高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.01.05 班級
範
圍 餘式、因式定理+Ans 座號
姓 名 一、 複選題 (每題 8 分)
1. 設a，b，c ∈ Z，則下列何者不可能是多項式f (x) = 2x4 + ax3 + bx2 + cx + 5 的因式？
(A) x − 1 (B) 2x − 1 (C) x + 2 (D) 5x − 1 (E) 3x − 5。
Ans： (C)(D)(E) 解析：
利用一次因式檢查定理
若 f (x)有 px − q 的因式，p，q ∈ Z，p ≠ 0，(p，q) = 1，則 p | 2，q | 5
∴ 設 p 2 或 q 5，則 f (x)必無 px − q 的因式
∴ x + 2，5x − 1，3x − 5 恆非 f (x)的因式
2. 設多項式f (x)除以(x − 1)(x − 2)(x − 3)之餘式為 2x2 + x − 7，則 (A) f (x)除以x − 1 的餘式為 4 (B) f (x)除以x − 2 的餘式為 3
(C) f (x)除以x − 3 的餘式為 14 (D) f (x)除以(x − 1)(x − 2)的餘式為 7x − 11 (E) f (x)除以(x − 2)(x − 3)的餘式為 11x + 19。
Ans： (B)(C)(D) 解析：
設f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) Q(x) + 2x2 + x − 7
(A) f (x)除以x − 1 的餘式 = x − 1 除 2x2 + x − 7 之餘式 = − 4 (B) f (x)除以x − 2 的餘式 = x − 2 除 2x2 + x − 7 之餘式 = 3 (C) f (x)除以x − 3 的餘式 = x − 3 除 2x2 + x − 7 之餘式 = 14
(D) f (x)除以(x − 1)(x − 2)的餘式 = (x − 1)(x − 2)除 2x2 + x − 7 之餘式 = 7x − 11 (E) f (x)除以(x − 2)(x − 3)的餘式 = (x − 2)(x − 3)除 2x2 + x − 7 之餘式 = 11x − 19
二、 填充題(每題 10 分)
1. a，b為常數，若 2x − 3 與 3x + 1 均為ax3 + bx2 − 47x − 15 的因式，則數對(a，b) = 。 Ans： (24，2)
解析：
令f (x) = ax3 + bx2 − 47x − 15 2x − 3 | f (x) ⇒ f (
2
3) = 0 ⇒ 8 27a +
4 9b −
2
141− 15 = 0 ⇒ 3a + 2b = 76……c 3x + 1 | f (x) ⇒ f (
3
−1) = 0 ⇒ − 27
1 a + 9 1b +
3
47− 15 = 0 ⇒ − a + 3b = −18……d c + d × 3 11b = 76 − 54 = 22 ∴ b = 2 代入d得 a = 24
2. 設f (x) = a(x − 1)(x − 2) + b(x − 2)(x − 3) + c(x − 3)(x − 1)，其中a，b，c為常數，若f (10) = f (100) = f (1000) = 5，則序組(a，b，c) = 。
Ans：(
2 5，
2
5，− 5) 解析：
f (x) = a(x − 1)(x − 2) + b(x − 2)(x − 3) + c(x − 3)(x − 1)，deg f (x) ≤ 2 又 f (10) = f (100) = f (1000) = 5 ∴ f (x) = 5
即 a(x − 1)(x − 2) + b(x − 2)(x − 3) + c(x − 3)(x − 1) = 5 x = 3 代入得 2a = 5 ∴ a =
2 5
x = 1 代入得 2b = 5 ∴ b = 2 5
x = 2 代入得 − c = 5 ∴ c = − 5
∴ (a，b，c) = ( 2 5，
2
5，− 5)
3. 設f (x)為一多項式，以x − 1 除之餘 5，以x + 2 除之餘 2，則f (x)除以(x − 1)(x + 2)之餘式 為 ____ 。
Ans： x + 4 解析：
f (x)除以 x − 1 餘式 5 ⇒ f (1) = 5 f (x)除以 x + 2 餘式 2 ⇒ f (− 2) = 2 令 f (x) = (x − 1)(x + 2) q(x) + ax + b 則 f (1) = a + b = 5，f (− 2) = − 2a + b = 2 解得 a = 1，b = 4 ∴ 餘式 ax + b = x + 4
4. 設f (x) = x4 + 3x2 − 2x − 1 且g (x) = f (2x − 3)，則以 2x − 1 除g (x)所得之餘式為 。 Ans： 31
解析：
f (x) = x4 + 3x2 − 2x − 1，g (x) = f (2x − 3)，以 2x − 1 除g (x)所得之餘式為 g (2
1) = f (2 × 2
1− 3) = f (− 2)= (− 2)4 + 3(− 2)2 − 2(− 2) − 1 = 31
5. 多項式f (x)，f (x) ÷ (x − 3)之餘式為 2，f (x) ÷ (2x2 + 5x − 3)之餘式為 4x − 1，則 (1)f (x) ÷ (2x2 − 7x + 3)之餘式為 ，
(2)f (x) ÷ (x − 3)(2x2 + 5x − 3)之餘式為 。 Ans：(1)
5 2x +
5
4；(2) − 5 3x2 +
2 5x −
10 1 解析：
f (x) = (2x2 + 5x − 3) q1(x) + 4x − 1 = (2x − 1)(x + 3) q1(x) + 4x − 1
∴ f ( 2
1) = 4 × 2
1− 1 = 1 又 2x2 − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)
∴ 設f (x) = (2x − 1)(x − 3) q2(x) + a(x − 3) + 2，f ( 2 1) = a(
