有朋自遠方來一一專訪

有朋自遠方來一一專訪

Frans Oort 教授 ₍ 下 ₎

策 劃 : ^劉太平 訪 問 : ^翟敬立

時 間 : ^民國 101 ^年 12 ^月 3 ^日 地 點 : ^{中央研究院數學研究所} 整 理 : ^{陳麗伍、 黃馨霈}

Frans Oort 教授 1935 年出生於荷蘭 Bussum, 1952∼1958 就讀荷蘭萊頓 大學, 1961 得到萊頓大學博士學位。 1961∼1977 任教阿姆斯特丹大學, 自 1977 起任教 Utrecht 大學直至 2000 年退休。 他是知名的代數幾何學家, 主要的工作在 Abelian Varieties 與其 Moduli Spaces。

數學家 : 一個大家庭

Frans Oort (以下簡稱 「O」): 我想回頭來講 「大家庭」, 世界各地的數學家關係密切, 想法自 由流通, 每週至少一次我會收到年輕人寄來的 Email, 他們來信極為有禮, 表示自己正在做 某方面的問題, 是否可以請我告訴他哪裡可以找到資料, 以及如何做研究。 我撥出時間回答 這些問題, 上個月 (2012 年 11 月) 就有一位日本學者, 一位伊朗博士生, 帶著他們的問題 和想法到我這來, 數學界這樣的結構和氛圍是難以言喻的美好。 數學家彼此就如家人般, 熟 悉而且可以無話不談。 我記得數學傳播訪問過森重文教授 (Mori)¹, 讓我來講兩個關於森教 授²的故事, 1983 年我和 Mori 一起從東京搭子彈列車 — 新幹線 (Shinkansen), 他回名 古屋 (Nagoya), 我去京都 (Kyoto), 我們相談甚歡, 我告訴他我看過 Faltings³ 證明三個

這是 Frans Oort 教授訪談的第三部分, 第一部分刊載於數學傳播第 38 卷第 1 期 (149 號), 包括早期, Aldo Andreotti 和比薩, Jean-Pierre Serre、 巴黎及其它, 教學, 哈佛 。 第二部分刊載於數學傳播第 38 卷第 2 期 (150 號), 包括中年, 如何做數學, 同儕與合 作, 想法、 猜測和期許。

1有朋自遠方來 — 專訪森重文教授, 數學傳播季刊, 132, 頁 3-18。

2Shigefumi Mori (1951) 日本數學家, 以代數幾何的工作, 尤其是 three-folds 的分類聞名。 1990 年在國際數學家大會 (Interna- tional Congress of Mathematicians) 獲頒費爾茲獎 (Fields Medal)。

3Gerd Faltings (1954) 德國數學家, 以算數代數幾何的著作聞名, 1986 年因證明 Mordell 猜測獲頒費爾茲獎 (Fields Medal)。

3

有名猜測的初稿⁴, Mori 說:「這很有意思, 你可以告訴我他的證明嗎?」 當時我告訴他一個 相當複雜的證明, 一個半小時後火車靠站, 第一站就是名古屋, 他對我說:「Frans, 真是太謝 謝你了, 我全都懂了!」(太厲害了!)

翟敬立 (以下簡稱 「翟」): 那是 1983 年的事。

O: 是 1983。 彼此認識的兩個人, 在火車上不期而遇, 其中一人向另一人解釋某些數學問題, 而 對方全都了解, 這真的很不簡單。 另一則也很有趣, 我受邀到名古屋演講, 我和 Johan 在 一篇關於阿貝爾解形中超橢圓曲線 (hyperelliptic curves in abelian varieties)⁵的文章 中用到 Mori 的一個招數^{6 7}。 演講前我去找 Mori, 告訴他:「在我演講的某一個階段, 你將 會很不高興, 但請你不要出聲抗議。」 他回答:「沒問題!沒問題!」 他是個有趣的傢伙。 我在演 講中解釋 Mori 的招數, 在座諸人皆點頭如搗蒜。 但我遺漏了其中最重要的細節之一 — 其 中的一個條件, 我在台上看著 Mori, 他知道這個時候他不該出聲, 只是會心地笑笑。 我用 Mori 招數的錯誤版本繼續我的演講, 從錯誤的版本中, 歸結出零特徵阿貝爾解形的 moduli scheme 包含了有理曲線。 一眾人等都緊張起來, 因為很明顯這是錯的, 他們看著我:「你真 的在證明這個?」 不錯, 我用了 Mori的招數得到這樣的結論, 但結論是錯的, 因為在某一個 地方我遺漏了什麼, 我承認自己忘了, 故意忘記 Mori招數中最重要的條件之一, 也就是有 理曲線的集合必須是有界的。 我加上這個條件之後, 錯誤的結論完全不可能發生, 大家又開 心起來。 然後我給了這個招數一個證明, 並且用在演講中。 有趣的是 Mori 一語不發, 就只 是坐在那和我套招。 在座的聽眾看到這個要緊的細節不能省略, 也了解了它在我的演講證明 中的重要性。

