40 第三章 控制系統問題之表示法

第三章 控制系統問題之表示法

3-1 導言

為對物理系統進行分析，有必要將物理系統數學化，也 就是透過適當的、合理的假設，將一實際系統變為物理模 型，進而以數學描述，此一過程稱為數學模型之建立。

在數學模型之建立過程或者之後的分析、運用上，動態 系統的線性化扮演基礎的角色，什麼是線性化(linearization)?

先以下圖作說明。

上圖中，y=f(x)為一非線性函數，當然它不是一個線性函數，

但是若我們關心的只是操作點[x₀

，

，

y kxt，其中k  f(x₀ )

來代替非線性函數，但有一個前題必須牢記的就是：線性函 數的定義域僅限於操作點附近。

線性化有什麼好處呢?對於動態系統的研究來說，其好處 可歸納為：

(1)線性系統滿足重疊原理(superposition principle)。

(2)線性系統容易求解。

(3)早期控制理論的發展都是以線性系統為對象

對於一個線性系統 G 來說，重疊原理的意義可以下圖說明 之。

重疊原理說明圖

上圖中α與β為實常數。因此，在運用上重疊原理可解釋 為：數個不同輸入信號同時輸入至線性系統的效果，相當於 輸入信號個別輸入至線性系統的合成。介紹完線性化的目的 之後，下面以一個例題說明如何線性化。

例 1：下圖之質量－彈簧－阻尼系統中，彈簧受力之變化為 非線性(f = kx²)，試對該系統線性化。

則系統動態方程式可改寫為

m(x₀ x)c(x₀ x)k(x₀ x)² F₀ F mg

因為x₀^{為常數，且}kx₀² F₀ mg，經簡化後得上式成為

F x

k x kx 2 x c x

m  ₀   ² 

小變動，亦即x x₀ x，如下圖所示。

既然x^很小，則x²可忽略不計，因此可得

F x

kx 2 x c x

m  ₀ 

3重新定義x x,F F，則原系統動態成為

F x kx 2 x c x

m  ₀ 

上式即為非線性系統經線性化後之線性系統，此線性系統只適用於操作 點附近操作。

3-2 數學模型之建立

建立數學模型的方法，以起因－效應法最為普遍與簡 單，其主要係基於系統的實驗研討，能藉對此系統應用一些 已知之物理作用加以實現，由此外加作用(或起因)稱為激發 函數(excitation function)，對應之反應(或效應)稱為響應函數 (response function)，描述如何將系統由激發函數轉換成響應 函數稱為系統函數(system function)，其間之關係顯示於下 圖：

激發函數 響應函數

例 2：虎克定律： F＝kx

力( F) 變形量(x)

∴系統函數(彈簧之數學模型)= x/F = 1/k 系統函數

彈簧

例 3：歐姆定律：V＝iR 電壓 電流 V i

∴系統函數(電阻之數學模型)= i/V = 1/R

故由以上所引用之二例知，下列通式均成立：

響應函數 = 系統函數 × 激發函數 或 輸出響應 = 輸入函數 × 系統函數

多數的回授控制系統都包含機械與電機元件，從數學的 觀點來看，電機與機械元件的描述是類比的。當然這種類比 是數學上的一種形式，也就是說，如果它們可用相似的方程 式來描述，它們就是類比的(analogous)。

機械系統動態方程式之建立，大都利用牛頓第二運動定 律ΣF＝ma，並結合自由體圖來分析。其中平移系統之動態 方程式如下：

M：物体質量，B：阻尼器阻尼系數，K：彈簧系數 而旋轉系統之動態方程式如下：

Jθ’’ + Bθ’ + κθ = T

J：旋體轉動慣量，κ：扭力彈簧係數，T：外在扭矩

一般的電網路分析中，常用的定律有克希荷夫電壓定律 及電流定律，而所得到之電路系統動態方程式如下：

LC υ0” + RC υ0’ + υ0 ＝ υi

R：電阻，C：電容，L：電感

1/R 電阻

由以上三種動態方程式可知，電路系統可類比於機械系 統，其關係如下：

另外，齒輪列是控制系統中，將能量由系統的一部份 傳送至另一部份的最重要機械裝置，如下圖所示。因此，齒 輪之慣量、摩擦、轉矩、速率及位移可能由齒輪的一邊反射 至另一邊，故旋轉系統之動態方程式需修正如下：

J1eθ’’ + B1eθ’ + κ1eθ + TF = T 其中

J1e = J1 +

2

2 1 

 



 N

N J2

B1e = B1 +

2

2 1 

 



