§2－1 信号的分类

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类

 周期信号分析--傅里叶级数

 非周期信号分析--傅里叶变换

 脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法

和手段

§2－1 信号的分类

 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定 的。

进一步分为：周期信号，

非周期信号。

质量 M 弹簧

刚度 K t

x(t)

o x₀

质 量－弹簧 系 统的力学模型 x(t)







 

 cos ₀

)

( t



m A k

t x

非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的

 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，

并用二进制表示。

 信号描述方法 时域描述 如简谐信号

) cos( _{0 0}

0





x

简谐信号及其三个要素

幅值 频率 相角 频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方 法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波，

以及各谐波的幅值和相角。

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§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数 形式

 周期信号时域表达式

) 2

1 (

) (

) 2 (

) (

) (





，

，



















n

nT t

x T

t x T

t x t

x

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无 终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

) sin

cos (

)

( ₀

1

0

0 a n t b n t

a t

x

n

n

n

 











（n=1, 2, 3^，…）

傅立叶系数：



 ²

2

0 1 ^T ( )

T x t dt a T



 ²

2

cos 0

) 2 ^T (

n T x t n tdt

a T





 ²

2

sin 0

) 2 ^T (

n T x t n tdt

b T



式中 Ｔ--周期；₀^--基频, ₀=2/T。

 三角函数展开式的另一种形式：

) cos(

) (

1

0

0











n

n

n n t

A a

t

x

 

些不 N 次谐波的相角 些不

N 次谐波的频率 些不

N 次谐波的幅值 些不

信号的均值，直流分量 些不

,  3 , 2 , 1

arctg

2 2



 





n

a b b a

A

n n n

n n

n



周期信号可以看作均值与一系列谐波之和 --谐波分析法

 频谱图

﹡﹡﹡ ﹡﹡﹡

An



0 2  0 2 

 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐 波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶 级数并画出频谱图

解：

t x(t)

-A A

T

… …

非对称周期方波 周期方波 解：

信号的基频

T





傅里叶系数

奇函数： a₀  a_n  0

 





 













为偶数 为奇数 n

n n A

n n t A t n T A

t t n t

T x b

T T T n

0 4

cos 2 1

d 4 sin

d sin

) 2 (

2

0 0

2 2

0



 





t 的偶函数

n次谐波的幅值和相角



b a

A_{n n2 n2 n} 4







 _，

2





, 5 , 3 , 1

(n  

最后得傅立叶级数

) , 5 , 3 , 1 (

2 ) 4 cos(

)

(^t 



x

n

 



频谱图

…

ω … ω

φ_n A_n



A 4





2





ω₀ 3ω₀ 5ω₀

幅频谱图 相频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形 式

 欧拉公式

t j

t

e^{ jt}  cos





或

 

 



















t j t

j

t j t

j

e j e

t

e e

t













2 cos 1

1 j 

 傅立叶级数的复指数形式

) , 3 ,

2 ,

1 , 0 (

)

( 







n e

c t

x

n

t jn n



 复数傅里叶系数的表达式





 ²

2 0

0 1 ^T ( )

T x t dt a T

c

dt e

t T x

jb c a

T T

t jn n

n n



 

 

2 2

) 0

1 ( 2



其中a_n，b_n的计算公式与三角函数形式相 同，只是n包括全部整数。

 一般c_n是个复数。

因为a_n是n的偶函数^，b_n是n的奇函数，

因此 #

n

n a

a  _

n

n b

b_  

即：实部相等，虚部相反，c_n与c_-n共轭。

 c_n的复指数形式

j n

n

n c e

c  ^

共轭性还可以表示为

n

n c

c  _－

，





 傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系

对于n>0

^{2 2}

)

( ²

2

n n n

n

b A

c a   



（等于三角

函数模的一半）

n

n

n a

b

 arctg



（与三角函数形式中的 相角相等）

²

n n

c_  A

n n n

n

n a

b a

b arctg arctg  



 



用c_n画频谱：双边频谱

第 一 种 ： 幅 频 谱 图 :|c_n|- ， 相 频 谱 图:_n-









An A¹

A2





cn

2

1 1

c  A

2

2 2

c  A



 

2

 





2

 

























单边频谱 双边频谱

第二种：实谱频谱图:Rec_n-，虚频谱图：

Imc_n-；也就是a_n- 和-b_n-.