這些是數學家生命中的美好經歷。 讓我來說說另一個故事, 是我很想在這裡提到的。 在德國 的波昂 (Bonn) 有個馬克斯 — 普朗克數學研究所 (Max-Planck-Institut f¨ur Mathe- matik), 基本上是由 Friedrich Hirzebruch⁸創立, 他在幾個月前過世 (2012 年六月)⁹。 他 是位傑出的數學家, 為人極好, 東德瓦解後, 他在團結東西德數學家方面是重要的推手。 每 年召集組織的工作會議 (Arbeitstagung) 是他的一項重要貢獻, 這個會議完全不同於我能 想像到的任何會議, 它的架構如下 : 沒有議程, 第一個演講通常由 Atiyah¹⁰主講。在首次演 講開始前, Hirzebruch 上台徵求推薦講者和主題, 但是不能毛遂自薦, 推薦的同時要提出

4G. Faltings – Endlichkeitss¨atze f¨ur abelsche Variet¨aten ¨uber Zahlk¨orpern. Invent. Math. 73 (1983), 349–366.

5F. Oort & J. de Jong – Hyperelliptic curves in abelian varieties. Published in: “Manin’s Festschrift”, Journ.

Math. Sciences 82 (1996), 141–166.

6S. Mori – Projective manifolds with ample tangent bundles. Ann. Math. 110 (1979), 593–606.

7Serre 曾寫信告訴我: 『有關用一般的方法或特別的招數來證明定理, 「招數」 這個詞帶有貶義, 但有一點需謹記在心: N 年的招數到了 N + 2 年常會變為定理。』 我想這也適用於 「Mori 的招數」。

8Friedrich Ernst Peter Hirzebruch (1927∼2012), 德國數學家, 1988 年獲頒沃爾夫獎 (Wolf Prize), 研究拓樸學、 複流形以 及代數幾何學, 是該世代的指標性人物。

9參見 2012 年 6 月 10 日紐約時報上的訃聞。 Atiyah 回憶: 『 [演講中] 你跟著他, 不知道走到哪裡, 然後, 忽然在演講的尾聲, 一個漂 亮的結果呈現出來, 這是藝術, 看似稀鬆平常卻是精心策畫。』

10Sir Michael Francis Atiyah (1929∼), 英國數學家, 1966 年獲頒費爾茲獎, 專精幾何學。

演講的題目。 經過一番建議、 討論的過程大家最想聽的的演講就會浮現, 而這些就是接下來 兩天的演講。 這真的是 Hirzebruch 大師級的傑作。 敬立, 你參加過嗎?

