有朋自遠方來一一專訪

有朋自遠方 來一一專訪

Richard Schoen 教授

策 劃 : ^劉太平 訪 問 : ^劉太平

時 間 : ^民國 101 ^年 12 ^月 17 ^日 地 點 : ^{中央研究院數學研究所} 整 理 : ^陳麗伍

Richard (Rick) Schoen 教授 1950 年出生於美國俄亥俄州的小鎮 Celina。

1972 年獲得 Dayton College B.S. 學位, 1977 年獲得史丹佛大學 Ph.D 學位。 歷 年受聘于紐約大學、 加州大學柏克萊分校和加州大學聖地牙哥分校。 自 1987 年起 任教史丹佛大學。 Schoen 教授為美國國家科學院院士, 獲得多項殊榮, 在微分幾何 及偏微分方程兩個領域, 有深邃的思想和重要的貢獻, 為幾何分析奠基。 其為人誠懇, 秉性敦厚, 為學界所敬愛。

劉太平 (以下簡稱 「劉」): 首先, 謝謝你來訪。 大家跟我說很喜歡你在許振榮教授紀念講座的系 列演講¹, 很抱歉那時我不在, 不能聽你演講。 讓我先直接提出一件大家想知道的事, 也就是 你與丘成桐² 在史丹佛開始做研究的情形。 我聽說你們兩人一起非常努力的工作, 得到解決 正質量猜想 (the positive mass conjecture) 這個卓越的成就。 可否描述一下那段時光?

Richard Schoen (以下簡稱 「S」): 實際上正質量猜想是我們一起做的第三或第四個問題。 那 是我畢業後一年完成的。 我在 1976 年畢業離開史丹佛。 這問題是 1977/1978 年在柏克 萊做的, 那年丘成桐正在柏克萊訪問。 當我還是研究生的時候, 我們已有一些合作, Leon

1許振榮教授紀念講座, 「微分幾何與相對論的近期發展 Recent progress in differential geometry and relativity」, 2013 年 12 月 2 日至 4 日在中央研究院數學所舉行。

2丘成桐 Shing-Tung Yau (1949∼), 華裔美籍數學家, 1982 年獲頒菲爾茲獎, 主要研究領域為微分幾何。

Simon³ 也參與合作。 Leon Simon 是我的指導教授, 我有兩位正式的博士論文指導教授。

我們有一篇三方合作的論文, 是我的第一篇論文, 我覺得是篇很好的論文, 標題是 「極小超 曲面上的曲率估計 (Curvature estimates for minimal hypersurfaces)⁴」。 我想這篇論 文有很大的影響, 這是篇側重分析的文章, 討論在極小面積條件下, 如何限制極小超曲面的 曲率。 我們用到體積二階變分 (second variation of volume) 的穩定性。

劉: 你先與 Leon 及丘成桐合作, 之後單獨與丘成桐非常密集地合作, 那是怎樣的情況?

S: 是慢慢開始的。 我當研究生第二年時修了 Leon 的偏微分方程課, 我非常喜歡第一學期的內 容, 所以在學期結束後, 開始跟 Leon 閱讀一些極小子流形 (minimal submanifolds) 方 面的文章。 丘成桐的辦公室就在走廊的正對面。 我對推廣這些東西有了一些進展, 丘成桐感 到興奮, 加入討論, 我們是這樣開始合作的。 我覺得 Leon 和丘成桐兩人的風格很不同。 那 時丘成桐剛畢業, 他大概只長我兩歲或更少。 他幾乎是住在辦公室, 雖然有間公寓, 但是從 清早到深夜都待在辦公室, 聽很多課, 非常有雄心壯志, 我從來沒遇過像他那樣的人, 與他 合作很有意思。 另外要聽懂他的話是一段很辛苦的過程, 這是另一個挑戰。 雖然那個時候他 一點都不有名, 但我感到很有挑戰、 非常興奮。 他渾身煥發出的企圖心與活力, 非常吸引我。

