“C45N37” — 2021/9/2 — 17:47 — page 74 — #1

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雙曲線上相異四點的斜率相關不變量

郭品增 · ^蔡一全 · ^連家堯

一、 前言

若 A、B、C、D 為圓上的相異四點 (逆時針排列), 則 tan(∠BAC)=tan(∠BDC), 可得:

m_AC− m_AB

1 + m_AC× m_AB = m_DC − m_DB 1 + m_DC× m_DB, 其中 m_AB 為直線 ←→

AB 的斜率, 其餘類推。 我們稱此關係式為圓上相異四點的 「斜率相關不變 量」。 我們可將圓: x²+ y² = a² 經平面轉換矩陣

"

1 0 0 ^b_a

#

映射為橢圓: x² a² +y²

b² = 1, 所以 橢圓亦有相似的性質。 本文將探討在雙曲線: x²

a² −y²

b² = 1 上的 「斜率相關不變量」。

二、 本文

我們使用參數式 R

a×e^t+ e^−t

2 , b×e^t− e^−t) 2

、 L

−a×e^t+ e^−t

2 , b×e^t− e^−t 2

分別 來表示雙曲線: x²

a²−y²

b² = 1 右支及左支上的點。 定義函數 F 滿足: F (R) = e^t、 F (L) = e^−t。 引理1.1: 若

A

a × e^t1 + e^−t1

2 , b × e^t1 − e^−t1 2

、 B

a × e^t2 + e^−t2

2 , b × e^t2 − e^−t2 2



為雙曲線: x² a² −y²

b² = 1 右支上的相異兩點, 則

a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB− 1 = e^t1+t2 = F (A) × F (B)。

證明:

m_AB =b

a×(e^t1 − e^t2) − (e^−t1 − e^−t2) (e^t1 − e^t2) + (e^−t1 − e^−t2) = b

a×(e^t1 − e^t2) − ^e_e^t2_(t1+t2)^−et1 (e^t1 − e^t2) + ^e_e^t2(t1+t2)^−et1

= b

a×1 + e^−(t1+t2) 1 − e^−(t1+t2),

a

b × m_AB + 1

a

b × m_AB − 1 =

h 2

(1−e^−(t1+t2))

i h 2e^−(t1+t2)

1−e^−(t1+t2)

i = e^t1+t2 = e^t1 × e^t2 = F (A) × F (B)。

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“C45N37” — 2021/9/2 — 17:47 — page 75 — #2

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引理1.2: 若 A

− a × e^t1 + e^−t1

2 , b × e^t1 − e^−t1 2

、 B

− a × e^t2 + e^−t2

2 , b × e^t2 − e^−t2 2



為雙曲線: x² a²−y²

b² = 1 左支上的相異兩點, 則

a

b × m_AB + 1

a

b × m_AB− 1= e^(−t1−t2)= F (A)×F (B)。

證明:

m_AB = − b

a×(e^t1 − e^t2) − (e^−t1 − e^−t2) (e^t1 − e^t2) + (e^−t1 − e^−t2) = −b

a×(e^t1 − e^t2) − ^e_e^t2_(t1+t2)^−et1 (e^t1 − e^t2) + _e^e_(t1+t2)^t2−et1

= − b

a×1 + e^−(t1+t2) 1 − e^−(t1+t2),

a

b × m_AB + 1

a

b × m_AB − 1 = e^(−t1−t2) = e^−t1 × e^−t2 = F (A) × F (B)。

引理1.3: 若 A

a × e^t1 + e^−t1

2 , b × e^t1 − e^−t1 2

、 B

− a × e^t2 + e^−t2

2 , b × e^t2 − e^−t2 2



為雙曲線: x² a² − y²

b² = 1 右支及左支上的點, 則

a

b × m_AB + 1

a

b × m_AB − 1 = −e^(t1−t2) = −F (A) × F (B)。

證明:

m_AB =b

a×(e^t1 − e^t2) − (e^−t1 − e^−t2) (e^t1 + e^t2) + (e^−t1 + e^−t2) = b

a×(e^t1 − e^t2) + _e^e_(t1+t2)^t1−et2 (e^t1 + e^t2) + _e^e_(t1+t2)^t1+et2 = b

a×e^t1 − e^t2 e^t1 + e^t2,

a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB − 1 = −e^(t1−t2)= −e^t1 × e^−t2 = −F (A) × F (B)。

定義: sign(A, B) = ( 1, 若 A, B 兩點同時在雙曲線的右支或左支上,

−1, 若 A, B 兩點不在雙曲線的同一分支上。

由引理 1.1、 引理 1.2、 引理 1.3 得知: 若 A、B 為雙曲線: x² a² − y²

b² = 1 上的兩點, 則

a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB− 1 = F (A) × F (B) × sign(A, B)。

引理1.4: 設 A、 B、 C 為雙曲線: x² a² − y²

b² = 1 上的相異三點, 則

^a

b × m_AB + 1

a

b × m_AB− 1

×^a

b × m_AC− 1

a

b × m_AC+ 1

= F (B)

F (C) × sign(B, C)。

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“C45N37” — 2021/9/2 — 17:47 — page 76 — #3

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證明: 由引理 1.1、 引理 1.2、 引理 1.3 得知:

^a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB− 1

×^a

b × m_AC − 1

a

b × m_AC+ 1

=F (A) × F (B) × sign(A, B) F (A) × F (C) × sign(A, C)

=F (B)

F (C) × sign(B, C), 得證。

定理1: 設 A、B、C、D 為雙曲線: (x − h)²

a² − (y − k)²

b² = 1 上的相異四點, 則

^a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB− 1

×^a

b × m_AC− 1

a

b × m_AC + 1

=^a

b × m_DB+ 1

a

b × m_DB − 1

×^a

b × m_DC − 1

a

b × m_DC + 1

。

證明: 由於圖形上兩點的斜率在平移後並不會改變, 不失一般性, 設雙曲線為 x² a² −y²

b² = 1。 由 引理 1.4 得知:

^a

b × m_AB+ 1

a

b × m_AB− 1

×^a

b × m_AC − 1

a

b × m_AC+ 1

= F (B)

F (C) × sign(B, C),

此等式只與 B、 C 兩點的座標有關, 與 A 點座標並無關係; 同理考慮 B、C、D 三點的情形, 可得

^a

b × m_DB+ 1

a

b × m_DB − 1

×^a

b × m_DC − 1

a

b × m_DC+ 1

= F (B)

F (C) × sign(B, C), 定理 1 得證。

特別感謝指導老師: 龔詩尹老師、 楊昌宸老師。

參考文獻

1. hyperbola-Wikipedia。

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