翟: 有, 在 1995 年的時候。

O: 的確, Hirzebruch 進行議程的討論非常高明, 面對人數眾多的聽眾, 要如何排定議程, Hirze- bruch 可說是箇中高手。 首先他對數學有高遠的看法, 再者他有很好的管道, 知道數學界當 前的現況, 哪些是熱門的主題; 另一方面, 如果有任何他所不知道的新知, 他會傾聽而後列 入建議案中。 這些在極為友好和諧的氣氛中順利地進行, 除了某天 · · · Hirzebruch 有一位 非常難纏的同事, 讓他的日子不得安寧。 我知道 Hirzebruch 因為這位同事的關係, 曾經要 辭職, 在前往郵局寄出辭呈的途中, 有人叫住他問他要做什麼, 他說要辭職, 所幸, 在勸說下 他打消辭意。 不過這位同事依然如故, 在一次討論議程的集會中, 他大吼:「應該要讓 OOO 和 XXX 演講!」 Hirzebruch 宅心仁厚地將這些名字記下來, 從中選出一或兩位來演講。 在 兩天後的議程討論過程中, 這位仁兄又大吼大叫, 爭論不休, 提出很多人名, 讓接下來的討 論很難理性地進行。 他說:「我們應該要有在地的講者!」 Hirzebruch 回答:「但這位就是在地 人士。」 不過這是位經常來 Bonn 訪問的人, Hirzebruch 開了個玩笑, 但那人不肯罷休, 情 況越演越烈, 大夥都很不高興, 但你能怎麼辦? Hirzebruch這時一如往常, 溫文地搓著手 說: 「我有個辦法, 我認為我們應該透過民主程序來決定。」 我自忖:「喔! 不! 九十位聽眾、 民 主決定? 你要怎麼做?」 他接著說:「我們來投票決定, 但是只有參加過之前每場工作會議的 人才有投票權。」 除了 Hirzebruch 自己以外, 就只有 Atiyah 有資格, 幾乎所有人都大笑 起來, 結束了這場鬧劇。 後來就由 Atiyah 和 Hirzebruch 坐下來擬定議程。

我認為這個例子顯現的是以真正的科學價值為基礎的優雅和善意。 Hirzebruch 待人慷慨, 從不阻撓他人, 他對一般的數學有很好的洞見, 若有人堅持特定主題, 他會退讓, 而後也許 會有些成果。 上述的例子體現出基於真正科學價值的才智和友善, 我認為這是我們行事的典 範。

我有過很多學生, 很幸運地一直以來我遇到真的很不錯的人。 我在訪談之初談到 Johan Felkamp 教我吹長笛的精神, 成為我指導學生的方針。 我從不強迫學生做任何他們不喜歡 的題目, 我自己隔天就退回老師所給的題目。 我認為人人各有所好, 要做自己不喜歡、 同時 和個人特質不合的數學, 幾乎是不可能的。 每個人跟數學接觸的時候, 都有他/她最直接的 喜好。 在阿姆斯特丹我曾考過一位大學生 Rob Tijdeman¹¹, 他很有天分, 但是在我給他的 小小測驗中, 討論的代數理論一點都不合他的胃口, 他無法掌握, 不過一遇到解析數論, 他 馬上就知道要做什麼, 得到很漂亮的結果。 我有過這樣的情形, 我的學生也有過, 他們對數 學有各式的喜好, 在他們要求我給題目時, 我會給適合他們的題目。 曾經有位研究生想找我 指導碩士論文, 我認為他喜歡我做數學的方式, 他到我這來要我給他一個題目, 我從他的眼

11Robert Tijdeman (1943) 荷蘭數學家, 從事數論的研究。

中看出他很怕我會給他關於 scheme 或其它抽象的題目, 對此我採用了一貫的作法, 給他三 篇不同主題的論文, 要求他即使論文內容很複雜, 每一篇只能花一個上午的時間, 看完之後 他要盡快告訴我喜歡哪一篇。 我給他一個編碼理論的問題, 預期他會喜歡, 以及另外兩篇論 文。 結果他一點都不喜歡另外兩篇, 但編碼理論他一看就愛上, 後來成為精研編碼理論的專 家。

這是我指導學生的方式, 讓他們選擇自己的題目, 跟著自己的喜好和感覺走, 不過當然還是 要引導他們。 在做數學研究時, 可能會花時間做看似無意義的事; 這裡有個想法、 那裏算一 算, 有個模糊的觀點等等。 我有個一直解不出來的問題, 一次在晨浴時靈光乍現有個想法, 發現對於大於 1400 的質數可以派得上用場, 這個想法只在我手邊沒有紙、 沒有電腦, 手邊 沒有任何東西, 只有天馬行空的思緒時躍入腦際。 我和 Katsura 教授¹²研究後, 發現這個 點子很管用, 證明我們的定理對於所有大於等於 11 的質數成立。

