素養導向課程設計
11年級數學分類課程
教學與實作 (1)
單維彰、蘇麗敏
國立中央大學師資培育中心與數學系 2019 高中數學種子教師研習
民國108年1月17日
2019/1/17
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單維彰．11年級分類課程
連結、連結、連結
數學課程的有機脈絡 不是一塊一塊互不相干
連結 10 年級
主題間連結
跨領域連結2
2019/1/17單維彰．11年級分類課程
對數律
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
每個正數都是 10 的次方
對數律 就是 指數律log log log log
10 a 10 b 10 a b
ab
10 log ab
ab
一般底對數：觀念記號
4
2019/1/17單維彰．11年級分類課程
每個正數都是 2 的次方 …
計算機實驗確認，然後
把 簡記為
是觀念上的簡記，非計算上的需要
log log log
log 2
log log 2 log 2 log 2 log 2
10 10 10 2
a a a
a a
log log 2
a
log a 2
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
函數與方程式的形式互換
「沿著」y 軸畫圖（確實練習）
往前連結
往後連結
連結 10 年級「坐標算法」1 x y 2 x
y 就是 x log 2 y
4 2
x y
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
平面幾何到向量方法的中介
中學數學真正需要的幾何
關鍵技術：輔助（直角）三角形
統整複習國中幾何，提升視野
為向量鋪路；沒有向量符號的向量坐標算法：中學幾何的真貌
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
國中的全等三角形
邊長與坐標（象限）的轉換
三種基本對稱點 連結函數圖形 的對稱性；連結 sin、cos 負角、補角關係
基本對稱點的坐標算法
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
國中的全等三角形
一、三象限 vs 二、四象限
連結指對函數 的圖形對稱性；連結 sin、cos 餘角關係
45 。 對稱點的坐標算法
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
畫輔助長方形的效果夠好
再旋轉 90。
連結對稱於原點 口訣「交換相反」
轉「回去」卻…
方向角的必需性！
P(1,0) 之特例繞原點旋轉 90 。 的坐標算法
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
坐標平面上兩點決定一直線 L
兩點坐標決定一方程式 E（插值）
滿足 E 的點全在 L 上
L 上的點坐標全滿足 E 比例式直線 L 與二元一次方程式 E
(
y
k
) : (x
h
)b a
:11
2019/1/17單維彰．11年級分類課程
輔助三角形的 tan
斜率相同的兩直線平行
平行的兩直線斜率相同
所有直線都是過原點同斜率的平移假如有人擔心 (0,0) …
斜率：比例式的比值
y b x
a m
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
給定兩點
用 作為兩邊的平行四邊形
國中的平行四邊形 性質「高」：平行線間
的距離兩點「決定」的平行四邊形
( , )
P a b Q c d
( , )OP OQ
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
簡記為口訣「交叉相減」
自動推論 的面積
不用教就會平移平行四邊形面積的坐標算法
OPQ ,
P Q ad bc
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接受度低（不需要也會做）
可推論 可理解但 記不起來也不愛用
高一學生似難負荷 甚至不會代入（數學成熟度）
壢中高一經驗
( , )
d P L a c
b d
0 0
2 2
ax by c
a b
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
簡記為
發現
可理解但不 Care：從 旋轉到 是正（劣）角
心理困難：算出來再取絕對值即可，實務上不認為有必要釐清方向
P Q
,
ad
bc
再現方向性的必要
P Q
,
Q P
,
OQ OP
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
sin 差角公式（面積思維）
教法：把有向廣義角 對應到數線上
（三角函數圖形前置經驗）
直到 12 月底 …
1 1
sin( ) , 2
2
OPQ
P Q
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2019/1/17單維彰．11年級分類課程
平行四邊形（三角形）面積的 坐標算法與直角坐標系一同誕生 求兩直線交點（約 1637 – 1659）
Leibniz 在 1672 年從 Huygens 學
導出三元一次方程的「克拉瑪公式」
克拉瑪 1750 發表論文，附錄中用
「公式」解五元一次方程
一點數學史
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骨子裡就是平行四邊形面積若 則
可推論
可推論降階公式、展開公式「純」數學的行列式定義
e e 1
,2
, ...,e n
1
...cu k
...
c
...u k
...
...u k
v k
...
...u k
...
...v k
...
j
k
u u
...u j
...u k
... 0... ... ... ... ... ...
u j u k
u k u j
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行列式就是 Measure of Simplex
方向性是本質
降階和展開演算法是必要的 而不是設計的一點數學思維
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發展新概念：線性組合
引進新符號（直式）
從線性組合到線性變換（方程到方程式）識：11 年級何需二元方程組？
a b h
x y
c d k
x
a
b
x'
x y
y c d y'
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作為線性組合的記號
作為線性變換的記號
作為資料表格的物件（離散數學、科學與統計計算）
克拉瑪公式沒有發展價值
反方陣可有可無（不用來求解）
矩陣本身的代數不是高中階段教學目標識：普高階段的矩陣
有請
蘇麗敏老師
To be Continued …
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