有朋自遠方來一一
專訪 Peter Lax 教授
訪 問
:劉太平
(以下簡稱 「劉」
)時 間
:民國
91年
1月
3日 地 點
:中央研究院數學所 整 理
:林惠娥、 藍久雅、 李林楠
劉 : Peter, 首先, 歡迎您來, 並謝謝您接受我們的訪談。 我們可否從您早年的數學生涯談起。
如所眾知, 匈牙利培養出特別多偉大的數學家。
Lax: 的確如此。 匈牙利的數學家有 Bolyai, Fej´er, Riesz 兄弟, Harr, Polya, Szeg¨o, von Neumann, Erd¨os, Tur´an, R´enyi, Lov´asz 以及其他許多。 我曾問過 Marcel Riesz, 匈牙利造就這麼多數學家的原因。 他認為是受到創造非歐幾何的 J´anos Bolyai 的鼓舞。
在匈牙利, 成為數學家是非常榮耀的。
12 歲時, 我開始對數學感到興趣。 我從我的叔叔 Albert Kornfeld 那裡, 學到很多, 他 是一位好數學家; 當他還是高中生時, 他曾贏過重要的競賽; 後來他成為工程師。 之後, 有一位專業的老師輔導我, 她是一位很好的女數學家, 名字是 R´ozsa P´eter; 她是邏 輯學家, 寫過關於遞迴函數的第一本書; 她是一位傑出的老師。 我們所讀的第一本書是 Rademacher -Toeplitz 的書, 英文書名是 “The Enjoyment of Mathematics;” (數 學的樂趣) 德文原版的書名為 “Von Zahlen und Figuren” (關於數字與圖形)。 書內每 個章節都很短, 只有 5、 6頁, 對剛開始學習數學的學生是很合適的。 即使今日, 我仍會推 薦這一本書給對數學有興趣的年青人。
那時, 在匈牙利, 數學解題法是數學教育中重要的一部份。 匈牙利每年舉辦一場給高中生 的數學競試; 我曾經非正式地參加這些比賽, 得到很好的成績, 甚至勝過那些比我年長的
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高中生。 所以當我在 1941年 12月來到美國. . . 劉 : 那時您幾歲?
Lax: 大約 15歲半。
Lax: 那時負責競試的 K¨onig 曾寫信給 von Neumann, Szeg¨o, 以及 Sza´sz, 請他們照顧我;
我的輔導老師 R´ozsa P´eter 也寫信給 von Neumann。 所以在我們抵達美國不久, von Neumann 就來找我, 並對我的未來給予建議。 他那時對我非常的好, 以後還一直如此。
劉 : 您與 von Neumann 相差幾歲呢?
Lax: 喔
. . . von Neumann 出生於 1903年而我是在 1926年出生的。
劉 : 我知道 von Neumann 是您的英雄, 當然也是我們的英雄。 我們是不是可以打斷一下, 先 來談談 von Neumann?
Lax: 我第二次遇到他是在 1945年。 我快 18歲時被徵召到美國陸軍。 基本訓練之後, 在 Texas A&M 待了 6 個月學習工程方面的知識, 再轉駐到 Los Alamos, 研發原子彈計畫的中 心地。 那時, 有如置身科幻小說中一樣; von Neumann 經常在那裡訪問; 他對原子彈的 研發計畫有極大的貢獻。 他那時是計畫的顧問, 但他每次來總會給一個一般性的數學演 講。 那時候他在普林斯敦高等研究所任教, 但是花很多時間在戰爭計畫上。 他極受歡迎, 每一天的時間必須被分成好幾段, 有如青樓名妓; 每個人都想跟他談話, 不只是數學家, 還有物理學家, 化學家都想找他談, 這是因為他理解事物非常地快速, 然後能給予中肯的 建議。
劉 : 他思慮就是特別敏銳。
Lax: 是的, 他有個思考能力特別強的腦子。 我從未遇到像他一樣的。 或許 Jack Schwartz 有 些近似。 那時 Paul Erd¨os 也對我很友善, 並給我很多幫助, 他並曾經給我一些問題, 和 我討論數學。
劉 : 那是您仍在匈牙利的時候嗎?
