中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：CMOS電流模式之幾何平均電路與 伽瑪校正電路

CMOS Current-Mode Geometric-Mean Circuit and Gamma-Correction Circuit

系 所 別：電機工程學系碩士班 學號姓名：M09501062 游象斌 指導教授：林國珍 博士

中 華 民 國 九十八 年 七 月

n

摘要

本論文提出兩個 CMOS 電流模式電路，分別為幾何平均電路與伽 瑪校正電路。幾何平均電路是使用 個對數電路與一個指數電路所構 成。伽瑪校正電路是使用三個對數電路與兩個指數電路所構成。其中 對數電路與指數電路的設計是使用二次的泰勒多項式電路來近似。我 們提出的幾何平均電路可以擁有 個輸入。伽瑪校正電路的伽瑪輸入 值則可透過電流隨意變動。此外，兩個電路都擁有較大的輸入範圍，

並且使用很少的 MOS 電晶體。這兩個電路經佈局後模擬符合規格，

並通過 CIC 審查下線製作晶片。

n

關鍵字：CMOS 電流模式、幾何平均、伽瑪校正。

Abstract

In this thesis, we have proposed two CMOS current-mode circuits.

One is a geometric-mean circuit, and another is a gamma-correction circuit. The geometric-mean circuit is composed of n logarithm-circuits and one exponential-circuit. The logarithm-circuits and the exponential-circuit are designed by second-order polynomial circuits which are approximated by Taylor’s series. The proposed geometric-mean circuit has n inputs. The gamma value of the gamma-correction circuit could be varied through different input currents.

Moreover, we have large input-range and less MOS transistors in our circuit design. The two circuits have been fabricated.

Keyword:CMOS current-mode, geometric-mean, gamma-correction.

誌謝

當碩士論文寫到此頁，代表我的碩士生涯要正式落幕了，三年的 研究所時光看似漫長，實則如過眼雲煙轉瞬即逝。人生的美好不在於 延續生命的永恆不滅，而在於瞬間璀璨所散發出來的繽紛光芒，雖然 三年時間匆匆而逝，但已在我的人生之中留下許多不可磨滅的奪目光 采。

首先要感謝在這三年裡無論在研究或生活上給予我莫大指導的 恩師 林國珍老師，吾以為學如逆水行舟，而老師則像是裝在舟上的 電動馬達，帶我一路勇往直前奮力不倦，不僅於課業上給予指導，更 教曉我做人做事的態度，如今輕舟已過萬重山，老師對我的照顧及付 出，點滴在心，無限感激！另外，要感謝系上老師謝謝曜式主任、宋 志雲老師、許騰仁老師、賴瓊惠老師在課業上的指導，還有感謝口試 委員辛錫進教授、蕭勝夫教授、陳竹一教授及宋志雲教授所提供的不 少意見及指導，俾使論文得以更加完善。

另一方面要感謝實驗室的所有同學(維瑩、瑞仁、小夫、小藍、倚 朋、羊咩、淳淳、柯老大)以及從大學就一起打拼的大學同學(阿傑、

傑克、小林、叔叔)，還有系上助理永遠十八歲的林美惠小姐，不管

能夠完成碩士學位，最重要的還是我的母親，提供我如此好的環 境使我可以專心讀書，雖然嘴巴上不說，但是我懂得媽媽的苦心。以 及兩位姐姐及兩位姊夫一直給我不斷的關懷、鼓勵以及試時的幫助讓 我有信心繼續完成我的學業。當然還有在最後一年裡一直陪伴著我鼓 勵著我的女朋友一千。

最後，要感謝的人實在太多無奈篇幅太少，在這說長不長說短不 短的三年裡，所遇到的事情太多，有幫助過我的人更多，如有被遺忘 的朋友在此亦一併感謝，感謝大家於這三年來對我的照顧。有些人的 碩士生涯過的如黑白像片般愁雲慘淡，但我的碩士生涯用資訊豐富的 高光譜影像來描述亦不為過，在此也祝福所有還在學的朋友們都能夠 在求學的路上綻放出各式各樣的光芒！

