+ dx + ey + fz + g = 0

(1)

高雄市明誠中學高二(上)平時測驗日期：95.01.09 班級普二班

範圍

4-3,4

球面與平面、直線座號

姓名一、填充題(每題 10 分)

1. 若過空間中四點(0，0，0)，(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)的球面方程式為x²

+ y

²

+ z

² + dx + ey + fz + g = 0，則d + e + f + g = 。

【解答】− 6

【詳解】球面S：x²

+ y

²

+ z

²

+ dx + ey + fz + g = 0

代入S ⇒ ，得

故d + e + f + g = (− 1) + (− 2) + (− 3) = − 6

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

) 3 0 0 (

) 0 2 0 (

) 0 0 1 (

) 0 0 0 (

，

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

0 3

9

0 2

4

0 1

0

g f

g e

g d g

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

=

−

=

−

=

0 3 2 1

g f e d

2. 平面E：x − 2y + 2z + k = 0，球面S：x²

+ y

²

+ z

²

+ 2x − 2y + 4z + 5 = 0，若E與S相交成一圓，

則k值範圍為。

【解答】4 < k < 10

【詳解】

球面S：(x + 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 1 ⇒ 球心A(−1，1，− 2)，半徑r = 1 若E與S相交成一圓 ⇒ 0 < d(A；E) < 1 ⇒ 0 <

4 4 1

| 4 2 1

|

+ +

+

−

k < 1，即 4 < k < 10

3. 過(−1，6，0)，(3，2，2)之球面有無限多個，則半徑最小的球面方程式為。

【解答】(x − 1)² + (y − 4)² + (z − 1)² = 9

【詳解】

過A(− 1，6，0)，B(3，2，2)兩點且半徑最小之球面即以A，B為直徑之球面

⇒ (x + 1)(x − 3) + (y − 6)(y − 2) + (z − 0)(z − 2) = 0 ⇒ (x − 1)² + (y − 4)² + (z − 1)² = 9

4. 球x²

+ y

²

+ z

²

− 14x − 16y − 18z + 94 = 0 與平面x + y + z = 15 交出一圓，則圓心坐標為

。

【解答】(4，5，6)

【詳解】如上圖， AB ： ，t ∈ R

（其中平面 E 之法向量n= (1，1，1)為直線

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +

= +

=

t z

t y

t x

9 8 7

K

AB 之方向向量）

則 B(7 + t，8 + t，9 + t)代入 E⇒(7 + t) + (8 + t) + (9 + t) = 15⇒t = − 3，圓心 B(4，5，6)

5. 若x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0，則

(1) x + 2y + 2z的最大值為。(2) (x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²之最小值為。

(2)

【解答】(1) 25 (2) 25

【詳解】x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0

⇒ (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)² = 64，球心O(1，− 2，2)，半徑r = 8

(1)柯西不等式得(1² + 2² + 2²)[(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)²] ≥ [(x − 1) + 2(y + 2) + 2(z − 2)]² ⇒ 9 × 64 ≥ (x + 2y + 2z − 1)² ⇒ − 24 ≤ x + 2y + 2z − 1 ≤ 24

⇒ − 23 ≤ x + 2y + 2z ≤ 25 ∴ x + 2y + 2z的最大值為 25 (2)設A(3，− 1，4)，則OA= (3−1)²+(−1+2)² +(4−2)² = 3

∴ (x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²的最小值= (r −OA)² = (8 − 3)² = 25

6. 設球面方程式為x² + y² + z² = 27，若有一直線L： 交球面於P，Q兩點，則線段

⎩⎨

⎧

=

= +

3 3 2

z

y x

PQ之中點坐標為。

【解答】(

5 3，

5 6，3)

【詳解】L： 代入球面S：x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

3 2 3

z

t y

t x

2 + y² + z² = 27

得 5t²

− 12t − 9 = 0，(5t + 3)(t − 3) = 0，t =

5

−3

，3 代入L 得P( 5

21， 5

−3，3)，Q(− 3，3，3) ∴ 中點為(

5 3，

5 6，3)

7. 以A(10，2，5)，B( − 6，10，11)為直徑兩端點的球面S方程式為。

【解答】x² + y² + z² − 4x − 12y − 16z + 15 = 0

【詳解】

(x − 10)(x + 6) + (y − 2)(y − 10) + (z − 5)(z − 11) = 0⇒x² + y² + z² − 4x − 12y − 16z + 15 = 0 8. 通過下列四點A(− 3，2，− 2)，B(5，2，− 2)，C(− 2，3，− 2)，D(4，3，− 2)之球面S的