另一方面, Leon 比較系統化, 他也是非常聰明的人, 但是處理問題比較按部就班。 比起丘成 桐他更為專注, 更集中在某些方向。

劉: 我聽說要做正質量這個問題, 必須讀很多物理與數學的文獻, 甚至連問題要怎麼陳述都不明 顯。

S: 數學文獻中有一些提法 (formulation)。 芝加哥大學的 Robert Geroch⁵為數學家講授相對 論中有名的問題, 正質量猜想就是其中之一。 所以一些測試的情況已有非常清楚的陳述, 可 以著手進行。 不過漸進行為和所需的條件並沒有精確的描述, 我想我們把它描述出來了。 剛 開始, 我們得到的定理有些弱, 漸漸地加強, 最後得到一個最完整的定理。 談到物理的學習, 即使我學的是微分幾何, 我只知道一些愛因斯坦度規 (Einstein metrics), 但在開始做正質 量理論之後的那幾年, 我學到的物理比過去所知的還要多。 我是在做這個問題時, 才真正踏 入相對論。 現在我和許多研究相對論的學者討論, 他們都是物理博士。 今天我對這領域的物 理內涵, 比剛開始時有更深的體會。

劉: 你和丘成桐合作之前, 丘成桐做不做廣義相對論?

S: 我們兩個都不是真的在廣義相對論領域, 那時候我們都在學習這方面的背景。 我們先有一個 方法證明這個定理的特殊情形, 由此出發終於證明了完整的定理。

3Leon Melvyn Simon (1945∼), 數學家, 美國文理科學院與澳洲科學院院士, 對幾何測度論有重要影響。

4Schoen, R., Simon, L. and Yau, S. T., Curvature estimates for minimal hypersurfaces. Acta Math. 134 (1975), no. 3-4, 275-288.

5Robert Geroch (1942∼), 理論物理學家, 主要研究廣義相對論與數學物理。

劉: 聽來非常令人興奮, 兩個年輕人走出一個全新的方向。

S: 是興奮, 每個人對這個定理都很興奮。 馬上在相對論社群中激起一個大水花。 我覺得相對論 有好的物理基礎, 但最後的模型非常數學。 所以與重力質量有關的想法及其它由相對論衍 生而出的想法, 其實與微分幾何的想法非常相近, 因此我們能夠把均曲率變分理論 (mean curvature variational theory) 的想法用到這個問題上。 這個數學方法很適合這個領域。

我可以這麼說, 我們的工作讓這個領域有了很大的改變, 現在做相對論的人都知道我們的定 理。 就在今天早上聽到 Sergio Dain⁶ 在演講中談到和我們相同的想法, 不過是在一個新的 脈絡之下。 他是物理博士, 但是很數學。 我想我們的工作有很大的影響。

劉: 現在往回想, 你覺得你們當初為什麼能夠成功? 那時候, 在分析上你有堅實的基礎, 你們兩 人又那麼年輕, 不畏懼任何事情, 願意學習繁多的新領域, 必須閱讀大量論文, 從中找出其 精神所在, 並融會貫通成你們自己的語言, 你們還發展了理論, 你們做了那麼多的事!

S: 我覺得做數學, 拓寬視野非常重要。 有時候有些看起來離你做的好像很遙遠的東西, 其實是 很近的。 以我們上面提到的這個問題來說, 有很多人在數學與物理之間做交流傳達, 例如我 提過的 Geroch 以及一些其他非常數學的物理學家, 在一定程度上懂得兩邊的語言。 柏克萊 當時就有一些這樣的人。 Jerry Marsden⁷就是一位非常數學的物理博士, 他可以直接為我 們解釋正質量理論之類的事情, 所以在柏克萊就有人可以討論。 有個相對論的團隊, 成員包 括很出色的相對論學家 Abe Taub⁸與 Ray Sachs⁹, 他們就在數學系, 確實對我們有幫助。

我認為和這些人討論非常重要,有時候僅僅從瞭解人們如何表達自己_,學到的還比讀一本書 更多。

劉: 為什麼你們兩人可以解決這個問題, 而其他在柏克萊的人不能?