游象斌 九十八 年 七 月

目錄

摘要...I Abstract...II 誌謝...III 目錄...V 圖目錄...VII 表目錄...XI

第一章 緒論...1

1-1 簡介...1

1-2 相關研究發展與研究動機...2

1-2.1 幾何平均電路...2

1-2.2 伽瑪校正電路...3

1-3 論文架構...7

第二章 基本電路的架構與原理...8

2-1 平方電路...8

2-2 對數電路...10

2-3 指數電路...12

3-1.2 電路原理...16

3-2 伽瑪校正電路...20

3-2.1 電路架構...20

3-2.2 電路原理...22

第四章 電路設計與模擬...27

4-1 幾何平均電路設計與模擬……….28

4-1.1 兩個輸入的幾何平均電路...28

4-1.2 三個輸入的幾何平均電路...35

4-1.3 四個輸入的幾何平均電路...41

4-1.4 五個輸入的幾何平均電路...47

4-1.5 頻寬模擬...53

4-2 伽瑪校正電路設計與模擬...54

第五章 電路佈局...66

5-1 幾何平均電路...66

5-2 伽瑪校正電路...70

第六章 結論...75

參考文獻...76

n n

圖目錄

第一章

圖 1.1 顯示系統之訊號流程說明...3

圖 1.2 影像訊號增強曲線示意圖...4

圖 1.3 非線性 DAC 之伽瑪校正...5

圖 1.4 線性 DAC 之伽瑪校正...5

第二章 圖2.1 平方電路...8

圖2.2 平方電路...10

圖2.3對數電路...11

圖2.4指數電路...13

第三章 圖 3.1 幾何平均電路架構圖...16

圖 3.2 個輸入的幾何平均電路...17

圖 3.3 個輸入的幾何平均電路...18

圖 3.4 伽瑪校正...21

圖 3.5 伽瑪校正架構圖...21

第四章

圖 4.1 兩個輸入的幾何平均電路...30

圖 4.2 兩個輸入的幾何平均電路輸出與理想值比較圖...33

圖 4.3 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差...34

圖 4.4 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差...35

圖 4.5 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差極大與極小值...36

圖 4.6 三個輸入的幾何平均電路...37

圖 4.7 三個輸入的幾何平均電路輸出與理想值比較圖...39

圖 4.8 三個輸入的幾何平均電路相對誤差...40

圖 4.9 三個輸入的幾何平均電路相對誤差...41

圖 4.10 三個輸入的幾何平均電路相對誤差極大與極小值...42

圖 4.11 四個輸入的幾何平均電路...43

圖 4.12 四個輸入的幾何平均電路輸出與理想值比較圖...45

圖 4.13 四個輸入的幾何平均電路相對誤差...46

圖 4.14 四個輸入的幾何平均電路相對誤差...47

圖 4.15 三個輸入的幾何平均電路相對誤差極大與極小值...48

圖 4.16 五個輸入的幾何平均電路...49

圖 4.17 五個輸入的幾何平均電路輸出與理想值比較圖...51

圖 4.18 五個輸入的幾何平均電路相對誤差...51

圖 4.19 五個輸入的幾何平均電路相對誤差...53

圖 4.20 五個輸入的幾何平均電路相對誤差極大與極小值...54

圖 4.21 幾何平均電路頻寬...55

圖 4.22 伽瑪校正電路...56

圖 4.23 γ = 2時伽瑪電路輸出與理想值比較圖...60

圖 4.24 γ = 2時的相對誤差...60

圖 4.25 γ =3時伽瑪電路輸出與理想值比較圖...61

圖 4.26 γ =3時的相對誤差...61

圖 4.27 γ = 2時修正後的伽瑪電路輸出與理想值比較圖...63

圖 4.28 γ = 2時的相對誤差...63

圖 4.29 γ =3時修正後的伽瑪電路輸出與理想值比較圖...64

圖 4.30 γ =3時的相對誤差...64

圖 4.31 γ =3.5時修正後的伽瑪電路輸出與理想值比較圖...65

圖 4.32 γ =3.5時的相對誤差...65

圖 4.33 沒有修正的伽瑪校正電路的頻寬...66

圖 4.34 修正過後的伽瑪校正電路頻寬...67 第五章

圖 5.3 三個輸入的幾何平均電路後佈局模擬比較圖...70

圖 5.4 三個輸入的幾何平均電路後佈局模擬之相對誤差...71

圖 5.5 幾何平均電路製程變異模擬...72

圖 5.6 幾何平均電路電壓變異模擬...73

圖 5.7 伽瑪校正電路核心佈局圖...74

圖5.8 伽瑪校正電路下線晶片佈局圖...75

圖 5.9 γ = 2伽瑪校正電路後佈局模擬比較圖...76

圖 5.10 γ = 2伽瑪校正電路後佈局模擬之相對誤差...77

圖 5.11 γ =3.5伽瑪校正電路後佈局模擬比較圖...78

圖 5.12 γ =3.5伽瑪校正電路後佈局模擬之相對誤差...79

圖 5.13 伽瑪校正電路製程變異模擬...80

圖 5.14 伽瑪校正電路電壓變異模擬...81

表目錄

第四章

表4.1 兩個輸入的幾何平均電路長寬比...32

表4.2 三個輸入的幾何平均電路長寬比...38

表4.3 四個輸入的幾何平均電路長寬比...44

表4.4 五個輸入的幾何平均電路長寬比...50

表 4.5 幾何平均電路頻寬...55

表 4.6 伽瑪校正電路長寬比...58

表 4.7 伽瑪校正電路修正過後的長寬比...62

第一章 緒論

1-1 簡介

在最近幾十年來，類比積體電路的設計已快速的被CMOS

( Complementary Metal-Oxide-Semiconductor 互補金屬氧化物半導體 ) 製程技術所涵蓋，CMOS 製程技術所提供低成本與高效能已成為市場 的主流，對於今日複雜的混合訊號系統的積體化與近年來興起的SOC ( System On Chip ) 的概念來說，只有 CMOS 製程是可行的選擇，而 且根據製程技術的精進，CMOS 的製程技術仍可繼續滿足未來十幾年 電路設計的需求。

