Ø 行列式

2

Ø 行列式

Ø

二元一次方程組與行列式應用

Ø

三元一次方程組與行列式應用

Ø 重點回顧

Ø 歷屆試題

主題一 行列式

1.二階、三階行列式展開 (1) 

A  B 

C  D 

^{= AD-BC}

(2) 

A  B  C  D  E  F  G  H  I 

= AEI+BFG+CDH-CEG-BDI-AFH

2.行列式基本性質：(以三階為例) (1)行列互換其值不變

(2)某一行(列)為 0，其值為 0

(3)任意兩行(列)相等或成比例，其值為 0 (4)任意兩行(列)互換，其值異號

(5)某行(列)有公因式可提出

(6)某一行(列)乘以 k，加到另一行(列)，其值不變 (7)某一行(列)由二個數合成，兩分成兩個行列式之和 3.高階行列式展開：

高階行列式需先做〝降階〞降至三階或二階再利用上法展開求 行列式之值

(以四皆為例)

設△= 

11 12 13 14 

21 22 23 24 

31 32 33 34 

41 42 43 44 

a    a    a    a  a    a    a    a  a    a    a    a  a    a    a    a 

(a i j表第 i 列，第 j 行之元素)

(1)子行列式：

△ ij：(將△中刪除第 i 列及第 j 列行之所有元素)

(2)餘因式：

(－1) ^i+j D _ij 稱為 A _ij 之餘因式，以 A _ij 表示即 A _ij = ( - 1 ) ^i + j D ij  5.高階行列式之降階求值

(1)行列式值等於任一列(行)中，各元素與其對應餘因式乘積 的和即 D =

a 

₁₁

A 

₁₁ +

a 

₁₂ 

A 

₁₂ +

a 

₁₃ 

A 

₁₃ + L L +

a 

_1 n 

A 

_1 n 

6.特殊行列式 (1)反稱行列式

①奇數階： 

0  0  0  0

= -

-

- 

c  b 

c  a 

b  a 

②偶數階： 

) 2 

(  0  0  0  0 

bm  cn  al  n 

m  l 

n  a 

b 

m  a  c 

l  b  c

- +

= -

- -

- - -

(2)Vander monde 行列式 

)  )( 

)( 

(  1 

1  1  1  1  1 

2  2  2 

2  2  2 

b  c  a  c  a  b  c  c 

b  b 

a  a  c 

b  a 

c  b 

a

= = - - -

)  )( 

)( 

)( 

)( 

)( 

(  1  1  1  1 

3  3  3  3 

2  2  2 

2 

b  a  c  a  d  a  c  b  d  b  d  c 

d  c  b  a 

d  c  b  a 

d  c  b 

a

= - - - -

(3)除主對角線外其餘各數字均為 1，且 

a 

₁₁ = 1 ，主對角線數 字為 1 與其他數之和，則行列式值=主對角線異於 1 之數 字之積 

xyz  z  y 

x

=

+ + + 

1  1  1  1 

1  1 

1  1 

1  1  1 

1 

1  1  1  1

教師解析

求 － 

3      1  2    2 

自我挑戰

1.求  ^9    4 

12    8 

2.求 ^{67    134 －}  84        63 

3.求 － －  1       6  3    5 

4.求 ^－

－  5     20  3   12 

求 ^{1   2   3} _{4   5   6} 

7   8   9  5.求 ^－ _－

－ 

10    1       2  20    40  12  5     1        1 

6.求

－  1    1     3  5    3     2  2    4    1 

7.求 ^－

－

－  2 

1 

7      1 

6   5    2  1      1

求  ^p 

p+ q  1     q+ r  1    q    p+ r  1    r 

8.  ^c 

b    1  a+ b     1  b+ c    a    1  c+ a 

若 ^{1   2   a} 2   1   b = 3  0   1   2 

，求 ^{1   2   a} 2   1    b ⁺¹  0   1    2 

9.設 ^a  b _{= 1}  c  d 

，則 ^{a     9b}  4c   36d 

之值

10.行列式 

a b 

c d 

=4，則  5 30 

6 

a b 

c d

- - =

求 

1     1       1        1  2     4     8      16  3     9    27      81  4    16   64   256 