S: 喔, 他們沒有極小曲面方面的數學基礎。 對於極小化 (minimization)、 均曲率 (mean cur- vature), 這些理論可以用來做什麼等等, 我們有更深刻的瞭解。 我覺得差別就在這裡。 物理 學家在這個領域有很好的訓練, 但是他們沒學過數學工具。 你也知道, 如果要做非線性偏微 分方程相關的東西,除非可以建立理論並進行一些嚴密的計算_,否則就連對解的行為的臆測 都不可靠。

劉: 你接著解決了山邊問題 (Yamabe problem), 這似乎與正質量定理有些關聯。

S: 解決山邊問題, 是因為我領悟到, 這個問題與正質量定理的一個特殊情況非常相近。 這是個 懸而未解的問題。 大家對解爆破 (blow up) 的可能形態已經有相當詳盡的想法。 對如何把

6Sergio A. Dain (1969∼), 現任教於阿根廷 Universidad Nacional de Cordoba。

7Jerrold E. Marsden (1942∼2010), 應用數學家, 加拿大多倫多菲爾茲數學科學研究所的創辦人之一, 是數學與古典理論動力學界 的權威領導人之一, 並為辛拓樸奠定大部分的基礎。

8Abraham Haskel Taub (1911∼1999), 美國數學家與物理學家, 對最早期廣義相對論、 微分幾何與微分方程有重要貢獻。

9Ray Sachs (1932∼), 數學家, 研究廣義相對天體物理學與天文物理, 1985 年之後轉而研究數學與計算生物學, 特別是放射生物學。

問題正則化, 也有各種自然的方式。 這些理解讓你可以探討相近問題的解如何爆破。 接下來 就要證明爆破其實不會發生。 我意識到, 當爆破發生時, 可以適度更換尺度, 製造出一個愛 因斯坦方程的趨近扁平解 (asymptotically flat solution)。 我接著想到正質量理論, 它正 好提供更正項 (correction term), 起碼在低維度可以做到, 使得解不會爆破。 主要的想法 其實就是這樣。 確實,做正質量理論和趨近扁平流形的經驗_,正是理解山邊問題的關鍵。 劉: 我可不可以這麼說: 是的, 正質量的文章發表了, 激起了大水花, 大家都注意到了, 但是你是

唯一對此有深刻感覺的人?

S: 在那時候, 是的。 我想當時大家沒體會到正質量定理有多重要。 之後, 它被用來做許多事情, 特別是在相對論上, 比如 Schwarzchild 解在靜態黑洞 (static black holes) 中的唯一性。

有許多應用, 靜態星的旋轉對稱就是用正質量定理證明的。 大家知道正質量是一個重要的物 理問題, 但是沒想到也可以用它作為工具, 來解決其它問題。我看出正質量理論的彈性可用_, 這一點我想我應該有些功勞。

劉: 那是因為你有深刻的理解。

S: 80 年代做山邊問題時, 只有少數人懂得正質量定理, 我是其中之一, 這是事實。

劉: 讓我岔開話題, 等一下再回到幾何。 你做深入的分析研究, 也解決幾何上的重要問題, 你怎 麼看偏微分方程與幾何這兩個領域? 或許也可以說說你對做偏微分方程與做幾何的人的看 法。

S: 嗯, 我不想冒犯任何人。 我開始做研究的時候, 大部分做微分幾何的人對偏微分方程一無所 知, 即使所有微分幾何的問題都可以用偏微分方程來呈現。 他們完全不知道該如何實際解出 一個偏微分方程、 做估計, 或是其它這類的事。 反過來說, 做偏微分方程的人完全不懂幾何。

當一個偏微分方程不是用明顯的坐標寫出來時, 他們會覺得很不自在, 所以這兩個領域之間 有一道溝, 隨著時間慢慢被填滿。 這種情況在 1980 年代我還是這領域年輕的研究者時, 相 當極端。 老實說,我可以做一些其他人做不到的事_,一個原因是因為我可以結合這兩個方向。 我想偏微分方程的許多領域可以和幾何結合得很好。 我真的認為, 做偏微分方程的人應該多 學些幾何, 反之亦然。 現在有幾何分析這個領域, 其中有些人實際上非常偏微分方程導向。