 N

N B2

κ1e = κ1 +

2

2 1 

 



 N

N κ2

TF =

2 2 2 2 1

1 1

1 















C

C F

N F  N

TF：庫侖摩擦轉矩

兩個齒輪的轉矩 T、角位移θ、角速率ω、齒數 N 及半 徑 r 之關係如下(參考下圖)：

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

r r N

N T

T    









3-3 數學方塊圖之建立 1. 方塊與箭號

於前節吾人已學習藉應用起因－效應法導出，系統能由方 塊及箭號所組成之圖形加以表示。就一能以一代數方程式 加以描述之簡單系統而言，圖形能簡單地由一方塊及二箭 號所組成。然而當一系統為由一組微分方程式所表示時，

則須利用拉氏轉換將微分方程式轉換為代數方程式，再利 用起因－效應法運算，以求出適當符號表示之對應圖形，

如下圖所示。

輸入 輸出 U(s) Y(s)

此時，G(s) = 輸出/輸入=Y(s)/U(s)，稱為系統轉移函數。

2.方塊圖元件

茲將通常於方塊圖中所利用之術語闡釋如下：

A. 總合符號(Summing symbol)：當二個或更多之激發源同時 作用時，則應加以合計且應用至系統，此程序為總合器所 指出。茲討論下圖(a)所示之簡單電路，其中二電壓 e₁ 及 e₂反向串聯連接且跨於電阻器 R 兩端，以圖形表示。下圖 (b)係利用方塊圖，系統函數(1/R)左邊之符號稱為總合器，

總合器係將輸入信號(具正確之正負號)加以合計之符號，

G(s)

由於 e₁及 e₂之極性相反，因此於此情況，需用負號藉以表 示相減，茲視上述之輸入信號為一般情形，且不限於原激 發函數。

B. 分路符號：當一激發源應用至二或更多之系統上時，其作 用為分路符號所指出。於下圖(a)，將電壓電源υ外加至二 並聯電阻 R₁及 R₂時，分別產生電流 i₁及 i₂。其對應方塊 圖如下圖(b)所示，接點顯示υ同時作用於系統函數 1/R₁ 及 1/R₂。

C. 轉移符號：往往激發源於加入系統前即已乘以一常數因素 K，若為原值一部份，則 K 小於一。若放大則 K 大於一，

此程序為轉移符號(或方塊)所指出。於下圖(a)中，質量 M 受二力 f₁及 f₂所作用，若運動限於 f₁之方向，則需求其加 速度，於構成方塊圖(下圖(b))，二激發函數須加以表示 f₁ 及 f₂沿 f₁方向之分量，後者為：

於方塊圖中為指出第二力 f₂(於 f1之方向)之效應，需插入 一新方塊，此方塊之效應由常數因素 K=0.5 加以改變之。

3.反饋

於前例中，將數獨立激發源外加至系統，然而激發函數之 一部份可直接或間接由響應獲得，此即著名之反饋。下圖 表示一典型反饋系統，其中 R 係獨立激發函數，G 為系統 函數，C 係響應。若一部份 C 反饋，則轉移方塊應用於反 饋路徑上。

以下以控制系統中的直流馬達為例說明功能方塊圖 與數學方塊圖建立之方法與步驟：

直流馬達主要包含定子及轉子兩個部份(如下圖)，定子 為永久磁鐵或電磁鐵所構成，若為永久磁鐵，則所產生的磁 場是固定的，若為電磁鐵，則可藉由改變場電流改變磁場的 大小。轉子由導線(即電樞線圈)纏繞電樞而成，電樞線圈通 電後，便可在磁場中產生扭矩，帶動轉子旋轉，此即馬達運 轉的基本原理。

(b)電動機原理與佛萊明左手法則

上圖(b)表示電動機的操作原理，其中馬達的輸出扭矩可 利用佛萊明左手法則推導如下：

Ld K K

, i i K Ld i K i IBLd Fd

T    _{a  f}  _{m a f m}  _

1. 場控直流馬達：

在場控直流馬達中，電樞電流 i_a是固定的，藉由改變 電磁鐵之場電流 i_f (即改變磁通量)來達成控制馬達運轉之 目的。其動態方程式可分成下面三個部份觀察：

電路部份：e_f = if Rf + Lf (dif /dt) 機械部份：T = Jθ’’+ Bθ’

連接部份：T = K_i if ，Ki：馬達轉矩常數

由以上三方程式可列出各組成部份的輸出入明細表如 下：

當消去內部變數 T, i_f，整理後可得場控直流馬達動 態方程式，而其系統功能方塊圖如下圖。因此可知場控直流 馬達係屬開迴路控制系統。

If i_a = const.