11. 求

－3     1     16     5  0     1     14     0  0     3      0     1  0    14     6     0 

12.求

－

－ －

－

－ － 

0       2   1     3  2      0     4   2  1     4     0    1  3      2   1     0 

解 x+ 1   x+ 3   x+ 5  x+ 3   x+ 5   x+ 1  x+ 5   x+ 1   x+ 3 

=0 13. 設 x≠0，解  ₁^{1  1}  ₁  1 1  1+ x 

1      + x  1             + x 

=0

解 ^－_－

－ － － － 

3 x      2         2  1      4 x      1  2     4   1 x 

=0․ˊ 14.解 _－ 1       0       x _－  1      x      2  3       1       x 

=1

15.求 

2 

0   2  3 

x     x     1  1  1 4 

=28 之二根和

若 ^{a   b   c} d   e    f  l   m   n 

=3， a    b    c  p    q    r  l    m    n 

=－

2，則  2a        2b        2c  d+ 3p   e+ 3q    f + 3r 

l      m         n 

16.解 

x      9      4 2 

x      3      2  1      1       1 

=0，之二根α、

β，求α+β=

17.若 w 為 

x  －1=0 之根，則 

³ 

2  2  2 

1     w    w  w    w    1  w    1    w 

之值。

作業研究

1. 求 

2    3  5    7 

^=？

2. 求

5   －  10  3      17 

^=？

3. 求

－  sinx      cosx  cosx    sinx ^=？

4. 設 

a   b 

c   d 

^=2，則 

3b 

15a  d    5c 

^=？

5. 若 

a   b 

c   d 

^=－5， 

p   q 

c   d 

^=2，則

－

－ 

4a 2p 

4b 2q  3c       3d 

^=？

6. 求

－  1      4    2  5     0       2  6     7      3 

=？

7. 求 

5     3     2  1      1     3  2     4     1 

=？

8. 求

－

－

－  1     2     1  2     4     1  3    6     1 

=？

9. 若 

1     2     a  2     1     b  0     1     2 

=3，求 

1     2    a+ 1  2     1      b  0     1      3 

=？

10. 求 

A+ B    C    1  B+ C    A    1  C+ A    B    1 

=？

11. 設 

x     3 

4     2 

^=2，則

－

－ － 

4 x        2 

7     3+ x 

^之值。

12. 若 

a    b     c  x    y    z  l    m    n 

=5，則 

b+ c     c+ a     a + b  y+ z    z+ x    x+ y  m+ n    n+ l     l+ m 

之值為。

～解答～

自我挑戰：

1. 24 2. 15477 3. 3 4. 0 5. 560 6. 40 7. 16 8. 

a -

² 

b 

²  9. 36 10.-120 11.-570 12.0

13.x=1,2,-3 14.x=1/2 or -1 15x=-3/7

16.-4 17. 0 作業研究 1. -1 2. 115 3. -1 4.-30 5.-72 6.-61 7.-36 8. 0 9.-1 10. 0 11. 12 12. 10

主題二 二元一次方程組與行列式應用 1.二元一次聯立方程組求解：

ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

a x+ b y= c  a x+ b y= c  (1)代入消去法 (2)加減消去法 (3)利用行列式解法 2.解之性質：

(1)

¹

¹ 

¹ 

2 2 

a b 

a b  ，則 恰有一解，稱相容方程組，此時兩線交

於一點

(2) 

^{1 1 1} 

2 2 2 

a b c 

= = 

a b c  ，則 有無限多解，稱相依方程組，兩線

重合 (3)

