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摘 要

隨 著 無 線 通 訊 的 日 益 普 及 與 進 步 , 無 線 網 路 的 應 用 及 範 圍 也 越 來 越 廣 , 對 於 無 線 電 網 路 性 質 的 探 討 儼 然 成 為 目 前 當 紅 的 顯 學 , 相 關 的 論 文 及 報 導 正 方 興 未 艾 不 絕 於 途 。 在 相 關 的 無 線 電 網 路 性 質 研 究 的 文 獻 中 , 所 得 的 理 論 成 果 很 多 , 但 結 論 常 不 一 致 , 本 篇 論 文 則 是 利 用 模 擬 實 驗 的 方 式 , 驗 證 各 家 之 言 。

因 此 我 們 的 研 究 動 機 是 希 望 利 用 程 式 模 擬 實 驗 的 方 式 , 探 討 隨 意 無 線 電 網 路 上 連 通 、 覆 蓋 、 節 點 的 相 鄰 鄰 居 個 數 及 網 路 直 徑 之 量 化 分 析 。 透 過 模 擬 實 驗 的 量 化 和 分 析 我 們 得 到 了 四 項 研 究 成 果 ︰

1. 隨 意 無 線 電 網 路 上 各 種 輸 入 變 數 (如 ﹔ 任 意 矩 形 的 長 與 寬 、 節 點 數 目、初 始 半 徑、遞 增 半 徑、模 擬 次 數 )與 結 果 數 據 (連 通 半 徑、覆 蓋 半 徑 、 節 點 的 相 鄰 鄰 居 個 數 及 群 組 )之 關 係 討 論 及 推 論 。

2. 找 出 最 佳 通 半 徑 BR 值 (Best Connectivity Radius)及 以 最 佳 的 覆 蓋 半 徑 BCR 值 (Best Coverage Radius), 推 導 其 數 學 公 式 並 以 實 驗 明 之 。

3 找 出 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 者 , 即 網 路 直 徑 (Diameter)。 . 4 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17]所 提 出N0 值 之 理 論 。

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目 錄

1. 簡 介 2. 相 關 研 究

2.1 節 點 鄰 居 個 數 N0 問 題

2.2.1 主 張 有 一 常 數 值 “magic number”的 論 述 2.2.2 主 張 沒 有 一 常 數 值 “magic number”的 論 述 2.2 連 通 問 題 的 探 討

2.3 可 驗 證 或 改 善 的 方 向 3. 問 題 及 演 算 法

3.1 幅 射 式 演 算 法 3.2 先 深 後 廣 式 演 算 法

3.2.1 先 深 後 廣 式 演 算 法 的 步 驟 3.2.2 其 它 的 數 據 計 算

3.3 二 個 演 算 之 優 缺 點 比 較 3.3.1 幅 射 式 演 算 法 的 優 點 3.3.2 幅 射 式 演 算 法 的 缺 點

3.3.3 先 深 後 廣 式 演 算 法 的 優 點 3.3.4 先 深 後 廣 式 演 算 法 的 缺 點 3.3.5 結 論

4. 模 擬 實 驗

4.1 實 驗 的 目 的

4.2 系 統 發 展 及 測 試 環 境 4.3 系 統 操 作 介 面 與 使 用 分 析 4.4 實 驗 結 果

4.4.1 輸 入 變 數 與 結 果 數 據 之 關 係 討 論 及 推 論

1 4 4 4 5 6 7 9 10 13 13 16 18 18 18 19 19 20 22 22 22 23 26 26

(7)

4.4.2 找 出 BR 及 BCR 值 4.4.3 找 出 Diameter

4.4.4 驗 證 F. Xue[17] N0 值 之 理 論 5. 結 論 與 未 來 研 究 方 向

參 考 文 獻

30 35 38 42 43

(8)

圖 表 目 錄

圖 3.1 四 個 通 訊 圖 圖 3.2 無 向 連 通 圖 圖 3.3 有 向 連 通 圖

圖 3.4 連 通 矩 陣 圖 示 意 圖 圖 3.5 連 通 矩 陣 圖

圖 3.6 連 通 矩 陣 合 併 處 理 圖 (一 ) 圖 3.7 連 通 矩 陣 合 併 處 理 圖 (二 ) 圖 3.8 連 通 矩 陣 合 併 處 理 圖 (三 ) 圖 3.9 A,B,C,D 四 點 距 離 圖

圖 3.10 各 點 距 離 之 矩 陣 (distance matrix) 圖 3.11 r 與 各 點 連 通 變 化 計 錄 表

圖 3.12 Group 值 變 化 表 圖 3.13 程 式 系 統 流 程 圖 圖 3.14 兩 種 演 算 法 之 比 較 表 圖 4.1 變 數 輸 入 的 畫 面 圖 4.2 運 算 與 輸 出 畫 面 (一 ) 圖 4.3 運 算 與 輸 出 畫 面 (二 ) 圖 4.4 結 果 畫 面

圖 4.5 平 均 數 據 統 計 表 圖 4.6 R 與 C 的 關 係 圖 圖 4.7 R 與 P 關 係 圖 圖 4.8 R 與 G 之 關 係 圖 圖 4.9 最 佳 連 通 半 徑 驗 證 圖 圖 4.10 最 佳 連 通 半 徑 驗 證 圖

10 11 11 11 11 12 12 12 13 14 15 15 17 21 21 24 24 25 27 28 28 29 32 33

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圖 4.11 BR 與 BCR 比 較 表 圖 4.12 Diameter 之 觀 察 表

圖 4.13 Diameter 與 對 角 線 之 比 較 表 圖 4.14N0 驗 證 表

圖 4.15 狹 長 矩 形N0 驗 證 表

34 35 37 40 41

(10)

符 號 說 明

在 本 篇 論 文 中 ,所 使 用 的 符 號 定 義 如 下 。 l︰ 矩 形 的 長 。

m︰ 矩 形 的 寬 。 A︰ 矩 形 的 面 積 。

N︰ 節 點 個 數 (Nodes) 。

r︰ 半 徑 (Radius), 節 點 的 通 訊 半 徑 。 R︰ 網 路 之 連 通 半 徑 。

D︰ 在 矩 形 面 積 內 N 的 密 度

MR︰ 最 大 連 通 半 徑 (MAX Radius) 。 mR︰ 平 均 連 通 半 徑 (mean Radius) 。

N0 ︰ 在 連 通 網 路 中 , 任 一 節 點 之 鄰 居 平 均 個 數 。

CR︰ 在 連 通 網 路 中 , 電 波 範 圍 涵 蓋 整 個 矩 形 面 積 之 半 徑 值 (Coverage Radius) 。

C︰ 連 通 次 數 。

S︰ 模 擬 運 算 的 次 數 。

G︰ 任 一 隨 意 網 路 之 群 組 (Group)數 目 。 P︰ 百 分 比 (percent) 。

Connectivity︰ 網 路 連 通 。

BR︰ 任 一 隨 意 網 路 之 最 佳 連 通 半 徑 (Best Connectivity Radius),

BCR︰ 任 一 隨 意 網 路 之 最 佳 覆 蓋 半 徑 (Best Coverage Radius) 。 Distance matrix︰ 依 各 節 點 間 的 距 離 所 形 成 之 距 離 矩 陣 。

Diameter︰ 在 一 連 通 網 路 中 任 意 兩 節 點 間 , 最 短 路 徑 中 最 長 者 , 即 網 路 直 徑 。

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一 章

無 線 網 路 通 訊 技 術 現 今 已 廣 泛 應 用 在 我 們 生 活 週 遭 , 因 為 無 線 網 路 沒 有 線 的 牽 絆 所 以 具 有 機 動 性 高 、 施 工 容 易 、 使 用 方 便 等 優 點 , 因 此 舉 凡 生 活 必 須 品 或 消 費 電 子 產 品 甚 至 到 國 防 戰 場 上 的 應 用 , 無 不 見 其 蹤 跡 , 是 二 十 一 世 紀 人 類 最 重 要 發 展 的 科 技 技 術 之 一 。 相 較 於 有 線 網 路 , 無 線 網 路 是 透 過 無 線 電 的 技 術 取 代 原 有 的 網 路 線 , 並 且 在 區 域 網 路 上 架 設 無 線 網 路 存 取 器(Access Point), 而 使 用 端 則 必 須 具 備 有 無 線 網 卡 , 透 過 無 線 網 卡 與 Access Point 之 間 的 通 訊 達 到 無 線 上 網 的 目 的 。

在 目 前 無 線 區 域 網 路 的 技 術 大 致 可 區 分 為 兩 大 類 ︰ 1. 利 用 無 線 電 波 的 技 術;有 藍 芽 技 術、IEEE802.11 及 Home RF 三 種。2.光 傳 導;包 含 紅 外 線 ( Infrared )與 雷 射 光 ( Laser )作 為 資 料 傳 輸 的 載 波 ( Carrier )。

如 果 依 照 無 線 網 路 連 接 的 方 式 又 可 分 為 三 種 不 同 的 架 構 ︰1. Ad-Hoc Network , 不 用 無 線 基 地 台 (Base Station) 的 對 等 式 無 線 網 路 。 2.