本論文所提出的電路設計是使用CMOS 的製程技術，在電流模式 下，類比電路的應用設計。利用二階的泰勒展開式來近似對數函數及 指數函數，因為二階的關係，可使用一個平方電路來近似對數電路與 指數電路。利用壓縮與解壓縮運算的特性，在壓縮的對數領域

(Log-Domain)中，進行幾何平均與伽瑪校正的應用。

1-2 相關研究發展現況與研究動機 1-2.1 幾何平均電路

幾何平均是求一組數值平均數方法中的一種。其計算公式為

n n

i

xi

G

∏

=

=

1

(1.1)

幾何平均廣泛的應用在模糊控制(Fuzzy Controller) [1]，模糊類神 經網路(Fuzzy Neural Network) [2] [3]，和相似度測量[4]，在[5]至[7]

中，所提出的是使用二次轉導線性(Quadratic-Translinear)原理在電流 模式的幾何平均電路，[8]使用切換電流(Swiched-Current)技術的幾何 平均電路。然而，這些所提出的電路頂多只有兩個輸入，也就是

時的幾何平均電路， 個輸入的幾何平均電路在 時很難以被實

現，所以我們設計的主要目的為設計出 的幾何平均電路。

=2 n

n n>2

>2 n

一般幾何平均電路都只有兩個輸入或是使用BJT的電路，本論文 研究的動機是設計一個在電流模式之下CMOS幾何平均電路，而且可 以具有 n 個輸入。設計兩個輸入時只需要9個MOS，而三個輸入時只 12個MOS的最精簡電路，使得輸出時的誤差在可容許的百分之三誤 差範圍內。

1-2.2 伽瑪校正電路

伽瑪校正這個名詞起源於 CRT 之電子鎗的非線性反應。 CRT 之亮度 (Luminance) 與輸入電壓呈非線性的關係。 假設亮度為 L，

輸入電壓為 V，則有以下的關係：

Vγ

L= I (1.2) 為了補償這種非線性的現象，在輸入訊號的部份實施伽瑪校正，讓顯 示出來的亮度能與輸入訊號呈線性的關係[9]。圖 1.1 為一典型的顯示 系統之訊號流程說明。

圖1.1 顯示系統之訊號流程說明

一般而言，伽瑪值常設為1/0.45。在[9]中，包括 ITU Rec. 709 的規格設定都是如此。隨著高科技的進展，現代的顯示裝置如液晶顯 示器(LCD)和電槳(PDP)等，雖然都有很好的線性反應[10]，不需要做 校正。但是對於來源影像不明時，一般採用的方式是使用線性影像加 強[11]，使得影像暗的部份可以變亮，但是原來亮的部份則呈現飽和 現象，也就是說較亮的部份與很亮的部份都變成一樣的最亮，反而讓 原來亮的部份的影像無法辨識。圖1.2 為影像訊號增強的曲線示意圖。

圖1.2 影像訊號增強曲線示意圖

圖1.2(a)為一般無增強的線性關係曲線，圖 1.2(b)為標準線性增強 的關係曲線，很顯然得會造成影像無法辨識的過亮現象。圖 1.2(c)為 伽瑪校正的增強，可以讓暗的部份變亮，讓亮的部份也不至於變得太 亮。因此，伽瑪校正可以應用在任何的顯示裝置上。

近年來薄膜液晶顯示器(TFT LCD)蓬勃的發展，已成為顯示器市 場的主流。在亮度的校正上也是基於伽瑪校正原理。一般的技術是使 用數位類比轉換器(DAC)來實現伽瑪校正。在[12][13]中，伽瑪校正 是使用非線性的DAC 架構(圖 1.3)，必須使用非常多且不同阻值的電 阻來完成，這樣將會佔據龐大的晶片面積。除此之外，非線性 DAC 使用區段線性的方式來模擬伽瑪曲線，精確度較差。在[14]中，作者 使用線性DAC 的架構(圖 1.4)，能有效的減低電阻的使用。然而，不

積的影響以及無法有效製作 SOC 的應用。在[15]中，作者使用最小 二乘法來分段模擬伽瑪曲線，取代DAC 的使用，其誤差值在兩個位 元內，而面積還是很大。

圖1.3 非線性 DAC 之伽瑪校正

圖1.4 線性 DAC 之伽瑪校正

由於不同種類的顯示器，會有不同的伽瑪值作校正。因此，我們 也要對不同的伽瑪值做設計，而最好的方式就是設計可調整伽瑪值的 伽瑪校正器。

本研究採用類比的方式，減低了對數位部份的依賴，在只有 CMOS 的電晶體架構，完全沒有採用任何被動元件下，我們提出適 合於SOC 應用具有可調整伽瑪值的伽瑪校正器。由於使用電流模