^{1 1}

¹ 

¹ 

2 2 2 

a b c 

a =  b c  ，則 無解，稱矛盾方程組，兩線平

行

3.行列式求解：

設△= 

^{1 1} 

2 2 

a     b 

a     b  ，△

x

= 

^{1 1} 

2 2 

c     b 

c     b  ，△

y

= 

^{1 1} 

2 2 

a     c  a     c 

(1)若△≠0，則 

2  2 

1  1 

2  2 

1  1 

b  a 

b  a 

b  c 

b  c  x  ^x =

D

= D

,

2  2 

1  1 

2  2 

1  1 

b  a 

b  a 

c  a 

c  a  y 

^y =

D

= D

(2)若△=△

x

=△

y

=0，則 

^{1 1 1} 

2 2 2 

a b c 

= = 

a b c  有無限多解，稱相

依方程組，兩線重合

(3)若△=0，但△

x

≠0 或△

y

≠0，則

^{1 1}

¹ 

¹ 

2 2 2 

a b c 

a =  b c  時 無

解，稱矛盾方程組，兩 線平行

4.若

ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

a x+ b x+ c = 0  a x+ b x+ c = 0  a x+ b x+ c = 0 

恰有一組解，即 三點共線

則 

0 

3  3  3 

2  2  2 

1  1  1

=  c  b  a 

c  b  a 

c  b  a

教師解析

解 ^ì _í

î －  x+ y= 2  3x y= 0 

自我挑戰

1. ^ì _í

î － 

2x+ y+ 10 = 0  3x 2y+ 1= 0

ì í

î － 

ax+ 3y= 0 

(2a + 1)x 2y= b+ 2 

為無限多組 解，求(a，b)

2. ^ì _í

î

－ － 

2x+ ay= 13 

bx 6y= 26 

^{為相依方程} 組，則  a    b 

2   1 － 為 3. ^ì _í

î 

2x+ ny= 4 

mx+ 6y= 8 

^{有無限多組}

解，則

－ 

m       n 

m+ n    m n 

⁼

作業研究 1. 解 ^ì _í î

－ 

3x 2y= 19  x+ y= 23 

2. 解 ^ì _í î

－ 

x+ 3y= 13  5x y= 1 

3. 若 ^ì _í î

－

－ 

2x+ ay= 6 

bx y= 3 

^{為相依方程組，則}

－ 

a      b  200   100 

^為

4. 若 ï î ï í ì

+

= -

= +

= - 

6  6  2  5 

5  3 

7  3  2 

a  y  x 

a  y  x 

a  y  x 

恰有一組解，則 a=？

5. 若 ï î ï í ì

+

= +

= -

-

= + 

k  y 

x 

k  y  x 

k  y 

x 

2  5  4 

5  4  3 

2  1  5  2 

恰有一組解，則 k=？

6. 求解

y 2x － y  x 1  － 

= = 

1 2 3 

7. 解 ^ì _í

î

－ 

4x+ 3y= 1 

12x 6y= 13

～解答～

自我挑戰

1.x=-3,y=-4 2. 5 3. 17 作業研究

1.x=13,y=10 2.x=1,y=4 3. 0 4. 1 5. 16

6.x=-1,y=-2/3 7.x=3/4,y=-2/3

主題三：三元一次方程組與行列式應用

1.三元一次聯立方程組求解：

ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

a x+ b y+ c = 0  a x+ b y+ c = 0  a x+ b y+ c = 0 

(1)消去法

(2)行列式求解

△= 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

c  c  c 

a     b  a    b  a    b 

△x= 

1 1  1 

2  2 2 

3  3 3 

c  c  c 

d     b  d    b  d    b 

△^y= 

1 1  1 

2  2 2 

3  3 3 

c  c  c 

a     d  a    d  a    d 

△^z= 

1 1 1 

2  2 2 

3  3 3 

d  d  d 

a     b  a    b  a    b 

①若△≠0

則 恰有一解(相容)