Infrastructure Network,連 結 無 線 基 地 台 和 有 線 區 域 網 路 的 主 從 式 的 無 線 網 路。3. Roaming network,無 線 基 地 台 間 的 多 點 ( Multipoint )連 結 的 無 線 漫 遊 網 路 。

進 年 來 在 諸 多 發 表 的 論 文 及 報 導 上 , 其 中 被 探 討 相 當 多 的 就 是 Ad-Hoc Network 與 Wireless Sensor network。 Ad-Hoc Network [1]是 一 種 由 許 多 行 動 節 點 所 構 成 , 且 在 不 需 事 先 建 置 基 礎 架 構 (infrastructure)

的 環 境 下 , 為 了 達 到 某 種 特 定 目 的 而 彼 此 進 行 連 結 的 網 路 。Ad-Hoc Network 使 用 無 線 的 通 訊 技 術 , 並 具 有 別 於 傳 統 有 線 網 路 截 然 不 同 的 特

(12)

性 , 包 括 不 需 基 地 台 、 所 有 節 點 可 以 任 意 的 進 行 連 結 、 網 路 型 態 可 能 隨 時 改 變 、 移 動 時 沒 有 範 圍 或 方 向 的 限 制 、 佈 建 容 易 等 特 性 。 這 些 特 性 特 使 得 Ad-Hoc Network 適 合 用 於 如 個 人 或 家 庭 的 區 域 網 路、軍 事 用 途 或 緊 急 救 災 的 用 途 。 此 外 Ad-Hoc Network 具 有 自 我 組 織 ( self-organization)

的 能 力 , 它 不 但 可 以 簡 化 網 路 的 管 理 , 更 能 在 處 於 動 態 的 狀 況 下 如 , 位 置 的 移 動 、 不 固 定 的 連 結 , 和 無 法 預 測 的 流 量 負 載 的 架 構 下 , 作 最 理 想 及 有 效 的 資 源 利 用 。 目 前 Ad-Hoc Network 主 要 研 究 及 發 展 方 向 為 Ad-Hoc Network routing、Transmission range control、Self-reconfiguration 等 。

Wireless Sensor network (無 線 感 測 網 路 )[2,3],是 由 數 量 較 多 的 感 測 器(Sensor) 及 數 量 較 少 的 無 線 資 料 收 集 器 (Sink) 所 組 成 的 無 線 網 路 系 統。所 有 Sensor 的 角 色 都 相 同,彼 此 之 間 沒 有 階 層 性 的 關 係。由 於 Sensor 是 隨 機 散 佈 的 ,Sensor 必 需 將 所 蒐 集 的 資 訊 透 過 自 我 組 織 所 形 成 的 網 路 , 將 資 料 傳 遞 給 Sink, Sensor 和 Sink 透 過 如 無 線 電 波 的 技 術 或 光 傳 導 的 方 式 來 做 為 彼 此 間 的 通 訊 與 傳 輸 ,Sink 所 扮 演 的 角 色 如 同 閘 道 器 (Gateway),而 Sink 將 資 料 透 過 傳 輸 媒 介 如,區 域 網 路、Internet 甚 至 是 衛 星 , 傳 送 到 後 端 的 應 用 程 式 或 管 理 人 。Wireless Sensor Network 具 有 分 散 性、快 速 佈 建、容 錯、動 態 且 隨 機 的 分 佈、自 我 組 織(self-organization)

等 的 特 性 , 由 於 具 有 這 麼 多 不 同 的 特 性 , 因 此 廣 泛 的 被 應 用 到 各 種 不 同 的 層 面 , 包 括 在 醫 療 、 工 業 、 軍 事 等 等 方 面 。

有 別 於 一 般 的 無 線 網 路 傳 輸, Wireless Sensor Network 需 要 輕 量 級 的 傳 輸 協 定(lightweight protocol),為 了 符 合 微 型 Sensor 上 的 硬 體 條 件 , 如 極 有 限 的 記 憶 體 空 間,電 力(Power)消 耗 以 及 成 本 的 限 制。它 必 須 同 時 支 援 可 移 動 性(Mobility)以 及 容 錯 機 制 (fault tolerance)。 近 年 來 , 感 測 網 路 上 的 研 究 議 題 受 到 廣 泛 的 重 視 。 這 些 問 題 包 含 如 何 媒 介 存 取 控 制 (Medium access control)[2,3]、 節 省 電 源 (power saving)[19]、 目 標 追 縱

(13)

(target tracking)[21,22]、 網 路 的 資 料 傳 送 路 徑 (routing)之 方 式 [20]、 網 路 的 覆 蓋 問 題(coverage)[23]、 網 路 的 連 結 強 度 [24]等

基 於 Ad-Hoc Network 與 Wireless Sensor network 主 要 研 究 及 發 展 方 向 , 因 此 我 們 的 研 究 動 機 是 希 望 利 用 程 式 模 擬 實 驗 的 方 式 , 探 討 隨 意 無 線 電 網 路 上 連 通 、 覆 蓋 、 節 點 的 相 鄰 鄰 居 個 數 及 網 路 直 徑 之 量 化 分 析 。 透 過 實 驗 的 量 化 和 分 析 我 們 得 到 了 四 項 研 究 成 果 :

1. 隨 意 無 線 電 網 路 上 各 種 輸 入 變 數 (如 ﹔ 任 意 矩 形 的 長 與 寬 、 節 點 數 目 、 初 始 半 徑 、 遞 增 半 徑 、 模 擬 次 數)與 結 果 數 據 (連 通 半 徑 、 覆 蓋 半 徑 、 節 點 的 相 鄰 鄰 居 個 數 及 群 組)之 關 係 討 論 及 推 論 。 2. 找 出 最 佳 通 半 徑 BR 值 (Best Connectivity Radius)及 以 最 佳 的 覆

蓋 半 徑 BCR 值(Best Coverage Radius), 推 導 其 數 學 公 式 並 以 實 驗 明 之 。

3 找 出 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 者 , 即 網 路 直 徑 (Diameter)。 . 4 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17]所 提 出N0 值 之 理 論 。

本 論 文 其 餘 章 節 介 紹 如 下 : 第 二 章 介 紹 相 關 論 文 的 研 究 及 我 們 可 改 善 或 驗 證 的 方 向 。 第 三 章 針 對 本 論 文 需 解 決 的 問 題 及 模 擬 程 式 的 基 本 架 構 提 出 幅 射 式 與 先 深 後 廣 式 二 種 演 算 法 , 分 別 對 這 二 種 演 算 法 做 詳 細 的 介 紹 與 說 明 , 並 分 析 比 較 二 者 之 優 缺 點 。 第 四 章 詳 列 出 實 驗 的 目 的 、 實 驗 的 環 境 、 程 擬 程 式 的 使 用 分 析 及 實 驗 結 果 與 討 論 , 對 於 解 決 本 論 文 的 四 大 問 題 一 一 提 出 實 驗 結 果 來 證 明 或 解 決 。 第 五 章 為 總 結 與 未 來 研 究 方 向 。

(14)

二 章

關 研 究

目 前 Ad-Hoc Network 主 要 研 究 及 發 展 方 向 為 Ad-Hoc Network routing、 Transmission range control、 Self-reconfiguration 等 。 Wireless Sensor Network 主 要 研 究 及 發 展 方 向 為 Sequential Assignment Routing (SAR) 、 Directed Diffusion 、 Minimum Cost Forwarding Algorithm (MCFA)、 Coherent and Non-coherent Processing。

我 們 對 在 任 意 無 線 電 網 路 上 之 有 關 連 通 (Connectivity)的 探 討、覆 蓋 (Coverage)、網 路 直 徑 (Diameter)、及 節 點 的 鄰 居 個 數 N0 的 探 討 感 到 興 趣 , 因 為 這 些 是 影 響 網 路 連 通 與 否 及 資 料 傳 遞 的 重 要 因 素 , 我 們 希 望 希 望 藉 由 相 關 的 研 究 中 發 覺 我 們 可 改 善 或 驗 證 的 方 向 。 本 章 分 成 四 小 節 , 分 別 為 2.1 節 點 鄰 居 個 數 N0 問 題 。2.2 連 通 問 題 的 探 討 。 2.3 可 改 善 或 驗 證 的 方 向 。

2.1 節點鄰居個數

N0

問題

在 探 討 節 點 鄰 居 個 數 方 面 , 一 個 連 通 的 無 線 電 網 路 中 , 每 一 節 點 有 多 少 個 鄰 居 個 數 N0 , 這 一 理 想 的 數 目 被 稱 為 “magic number”。 在 諸 多 論 文 的 討 中 可 分 成 二 種 論 述 ;2.2.1 主 張 有 一 常 數 值 的 “magic number”

的 論 述 。2.2.2 主 張 無 固 定 常 數 值 的 “magic number” 的 論 述 。

2.2.1 主張有一常數值“magic number”的論述

[9,11-15]的 論 文 中 討 論 的 是 N 點 平 均 分 佈 在 一 特 定 區 域 中 ,而 [10]

(15)

的 論 文 則 N 是 分 佈 在 一 直 線 上 , [ 9,10,12-14 ] 中 的 焦 點 在 不 同 傳 輸 協 定 用 各 點 用 相 同 的 power 連 通 半 徑 , [14]則 考 慮 各 點 不 同 的 power 連 通 半 徑 。

早 在 1970 年 代 Leonard Kleninrock 和 John Silvester [9] 最 早 提 出

“magic number”是 6 的 觀 念 , 在 Takagi 和 Kleinrock [13]中 則 做 了 修 正 , 認 為 “magic number” 應 該 是 8, [13] 中 也 考 慮 了 其 他 傳 輸 協 定 (transmission protocols), 因 而 導 出 “magic number”是 5 和 7。 Hou and Li [14] 考 慮 了 另 一 種 情 況 (允 許 每 一 個 節 點 各 別 地 調 整 它 的 傳 輸 範 圍 時 ) , 因 此 獲 得 了“magic number”是 6 和 8。

Hajek [15] 提 議 每 一 個 節 點 都 應 該 調 整 它 的 傳 輸 範 圍 ,則 平 均 涵 蓋 了 大 約3個 鄰 居 。 Mathar 和 Mattfeldt [10] 分 析 了 由 一 個 Poisson 的 方 式 過 在 線 上 產 生, 也 獲 得 一 些 “magic number”。J. Ni and S [11] 模 擬 指 出 小 的 區 域 範 圍 內6到 8個 鄰 居 個 數 ,能 使 網 路 有 最 高 的 連 通 情 形 ,但 是 如 果 當 網 路 中 節 點 N 的 數 目 增 加 ,則 不 論 是 否 是 6或 者 8個 鄰 居 ,網 路 仍 可 能 無 法 連 通 。

2.2.2 主張沒有一常數值“magic number”的論述。

相 較 於 1970 到 1980 年 代 的 論 文 提 出 有 一 “magic number”且 為 常 數 的 論 點 , 在 1989 年 T. K. Philips [16] 提 出 沒 有 一 常 數 值 的 “magic number” ,而N0 的 期 望 值 為 πR2D>N0 ,且 隨 網 路 大 小 以 對 數 成 長,如 果 πR2D>N0 , 則 2.195<N0 <10.526。

到 了 2004,年 時 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17] , 則 提 出 在 單 一 連 通 情 況 下 並 無“magic number” ,且 N0 是 隨 著 n 增 加 而 做 log n 的 變 化 ,該 篇 論 文 更 進 一 步 提 出 當N0 <0.774 log n 時 ,網 路 將 趨 近 於 不 連 通 ,相 對 的N0 >5.1774 log n 時 ,則 網 路 將 趨 近 於 連 通 ,並 且 認 為 上 面 各 論 文 所 分 析 的 沒 解 決 連 通 性 的 問 題,在 論 文 [17]中 也 指 出 ,討 論N0 必 需 考 慮 連 通 及 區

