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2018/2019 小學高年級組第二輪檢測試題詳解
───────────────────────────────────────────────── 1. 請 問 算 式 (2019 2018) (2019 2017)− − (2019 2012) (2019 2011)− − 的 值之質因數分解包含多少個不同的質因數？ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）8 【參考解法】 (2019 2018) (2019 2017) (2019 2012) (2019 2011) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 (2 2) 5 (2 3) 7 (2 2 2 2) − − − − = = 包含不同的質因數有 2、3、5、7，共有 4 個。故選(C)。 答案：（C） 2. 四名同學相約去爬山，往返共花費 50 元車資。在山上，他們每人各購買了 一瓶 5 元的飲料。請問平均每人各總共花費多少元？ （A）12.5 （B）13.75 （C）17.5 （D）30 （E）55 【參考解法 1】 四個人總共花費了50 5 4+ =70元，故平均每人花費70 4 17.5 = 元。故選（C）。 【參考解法 2】 每人坐車的平均花費為50 4 12.5 = 元，平均每人各總共花費12.5 5 17.5+ = 元。 故選（C）。 答案：（C） 3. 已知正方形 ABCD 的邊長為 8 cm，扇形 AEF 的半徑為 3 cm，如下圖所示， 請問圖中陰影部分的面積為多少 cm2？（π 取 3.14，結果保留兩位小數） （A）16.94 （B）19.38 （C）24.38 （D）26.94 （E）31.07 【參考解法】 由圖可知，陰影部分的面積等於正方形的面積減去一個扇形與兩個直角三角形 的面積。由題意可知BE = − =8 3 5 cm。故陰影部分的面積為 2 1 1 8 8 3.14 3 2 8 5 16.94 4 2 − − cm2。 故選（A）。 答案：（A） A C B F E D4. 下圖是一個圓錐形木塊與一個正方體木塊，若把這兩個物體粘在一起得到一 個立體造型，請問這個立體造型的表面積至少為多少 cm2？（π 取 3.14，結 果保留一位小數） （A）785.5 （B）942.5 （C）1000.5 （D）1021.0 （E）1099.5 【參考解法】 為了使這個立體造型的表面積儘量小，這兩個物體重合的面要儘量大。對於圓 錐，若它的側面與正方體粘在一起，則整體的表面積沒有減少，所以應該用圓 錐的底面與正方體的一個面粘在一起。因為圓錐底面的直徑為5 2 10 = cm，而 正方體的稜邊長為 12 cm（ 10 cm），所以圓錐的整個底面可以與正方體的一個 面重合。故這個立體造型的表面積至少為 1 12 12 6 3.14 5 2 10 3.14 5 5 942.5 2 + − = cm2。 故選（B）。 答案：（B） 5. 已知 a、b、c、d 是不為 0 且互不相同的數碼，如果 ab cd+ =dc ba+ ，則稱 這個等式為回文式，而能寫成回文式的兩個數則稱為一對回文數，例如： 54 12+ =21 45+ =66，一對回文數的和稱為回文和。請問最小的回文和是什 麼？ （A）22 （B）33 （C）44 （D）55 （E）99 【參考解法】 由 ab cd+ =dc ba+ 知10(a c+ + +) (b d) 10(= b d+ ) (+ + ，故a c) a+ = +c b d 。由 於能用兩種方式表示成兩個不同正整數之和的最小數為5 1 4= + = +2 3，故回文 和的最小值為 55，其中一個例子為12+43 34= +21 55= 。故選(D)。 答案：（D） 6. 某班有 40 位學生，其中會騎單車的有 23 位，會游泳的有 33 位，兩項運動 都不會的有 5 位，請問這個班只會騎單車不會游泳的學生共有多少位？ 【參考解法】 由題意可知，兩項運動至少會一項的有 40 5 35− = 位。因此，兩項運動都會的有 23 33 35+ − =21位。故只會騎單車不會游泳的學生共有 23 21 2− = 位。 答案：2 位 12 cm 5 cm 10 cm
