3-1 以符號列式

3-1 以符號列式

3-1 是以符號列式，這的確是學生從小學到初中最重要的一個轉變，

他們要學會用符號來列式子，而用符號列式子在第一章就已經開始，從 1-1 的標題「以符號代表數與指數率」便可看出。那「以符號代表數」是什麼 呢？譬如說 (a+b)(a−b)=a² −b²，結合率寫成 (a+b)+c=a+(b+c)這裡 的

a

、

b

、

c

並非代表變數或未知數，而是代表任意數，而在這一節裡一個 實際的應用就是用符號來代表數 ，譬如說 ，這個 代表任意的一個 正數； 、 代表自然數，這裡的 、

n

也是代表 任何大於零的正整 數。翻回 12 頁，這裡說 就是一個以符號代表數的應用。這 裡用符號所表示的數，並不是唯一的數字，而是無限多種可能的任意數。

> 0

a a

m n m

) (m n n

m a a

a × = ⁺

這可能是從小學到初中的第一個衝擊，在小學時可能用甲、乙、□或( ) 來代表某個未知數，而國中就要習慣用

x

、 、y z。那為何小學不大大方方 的用

x

、 、y z呢？那是因為教育學者覺得小學生比較不適用這樣的方式，

所以到了國中就忽然這樣做了。因此在第一章第一節就已經開始，這邊第 三章第一節又再重來一遍。『以符號列式』看起來好像是以符號代表數的 形式重來，但精神卻不大一樣，例如 1-1 所提到的 ， 所代 表的是任何可能的正數而

m

、 代表自然數，但它並沒有未知數的列式，

而只是代表任意數那樣的符號，現在在第三章所介紹的符號就和前者有不 同的意義，那就是符號代表未知數，未知數的概念小學生已經有學過，只 是當時他們是以□或( )來代表，當時他們叫做『填空列式』或『填充列 式』，這個空的小刮號要算出答案來，這便是我們說的未知數，只不過它 們是用很具像的空格來表示，現在我們所教得未知數只是把這些□或( ) 改成英文字母

) (m n n

m a a

a × = ⁺

a

n

x

、 、y z，所以這一節並不是新的觀念，而是承接小學時所 學的經驗。

3-1 這一節的教學重點：「我們開始要由數理量的具體操作，進入抽象 的代數式運算」。這裡的具體操作就是直接對數字作加減乘除的運算，那 你一定會想（學生應該不會想那麼多），之前說的 這難道不 適抽象的代數式運算嗎？為什麼教師手冊說從這一節開始，開始要由數理 量的具體操作，進入抽象的代數式運算呢？作學生的應該不會問這個問 題，但也許做老師的會有這樣的疑問，我想這要去瞭解編教科書或編寫教 學綱要的人他的想法：這本書共分成三章，這邊已經是尾巴了，學生們也 經過了第二次段考，所以在這章才說要正式開始進入抽象的代數運算。回 到剛剛的問題，在 1-1 學生們在認知上並不會把 、 、 當作未知數，

而是把它們當成任意數，就像把 當成 3， 當成 2， 當成 3，進而得到

，這樣的關係他們把它當作是一個用符號寫出來的公式。學 生在操作它的時候，會把 想像成一個數，或者說看到一個數（譬如說 3）

的時候就像這個

a

，所以說 就像 ，因此學生們

) (m n n

m a a

a × = ⁺

a

m n

a

m n

) 3 2 ( 3

2 3 3

3 × = ⁺

a

) 3 2 ( 3

2 3 3

3 × = ⁺ a^m×aⁿ =a^(m+n)

m× =a ⁺

只是把它當作是一個公式，當中的符號則當作有某些條件的任意數字，例 如 可代表 3，但不能代表-3，a

m

、 可代表 4，但不能是分數和負數。

n

事實上這本書在 2-5 就偷偷地寫成a可以代表負數，它並沒有很明確 的交代這件事，因此身為教師的責任就是要把這些課本沒交代的東西告知 學生。還有就是在學生的認知裡，a 不是『等式』，而是把它 當成一個『公式』，就像一個圓的半徑是 ，它的面積是 ，這裡的 要 大於零，它是一個公式而沒有等量的關係，但若硬要加個等式，例如令 A 等於圓面積等於 ，這是一個公式，並沒有告訴你不知道