(16)

域 容 積 問 題,如 果 在 一 特 定 區 域 內 如 果 N 不 斷 擴 增 的 結 果 ,各 節 點 間 的 資 料 傳 輸 或 做 廣 播 動 作(broadcasts)都 可 能 造 成 資 料 傳 輸 量 (trafficy)增 加 , 而 導 致 網 路 連 接 中 斷 。

N0 加 入 干 擾 因 素 的 探 討 方 面,2004 年 的 另 一 篇 論 文 中 Gianluigi Ferrari 和 Ozan K. Tonguz [18] 提 出 , 在 無 線 電 網 路 沒 有 干 擾 INI (Inter-Node Interference) 的 情 況 下 , 最 小 的 N0 平 均 值 是 π, 而 理 論 上 當

N0 >π 時 網 路 即 連 通 ,但 是 如 果 在 有 INI 的 情 況 下 即 使 是 N0 >π 也 有 可 能 網 路 無 法 連 通 。

本 節 結 論 : 在 討 論N0 個 數 問 題 方 面,從 早 期 1970 到 1980 年 代 的 有 固 定 常 數 的“magic number” 值 , 到 2004 年 提 出 沒 有 固 定 常 數 的 “magic number”值 的 觀 點 來 看 ,影 響 雙 方 看 法 差 異 的 原 因 主 要 是 考 慮 不 同 的 網 路 節 點 密 度、不 同 的 節 點 Power 半 徑、不 同 的 傳 輸 協 定、不 同 大 小 的 區 域 及 網 路 的 干 擾 因 素 。

2.2 連通問題的探討

影 響 無 線 電 網 路 連 通 的 因 素 很 多 , 就 相 關 研 究 分 成 4 部 份 。 (1) 在 有 關 密 度 及 空 間 形 狀 影 響 網 路 連 通 的 討 論 方 面 。(2) N 點 移 動 的 連 通 問 題 。(3) 無 線 電 網 路 最 小 的 節 點 分 支 度 (Node Degree)及 k–connectivity 方 面 。(4) 在 關 網 路 連 通 基 本 Power 範 圍 的 探 討 。

(1) 在 有 關 密 度 及 空 間 形 狀 影 響 網 路 連 通 的 討 論 方 面 , Olivier Dousse, Patrick Thiran [5]論 文 中 提 到 Ad Hod 和 hybrid networks 的 連 通 問 題,它 探 討 的 是 節 點 N 在 低 密 度 D 的 空 間 下,受 限 於 固 定 power 的 半 徑 下,連 接 的 瓶 頸 是 不 可 避 的 , 如 何 克 服 連 通 的 瓶 頸 , 文 中 提 及 在 矩 形 長 l 與 寬 m 都 大 的 情 況 下 , 可 透 過 使 用 base station 的 方 式 得 到 解 決 , 連 通 的 機

(17)

率 會 隨 密 度 D 成 指 數 的 成 長,但 是 如 果 在 一 狹 窄 的 矩 形 空 間 內 加 入 base station 則 無 意 義 , 寬 m 值 越 大 越 無 意 義 。

(2) N 點 移 動 的 連 通 問 題 。 Paolo Santi and Douglas M [7]在 討 論 無 線 電 網 路 節 點 移 動 情 況 下 需 要 多 大 的 半 徑 網 路 才 會 連 通 , 在 一 維 靜 止 及 2 維 移 動 的 狀 況 下,討 論 N 點 移 動 的 連 通 問 題,並 且 移 動 的 原 因 包 含 故 意 或 不 故 意,多 少 節 點 動 多 少 不 動 等 問 題 。

(3) 在 討 論 無 線 電 網 路 最 小 的 節 點 分 支 度 (Node Degree) 及 k–connectivity 方 面 , Christian Bettstetter [6] 提 出 在 隨 機 分 佈 N 個 節 點,如 果 已 知 節 點 的 最 小 連 通 半 徑 r 及 節 點 密 度 D ,就 幾 乎 知 道 此 網 路 節 點 N 的 最 小 分 支 度 及 k–connectivity。

在 k–connectivity 模 擬 實 驗 方 面 Christian Bettstetter [4] 用 模 擬 實 驗 的 方 式 允 許 我 們 選 擇 的 N 的 傳 輸 範 圍 (transmission range)和 數 目

(number of nodes)的 參 數 來 知 道 一 隨 機 無 線 網 路 的 k–connectivity。

(4) 在 關 網 路 連 通 基 本 Power 範 圍 的 探 討 方 面 , Piyush Gupta and P. R.

Kumar[8]提 出,Power 並 非 越 大 越 好,Power 太 大 反 而 會 造 成 節 點 間 的 干 擾,它 只 要 大 於 臨 界 值 則 此 網 路 就 會 連 通,因 此 一 個 網 路 連 通 的 power

其 基 本 範 圍 為 πR2(n)=

n n c n ( ) log +

2.3 可驗證或改善的方向

藉 由 相 關 論 文 研 究 , 我 們 可 以 利 用 程 式 模 擬 的 方 式 驗 證 或 改 善 的 方 向 有 二 項 ︰

(1) 節 點 鄰 居 個 數 N0 的 問 題。利 用 程 式 模 擬 的 方 式 在 一 矩 形 的 隨 機 網 路

(18)

中 , 隨 機 散 佈 N 個 節 點 , 藉 多 次 模 擬 連 通 所 得 之 數 據 , 藉 以 量 化 分 析 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17] 所 提 出 理 論 ︰ 在 單 一 連 通 情 況 下 並 無“magic number” ,且 N0 是 隨 著 n 增 加 而 做 log n 的 變 化 若,N0 >5.1774 log n 時 ,則 網 路 將 趨 近 於 連 通 。

(2) 最 小 連 通 與 覆 蓋 半 徑 問 題 。 Piyush Gupta and P. R. Kumar[8]提 出 , Power 並 非 越 大 越 好 , Power 太 大 反 而 會 造 成 節 點 間 的 干 擾 。 網 路 連 通 的 半 徑 所 需 的 數 值 而 言(電 波 的 範 圍 ),電 波 的 功 率 理 論 上 當 然 是 越 大 越 好 , 但 電 波 功 率 不 可 能 無 限 制 增 大 , 受 限 於 Power 的 供 應 , 電 波 及 通 訊 的 互 相 干 擾 , 基 於 上 述 原 因 , 利 用 程 式 模 擬 的 方 式 我 們 能 找 出 一 個 既 能 連 通 無 線 網 路 又 合 理 代 價 的 半 徑 所 需 的 數 值(電 波 的 範 圍)BR,及 找 出 最 佳 覆 蓋 半 徑 BCR(能 涵 蓋 所 有 死 角 的 連 通 半 徑 )。

(19)

三 章

問題及演算法

本 論 文 主 要 討 論 有 四 個 問 題 :

1. 討 論 在 隨 意 無 線 電 網 路 中 各 種 輸 入 變 數 與 結 果 數 據 之 關 係,並 依 其 所 產 生 之 關 係 圖 加 以 討 論 。

2 .找 出 最 佳 連 通 半 徑 BR 及 以 最 佳 的 覆 蓋 半 徑 BCR, 推 導 其 數 學 公 式 並 以 實 驗 證 明 之 。

3. 找 出 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 者 , 即 網 路 直 徑 (Diameter)。

4. 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17]所 提 出 N0 值 之 理 論 。

為 建 構 模 擬 程 式 以 解 決 上 述 四 個 問 題 , 其 中 最 基 本 必 需 解 決 的 就 是 ;“隨 意 無 線 電 網 路 之 連 通 與 否 ”(計 算 G, 當 G=1 表 示 網 路 連 通 ), 因 為 一 旦 確 定 隨 意 無 線 電 網 路 連 , 則 其 他 結 果 及 數 據 如 ,R、 CR、 N0 、 Diameter、未 覆 蓋 矩 形 面 積 比 例 值 (以 上 各 值 均 含 最 大、最 小、平 均 等 3 個 值)均 可 依 網 路 連 通 後 之 各 項 數 據 換 算 得 知 。

因 此,為 了 提 出 適 當 合 用 的 演 算 法 來 解 決“隨 意 無 線 電 網 路 之 連 通 與 否”的 問 題,並 當 成 模 擬 程 式 的 基 本 架 構,在 本 章 節 中,我 們 提 出 幅 射 式 及 先 深 後 廣 式 二 種 演 算 法 來 當 模 擬 程 式 的 基 礎 。

幅 射 式 演 算 是 利 用 輻 射 式 狀 的 搜 尋 及 合 併 的 方 式 , 來 計 算 使 用 , 在 半 徑 計 算 方 式 上 使 用 連 續 遞 增 方 式 , 在 做 網 路 實 際 連 通 觀 察 及 解 決 問 題 1.方 面 適 用 。

而 先 深 後 廣 式 演 算 法 則 是 用 先 深 後 廣 搜 尋 方 式 , 在 半 徑 遞 增 部 份 , 不 採 取 線 性 遞 增 的 方 式,而 是 依 已 知 的 各 點 距 離 當 半 徑,做 跳 躍 式 遞 增,

因 計 算 快 速 便 於 驗 證 , 用 於 解 決 問 題 1、 3、 4 特 別 有 效 率 。 因 此 本 論 文 採 取 第 二 種 演 算 法 的 優 點 為 模 擬 程 式 的 架 構 , 二 種 演 算 法 的 優 缺 點 比 較

(20)

將 在 3.3 節 中 詳 細 說 明 。

3.1 幅射式演算法 (幅射式的搜尋及合併)

幅 射 式 演 算,是 利 用 電 腦 亂 數 產 生 N 個 點 ,計 錄 各 端 點 的 座 標 值 ,再 用 輻 射 式 狀 的 搜 尋 及 合 併 方 式(OR 運 算 )下 計 算 使 用,在 半 徑 計 算 方 式 上 使 用 連 續 遞 增 方 式 , 計 算 並 記 錄 G 的 值 直 到 G= 1 時 停 止 運 算 。

幅 射 式 演 算 有 四 個 步 驟 ︰

Step 1. 依 節 點 座 標 產 生 通 訊 連 接 圖,並 記 錄 節 點 座 標 及 各 點 間 的 距 離 。 Step 2. 用 初 始 半 徑 1 計 算 各 點 連 通 情 形 , 填 入 矩 陣 圖 中 。

Step 3. 幅 射 式 搜 尋 各 點 連 通 狀 況 做 合 併 動 作 (OR 運 算 ), 並 計 錄 Group 變 化 情 形 至 矩 陣 第 1 行 。