式，可以讓操作範圍比電壓模式大。在[16]中，作者提出類似的伽瑪 校正器，且具有 40MHz 的頻寬，可應用在 HDTV 上，為本研究重要 的參考資料來源。然而，在[16]中使用的是 BJT 的電晶體，對於 SOC 的應用及現代的製程來說並不適合。而且作者使用平方根電路及三次 方根電路做基礎，使用內插的方式來求得伽瑪值，其值介於1 至 32 1 之間，電路有點複雜，並含有電阻在內。如果應用上必須使用伽瑪值 大於1 或小於 32 1 ，那麼電路就相當難於實現。而且這種內插求得之 伽瑪值，某種程度上是與實際的伽瑪曲線不符，有一些誤差存在。因 此，我們設計出直接控制電流大小，來調整伽瑪值的機制。

1-3 論文架構

本論文主要分為五個章節。第二章是介紹基本電路的架構與原 理，介紹基本的平方電路、對數電路與指數電路的架構與原理。第三 章是介紹電路的架構與原理，分別介紹幾何平均電路與伽瑪校正電路 的架構與原理。第四章是介紹電路的設計與模擬，主要也是分為幾何 平均電路與伽瑪校正電路兩個電路來探討，利用第三章所介紹的電路 架構與原理，做電路的實現與模擬，模擬是使用Hspice 軟體，所使 用的電路元件模型則是由國家晶片系統設計中心(CIC)所提供的台積 電(TSMC) 0.35μm 的製程技術來進行模擬，並使用 MATLAB 的 Hspice ToolBox 工具，將 Hspice 電路的模擬結果萃取出來，並拿到 MATLAB 上做繪圖與比較。第五章則是介紹電路的佈局、Pre-layout simulation 和Post-layout simulation。第六章則是結論，說明本篇論文的結果與 未來之發展。

第二章 基本電路的架構與原理

2-1 平方電路

M1

M2 Ix

Vc

I1

I2

圖2.1 平方電路

假設圖2.1中所有電晶體皆工作在飽和區，當輸入電流 電流方向 為流入時(如圖示)， 被分割成 及 兩電流，分別經過M1和M2兩 顆電晶體，像這樣M1和M2一個接一個的電路架構來自於文獻[17]，

在這裡我們假設M1與M2兩個電晶體的

Ix

Ix I₁ I₂

K 值完全匹配，即

n其中

p K

K

K = =

L c W K_p μ_{p ox}

2

= 1 ，

L c W K_n μ_{n ox}

2

= 1 ，因此可以從飽和

區的電壓電流關係得到

( )

1 K VDD Vc Vtp

I = − − (2.1)

( )

2 K Vc Vtn

I = − (2.2)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ^{( )} ( ) )

(

)(

)

tp c DD tn

c tp c DD tn

c

tp c DD tn

c

tp c DD tn

c x

V V V V

V V V K

V V V V V V V V V V K

V V V V

V K

V V V K V

V K

I I I

− + +

−

−

=

−

−

−

−

−

− +

−

=

−

−

−

−

=

−

−

−

−

=

−

=

2

2 2 2 2 1 2

(2.3) 我們將(2.3)式改寫成

( ) ( )

(

)

tn x tp DD c

tn tp DD

x tn

tp c DD

V V V K V I

V V V

V V V

K V I

V V V

− + −

+

= −

−

= −

− + +

2 2 2

(2.4) 將(2.4)式代入(2.1)式與(2.2)式得到

( )

2

1 2 2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

− −

−

= −

tn tp DD tn x

tp DD

V V V

K V I

V K V

I (2.5)

( )

2

2 2 2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− + −

−

= −

tn tp DD tn x

tp DD

V V V

K V I

V K V

I (2.6)

假設 ⁰ 2

tn tp

DD V V

V V − −

= ，我們將(2.5)與(2.6)兩式改寫成

2 2 2

0 1

4 0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= KV

KV I

I ^x (2.7)

2 2 2

0 2

4 0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

= KV

KV I

I ^x (2.8) 如果當輸入電流 電流方向為流出如下圖I_x 2.2。

M1

M2 Ix

Vc

I1

I2

圖2.2 平方電路

此時的 與I₁ I₂分別為

2 2 2

0 1

4 0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

= KV

KV I

I ^x (2.9)

2 2 2

0 2

4 0

1 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= KV

KV I

I ^x (2.10)

2-2 對數電路

考慮到電路的複雜性跟準確性，我們使用二階的泰勒多項式來展 開自然對數函數，使用二階的泰勒多項式對ln(x)展開於x =a₀，且

>0

x 與a₀ >0，可得

( ) ( )

(

0 0

0

0 2

1 ln 1

)

ln( x a

a a a x

a

x ≈ + − − −

)

( )

( )

2 1 1 2

ln ₀

2

0

+

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

≈ x a

x a (2.12) 我們將圖2.1與圖2.2的平方電路稍做修改並個別加入一個定電流 源I_b，可以的到圖2.3的對數電路。

M1

M2

M3

(a)

M1

M2 M3

)

0ln(x

I I_x I₀ln(x)

Ix

Ib

Ib

I1

I1

I2

I2 I3

I3

2 : 1

2 : 1

(b) 圖2.3對數電路

由圖2.3假設對數電路輸出的電流為I ln₀

( )

Ix

( )