球心(a，b，c)，則序組(a，b，c) = 。

【解答】(1，−1，2)

【詳解】

設所求球面方程式為S：x²

+ y

²

+ z

²

+ dx + ey + fz + g = 0

將A(− 3，2，− 2)，B(5，2，− 2)，C(− 2，3，− 2)，D(4，3，− 2)代入S

得 ，解之得d = − 2，e = 2，f = − 4，g = − 35

故S：x

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

= +

− +

−

= +

− +

−

= +

− +

−

= +

− +

−

29 2

3 4

17 2

3 2

33 2

2 5

17 2

2 3

g f e d

2

+ y

²

+ z

²

− 2x + 2y − 4z − 35 = 0，即(x − 1)

² + (y + 1)² + (z − 2)² = 41 9. 球面S與平面x − 2y − 2z = 7 相切於點A(3，− 1，− 1)且半徑 3，則S之方程式為

(3)

或。

【解答】(x − 4)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 9 或(x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 9

【詳解】

球面S切平面E：x − 2y − 2z = 7 於點A(3，− 1，− 1)，球心P0在垂直E於A點的直線上

∴ ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= +

=

t z

t y

t x A

P

2 1

2 1 3

0 　的方程式為 。設P₀(3 + t，− 1 − 2t，− 1 − 2t)，則 A

P

₀ = 3

∴

t

² +4

t

² +4

t

² = 3⇒9t² = 9 ⇒ t = ± 1 ∴ 球心P0(4，− 3，− 3)或P0(2，1，1) 故S的方程式為(x − 4)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 9 或(x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 9

10.已知球面x² + y² + z² − 2x + 4y + 6z − 8 = 0 與x軸交於A，B兩點，則AB的長為。

【解答】6

【詳解】

設球面x² + y² + z² − 2x + 4y + 6z − 8 = 0 與x軸交點為(t，0，0)代入得t² − 2t − 8 = 0 ⇒ (t + 2)(t − 4) = 0 ⇒ t = − 2，4

故交點A，B的坐標分別為( − 2，0，0)，(4，0，0)，AB = |4 − ( − 2)| = 6

11.求過點A(3，5，3)且與球面S：x² + y² + z² − 2x − 4y + 6z = 35 相切的平面方程式。

【解答】2x + 3y + 6z − 39 = 0

【詳解】

A(3，5，3)代入 S 得 9 + 25 + 9 − 6 − 20 + 18 = 35，故 A 在球面 S 上，即 A 為切點，

⇒ 3 5 3 2( ³) 4( ⁵) 6( ³) 35

2 2 2

x y z

x+ y+ z− + + + + + = ，平面方程式為 2x + 3y + 6z − 39 = 0

12.若直線L：

2 2 2

1 1

1= + = −

− y z

x 與球面S：x² + y² + z² = r²相切，則半徑r的長 = ，切點坐標為。

【解答】 5 ， )

3 4 3 5 3

(2，− ，

【詳解】直線L：

1

1 1 2

1 2 2 1 2

2 2

x t

x y z

y

z t

⎧ = +

− = + = − ⇒⎪⎨ = − +

⎪ = +

⎩

t 代入球面S：x

² + y² + z² = r²

∵ 相切；

2 2 2 2 2 2

(1+

t

) + − +( 1 2 )

t

+ +(2 2 )

t

=

r

⇒9

t

+ + −6

t

(6

r

)=0 0, 36 4 9 (6 2) 0

D r

⇒ = − × × − =

r

² = ⇒ =5

r

5

∴9 ² 6 1 0 (3 1)² 0 ¹

t + + = ⇒t t+ = ⇒ = −t 3，切點P ) 3 4 3 5 3

(2，− ，

13.通過點A(2，1，0)與B(

2

1，0，1)的平面E，若與球面S：x² + y² + z² = 1 相切，則平面E的方程式為。

(4)

【解答】2x − y + 2z = 3 或 2x + 3y + 6z = 7

【詳解】

⎩⎨

⎧

=

− +

=

−

⇔ −

= −

−

0 1

0 1 3 2

2

2 1 3

2

y z

y AB x

z y

AB

：

x

　　：

設E：(2x − 3y − 1) + t(y + z − 1) = 0，即E：2x + (t − 3)y + tz − (1 + t) = 0

∵ E與S：x² + y² + z² = 1 相切 ∴ 球心O(0，0，0)到E的距離 = 半徑

⇒ 2 2

) 3 ( 4

| 1

|

t t

t

+

− +

+ = 1 ⇒ t = 2 或t = 6 ∴ E：2x − y + 2z = 3 或 2x + 3y + 6z = 7

14.求直線L：

4 1 1

3 y z

x = =

−

− 與球面S：x² + y² + z² − 12z + 27 = 0 的交點坐標。

【解答】(2，1，4)及(1，2，8)