) (m n

an

k

πk²

k

r2

π⋅ r，要去求r的

解，他們還沒有這個想法，就是把左邊換到右邊，右邊換到左邊。

3-1 開始要用等式，這種等式在學生小學時就已經見過，小學學的很 簡單，都已經把□或( )畫出來了，而在這裡要改成用

x

、 、y z，然後就 變成要解一個等式，所以左邊就要等於右邊，而且在這個式子當中有一個 數字是不知道的（我們稱之為未知數）。根據這個等式，我們要像打獵一 樣，根據線索來找到這個不知道的數字。既然是等式要求解，所以要用到

「移項」、「等量公理」，其實這兩個是殊途同歸，我們可以用等量公理來 看怎樣去求解方程式，也可以用移項的方式來看，在過程當中免不了要用 結合率及分配率，或是左右消去。在這裡我們探討的是一元一次，消去就 很簡單，就是對係數作消去。

在這裡還真的有要用符號來跟具體的數要做加減甚至乘除，所以有符 號

x

（以符號代表數的符號）跟具體的數字（例如 3、4、-1.5）做交互作 用，就是要加減乘除在一起，或是更高階的計算（例如：加法、乘法的結 合率、分配率等），因此從這邊就解釋了教師手冊中這章的開始所講的『開 始要由數理量的具體操作，進入抽象的代數式運算』。

當我們有機會在教初中一年級的時候，這邊要非常注意，因為我們已 經太熟練了符號代表數、符號代表便數、符號代表未知數還有符號代表參 數，這四種數我們都太熟悉了，因此在教學的時候要按照學生的認知來 教，不要太快也不要一次太多。其實第一個符號代表參數就是符號代表 數，它們是一樣的，比如說 x² +y² =r²，

r > 0

，但若要大一的學生對

x

作 偏微分，得到2 0

2

2 = =

+ dx

dr dx

x dy ，在這裡我們知道 dx dy²

可寫成 '，而不清楚

的人就可能會把

y

dx dr²

寫成r'，但我們都清楚這裡的r不用寫成r'，r'只是一 個固定的、代表特定的數字，這就是參數和變數不一樣的地方。我們在學 過微積分後才知道，但回想一下在高中的時候這個地方很不熟悉，再想想 大一證明ε、δ>0 時，ε、δ代表任意大於零的數，但在證明過程中，ε、

δ有時卻變成變數，就是要寫出ε、δ的關係，所以在這個情況下你就漸 漸的熟悉了一個符號，在剛開始的時候可能會認ε是參數，但到後來就變

學生是不熟練的，所以不要一口氣全部教給學生。就像之前和大三導生約 談時，他們講到在上高微課時，有些老師會跳來跳去，這只是這個老師沒 有按照你的思路來教，他本人並不覺得自己跳來跳去，這就是教學者的思 路沒有按照學習者的思路，這個學習者可能不懂或不懂裝懂，所以才讓學 習者覺得教學者跳來跳去，就像現在講的國中數學一下跳到高中數學一下 跳到微積分，你們不會覺得跳來跳去，那是因為這些你們都已經懂了。

在教國一處理符號的時候要很小心，就如同學生在國小的時候並不會 把小數、分數和相除當成同一件事，他們一定認為這是三類不同的事，例 如 2/3、2÷3 及 1/4 和 0.25，小學生會把它們當成不同類型的事情。而在 國中之後學到數線、整數的乘除後才漸漸把它們當成同一件事。

※以符號列式

在這裡我們開使用符號來代表數字，以 P.144 的例子來看，它做了兩 個圖表，分別是表 3-1 和表 3-2：

表 3-2 的右邊比表 3-1 多了一列，這個部分承接之前學的，採用代入 數字的方法，代入算式『13+x』。例如 1 年後就是 x = 1 代入，得到 13+1

= 14；2 年後就是 x = 2 入，得到 13+2 = 15 ；往後以此類推。

例 1：美華自國中起，就有每週存 50 元的習慣，如果 用 a 來表示週數，美華的存款數要如何表示？

答：(50×a)元

老師的建議：

例 1 中用 a 來表示週數，但這裡卻模糊地沒表示 a 是什麼數，等 到學到高等數學後便會知道這裡的 a 並不限定是整數，也可以是 分數甚至是實數。

隨堂練習：

2.已知一水塔儲水時，水位上升的速度是每小時 10 公分，若現在水位為 0 公分，則距離現在 t 小時的水位是多少公分？

答：10t 公分

老師的建議：

『0 公分』這個詞用的並不恰當，可考慮改成沒有水或無水位。

『距離現在 t 小時』雖然口語上可以接受，但『距離』一詞的定 義是指抽象空間中兩點之間的長度，但對於國中生而言並無把時 間想成一抽象空間的概念，因此改為『在 t 小時後』為佳。