Lax: 不是, 我已在美國了。 Erd¨os 之前就來美國了。 在匈牙利, 我受過 Paul Tur´an 的幫助, 他是 Erd¨os 非常好的朋友, 也是優秀的數學家。 幫助年青人是匈牙利的傳統。
劉 : 您提過匈牙利人喜歡數學解題。 我知道 Polya 有一本關於解題的書。
Lax: Polya 和 Szeg¨o 有一本數學問題的書, 而 Polya 有一本名為 “How to Solve it” (如 何解題) 的書。 Polya 對數學創意的心理學很有興趣。 Szeg¨o 認為數學家應該只做數學。
因此他和 Polya 曾有口頭上的協議: 在 65 歲之前, Polya 只能研究數學。 沒想到之後 Polya 仍有 30 年的時間思考心理學和數學教學之間的關係。 中學老師很崇拜 Polya; 他 樂意與他們交談, 而他們也願意聆聽他的意見。
劉 : 您到美國時, 是在中學讀書或. . .
Lax: 是的, 但我只花一年的時間完成高中學業。 我讀 Stuyvesant, 是一所注重數學和科學 教育, 非常好的高中; 有很多傑出的數學家從 Stuyvesant 畢業, 例如 Jack Schwartz, Paul Cohen, Harold Widom 等等, 還有物理學家等其他人。
劉 : 我印象中您似乎沒有完成完整的高中教育。
Lax: 對, 我並沒有修完全部的高中學業; 在 16歲半的時候, 我就上大學了。
劉 : 那是 NYU。
Lax: 那是 NYU。 Szeg¨o 向我父親建議他可以將我託付給 Courant, 因為 Courant 對年青 人非常的好。
劉 : 事實上, 您甚至也沒有修完全部的大學課程。
Lax: 大部份大學部的數學課程我在高中就已經學過了。 再說, 讀完一年的大學後我就入伍了, 所以之後在 Texas A&M 上學。 而且我在 Stanford 待過兩個夏天, 並且在 Los Alamos 修過一些課。
劉 : 比如, von Neumann 給的課?
Lax: 不是, von Neumann 並沒有教過課。 Fermi 給過核子物理學的課, Edward Teller 教 他想教的,. . .。 我修過古典力學的課。 總之, 後來我回到 NYU, 在一年內讀完大學。 但 是, 我並沒有完整的大學生經歷。
劉 : 教育制度似乎不是為您設的。 原來如此, 所以從此 Courant 就成為您的家。
Lax: 它一直是我的家。
劉 : 我們是不是可以談談 Courant 這個人呢?
Lax: 喔, 當然可以。 我這次離開美國之前, 剛完成一篇關於 Courant 的文章。 Courant 所 成就的事實令人驚嘆, 儘管他基本上是一位外地人, 在德國已是如此, 或許在美國更是如 此。 但他仍能建立學術中心並發揮影響力。 令人感興趣的是, 他的特殊心理特質能怎樣幫 助他成就這許多事業。 他有很大的熱誠, 沒有任何的偏見, 在面對似乎是無法克服的障礙 時非常樂觀。 他具有能說服別人, 贏得他人信賴的能力。
劉 : 他是一個很有魅力的人。
Lax: 他非常有魅力, 而且心地好。 他的行事有些反向; 當你與他談話, 問他問題時, 他先想出 你會預期到他的回應, 他就會說些別方向的東西。 他很有興緻看到別人思緒被攪亂, 再看 看他們如何反應。
劉 : 不同人對他都有不同的看法。 當然, 您與他有很長的交往。
Lax: 是的。 他對我而言就像父親一般。 他和我父親是很好的朋友。 我父親是他的醫生。
劉 : 還有 Friedrichs。
Lax: 是的, Friedrichs 對我有美好的影響。
劉 : Constance Reid 寫的 Courant 一書中, 她提到 Friedrichs 能一坐下來就開始工作, 而 Courant 卻必須先起來走走, 最後他才能專心工作, 但是當 Courant 靜下來之後, 他能 工作的時間卻比 Friedrichs 還長。