【詳解】

設交點坐標參數式為( − t + 3，t，4t )，代入S方程式得( − t + 3)² + t² + (4t)² − 12(4t) + 27 = 0

⇒ t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1 或 2 ∴ 二交點為(2，1，4)及(1，2，8)

15.已知一球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 2z − 3 = 0，若平面x + y + z + k = 0 與S相切，則實數

k之值

= 。

3

±3

【解答】

【詳解】

S：(x − 1)

² + (y + 2)² + (z − 1)² = 3²，球心P(1，− 2，1)，半徑 3

平面E：x + y + z + k = 0 與球面S相切 ⇒ 球心P到E的距離 = S的半徑

⇒ 3 3 3

1 1 1

| 1 2 1

| = ⇒ =±

+ +

−

k k

16.已知平面x + 2y + 2z = 4 與球面S：x²

+ y

²

+ z

²

+ 4x − 2y + 2z − 3 = 0

相交於圓C，求(1)此圓半徑長 = 。

(2)若圓心坐標為P(a，b，c)，則 2a + b + c = 。

【解答】(1) 5 (2) 0

【詳解】

(1)球面S：(x + 2)² + (y − 1)² + (z + 1)² = 9 ，球心A(− 2，1，− 1)，半徑r = 3 AP= d(A；E) =

4 4 1

| 4 2 2 2

|

+ +

−

− +

− = 2，圓半徑 = PC =

AC

² −

AP

² = 9− = 5 4

(2)

AP ：

，t ∈ R

（平面E：x + 2y + 2z = 4 之法向量n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

−

=

t z

t y

t x

2 1

2

K= (1，2，2)為直線 AP 之方向向量）

設圓心P(− 2 + t，1 + 2t，−1 + 2t)代入平面E：x + 2y + 2z − 4 = 0，得t = 3 2

(5)

則圓心P(a，b，c) = ( 3

−4

，3 7，

3

1)，故 2a + b + c = 3

−8+ 3 7+

3 1= 0

17.空間中，球面S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25 被平面x = 2 切割的截面圓方程式為__________

【解答】

2 2 2

( 3) ( 4) 24

2

x y z

x

⎧ − + + + =

⎨ ⇒

⎩ = ⎩⎨⎧

=

= + +

2

24 ) 4

( ²

2

x z y

【詳解】

，d代入c ⇒ y

⎩⎨

⎧S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25……c

E：x = 2……d

² + (z + 4)² = 24

∴ 截圓方程式為

⎩⎨

⎧

=+ + = 2

24 ) 4

( ²

2

x z y

18.二球面S1，S2相交於一圓C，其中S1：x² + y² + z² − 4x − 4y − 2z + 1 = 0，S2：x² + y² + z² − 3x

− 2y − 4z + 6 = 0，則圓C之圓心為。

【解答】O(1，0，3)

【詳解】

此二球之根平面E：S2 − S1 = 0 ⇒ E：x + 2y − 2z + 5 = 0

設圓C之圓心C 代入E

⇒ ⇒圓心C(1，0，3)

(2+t, 2+2 , 1 2 )t − t

(2+ +t) 2( 2+2 )t −2(1 2 ) 5− t + = ⇒ = −0 t 1

19.點P(6，1，− 3)，球面S：x²

+ y

²

+ z

²

− 4x + 6y + 2z + 10 = 0，點Q在S上，當Q坐標為

________________時，PQ有最小值。

【解答】(

3 10，

3

−5

， 3

−5

)，4

【詳解】

球面S：(x − 2)² + (y + 3)² + (z + 1)² = 4，球心A(2，− 3，− 1)，半徑r = 2 (1)最短距離 = |AP− R | = |6 − 2| = 4

(2)AQ：PQ= 2：4 = 1：2，由分點公式Q

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= − +

×

− +

×

= −

= − +

× +

×

= − + =

× +

= ×

3 5 2

1

1 ) 3 ( 2 ) 1 (

3 5 2

1

1 1 2 ) 3 (

3 10 2

1

1 6 2 2

z y x

(6)

20.球面(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9 上任一點P，一定點A(0，1，2)，求

(1)PA的最小值為。(2)PA最小時，P點的坐標為。

【解答】(1) 3 − 3 (2) (1 − 3 ，2 − 3 ，1 + 3 )