Step 4. 檢 查 第 一 行 是 否 都 為 1﹐ 若 為 1﹐ 則 表 示 網 路 連 通 停 止 運 算 ﹐ 否 則 重 複 Step 1~3 直 到 G= 1 時 停 止 運 算 。

在 進 入 Step 1 前,先 基 本 介 紹 基 本 通 訊 的 運 作,如 圖 2.1 有 四 個 通 訊 點 , 分 別 為 黑 色 點 、 綠 色 點 、 紫 色 點 紅 色 點 。 黑 色 點 的 無 線 電 波 用 黑 色 的 圓 圈 表 示 其 通 訊 範 圍 , 其 涵 蓋 通 訊 範 圍 中 有 紅 色 及 綠 色 點 , 黑 色 點 也 落 在 紅 色 及 綠 色 的 通 訊 範 圍 內 , 表 示 黑 色 點 可 直 接 和 紅 色 點 及 綠 色 點 做 訊 息 交 換 , 但 紅 色 點 要 和 綠 色 點 做 訊 息 交 換 , 必 須 透 過 黑 點 做 信 號 中 繼 站( 紅 色 點 和 綠 色 點 沒 有 落 在 彼 此 的 通 訊 半 徑 內 ),因 此 依 照 上 述 兩 通 信 點 要 互 相 聯 絡 , 兩 通 信 點 必 須 在 彼 此 的 通 訊 半 徑 內 , 否 則 必 須 透 過 別 的 通 訊 點 做 中 繼 站 。

圖 3.1 四 點 通 訊 範 圍 圖

(21)

Step 1. 依 節 點 座 標 產 生 通 訊 連 接 圖,並 記 錄 節 點 座 標 及 各 點 間 的 距 離 。 我 們 照 圖 2.1 分 別 為 黑 色 點 、 綠 色 點 、 紫 色 點 紅 色 點 按 順 序 編 號 為 Node1、 Node2、 Node3、 Node4; 接 著 畫 出 四 點 間 互 相 能 通 訊 的 無 向 連 通 圖 為 圖 2.2。 我 們 按 號 碼 順 序 , 由 小 數 字 指 向 大 數 字 , 把 圖 3.2 無 向 連 通 圖 改 成 有 向 圖 , 如 圖 3.3 有 向 連 通 圖 。

1 2 3

4

1 2 3

4

圖 3.2 無 向 連 通 圖 圖 3.3 有 向 連 通 圖 Step 2. 用 初 始 半 徑 1 計 算 各 點 連 通 情 形 , 填 入 矩 陣 圖 中 。

圖 3.4 連 通 矩 陣 中,紅 色 X 軸 表 示 有 向 圖 起 始 點 的 編 號,綠 色 Y 軸 代 表 有 向 圖 終 點 的 編 號 墨 綠 色 框 框 內 表 示 連 接 的 情 形 ; 對 角 及 對 角 以 下 的 矩 陣 都 為“0”,並 不 會 用 到 這 些 位 置,用 藍 色 框 圍 起 來。因 我 們 不 會 用 到 Y 軸 的 第 一 行 的 紫 色 框 , 所 以 我 們 拿 第 一 行 來 表 示 被 別 的 連 接 群 合 併 , 標 示 為“1”表 示 這 列 沒 有 用 被 其 它 的 列 合 併 , 標 示 為 “0”則 表 示 這 列 是 一 個 獨 立 的 連 通 圖 ; 依 上 述 之 方 法 繪 出 圖 3.5 連 通 矩 陣 。

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 8 9 7 6 5 4 3 2 1

10 X Y 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 2

0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 3

0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 4

0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 5

0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 6

0 0 0 1 1 1 1 1 1

0 7

0 0 1 1 1 1 1 1 1

0 8

1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 10

0 0 0

4 3 2 1

X Y 1

0 0 0 1 2

0 0 1 3

0 0 0 1 4 0

0

圖 3.4 連 通 矩 陣 圖 示 意 圖 圖 圖 3. 5 連 通 矩 陣 圖

(22)

Step 3. 幅 射 式 搜 尋 各 點 連 通 狀 況 並 做 合 併 動 作 (OR 運 算 ),並 計 錄 Group 變 化 情 形 至 第 矩 陣 1 行 。

接 著 我 們 試 著 做 合 併 群 的 動 作 , 由 第 一 列 的 第 二 行 到 第 一 列 的 第 四 行 , 再 由 第 二 列 的 第 三 行 到 第 二 列 的 第 四 行 , 依 此 順 序 進 行 掃 瞄 ; 當 遇 到“0”時,跳 過 不 處 理;當 遇 到 “1”時,做 合 併 處 理。掃 瞄 到( 1,2)= “1”

時 , 如 圖 3.6 藍 色 部 份 , 表 示 Node1 和 Node2 可 以 做 通 訊 連 通 , Node1 也 可 透 過 Node2 和 其 它 的 Node 相 連;所 以 第 一 列 和 第 二 列 合 併,(2,1)

從“0”改 變 “1” ,如 圖 3.6 棕 色 部 份,並 把 第 一 列 的 連 通 值 和 第 二 列 的 連 通 值 做“或 ”運 算 ( OR), 如 圖 3.6 紫 色 部 份 。 掃 瞄 到 ( 1, 3) = “1”時 , 如 圖 3.7 藍 色 部 份,表 示 Node1 和 Node3 可 以 做 通 訊 連 通,所 以 第 一 列 和 第 三 列 合 併 ,(3, 1) 從 “0”改 變 “1” , 如 圖 3.7 棕 色 部 份 , 第 三 列 的 連 通 值 都 為 零 所 以 不 用 做“或 ”運 算 。 掃 瞄 到 ( 1, 4) = “1”時 , 如 圖 3.8 藍 色 部 份,表 示 Node1 和 Node4 可 以 做 通 訊 連 通,所 以 第 一 列 和 第 四 列 合 併 ,(4, 1) 從 “0”改 變 “1” , 如 圖 3.8 棕 色 部 份 , 第 四 列 的 連 通 值 都 為 零 所 以 不 用 做“或 ”運 算 。

再 接 著 再 判 斷 Y 軸 的 第 一 行 ( X,1),向 下 尋 找 當( X,1)=“0”時 照 著 上 述 的 作 法。最 後,我 們 可 由 圖 3.8 中,當( X,1)=“0” 判 斷 是 樹 林 裡 的 一 棵 樹 。

0 0 0

4 3 2 1

X Y 1

0 0 0

1 2

0 0 1

3

0 0 0 1

4

0 1

0 1

0 1 0

4 3 2 1

X Y 1

0 0 0

1 2

0 0 1

3

0 0 0 1

4

0 1

1

1 1 0

4 3 2 1

X Y 1

0 0 0

1 2

0 0 1

3

0 0 0 1

4

0 1

1

圖3.6 合 併 處 理 圖 (一 ) 圖 3.7 合 併 處 理 圖 (二 ) 圖 3.8 合 併 處 理 圖 (三 )

在 上 述 的 方 法 中 , 簡 單 的 說 是 有 相 關 的 連 接 就 做 幅 射 式 的 搜 尋 及 合 併 的 動 作 。

(23)

Step 4. 檢 查 第 一 行 是 否 都 為 1﹐ 若 為 1﹐ 則 表 示 網 路 連 通 停 止 運 算 ﹐否 則 重 複 Step 1~3 直 到 G= 1 時 停 止 運 算 。

3.2 先深後廣演算法 (先深後廣式的搜尋及合併)

先 深 後 廣 式 演 算 法 的 方 式 ,是 利 用 電 腦 亂 數 產 生 N 個 點 ,由 於 在 亂 數 產 生 時 即 知 道 各 端 點 的 座 標 值, 因 此 依 此 座 標 值 計 算 各 點 之 距 離 , 產 生 Distance matrix , 再 利 用 遞 迴 方 式 計 算 C 與 r 之 變 化 個 數 與 情 形 ,計 錄 並 找 出 此 1 回 之 使 網 路 完 全 連 通 的 最 小 半 徑 R。

3.2.1 先深後廣式演算法的步驟︰

先 深 後 廣 式 演 算 法 有 三 個 步 驟 ︰

Step 1. 先 列 出 各 點 距 離 之 矩 陣 (distance matrix)。

Step 2. 利 用 遞 迴 方 式 計 算 r 與 各 點 連 通 之 變 化 情 形 ,並 計 錄 Group 值。

Step 3. 檢 查 最 後 1 行 G 是 否 為 1﹐ 若 為 1﹐ 則 表 示 網 路 連 通 停 止 運 算 ﹐ 若 否 ﹐ 則 重 複 Step 1~2 直 到 是 G=1 為 止 。

圖 3.9 A,B,C,D 四 點 距 離 圖

Step 1. 在 先 列 出 各 點 距 離 之 矩 陣 (distance matrix)。

(24)

先 深 後 廣 式 演 算 法 的 方 式,是 利 用 電 腦 亂 數 產 生 N 個 點 ,由 於 在 亂 數 產 生 時 即 知 道 各 端 點 的 座 標 值,因 此 依 此 座 標 值 計 算 各 點 之 距 離 ,產 生 圖 3.10 的 Distance matrix。

A B C D A 0 8 17 28

B 0 15 20

C 0 25

D 0

圖 3.10 距 離 矩 陣 (distance matrix)

Step 2. 利 用 遞 迴 方 式 計 算 r 與 各 點 連 通 之 變 化 情 形 ,並 計 錄 Group 值。

利 用 遞 迴 方 式 計 算 r 與 Connectivity 之 變 化 情 形 ,並 計 錄 並 找 出 第 1 回 之 初 始 最 半 徑 r=8。用 最 小 半 徑 r=8 當 初 始 值 ,由 A 點 連 開 始 檢 查 連 通 狀 況,並 將 Group 數 據 設 為 G=0,視 A 點 與 其 他 點 連 接 情 況 ,G 值 +1 。 如 圖 3.11 若 初 始 半 徑 r=8 開 始 (因 為 從 Distance matrix 可 得 知 最 小 的 初 始 半 徑,不 需 從 1 開 始 ) ,初 始 Group 數 目 G=0,先 從 A 點 開 始 ,(A,B) 為 8,符 合 條 件 ,則 B 做 計 號 表 示 已 處 理 ,再 由 B 點 開 始 ,(B,C) 為 15,不 符 合 條 件,(B,D)為 20,不 符 合 條 件 ,再 看 (A,C)為 17,也 不 符 條 件 所 以 不 做 記 號,同 理 (A,D)為 28, 不 符 合 條 件 不 做 記 號 , A 到 各 點 已 檢 視 完 成 ,Group 數 加 1, G=1, B 到 各 點 也 已 檢 視 完 成 ,因 沒 做 記 號 G=1。