T = K_m i_a i_f

= K_i i_f

電路

機械

連接

ef if

T θ

if T

場控直流馬達功能方塊圖 2. 樞控直流馬達：

在樞控直流馬達中，場電流 i_f 是固定的，藉由改變電

樞電流 i_a以產生不同的扭矩，以達成控制馬達運轉之目的。

其動態方程式可分成下面三個部份觀察：

電路部份：e_a = ia Ra + La (dia /dt) + em

機械部份：T = Jθ’’+ Bθ’

連接部份：e_m = Km θ’，Km：反電動勢常數 T＝Ki×ia Ki為馬達轉矩常數

由以上四方程式可列出各組成部份的輸出入明細表如下：

If i_f = const.

T = K_m i_a i_f

= K_i i_a

e_a-e_m 電路

機械 連接 連接 T

i_a θ

i_a θ

T

e_m e_a-e_m em

ea

樞控直流馬達功能方塊圖如下圖，因此可知樞控直流馬 達係閉迴路控制系統，由於其本身內部構造即有伺服控制迴 路，故又稱為直流伺服馬達。

以下說明由動態方程式建立數學方塊圖之步驟：

步驟一：建立系統各組件之動態方程式

樞控直流馬達係由分開之來源所激發，同時場電流保持 為定值。若忽略電樞反應，則其動態方程式為：

e_r = e_i － e_b (1) er = ei － eb = ia Ra + La (dia /dt) (2) T＝K_i×i_a (3) T = Jθ’’+ fθ’ (4) Kb θ’ = eb (5)

其中 J,f 及θ係分別為馬達及負載之轉子之慣量、阻尼係數 與角位移。

步驟二：建立系統各組件之代數方程式：

將上述方程式(設初始為靜態)取拉氏轉換，可得下列五 個代數方程式：

樞控直流馬達功能方塊圖

E_r(s) = E_i(s) - E_b(s) (1a) Er(s) = RaIa(s) + LasIa(s) (2a) Γ(s) = Ki Ia(s) (3a) Γ(s) = Js²Θ(s) + fsΘ(s) (4a) Kb sΘ(s) = Eb(s) (5a) 步驟三：建立系統各組件之數學方塊圖

利用起因－效應法，將以上五方程式分別建立數學方塊 圖，如下五圖所示：

E_i(s) E_r(s) (1)

- Eb(s)

Er(s) Ia(s) (2)

Ia(s) Γ(s) (3)

Γ(s) Θ(s) (4)

Eb(s) Θ(s) (5)

步驟四：建立系統之數學方塊圖：

利用各組件之輸出與輸入特性，將以上五個方塊圖整合 後，即可得下圖之樞控直流馬達的數學方塊圖，由圖知反電 動勢形成反饋路徑，反電動勢係由於馬達轉速之故，且成為 調整全系統行為之來源。

1 Ra + sLa

Ki

1 J s²+ fs

sKb

3-4 方塊圖合成

數學方塊圖建立後，須進行合成之工作，以求得系統輸 出與輸入之關係，而合成後之方塊圖內之轉移函數稱為系統 整體轉移函數，如下圖所示：

系統整體轉移函數建立之目的，主要係為進行以下之 工作：

1. 穩定性分析

2. 性能衡量與規格建立 3. 控制器設計

而合成之方法主要分成三種，介紹如下：

(1) 起因－效應法

樞控直流馬達之數學方塊圖，可由典型方塊圖(下圖)所 代表，由此圖可得以下五個方程式連接六個變數，使用疊代 法可將此五個方程式中之另四個消去，而求得 C/R，此法之 步驟如下：

Gc(s)

U(s) Y(s)

樞控直流馬達數學方塊圖

(1) 使用起因效應法求得以下五個代數方程式。

RG₁ = m₁ m1 – b = m2

CH = b m2G2 = n

nG3 = C (2) 使用疊代法以求得 C/R。

C = nG3 = m2G2 G3 = (m1 – b) G2 G3

= (RG1 – HC) G2 G3 = RG1G2G3- HCG2G3

(1+ HG₂G₃)C = RG₁G₂G₃

∴

H G G

G G G R

C

3 2

3 2 1

1



下圖顯示 C 與 R 間之相同關係，因此視為恆等於典型數 學方塊圖。

等效之合成後方塊圖 典型數學方塊圖

因此，樞控直流馬達數學方塊圖可合成如下：

(2) 方塊圖合成規則

方塊圖間之不同恆等能加以建立，以致某一個能以另一個 取代而不改變所對應之代數方程式。普通所應用方塊圖合成 規則列於下圖，能以類似前例之代數程序證明。

合成方塊圖之有用規則

Ki

s[L_aJ_ms² + (R_aJ_m+L_aB_m)s + R_aB_m+K_iK_b]

