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Icon 設計與 GeoGebra 數學繪圖

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Academic year: 2022

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(1)

Icon 設計與 GeoGebra 數學繪圖

黃信淳 老師

國立臺南女子高級中學

壹、前言

此課程是由臺南女中美術科教師王政凱與筆者共同授課。臺南女中每年約莫有40人 於畢業後就讀設計領域的科系,而高中課程對此領域的相關教學活動很少。另外,懂得 使用GeoGebra,對於數學的學習,有莫大的助益,於是便有了這一堂由美術科與數學科 共同教學的課程產生。我們希望未來想就讀設計學系的學生,對設計能有更多的了解。

而且在考完學測之後,準備面試與備審資料之時,能夠有更充分的準備,也能言之有 物。

貳、課程的設計理念

自從智慧型手機興起,每一個app都需要一個簡單而搶眼的icon,而每個知名品牌也 都有自己的商標。未來從事設計工作之時,不免會接到商標設計的案子,而如何辨別商 標設計的優劣,如何設計出一個好的icon,如何使用電腦繪製一個規格化的icon,是這個 課程的一個主軸。其次,如何使用GeoGebra來輔助數學的學習,是這個課程的另一個主 軸。

(2)

參、課程教案分享

周次 主題 內容 備註

1 課程簡介與認識彼此

★ 說明課程內容

★ 分組

★ 認識彼此的破冰活動 2 視覺識別系統的內容與原理 ★ 課程PPT教學

★ 小練習

作業一:

手繪icon設計稿 3 學習icon設計的方法 ★ 課程PPT教學

★ 小練習

4 Launcher Icon設計實作1 ★ 說明作業的規格與模式

★ 設計實作

★ 完稿 5 Launcher Icon設計實作2

6 Launcher Icon設計實作3 7 第一次期中考停課

8 GeoGebra練習1 繪製校徽

9 GeoGebra練習2 等角螺線與星系旋臂 10 GeoGebra練習3 圓內光反射的軌跡 11 GeoGebra練習4 內擺線與包絡線 12 GeoGebra練習5 隧道與雙無窮遠點 13 第二次期中考停課

14 用GeoGebra重繪icon實作1 ★ 說明作業的規格與模式

★ 用GeoGebra設計實作 作業二:

電繪icon設計稿 15 用GeoGebra重繪icon實作2

(3)

肆、實施方式

一、 icon設計:

第一次期中考前,由美術老師王政凱授課講述icon的設計,筆者旁聽。

1 視覺識別系統的內容與原理:

以Google家族的顏色辨識度為例

圖1

Google設計的app很多也很好用,例如搜尋、地圖、表單、行事曆、Chrome、雲 端硬碟、Gmail、翻譯。而Google如何統合這些不同領域的app的icon設計呢?答 案是顏色。只要手機裡的一個icon裡出現了藍、紅、黃、綠四個顏色,我們會猜 想這應該是Google設計的app。

2 學習icon設計的方法。

3 Launcher Icon 設計實作(手繪):

這部分由學生選定校內的一個地點、場所、主題、處室、科辦公室,設計其 icon,作成手繪稿,並在設計稿上說明其設計理念,類似商場上設計團隊競標時 所設計的稿件。例如此次學生選定的主題有:冷氣卡、停車場、百年校慶、數 學科辦公室等等。

(4)

二、學習使用 GeoGebra:

第一次期中考至第二次期中考期間,由筆者授課講述GeoGebra,美術老師王政凱旁聽並攝 影,將上課過程做成紀錄,以利成果發表,未來也方便其他老師開設類似課程。以下為練習使用 GeoGebra繪製圖形的部分主題。

圖2 繪製以圓周上一點為點光源,

其所發出的光,照射到圓周上其他點,

所反射的光線軌跡。

圖3 繪製包絡線。

(5)

三、成果發表:

第二次期中考至期末考期間,學生開始將手繪稿改為電腦繪圖稿,兩位老師從 旁協助。以下為部分學生作品。

圖6 圖7 (圖片來源:黃信淳)

以下圖片為上課情形

(圖片來源:黃信淳)

圖8

(6)

伍、結語

在經歷半年的跨科共同教學之後,筆者在icon的設計上,學習到許多寶貴的理念和 優劣判斷。不但修課的學生收穫良多,而且共同教學的老師們也從彼此身上學到許多對 方擅長的領域內的知識。連一般難以想像能夠共同教學的美術科與數學科,都能夠找到 適當的主題而加以融合。我相信各個科目之間,也都存在著各式各樣的主題能夠進行共 同教學。從過程中,我們當教師的,也能重溫學習的快樂。