這個現象在美國有一點, 但在歐洲有一大群做幾何偏微分方程的人, 是做偏微分方程出身 的。 在偏微分方程與幾何之間的天平上每個人站在不同的點, 我覺得過去這幾年我漸漸比 較向幾何靠近, 但其實我還是做偏微分方程的人, 我已經很久沒做純粹的偏微分方程。 我主 要是探討幾何問題與其衍生出來的偏微分方程, 我對其它偏微分方程也有興趣, 例如流體方 程, 像 Navier-Stokes 方程。 雖然我不是這方面的專家, 但知道一些。

劉: 我知道你視野寬闊, 想法開放。

S: 我開過一次 Navier-Stokes 的課。

劉: 偏微分方程與幾何這兩個領域, 都出了一些非常出色的數學家, 這兩個領域的人很不同嗎?

思考方式差異大嗎? 當然, 這是兩個不同的科目。

S: 我想所有數學家都擔心被人帶著哲學性的眼光來評價, 對吧? 部分歸因於偏微分方程的人擔 心幾何學家對他們的工作做出不盡公平的判斷, 反之亦然, 這是個問題。 所以大家想要歸屬 於某個團隊, 好得到團體的支持。 當然, 要自外於這樣的圈子是有困難的, 年輕人更要小心。

我們對數學家的評論, 如果能以他們的工作為準, 而不是他人認定其所屬的領域, 那就太好 了。 但我想任何系所在新聘或進行其它這類事情時, 總會有領域地盤的考量, 這樣的考量是 很自然的。 每個人對自己的團隊歸屬, 堅持的程度很不同。

劉: 你的回答很有趣, 但是跟我的思路不同。 你說偏微分方程的人去學幾何很重要, 但似乎因為 歸屬感所造成的心理因素, 讓他們不這麼做。 會不會也是由於幾何需要另一種思考? 如果你 專注在偏微分方程一陣子, 再去學習另一種思考, 可能有難度。 是否可以這麼說, 這需要不 同類型的才能?

S: 是有可能, 觀察別人怎麼工作很有趣。當有了一個問題_,是先畫個圖_, 看看有什麼想法_? 或者 先算一算_? 有以比較幾何方式思考的人_,也有以比較分析方式思考的人。 我想你是對的, 想 法會有所不同。 但我覺得大家也可以拓展思考問題的方式, 特別是資深的人, 如果你有一 份終生職, 原則上有很多時間可以做數學。 我認為真正頂尖的數學家常常會嘗試拓寬他們 的思考方式_,我覺得這是很重要的, 有時候因此得到一些非常好的結果。

劉: 更不要說這樣才能教育好下一代。

S: 是的, 這還關係到對學生而言你樹立了什麼樣的榜樣, 教的課程內容以及和年輕人互動的方 式, 我覺得都會有影響。

劉: 你出身於俄亥俄州的農家。 我對農家出身的人總有一些好感。

S: 我想你也是吧。

劉: 是的, 不過我們做的農務似乎不同。 除了我們家的水牛, 我沒接觸其他動物。 你比較多才多 藝。

S: 我年輕時做過許多農務, 這倒是真的。

劉: 你在成長過程中, 除了農務, 還是位好學生, 是吧?

S: 事實上我們家的小孩幾乎都是優秀的學生, 我們是個大家庭, 我想至少有五個或六個中學時 是以第一名畢業。

劉: 是因為優良基因?

S: 也許吧。 還有, 我是家裡排行比較小的, 初中時, 我哥哥已經上大學了。 他在大學主修數學, 把他的數學書給我, 讓我很早就受到影響, 這也是我那麼早就對數學有興趣的原因之一。 對 我來說, 在農場長大的好處就是很自由。 我需要分擔工作, 但是因為我們家人手多, 所以也 有很多空閒的時間, 來發展自己的興趣。 我認為數學家必須能獨立_,必須固執地追尋一些其 他人也許不會有興趣的事情。 所以農家成長的背景和數學家所需的特質是一致而有幫助的。

劉: 每天都有夠長的時間沒人理你。

S: 是, 幾乎整天。

劉: 你母親生了幾個小孩?