所以我帶學生最主要做的是, 要求他們動腦, 隨機嘗試各種可能, 到這裡走走, 到那裏逛逛, 到圖書館找找。 曾有學生 Bert van Geemen¹³到圖書館想找特定的書, 卻意外拿到旁邊那 本, 翻閱後對書中內容很感興趣, 於是著手研究。 這樣的因緣際會使人進步, 但經過一段時 間, 還是需要沉澱, 我會對學生說:「你已經漫無目的地摸索了一陣子, 現在請拿出一張紙, 精 確地寫下你的問題, 以及對問題的了解。」 結果很多問題完全無意義, 一旦把問題精確地寫 下來, 你將發現有些問題只是無稽的幻想。 如此這般, 有時到處閒逛, 漫無目標地醞釀想法, 然後精確地檢視正在做的問題, 對研究非常有助益。 我認為論文指導者必須要讓這個過程非 常明確。 曾經有位學生想做一個非常困難的問題, 我告訴他:「這問題太難了, 你可能不會有 什麼進展。」 三年後我說: 「聽好, 你在這個問題上仍一無斬穫, 我給你一個月的時間, 你必 須在一個月之內決定一個不同的題目, 一個可以真正完成的題目。」 後來我為他多申請了一 年的補助, 他順利取得並完成論文。 我非常確定如果當初我沒有插手, 他會繼續鑽研那個難 題¹⁴, 這個問題的困難在於我們不知要從何入手, 從計算? 從理論內涵? 當然他嘗試了很多 方式, 我們也討論過許多, 但那實在太困難了 (問題至今未解)。 我很高興他願意改變題目, 也很欣慰看到他完成一篇不錯的博士論文。 基本上題目由學生決定, 那是他們的喜好, 我的 任務則是指導學生研究的架構, 我很驕傲我的學生都沒有 「失敗」。

翟: 「失敗」? 怎麼說?

O: 嗯, 我常看到有人做博士研究, 開始後半途而廢, 沒有完成研究計畫, 這從未發生在我任何 一位學生身上。

翟: 真了不起!

12Toshiyuki Katsura, 日本數學家, 從事代數幾何的研究。

13Lambertus N. M. van Geemen, 荷蘭代數幾何學家, 現在米蘭任教。

14Is the rank of Q-rational points on elliptic curves over Q bounded or unbounded?

O: 其中的一個要素是我從不收我不熟知的學生, 我的學生應該要具備創造力, 以及好好表現的 能力。 曾經有位大學生想當我的研究生, 我問他你對代數幾何有任何了解嗎? 「喔, 我想學 它。」 我說好, 有個代數幾何的定理, 請試著了解它的架構和想法, 如果你能了解其中的細節, 我們才能更進一步。 我給他 Hurwitz 定理¹⁵的三個不同的證明, 分別是解析上、 代數上和 拓樸學上的證明, 但是他完全沒輒, 覺得很難, 我認為這不過是代數幾何基本的東西, 並不 難。 我很確定收他當博士生不是個好的決定, 會毀了他的人生。 有另一位碩士生, 現在是我 的好朋友, 他想成為我的博士生, 我出了一個我知道解答的問題給他, 他擅於理解和複製數 學, 成績優異, 然而一旦要用到創造力就束手無策, 他到辦公室找我, 告訴我不知道從何開 始, 不知道如何進行。 他有豐富的數學知識, 卻缺乏洞察力, 最後他接受自己不適合做數學 研究, 轉換跑道, 現在擁有快樂人生, 攻讀截然不同領域的博士學位, 他很高興先前就發現 自己不適合從事數學領域的研究。 我身邊有好幾個這樣的案例, 學生往往預想自己的方向, 後來發現並不適合而轉換跑道。 對此我是開心的, 許多轉換跑道的學生和我至今仍有緊密的 聯繫, 就如家人一般。 我想我該結束這個主題, 謝謝敬立和我過去多年愉快的相處, 也期待 未來更多美好的時光。