【詳解】

球面(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9，球心Q(1，2，1)，半徑r = 3，

3 1 1 1+ + =

=

AQ < r ⇒ A點在球面內部

(1)PA的最小值 = r −AQ = 3 − 3 (2)由(1)知AQ AP: = 3 (3： − 3) ⇒ 設

( , , ) P a b c

3 (3 3) 1 3 (3 3) 2 3 (3 3) 1

(0,1, 2) ( , , )

3 (3 3) 3 (3 3) 3 (3 3)

a b c

A × + − × × + − × × + − ×

⇒ =

+ − + − + −

P a b c( , , )=(1 − 3 ，2 − 3 ，1 + 3 )

21.有一球面S與平面E：2x − y + z − 4 = 0 相切於M(1，5，7)且過另一點N(6，2，1)，求S之 方程式為。

【解答】(x − 11)² + y²

+ (z − 12)

² = 150，

x²

+ y

²

+ z

²

− 22x − 24z + 115 = 0

【詳解】

AM

⊥ E，故 AM //nK= (2，−1，1)，

設球心A(1 + 2t，5 − t，7 + t)，而r ²

= AM

²=AN²

⇒ 4t²

+ t

²

+ t

²

= (2t − 5)

² + (3 − t)² + (t + 6)² ⇒ t = 5，得球心A(11，0，12)，r ²

= 150

故S：(x − 11)² + y²

+ (z − 12)

² = 150，即S：x²

+ y

²

+ z

²

− 22x − 24z + 115 = 0

22.球面S：x²

+ y

²

+ z

²

= a與直線L：

1

−1 x =

2 +1 y =

1

−2

z 相切，則實數a = 。

【解答】 6 35

【詳解】

(法一)參閱No12 題 (法二)

B ∈ 直線L，設B(1 + t，− 1 + 2t，2 + t)

AB= (1+t)² +(−1+2t)² +(2+t)² =

6 ) 35 6 ( 1

6

t

+ ² + 當t = 6

−1

時，AB有最小值 6

35 ，即半徑r = d(A；L) = 6

35，故a = r²

=

6 35

23.設點P(a，b，c)為球面S：(x + 1)² + (y − 1)² + z² = 1 上距離直線L：

2

−3

x =

2

−2

y =

1 +1

z 最

近的一點，求(1) (a，b，c) = 。 (2)此點P與L的距離為。

【解答】(1) ( 3

−1

，3 2，

3

−2

) (2) 2

(7)

【詳解】

設球心 A(−1，1，0)到直線 L 之垂足為 B，則 B(3 + 2t，2 + 2t，−1 + t)

= (4 + 2t，1 + 2t，−1 + t) ⊥ L 之方向向量 = (2，2，1)

． = 0 ⇒ 9t + 9 = 0 ⇒ t = − 1，則 B(1，0，− 2)，

____\

AB

____\

d

____\

AB

^____\d

AB

= 3

故 P 與直線 L 的距離 =BP=AB−AP= 3 − 1 = 2 由分點公式 P(a，b，c) = (

2 1

1 1 2 ) 1 (

+

× +

×

− ，

2 1

1 0 2 1

+

× +

× ，

2 1

1 ) 2 ( 2 0

+

×

− +

× ) = (

3

−1

，3 2，

3

−2 )

24.點P是球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 11 = 0 的動點，當P到平面E：x − y − z = 24 距離 最小時，點P之坐標為。

【解答】(2，− 3，2)

【詳解】

S：(x − 1)

² + (y + 2)² + (z − 3)² = 3，

球心為Q(1，− 2，3)，半徑r = 3

球心Q到平面E：x − y − z − 24 = 0 距離為 8 3 24 =3

∵ PQ= r= 3 ∴

PH

=7 3

L：

1

3 1

2 1

1

−

= −

−

= +

− y z

x ，令H(t + 1，− t − 2，− t + 3) ∈ L

∴ H ∈ E ⇒ t = 8 ⇒ H(9，− 10，− 5)

∵ QP ： PH = 3 ： 7 3= 1：7 ⇒ P(2，− 3，2)

25.假設一地球儀的半徑為R，在北緯 30°的緯圈上，由東經 30°的位置沿逆時針方向東移到 東經 60°的位置，其所經的弧長為。

【解答】 πR 12

3

【詳解】

設球心 O，北緯 30°的小圓圓心 O′，半徑 r

(8)

在北緯 30°的緯圈上，東經 30°的位置為 A，東經 60°的位置為 B

∴ ∠AO′B = 30°，r = Rcos30° = 2

3

R ∴

︵

AB

= r．

6 π =

2 3

R ×

6

π = πR 12

3