(7)

人工智慧與機械設計

黃信淳 老師

國立臺南女子高級中學

壹、前言

今年的全國科展中,筆者指導的本校資優班學生吳昀恬,以「AI人工智慧與樂高積 木之結合與應用」拿到康寧特別獎與最佳鄉土教材獎,於是便想把科展經驗變成臺南女 中的校本課程,在107課綱施行。

本課程教學的五大主要面向為機械、動力、控制、感測、AI,其中包含大量實作,

此部分是技職體系學生擅長但高中學生缺乏的。後端的AI理論與程式設計,超乎技職體 系學生的能力。本課程期待能增強高中生較弱的實作,並發揮自身較強的理論與程式設 計。

貳、課程的設計理念

本課程的課程規劃上以三年為進程,以下分項說明:

一、第一年課程開發:

以數學、物理、生活科技、資訊、美術等學 科的教師為主力,利用Lego EV3,進行課程開 發,完成教學示範用的「對弈機器」及其組構說 明書,例如Tic Tac Toe對弈機器(如圖)、拈對弈 機器、Gobblet對弈機器、Rummikub對弈機器。

圖9 (圖片來源:黃信淳)

(8)

二、第二年教學實踐:

在臺南女中用以下方式之一進行教學。開設專班、開設多元選修課程、工作坊、融入各科課 程、專案學生指導等方式進行實踐。

三、第三年推廣教育:

持續開設課程並進一步與鄰近的中山、建興國中、家齊高中合作,簡化課程並以營隊的方 式,使鄰近的國中生、高中生、技職體系的學生也能接觸到AI人工智慧的學習。

圖10

(9)

參、課程教案分享

本課程預計執行15周,每周上課2小時。規劃如以下表格,說明於後:

周 單元名稱 內容 時數 評量

方式

開發課 程模組 1 前測,桌遊 實 施 前 測 , 討 論 桌 遊 中 的 策

略。 2 課堂

表現

桌遊中 2 樹形圖 以樹形圖解構桌遊 2 的數學

3 Lego Technic 介紹Lego機械零件與PF系統馬 達,並讓學生自創作品。 2

作品 評鑑

機械 4 Lego EV3 架構

介紹Lego EV3,並讓學生製作 循 跡 車 ( 使 用 老 師 所 寫 的 程 式)。

2

5∼7 AI人工智慧 學習程式語言,並寫出Tic Tac

Toe或拈的對弈程式。 6 程式 評鑑

AI人 工智慧

8

範例展示 自薦與勸說 選定主題

展示科展作品「Tic Tac Toe對 弈 機 器 」 , 讓 學 生 尋 覓 與 遊 說,組成團隊,並選定專案主 題,討論分工。

2

作品 評鑑

會思考 9∼10 機械架構設計 用Lego Technic零件製作機 的機器

體。 4

11∼13 AI程式設計 用Lego EV3撰寫AI程式。 4 14∼15 成果發表

後測

各個團隊輪流進行專案報告,

作品展示,並實施後測。 4

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肆、實施方式

一、課程的開設方式:

視本校整體課程規劃,挑選以下方式進行實踐:

1 成立專班進行特色課程。

2 開設多元選修。

3 融入數學、資訊、生活科技、物理、美術等課程教學中。

二、評量方式:

1 前測:測驗內容為本課程所會學到的機械與程式設計知識,前測的測驗結果主要作為後測的對 照組,以了解學生在課程中的成長幅度。其次做為調整課程難度的依據。

2 桌遊中的數學課堂表現:從觀察中了解學生的臨場反應速度、對於未知事物的理解速度、對於 新知識的吸收速度。綜合來說就是學習力的判定。

3 機械架構的作品評鑑:以PBL的學習方式,從過程中了解學生解決問題的能力,從作品中了解 學生的創造力。

4 AI人工智慧的程式評鑑:以PBL的學習方式,從過程中了解學生解決問題的能力,從程式中了 解學生的邏輯思考與細心程度。

5 會思考的機器的作品評鑑:全方位評價學生,如以下方面:邏輯思考、細心程度、團隊合作、

創意發想、解決問題、自我行銷、有看人才的好眼光、講解作品的口才,能正確評價他人作品 的眼光與無私心。

伍、結語

自從隨身碟的記憶容量一路從KB、MB,最後變成GB為單位時,人工智慧的未來就一片光

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陸、參考資料

1 本校臺南女中科展作品「AI人工智慧與樂高積木之結合與應用」(2016年)

