移特性，即利用以下傅利葉轉換對：

) ( )

(

X f f

e t

x

↔ −

可得到

的傅利葉轉換：( X( f )是原訊號x(t)的傅利葉轉換)

∑

∑

−

=

−

=

X f nf

nf T f X P f

X 1 ( )

) ( )

( ) (t x

圖解 圖解 圖解

圖解訊號之理想均勻取樣 訊號之理想均勻取樣 訊號之理想均勻取樣 訊號之理想均勻取樣

實習八實習八實習八

實習八實習八實習八

實習八取樣取樣取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析定理之模擬與分析定理之模擬與分析

余兆棠南台科技大學電子系

目的目的目的目的

本實習主要分析並模擬取樣定理，進而了解取樣頻率的選擇如何影響取樣後訊號之重建。

了解訊號取樣之疊化或稱膺頻(aliasing)現象。

了解抗疊化(anti-aliasing)濾波器之作用。

大綱大綱大綱大綱

訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析訊號取樣分析

理想取樣理想取樣理想取樣理想取樣

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量

自然取樣自然取樣自然取樣自然取樣

疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量

MATLAB/ Simulink模擬模擬模擬模擬

理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬理想均勻取樣之模擬

自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬自然取樣之模擬

疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化疊化現象與抗疊化(anti-aliasing)濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬濾波器作用之模擬

類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考

在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序

訊號訊號

訊號訊號理想理想理想理想均勻均勻均勻均勻取樣取樣取樣取樣

(t)看成原來訊號x(t)乘上一理想取樣函數理想取樣函數理想取樣函數理想取樣函數 (ideal sampling function) p(t)，即可表示成

訊號訊號訊號

訊號理想理想理想理想均勻均勻均勻均勻取樣取樣取樣取樣(續續續續)

圖解圖解圖解

圖解訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣

圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣(續續續) 續

頻譜有重疊現重疊現重疊現重疊現

取樣定理取樣定理取樣定理取樣定理

取樣此訊號，若取樣速率大於等於2 f

，則可利用理想低通濾波器由其取樣後之離散時間訊號x

會造成取樣後之離散時間訊號的頻譜有重疊現象重疊現象重疊現象(aliasing)，無法重建原訊號。取樣速率2 f 重疊現象

稱為奈式頻率

奈式頻率奈式頻率

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

( f )剛好是此週期性頻譜的傅利葉級數表示式，其係數為

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)

取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續續續)