I₀ln = − ₃ + ， 從 做兩倍的電流 鏡而得來，由(2.7)式我們可以得到

I3 I₁

( )

x I

KV KV I

x

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

2

2 0 2

0

0ln 2 1 4 (2.13) 比較(2.13)式與(2.12)式，我們分別可以得到

2 0

0 KV

I = (2.14)

( )

(

)

0 +

= I a

I_b (2.15)

( )

0I 2I

a

x = _x (2.16) 當輸入電流 電流方向為流出時，如圖2.3(b)中，

， 從 做兩倍的電流鏡而得來，由(2.10)式可得 Ix

( )

I₀ln = − ₃ + I₃ I₂

( )

x I

KV KV I

x

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

2

2 0 2

0

0ln 2 1 4 (2.17) 在這裡(2.13)式與(2.17)式完全相同的，因此我們可因應輸入電流 的方向，可以選擇適合的對數電路。

2-3 指數電路

同樣的我們使用二階的泰勒多項式對exp

( )

b0

( ) ( ) ( )( )

( )(

) ( )(

)

0 0

0

2exp exp 1

exp exp

exp

b x b b

x b

b x b b

x

− +

− +

− +

≈

(2.18)

將(2.18)式改寫成

( ) ( )( ) ( )

2 exp 1 1

2 1

exp exp ⁰

2

0 2

0

0 b

b b x

x b ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

≈ (2.19)

同樣的將圖2.1與圖2.2的平方電路稍做修改並個別加入一個定電 流源I_v，可以的到圖2.4的指數電路

M4

M5 M4

M5

M6

M6 (b)

(a)

) exp(x I_u

) exp(x I_u Iin

Iin ^v

I

Iv

I6

I4

I4

I5

I5

I6

1 : 1 1

: 1

4

圖2.4指數電路

當輸入電流I_in方向為流出時，如圖2.4(a)，其中 電流如(2.9)式為 I

2

2 0 2

0

4 ' 1 4 ' ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= K V

V I K

I ⁱⁿ (2.20)

先假設指數電路輸出的電流為I_uexp(x)，在圖2.4(a)中， 是由I₆ I₄

做一比一的電流鏡得來，從(2.20)式，我們可得到

( )

in

u I

V K V I

K x

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

2

2 0 2

0 1 4 '

'

exp (2.21)

比較(2.19)式和(2.21)式，我們可以得到

( )( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= ⁰ ₀ ²

2

0 1

2

' exp b b

I V

K _u (2.22)

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 exp b₀ I

I_{v u} (2.23)

另外K'V₀²也等於

( )

x I V b

K ⁱⁿ

4

' ₀² = 1− ⁰ (2.24)

另外當輸入電流I_in方向為流入時，如圖2.4(b)中 電流如(2.8)式為 I5 2

2 0 2

0

5 ' 1 4 ' ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= K V

V I K

I ⁱⁿ (2.25)

(

一樣假設指數電路輸出的電流為I_uexp x

)

5

，在圖2.4(b)中， 是由 做一比一的電流鏡得來，從(2. 25)式我們可得到

I6

I

( )

in

u I

V K V I

K x

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

2

2 0 2

0 1 4 '

'

exp (2.26)

(2.21)式與(2.26)式完全相同，同樣的我們可以因應輸入電流的方 向不同，來選擇需要的指數電路來搭配使用。

第三章 電路架構與原理

3-1 幾何平均電路 3-1.1 電路架構

幾何平均是求一組數值平均數方法中的一種，計算公式如式 (1.1)，另外也可以表示為

( ) ( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

∏ ∑ ∑

∏

n

i

i n

i

n i n n

i n i

n

i

i x

x n x

x

1 1

1 1

1 1

1ln exp ln

exp (3.1)

如(3.1)式，先假設我們有 個輸入，所以我們必須使用 個對數 電路壓縮其 個輸入，經過壓縮之後便是在Log-Domain 上做運算，

因為有 n 個輸入，所以將其每個輸出都乘上

n n

n

n

1，之後再將其輸出加總

可得

∑ ( )

= n

i

xi

n

1

1ln

，將其輸出總合

∑ ( )

= n

i

xi

n

1

1ln

使用一個指數電路做解壓縮 的運算動作，剛剛在Log-Domain 的乘以

n

1倍的運算經過指數電路的

解壓縮動作之後，會變成開 次方根的運算，其運算結果如(3.1)式所 示，依照此架構我們提出幾何平均的電路架構圖如圖3.1。

n

對數電路

指數電路 x1

output +

·

·

·

n 對數電路

x

1n

1n

·

·

·

·

·

·

圖 3.1 幾何平均電路架構圖

3-1.2 電路原理

我們將圖3.1 中的對數電路方塊使用圖 2.3(a)的對數電路取代，由 於我們每個對數電路的輸出都乘上 n1 ，所以我們將圖 2.3(a)中 的 長寬比改成

2 : 1

2 n :