2
1− 3) + 2 = 1 ⇒ a = 5 2
∴ f (x) ÷ (2x2 − 7x + 3)的餘式為 5
2(x − 3) + 2 = 5 2x +
5 4
設f (x) = (x − 3)(2x2 + 5x − 3) q3(x) + b(2x2 + 5x − 3) + 4x − 1
∴ f (3) = 2 ⇒ b(2 × 32 + 5 × 3 − 3) + 4 × 3 − 1 = 2 ⇒ 30b + 11 = 2 ∴ b = − 10
3 故f (x) ÷ (x − 3)(2x2 + 5x − 3)的餘式為−
10
3 (2x2 + 5x − 3) + 4x − 1= − 5 3x2 +
2 5x −
10 1
6. 設多項式f (x)除以x − 1，x2 − 2x + 3 之餘式依次為 2，4x + 6，則 f (x)除以(x − 1)(x2 − 2x + 3)的餘式為 。
Ans： − 4x2 + 12x − 6 解析：
f (x) = (x − 1)(x2 − 2x + 3) h(x) + a(x2 − 2x + 3) + 4x + 6
f (1) = 2a + 10 = 2 ⇒ a = − 4 ∴ 餘式為 − 4x2 + 12x − 6
7. 若多項式x3 − 3x2 − 6x + 8 能被x − a及x + 2a整除，試求所有可能的實數a的值為
。
Ans：1 或 − 2 解析：
x3 − 3x2 − 6x + 8 = (x − 1)(x + 2)(x − 4) ∴ a = 1 或 − 2
8. 若f (x) ∈ R [x]且deg f (x) ≥ 3，已知f (x)除以(x + 1)2餘 3x + 2，f (x)除以(x − 1)2餘 2x + 1，
則f (x)除以(x − 1)(x + 1)2之餘式為 。 Ans： 2
2 1x
− + 2x + 2 3 解析：
令f (x) = (x − 1)(x + 1)2 q (x) + a(x + 1)2 + (3x + 2)
∵ f (1) = 3 ⇒ 3 = 4a + 5 ∴ a = 2
−1
∴所求餘式為 2
−1(x + 1)2 + (3x + 2) = 2 2
1x
− + 2x + 2 3
9. 設a，b ∈ N，c ∈ Z，若x5 − ax4 + x3 − 2bx2 + x + 2 有一次因式x − c，則a + b + c = 。 Ans： 4 或 5
解析：
令f (x) = x5 − ax4 + x3 − 2bx2 + x + 2， x − c | f (x) ⇒ c | 2 ⇒ c = ± 1，± 2
c 1 − 1 2 − 2
f (c) = 0 a + 2b = 5 a = 1，b = 2 或 a = 3，b = 1
a + 2b + 1 = 0
（不合）
4a + 2b = 11
（不合）
2a + b = − 5
（不合）
∴ a + b + c = 4 或 5
10. 因式分解多項式 3x4 − 2x3 − 5x2 − 4x − 4 = 。 Ans： (x + 1)(x − 2)(3x2 + x + 2)
解析：
令f (x) = 3x4 − 2x3 − 5x2 − 4x − 4，f (−1) = 0，f (2) = 0
⇒ (x + 1) | f (x)且(x − 2) | f (x)
⇒ (x + 1)(x − 2) = (x2 − x − 2) | f (x)
⇒
⇒ f (x) = (x2 − x − 2)(3x2 + x + 2) = (x + 1)(x − 2)(3x2 + x + 2)
11. 化簡 76 − 6(75) − 8(74) + 10(73) − 25(72) + 30(7) + 5 = 。 Ans： 19
解析：
設f (x) = x6 − 6x5 − 8x4 + 10x3 − 25x2 + 30x + 5
∴ 76 − 6(75) − 8(74) + 10(73) − 25(72) + 30(7) + 5 = f (7) = x − 7 除f (x)之餘式
∴ 原式 = f (7) = 19
12. 設k為負整數，若f (x) = x4 − 2x3 + x2 + kx − 3 有整係數一次因式，求k之值 。 Ans： − 11
解析：
設 f (x)的整係數一次因式為 ax − b，則 a | 1，b | − 3，則 ax − b 可為 x ± 1，x ± 3 (1) x + 1 | f (x) ⇒ f (−1) = 0 ⇒ 1 + 2 + 1 − k − 3 = 0 ⇒ k = 1（不合）
(2) x − 1 | f (x) ⇒ f (1) = 0 ⇒ 1 − 2 + 1 + k − 3 = 0 ⇒ k = 3（不合）
(3) x + 3 | f (x) ⇒ f (− 3) = 0 ⇒ 81 + 54 + 9 − 3k − 3 = 0 ⇒ k = 47（不合）
(4) x − 3 | f (x) ⇒ f (3) = 0 ⇒ 81 − 54 + 9 + 3k − 3 = 0 ⇒ k = −11 故 k = −11
13. 多項式 f (x)，以(x − 1)(x − 2)除之得餘式為 20x − 6，以(x − 2)(x − 3)除之得餘式為
32x − 30，求以(x − 1)(x − 2)(x − 3)除 f (x)的餘式_______________。
Ans：6x2 + 2x + 6 解析：
設f (x) = (x − 1)(x − 2) q1(x) + 20x − 6 又f (x) = (x − 2)(x − 3) q2(x) + 32x − 30
設f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) q(x) + ax2 + bx + c
= (x − 1)(x − 2)(x − 3) q(x) + a(x − 1)(x − 2) + 20x − 6 由f (3) = 32 × 3 − 30 = 66
得f (3) = 2a + 60 − 6 = 66 ∴ a = 6
故餘式為 6(x − 1)(x − 2) + 20x − 6 = 6x2 + 2x + 6