7. 某日，甲開汽車從 A 地到 B 地，速度為 60 km/h，行駛 1 個小時後汽車故障 不能再開動了，甲立刻打電話向乙求助，乙接到電話後馬上開車從 A 地出發 沿相同的路線前往甲所在的地點，速度為 80 km/h。乙到達甲所在的地點後， 馬上拖著甲的車繼續前往 B 地，速度為 40 km/h。已知 A、B 兩地的距離為 180 km，請問甲從 A 地到 B 地共用了多少小時？ 【參考解法】 由題意可知乙到達甲的汽車發生故障的地點用了60 80 3 4 = 小時，接著乙拖著甲 的車到達 B 地用了 (180 60 1) 40 3− = 小時。因此甲從 A 地到 B 地共用了 3 3 1 3 4 4.75 4 4 + + = = 小時。 答案：43 4.75 4 = 小時 8. 若 a 為質數，且a +20與a +40也都為質數，請問這樣的 a 值共有多少個？ 【參考解法 1】 因為 20、40 都是偶數，而a +20、a +40都為質數，所以a 。又因為 20 除以2 3 餘 2，所以 a 除以 3 的餘數不能為 1，否則a +20能被 3 整除，即為合數，不 符合題意。同理，a 除以 3 的餘數不能為 2，否則a +40為合數，不符合題意。 因此，a 必定能被 3 整除，又是質數，所以只能a = ，即這樣的 a 值共有 1 個。 3 【參考解法 2】 無論 a 的值為何，a、a +20、a +40這三個數中一定有一個數能被 3 整除。但 是 a 為質數，且a +20與a +40也都為質數，因此，a 必定能被 3 整除，又是質 數，所以只能a = ，即這樣的3 a 值共有 1 個。 答案：1 個 9. 如圖，在 4 4 的黑白相間塗色的棋盤中，放入 4 枚相同的棋子。規定每個小 方格內至多放一枚棋子，所有的棋子都必須放在同一種顏色的小方格內，且 沒有任何兩枚棋子放在同一行或同一列。請問總共有多少種不同的放法？ 【參考解法】 若將所有棋子放在黑色格中，易知第 1、3 行的棋子有兩種放法，第 2、4 行的 棋子也有兩種放法，故共有 4 種方法。同理，將所有棋子放在白色格中也有 4 種方法，故總共有 8 種不同的放法。 答案：8 種
10. 將 1、2、3、4、5、6 這六個數不重複地分別寫在每個正立方體的六個面上， 且任意兩個相對面上的數之和等於 7，將四個正立方體如下圖所示連接在一 起，相鄰兩個正立方體相連接的面上數之和等於 8，請問圖中“？”處的數是 多少？ 【參考解法】 由於每個正立方體任意兩個相對面上數之和等於 7，所以 1 與 6 相對、2 與 5 相 對、3 與 4 相對，則左邊第一個正立方體右側面上的數可以是 3 或 4； 若該數是 3，則第二個正立方體左側面的數是 5，右側面的數是 2；第三個正方 體左側面的數是 6，右側面的數是 1；第四個正立方體左側面的數是 7，矛盾。 因此左邊第一個正立方體右側面的數是 4，則第二個正立方體左側面的數是 4， 右側面的數是 3；第三個正立方體左側面的數是 5，右側面的數是 2；第四個正 立方體左側面的數是 6，可得右邊第一個正立方體右側面的數是 1。 答案：1 11. 已知正方形 ABCD、BEFG 的邊長分別為 6 cm、4 cm，三角形 DFP 為等腰 直角三角形，如下圖所示。請問三角形 DFP 的面積為多少 cm2？ 【參考解法】 延長 FG 交 AD 於點 Q，易知三角形 DQF 為直角三角形，且DQ = − = cm、6 4 2 6 4 10 QF = + = cm。 由勾股定理可得 2 2 2 2 2 2 2 2 10 104 DP +PF =DF =DQ +QF = + = 。由於 DP PF= ， 故 2 52 DP = 。所以三角形 DFP 的面積為1 1 2 26 2DP PF = 2 DP = cm 2。 答案：26 cm2 A C B E F D G P A C B E F D G Q P 1 5 ？
12. 一隻老鼠從左上角標有“I”的小方格開始，按照“IMAS2019”的路徑從一個小方 格走到下一個有公共邊的小方格，請問行走這八個小方格的不同路徑總共有 多少條？ I M A S M A S 2 0 A S 2 0 1 S 2 0 1 9 0 1 9 【參考解法】 下面表格中的每個數表示到達該小方格的路徑數，該數可以通過遞歸得出: 每個正方形用先前已經填入數的相鄰正方形內的數之和填入。 從表格中可知，長度為八的不同路徑總共有34 34 68+ = 條。 1 1 1 1 1 2 3 4 4 1 3 6 10 14 1 4 10 20 34 4 14 34 答案： 68 條 13. 已知正整數 a、b 滿足1 a b 60且a b 能被 5 整除，請問符合此條件的不 同正整數對(a, b)總共有多少對？ 【參考解法】 從 1 到 60 的 60 個數之中，有 12 個數能被 5 整除，有 48 個數不能被 5 整除。 若 a、b 都能被 5 整除，則可從能被 5 整除的 12 個數中選取二個，將較小的數 當作 a，將較大的數當作 b，此情況的數對有12 11 66 2 = 對；若 a、b 中只有一 個能被 5 整除，則可從能被 5 整除的 12 個數中選取一個，從不能被 5 整除的 48 個數中選取一個，將較小的數當作 a，將較大的數當作 b，此情況的數對有 12 48 576 = 對。故符合此條件的不同正整數對(a, b)總共有66 576 642+ = 對。 答案：642 對 14. 已知 ABCD 為梯形，邊 AD 平行於 BC，對 角線 AC 與 BD 交於點 O，過 O 作 OE 平 行於 BC 交 CD 於點 E，且延長 OE 至點 F， 使得OE =EF，如圖所示。若AD =6cm、 10 BC = cm，梯形 ABCD 的面積為 64 cm2， 請問三角形 ABF 的面積為多少 cm2？ A C B E F D O