Lax: (笑) 這我不知道。 你知道, Cathleen Morawetz 編輯那本 Shock Wave 的書, 一本 很成功的書, 人們至今仍受它影響。 她當編輯的首要工作, 是將 Courant 的直觀風格與 Friedrichs 對數學嚴謹的極度要求融合起來; 光為這個就來來回回地修改了好幾次。
劉 : Friedrichs 很欽佩 Courant。
Lax: 喔, 是的, 他完全地信賴 Courant 的判斷, 而且他知道, 在可能的範圍下, Courant 很 樂意照顧他的團體中的成員並且盡力地為我們好。 Courant 很有彈性。 那時, “在可能的 範圍下” 這句話, 是很切要的。
劉 : 在美國科學界爆炸性成長的那段時期是需要如此的人物。
Lax: 的確是。 這爆炸性的成長時期開始於 30 年代, 那時從歐洲來的難民陸續抵達美國, 主要 是從德國, 但是也有來自於匈牙利、 法國、 波蘭, 甚至整個歐洲。 對所有那些人來說找到 職位是很困難的一件事, 但是美國社會在這件事上很用心, 特別是 Veblen 對此非常地 有幫助。 那時美國數學的程度提升到前所未有的水準。
劉 : MacLane 曾列出移民來的科學家, 看上去就像是科學界的名人錄。
Lax: 喔, 是的, MacLane 也非常地有幫助。
劉 : 他是美國人。
Lax: 對, 他是美國人。 他曾在 G¨ottingen 讀書, 我想他當學生時曾住在 Courant 的家中。
劉 : Friedrichs 與 Courant 如此地不同。 您與誰談得多些?
Lax: 我想, 在數學上, 我受 Friedrichs 的影響比較多。 最近我才完成一本 “泛函分析” 的大 書; 我是跟 Friedrichs 學泛函分析的, 雖然之前在 Courant 和 Hilbert 那本書上已學 到一些。
劉 : 我聽說 Courant-Hilbert 那本書的第二冊大部份是 Friedrichs 所寫。
Lax: 我想這是指第七章, 關於用變分方法研究偏微分方程的邊界問題; 它並沒有被包含入 Courant & Hilbert 第二冊的英文版本中, 因為到那時 (這個) 題材已發展了許多, Courant 想另外寫成一本書。 但是那時他已經太老而無法做這件事; 我曾和他有許多這 方面的討論, 他想要知道我的意見, 他應該如何寫這樣一本書。 他時常詢問別人的意見, 但這不代表他會接受別人的建議。 我告訴他應該先介紹 Hilbert 空間, 一些抽象的理論, 再舉例如何將抽象理論應用到具體的例子上。 他說, 不, 他不願意這麼做。 我問他為什麼 不呢? 他說當你引入 Hilbert 空間後, 你就開始研究起 Hilbert space 的問題, 而不是 數學問題。 這是有些道理的。
劉 : 這讓我想起您曾告訴我 Friedrichs 的一些事, Friedrichs 曾說過他太喜歡抽象數學了以 至於不敢去研究它。
Lax: 是的, 就像有酒癮的人一樣, 即使一小杯酒也不敢碰它。 在我書中的前言裡, 我曾引用 Friedrichs 的另一句話: 如果你願意將你所知道關於某個主題的全部資訊都放進書中, 那麼這樣的書很好寫。 對他而言, 一本書就像是一件藝術品; 書中寫到的以及沒有寫的, 對一本書的形成是一樣的重要。
劉 : 正如中國道家說, “有所為, 有所不為”。
Lax: 或者說, 在一幅畫裡, 你所看到的不只有正面的形相, 還有負面的形相。
劉 : 很多時候, 中國畫有大片的留白。
Lax: 中國畫, 我想還有日本的版畫, 有很多大膽的構圖; 當西方人第一次發現它們時, 他們很 震驚。
劉 : 在 Titian (提善) 或者是 Leonardo (達文西) 的畫裡, 顏色充滿了整個畫布。
Lax: 不敢留下太多的空白。
劉 : 換個話題, 我們等等再回來談 Courant Institute。 很多人談到 Peter Lax 時, 都說您 以選擇問題以及好的科學品味著稱, 那是獨特和令人欽佩的特質。 您知道, 我也是眾多敬 佩您的人之一。 (Lax: 謝謝) 那您可否在這事上說說您做數學想達成的是什麼? 您如何 選擇問題?