※代數式所代表的值

13+x，y-4，50×a，b÷38.5 等，我們統稱為『代數式』。 例 4：

溫度計上經常會標示攝氏溫度（以℃為單位）與華式溫度（以℉為單位），

兩者的關係是攝氏溫度乘以 9/5 後再加 32 就是華式溫度。

(1)當攝氏溫度為 t ℃時，請用算式表示華式溫度。

(2)冰點 0℃相當於華式幾度？ 沸點 100℃相當於華式幾度？

答：(1)9/5 t + 32 (2) 0℃ → 32℉，100℃ → 212℉

老師的建議：

在這裡可以詢問學生何謂華式，雖然華式在台灣並不是很具體，但卻是一 個非常有趣的單位轉換，因為溫度的轉換和其他單位的轉換不同，其他單 位如長度、質量，它們的單位都是以倍數來轉換，但溫度（攝氏和華式）

的轉換卻是有加又有乘。

※代數式中符號的約定

由於將來學習代數式的運算，為了方便讀寫與辨識，需要做一些約定，而

（一） 因為乘號「×」和英文字母「

x

」溶易混淆，所以數字和符號中間 的乘號「×」常以「‧」取代或者省略不寫。例如：

5 × x

可寫成 或

，

⋅ x 5 x

5

(− )2 ×x可寫成(− )2 ⋅x或

− 2 x

， ×x 5

7 可寫成 ⋅x

5

7 、 x

5

7 或

5 7x。

（二） 通常將

1 × x

，

1 ⋅ x

，

1 x

都簡記成

x

。另外，(− )1 ×x，(− )1 ⋅x，

− x

都 是

x

的相反數，所以將(− )1 ×x，(− )1 ⋅x都簡記為

− x

。因此，

， x x =

−

−( ) −(−(−x))=−x。

（三） 當兩個數字相乘時，乘號「×」也可用「‧」取代，但不可省略不 寫。例如：

5 × 3

可記成

5 ⋅ 3

，但不能記成

53

；

5

4×3可記成 5

4⋅3，但不

能記成 5

43；(−1)×3可記成(−1)⋅3，但不能記

− 13

。

（四） 若遇刮號，通常可將整個括號視為一個符號來處理。例如：

可記成 )

3 ( ) 2

(− × x− (−2)⋅(x−3)，(− x2)( −3)或− x2( −3)。

（五） 如果有帶分數和符號寫在一起，要注意不同型式的區別。例如：

5x

43 是表示 ⋅x 5

43 ，而 5 43x

是表示 5 4 3x

+ 。但

5 43x

這樣的記法並不常

用。若碰到時會直接寫成 5 4 3x

+ ，而不記為 5 43x

。

（六） 在代數式中，習慣上要將數字寫在文字符號的左邊，這就好像使 用單位的習慣一樣。對於形如

x ⋅ 12 = 12 ⋅ x = 12 x

；

y y

y⋅(−3)=(−3)⋅ =−3 。有時在運算上，若無法避免地要把數字暫時 寫在右邊時，一定不能省略乘號，例如：

x ⋅ 12

不能記成 ； 不能記成 。但對於

12

x

y⋅(−3) )

(−3

y

1 − x

，我們則較不習慣記成

− x + 1

。

（七） 當不同的文字符號相乘時，可以省略乘號「×」或「‧」。例如：

可寫成

ab

； 可寫成

b a ×

y

x ⋅

− )2

( −2xy。

※符號次方的約定 x2

x

x⋅ = 讀作「

x

的二次方」或「

x

的平方」；x⋅x⋅x=x³讀作「

x

的三次方」

或「

x

的立方」；x⋅x⋅x⋅x=x⁴讀作「

x

的四次方」，但並無像「平方」「立 方」那樣有第二種讀法，往後的次方也是一樣。當 、 、…與數字相乘 時，它們的記法和

x2 x³

x

與數字相乘的記法相同，例如：

2 2

2 2 2

2×x = ⋅x = x ；

3 2 3

2 3

2 3

2 3 3 3 x³

x x

x =− ⋅ =− =−

×

− 。