D

= D D

= D D

= D ^x 

y 

^y 

z 

^z 

x 

,  , 

②若△=△^x=△^y=△^z 則 無限多解

③若△=0，但△x，△y，△z至少有一不為 0 則 無解

2.三元齊次方程組 (1)若 ì ï

í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

a x+ b y+ c z = 0 

a x+ b y+ c z = 0 

^{有無限多解}

則 x：y：z= 

2  2 

1  1  2  2 

1  1  2  2 

1 

1  :  : 

b  a 

b  a  a  c 

a  c  c  b 

c  b

教師解析

解 ì ï í ï î

－

－  x+ y+ z = 6  2x+ y z = 1  3x+ 2y z = 4 

自我挑戰

1.

ï î ï í ì

= - +

= +

= + 

12  2 

10  3 

8  2  3 

z  y  x 

z  y 

z  y 

2. 解 ï î ï í ì

-

= - +

-

= + -

= + + 

1  2  3 

1  3 

2 

6

z  y  x 

z  y  x 

z  y  x 

，則

x

等 於

解 ì ï ï ï í ï ï ï î 

1 1  + = 7  x y  1 1 

+ = 3  x z  1 1 

+ = 2  y z 

3. 若

ï ï ï î ï ï ï í ì

= - +

= + -

= + + 

2  0  3  1 

1  0  1  2 

3  2  2  1 

z  y  x 

z  y  x 

z  y  x 

，則

x

+

y

=

4.解 ï ï î ï ï í ì

= - -

= + -

-

= + -

= - + 

3  4  1  0 

u  y  x 

u  z  x 

u  z  y 

z  y  x

ì í î

－

－  x y+ 2z = 0 

x + y z = 0 

^{，則 x：y：z=}

5.

î í ì

= - +

= + - 

0  2  4 

0  3  2  5 

z  y  x 

z  y 

x 

，則 x：y：

z=

作業研究

1. 解 

2 1 3  9  3 2 1  10  4 3 5 

25 

x y z 

x y z 

x y z

ì + + = ï

ï ï

- + = í

ï

ï - + = ï î

2. 解 ì ï í ï î 

x + y= 4  y+ z = 7  z + x = 5 

3. 解

ï ï ï î ï ï ï í ì

= +

= +

= + 

1  3  1 

1  9  1 

1  2  1 

x  z 

z  y 

y  x 

則 xyz=

4. 解 ï î ï í ì

= +

= +

= + 

10  13  7 

x  z 

z  y 

y  x 

5.

î í ì

= - +

= - - 

0  3 

2 

0  2 

z  y  x 

z  y 

x 

，則 x：y：z=？

6. 解 ï ï î ï ï í ì

= + +

= + +

= + +

= + + 

4  3  1  10 

u  z  y 

u  z  x 

u  y  x 

z 

y 

x

7. 若行列式  1  1  1 

a x  b y  c z 

=3，則 

1  1  1 

a x x 

b y y 

c z z

+ + +

=

8. 

2  1 

3 4 2 

1 2 1  x x 

= 0

9. 設△= 

a b c 

b c a 

c a b

¹ 0，則 

a b c b c 

a b c c a 

a b c a b

+ + + + + +

=

10.

ï ï î ï ï í ì

= + +

= + +

= + +

= + + 

9  8  7  6 

u  z  y 

u  z  x 

u  y  x 

z  y  x 

11. 