Lax: 我總是選擇對我有興趣的問題。 有一位德國數學家 Schottky, 當他 80 歲時報章雜誌曾 訪問他, 問他: 什麼是他成功的秘訣? 他說, “可是, 先生們, 當一個人想數學想了 50年, 他總該想到些東西”。 在一個類似的場合裡, 當 Hilbert 被問到他成功的最大秘訣時, 他 亳不遲疑地回答, “我的成功歸功於我有很差的記憶力”。 他必須重建每件事。
劉 : 哦, 您的意思是, 每個問題來到, 他總是重新去思考。
Lax: 差不多是如此。 例如, Fredholm 發表類似線性代數的積分方程, 只不過是在無窮維度空 間裡的線性代數。 之後, Hilbert 重新思考它, 但他想的是無窮維度的歐氏空間, 所以他 在那個方向發展出一套更加豐富的理論。 當然, Fredholm 的貢獻是非常重要的。
我了解數學動態主要不是靠讀別人的文章, 而是靠與朋友交談並聆聽他們的想法; 如果 某些問題似乎很有趣, 那麼我就會去想想它。 Kruskal 和 Zabusky 對孤立子的發現使 我開始思考這個問題。 von Neumann 對 shock capturing 的想法使我對 shock wave 感到興趣。 他那時並不完全對, 但我即理解到在形式上它必須從守恆律開始著手。 有幾位 研究數學創造的心理學家; Polya 是其中一位。 Hadamard 曾寫過一些關於數學創造心 理學的書, 還有我的朋友, 心理學家 Vera John-Steiner, 最近寫了一本關於合作心理學 的書。 當時 J´anos Bolyai 在 21歲創造出非歐幾何, 他寫了一封信給他的父親, “從無生
有, 我創造出一個新世界”。 他是非常浪漫的人。 但似乎是, 任何的發現, 都是從無生有 創造出新的事物, 與守恆律互相矛盾的。 談到兩人之間的合作, 可以看出創造發明的根源 在於合作者一起修正他們自己某些不足的想法。 我和不少人合作, 最重要的是與 Ralph Phillips, 長達 25 年; 對我而言那是很快樂的時光, 我非常地喜歡那段時光。 不過, 即使 是屬於個人自己的創造, 雖然沒有合作者, 仍倚賴於個人對於別人所做的觀察。 那甚至不 是自己所能記得的, 有些是潛意識的, 但是, 不知如何, 這就是我所相信的成功祕訣。 它 存在於數學文化中。 你在數學文化中活動就像是魚在水中遊一樣。 你並不孤單。 即使是 一個孤立的天才也不孤單。
劉 : 所以, 您強調溝通、 與人交談是非常重要的事。
Lax: 是, 是的。
劉 : 現在, 我們是不是能回到先前的話題, 你在 Courant Institute 的生活?
Lax: 是全然快樂的日子。
劉 : 有很多卓越的數學家是從 Courant Institute 培養出來, 或者曾待過那裡。
Lax: 喔, 當然。 有很多人曾是那裡的學生, Clifford Gardner, Harold Grad, Joe Keller, Louis Nirenberg, Martin Kruskal, Cathleen Morawetz 等等, 而且這些人中仍有很 多人待在那裡。
劉 : 您所提到的這些人, 他們全都非常地不同?
Lax: 他們是很不同。
劉 : 您能提提某些人嗎? 告訴我們一些事?
Lax: Louis Nirenberg 來自於加拿大。
劉 : 他是您的老朋友之一。
Lax: 是的。 我們同時進入教職並同時退休。 我們只合作過一篇文章, 但是我們討論我們之間的 每件事。 這樣的影響比合作寫文章更大。 他之所以來到 Courant Institute, 是因為在蒙 特婁, 他認識 Courant 的媳婦, Sarah Courant, 她注意到這位聰穎的年青人並寫信告 訴 Courant。 當 Courant 看到 Louis Nirenberg 在蒙特婁的第一學府 McGill 大學 的成績時, 說 “這人只得 A, 怎麼回事?”