翟: 我知道你想就此結束, 不過有很多人和我提起, 希望我問你下面這個問題, 這個問題可能無 法闡述得很有條理, 希望你不會覺得突如其來。

O: 不會, 一點也不會。

翟: 首先, 台灣和荷蘭在歷史上有些淵源, 此外兩國在地理上和人口稠密度上類似, 地理上都臨 海, 儘管一國多山另一國則否, 但是兩國人口都很多。 不同的人問過我, 其中有些是數學家 有些則不是, 兩個不同的國家, 某種程度上來說資源都不算豐富, 在科學和文化發展方面, 我們都知道荷蘭有身為歐洲大陸一員的傳統, 有黃金年代等等; 而單從科學發展來看, 儘管 我對歷史的認識不多, 但就代數幾何這個領域而言, 是在戰後某段時期開始發展, 而你是其 中的關鍵, 一手建立起代數幾何以及數論的荷蘭學派, 真的很不簡單。 很多人都想知道你是 怎麼辦到的, 我知道這個問題問得不是很好, 但人們想問的是, 台灣還未達到接近這樣子的 水準, 而台灣不缺乏人才, 我的意思是台灣有才智出眾的人。

O: 當然, 當然! 很高興你問這個問題, 但這是我先前完全沒有準備的, 我了解你的問題, 你想知 道代數幾何在荷蘭是如何發展的, 以及台灣是否可以從中學到什麼。

翟: 是的, 或者是數論或其它領域。

O: 至少包含兩個層面, 一方面, 擁有不會讓人喘不過氣的傳統, 對發展幫助很大; 在瑞典要做 微分方程幾乎是不可能的事, 因為有大師主導整個領域, 其他人相形渺小。 在荷蘭我們有幾

15或稱作 Riemann-Hurwitz 定理; 是關於黎曼曲面的覆蓋上, 兩個相關曲線的虧格與分支指標的定理。

何學的傳統, 像是 Van der Waerden¹⁶, 但在 1945 年之後沒有代數幾何方面的大老, 起 步時沒有人引領, 所以我們必須出國取經。 起初我覺得這是個缺點, 當我到阿姆斯特丹時, 沒有任何一位幾何或代數的專家。 當時的群論課程是由 Delft(一所科技大學) 的講師每週 來一次授課, 代數方面的課程由他講授, 沒有代數幾何、 交換代數或任何其它的課, 我孤 軍奮戰, 覺得情況很糟, 但也許這樣反而更好, 因為我能發展自己的觀點, 擁有自己的學派 以及非常優秀、 想要立即加入學習的學生, 他們有個人的想法, 願意捲起袖子開始工作, 跟 著我從頭學起。 我們有一些傳統, 不過不是威權的傳統, 那是發展的理想基地。 幾年後 Nico Kuiper¹⁷來到阿姆斯特丹, 打造出一個能夠激發想法的數學環境, 你知道 Nico Kuiper 嗎?

翟: 我知道一位姓 Kuiper 的人, 但不確定是否是同一個人。

O: 他研究微分幾何和拓樸學, 後來成為法國高等科學研究所 (Institut des Hautes ´Etudes Scientifiques, IH´ES) (在 Bures, 近巴黎) 的所長。 他心胸非常開闊, 能尊重不同的意見, 營造出良好的氛圍, 我們常互相調侃, 他問我:「Frans, 這在特徵 p 中對嗎?」 我回答:「嗯, Nico, 特徵零只有一個, 但特徵 p 有無限多個。」 在 Barry Mazur 紀念 Raoul Bott 的文 章¹⁸中, 記述 Bott 說:「我想不出任何數學是我不喜歡的。」Nico Kuiper 也是如此。 他開創 一種嶄新形式的研討會 — de schoven club, 參與者來自全國各地, 在荷蘭文中 「schoof」

