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第三十一届 “希望杯”全國數學邀請賽
高二 第2試試題
2021年4月18日 上午 9: 00至11: 00
未經“希望杯”組委會授權,任何單位和個人均不準翻印、銷售及傳播此試卷。
一、選擇題(每小題5分,共35分.)
1.在數列{an}中,a1=13,an+1= 4an
an+4(n ∈ N*),則a9=( )
(A)16. (B)15. (C)27. (D)13. 2.函數y= x2+3
5x2+2的最小值是( )
(A) 135 . (B)2 135 . (C)2 13. (D)5 132 .
3.若平面向量a=(3m-2,3m+1)與b=(3m,-1)垂直,m ∈ R,則|a|=( )
(A) 15. (B)5. (C)15. (D)3 26.
4.定義在 R 上的函數f(x)的導函數爲f'(x),若對任意實數x,恒有f(x)>f'(x),且 f(x)+2019爲奇函數,則不等式f(x)+2019ex <0的解集爲( )
(A)(- ∞,0). (B)(0,+ ∞). (C)- ∞,1e æ
è
ç ö
ø
÷. (D)1æe,+ ∞ è
ç ö
ø
÷. 5.在一個邊長爲1的立方體的内部和表面上,最多可以找到n 個點,使得任意兩點的距離不 小於1,則n=( )
(A)8. (B)9. (C)12. (D)16.
6.如圖,正四面體ABCD 中,CE→=2EB→,點P 在稜AB 上運動,設EP 與 平面BCD 所成角爲θ,則sinθ 的最大值是( )
(A)23. (B)2 23 .
(C)2. (D)4 23 .
7.在平面直角坐標係xOy 中,已知P 是雙曲綫Γ:x2 a2- y2
9-a2=1右支上一點,Γ 的左、右焦 點分别爲F1,F2,PF1 與 y 軸 交 於 點 A,△PAF2 的 内 切 圓 與AF2 切 於 點Q.若2|AQ|2=
|F1F2|,則Γ 的離心率是( )
(A)3. (B)5. (C)3. (D)2 3.
二、填空題(每小題5分,共35分.)
8.如果函 數 f(x)=x3+ mx2+nx +2021 的 圖 象 關 於 點 (-1,0)對 稱,則 f(-2)=
.
9.數列{an}滿足an+1+ (-1)nan=1,則{an}的前60項的和爲 .
10.設平面向量α,β 滿足|α -3β|=20,|2α -5β|=18,則|α +β|的最小值與最大值的
和是 .
11.已知a >0,b >0,則 7ab
a2+49b2+ ab
a2+b2的最大值是 . 12.在平面直角坐標係xOy 中,
A ={(x,y)|(y-x)y- 1825x æ
è
ç ö
ø
÷≥0},B ={(x,y)|(x -1)2+ (y-1)2≤1}.
若(x,y)∈A ∩B,則2x -y 的最小值是 .
13.min{4x +1,x +2,-2x +4}(x ∈ R)的最大值是 .
14.已知鋭角x,y 滿足
sin2x -sin2y=14,
cosxcosy= 24, ì
î í ï ïï ï ï
則sin(x +y)+sin(x -y)= .
三、解答題 每題都要寫出推算過程.
15.(本題滿分10分)
在平面直角坐標係xOy 中,有共同焦點的兩條曲綫E1:x2 4 +y2
m2=1和E2:x2-y2
n2=1交於 A,B,C,D 四點.求四邊形 ABCD 面積的最大值及此時E1和E2的方程.
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高二 第三頁 共四頁 高二 第四頁 共四頁 16.(本題滿分10分)
設函數f(x)=ax2+2ax -ln(x +1),其中a ∈ R.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)若f(x)+e-x > 1x +1在區間(0,+ ∞)上恒成立,求實數a 的取值範圍.
17.(本題滿分10分)
證明:(1)對任意實數x ∈ 0,π3 æ è
ç ö
ø
÷,不等式1 x < 1
sinx <1 x +x
3恒成立;
(2)對任意正整數n,é ë ê ê
1 sin 1
2n ù û ú
ú = [2n]恒成立. (其中[a]表示不超過a 的最大整數)
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