劉 : 結果他後來 O.K.。
Lax: 後來 O.K. Louis 先是受過 Stoker 的影響, 但事實上 Friedrichs 對他的影響更大。 他 一直到今日仍對幾何相當感興趣。 他最近的工作是與 Yan Yan Li 合作的在幾何上的工 作; 他從 Friedrichs 學到偏微分方程的理論和工具。
有關 Cathleen 的故事, 她的父親是數學家, John Synge。 Courant 和 Synge 在一個數 學會議上相遇, 談起他們各自的家庭情況。 Courant 的大女兒 Gertrude 剛拿到生物學
位, 在事業的開端, 要選擇那條路總是困難的事; Synge 的女兒則剛拿到數學碩士學位, 並不那麼清楚將來做什麼。 Courant 說, “嗯, 你不能為我的女兒做什麼, 但是我想我能 為你的女兒做些事。” 而他做了。 Courant 在很早期就很鼓勵女性。 例如, Cathleen 一 拿到學位之後就被聘為研究助理, Courant 安排她能在家工作, 以便照顧她的小孩。 我 不認為有任何其它的學院會同意如此的安排, 但是, Courant 有信心, 並且亳不理會形 式上的規定。
劉 : 他有一個長遠、 大的目標, 而不只是照著規定做。
Lax: Courant 對我的內人 Anneli 也很好, 很鼓勵她。 Anneli 是 Courant 的博士生, 他給 她一個相當好的題目, 她寫了一篇很好的博士論文, 到現在它仍舊被引用。
劉 : 是有關退化雙曲方程嗎?
Lax: 是的, 她是第一個證明出某些條件是充分且必要。
劉 : 你何時、 在什麼場合第一次遇到 Anneli?
Lax: 喔! 那是一個很羅曼蒂克的故事。
劉 : OK. 我們能分享這故事嗎?
Lax: 好的, 我是在研究所的複變課程遇見她的。
劉 : 你已不記得是誰教這門課的吧?
Lax: 不, 我記得相當清楚, 但我不想提起他的名字, 因為他不行, 他照著 Courant 的講義抄 寫、 讀出來, 這還不要緊, 當有人提出問題時, 他就變得惶然了。 過一段時間後, 他注意 到我的答案總是對的, 就越來越常叫我了。 這引起了 Anneli 對我的注意, 尤其是當她發 現我那時才 17歲。
劉 : 相當的羅曼蒂克。 所以, 你應該謝謝那位老師才是。
劉 : Harold Grad. . .當我在 1976-77年訪問 Courant 時, 他看起來是個硬漢。
Lax: 是的, 對, 對。 他來自貧窮的家庭, 因此必須堅強才能生存, 他有一個兄弟也是數學家, 最 後做了行政。 他才真的強硬, 他做 Brooklyn Poly 的校長時, 由於他太過強悍, 全體教 職員將他趕走。
劉 : 那是太強悍了。
劉 : Kruskal* 是在 Courant Institute 取得學位嗎?
Lax: 是的, 他是 Courant 的學生, 他做了一篇很有趣的論文是關於兩個最小曲面可以用一個 薄曲面接起來。
劉 : 在你的網球約會前, 我們還有一些時間。 Kruskal 是一個有意思的人。
*參看本刊 100 期 「有朋自遠方來—專訪 R. Miura 教授」
Lax: 很有意思的人, 你知道, 他們三兄弟都是很傑出的數學家。 他的哥哥, Bill 是芝加哥大學 的頂尖統計學家。 他的弟弟, Joel, 是一個出色的組合學家。 他們有一個卓越的母親。
劉 : 到目前為止, 你已見證數學 50年了, 你是否感覺到數學文化的一些改變呢?
Lax: 當然。 當我剛起步時, 純粹數學在美國獨領風騷, 應用數學是不被看重的, 今天那已經完 全改觀了。
劉 : 我記得在 Reid 的 Courant 那本書裡, Courant 說過一句話, 說有關您在純粹及應用數 學上取得一個平衡。
Lax: 你必須得到平衡, 那是絕對正確的。
劉 : 不, Courant 是說 “你” 得到平衡。
Lax: 每個人都各自得到自己的平衡。
劉 : 可是他獨鍾你的平衡。
Lax: 我很高興聽到這個。
劉 : 可是, 你對純粹、 應用數學的看法是什麼?