2 維基百科:

1 https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square,QR Code: 。

2 https://en.wikipedia.org/wiki/Tic-tac-toe,QR Code: 。

3 http://www.mathland.idv.tw/solveTieTacToe.html,QR Code: 。 3 Coursera:

國立臺灣大學/于天立(Tian-Li,Yu) 人工智慧(Artificial Intelligence)

路德維希馬克西米利安慕尼黑大學/Tobias Kretschmer/競爭策略 4 大拇指兒童程式積木教室,Lego EV3使用說明

https://goo.gl/1YrYtz,QR Code: 。 5 LAB cavedu,Lego EV3使用說明

http://lab.cavedu.com/ev3_ultrasonic,QR Code: 。

(12)

棒球該怎麼經營?怎麼打?

誰是最適合的球員?以及為什麼?

本質上,他們在尋找的,其實是棒球的新知識。

引自《魔球》

壹、緣起

近年來,美國職棒大聯盟產業的總體年營收逐年攀升,突破100億美元大關。據富比士估 計,大聯盟所有球隊的總市值和已高達360億美元。換言之,棒球不止是運動,更代表著一種文 化與商業活動。當然,商業活動脫離不了投資與獲取利益等商業行為,箇中棒球好手,特別是明 星球員,更是球隊的重要資產。因此,如何更加準確抑或更正確地分析、評估球員的當下與未來 價值,找出被低估的潛力球員等,皆攸關了球隊的勝利與否,更關乎球團投資成效與經濟利益。

當球隊戰績長紅,容易塑造隊上明星球員,並帶動觀眾入場與當地商機。特別是進入季後賽的商 機更是龐大,除了球票飆漲之外,天價廣告收入與全國媒體曝光效益,更是經營球團每年趨之若 鶩的目標。

儘管棒球場上與報章媒體,充斥各種統計資料與衍生出的數據,然而,百年來參與其中的大 多數人並未曾深刻思考這些數據背後的意義。素有棒球統計學之父之稱的Bill James,他首先在

從棒球計量學探討統計思維

黃俊瑋 老師

臺北市立和平高級中學

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另一方面,數學家與統計學家過去總是位居全美職業評比的前幾名,最近二 年,數據科學家(Data Scientist)這個新興職業更是一舉衝上排行榜的前頭。輔以 近年火紅的「大數據」分析與研究,統計這門學問與相關知識,恐是未來新世界需 求以及未來各類新興職業中,最不可或缺的重要基礎與能力,也勢必影響工作機會 與選才的趨勢。

當然,統計在正統數學課程中的地位也逐漸提升、日漸重要,這股風潮在臺灣 的中學數學教育發酵,特別是近年來益加深強調的中學統計課程,不難看出這股趨 勢。種種原因,搭上近年的棒球熱與大數據統計風,筆者這學期在學校所開設的多 元選修數學特色課程,便以「棒球與統計」為主題,跨越體育與數學兩個領域,淺 談棒球場上的各項傳統與進階統計數據的意義,分析、探討傳統棒球統計數據的諸 多迷思與限制,以及近年來的棒球統計學家們如何提出改進方法,並在統計與科技 輔助之下,所發展出的各類新式統計數據。

貳、特色課程主題與主要內容

本課程的開課年級為高一,每週2節課的時間。接下來,筆者先列出本課程的 各主題,接著再簡單介紹課程內容、課程評量、課程主要進行方式、課程目標、主 要數學與統計知識內涵等。

一、「棒球與統計」課程主題:

1 相見歡-自我介紹、棒球經驗分享與課程介紹。

2 簡易棒球規則與球賽基本統計;棒球統計相關英文名詞介紹。

3 電影欣賞-《魔球》;《魔球》心得分享與討論;《魔球》的意義與啟發。

4 棒球計量學的發展與Sabermetrics社群興起;棒球統計相關的重要議題。

5 傳統數據的限制與迷思!?網路資源與棒球統計書籍介紹。

6 新問題、新思維Ⅰ:投打相關進階數據。

7 新問題、新思維Ⅱ:DIP衍生的新思維與BABIP衍生的新觀點。

8 球探報告怎麼看?臺灣潛力新秀評析。

9 期中報告-球探報告分析與球員評論。

0 從統計觀點反思棒球數據-進階投打型態分析;從統計數據窺探新魔球方針;