再 依 序 檢 查 C 連 接 狀 況 ,(C,D)為 25 不 符 合 ,C 點 並 無 與 其 它 點 連 接 , 因 此(C,C)做 記 號 ,G=G+1=2。再 依 序 檢 查 D 連 接 狀 況 , C 點 並 無 與 其 它 點 連 接,因 此 (D,D)做 記 號 ,G=G+1=3,至 此 計 算 出 當 初 始 半 徑 r=8 時 ,Group 數 為 3。

(25)

A B C D Group 數 目 當 初 始 半 徑 r=8 由

A 點 開 始 看 ,把 A 點 相 鄰 之 點 都 標 示 為 已 處 理 V

V V G=1

B G=1

C V G+1=2

D V G+1=3

3.11 r 與 各 點 連 通 變 化 計 錄 表

Step 3. 檢 查 最 後 1 行 G 是 否 為 1﹐ 若 為 1﹐ 則 表 示 網 路 連 通 停 止 運 算 ﹐ 若 否 ﹐ 則 重 複 Step 1~2 直 到 是 G=1 為 止 。

如 圖 3.12,以 後 半 徑 r 增 加 從 Distance matrix 得 知 r=15,17,20,25 依 相 同 方 式 一 直 做,直 到 Group 數 G=1 時 即 為 整 個 網 路 連 通 ,此 時 之 半 徑 即 為 此 隨 機 無 線 網 路 之 最 小 連 通 半 徑 。 圖 3.13 為 計 算 群 組 數 量 的 流 程 圖 。

A B C D Group 數

目 當 初 始 半 徑 r=20

由 A 點 開 始 看 ,把 A 點 相 鄰 之 點 都 標 示 為 已 處 理 V

V V G=1

B v v G=1

C G=1

D G=1

3.12 Group 值 變 化 表

(26)

3.2.2 其它的數據計算

G=1 時 網 路 連 通 後 其 它 的 數 據 計 算 簡 述 於 下 ︰

( 1 ) CR。當 G=1 時 網 路 連 通 得 到 此 一 回 之 R,再 計 算 矩 形 內 未 涵 蓋 之 區 域 (計 錄 未 覆 蓋 矩 形 面 積 比 例 ),並 遞 增 r 值 至 矩 形 面 積 全 部 被 涵 蓋 為 止 , 得 到 完 全 涵 蓋 矩 形 區 域 時 的 最 小 半 徑 CR。

( 2 ) Diameter。並 計 算 單 一 端 點 的 鄰 接 點 數 量 與 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 的 值(利 用 貪 婪 法 greedy)。

( 3 ) 覆 蓋 率 。 覆 蓋 是 計 算 矩 形 內 未 涵 蓋 之 區 域 ,覆 蓋 率 是 計 錄 未 覆 蓋 矩 形 面 積 比 例 。

( 4 ) 面 積 計 算 方 式 。 掃 瞄 區 域 矩 形 區 域 內 的 畫 數 來 計 算 覆 蓋 面 積 ,為 增 加 精 確 度,因 此 需 加 上 精 確 因 子 ,切 割 成 許 多 小 格 ,格 數 越 多 面 積 就 越 精 確 。

( 5 ) N0 。 檢 查 N 的 半 徑 及 distance matrix 即 知 與 誰 相 鄰 。

(27)

圖 3.13 計 算 群 組 數 量 流 程 圖

(28)

3.3 幅射式演算法與先深後廣式演算法之優缺點比較

幅 射 式 演 算 法 與 先 深 後 廣 式 演 算 法 各 有 優 缺 點 , 運 用 範 圍 也 不 相 同 , 二 者 之 優 缺 點 比 較 分 述 於 3.3.1 至 3.3.4 小 節 。

3.3.1 幅射式演算法演的優點:

(1) 利 用 半 徑 線 性 遞 增 方 式 可 找 到 CR 及 BCR。 幅 射 式 演 算 法 是 半 徑 遞 增 採 線 性 遞 增 方 式,因 此 雖 然 在 找 到 R 及 BR 值 方 面 比 不 上 先 深 後 廣 式 演 算 法 快,但 在 找 CR 最 小 覆 蓋 半 徑 時 Distance matrix 已 無 參 考 價 值 , 因 此 半 徑 需 做 線 性 遞 增 方 能 找 到 最 小 的 CR 值 。

(2) 運 用 範 圍 較 廣。由 於 幅 射 式 演 算 法 可 以 不 參 考 Distance matrix,來 計 算 出 連 通 情 況,因 此 在 實 際 的 運 用 上 有 其 價 值,其 特 性 符 合 具 有 自 我 組 織(self-organization)的 能 力。可 運 用 於 實 際 軍 事 或 保 全 及 救 災 系 統 上 。

3.3.2 幅射式演算法的缺點:

(1) 用 半 徑 遞 增 方 式 計 算 及 合 併 動 作,計 算 量 龐 大。由 於 幅 射 式 演 算 法 半 徑 是 採 用 線 性 遞 增 的 方 式 , 半 徑 遞 增 需 從 1 開 始 做 線 性 遞 增 直 到 連 通 為 止 ,r =1,2,3…R ;而 R ∝ l×m,而 R 的大小又受到矩形面積大 小 影 響(l 與 m 之 長 度 ),與 矩 形 面 積 大 小 有 關,面 積 越 大 R 值 越 大 , 計 算 量 相 當 龐 大 。 加 上 做 合 併 動 作 更 增 添 電 腦 的 計 算 量 。

(2) 計 算 量 大 耗 費 時 間 , 不 適 合 做 多 次 重 覆 的 驗 證 計 算 。 因 此 無 論 是 為 達 到 驗 證 他 人 理 論 的 目 的 或 做 本 論 文 之 模 擬 程 式 的 架 構 , 藉 以 求 得 各 式 數 據 的 目 的 ﹔ 均 不 適 用 。 且 如 果 用 一 般 PC 級 水 準 之 工 作 平 台 來 執 行 計 算 , 不 但 無 法 負 荷 且 不 適 合 , 除 非 用 運 算 計 算 能 力 強 的 工

(29)

作 站 或 mini computer 等 級 的 電 腦 來 當 運 算 的 平 台 , 或 做 分 散 式 、 平 行 處 理 等 方 式 , 方 可 負 荷 或 處 理 。

3.3.3 先深後廣式演算法的優點:

(1) 半 徑 跳 躍 式 遞 增 , 計 算 快 速 。 由 於 先 深 後 廣 式 演 算 法 是 假 設 已 知 各 端 點 的 座 標 位 置 , 並 依 Distance matrix 得 知 各 點 距 離 , 因 此 可 以 知 道 最 小 的 初 始 半 徑 值 , 半 徑 遞 增 不 需 從 1 開 始 做 線 性 遞 增 , 最 小 的 初 始 半 徑 及 以 後 的 半 徑 遞 增 值 均 可 查 表 得 知 , 於 是 , 半 徑 遞 增 半 徑 是 採 取 跳 躍 式 , 直 到 網 路 連 通 為 止 ,R=R ; 1≦ i≦ N , 至 多 N 步i 驟 即 可 找 到 所 求,與 矩 形 面 積 大 小 無 關,與 N 點 數 有 關。且 不 需 做 合 併 動 作 因 此 減 少 許 多 計 算 量 。

(2) 計 算 量 小 節 省 時 間 , 適 合 做 多 次 重 覆 的 驗 證 計 算 。 因 此 無 論 是 為 答 到 驗 證 他 人 理 論 的 目 的 或 做 本 論 文 之 模 擬 程 式 架 構 , 藉 以 求 得 各 式 數 據 的 目 的 ﹔ 均 適 用。且 用 一 般 PC 級 水 準 之 工 作 平 台 來 執 行 計 算,

即 可 負 荷 且 適 合 , 如 果 利 分 散 式 、 平 行 處 理 方 式 則 效 果 更 好 。

3.3.4 先深後廣式演算法的缺點:

(1) 半 徑 跳 躍 式 遞 增 , 無 法 找 到 CR 值 。 但 在 找 CR 最 小 覆 蓋 半 徑 時 Distance matrix 已 無 參 考 價 值 , 因 此 半 徑 需 做 線 性 遞 增 方 能 找 到 最 小 的 CR 值 。

(2) 運 用 範 圍 較 小 。 因 受 限 於 端 點 的 初 始 座 標 需 已 知 , 如 果 不 知 道 端 點 的 初 始 座 標,則 無 法 計 算 和 驗 證 出 其 他 數 據 不 符 合,除 運 用 在 電 腦 程 式 模 擬 的 範 圍 外 , 實 際 運 用 之 範 圍 及 發 展 及 討 論 的 空 間 有 限 。

(30)

3.3.5 結論

本 章 結 論 有 三 項 :

(1.) 若 是 為 求 計 算 及 驗 證 快 速 以 先 深 後 廣 式 演 算 法 為 優,若 是 以 找 到 CR 值 、 未 來 探 討 空 間 及 應 用 至 不 同 層 面 者 以 幅 射 式 演 算 法 為 優 。 (2.) 本 論 文 模 擬 程 式 之 架 構 , 綜 合 幅 射 式 演 算 法 及 先 深 後 廣 式 演 算 法 ,

為 求 快 速 計 算 採 用 先 深 後 廣 式 演 算 法 做 搜 尋 與 合 併 , 但 為 求 觀 察 及 計 錄 方 便 , 在 半 徑 遞 增 方 面 採 取 幅 射 式 演 算 法 之 線 性 半 徑 遞 增 的 方 式 。

(3) 在 相 同 矩 形 區 域 內 如 果 N 點 很 大 時 , 則 以 幅 射 式 演 算 法 為 優 , 因 為 幅 射 式 演 算 法 與 矩 形 面 積 大 小 有 關,與 N 點 數 無 關 , 先 深 後 廣 式 演 算 法 則 是 與 矩 形 面 積 大 小 無 關,與 N 點 數 有 關。因 此,在 N 點 很 大 時 (舉N=1000 以 上 ), 幅 射 式 演 算 法 反 而 快 , 因 為 N 點 密 度 高 的 情 況 下 以 半 徑 1 遞 增 方 式 ,G 下 降 的 次 數 非 常 快 。 反 之 , 先 深 後 廣 式 演 算 法N 點 數 有 關 , 當 N 點 各 點 距 離 都 不 同 時 R=R ; 1≦ i≦ N ,最 多 需i 計 算 N 次 才 能 連 通 。