Lax: 你知道, 我從一開始就是做應用數學的。 取得學位後, 我在 Los Alamos 工作了一年。 這 個實驗室剛開始使用計算機; 震波的數值解是一個大問題, 令人著迷的。 還有, 能在一個 非學術單位那種氣氛下工作是有好處的, 在那裡有特殊的問題要解決, 你可以和物理學 家、 化學家一道工作、 討論。 從那時候起, 我試著將我的學生送到 Los Alamos 或工業 實驗室去工作一段時間, 那是一個很好的經歷, 是在學術界無法完全得到的經歷。
劉 : 但在學術界, 我們無法複製這樣一個環境, 你覺得我們不應該嘗試著去複製這樣一個環境 嗎? 它不是學術界應該扮演的角色嗎? 例如, 在 NYU 沒有工程學院。
Lax: 我們沒有工程學院, 我們把它丟了, 很不幸。 現在有一個大的神經科學所, 我們和他們有 很多合作計劃正在進行中。
劉 : 還有, 可以預測一下應用數學的前景嗎?
Lax: 我拒絕。 當然了, 生物學是一個相當豐饒的領域, 有許多層面。
劉 : 我記得你說過數學佔科學的核心地位?
Lax: 它是物理學的語言, 也漸漸成為化學的語言。 它居計算想法的中心位置, 無論應用數學的 未來是如何, 計算將是一個核心的工具, 正如 von Neumann 所說的 “計算可以提示我 們到底真相如何”, 他如此強調多次。
劉 : 你覺得大學部數學系的學生應該修一些計算的課程嗎?
Lax: 喔, 那當然! 甚至純粹數學也使用計算機, 那是好玩的。 用電腦計算, 新東西一直出現。
在你待在學校這麼多年後, 跳出被動做些計算是好的, 今天, 我們有這麼多好的工具像 Matlab, Maple, Matematica 等。
劉 : 學生可以相當容易地就獲得樂趣。
Lax: 很多的樂趣! 學生真的可以自己發現新鮮的東西來。 在做數學研究的時機還未成熟時, 計 算可以幫忙引導他們進入研究天地。
劉 : 在 Courant Institue 你們有札實的計算課程, 其實更早以前就有了。
Lax: 對的。 我們有一些傑出的計算科學家 Marsha Berger, Leslie Greengard, Olaf Wid- lund。 假如我回顧 50 年前, 計算固然沒有, 連偏微分方程的理論都沒有, 至少不多。 二階 的橢圓、 雙曲、 拋物方程, 一點點波方程, 3維的, 一點點流體力學。 有幾本偏微分方程教 科書 Courant and Hilbert, Webster 以及 Riemann-Weber 寫的書。 在我當學生時, 各方面的教科書都很少, 在代數有 Van der Warden, 要學測度論、 Lebesgue 理論, 你 必須回到早期的專論或 Saks 的 “Theory of the Integral”。
劉 : 你可能是唯一在 PDE 各方面都有工作的人。
Lax: 我在拋物方程並沒有太多的工作。
劉 : 但是 Lax-Milgram 可以說是橢圓及拋物方程解存在理論的基礎。
Lax: 這個過程是這樣的, 有個很好的拓撲學家 Art Milgram 曾在 Courant Institute 待一 整年, 他想做些分析, 我們就成為朋友。 事實上, 我們過去經常一起打網球, 他要我給他一 個問題做, 那是進入一個領域的最好方法, 我告訴他對於 self-adjoint 問題有變分法, 但 是我們不知道如何處理 non-self-adjoint 的問題, 他就做出了現在叫做 Lax-Milgram 的引理。
劉 : PDE 理論在這 50 年來進展如此之大。 也許你可以提些最令你感到興奮的事。
Lax: John Milnor 在微分拓撲的大發現是令我感到最興奮的數學時刻, Milnor 證明在七維 空間裡有兩個球是拓撲相似而非幾何相似, 那是一個巨大的驚奇。 solitons 的發現讓我 印象深刻。
劉 : 你引進 Lax pairs 到 soliton 的理論, 你也繼續在 solitons 上工作, 但是你沒有跟隨其 他之後的發展。
Lax: 我和 Levermore 做了 KdV 的零離散極限。 是的, 當我在一個領域工作, 再轉到其它 領域時, 我有個習慣, 不再追跡原來的領域, 就是懶, 學新的數學是很困難的。 我記得有 一次我和 Friedrichs 一起研討一個問題, 我們找到一件重要的參考資料, 用俄文寫的, Friedrichs 自願來讀它; 他說, 他知道一些俄文, 可以讀。 我有點擔心, 太難了, 用俄文 寫的! 他說: “用俄文寫不是問題所在, 真正的難處是在數學”。 對大部份的人, 去讀懂數 學是很困難的, 我知道只有一個例外, 可能二個, 我想 von Neumann 沒有困難, Jack Schwartz 也沒有困難, 當 Schwartz 被聘為教員時, 他私下做決定: 要將列在課程表上 的所有課都教一遍。 當他完成之後, 就轉換到計算科學去了。 我問他是如何做到的, 總該
有某一科目是他不知道的, 他說, 在授課前的夏天, 他從圖書館借出這科目的教科書, 然 後讀懂它。 我沒見過有其他任何人可以做到這點。
劉 : 你正在寫一本泛函分析的書?