1 ，最後將其輸出接上圖2.4(a)的指數電路，其電路 圖如下圖所示。

M1

M2

M3

n x I₀ln( ₁)

x1

I

n I_b I1

I2

I3

M1

M2

M3

n x I₀ln( _n) Ixn

n I_b I1

I2

I3

M4

M5

M6

Iout

Iin I^g

I4

I5

I6

·

·

·

2 n : 1

1 : 1

2 n : 1

·

·

·

圖3.2 個輸入的幾何平均電路 n

圖3.2 中 對數電路的輸入，總共有 個n n I_b n，可以將它們合併成 一個定電流源I_b，因此我們可將圖3.2 改成圖 3.3。

M1

M2

M3

x1

I

I1

I2

I3

M1

M2

M3 Ixn

Ib

I1

I2

I3

M4

M5

M6

Iout

Iin I^g

I4

I5

I6

·

·

·

2 n : 1

2 n : 1

1 : 1

·

·

·

圖3.3 個輸入的幾何平均電路 n

在這裡設定我們的輸入電流I_xi，輸出電流I_out假設為

n n

i i s

out I x

I

1

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∏

=

(3.2)

其中 為偏壓電流，接著將(2.12)式改寫成 I_s

( )

( )

2 1 1 2

ln ₀

2

0

+

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

≈ x a

x_i a _i (3.3) 比較(2.13)式與(3.3)式，我們分別可以得到

( )

0I 2I

a

x = _x (3.6) 將(2.19)式改寫成

( ) ( )( ) ( )

2 exp 1

1 ' 2 1

' exp

exp ⁰

2

0 2

0

0 b

b b x

x b ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

≈ (3.7)

參考圖3.1，假設x'為指數電數的輸入

∑ ( )

=

= ⁿ

i

xi

x n

1

1ln

' (3.8) 將(3.3)式代入(3.8)式中可得

∑ ( )

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠ + +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

≈ ⁿ

i

i a

a x x n

1 0

2

0

5 . 0 2 ln

1 1 1 2

' (3.9)

由(3.1)式，(3.7)式與(3.8)式，可以得到一個近似有 個輸入的幾 何平均，如下式

n

( ) ( ) ( )

2 exp 1

1 ' 2 1

exp ² ₀

0 2

0 0

1

1

b b

b x x b

n n

i

i ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

⎟ ≈

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∏

=

(3.10)

如圖 3.2 中所示，每個對數電路的輸出電流皆除以 ，而指數電 路的輸入電流 集合了所有 n 個對數電路的輸出電流

n

Iin

∑ ( )

=

= ⁿ

i

in x

I n I

0 1 1ln

(3.11) 圖3.2 中的I_out輸出電流為

g in

out I

V K V I

K

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

2

2 0 2

0 1 4 '

' (3.12)

將(3.2)式代入(3.9)式，可得到

g in

n n

i i

s I

V K V I

K x

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∏

=

2

2 0 2

0 1

1 ' 1 4 ' (3.13)

比較(3.13)式與(3.10)式，可以求得

( )( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= ⁰ ₀ ²

2

0 1

2

' exp b b

I V

K _s (3.14)

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 exp b₀ I

I_{g s} (3.15)

另外K'V₀²也等於

( )

' 4 ' ₀² 1 ⁰

x I V b

K − ⁱⁿ

= (3.16) 另外由(3.9)式與(3.12)式，可得

( )

4 ' ₀² I⁰ 1 b⁰

V

K = − (3.17)

(

) ( )

2 b b

I_s I

= − (3.18)

3-2 伽瑪校正電路 3-2.1 電路架構

伽瑪校正器 x

γ

γ

x

圖3.4 伽瑪校正

如圖 3.4 所示，輸入訊號 x 與要校正的γ值，經過一個伽瑪校正 器，輸出訊號為x^1γ，這就是所謂的伽瑪校正。在這裡我們要設計的 是電流模式的伽瑪校正，設計流程如下圖

對數電路

對數電路 指數電路 指數電路

對數電路 x

γ

output

−

圖 3.5 伽瑪校正架構圖

如圖 3.5 所示，當我們輸入為 x 時，經過兩個對數電路取兩次對 數可得到ln

(

( )

)

( )

( ) ( ) ( )

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

− γ γ^x

x ln

ln ln

ln

ln (3.19)

也可以改寫成

( ) ( ( )

γ

ln 1

ln ln

ln x ⎟= x

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

)

( )

( )

( )

(

)

γ 1

1 exp exp ln ln x

x = (3.21) (3.21)式這樣的結果即為我們所想要達到的伽瑪校正。

3-2.2 電路原理

依據圖3.5 的架構我們來設計伽瑪校正的電路，如下圖

I^?