Ei(s) Θ (s)

上圖之恆等規則可應用至前述典型方塊圖之合成，所完成 之步驟示於下圖。最後一個方塊圖與典型方塊圖之合成後方 塊圖相等。

恆等規則應用例

訊號流程圖可定義為：將一組線性代數方程式之間的輸出入關係以圖解 的方式說明的方法。考慮以一組N 個代數方程式描述的線性系統：





 ^N

1 k

k kj

j a y j 1,2...,N y

把上述N 個方程式寫成因果關係：



 ^N

1 k

) k

)(

j k (

j個結果 從 到的增益 第 個原因 第

或簡單的

^{輸出 }



(3)

程式，然候再將轉換式重排成一組N 個代數方程式的形式，即





 ^N

1 k

k kj

j G (s)Y (s) j 1,2...,N Y

畫訊號流程圖時，連接點或節點(nodes)用以表示變數 y^j和

代數方程式

上 下圖

上式與下圖

y₂ a₁₂y₁除了以上圖之訊號流程圖表示外，亦可對等於數學方塊圖之表 示如下圖，其中a₁₂對等於該系統的整體轉移函數G_c(s)^，節點 y1相對於輸入 信號而節點y₂^{相對於輸出信號。}

y1 y2

y₂ a₁₂y₁的數學方塊圖

考慮下列代數方程式組

a

下圖

下圖 下圖

上 下圖

下圖 下圖

...

) P ....

P P ( ) P ....

P P (

1 ₁  ₂   _L  ₂₁ ₂₂   _2r 

 

L= ^{個別迴路的數目}

PL= 第 L 個個別迴路的增益值

Pmr= r 個無接觸迴路的第 m 個可能組合的增益乘積

由於△的第二個括號以後的項的值遠小於第一刮號內的值，故△與△^K可 簡化如下：

) P ....

P P (

1 ₁  ₂   _L

 

) P ....

P P (

1 _{k1 k2 kr}

k     



以下以三個例題(簡易型、適中型與複雜型)來說明增益公式的計算：

例題 1. 下圖為方塊圖規則五，試求 C/R 與 E/R。

上圖的等效信號流程圖如下：

解： (1)求 C/R

GH )

H ( G P

1 L ,

G 1 G 1 M

M M ,

1 N

1 1

1 1









    



 



GH 1

G GH

1 1 M G

R C

1 ) 0 ( 1

GH 1

) GH (

1

1

 



 







    





(2)求 E/R

GH 1

1 GH

1 1 1 R

E

1 ,

GH 1

GH )

H ( G P

1 L ,

1 M

M M ,

1 N

1 1

1

1 1

 



 





   













例題 2. 下圖為某一控制系統的數學方塊圖，試求 Y/R 與 E/R。

上圖的等效信號流程圖如下：

解： (1)求 Y/R

1 1

1

2 2

2

1 1

1

2 2 1

1

G )

1 ( G P

G 1 G M

1 L ,

G 1 G 1 M

M M M

, 2 N









     

 

 





1 2 1 2

1 2

1

1 1

G 1

G G GH

1

1 G 1 M G

R Y

1 ) 0 ( 1

1 ) 0 ( 1

G 1 ) G ( 1



 







 







  

    







(2)求 E/R

1 2

1 2

2 1

1 1

1 1

1

2 2

2 1

2 2 1

1

G 1

G 1 G

1

1 ) G ( 1 M 1

R E

1 ,

1 ,

G 1 ) P ( 1

G )

1 ( G P

G )

1 ( G M

1 L ,

1 M

M M M

, 2 N



 









 













   

 















例題 3. 下圖為某一控制系統的數學方塊圖，試求 C/R、E/R 與 Y³/R。

上圖的等效信號流程圖如下：

解： (1)求 C/R

2 4 2

4 5

4 1 4

1 4

2 3 2 2

3 2 3

1 2 1 1

2 1 2

3 2 1 3

2 1 1

4 1 4 1 2

3 2 1 3 2 1 1

2 2 1

1

H G )

H ( G P

G G )

1 ( G G 1 P

H G G )

H ( G G P

H G G )

H ( G G P

G G G )

1 ( G G G 1 P

5 L

G G G G 1 1 M

G G G G G G 1 1 M

M M M

, 2 N









     

    

    

     