有 關 於 幅 射 式 演 算 法 與 先 深 後 廣 式 演 算 法 之 比 較,請 見 圖 3.14 幅 射 式 與 先 深 後 廣 式 演 算 法 比 較 表 。

(31)

二 演 算 法 之 比 較 幅 射 式 演 算 法 先 深 後 廣 式 演 算 法

1. 搜 尋 及 合 併 的 方 式 幅 射 式 先 深 後 廣

2. 時 間 複 雜 度 O(N2) O(N2)

3.初 始 半 徑 1 可 查 表 得 知

4.半 徑 遞 增 方 式

線 性 遞 增,由 1 開 始 到 連 通 為 止

非 線 性 遞 增,依 查 表 採 取 跳 躍 式 至 連 通 為 止

5. 影 響 半 徑 值 遞 增 值 的 因 素

受 矩 形 面 積 影

,r=1,2,3…R ;而 R

l×m,(R 的 大 小 又 視 矩 形 面

積 大 小 影 響 面 積 越 大 R 值 越 大)

N 點 個 數 影

,R=Ra,Rj RkRn R ≦ N

6.適 合 運 算 之 工 作 平 台 工 作 站 級 以 上 一 般 PC 即 可

7. 未 來 運 用 層 面 及 討 論 空 間

大 小

8. 優 點

1. 利 用 半 徑 線 性 遞 增 方 式 可 找 到 CR 及 BCR 2. 運 用 範 圍 較 廣

1. 用 半 徑 遞 增 方 式 計 算 及 合 併 動 作 , 計 算 量 龐 大 2. 計 算 量 大 耗 費 時 間,不 適 合 做 多 次 重 覆 的 驗 證 計 算

9. 缺 點

1. 半 徑 跳 躍 式 遞 增 , 計 算 快 速 2. 計 算 量 小 節 省 時 間 , 適 合 做 多 次 重 覆 的 驗 證 計 算

1. 半 徑 跳 躍 式 遞 增,無 法 找 到 CR 值

2. 運 用 範 圍 較 小,如 果 不 知 道 端 點 的 初 始 座 標,則 無 法 計 算 和 驗 證 出 其 他 數 據

圖 3.14 兩 種 演 算 法 之 比 較 表

(32)

四 章

擬 實 驗

4.1 實驗的目的

本 論 文 實 驗 的 目 的 在 解 決 本 論 文 所 主 要 討 論 的 四 個 問 題 :

1. 討 論 在 隨 意 無 線 電 網 路 中 各 種 輸 入 變 數 與 結 果 數 據 之 關 係,並 依 其 所 產 生 之 關 係 圖 加 以 討 論 。

2 .找 出 最 佳 連 通 半 徑 BR 及 以 最 佳 的 覆 蓋 半 徑 BCR, 推 導 其 數 學 公 式 並 以 實 驗 證 明 之 。

3. 找 出 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 者 , 即 網 路 直 徑 (Diameter)。

4. 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar 等 人 [17]所 提 出 N0 值 之 理 論 。

4.2 系統發展及測試環境控制

在 本 節 中 , 主 要 目 的 為 建 置 出 實 際 程 式 系 統 發 展 相 關 的 軟 硬 體 及 模 擬 測 試 之 環 境 工 作 平 台 , 作 為 實 驗 研 究 之 基 礎 , 本 實 驗 系 統 發 展 及 測 試 環 境 控 制 包 括 四 項 。

1. 程 式 系 統 發 展 軟 體 為 Boland C。

2. 模 擬 測 試 之 環 境 工 作 平 台 為 PC, 包 括 Pentium4(2.8G)及 AMD ( 2.8 各 一 台 , 當 做 模 擬 實 驗 測 試 之 工 作 平 台 。

3. 以 同 一 系 統 程 式 安 裝 至 兩 台 工 作 平 台 上 , 輸 入 相 同 之 控 制 變 數 (如 ﹔ 任 意 矩 形 的 長 與 寬 、 節 點 數 目 、 初 始 半 徑 、 遞 增 半 徑 、 模 擬 次 數)與 結 果 數 據(連 通 半 徑、覆 蓋 半 徑、節 點 的 相 鄰 鄰 居 個 數 及 群 組 )等 是 否 一 致 , 目 的 是 確 定 不 因 硬 體 因 素 影 響 模 擬 實 驗 的 準 確 度 。

(33)

4.3 系統操作介面與使用分析

在 本 節 中 , 主 要 介 紹 模 擬 程 式 的 系 統 操 作 介 面 與 使 用 分 析 , 共 分 成 四 個 步 驟 ︰

1. 輸 入 變 數 及 選 定 繪 圖 輸 出 設 定 。

2. 切 換 至 輸 出 畫 面 , 執 行 運 算 並 觀 察 網 路 連 通 狀 況 。

3. 運 算 結 束 , 產 生 結 果 畫 面 , 記 錄 每 一 次 連 通 所 產 生 的 數 據 。 4. 運 算 結 束 時 同 時 產 生 四 種 txt 檔 , 以 便 供 分 析 及 驗 證 。 步 驟 1. 輸 入 變 數 及 選 定 繪 圖 輸 出 設 定 。

在 執 行 運 算 前 , 首 先 需 輸 入 與 網 路 連 通 相 關 的 各 種 變 數 , 例 如 , 矩 形 l 及 m 的 長 度、n 的 數 目、S 的 次 數 …等 等,並 決 定 採 取 用 固 定 半 徑 或 是 遞 增 半 徑 模 式 來 觀 察 記 錄 , 再 決 定 是 否 顯 示 連 通 畫 面 的 各 點 座 標 、 各 點 間 的 距 離 值 及 半 徑 範 圍 值 , 最 後 是 否 以 暫 停 方 式 來 觀 察 每 一 回 n 點 連 通 及 G 變 化 的 情 形 , 請 見 圖 4.1 變 數 輸 入 畫 面 。

圖 4.1 變 數 輸 入 畫 面

步 驟 2. 切 換 至 輸 出 畫 面 , 執 行 運 算 並 觀 察 網 路 連 通 狀 況 。

(34)

當 變 數 輸 入 及 選 定 繪 圖 輸 出 設 定 後 , 將 畫 面 切 換 至 執 行 運 算 與 輸 出 的 畫 面,觀 察 每 一 回 之 n 點 分 佈、隨 半 徑 r 遞 增 n 點 連 通 及 G 變 化 的 情 形 , 請 見 圖 4.2 運 算 與 輸 出 畫 面 (一 )與 圖 4.3 運 算 與 輸 出 畫 面 (二 )。

圖 4.2 運 算 與 輸 出 畫 面 (一 )

圖 4.3 運 算 與 輸 出 畫 面 (二 )

(35)

步 驟 3. 運 算 結 束 , 產 生 結 果 畫 面 , 記 錄 每 一 次 連 通 所 產 生 的 數 據 。 並 產 生 txt 檔 供 分 析 驗 證 。

當 運 算 結 束 後 , 會 在 輸 出 畫 面 的 左 上 方 顯 示 最 後 一 回 n 點 連 通 的 狀 況,並 且 在 畫 面 的 右 上 方 顯 示 R 與 G 的 關 系 圖,在 畫 面 的 右 下 方 顯 示 RP 及 R 與 C 的 關 係 圖,而 在 畫 面 的 左 上 方 顯 示 執 行 S 回 合 所 產 生 的 各

式 數 據 及 最 後 平 均 數 的 統 計 。 請 見 圖 4.4 結 果 畫 面

圖 4.4 結 果 畫 面

步 驟 4. 運 算 結 束 時 同 時 產 生 四 種 txt 檔 , 以 便 供 分 析 及 驗 證 , 分 別 是 RG、 C、 P 關 係 檔 , 每 一 回 合 所 產 生 數 據 的 記 錄 及 統 計 檔 。

(36)

4.4 實驗結果

在 此 章 節,我 們 為 達 到 4.1 節 所 敘 述 的 四 個 實 驗 目 的,我 們 在 l × m 的 矩 形 空 間 內 , 模 擬 n 個 節 點 隨 機 散 佈 所 形 成 連 通 的 無 線 電 網 路 , 依 其 不 同 的 輸 入 變 數 及 結 果 數 據 , 來 呈 現 四 個 實 驗 結 果 。 分 述 於 後 四 小 節 。

4.4.1 輸 入 變 數 與 結 果 數 據 之 關 係 討 論 及 推 論 。 4.4.2 找 出 BR 及 BCR 值 。

4.4.3 找 出 Diameter。

4.4.4 驗 證 F. Xue[17] N0 值 之 理 論 。

4.4.1 輸入變數與結果數據之關係討論及推論

輸 入 變 數 及 結 果 數 據 , 則 以 圖 4.5 為 例 子 , 其 為 模 擬 半 徑 遞 增 下 , 網 路 連 通 所 產 生 的 數 據 統 計 表 , 藉 由 此 表 我 們 可 以 得 知 各 種 結 果 的 最 大 最 小 及 平 均 值 , 便 於 在 以 後 四 小 節 中 討 論 分 析 之 參 考 與 對 照 之 用 。

本 小 節 藉 由 模 擬 運 算 結 束 時 產 生 的 R 與 G、 C、 P 關 係 檔 製 成 三 種 關 係 圖,並 藉 由 關 係 圖 加 以 討 論 分 析 及 做 推 論。分 別 是(1)連 通 半 徑 與 連 通 次 數( R v.s C)之 關 係 ﹔ (2)連 通 半 徑 與 連 通 率 (R v.s P)之 關 係 ﹔ (3)連 通 半 徑 與 Group 數 ( R v.s G)之 關 係 。

(37)