【參考解法 1】
連接 DF 與 CF，由平行線的性質可知三角形 AOF 與三角形 DOF 的面積相等、 三角形 BOF 與三角形 COF 的面積相等，所以四邊形 AOBF 與四邊形 DOCF 的 面積相等。由題意可知點 E 是線段 OF 的中點，所以三角形 DOC 與三角形 DCF 的面積相等，因此四邊形 DOCF 面積為三角形 DOC 面積的 2 倍。（5 分） 因為 6 3 10 5 ACD ABD AD ABC = BCD = BC = = 三角形 的面積 三角形 的面積 三角形 的面積 三角形 的面積 ，所以三角形 ABD 面積為梯形 ABCD 面積的 3 3 5+3 = 8倍，即 3 64 24 8 = cm2。（5 分） 由三角形 DOA 與三角形 BOC 相似可知 6 3 10 5 DO AD OB = BC = = . (或由共邊定理可知 3 5 DO ACD OB = ABC = 三角形 的面積 三角形 的面積 ) 從而 3 5 ADO DO ABO = OB = 三角形 的面積 三角形 的面積 。因此 三角形 ABO 面積為三角形 ABD 面積的 5 5 5 3+ = 8 倍，即 5 24 15 8 = cm2。（5 分）
由題意可知 AD//BC，因此三角形 ABD 與三角形 ACD 的面積相等，兩邊同時減 去三角形 AOD 的面積後可得知三角形 ABO 與三角形 DOC 的面積相等。
綜上可得，因三角形 ABF 的面積為三角形 ABO 與四邊形 AOBF 的面積和，而四 邊形 AOBF 與四邊形 DOCF 的面積相等，且四邊形 DOCF 的面積為三角形 DOC 面積的 2 倍，再因三角形 ABO 與三角形 DOC 的面積相等，故三角形 ABF 的面 積為三角形 ABO 面積的 3 倍，即15 3 45 = cm2。（5 分）
【參考解法 2】
由題意可知 AD//BC，因此三角形 AOD 與三角形 COB 相似，即 6 3 10 5 DO AO AD OB =OC = BC = = 且 2 2 2 6 9 ( ) 10 25 AOD AD COB = BC = = 三角形 的面積 三角形 的面積 。（5 分）
令三角形 AOD 的面積為 9x，則三角形 COB 的面積為 25x。而三角形 AOB 與三 角形 COD 的面積都是9 5 15 3 x = x。 故梯形 ABCD 的面積為9x+25x+15x+15x=64x，即x =1。因此三角形 AOB、 DOC 的面積都為 15 cm2（5 分） A C B E F D O
連接 AE 與 BE。由平行線的性質以及OE =EF可 知三角形 DOE、AOE、AEF 的面積都相等，即三 角形 AOF 面積為三角形 DOE 面積的 2 倍。同樣 地，也可以得知三角形 COE、BOE、BEF 的面積 都相等，即三角形 BOF 面積為三角形 COE 面積 的 2 倍。（5 分） 而三角形 ABF 的面積是三角形 ABO、AOF、BOF 的面積總和，即為 15 2 15 15 2 (+ 三角形DOE面積 三角形+ COE面積)= + =45cm2。（5 分） 答案： 45 cm2 15. 有一個機器人可以根據使用者的合理指令生成一組數位編碼。小偉提出的指 令如下： （1）生成的每個編碼均為三位數（最左側的數碼不為 0）； （2）任意兩個編碼至多在一個數位上的數碼是對應相同的。 請問這個機器人至多可以生成多少個符合以上指令的編碼？ 【參考解法 1】 由題意可知，任兩個編碼至少在兩個數位的數碼是對應不同的。因此，編碼數 量不能超過 90 個。因為百位數只能為 1 至 9 這九個數碼，十位數可以為 0 至 9 這十個數碼，從而前面兩位數碼總共可以構成9 10 90 = 個不同的兩位數。若編 碼數量大於或等於 91，由抽屜原理，至少有兩個編碼的前面兩位數碼對應相同， 矛盾。（5 分） 現在構造 90 個編碼：前面兩位數碼取遍 10 至 99 這個 90 個號碼，第三位數碼 取前面兩位數碼之和的個位數。（5 分） 下面說明這 90 個編碼符合指令。對於任意兩個編碼，若前面兩位數碼已經對應 不同，則它們已經滿足要求；若前面兩位數碼只有一個對應不同，另外一個對 應相同，則第三位數碼肯定不同。假設後面一種情況第三位數碼相同，不妨設 這兩個編碼分別為 abd 、 acd ，其中0 c b 9，由構造的方法可知，只能是 10 a+ = + + ，因此b a c b c− =10，不可能。所以第三位數碼不同。（10 分） 【參考解法 2】 正確列出所有 90 個符合指令的編碼。（10 分，如有任何一個缺漏或不符合指令 一律給 0 分） 證明至多有 90 個符合指令的編碼。（10 分） 答案：90 個 【評註】 這 90 個編碼也可以這樣構造：前面兩位數碼取遍 10 至 99 這個 90 個號碼，第 三位數碼取法為使得所有三個數碼之和為 10 的倍數。若前面兩位數碼只有一個 對應不同，另外一個對應相同，則第三位數碼肯定不同。 A C B E F D O