S: 13 個小孩, 我是第 10 個。

劉: 她還很健朗嗎?

S: 大概兩年前她在 100 歲的時候過世。

劉: 除了你以外, 我不認識其他有 13位兄弟姐妹的人。

S: 的確, 真的不常見。 我以前有個學生有 8 位兄弟姐妹。

劉: 我自己手足一共 7人, 我想我們的年代兄弟姐妹多的比較多。

S: 是的, 我其實算是屬於比較老的一代。

劉: 你的數學生涯中曾接觸許多人, 當中有頂尖的數學家, 有哪些人在某些方面給你留下深刻的 印象?

S: 有很多很了不起的數學家。 首先, 也許資深的與資淺的要分開來談。 每次聴 Jean-Pierre Serre¹⁰演講, 我都感到敬佩。 我想他已經超過 80 歲了, 他用黑板給的演講精采絕倫。 他顯 然在講解數學和研究上都是大師。 這樣的人, 是我心目中地位崇高的典範。 在我的領域也有 很多出類拔萃的人, 丘成桐一直都是我的榜樣。 在我學術生涯的早期, 他絕對是我的榜樣。

這些年來他傾向廣泛涉獵, 參與許多事情。 目前我個人沒辦法仿效這樣的作法, 但他對我肯 定有重要的影響。 我領域中的 Misha Gromov¹¹毫無疑問是位有趣的數學家。 有時候他的 工作會有點抽象, 不好理解, 但他所發展出來的幾何領域或是子領域, 無庸置疑, 影響深遠。

劉: 你寫過一些書, 是否計劃寫比較基礎入門的書?

S: 我手邊有一些不同類型的上課講稿, 有一套廣義相對論的講稿, 還有一套比較一般的幾何偏 微分方程的講稿, 也許當我沒有問題可做時, 會考慮整理一下。 我不怎麼喜歡把時間用來成

10Jean-Pierre Serre (1926∼), 法國數學家, 1954 年獲頒菲爾茲獎, 2000 年獲頒沃爾夫獎, 2003 年得到阿貝爾獎。 在代數拓樸、 代 數幾何及代數數論上有重大的貢獻。

11Mikhail Leonidovich Gromov(1943∼), 法籍俄裔數學家, 在幾何學方面貢獻卓著, 1993 年沃爾夫獎和 2009 年阿貝爾獎得主。

書定稿, 決定做哪些事必須衡量輕重緩急; 如果我覺得出版這些材料, 對這個領域有重大的 影響, 我也許會做。 但現階段還不是時候, 我寧可花時間做新問題。

劉: 最近你想的是哪些方向?

S: 我還在做與相對論相關的事情。 上星期還是幾天前, 我在演講中講關於愛因斯坦方程局部化 的解 (localizing solution)。 這領域還有好幾個極好、 尚未解決的問題。 幾年前我對黎曼幾 何的一些問題感到興趣, 這個科目對我而言還是非常有趣, 例如正曲率流形 (manifolds on positive curvature) 的研究。 四、 五年前我在這方面證明了一個很好的定理 −− 微分球形 定理 (differential sphere theorem)。 本來希望這個定理可以把這個主題拓展得更寬, 但是 卻碰到更多的困難。 我當然還是對與正曲率相關的問題非常感興趣。 這些是我現階段思考的 問題, 還有一些長期關注的問題, 我想我會再回去看。 通常都是因為學生的關係而回到舊問 題或是開始探討新的問題。 我幫學生找問題的時候, 總是挑一些我認為有趣, 但沒做過或是 沒時間做的問題, 通常這些問題也會幫我發展出新的方向。 這是我覺得帶學生對我很重要的 原因之一。 我不是那種每天在辦公桌前一坐十小時找新東西的人。做新問題需要很投入_,帶 學生會驅策你開始並前進。

劉: 這對許多帶學生、 當指導教授的人是個好建議。 到目前為止你有幾位博士學生?