Lax: 我已經寫好了, 也校完稿, 大功告成。
劉 : 之前, 你也和 Ralph Phillips 寫了一些書。
Lax: 我和 Ralph Phillips 合寫了二本書, 在泛函分析書中的一章, 我放進我和 Phillips 的 一些工作, 同時把它整理的簡潔些。 Ralph 如果在世, 他會高興我這麼做的。 我們有關 automorphic 函數的書, 寫的時候, 時機仍未成熟, 在我們解決問題之前就寫了, 它是一 本令人不滿意的書, 但那之後, 我們做的很好, 我想假如 Ralph 還活著, 他和我會重寫 那本書的, 可惜我自己寫不來。 這領域的專家一直忽略了我們的貢獻, Peter Sarnak 除 外, 他和 Ralph 一起工作了好一段時間, 貢獻很多。
劉 : 現在你不必教書了; 你仍教書嗎?
Lax: 2000 年的秋天, 我教了一門給大學部高年級的線性代數, 我寫過這方面的書。 去年春天, 2、 3 月, 我在 Berkeley 教了一個短期課。 這即將到來的五月, 我在 Budapest (匈牙利) 會教一門三星期的短期課。 之後, 在今天的秋天, 我將受邀到史丹福一個月, 也許我會給 一個課程, 希望你也會在那裡。
劉 : 在史丹福教什麼呢?
Lax: 我還沒有決定。 在 Berkeley, 我講有關 KdV 的零離散極限, 我也可以講一些我和 Phillips 做的東西, 或者調和分析裡的某些東西。
劉 : 所以你會繼續教書, 一直忙著?
Lax: 是的, 現在我的書已經寫好了, 我必須決定下一個主要的計劃是什麼, 還不清楚。 我很想 去學些 random matrices。 這和任何題材幾乎都有關連, 如上述的零離散極限問題也和 這有關, Percy Deift 寫了很好的講義, 我可以推薦給大家。
劉 : 我可以問你一個一般性的問題嗎? 你對年青的博士生或對數學有興趣的大學生有些什麼 建議呢?
Lax: 喔! 我只能說他們必須眼觀四方。
劉 : OK。 另一個一般性的問題, 你認識了這麼多數學家, 誰是你的英雄?
Lax: 在老一輩中, Friedrichs 是我的英雄, 我把 von Neumann 放在其他人之上, Charles Loewner 是我的英雄, Gabor Szeg¨o 也是。 在我認識的年青一輩, 我推崇 Martin Kruskal, Louis Nirenberg, Peter Sarnak, Charlie Peskin 和 Charlie Fefferman, 都是很好 的數學家。
劉 : Friedrichs 好在那裡?