半 徑 遞 增 下 的 網 路 連 通 統 計

起 始 參 數(Parameters) 結 果 數 據

亂 數 種 子=780305

使 網 路 完 全 連 通 的 最 小 半 徑 R max=28.00, min=12.00 , mean=17.01, STD=2.33

重 複 計 算 回 合 數 S =1000

完 全 涵 蓋 矩 形 區 域 時 的 最 小 半 徑 Cr max=34.00, min=14.00 , mean=19.15, STD=2.74

點 數 量 N =100

單 一 端 點 的 鄰 接 點 數 量 N max =37 ,min =1 ,mean=7.87

矩 形 區 域 寬 l =100

任 兩 點 間 最 短 路 徑 最 大 值 的 平 均 值 (Diameter)

max=300.77, min=249.50 , mean=281.29, STD=11.37

矩 形 區 域 高 m =100

未 覆 蓋 矩 形 面 積 比 例 max=3.77%, min=0.00%, mean=0.31%, STD=0.58%

起 始 半 徑 r =5.00 半 徑 遞 增 值=1.00 面 積 計 算 因 子=5

圖 4.5 平 均 數 據 統 計 表 (1) 連 通 半 徑 與 連 通 次 數 ( R v.s C)之 關 係 ︰

4.6 為 連 通 半 徑 與 連 通 次 數 關 係 圖 ( R v.s C), X 軸 R 是 連 通 半 徑,Y 軸 C 是 連 通 次 數,由 圖 3.1 來 觀 察,在 1000 次 的 連 通 次 數 中,以 R=16 時 的 211 次 最 多,1000 次 的 平 均 R 值 為 17.1,最 大 R= 28 和 最 小 R= 12,其 次 數 只 有 1 次,當 R 超 過 23 後 次 數 則 趨 近 於 1 次,因 此 R= 23

(38)

是 我 們 觀 察 和 記 錄 的 重 點 , 在 後 續 的 觀 察 分 析 與 推 論 上 可 供 考 對 照 。

導通半徑與導通次數(R v,s C)關係圖

0 50 100 150 200 250

導通半徑 R

導通次數 C 數列2

數列2 1 14 95 165 211 164 124 86 59 39 14 16 3 3 3 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

4.6 R 與 C 之 關 係 圖

(2) 連 通 半 徑 與 連 通 率 (R v.s P)之 關 係 ︰

4.7 連 通 半 徑 與 連 通 率 係 圖 (R v.s P), X 軸 R 是 連 通 半 徑 , Y 軸 P 是 連 通 率,由 圖 4.6 觀 察 得 知 R 與 P 的 關 係 呈 上 升 曲 線,R > 22 時 , 連 通 率 超 過 99%, 因 此 在 本 次 計 算 中 R >22 是 值 得 觀 察 與 記 錄 的 數 值 , 在 後 續 的 觀 察 分 析 與 推 論 上 可 供 參 考 對 照 。

導通半徑與導通率 (Cr v,s P) 關係圖

100 2030 4050 6070 8090 100

導通半徑 Cr

百分比 (%) 數列2

數列2 0.1 1.5 11 28 49 65 77 86 92 96 97 99 99 99 100 100 100 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

4.7 R 與 P 關 係 圖

(39)

(3)連 通 半 徑 與 Group 數 ( R v.s G)之 關 係 ︰

4.8 為 連 通 半 徑 與 Group 數 關 係 圖 ( R v.s G),X 軸 R 是 連 通 半 徑,Y 軸 G 是 Group 數 目。由 圖 3.3 曲 線 可 觀 察 到 隨 半 徑 遞 增,Group 數 目 遞 減 呈 下 降 曲 線 , 本 圖 只 舉 執 行 五 次 所 得 曲 線 比 較 , 結 果 圖 型 類 似 , 我 們 觀 察 到 R=12 時 曲 線 開 始 趨 近 1, 因 為 R=12 是 此 1000 次 運 算 的 最 小 的 連 通 半 徑 。

半徑遞增與Group 數目 (Cr v,s G) 關係圖

10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100

半徑遞增

G roup 數 目

數列2 10 70 61 49 34 28 15 11 9 8 4 4 2 2 2 2 2 1 數列4 10 72 63 53 44 33 24 17 7 2 2 2 2 1

數列6 10 71 60 50 40 31 23 10 5 5 4 3 2 2 1 數列8 10 63 55 46 40 31 16 13 11 5 2 1

數列10 10 66 57 47 40 32 19 11 6 4 3 2 2 1

0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

4.8 R 與 G 之 關 係 圖

(40)

4.4.2 找出 BR 及 BCR 值

本 小 節 的 主 要 目 的 是 找 出 最 佳 連 通 半 徑 值

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

i

i mR

MR

BR 及 以 最 佳

的 覆 蓋 半 徑

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

i

i CmR

CMR

BCR , 推 導 其 數 學 公 式 並 以 實 驗 證 明 。

本 小 節 共 有 4 步 驟 :

(1) 藉 由 觀 察 得 到 臨 界 值 , 多 次 實 驗 驗 證 此 值 。

在 觀 察 4.4.1 中 (1)及 (2)項 之 記 錄 得 知 , 在 4.4.1 (1)中 當 R 超 過 23 後 1000 次 的 連 通 中 次 數 會 趨 近 於 1 次 , 在 4.4.1 (2)中 當 R > 22 連 通 率 超 過 99%, 再 多 次 實 驗 觀 察 驗 證 並 記 錄 此 值 。

(2) 提 出 假 設 , 此 1000 次 模 擬 之 最 佳 連 通 半 徑 值 接 近 2

mR MR+

我 們 依 多 次 實 驗 觀 察 記 錄 , 提 出 假 設 , 若 以 最 大 連 通 半 徑 MR 加 平 均 連 通 半 徑 mR 所 得 之 平 均 值 , 則 其 值 會 接 近 R >22 , 該 值 將 是 最 小 且 連 通 率 最 佳 的 最 佳 連 通 半 徑 BR。

(3) 推 導 數 學 公 式

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

i

i mR

MR

BR

S 次 模 擬 結 果 的 MR 加 上 mR 後 除 以 2,所 得 到 的 數 學 式 子 如 下

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

i

i mR

MR

BR

同 理 以 將 S 次 模 擬 結 果 CMR 加 平 均 值 CmR 再 除 以 2,所 得 到 的 數 學 式 子

如 下 2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

i

i CmR

CMR

BCR

(41)

(4) 實 驗 證 明

下 述 實 驗 將 證 明 我 們 推 論 成 立。結 果 分 為 找 到 最 佳 的 連 通 半 徑 和 最 佳 的 涵 蓋 半 徑 ,

若 以 矩 形 l=100, m=100, N=100 模 擬 次 數 S=1000 更 改 亂 數 因 子 3 次 所 得 到 的 使 網 路 完 全 連 通 的 最 小 半 徑 平 均 值 mR,再 以 此 平 均 數 值 當 起 始 半 徑(固 定 半 徑 模 式 ), 其 餘 變 數 不 變 情 況 下 的 連 通 率 為 6X% ~ 70%, 結 果 證 明 mR 導 通 率 連 90%都 不 到 , 不 符 合 BR 的 要 求 。

若 是 以

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S

i i

i mR

MR

BR , 再 以 此 值 當 成 起 始 半 徑 (固 定 半 徑 模 式), 其 餘 變 數 不 變 情 況 下 的 連 通 率 為 高 達 98%以 上 , 為 求 實 驗 正 確 , LM 不 變,更 改 N 數 為 20,30,40,其 結 果 一 樣,再 更 改 l 及 m 的 長 度 其 結 果 仍 是 總 平 均 連 通 率 超 過 98%以 上 接 近 99%,證 明 我 們 的 推 論 是 正 確 的 , 見 圖 表 4.9。

同 理,最 佳 的 覆 蓋 半 徑 的 實 驗 同 上 述,以

2

1 1

∑ ∑

= =

+

=

S i

S i

j

i CmR

CMR

BCR

再 以 值 當 起 始 半 徑(固 定 半 徑 模 式 ), 其 餘 變 數 不 變 情 況 下 的 總 覆 蓋 率 高 達 99%見 圖 表 4.10。

結 論 ︰

a. 由 觀 察 得 知 ,連 通 發 生 於 覆 蓋 之 前,見 圖 表 4.11 BR 與 BCR 比 較 表。

b. BR 與 BCR 的 值 隨 N 點 增 加 而 接 近 , 見 圖 表 4.11 BR 與 BCR 比 較 表 。

c. 藉 由 Chang Wu Yu a 和 Li-Hsing Yen [25]提 出 的 n m

N l ×

= ×

δ

0

及 F. Xue 和 P. R. Kumar [17]提 出 N0 >5.1774 log n 的 理 論,配 合 BR 與 BCR 驗 證 可 計 算 網 路 出 何 時 連 通 與 完 全 覆 蓋 。

(42)

亂 數 種 子 1 亂 數 種 子 2 亂 數 種 子 3 S=1000 BR 連 通 率 % BR 連 通 率 % BR 連 通 率 %

l=100;m=100;n=30 39.5 97 39.335 98.2 42.825 99.5

l=100;m=100;n=60 30.155 98.4 26.5 96.3 28.545 98.1

l=100;m=100;n=100 22.505 98.3 23.5 98.2 24.425 99.5

l=100;m=100;n=200 16.705 99.2 15.695 97.5 16.725 98.6

l=100;m=100;n=300 13.205 97.9 13.725 98.4 14.19 99

l=30;m=40; n=30 14.205 97.5 14.16 99.1 14.635 98.8

l=30;m=40; n=60 11.36 99.04 9.82 98.8 10.33 99.1

l=30;m=40; n=100 8.1 99 8.12 98.1 8.095 99.1

l=30;m=40; n=200 6.53 99.6 6.035 99.4 6.03 99.3

l=30;m=40; n=300 5.505 99.9 6.005 99.9 5.55 99.8

l=50;m=70; n=30 24.225 97.3 24.105 98.9 24.61 98.7

l=50;m=70; n=60 19.42 99.4 16.35 98.2 17.37 99.1

l=50;m=70; n=100 13.12 97.9 13.64 97.9 13.595 99

l=50;m=70; n=200 10.265 99.1 9.265 97.5 9.77 98.8

l=50;m=70; n=300 8.18 98.8 8.7 99.4 8.665 99.4

總 平 均 98.562 98.38667 99.05333

圖 4.9 最 佳 連 通 半 徑 驗 證 圖

(43)