S: 我想到今年 (2013) 為止有 37 位畢業生。 數學譜系計畫上我的數學後代已經超過 100 人。

劉: 除了李瑩英¹², 你還有別的學生在亞洲。 在韓國也有一些, 對吧?

S: Jaigyoung Choe¹³在韓國高等研究院 (Korea Institute for Advanced Study); 山田 澄 生¹⁴在日本東京; Tom Wan¹⁵在香港。 我想真正在亞洲的就這些了。 最近有 Martin Li, 明年 (2014) 回香港。 將來在亞洲我應該會有更多的學生。 我想越來越多亞洲數學家回歸本 土。 我有不少亞洲學生大部分都留在美國。 我的 37 位學生裡, 也許有多於三分之一, 將近 一半是亞洲人。 亞洲人喜歡我的領域, 他們在分析與幾何方面有不錯的訓練。

劉: 來自亞洲的學生和美國本地學生, 一般來說, 有差異嗎?

S: 首先, 現在幾乎沒有美國學生做分析, 這是我的印象, 我覺得領域的潮流是循環變動的。 現 在美國學生最大的領域是數論和代數, 所以美國學生和亞洲學生在背景與目前想做的事上 面有很大的差異。 一般來說, 美國與亞洲的大學系統很不一樣, 美國學生通常修的課比較不 那麼進階, 但是思路比較寬廣; 亞洲學生通常修過一些專門的課程, 所以技術上, 在某些方面 準備較為充分, 但這並不表示他們將來做得比較好。做研究與修課很不同_,所以問題在於如

12李瑩英, 台灣數學家, 主要興趣是微分幾何, 目前任教於台灣大學數學系。

13Jaiyoung Choe (1953∼), 韓國數學家, 主要興趣是微分幾何, 目前任職於韓國高等研究院。

14Sumio Yamada 山田 澄生, 日本數學家, 現任教於日本東北大學大學。

15Yau Heng Tom Wan, 中國數學家, 現任教於香港中文大學。

何從修課過渡到研究。

劉: 你是說在開始的階段, 中學和大學時代, 廣泛的興趣是重要的?

S: 是的, 我是這麼認為。 我覺得所有學數學的學生都該學一些物理。 最起碼要有一些物理概念, 特別是想往幾何方面發展的人。 我覺得重要的是大學生的數學訓練要廣, 也就是要懂得夠高 階的代數和分析。我不認同太早專攻特定的方向, 目前在美國有些學生有這個傾向, 他們覺 得如果在拿到學士學位前, 還沒開始做研究就是落後。 事實上我不覺得真是如此。 通常學士 研究都不會引導他們到好的方向, 這是我擔心的。 所以我覺得美國國家科學基金會的學士研 究經驗計畫 (Research Experiences for Undergraduates)¹⁶, 以及對學士研究的大力強 調, 好壞參半, 有好的但也有些不那麼好。

劉: 例如中學的奧林匹亞造成很多人做離散數學。 這是否能解釋為什麼一些優秀的學生往代數 和數論發展?

S: 這是我的理論之一。我覺得數學界過分看重這些競賽。 在美國要進一流的大學很不容易, 用 來評分的標準之一, 就是學生在這些競賽有沒有出色的表現, 因此造成很多哈佛或是普林斯 敦畢業的學生專注於那些方向, 我認為這有負面的影響。 另一方面_,可以讓學生專注的事就 是好事。 所以我希望這些競賽的內容可以更廣一些_,多包含些技巧。 但是做偏微分方程或是 幾何需要更多的背景_,要在這類競賽裡納入這些領域有困難_,我覺得這可能是問題之一。 每 當學生問我這方面的事, 我一直強調參加這些競賽只是因為有趣, 但我看得出來他們對我的 看法並不信服, 他們真的認為在這些競賽的表現對他們未來的前途有幫助。