Lax: 讓我跟你講一個故事, Courant Institute 提名 Friedrichs 為 National Medal of Science 的候選人, 我算是經理這事的人, 首先, 我要得到美國數學協會的認可, 我打電 話給他們, 他們說其實有一個委員會負責此事的; 主席是最近一屆 Medal of Science 的 得獎者 Paul Cohen, 我很高興聽到這個消息, Paul 是我的老朋友, 我正好要去史丹福, 我告訴他這件事, 他想知道 Friedrichs 解決過什麼困難的問題。 我說: 他的工作在本質 上是不同的, 比如說, 他引進了 Friedrichs extension 的概念, 它使得 self-adjoint 算 子的理論變得有用。 Paul 不理這些, 所以我只好繞過他, 得到別人的支持。 事實上, 我被 放在這獎的委員會裡, 事情反倒變得容易, 因為一向當數學家的名字出現, 人們描述他的 成就時, 這些對由科學家組成的委員會是沒有什麼意義的, 他們聽不懂, 於是他們說: 好 的, 數學方面給一面獎牌。 但他們聽過 Friedrichs, 因為他對流體力學有貢獻, 所以那年 數學方面得了兩面獎牌。 這件事了之後, 我向 Friedrichs 恭禧, Friedrichs 說: “可是你 也知道, 我從沒有解決過困難的問題!”
劉 : (笑) 好!
Lax: 另一個我十分佩服的人是 Tosio Kato。
劉 : 他是一個非常安靜的人。
Lax: 非常安靜的人。 但我確實地讀過他所寫的東西, 他在把泛函分析與其他問題關連起來上, 比任何人做得都多, 他是物理出身的。
劉 : 你給我們的印象是, 你的數學生涯是如此的美好。
Lax: 是, 我一直在其中享有很大的樂趣, 現在仍舊樂在其中。 事實上, 我送 e-mail 給我的朋 友, 告訴他們說, 我一直不斷地享受中國的菜餚以及數學。
劉 : 那好, 你應該常來東方世界。
Lax: 我這是第三次訪問東方, 第一次是在 1980 年, 對中國的數學, 那是一個關鍵時刻。 事實 上, 中國的每件東西都遭到文化大革命的毀壞, 它是否能被修復起來並不是那麼明顯, 把 學生送到國外使得他們可受研究所的訓練, 其實那時甚至中國能不能提供大學部的訓練 都不清楚, 我對那些能貫徹這一政策的傑出人士有極大的尊敬, 但是現在當然是完全不 同了。 在第二屆國際華人數學家會議上, 我對中國的數學有如此高的層次有很深刻的印 象。 事實上, 我認為過一陣子之後再舉辦國際華人數學家會議已經沒有意義了, 雖然這是 一個好的傳統。 對在起步階段, 這樣的會議是好的, 現在這時期已是歷史了。
劉 : 它是一個歷史階段。
Lax: 這個階段正在結束。
劉 : 現在, 中國是全球數學社會的一部分。
劉 : 的確, 當一個文化有活力時, 它應該成為全球化的。 在唐朝時, 它是非常全球化的, 有波 斯的天文學家、 印度的數學家、 阿拉伯的數學家, 都在唐朝的首都, 無所謂的中國數學。
Lax: 你知道, 阿拉伯文化在 Caliphate 時代是很高的, 他們在數學及天文上有貢獻的。 那時 它正處於最高峰時, 也許是世界上科學最強的學派。 歐洲那時正被中世紀的黑暗時期所 吞沒。
劉 : 唐朝是在 6-9 世紀。
Lax: 它甚至在 Caliphate 時代沒落之前。
劉 : 也許那就是為什麼唐朝能引進世界那方的數學家。
Lax: 唐朝和歐洲有多少接觸呢?
劉 : 喔, 很多 必定地, 比我們所知道的還多, 利用絲路, 他們派遣一個唐朝僧侶, 叫玄奘, 前 往印度。 假如你能進入印度, 之後就簡單了, 在那之前, 沙漠之間的高山被認為難以通過, 當然, 也有由海路。
Lax: 在那時, 中國有可供做長途旅行的大船嗎?
劉 : 宋朝有大型船隻。 在宋朝, 泉州及亞歷山大是世界上兩個最大的港口。 之後, 中國變得孤 立, 開始衰退。 現在, 我們有國際華人數學家會議, 正如你所說的, 現在也不需要這個了。
Lax: 已無那個需要了, 但是它是一個好的傳統, 見到如此多的華人在世界各地位居要職是很 好的。
劉 : 啊, 好一句鼓勵話語, 我們就以之做為你的結語。
Lax: 好的。
劉 : 再次謝謝你, 早日再來。
—本文訪問者為中央研究院數學所所長, 整理者當時任職於中央研究院數學所, 現在美國史丹 福大學進修 —