0 1 1 

1 1 

1 1 0 

x 

x x x 

x

-

- -

-

= 0

～解答～

自我挑戰

1.x=1,y=4,z=-2 2. 1

3.-12

4.x=3,y=-2,z=1,u=2 5.-8:13:22

作業研究

1.x=1,y=-1/2,z=1/3 2.x=1,y=3,z=4 3.-1/40

4.x=2,y=5,z=8 5.5:(-1):7

6.x=2,y=3,z=5,u=-4 7.-3

8. 2 9.△

10.x=1,y=2,z=3,u=4 11.x=-2 or 1

重點回顧

□行列式 1.行列式：

2.二階、三階行列式展開 (1) 

A  B 

C  D 

^{= AD-BC}

(2) 

A  B  C  D  E  F  G  H  I 

= AEI+BFG+CDH-CEG-BDI-AFH

3.行列式基本性質：(以三階為例) (1)行列互換其值不變

(2)某一行(列)為 0，其值為 0

(3)任意兩行(列)相等或成比例，其值為 0 (4)任意兩行(列)互換，其值異號

(5)某行(列)有公因式可提出

(6)某一行(列)乘以 k，加到另一行(列)，其值不變 (7)某一行(列)由二個數合成，兩分成兩個行列式之和 4.高階行列式展開：

高階行列式需先做〝降階〞降至三階或二階再利用上法展開求 行列式之值

(以四皆為例)

設△= 

11 12 13 14 

21 22 23 24 

31 32 33 34 

41 42 43 44 

a    a    a    a  a    a    a    a  a    a    a    a  a    a    a    a 

(a i j表第 i 列，第 j 行之元素)

(1)子行列式：

△ ij：(將△中刪除第 i 列及第 j 列行之所有元素) (2)餘因式：

(－1) ^i+j D _ij 稱為 A _ij 之餘因式，以 A _ij 表示即 A _ij = ( - 1 ) ^i + j D ij  5.高階行列式之降階求值