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w 球員價值與貢獻評估Ⅱ-取代層級與勝場貢獻評估(Win Above Replacement)。

e 球員價值與貢獻評估Ⅲ-勝場貢獻指數(Win Shares)。

r 期末報告-球員分析實務。

t 課程總結:課程回顧;反思與回饋。

二、課程主軸與內容說明:

首先,課程的第一部分,是了解學生對棒球相關背景知識與棒球經驗,從簡易棒球規則與球 賽相關重要名稱術語談起,慢慢引入棒球場上以及報章媒體上常見的基本棒球數據,並且介紹相 關英文名詞,以及美國大聯盟的幾個重要數據庫,一方面也期待學生透過閱讀國外棒球計量學相 關網站,培養英文閱讀能力。

接下來,課程的第二個部分,首先欣賞《魔球》這部電影,初步了解球團在進行球員選擇與 交易或作決策時,統計知識與數據分析為什麼重要。並透過學習單引導,讓學生反思《魔球》的 意義與相關啟發。接著,介紹棒球計量學的發展與Sabermetrics社群(全美棒球研究社群、棒球計 量學)興起的過程。

第三部分開始,是本課程的重頭戲,主要聚焦在棒球場上的各項統計數據部分。首先,探討 並反思報章媒體上常見的這些傳統數據,是否存在限制或相關迷思?再者,為求解決這些數據的 限制或改良不佳的數據,進而引導學生探討棒球統計學家如何構思與創造新數據,以及近代棒球 統計學的各種新思維與新方法,當中包含投手、打擊與守備相關進階數據的發明目的與這些數據 的意義。同時,也介紹如何查詢與使用這些數據。接著,慢慢引入國外學者的研究與種種新發 現,先透過統計數據與實例探討BABIP(球打入場中形成安打的比例)的變異性與機運性,並討 論衍生出的新觀點新型態的數據。並探討為何近年來DIPS這類投手數據逐漸居於主流,以及背後 的新思維。

第四部分則是以選手分析為主,「球探報告怎麼看?」單元先引入統計學中的常態分布,說 明球探報告中相關評分與評價所代表的意義。同時也實際以臺灣目前在小聯盟的潛力新秀為例,

(15)

年的勝場,適當地分配予進攻方與守備方,進而分配給每一位選手,以了解每個球 員一整年下來對球隊的勝場貢獻,找出最有價值的選手,並進行選手貢獻的比較。

三、課程進行方式與課程活動:

本課程主要的進行方式與課程活動包含:

1 利用投影片展示與講述教學。

2 影片欣賞與心得分享:透過電影《魔球》與原著,設計學習單(學習單如附 錄),引導學生反思《魔球》的意義,並探討棒球統計社群的興趣與新思維。

3 利用學習單的提問,引導學生反思、討論棒球統計學裡的諸多重要議題。並透 過傳統報章媒體上不合理的數據判讀,學習統計分析與批判性的思維。

4 介紹棒球英文:

透過課程的進行,學習棒球與棒球計量學常用的英文名詞與英文術語,以利學 生閱讀國外相關網站或英文專書。

5 統計軟體教學:

介紹EXCEL相關統計功能,並實際用於棒球數據分析。

6 數學閱讀:

閱讀棒球統計相關書籍或文章,撰寫報告,練習數學寫作,並討論與分享。

7 球員數據分析、球探報告分析與討論:

1 期中報告-實際閱讀球探報告,進行球員的分析與評論,並上台發表與分 享。

2 期末報告-透過本學期所學,實際進行球員各項基本與進階數的分析與比 較。並上台發表、分享與討論。

四、課程評量:

本特色課程的評量方式包含:

1 《魔球》電影欣賞學習單。

2 課程學習單與期末回饋表。

3 期中報告:分析並介紹一位小聯盟球員及其球探報告。

4 期末報告:透過本學期所學知識,分析一位大聯盟球員或中華職棒的球員。

5 上課參與及上課表現。

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五、本課程的主要課程目標與預計培養的能力:

主要目標包含:閱讀、反思、討論、分析、創造、學習提問:

1 認識棒球傳統與進階數據,透過統計數據分析球員的能力、價值與貢獻。

2 閱讀(中、英文網站與資料),認識中英文棒球統計數據與相關術語。

3 溝通與討論:學習單與心得寫作,上台發表與分享自己的想法,或進行課堂討論。

4 批判性思考:傳統數據的限制與迷思。

5 創新思考:棒球統計的新思維與新方法、棒球數據的發展與創造、重要的棒球統計議題。

6 提問:學習如何提一個好的、有趣的、有意義的問題,然後思考適當的方法,發展適合的統計 工具,最後回答問題,並引發新的想法與研究。

六、特色課程相關數學與統計內涵:

1 平均數、標準差、標準化等基礎統計知識。

2 相關係數:利用相關係數探究有趣的新發現,並引出棒球統計的新思維與新概念。

3 函數、數學建模:建立棒球數據相關數學公式、勝率公式或各類函數模型。

4 迴歸:評估得分創造、球員價值之相關公式。

5 常態分布:球探報告之評分與相關意義。

參、結語

如同柏拉圖所說:「數學引領我們跳脫變化無常的幻海,看穿假象,看清事物背後的本 質。」而統計同樣可以幫助我們釐清雜亂數據背後的本質與現象。

時代在改變,學習新知的方式與看問題的方式也需跟著改變。無論是透過高科技的追蹤分 析,或是透過統計大數據分析,乃至於數學模型與數學概念的引入,統計、數學、科技與運動科 學影響了棒球的發展,為棒球帶來革命,帶來新的知識,也改變了棒球選才與評價球員的方式與

(17)

最終也期許學生和讀者:讀懂圖表與數據只是統計第一步,除了認識相關統計 量與統計數據外,要學習進一步利用統計數據作比較,並試著比較不同統計數據的 優缺點,不要只看表面的數據,更要反思、了解統計數據本身的意義,以及數據背 後、數據之外的意涵。特別地,各種統計數據都有其限制,在使用數據作分析、比 較與決策時,務必小心!並懷抱著質疑與好奇心!

肆、附錄

數學特色課程-電影《魔球》學習單

一年   班   號 姓名     

看完《魔球》電影後,請詳細回答下列六個問題,並請標明題號。

一、 影片中,你印象最深刻的是哪一個片段或哪一句話?為什麼?(15%)

二、 看完《魔球》後,你覺得「數學(統計)」為何重要?是否讓你對學習數學的 想法有所改變?(15%)

三、 本電影的片名為《魔球》,看完電影後,你覺得《魔球》的意義或主要精神是 什麼?(15%)

四、 看完電影後,你認為各種「知識」是永恆不變的嗎?為什麼?又你覺得什麼樣 的知識較可靠?(15%)

五、 以下三個問題,請你選擇其中一個問題,詳細回答。(15%)

1 運動家隊依《魔球》的理念選擇了球員,但開季戰績仍不佳,如果你是經 理人,你仍會繼續貫徹《魔球》的理念嗎?為什麼?

2 別的球隊花大筆簽約金,爭搶具有天分的高中球員時,《魔球》的理念卻 獨排眾議地認為成熟的大學球員較具「價值」,你對此有何看法或評論?

3 運動家隊公開了《魔球》的祕密之後,難道他們不怕其他球團仿效學習 嗎?請你寫出你的看法。

六、 請利用背面空白處,描述你看完此電影的感想。(至少200字,25%)

(有興趣的話,可自行參閱《魔球》一書,另寫一份完整的讀書心得)。

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壹、前言∼接力賽跑

近年來,因應12年國教上路與《107課綱》多元選修的近逼,全臺各地的教育相關單位無不 使出渾身解數與廣籌經費,陸續推出各種短、中、長期的配套措施,例如:教育部早從96學年 起,即帶頭執行高中優質化計畫,102學年起改成特色領航計畫,目前則是最新的前導計畫;國 教署則自98學年起,按部就班地拓展高中的均質化規模。至於地區性的教育局也不遑多讓,以北 北基為例,新北市於101學年起,率先發起高中職的旗艦計畫;臺北市隨後也推出高中職的領先 計畫急起直追,兩者頗有互別苗頭之勢。

上述的方案名稱或許各有千秋,但異中求同的模式皆是由上而下,帶領著熱情的學校團隊,

讓中學端第一線的教師們提早熱身,藉以發展多元豐富的空白課程、校本課程、特色課程…等跑 班選修,就連科技部最新接棒的第三期高瞻計畫,也搭上臺灣教改這波新浪潮,將大學端新興科 技融入中學教案研發的脈絡,順水推舟地導向母雞(高中職)帶小雞(國中)的新里程,其中由 筆者共同主持的「藝數創課」執行內容參見肆、參考六。

貳、分享∼野人獻曝

學,然後知不足;教,然後知困。知不足,然後能自反也!知困,然後能自強也!