劉: 在那樣青澀的年紀! 我總是把數論、 甚至幾何的一部分或代數, 來和分析做比較, 就像比較 中國文學中的詩與小說。 小說與詩非常不同。 中國的詩在唐代和宋朝有過非常光輝的過去。

那個時代, 中國社會對詩人多有推崇。 就小說而言, 中國遠不及日本, 更別提歐洲。 小說比較 複雜, 需要有人生的體驗等等。 寫小說要在生活中歷練, 詩就有些不同。

S: 我懂你想要表達的觀點。我也覺得數學應該與真實世界有關聯。 很多豐富的數學內容來自與 真實世界的連結_,而一部份的問題是那些競賽與真實世界幾乎徹底絕緣_,視數學為一種遊戲、 一種等待被解決的益智遊戲。 當然它可以是遊戲, 也極具挑戰性。 但許多組合學的問題都與 真實世界有關, 所以要做一些更實在的事情是可能的。 我認為真實世界的數學應該要受到重 視。 當我還小或還是學生的時候, 大家對 Bourbaki¹⁷年代感到遺憾, 法國人將數學弄得非 常抽象, 所以除了那行道中的一些人之外, 幾乎沒有人能懂。 總算, 我當學生的時候, 數學回 歸實際。 人們拒絕了 Bourbaki 方式。 近來我不確定我們是不是又有點回到那個方向, 雖然

16www.nsf.gov/home/crssprgm/reu/start.htm

17Bourbaki, 為 20 世紀一群法國數學家發表一系列著作時共同使用之筆名。 他們以建立完全奠基於集合論上的數學為標的, 且重視數 學證明的嚴格性, 對後世數學有相當影響。

絕對不像 50 或 60 年代, 但還是要加以留意, 與其它領域保持聯繫。

劉: 你在農家成長, 是不是因此使得你能夠連結到真實世界?

S: 我後來與真實世界連結的方式並不是當初我所想要的。 事實上我讀大學時非常喜歡抽象的 東西, 我喜歡泛函分析、 邏輯, 抽象的機制一類, 這些都非常吸引我, 我想很多大學生也 是這樣。 這也是為什麼我覺得不要太早選定研究方向很重要。 直到念研究所我才發現一些 以前沒見過的領域, 所以才會強調數學要跟其它的領域結合。 這一點一直隨著我的數學經 歷而演變, 應該與我研究相對論有關, 我認為微分幾何是與物理問題很有關聯的領域。 所 以能夠跟一些不是專家的人解釋你的工作很重要。 無論如何, 我覺得與其它領域結合是可貴 的。 但同時我也覺得數學家還是要注意數學的品質_,而不只是為特定領域提供服務_,其間要 找到一個平衡。

劉: 我聽過你的演講。 大家都跟我說你是位非常好的老師。 關於教學你有什麼想說的?

S: 我自認教以內容為主的課我是位好老師, 我會用心盡量以學生可以瞭解的方式解釋內容, 當 然必須先瞭解修課學生的背景。 在美國有些課的程度非常低, 教起來像遊藝課, 目的在吸引 學生投入學習。 假定學生對課程內容有興趣而且想學, 在這個前提之下, 教這類型的課我是 個好老師。 我教的課大多屬於這類。

劉: 所以你會好好準備。

S: 我會好好準備, 試著用學生可以瞭解的水平, 用不同方式解釋。 下學期我有個挑戰, 就是為 大學生上黎曼幾何, 這是我們第一次開這樣的課。 這是延續大學微分幾何、 曲線和曲面的課 程, 用 10 週的時間教他們黎曼幾何。 我想這會是個挑戰。

劉: 這也許是個很好的寫書題材。

S: 的確, 我花了不少時間找教科書, 也不確定選的書是否合適。

劉: 每次跟你談話都很愉快, 過幾年我們應該再這樣聚聚。

S: 謝謝, 很高興與你談話。 每次來台灣, 我都很愉快。

—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 整理者陳麗伍曾任中央研究院數學研究所助 理—