對數電路 對數電路

對數電路

指數電路 指數電路

Ix

1

Ib

3

Ib

2

Ib

2

Iv

1

Iv

Iout 4

Io 3

Io

1

Io I_o2 I_in

2 : 1

2 : 1

2 : 1

1 : 1

1 : 1

圖3.6 伽瑪校正電路

首先我們使用圖2.3(a)的對數電路當第一級的對數電路，第一級 對數電路輸出 其方向為如圖3.6 所示，所以第二級的對數電路我們 是使用圖2.3(b)的對數電路，如圖 3.6 其輸出為 ，接著我們利用輸 出電流方向的不同做出電流相減的效果，所以

1

Io

2

Io

γ 所經過的對數電路我

們是採用圖2.3(a)之電路，如圖 3.6 其輸出為 。在(3.19)式中，我們 要做

3

Io

( )

(

)

( )

ln x − 的運算。第一級的指數電路的輸入電流 其方向 為流入，所以我們第一級的指數電路使用圖2.4(b)的指數電路，根據

Iin

第一級的指數電路的輸出電流 ，其電流方向如圖3.6 所示，所以第 二級的對數電路，我們選用圖2.4(a)的對數電路。

4

Io

從(2.16)式，首先假設我們的輸入電流 為 I_x

x a I

I_x = ₀×

0

2 (3.22)

輸入γ值電流I_γ為

γ = ₁×γ

1

2 I

I a (3.23) 假設輸出電流I_out為

γ

x1

I

I_out = _w× (3.24) 其中 ₀、 與₁ 皆為偏壓電流。

0

I I I_w

假設a = 2，將(3.22)式代入(2.13)式中，可得到

1 2

2 0 1 2

0 1 0

0

1 ln ^x 2 1 4 ^x _b

o I

V K V I

I K I I

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ (3.25)

1

I 為第二級對數電路的輸入，從(2.16)式得 o

x a I

I_o = ₁×

1 1

2 (3.26)

假設a₁ = 2，將(3.26)式代入(2.13)式可得 I 2

I ⎛ ⎞ +

−

−

⎞=

= ⎛

( )

0 2 2

0 2 1

1 1

3 ln ln 2 1 4 _b

o I

V K V I

I K I I

I

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= γ ^{γ γ} (3.28)

因為我們要將 與 做減法運算，在這裡我們使用同樣的偏壓

電流 ，參考(2.13)式所以我們(3.27)式與(3.28)式中所使用的 值也 是相同。

2

Io I_o3

I1 K₂

如圖3.6 所示

3

2 o

o

in I I

I = − (3.29) 將(3.27)式與(3.28)式代入(3.29)式可得

( )

ln ₁

1 1

1 I

I I I

I_in ^o ⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1

(3.30)

將I_o 由(3.25)式代入(3.30)式可得

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= ×

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠−

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

γ

γ

γ γ

1 1 0 1

1 0 1

1 0 1

1 1

0 1

ln ln

ln ln

ln ln

ln

ln ln

ln

I x I I

I x I I

I x I I

I I x

I I I_in

(3.31) 由(2.21)式可得到

( )

0 3 2

0 3

4 _u exp ' 1 4 ⁱⁿ _v

o I

V K V I

K x I

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

= (3.32)

由於電路設計上的需要我們要設定

2

1 2I

I = (3.33)

這時假設x'為

2

1 2

' I

I I

x = Iⁱⁿ = ⁱⁿ (3.34)

比較(2.19)式、(3.32)式與(3.34)式，我們可以得到

( )

4 ' ₀^{2 1} 1 ⁰

3

b V I

K −

= (3.35)

( ) (

(

))

I_u I

= − (3.36) 與

( )

2 exp ₀

1

I b I_v = _u

4

(3.37) 將(3.34)式代入(3.32)式，I_o 可改寫成

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2

4 exp 2

I I I

I_{o u} ⁱⁿ (3.38)

將(3.31)式代入(3.38)式可得

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ^1γ

1 0 2 1

4 ln ln

exp 2 x

I I I

I I

I_{o u} (3.39)

2

1 2I

I = ，所以(3.39)式可以改寫成 由於電路的設計上要使

( ) ( )

γ

1 1 0

1 1 0 1 1 4

ln ln exp

ln ln exp exp

I x I I

I x I I I I

I I

u

u u

o

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

( )

0 4 2 4

0

4 1 4

''

exp ^o _v

w

out I

V K V I

K x

I

I ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

= (3.41)

假設這時的x ''為

3 4

'' 4 I

x = I^o (3.42)

比較(2.19)式、(3.41)式與(3.42)式，我們可以得到

( )

4 1 ' ₀² 4 ⁰

4

b V I

K ^u −

= (3.43)

( ) (

(

))

4

b b

I_w I^u

= − (3.44) 與

( )

2 exp ₀

2

I b

I_v = _w (3.45) 將(3.38)式與(3.40)式代入(3.39)式，可得

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ×

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

γ 1 1 0 3 3 4

4 ln exp exp 4

I x I I I I

I I I

I

u w

o w

out

(3.46)

假設 1

4 ₁

0 3

=

×I I I I_u

，可得

( )

( )

γ γ 1

ln 1

exp x I

x I

I

w w out

×

=

=

(3.47) (3.47)式即為我們一開始假設的(3.24)式，也就是我們所設計的伽 瑪校正電路的輸出。

0 1 2 3

其中我們所使用的偏壓電流I 、 、I I 與 與分別為I

2 0 1

0 KV

I = (3.46)

2 0 2

1 K V

I = (3.47)

2 0 3

2 K V

I = (3.48)

2 0 4

3 K V

I = (3.49)

第四章 電路設計與模擬

本篇論文的電路設計與模擬是使用Hspice，所使用的電路元件模 型則是由國家晶片系統設計中心(CIC)所提供的台積電(TSMC)