107 數學多元選修你我他

彭良禎老師

國立臺灣師範大學附屬高級中學

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才無限家》影片欣賞的餘興節目。只是以往可能沒有真實備課的需求,故從沒案牘 編寫學習單或設計Q&A問卷,如今若真要就手邊這些現有的教學資源,再融合網 路豐富的分享資訊,好好編寫出幾節可操作的實體教案,理當不是難題。

以下以《圓》為主軸,分享筆者歷經多回合教學相長的刺激,最後結合網路教 學資源,嘗試從幾道經典小菜串接,慢慢發展成一系列〈圓舞曲魔數〉套餐的演變 歷程,學習單內容及教學指引詳見伍、附件。

一、牛皮換城堡:

赤崁樓的牛皮交易,是筆者國小社會課堂上聽聞的傳說,教學時也常有學生回 應聽過類似的傳說,但就是沒人見識過真實的「歷史場景」,直到筆者在《如何穿 越一張明信片》書中得見其實作,才將此操作緊接於錢幣穿洞魔術之後,頗能引人 入勝。早期,筆者會的也就只有書中的標準答案,故教學重點放在引導學生從

「Impossible」變成「I m possible」的境界,直到後來在師大附中1295數資班互動 時,筆者才又教學相長地被啟發一題多解的定位。

二、墨比爾斯環:

Mobius環是筆者就讀師大數學系時,唯一認知的拓樸學經典魔術,但除了科展 研究,其實一直不知如何深入淺出地串成課程,直到在「2013 第一屆創新數學教 學研討會」上,習得馬來西亞創意教學大師張寶幼老師分享的雙心紙環,這才開了 眼界。至於筆者真正用於營隊教學,則是在2014年寒假,因緣際會受邀成為故宮

「錯覺藝術大師-艾雪的魔幻世界」版畫特展的數學顧問,為了培訓一百多位導覽 志工,試圖說服大家卸下心防,以便真心認識艾雪的「數學版畫」,經大量閱讀相 關書報,最後廣蒐網路資源而得的小小破冰成果。學習單中緊接於影片實驗2之後 的追加動作,是後來在苗栗公館國小數學營活動中,學生煞有其事地反饋「皮帶換 城堡」的刺激,而最後增添的回家功課奧運五環Logo,則是筆者原先異想天開的 玩笑之舉,不臆最終還是被臺南市文賢國中的一位學生認真地破解了。如今串接於 此,就當是從圓到洞、到環的教學發想。

三、魔幻艾雪:

透過艾雪的系列版畫,回應YouTube〈No Magic at All:Mobius Strip〉影片中

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的卻是Mobius環系列的數學版畫?反觀學校裡的老師和學生,除了用作業、考試、進度寫日記,

數學之於我們,還留有哪些深刻的體會與共鳴?

四、創意雙心:

本操作源自馬來西亞創意教學大師張寶幼老師分享的雙心紙環,今搭配國內景觀雕塑大師楊 英風的兩款創作連結,以為本系列教案畫龍點睛之效。

參、共勉∼教學相長

心理學上有一種現象稱之為「視網膜效應(Retinal Effect)」,意指當一個人擁有某種物品 或特徵時,就會比他人更容易注意到這些物品或特徵。以筆者為例,當太太懷孕時,就感覺到處 都是孕婦;當小孩出生後,就發現到處都有小Baby。依此類推,當教師真實投身於教案開發的行 列之後,不論是主動還是被動,都有機會在解題或出題之時靈光乍現,就連在看書報、賞電影、

逛書店、遊老街等日常生活中,相信也會因為視網膜效應的運作,而察覺出更細膩的教案題材,

激盪出更夢幻的設計靈感。以下連結窗口載有筆者長期撰寫、發表之創意教學教案與數學科普文 章,數量多寡與內容屬性不一,歡迎讀者點一點、看一看、試一試、教一教,假以時日,必也能 遞交整學期料好實在,讓學生週週驚豔與期待的特色課程。

肆、參考∼擴充閱讀

一、 《科學》月刊:

1 〈活化你的數學課—角錐體積的操作簡餐〉(2013.09):

網址:https://goo.gl/MFCsmU,QR Code: 。

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三、 教育部高中數學學科中心電子報:好書推薦與科普雜文(2009.09∼今)。

網址:https://goo.gl/1pyKGs,QR Code: 。

四、 遠哲科學教育基金會《發現》月刊:〈Math-Magics魔數〉專欄(2001.02∼

2009.10,約40篇)與〈藝數家玩摺紙〉專欄(2009.03∼2011.03,共17篇)。

網址:https://goo.gl/9UKN0I,QR Code: 。

伍、附件∼〈圓舞曲魔數〉教學指引

【提醒】

1 本課程教師宜視學生數學背景知識的多寡,彈性拿捏Q&A節奏的快慢,以及數 學引導的深度與廣度。

2 教師宜先自製ppt簡報圖文,做好問答頁之關鍵內容與網路連結,以便教案執行 與操作順暢。剪刀、膠帶、錢幣等物品可提醒學生準備。

3 班上偶有少數學生已在其他場合練習過某些學習單上的實作,可鼓勵學生給出 其他解法,或是練習說說道理,說服自己,也說服別人。自製ppt簡報圖文,做 好問答頁之關鍵內容與網路連結,以便教案執行與操作順暢。

一、牛皮換城堡(約 10∼15分鐘):

1 「價值一城」:一塊牛皮挖個洞,真的可以圍出一座城堡?

【建議】 教師講古之後,改以A4或B5紙張模擬操作,

想辦法剪個大洞讓自己穿越。學生若一籌莫 展,可先適度提供一半的提示,如右圖,讓 學生自行面對剪開來的很多小洞想辦法,切 勿直接告知全套破解技法,會破壞神祕感,

且降低學生驚喜。另可多多鼓勵學生試想第 二種、第三種…或第n種剪法。

【提醒】 一開始剪刀就要直接破洞而剪,不宜從紙張 邊緣剪入。另有不少學生會沉醉在彼此PK誰

圖11

(22)

二、墨比爾斯環(約 15∼20分鐘):

【建議】 教師先裁切備妥全班操作之長紙條數量(每生至少5條),並將ppt檔連結好YouTube

〈No Magic at All:Mobius Strip〉影片(網址:https://goo.gl/X2XAQL,QR Code:

),然後帶領全班邊看影片邊講解、邊示範、邊提醒,學生逐個實驗影片看完重 點之後即模擬操作。

1 取5條長紙條,仿照影片8∼16秒中的動作,先黏貼3個Mobius環。

【提醒】 在此只操作翻轉一次的Mobius環,務必提醒學生要將透明膠帶或雙面膠正反面繞一圈 完整黏接,以免後頭剪環時脫序演出。

2 取一Mobius環,仿照影片19∼28秒中的實驗1畫中線,猜想或解釋其結果。

答:Mobius環只有一個面,因為當初短邊相接時,即已將正反面互通在一起。

【建議】 影片播放到25秒可先暫停,先給學生猜猜看,等過半學生畫完後,再核對25∼28秒的 結果。另可提醒學生比較、察覺Mobius環的一個面,與乒乓球的一個面,兩者之間的 差異:前者有邊界,球面無邊界。

3 取一Mobius環,仿照影片29∼40秒中的實驗2剪中線(二分之一處),猜想或解釋其結果。

答: Mobius環只有一個邊,剪二分之一處並未破壞原有的邊,只是創造出新的邊,由於紙張未 斷,所以結果是一個大環(翻轉兩次有兩個邊的Mobius環),而非兩個環。

【建議】 影片播放到37秒可先暫停,先給學生對照正常的圓環猜測結果,等過半學生剪完後,

再核對37∼40秒的結果。

【提醒】 一開始剪刀就要像處理一元孔徑時,直接破紙而剪,不能從邊緣剪入,建議先將環摺 扁,以剪刀剪出缺口之後,再沿中線剪。

4 承上題,將大環再沿中線剪二分之一處,是否有機會「皮帶換城堡」?