代表 「sheaf(層)」, 而 「club」 則有年輕人聚在一塊做有趣的事的意涵, 目標是了解 sheaf。

注意一下這是在 1950 年代, 比 FAC¹⁹發表時間還早。 當時的動機是要了解新的發展, 這是 全國性的研討會 (如你所知, 荷蘭不大, 與會者搭火車當天來回不是難事), 從 1950 年代一 直持續至今, 我主持了很多年 (現在有從比利時的大學來的數學家)。 我們探討新事物; 在研 討會上我常報告經由閱讀預印本或聽到傳言得知的新進展。 當然這都還只是初步的結果, 但 我們嘗試引進新思維。 有時我個人的瞭解不完善, 有時我會為研討會準備講義, 經常在學生 的桌上看到講義上面有許多手寫的註記與疑問。 這個研討會讓我們能在一開始便掌握新的 發展。 舉例來說, 在很早期的時候, 我們就有關於模曲線 (modular curves) 的研討會, 那 時參加的數論家、 幾何學家對模曲線就很感興趣, 遠比 Wiles證明的有名結果和 Mazur在 他的長論文中描述的還早。

翟: The Eisenstein ideal。²⁰. O: 沒錯, 正是 Eisenstein ideal。

16Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996), 荷蘭數學家, 以抽象代數和代數幾何的著作傳世。

17Nicolaas Hendrik ’Nico’ Kuiper (1920-1994), 荷蘭數學家, 從事微分幾何和拓樸學的研究。

18http://www.math.harvard.edu/~mazur/remembrances/raoul_bott.pdf; Raoul Bott as we knew him. A cele- bration of the mathematical legacy of Raoul Bott, pp. 43–49, CRM Proc. Lecture Notes, 50, Amer. Math.

Soc., Providence, RI, 2010.

19J-P. Serre – Faisceaux alg´ebriques coh´erents. Ann. of Math. 61 (1955), 197–278.

20B. Mazur – “Modular curves and the Eisenstein ideal.” Publications Math´ematiques de l’IH´ES 47 (1977), 33–186.

翟: 所以這個研討會是在 1970年代初了。

O: 研討會成果豐碩, 營造出的氣氛鼓勵人跨越自身研究領域, 培養多元興趣, 創造了各式的跨 界發想。 從 1950 年到現在, 我們有好幾個長計畫, 其中一個關於模 (moduli), 一個關於奇 異點 (singularities), 一個關於算術代數幾何。 這些活動要讓年輕輩了解新的發展, 同時也 讓資深研究人員受益。 數學家如 Johan de Jong 也參加這些活動。 一旦建立起一個認識新 知的氛圍, 自然就有優秀的人才和大量的知識隨之出現。 此外我在阿姆斯特丹辦了好幾年的

「wiskunde in wording (意為試著創造數學新點子或建構中的數學)」, 讓博士生談論他們 的研究、 問題和未完成的發想等。 有系統地闡述和討論通常很有幫助, 其他人會給予建議和 提問。

翟: Utrecht 的學術演講 (colloquium) 體制真的很不錯, 我不知道這是 Utrecht 所獨有, 還 是一個普遍的傳統。

O: 不是, 荷蘭的氛圍普遍如此。

翟: Utrecht 學術演講本身的風格不同凡響, 要做到並不容易, 我暗自希望能夠從中移植一部 分。

O: 我們的做法是堅持學術演講的對象是每一個人。 當然不可能和完全沒有基礎先備概念的人, 討論艱深的細節。 我們有一種方式是將學術演講分為兩部分, 第一部份針對一般聽眾介紹主 題, 內容是基本的; 第二部份則很專業, 你聽了前一小時之後離開, 沒有人會介意, 這完全是 許可的, 對講者也不會不尊重。 如果你對某個題目一點概念也沒有, 但想知道一個梗概, 就 去聽第一個小時的演講。 講者在第二個小時可以有較多自由討論艱深的問題。

我在這裡以質數為題的演講²¹, 將採用我們在 Utrecht 設計的方式。 背後的想法是這樣的:

教數學有兩種方式, 一是選定一個問題開始研究, 接著收集解決問題所需的知識。 但這種方 式效率不彰, 因為有些數學問題相當容易, 兩週內就可解決, 有些則極端困難, 要建立解題 技巧及了解基本道理, 需要好多年的時間。 而介於難易之間的問題並不多, 舉例來說, 在醫 療上使用的電腦斷層掃描, 是高深數學的應用, 但是短時間很難解釋清楚。 正確的教學方法 是, 在教授困難的應用或高深的抽象素材之前, 先從基礎的微積分、 線性代數、 基礎代數和 進階代數等教起。 這樣的缺點是學生與真正要做的事脫節; 上了幾個月的基礎教材, 沒有告 訴學生用意何在, 學生對於正在進行的課程會變得不感興趣, 而有 「這哪裡有趣? 我們可以 拿線性代數來做什麼?」 的反應。 可見兩種方式都有其缺點, 解決之道就是教授基礎課程, 逐 步建立所需的技巧, 同時講授任何你喜歡的主題, 諸如應用、 實務、 邏輯、 純粹的思維及生 物等方面, 隨興地跨越領域的藩籬, 讓學生知道可以有什麼應用, 也能激發他們的興趣。