0.35μm的製程技術來進行模擬，並使用 MATLAB的 Hspice ToolBox 工具，將Hspice電路的模擬結果萃取出來，在MATLAB 上做繪圖與 比較。

4-1 幾何平均電路設計與模擬

圖3.2 為 個輸入的幾何平均電路，在這裡我們分別取 來模擬，電路之VDD=2.5V。

n n=2,3,4,5

4-1.1 兩個輸入的幾何平均電路

當n=2時，圖 3.3電路圖改為

M3 M1

M2

1

Ix

I1

I2

I3

M1

M2

M3

2

I

I

I1

I2

I3

M4

M5

M6

Iout

Iin I^g

I4

I5

I6

1 : 1

1 : 1

1 : 1

圖 4.1 兩個輸入的幾何平均電路

1

Ix

由於我們設定兩個輸入 與 輸入範圍相同，所以所用到的兩個對

數電路的長寬比皆相同，與圖3.3 不同的地方為M1與 M3長寬比的 比例。在章節3-1.2幾何平均電路原理中提到，當我們的輸入有兩個 的時候，也就是 時，這時候M1與M3 的長寬比的比例如圖4.1

所示為 。

2

Ix

=2 n 1

: 1

首先由(2.10)式與(2.11)式我們使用二階的泰勒多項式對ln(x)展 開於x=0.5時，也就是a₀ =0.5，可分別改寫成

( ) ( ) (

5 . 0 2 5 1 . 5 0

. 0 5 1 . 0 ln )

ln( −

)

− ×

− +

≈ x x

x (4.1)

( ) ( )

(

)

( )

5 . 0 5 . 0 5 ln

. 0 2 1 1 2 ln

2

2

+ +

−

−

≈

+

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− ×

−

≈

x

x

x

(4.2) 我們先假設輸入 與 的輸入範圍為35μA 至95μA，另外設定 偏壓電流 為29.421μA，由(3.4)式

1

Ix I_x2

I0 I₀ = KV₀²，並由章節2-1所提到的 M1與 M2兩個電晶體的K 值必須完全匹配，也就是 。因 此。在這些條件下我們可以設計出M1 與M2兩個電晶體的長寬比。

另外由(3.6)式可以求得

n

p K

K

K = =

x 的輸入範圍約為 0.3至0.81，由(3.5)式可求 得I_b電流大約為−5.68μA。

同樣的我們使用二階的泰勒多項式對^{exp x 於}

( )

已知 的情況下由(3.18)式可求得 約為 μA，由(3.15)式可求得 電流約為 μA，並且由(3.14)式可求出指數電路的

b0 I_s 16.17

Ig 4.9 K'值並可決定

M4與M5兩個電晶體的長寬比。

另外在模擬時發現，如果我們按照比例來設計電流鏡的長寬比 時，並無法複製我們所設計時想要達到的電流大小，為了要達到我們 設計時所需達到的電流大小，我們將M3與M6兩個電晶體的長寬比稍 做修正，如圖4.1中所示。原來M1與M3的長寬比應為一比一，M4與 M6的長寬比也應為一比一，我們在此將M3與M6的長寬比稍做修 正，修正後電晶體長寬比如下表

表4.1 兩個輸入的幾何平均電路長寬比 電晶體 長寬比 (W/L) (μm/μm)

M1 2.7/1 M2 1.3/1 M3 2.4/1 M4 1/1 M5 0.8/2 M6 1.1/1

當我們先固定輸入電流 為50μA時， 的輸入範圍為35μA 至 95μA時，電路的輸出 值如圖4.2中的Circuit Iout值所示，圖中Ideal Geometric-Mean 是由(3.3)式與(3.6)式所得，且

2

Ix I_x1

Iout

5 .

0 =0

a ，因此理想幾

何平均的輸出為

( )

(

)

0

2 1

0 2 0 1

2 1 2 1 _

4

4 4

x x s

x x s s ideal out

I I I

I

I I I I I

x x I I

×

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ×

=

×

=

(4.3)

圖4.2 兩個輸入的幾何平均電路輸出與理想值比較圖

電路輸出的值I_out與理想值的相對誤差如圖4.3。

圖 4.3 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差

2

如圖 4.3中所示，在 的輸入範圍為35μA 至95μA 時，相對誤 差都在3%以內。同樣地當 的輸入範圍為35μA 至95μA 時，輸入 電流 從 35μA至 95μA每隔 12μA取一次，並與理想的幾何平均與 理想值做相對誤差圖，也就是當輸入電流 分別為35μA、47μA、 59μA、71μA、83μA與 95μA時，與理想的幾何平均做相對誤差圖，

其結果如圖4.4。

1

Ix

1

Ix

2

Ix

Ix

圖 4.4 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差

經過模擬與實驗後發現，當輸入電流 2分別為 45μA與77μA 時，

會出現相對誤差的極小值與極大值，如圖4.5 所示，但是也都在相對 誤差3%的範圍以內。

Ix

圖4.5 兩個輸入的幾何平均電路相對誤差極大與極小值