答: 由於此時的大環是已翻轉兩次、有兩個面的Mobius環,故其結果不會與3.一個更大的環相 同,所以無法只靠此法剪皮帶來圍出赤崁樓,另參見下面三、魔幻艾雪2.教學。

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6 仿照影片中60∼1:20秒的實驗4設計,取更寬的長紙條剪五分之一線,使結果能擺出 奧運五環的Logo。

答:略。

【建議】 實驗4只欣賞,不操作,奧運五環的挑戰留作回家功課,可提醒逆向找 答案。

三、魔幻艾雪(約 5∼10分鐘):

1 欣賞〈Mobius Strip II〉(1963)的構圖,艾雪想用紅螞蟻傳遞〈No Magic at All:

Mobius Strip〉影片中的哪一個實驗?

答:實驗1(沿中線畫線),9隻紅螞蟻即代表畫一圈會橫跨正反兩面的紅線。

【備註】 艾雪版畫作品連結艾雪官方網站:https://goo.gl/Cvj57E,QR Code: 。 2 欣賞〈Mobius Strip I〉(1961)的構圖,艾雪想用3隻魚表達〈No Magic at All:

Mobius Strip〉影片中的哪一個實驗?版畫套印的精準度要求極其麻煩,為何艾 雪硬是要將魚肚和魚背設計成兩種顏色?

答: 實驗2(沿中線剪開),艾雪想藉紅、綠兩色凸顯剪開後的大環有兩個面,

而不再是實驗2一個面的Mobius環。

【備註】 艾雪版畫作品連結艾雪官方網站:https://goo.gl/oiFQB0,QR Code: 。 【備註】 艾雪將環翻了三次,翻奇數次的Mobius環都是一個面,翻偶數次的 Mobius環都有兩個面,會有少數學生根據魚身和魚尾的比例而認定是 實驗3,但其剪刀其實有轉彎,故仍是剪中線的結構。

3 欣賞〈騎士Horsemen〉(1946)的構圖,艾雪將環翻轉了幾次?

答:2次,艾雪為此特別將騎士套印雙色,藉以凸顯該環的結構有兩個面。

【備註】 艾雪版畫作品連結維基藝術網站:https://goo.gl/xL4pZ9,QR Code: 。 4 欣賞〈天鵝Swans〉(1956)的構圖,艾雪將環翻轉了幾次?

答: 0次或4次,若把白天鵝視為上層,即為正常的環帶,若把黑天鵝視為上 層,即為翻轉四次的環帶,但不論是0次還是4次,艾雪特別透過版畫的陰 刻與陽刻印刷,造成黑白雙色效果,藉以凸顯該環的結構有兩個面。

(24)

5 欣賞〈結Knots〉(1965,圖三)的三葉結構圖,艾雪的雲霄飛車軌道有幾個面?

答: 一個。艾雪把長紙條增加厚度變成四角柱,雲霄飛車的軌道是將原本有4個側面的四角 柱,巧妙地旋轉90度後,銜接成只有1個面的軌道。

【備註】 艾雪版畫作品連結艾雪官方網站:https://goo.gl/mn9MFu,QR Code: 。

【分享】 若是旋轉180度、270度、360度,則軌道分別會有2個面、1個面、4個面。艾雪於1956 的數學家年會上嶄露頭角,可能是未成名之作1946的〈騎士〉與1956的〈天鵝〉引起 英國拓樸學家的好奇,但交流之後才發現艾雪真的是對拓樸學一竅不通,不過艾雪卻 因此對Mobius環的各式魔術惦念不忘,故在晚年仍三不五時以此為題編劇,發表一系 列發人深思的數學版畫:其中的〈結〉原本應該會命名為Mobius Strip III。

四、創意雙心(約 5∼10分鐘):

1 欣賞楊英風雕塑大師的作品〈日新又新〉(1993)與〈常新〉(1990),除了「月亮」的差異 之外,試比較兩作品中的Mobius環軌道的差別。

答:都是翻轉一次的Mobius環,但一個是右手往前翻,另一個是右手往後翻。

【備註】 楊英風雕塑作品連結楊英風數位美術館

    網址:https://goo.gl/Xqw8y1,QR Code: 。

       https://goo.gl/oeDIZ2,QR Code: 。 【建議】 可參照下一操作的影片示範。

2 取2條長紙條,分別仿照〈日新又新〉與〈常新〉的Mobius環結構黏貼,然後背對背垂直相 接,再以剪刀各自剪中線,感受心心相映的數學浪漫。

【建議】 可準備較高級或紅色系的紙帶剪貼,另請參照YouTube影片〈Romantic Mathematical Shape: möbius-loop hearts〉5:10至5:42之片段黏貼兩個Mobius環,再參照影片3:56至

參考文獻

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