xabi  2  i  2 i  5 bi ab   32 i k 3  32 i  74 i x 

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：107.11.09 範

圍 多項方程式 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題 10 分)

1. 設 x, y 為實數，且(xyi)(4 3 ) i  1 2i，則 x ________, y_________.

答案： ², 25

 11 25

解析： ^{1 2} (1 2 )(4 3 ) 2 11

( )(4 3 ) 1 2

4 3 25 25

i i i i

x yi i i x yi

i

    

        

 ，

2, x 25

∴ 11

y25

2. 設 f x( )為一實係數多項式，若 f(2  i) 4i 7，則 f(2 i) ______.

答案： 7 4i 

解析： ∵ f(2  i) 4i 7，∴ f(2 i) f(2     i) 4i 7 7 4i

3. 已知方程式x²2ix(6i  恰有一個實根，其中9) 0 i  ，則此方程式的兩根為_____． 1 答案： 3 或 3 2i 

解析： 設實根為 k ，代入方程式 得k²2ik(6i  9) 0 (k²  9) (6 2 )k i 0 ∴

2

29 0 3 6 k 0

k k

  



 

 

設方程式的另一根為 則3 ² 2 3 2

1

i i i

 ^ 

        ∴此方程式的兩根為 3 或 3 2i 

4. 設 x, y 為實數，若(1i x)( y) (5 4 )(2i xy)  1 8i，則數對( , )x y _________.

答案： (1, 3)

解析： ∵x   y xi yi 10x5y8xi4yi  1 8i (11x 4 )y ( 7x 5 )y i 1 8i

        ∴ 11 4 1 1

7 5 8 3

x y x

x y y

   

 

    

 

5. 設 a,b 為實數，且² 4 3

a i i



 的共軛複數為 5 bi  ，則 a b  ______。

答案： ^{2 (2 )(4 3 ) (8 3) (4 6 )} 5

4 3 25 25

a i a i i a a i

i bi

          



∴

8 3

5 16

25

4 6 4

25 a

a

a b

b

   

   

 

    

  



∴a      b 16 ( 4) 20

6. 方程式x²  3 4i之解為________.

答案： 2 i 或 2 i 

解析： 設 x a bi  ，a, b 為實數

2 2

( )

x  a bi a²2abib i^{2 2} (a²b²)2abi  3 4i ^{2 2} 3

2 4

a b

ab

  

    ，以b ² a

  代入得

2 2 2

( ) 3

a a

   a⁴3a² 4 0(a²4)(a²  1) 0a² 4,1 (1不合)

∴a 2, 2  b 1,1   或 2 ix 2 i  

7. 計算^{(2 2 )( 6 3 )} (2 2 )( 6 3 )

i i

i i

  

  .

答案： 1 解析： Sol 一

2 2

(2 2 )( 6 3 ) (2 2 ) ( 6 3 )

(2 2 )( 6 3 ) (2 2 )(2 2 )( 6 3 )( 6 3 )

i i i i

i i i i i i

    

     

(2 4 2 )(3 6 2 ) (4 2)(6 3)

i i

 

  

(1 2 2 )(1 2 2 ) 9

i i

 

 1 8

9 1

  

Sol 二

(2 2 )( 6 3 ) 2( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (2 2 )( 6 3 ) 2( 2 ) ( ) ( 1

3 2 2

3 2 2 ) ( 2 )

i i i i i i

i i i i i i

          

       

8. 試求方程式3x³x²  x 4 0的有理根為__________.

答案： ⁴

x 3

解析： ^{3 2} 1, 3

| 3 4 | 3, | 4

1, 2, 4

px q x x x p q p

q

  

          

可能 1 2 4

1, 2, 4, , , 3 3 3 q

p         可能的一次因式：x1,x2,x4 3x1, 3x2, 3x4

∴原式(3x4)(x²   ，有理根x 1) 0 ⁴ x 3

9. 將下列複數化成 a bi 的形式：(1)²

i _______. (2)¹ 1

i i

 

 _______.

答案： 2i ，i

解析： (1)^{2 2}₂i 2 i  i   i (2)

2 2

2

1 (1 ) 1 2 2

1 (1 )(1 ) 1 2

i i i i i

i i i i i

   

   

   

10. 設 f x( )x⁵x⁴10x³10x²  ，試求x 5 f(1 i) _________.

答案： 18 3i

解析： x  1 i (x1)²  i² x²2x  2 0

2 3 2

( ) ( 2 2)( 3 6 8) 3 21

f x  x  x x  x  x  x (除法原理)

3 1 1 4 4

3

4 4 4 3 3 3 3 0 1 1 1

   

  

  

 

∴ f(1   i) 0 ( 3)(1 i) 21  18 3i

11. 方程式x² x 1 ₂⁶

x x

  

 之實數解為________.

答案： 2, 1 解析： 設x² x t

則x² x 1 ₂⁶

x x

  



1 6

t t

      t² t 6 0  (t 3)(t2)0  t 3, 2

∴x²  x 3 0或x²  x 2 0 1 11 2 x  i

  或



^x2



^{x  1}



⁰

∴ ^{1 11} 2 x  i

 , 2, 1 又 x 為實數，∴x 2, 1

12. 解方程式4x⁴9x³2x² 9x 2 0得 x . 答案： 1, 1, 2, ¹

  4

解析： ^{4 3 2} 1, 2, 4

| | 4, | 2

4 1,

9 2 9 2 p 2

px q p q

x x x x q    

      

   



可能 1 1

1, 2, , 2 4 q

p       所有可能一次整係數因式為x1,x2, 2x1, 4x1 代 1,1, 2, 2, ^{1 1}, , ^{1 1},

2 2 4 4

x     檢查 故 1,1, 2, ¹ x   4

13. 若多項式x² x 2能整除x⁵x⁴x³px² 2x ，則q p________, q________.