亂 數 種 子 1 亂 數 種 子 2 亂 數 種 子 S=1000 BCR 覆 蓋 率 % BCR 覆 蓋 率 % BCR 覆 蓋 率 %

l=100;m=100;n=30 45.7 99 44.3 98.2 44.89 98.8

l=100;m=100;n=60 31.105 97.7 31.985 98.9 32.5 98.9

l=100;m=100;n=100 26.575 99.4 27.6 99.8 26.55 99.5

l=100;m=100;n=200 19.41 99.9 17.94 99 17.89 99.6

l=100;m=100;n=300 14.27 99.8 14.27 99.5 14.765 99.7

l=30;m=40; n=30 16.145 99 15.94 99 15.385 98.6

l=30;m=40; n=60 12.38 99.5 11.85 99.4 11.84 99.6

l=30;m=40; n=100 9.495 99.6 10.015 99.9 8.995 98.8

l=30;m=40; n=200 7.145 99.9 6.645 99.6 6.63 99.9

l=30;m=40; n=300 6.02 99.99 6.02 99.9 6.02 99.9

l=50;m=70; n=30 27.475 96.5 26.435 98.2 25.865 98.1

l=50;m=70; n=60 20.775 99.5 19.225 99 19.735 99.3

l=50;m=70; n=100 15.765 99.3 16.3 99.7 15.26 98.7

l=50;m=70; n=200 11.705 99.8 11.21 99.6 10.68 99.7

l=50;m=70; n=300 9.035 99.9 9.035 99.7 9.515 99.9

總 平 均 99.25267 99.29333 99.26667

圖 4.10 最 佳 覆 蓋 半 徑 驗 證 圖

(44)

亂 數 種 子 1 亂 數 種 子 2 亂 數 種 子 3

S=1000 BR BCR BR BCR BR BCR

l=100;m=100;n=30 39.5 45.7 39.335 44.3 42.825 44.89 l=100;m=100;n=60 30.155 31.105 26.5 31.985 28.545 32.5 l=100;m=100;n=100 22.505 26.575 23.5 27.6 24.425 26.55 l=100;m=100;n=200 16.705 19.41 15.695 17.94 16.725 17.89 l=100;m=100;n=300 13.205 14.27 13.725 14.27 14.19 14.765 l=30;m=40; n=30 14.205 16.145 14.16 15.94 14.635 15.385 l=30;m=40; n=60 11.36 12.38 9.82 11.85 10.33 11.84 l=30;m=40; n=100 8.1 9.495 8.12 10.015 8.095 8.995 l=30;m=40; n=200 6.53 7.145 6.035 6.645 6.03 6.63 l=30;m=40; n=300 5.505 6.02 6.005 6.02 5.55 6.02 l=50;m=70; n=30 24.225 27.475 24.105 26.435 24.61 25.865 l=50;m=70; n=60 19.42 20.775 16.35 19.225 17.37 19.735 l=50;m=70; n=100 13.12 15.765 13.64 16.3 13.595 15.26 l=50;m=70; n=200 10.265 11.705 9.265 11.21 9.77 10.68 l=50;m=70; n=300 8.18 9.035 8.7 9.035 8.665 9.515

4.11 BR 與 BCR 比 較 表

(45)

4.4.3 找出 Diameter

本 實 驗 的 結 果 分 為 找 出 任 意 兩 點 間 最 短 路 徑 中 最 長 者 Diameter, 我 們 更 改 l,m 與 N 的 值 , 各 模 擬 次 數 S=1000 更 改 亂 數 種 子 群 3 次 , 所 得 到 的 Diameter 結 果 如,圖 4.13 Diameter 之 觀 察 表 及 圖 4.14 Diameter 與 對 角 線 之 比 較 表 。 而 根 據 觀 察 結 果 得 到 二 個 現 象 ︰

1. Diameter 之 最 小 值 不 會 超 過 矩 形 的 對 角 線 長 。 2. Diameter 之 平 均 值 略 大 於 矩 形 的 對 角 線 長 。

基 於 上 述 兩 點 觀 察 我 們 可 以 推 論 Diameter 與 矩 形 的 對 角 線 長 存 在 著 某 種 關 係 。

亂 數 種 子 群 1 亂 數 種 子 群 2 亂 數 種 子 群 3 S=1000 Diameter (max 最 大 , min 最 小 , mean 平 均 )

l=100;m=100; n=30

max=324.54, min=104.81 , mean=164.75

max=291.42, min=103.08 , mean=164.29

max=287.18, min=106.11 , mean=165.06

l=100;m=100; n=60

max=313.71, min=114.16 , mean=165.78

max=295.14, min=114.74 , mean=166.42

max=328.41, min=115.85 , mean=166.25

l=100;m=100; n=100

max=324.53, min=116.66 , mean=161.03

max=305.49, min=123.80 , mean=162.73

max=294.49, min=119.30 , mean=163.44

l=100;m=100; n=200

max=311.63, min=127.63 , mean=154.77

max=276.08, min=131.32 , mean=150.94

max=298.71, min=127.45 , mean=153.76 l=100;m=100; n=300 max=294.13, max=276.08, max=299.24,

(46)

min=129.66 , mean=151.06

min=131.32 , mean=150.94

min=130.64 , mean=151.46

l=30;m=40; n=30

max=96.51, min=36.53 , mean=55.91

max=98.22, min=34.38 , mean=55.33

max=95.22, min=38.66 , mean=55.41

l=30;m=40; n=60

max=101.36, min=40.87 , mean=55.18

max=107.11, min=42.16 , mean=55.69

max=107.45, min=42.49 , mean=55.57

l=30;m=40; n=100

max=101.31, min=42.44 , mean=54.01

max=100.89, min=42.75 , mean=54.17

max=97.61, min=41.36 , mean=54.03

l=30;m=40; n=200

max=88.59, min=45.13 , mean=52.67,

max=102.10, min=45.08 , mean=52.42

max=86.03, min=44.31 , mean=52.24

l=30;m=40; n=300

max=97.18, min=45.46 , mean=51.60

max=91.04, min=45.96 , mean=51.48

max=107.45, min=45.29 , mean=51.54

l=50;m=70; n=30

max=163.51, min=64.08 , mean=98.12

max=168.80, min=66.31 , mean=97.94

max=168.10, min=66.58 , mean=97.79

l=50;m=70; n=60

max=173.86, min=70.43 , mean=98.04

max=180.13, min=73.02 , mean=98.84

max=179.76, min=71.81 , mean=98.99

l=50;m=70; n=100

max=173.47, min=73.22 , mean=96.18

max=177.81, min=75.35 , mean=96.74

max=188.27, min=71.47 , mean=96.55

(47)

l=50;m=70; n=200

max=204.97, min=78.62 , mean=92.76

max=173.37, min=78.11 , mean=92.76

max=169.32, min=78.76 , mean=92.03

l=50;m=70; n=300

max=171.96, min=80.03 , mean=90.64

max=150.78, min=79.76 , mean=90.57

max=174.29, min=79.91 , mean=90.97

圖 4.12 Diameter 之 觀 察 表

亂 數 種 子 群 1 亂 數 種 子 群 2 亂 數 種 子 群 3 S=1000 對 角 線 Diameter (max最 大 , min最 小 , mean平 均 )

l=100;m=100;

n=30

141.42 min=104.81 , mean=164.75

min=103.08 , mean=164.29

min=106.11 , mean=165.06 l=100;m=100;

n=60

141.42 min=114.16 , mean=165.78

min=114.74 , mean=166.42

min=115.85 , mean=166.25 l=100;m=100;

n=100

141.42 min=116.66 , mean=161.03

min=123.80 , mean=162.73

min=119.30 , mean=163.44

l=100;m=100;

n=200

141.42 min=127.63 , mean=154.77

min=131.32 , mean=150.94

min=127.45 , mean=153.76

l=100;m=100;

n=300

141.42 min=129.66 , mean=151.06

min=131.32 , mean=150.94

min=130.64 , mean=151.46 l=30;m=40; n=30 50 min=36.53 ,

mean=55.91

min=34.38 , mean=55.33

min=38.66 , mean=55.41 l=30;m=40; n=60 50 min=40.87 ,

mean=55.18

min=42.16 , mean=55.69

,min=42.49 , mean=55.57 l=30;m=40;

n=100

50 min=42.44 , mean=54.01

min=42.75 , mean=54.17

min=41.36 , mean=54.03

(48)

l=30;m=40;

n=200

50 min=45.13 ,

mean=52.67,

min=45.08 , mean=52.42

min=44.31 , mean=52.24 l=30;m=40;

n=300

50 min=45.46 ,

mean=51.60

min=45.96 , mean=51.48

min=45.29 , mean=51.54 l=50;m=70; n=30 80.02 , min=64.08 ,

mean=98.12

min=66.31 , mean=97.94

min=66.58 , mean=97.79 l=50;m=70; n=60 80.02 1in=70.43 ,

mean=98.04

min=73.02 , mean=98.84

min=71.81 , mean=98.99 l=50;m=70;

n=100

80.02 min=73.22 , mean=96.18

min=75.35 , mean=96.74

min=71.47 , mean=96.55 l=50;m=70;

n=200

80.02 min=78.62 , mean=92.76

min=78.11 , mean=92.76

1in=78.76 , mean=92.03 l=50;m=70;

n=300

80.02 min=80.03 , mean=90.64

min=79.76 , mean=90.57

min=79.91 , mean=90.97

圖 4.13 Diameter 與 對 角 線 之 比 較 表

4.4.4 驗證 F. Xue[17] N0 值 之 理 論

在 本 小 節 中 我 們 將 驗 證 前 人 的 N0 理 論,主 要 驗 證 是 關 於 N0 數 目 的 探 討 F. Xue 和 P. R. Kumar [17],提 出 在 單 一 連 通 情 況 下 並 無 “magic number”,且N0 是 隨 著 n 增 加 而 做 log n 的 變 化 ,若 當N0 >5.1774 log n 時 , 則 網 路 將 趨 近 於 連 通 。

我 們 更 改 l,m 與 N 的 值 各 模 擬 次 數 S=1000 更 改 亂 數 種 子 群 3 次,

所 得 到 的 N0N0 = 5.1774 log n 相 比 較 , 請 見 圖 4.14N0 驗 證 表 。 藉

(49)

由 觀 察 圖 4.14 我 們 得 知N0 隨 著 N 的 數 目 增 加 而 增 加 ,N0 的 值 都 小 於 5.1774 log n ,因 此 我 們 可 以 驗 證 F. Xue 和 P. R. Kumar [17] 中 推 論 是 正 確 的 。

為 了 使 實 驗 更 精 確 我 們 設 計 二 個 狹 長 矩 形 , 矩 形 的 1=100, 矩 形 的 m 值 縮 小 至 10 及 20, 驗 證 在 狹 長 矩 形 中N0N0 = 5.1774 log n 相 比 較,請 見 圖 4.15 狹 長 矩 形N0 驗 證 表。結 果 同 於 上 述 實 驗 由 該 表 得 知 N0 隨 著 N 的 數 目 增 加 而 增 加,N0 的 值 都 小 於 5.1774 log n ,F. Xue 和 P. R.

Kumar [17] 中 推 論 在 狹 長 矩 形 也 是 成 立 的 。

參考文獻

相關文件

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