#

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§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类：

a.准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性

判断方法：周期分量的频率比（或周期 比）不是有理数

b.瞬变非周期信号

t x(t)

t t

x(t) x(t)

几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换

一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成：

 



 dt e d e

t x t

x ^{j t j t}







 

 



 ( )

2 ) 1

(

x(t)的傅里叶变换X(ω₎

定义x(t)的傅里叶变换X(ω )

dt e

t x

X







 ( ) )

(

X(ω )的傅里叶反变换x(t):



 

 d e

X t

x 



) 1 (

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率 连续变化的无数 谐波



 

 d e

X ( ) ^{j t} 2

1

的叠加。称X(



数。

 对应关系：

 

t

j c e

e d

X ( ) ⁰

2

1   _{ }

 _ ^

 



X(



)

) (

( )

(





X



 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，

得



 x t e  dt f

X ( ) ( ) ^{j2 f t}



 X f e df t

x( ) ( ) ^{j2 f t}

X( f )的指数形式

)

) (

( )

( f X f e ^{j f}

X  ^

 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：



) ( X



) (



幅值频谱图 相位频谱图

实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω)

如果X(





负值理解为幅值为X(



 或



二、 傅里叶变换的主要性质

（一）叠加性

) ( )

( )

( )

( _{2 2 1 1 2 2}

1

1x t a x t a X f a X f

a  ^FT 

（二）对称性 ) (

)

(t x f

X ^FT  （注意翻转）

（三）时移性质

2 0

0) ( )

(t t ^FT X f e ^{j ft}

x   ^{ }

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft₀）

（四）频移性质

) (

)

(t e ^{2 0} X f f₀ x ^{ j  ft} ^FT 

（注意两边正负号相反）

（五）时间尺度改变特性 ) 1 (

)

( a

X f at a

x 

（六）微分性质

) ( )

2 ) (

( j f X f

dt t x

d _{FT n}

n

n 



（七）卷积性质 （1）卷积定义





 y t x







x( ) ( ) ( ) ( )

（2）卷积定理

) ( )

( )

( ) (

) ( ) ( )

( )

(

f Y f

X t

y t x

f Y f X t

y t

x

FT FT













三、 脉冲函数及其频谱

（一） 脉冲函数：

x(t)

-





A

1/



x(t)





)

 (t

) (t t₀ A



定义函数（要通过函数值和面积两方面定 义）

函数值：

^







 

0 0

) 0

( t

t t



脉冲强度（面积）

1 )

( 





（二）脉冲函数的样质

1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

t₀ t

) (t t₀



t x(t) )



x(t) )

( ) 0

( t

x



) (

)

(t₀ t t₀

x  

函数值：

 







 

 0 0

) 0 (

)

(

t t t

t t

x 

强度：

) ( )

( )

( )

( )

(t t t₀ dt x t₀ t t₀ dt x t₀

x  











 

结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2.脉冲函数与任意函数乘积的积分 等于该函数在脉冲发生时刻的的值。

2． 脉冲函数的卷积性质：

(a) 利用结论2

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

(

t x

d t

t x

d t

x t

t x













































(b) 利用结论2

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

(

0

0 0

0 0

t t x

d t

t t

t x

d t

t x

t t t

x























































结论：平移

t₀ t

) (t t₀

x(t)



（三）脉冲函数的频谱

1 )

( )

( )

(     





dt

e t f

t





均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果

2 0

0)

(t t ^FT e ^{j ft}



（利用时移性

质）

   

FT







 1

（利用对称性

质）

)

( ₀

2 ₀

f f

e^{ j f t} ^FT



（对上式，

再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱





2 ) 1 2 (

1 2

1 2 cos

f f

f f

e e

ft

ft FT j

ft

j     

 ^

 







 

2

2 (

) 2 2 (

2 2 sin

f j f

f j f

e j e

ft

ft FT j

ft

j     

 ^

 







f

)

( f

f

)

( f

余弦函数的频谱 正弦函数的频谱

f0

f₀ -f0

-f0

-1/2 1/2

1/2 1/2

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