答案： 3,8 解析：

1 1 ( 1) 1 1 2 1 1 1 2

1 1 2

1 2

1 1 2 ( 1) 4

p

p q

p

p

  

      

 

  

  

 

( 1) ( 1) 2( 1) (3 ) ( 2 2)

q

p p p

p q p



    

   

∵整除, ∴ 3 0 2 2 0 p

q p

  

   

  3

8 p q

 

 

14. 若x  為方程式1 i 3x²ax 2 0的一根，則 a 之值為__________．

答案： 4 2i 

解析： x  代入方程式得1 i 3(1i)²a(1  i) 2 0 ^{2 6} 4 2 1

a i i

i

      



15. 設 a, b 為實數，且a  b 10, 21ab ，則 a b  __________.

答案： ( 7 3)i

解析： a  b 10, 21ab  a 0, b0

( a b)2   a b 2 a b   a b 2 ab   10 2 21  a b ( 7 3)i 16. 若



與 為二次方程式x²3x 1 0之根，則

(1)(

 

 )²  _____. (2)

 

 

^  _____. (3)



³



³  ______. (4) 1 1

1 1



 ^



 ^_____.

答案： (1)5 (2)7 (3)18 (4) 1 解析：   3,  1

(1)(

 

 )² (

 

 )²4



   9 4 5 (2)

2 2 2

( ) 2 9 2

1 7

      

   

   

    

(3)



³



³ (

 

 )³3

  

(  )3³   3 1 3 18

(4) 1 1 1 1 ( ) 2 3 2

1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( ) 1 1 3 1 1

   

        

    

      

          

17. 設 k 為整數，若 f x( )x⁴2x³kx²3kx 為整係數多項式，若已知3 f x( )有整係數之一次因 式，則 k________或________.

答案： 0, 1

解析： ∵ f x( )有整係數一次因式，則必為(x1), (x3)

(1) 2 0 0

f   k  k

∴

( 1) 4 4 0 1

f   k   k

(3) 132 0, ( 3) 18 24 0 4( )

f   f   k    k 3 不合 ∴k  或 1 0

18. 設1 2i 是實係數方程式x²ax b 0之一根，則數對( , )a b __________。

答案： 實係數方程式x²ax b 0有一根1 2i 必有一根1 2i ∴ (1 2 ) (1 2 ) 2

(1 2 )(1 2 ) 5

i i a a

i i b b

      

 

     

  故( , )a b  ( 2, 5)

19. 設 a, b 為實數，且 f x( )x⁴x³ax²7x b  有一根為1 2i0  ，則 數對( , )a b ________，另外三根為______________.

答案： (2, 5), 1 2 , i 1 5 2

 

解析： 由虛根成對我們知1 2i 亦為其根 [x (1 2 )][i x (1 2 )]i x22x 5

1 1 1 1 2 5 1 1 7

1 2 5 1 ( 5) 7

1 2 5 ( 3) 2 1 2 5 0

a b

a

a b

 

     

 

  

 

  

  

3 1 2

5

a a

b

    

  

 ，∴( , )a b (2, 5)

2 2

( ) ( 2 5)( 1) 0

f x  x  x x   x    , x 1 2i ^{1 5} 2

 

20. 已知a 是一個實數，若x² (a 3 )i x (6 9 )i  有實根，則 a0  . 答案： 5

解析： 設 k 為實根，代入得k² (a 3 )i k (6 9 )i  0

2 2

3 6 9 0 ( 6) (9 3 ) 0

k ak ki i k ak k i

           

∵k a,  

∴ 9 3 k   又0 k 3 k² ak 6 0，∴a 5

21. 設a，b 為方程式x²15x 9 0的兩根，則 (1)

 



^



 _______．(2)







 _______．

答案： (1)5；(2) 21i

解析： ∵判別式D15²  4 9 0 ∴a b, 為兩相異實根

又 15

9

 



  





 ，∴a0,b0 (1)

2 2

( ) ( )

   

   

   

9 15 5

 



 

  



(2)(







)² (   



i



i)²   

 

2



  15 2 9   ，∴21







 21i 22. 設 f x( )x¹⁰⁰x⁵⁰ ，則：(1)1 f i( )______. (2) 1

( )

2

f  i  ________.

答案： (1) f i( )i¹⁰⁰i⁵⁰     1 1 1 1 1

(2) 1 1 ¹⁰⁰ 1 ⁵⁰

( ) ( ) ( ) 1

2 2 2

i i i

f   

      1 ^{2 50} 1 ²⁵ 2 ⁵⁰ 2 ²⁵

[( ) ] [( )] 1 [( )] [( )] 1

2 2

2 2

i i i i

 

        ( )i ⁵⁰( )i ²⁵1     1 i 1 i

23. 設 a, b 為實數，若 ^{1 1 1}

2 3 2 2

i ia bi  

  ，則 a______, b  _______.

答案： ⁹ , 17

19 17

解析： ^{1 1 1}

2 3 2 2

i ia bi  

 

1 1 2 3 9 19

2 2 13 26

i i i

a bi

 

    

 26 26(9 19 )

9 19 442

a bi i

i

   

∴  9 19

17

 i

 ， ⁹ , ¹⁹

17 17

a b

∴