比方說要如何安排火車的班次等等是應用數學的問題, 要讓學生了解問題很漂亮但要解決

21Prime Numbers, 2012 年 12 月 7 日, 臺灣大學天數館 101 室。

很不容易, 又例如推銷員的問題 (traveling salesman) 真的很難, 千萬別以為赤手空拳就 可以解決, 許許多多懂電腦、 懂邏輯的人都試著破解。 學生聽了一小時的課, 覺得很有趣, 非 常興奮, 他們試圖了解問題, 發現直接的解決途徑過於困難, 因而想要學習使用更多的數學 技巧, 這成為未來他們修習基礎課程的動機, 因而願意繼續往下學習。 我以質數為題的演講 就是這樣的形式, 我會提到特定的問題, 大約一半的問題很簡單, 另一半則很難, 至少在目 前對所有的數學家來說都很難。 在這種情況下我們根本不知道要從哪裡著手, 這是典型的數 學: 有些問題簡單, 有些很困難。 當我考慮要從阿姆斯特丹轉換到 Utrecht 時, 這種呈現問 題給學生的方式, 引發了我的興趣, 正是這種對教育和數學的觀點, 讓我們設計出 Utrecht 研討會的方式。

翟: 那真的很不簡單, 期待這樣的方式能夠播下一些種子。

O: 我回答了你的問題嗎?

翟: 某種程度來說是, 教書的確很重要, 雖然我們在中研院不需要教書, 我仍衷心希望能夠播下 一些種子, 待來日開花結果。

O: 但是我回答了你的問題嗎?

翟: 有, 你回答了我的問題。 我想也許問的人想要的是關於大方向的答覆, 但你的回答很務實、

很有幫助。

O: 我很幸運常連續幾年教到很好的學生, 我通常將年紀不同的學生, 年長的和年輕的安排在同 一間研究室, 他們彼此學習, 也許比從我身上學到的還多, 那是很不錯的方式。

翟: 在台灣我們也這麼做。

O: 此外, 這也和氣氛有關。 我來舉個不同的例子, 你可以反駁我。 很久以前我在哈佛的時候, 那 裡普遍的態度是, 演講的內容要難才能顯示出自己的厲害。 如果你講的東西非常高深, 不管 旁人能否了解, 大家會肯定你, 認為你是優秀的數學家。

翟: 那是哪一年的事?

O: 1980 年代的事, 後來我又到哈佛, 帶著我的博士生 Moonen²²。 他給了一場完全顛覆哈佛 作風的演講, 演講中他解釋所有的細節, 符號也都前後一致, 也許你會說這不是哈佛的風格。

翟: 嗯, 與我個人的經驗不大一樣。

O: 不大一樣? 怎麼說?

翟: 我當研究生的時候, 參加代數幾何研討會, 前兩年我完全聽不懂, 我覺得幾乎我在哈佛的整 個時期都是這樣。 第三年過後有一位了解這些事的同學告訴我:「這不是你的錯, 每個來這裡

22Ben Moonen, 荷蘭數學家, 從事代數幾何與算術代數幾何的研究。

的講者都只把一位聽眾放在心上, 想得到他的肯定。」 我這才恍然大悟。

O: 但是這與我的故事相當吻合。

翟: 我不清楚是否哈佛整體都是如此, 但至少在我那個年代的代數幾何研討會是這樣的。 在哈 佛代數幾何研討會演講的唯一目的和重點, 就是要得到某一個人的認可。

O: 沒錯, 跟我在 Utrecht 的研討會不同。

翟: 這是個重點。

O: 在我的研討會裡, 學生都知道演講後我會和他們針對演講的內容和方式進行討論。

翟: 這是我們應該效法的。 然後你會用尺敲學生的腦袋?