(1)行列式值等於任一列(行)中，各元素與其對應餘因式乘積的和 即 D =

a 

₁₁

A 

₁₁ +

a 

₁₂ 

A 

₁₂ +

a 

₁₃ 

A 

₁₃ + L L +

a 

_1 n 

A 

_1 n 

6.特殊行列式 (1)反稱行列式

□奇數階： 

0  0  0  0

= -

-

- 

c  b 

c  a 

b  a 

□偶數階： 

) 2 

(  0  0  0  0 

bm  cn  al  n 

m  l 

n  a 

b 

m  a  c 

l  b  c

- +

= -

- -

- - -

(2)Vander monde 行列式

)  )( 

)( 

(  1 

1  1  1  1  1 

2  2  2 

2  2  2 

b  c  a  c  a  b  c  c 

b  b 

a  a  c 

b  a 

c  b 

a

=  = - - -

)  )( 

)( 

)( 

)( 

)( 

(  1  1  1  1 

3  3  3  3 

2  2  2 

2 

b  a  c  a  d  a  c  b  d  b  d  c 

d  c  b  a 

d  c  b  a 

d  c  b 

a

= - - - -

(3)除主對角線外其餘各數字均為 1，且 

a 

₁₁ = 1 ，主對角線數 字為 1 與其他數之和，則行列式值=主對角線異於 1 之數字之

積 

xyz 

z  y 

x

=

+ + + 

1  1  1  1 

1  1 

1  1 

1  1  1 

1 

1  1  1  1 

□二元一次方程組與行列式應用 1.二元一次聯立方程組求解：

ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

a x+ b y= c  a x+ b y= c 

(1)代入消去法 (2)加減消去法 (3)利用行列式解法 2.解之性質：

(1) ¹

¹ 

¹ 

2 2 

a b 

a b 

，則 恰有一解，稱相容方程組，此時兩線交於一 點

(2)  ^{1 1 1} 

2 2 2 

a b c 

= = 

a b c 

，則 有無限多解，稱相依方程組，兩線重合 (3) ^{1 1}

¹ 

¹ 

2 2 2 

a b c 

a =  b c 

，則 無解，稱矛盾方程組，兩線平行 3.行列式求解：

設△=  ^{1 1} 

2 2 

a     b 

a     b 

^，△x= 

1 1 

2 2 

c     b 

c     b 

^，△y= 

1 1 

2 2 

a     c  a     c 

(1)若△≠0，則 

2  2 

1  1 

2  2 

1  1 

b  a 

b  a 

b  c 

b  c  x  ^x =

D

= D , 

2  2 

1  1 

2  2 

1  1 

b  a 

b  a 

c  a 

c  a  y 

^y =

D

= D

(2)若△=△^x=△^y=0，則  ^{1 1 1} 

2 2 2 

a b c 

= = 

a b c 

有無限多解，稱相依方 程組，兩線重合

(3)若△=0，但△^x≠0 或△^y≠0，則 ^{1 1}

¹ 

¹ 

2 2 2 

a b c 

a =  b c 

^{時 無解，稱}

矛盾方程組，兩線平行

4.若 ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

a x+ b x+ c = 0  a x+ b x+ c = 0  a x+ b x+ c = 0 

恰有一組解，即 三點共線

則  0 

3  3  3 

2  2  2 

1  1  1

=  c  b  a 

c  b  a 

c  b  a 

□三元一次方程組與行列式應用

1.三元一次聯立方程組求解：

ì ï í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

a x+ b y+ c = 0  a x+ b y+ c = 0  a x+ b y+ c = 0 

(1)消去法

(2)行列式求解

△= 

1 1 1 

2 2 2 

3 3 3 

c  c  c 

a     b  a    b  a    b 

△^x= 

1 1  1 

2  2 2 

3  3 3 

c  c  c 

d     b  d    b  d    b 

△y= 

1 1  1 

2  2 2 

3  3 3 

c  c  c 

a     d  a    d  a    d 

△z= 

1 1 1 

2  2 2 

3  3 3 

d  d  d 

a     b  a    b  a    b 

①若△≠0

則 恰有一解(相容)

D

= D D

= D D

= D ^x 

y 

^y 

z 

^z 

x 

,  , 

②若△=△^x=△^y=△^z 則 無限多解

③若△=0，但△^x，△^y，△^z至少有一不為 0 則 無解

2.三元齊次方程組 (1)若 ì ï

í ï î 

1 1 1 

2 2 2 

a x+ b y+ c z = 0 

a x+ b y+ c z = 0 

^{有無限多解}

則 x：y：z= 

2  2 

1  1  2  2 

1  1  2  2 

1 

1  :  : 

b  a 

b  a  a  c 

a  c  c  b 

c  b 

歷屆試題

1. 設 k 為自然數，若  0 

3  2  1 

3  2 

1 

3  2 

1

= - -

- 

k  k 

k 

則

k=(A)3(B)4(C)5(D)6 【94 統測】

2. 9.設 a,b,c 為實數，若  12  1 

1  1 

2  2  2

= 

c  c 

b  b 

a  a 

且  156 

1  1  1 

3  3  3

= 

c  c 

b  b 

a  a 

，則

= + +

+ +

+ + 

)  1  (  1  1 

)  1  (  1  1 

)  1  (  1  1 

2  2  2 

c  c  c 

b  b  b 

a  a  a 

(A)13(B)144(C)168(D)1872 【94 統測】

3.若拋物線 y＝x ² 上一點 P(a , b)的切線斜率為 4，則 a＋b＝？

(A)4(B)5(C)6(D)7。 【93 統測】

4. 設  36  1  3 

2  1 

3  2  1

=  x 

x  的解為 a 與 b，則

b=(A)4/3(B)4(C)20/3(D)28/3 【93 統測】

5.若  0 

7  4  2 

4  2  1 

2  1

= -

-  x 

x  x 

，則 x=(A)-1(B)0(C)1(D)2 【92 統測】

6.試求 

x  x  x 

x

= - -

-  1 

1  2  1  1 

4  3  2 

0  1 

之解為

(A)2/7(B)-2/7(C)7/2(D)-7/2

【94 統測】

～解答～

歷屆試題：

1.○ D 2.○ C 3.○ C 4.○ A 5.○ A 6.○ A