     

 

 











4 1 3 2 1 2

1

2 4 4 1 2 3 2 1 2 1 3 2 1

5 4 3 2 1

G G G G M G

R Y

1 ) 0 ( 1

1 ) 0 ( 1

H G G G H G G H G G G G G 1

) P P P P P ( 1

 







  

         



(2)求 E/R





 







2 4 2 3 2 1 2 1 1

2 4 2 3 2 1 2 1 5

3 2 1

5 3 2 1

5 1

1

1 1

H G H G G H G G 1 M 1

R E

H G H G G H G G 1 ) P P P ( 1

,

P , P , P M

, ) 1 ( P P

5 L ,

1 M

M M ,

1 N





 

 



























同上 與 同 與 無接觸部份迴路為

至

(3)求 Y³/R





 







2 4 2 3 2 1

3

2 4 2 3 2 5

3 1

5 3 1

5 1

1

1 1

H G H G G 1 1

R Y

H G H G G 1 ) P P ( 1

,

P , P M

, ) 1 ( P P

5 L ,

1 M

M M ,

1 N



 

 





















同上 與 同 與 無接觸部份迴路為 至

當訊號流程圖中的節點為系統的狀態變數時，就可以用增益為s^-1的分支將 這些節點連接起來，因此訊號流程圖中積分器的輸出變數定義為狀態變數 x¹，x²… xⁿ，此時的訊號流程圖稱為狀態圖。以下以一例題說明如何由微分方程式求得狀 態圖。

因此，第 54 頁之圖雖表示樞控直流馬達之數學方塊圖，

惟其仍未達到最細部之分解，主要係電路部份與機械部份之 動態方程式仍可進行轉移函數分解，方可達到狀態圖之要 求。下圖表示一般轉移函數細部分解至狀態圖之情況，每一 個積分器(1/s)前則表示存在一狀態變數。

轉移函數之狀態圖

因此，樞控直流馬達之數學方塊圖分解後之狀態圖如下 圖所示，由圖知，此系統有三個狀態變數，x₁ = i，x2 = dθ/dt，

x3 = θ，分別代表電流值、角速度與角位移。

樞控直流馬達之狀態圖

3-6 狀態方程式之矩陣表示法

而由上圖可得樞控直流馬達之三個狀態方程式如下：

) x K Rx E

L ( dt dx

b i

a

2 1

1  1  

) T fx x

K J ( dt dx

L

t  

 _{1 2}

2 1

2

3 x

dt dx 

利用向量矩陣形式可將上述的動態方程式表示成矩陣 微分方程式如下：

B

D

E

解上述的狀態方程式，可得系統的狀態轉移矩陣(當 B=0 時)，則相關現代控制理論均可迎刃而解，以下介紹線性系統 的可控制性與可觀測性。

3-6-1 線性系統之可控制性

這是奇異的，所以系統為狀態不可控制的。

3-6-2 線性系統之可觀測性

3-7 應用實例(電液式伺服閥) 3-7-1 前言

近年來，伺服系統的控制隨著微電腦的快速發展，而快 速的應用在一般產業領域。而以微小的電氣信號控制巨大的 液壓動力之液壓伺服系統中，構成電氣與液壓介面的伺服 閥，可說是電液複合化，即機電整合化之重要零組件之一，

其在伺服機構所佔角色如下圖所示。

3-7-2 伺服閥的結構

伺服閥的基本構成的功能方塊圖如下：

故伺服閥包含轉矩馬達組、液壓放大器、滑軸與滑軸套組等 三大部份。伺服閥整體構造如下：

微 小 電 子 信 號

微 小 機 械 物 理 量

小 的 機 械 物 理 量

巨 大 機 械 物 理 量

作 功

電子 機械

機電介面 (伺服閥)

轉矩馬達組功能方塊圖如下：

i T_a T x_f

Ts Xs Ta T

Ts

液壓放大器之功能方塊圖與結構功能圖如下：

x_f ^△Q

△Q Xs Xs Qv

轉矩 馬達組

電樞 擋葉組

回饋 彈簧

滑軸與 滑軸套

滑軸流 量增益 液壓

放大器

伺服閥之全系統功能方塊圖可組合如下：

i T_a T xf ^△Q X_s

T_s X_s

伺服閥之全系統操作功能結構圖如下：

伺服閥之全系統數學方塊圖如下：

轉矩 馬達組

電樞 擋葉組

回饋 彈簧 液壓 放大器

滑軸與 滑軸套 回饋

彈簧

滑軸流 量增益

彈簧

伺服閥數學方塊圖模擬參數如下：