O: 嗯, 不是真的敲頭。 有學生講完後來辦公室找我, 知道有些地方不太妥當, 說:「好吧! Frans, 你說吧。」 我說:「嗯, 這是很好的演講, 有好的想法!」「嗯, 但是?」 他說。 於是我向他解釋另一 種安排和呈現相同素材的方式, 可以讓聽眾更了解結果的美。 我們可以在這個層次上教導學 生, 為什麼不?

翟: 我擔心我這樣做是否能達到同樣效果, 有時說不定是反效果, 麻煩就來了。

O: 我來講個笑話給你聽。 我在哈佛演講你的文章, 有個問題顯而易見: 能否經由化約模 p (re- duction of mod p) 得到結果? 我說: 「接下來有個問題, 我要給大家做個小練習。」 這個 小練習是關於化約模 p 以及取 Zariski 閉包 (closure), 這兩個運算能否交換? 剛開始有 些聽眾沒看出答案, 如果答案是肯定的, 敬立的定理就很簡單, 因為我們都知道特徵零的結 果, 因此可以推導出敬立在特徵 p 的結果。 不過這些運算不能交換, 如此一來無法得出一個

「廉價」 的證明。 此外, 我的提問也點出了問題的本質。

翟: 但這是在 1990 年代, 有某個人不在場, 不然這個小練習一定迎刃而解。

O: 當然囉! 我告訴過你 David Mumford 的故事嗎? 那時 Johan de Jong、 Ben Moonen 和 我一起在哈佛, 休假到外地訪問時我通常會帶著研究生同行。 我坐在電腦室, 玻璃窗映入走 廊部分景色, 可以看到人們在走廊的空間討論數學。 Johan 和 Ben 正在討論由 Mumford 建構的 A₄ 裡的曲線。 我們稱之為 Mumford 曲線, 每一個都是維數為一的 Shimura 解形, 但是 「Shimura 曲線」 已經另有所指, 那時對於是否有任何 Mumford 曲線包含在 Torelli 軌跡中並不清楚 (直到現在仍然未知)。 我看到他們正討論這個問題, 忽然有個人經過, 聽 到 「Mumford 曲線」, 有一刻他凝神瞪著黑板, 會過意來就走開了。 之後我告訴學生: 「知道 剛剛走過來的是誰嗎?」 他們壓根兒不知道, 那人就是轉換領域不再討論代數幾何的 David Mumford。 「Mumford 曲線」 這個詞通常指的是不一樣的東西, 有一秒 Mumford 很困 惑, 但懂了之後就繼續走他的路。

確實, 唉, Mumford 不在 1990 年代哈佛的聽眾中, 如果他在, 我的話還沒說完之前, 他 就知道我要說什麼並且給出了答案。 喔, 那的確是個漂亮的定理, 我很開心能夠講述這個結 果。

翟: 這場訪談實在太豐富了, 我甚至都忘了看時間。

O: 我也忘了。

翟: 非常感謝, 這場訪談很精采。

O: 很感謝有機會接受訪問。

—本文訪問者翟敬立訪問時任職中央研究院數學研究所, 整理者陳麗伍當時為中央研究院數學 研究所助理, 黃馨霈現為數學所助理—

勘 誤

數學傳播第 38卷第2期(150)

第 10 頁第 12, 13 行 · · · 對我至為重要。 漏譯 Oort 教授為此句所加的附注: Serre 寫道 「以聰明的招數規避深刻理論的障礙, 用這種 『不當的方式』 即使得到好的結果, 也會激怒 Grothendieck。」 見 the correspondence Grothendieck-Serre 頁18。

103 _{學年度核心課程}

Real Analysis 授課教師: 劉豐哲

Undergraduate Independent Study in PDE 授課教師: 劉太平

Undergraduate Independent Study in Representation Theory 授課教師: 程舜仁

日 期 : 2014 年 9 月 ∼ 2015 年 6 月

地 點 : 台北市大安區羅斯福路四段1號 天文數學館 詳見中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw