Unit 1 因數與倍數

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Unit 1 因數與倍數 能力指標:◎(N-3-01)能理解質數的意義,並認識 100 以內的質數。 ◎(N-3-02)能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數, 並熟練質因數分解的計算方法。 能力一:因數與倍數 一、因數與倍數的定義 1.除法原理:『被除數 = 除數 × 商數 + 餘數』,且被除數 0 ,0<餘數<除數。 2.整 除:當『被除數 = 除數 × 商數』(餘數=0)時,稱【除數】整除【被除 數】或【被除數】被【除數】整除。 3.因數與倍數:當【除數】整除【被除數】,則【除數】稱為【被除數】的【因 數】;反之【被除數】稱為【除數】的【倍數】。 Ex:8=2×4;2 與 4 皆為 8 的因數,8 是 2 與 4 的倍數。 二、因數與倍數的性質 1.任何數皆為 1 倍數,反之 1 為任何數的因數,而且 1 是最小的正因數。 2.任何整數(除了 0 之外),就是本身的因數,也是本身的倍數。 3.零(0)是任意數(除了 0 之外)的倍數。 4.零(0)不是任意整數的因數(分母不可為 0)5.任意整數(除了 0 之外)都是零(0)的因數。 Ex:1. 1 3 3 , 3 1 3 , 3 1 3=  = = 。 2. 6=16=23 ;1、2、3、6 皆為 6 的因數。 3. 0=80 ; 0 是 8 的倍數。 4.  = =無意義 0 8 0 8 ; 0 不是 8 的因數。 5. 0 8 0 8 0 = = ; 8 是 0 的因數。 三、倍數的判別法 1. 2 的倍數判別法:一個整數的末位數字是 0、2、4、6、8 的偶數,此數為 2 的 倍數。 2. 3 的倍數判別法:一個整數的數字總合是 3 的倍數,此數為 3 的倍數。 3. 5 的倍數判別法:一個整數的末位數字是 0、5 數,此數為 5 的倍數。

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4. 9 的倍數判別法:一個整數的數字總合是 9 的倍數,此數為 9 的倍數。 5. 11 的倍數判別法:一個整數的(奇數位數字和)減去(偶數位數字和)的差 值是 0 或 11 的倍數,此數為 11 的倍數。 【因數與倍數的判別】 講解 1: (1)蔡康詠說:「因為73=2 1 , 所以3不是7的因數。」;林志鈴則說:「因 為92=4.5 0 , 所以9是2的倍數。」請問智勇電力學校的兩位主持人, 哪一位說對了呢? (2)若 A 是正整數,且 A 的所有正因數由大到小排列分別是 r、s、t、8、7、4、 2、1,則 r、s、t 分別是多少呢? (3)已知 x 為正整數,且 2 78 + x 亦為正整數,則 x 的值可能為何呢? (4)已知 8642□是一個五位數的偶數,並且是 3 的倍數,則□應為多少呢? 解: (1)7 無法被 3 整除,因此 3 不是 7 的因數。 9 無法被 2 整除,因此 9 不是 2 的倍數。 因此是蔡康詠答對了。 (2)由題意可知 r1=s2=t4=87=56 ;此正整數應為 56; 所以 r =56,s=28,t =14。 (3)由題意可知 x+2為78的因數,x+ 2=1、2、3、6、13、26、39、78; x=−1、0、1、4、11、24、37、76。 (4)因為是 3 的倍數,所以要將每個數字相加求其總合,並判斷該數是否為 3 的倍數。8+6+4+2+□=20+□要能被 3 整除的偶數,因此□=4。 練習 1: (1)在 200~400 之間 12 的倍數有幾個呢? (2)2 位數中 7 的倍數有多少個? (3)若 a 為自然數,且 105×a 是 24 的倍數,求 a 最小值為何? (4)若五位數 5566□中有因數 22,則□應為多少呢? 解: (1)200÷12=168 ;40012=33 4,取 33-16=17;共有 17 個。 (2)2 位數包含 10~99;997=141;107=1 3;7 的倍數有 14-1=13 個。 (3)105×a 是 24 的倍數, 24 105 a 沒有餘數。 為正整數 3 2 7 5 3 24 105 3    = a a ; 因此 a 最小為23 =8。

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(4)因數 22 有 2 與 11 的因數,因此 5566□為 2 與 11 的倍數。 先求 2 的倍數:末位數字要□=0、2、4、6、8。 再判斷 11 的倍數:(5+6+□)-(5+6)=□;□=0 或 11 (11 不合) 故□=0。 【十分鐘即時練習】 (1)楊丞林要將 42 顆糖果分給粉絲,而且每堆(包含分成一堆)糖果數目要相 同,則她有 8 種分法。經紀人告訴他每堆至少要有 5 顆以上,則她的分 法剩下 5 種。 (2)裴湧駿與影迷的見面會,有六個幸運兒 A、B、C、D、E、F 可以分到巧克 力,這一包韓國的巧克力大約有 40~43 顆,而且這六人同坐在一圓桌,裴 湧駿從 A 粉絲依序輪流分給她們,每人每次分一顆,結果 E 粉絲分到最後 一顆,這包巧克力最有可能是 41 幾顆呢? 詳解: E 粉絲排序第五,E ÷6 餘 5; E=6×商數+5 ;商數應為正整數; 所以從 40~43 中選取 41,只 有 41÷6 餘 5 符合。 (3)36、123、190、324、665、47 六個數中,有 3 個是 2 個倍數。 (4)( C )97 減去下列哪一個數以後是 7 的倍數?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 (5)( D )下列哪一個數可以整除 48? (A)7 B)9 (C)13 (D)16。 (6)( C )下列哪一個敘述是錯的?(A)0 是任意整數的倍數;(B)1 是任意整數 的因數;(C)因為 72=8×9,所以 8 是 72 的倍數;(D)因為 28=4×7,所以 28 是 4 的倍數。 能力二:質數與質因數分解 一、質數的定義 1.質數:一個大於 1 的正整數,除了 1 與本身之外沒有其他的因數;亦即只有兩 個因數就是 1 與本身。 2.合數:一個正整數除了 1 與本身之外,還有其他的因數,亦即有三個(含)以 上因數的正整數謂之。 3.質因數:一個正整數可以分解成為一個或以上不同的質數相乘積,這些質數為 該整數的質因數;換句話說,質因數既是因數也是質數。 Ex:7=17;13=113;101=1101等數,其因數僅有 1 及本身兩個因數,則 稱 7、13、101 為質數。 Ex:6=16=23;14=114=27;56=156=228=414=78等數, 其因數有三個(含)以上;則稱 6、14、56 為合數。 Ex:18 有因數:1、2、3、6、9、18 等 6 個因數;其中 2、3 是質數,此時便稱 2、3 是 18 的質因數。

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二、質數的性質 1.質數中最小的數是 2。因為【質數=1×本身】,因此最小的質數是 2。 (質數中最大的數為無限大,目前用電腦計算出最大的質數是 2001 年找出的 1 213466917 − ,是一個 4053946 位數的整數。) 2.質數中唯一的偶數是 2。 (目前科學家常用十七世紀初法國數學家梅森尼提出的梅森尼質數n=2 −p 1求 最大質數,但是並沒有發現大於 2 的偶數。) 3.合數中最小的數是 4,最大的數是無限大。 4.【1】沒有質因數。(1=11,因為 1 不是質數,所以 1 不是質因數。) 5.【0】是任意數的倍數,因此任意質數都是 0 的質因數。 6.100 以內的質數(有 25 個,要記起來!):2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 三、標準分解式(質因數分解) 1.標準分解式的定義:將一個合數,分解成【質因數的連乘積】,這樣的式子稱 為【標準分解式】,這樣子的過程稱為【質因數分解】。 2.質因數的連乘積有時候會以【指數記法】呈現。 3.指數記法係指將相同數的連乘積之次數記在該數的右上方。 Ex: 4.質因數分解最常運用【短除法】來分解一個(含)以上的數。 Ex: 【質數與合數的判別】 講解 2: 從 1~25 的整數中,只有 1 個因數的整數有多少個?只有 2 個因數的整數有多少 個? 解:1=11 1只有1個因數。 只有兩個因數的必定是質數,所以 2、3、5、7、11、13、17、19、23 共有 9 個。

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練習 2: 下列整數中 36、38、49、50、55、64、100、113 哪些數是質數?哪些整數的因 數個數是偶數個?哪些整數的因數個數是奇數個? 解:是質數的只有 113。 因數個數是偶數個必定是非完全平方數,奇數個必定是完全平方數。 38=138=219 因為 38 是非完全平方數,所以因數有 1、38、2、19 共 4 個。 6 6 9 4 12 3 18 2 36 1 36=  =  =  =  =  因為 36 是完全平方數,所以因數有 1、36、2、18、3、12、4、9、6 共 9 個。 因此,因數個數是偶數個有:38、50、55、113。因數個數是奇數個有:36、 49、64、100。 【質數的特性】 講解 3: 設「a 」代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數。例如:大於 10 且小餘 15 的質b 數有 11 與 13 兩個質數,所以1015=2,若30c=2,則 c 可能為哪些數?(94 基測) 解:比 30 大的質數有 31、37、41…,因為30c=2,所以 30~c 之間有 2 個質 數,因此,c 有可能是 38、39、40、41。 練習 3: 已知 a、b、c 是三個相異的質數,且 a+b=63,b+c=39,a+c=98,求此三數應為 何? 解:根據加法定則可知,奇數+奇數=偶數,偶數+奇數=奇數,從 a+b=63 可知, a 或 b 其中必有一數是 2(質數),再比較 b+c=39 可知,a=61,b=2,則 c=98-61=37。 【質因數分解】 講解 4: 下列的數 55、57、58、59 哪一個有最小的質因數? 解:55=511,57=319,58=229,59=159。因為 2 是最小的質數,所 以有最小質因數的數為 58。 練習 4: 有一數A=891011121314,求 A 的標準分解式為何?A 的質因數和? 解:

(

) (

) (

)

(

)

(

)

13 11 7 5 3 2 7 2 13 3 2 2 11 5 2 3 3 2 2 2 3 7     =              = A A 的質因數和=2+3+5+7+11+13=41

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【十分鐘即時練習】 (1) 請將 1260 質因數分解= 22 ×32 ×5 ×7 。 (2) 最接近 200 的質數為 201 。 (3) 已知 A 數的質因數分解為 a3 ×b ×c,其中 a、b、c 為相異質數,則 A 數最 小等於 120 。 (4) 將 5025 寫成標準分解式 axbycz,則 a+b+c= 75 ,x+y+z= 4 (5) 若 2 和 3 為四位數 5□2□的因數,且兩個方格內的數字是相同的,則□ = 4 。 (6) 設 x=2y511,且 22 是 x 的因數,20 不是 x 的因數,則 y = 1 (7) 設 A = 22232425 有 a 個相異質因數,B = 24 有 b 個正因數,則 a = 5 ,b= 8 。 (8)1~100 的整數中,除以 13 餘數為 2 的整數有 7 個。 能力三:最大公因數與最小公倍數 一、公因數與最大公因數 1.公因數:當一個整數 a 同時是其他整數 b、c、d…的因數時,這一個整數 a 稱 做這些整數 b、c、d…的公因數。 2.最大公因數:任意幾個整數的(正)公因數中,最大的數,稱作最大公因數。 3.最大公因數的表示方法:在式子中會採用(a , b , c)。在文字上會採用 g.c.d.

(greatest common divisor)來表示。

二、最大公因數的求法: 1.短除法:找出 90、180 的共同質因數,並依序整除,並且兩數都能整除才可, 直到沒有共同質因數可以再除為止。 Ex: ○1

(

90,180

)

=2335=2335=90 ○2 g.c.d. = 90 2.指數型:各個整數先分解為標準分解式,找出具有共同的因數,並且這個因數 的指數是最小或相同的,再列出連乘積的式子。 Ex:

90

=

2

3

3

5

=

2

3

2

5

180

=

2

2

3

3

5

=

2

2

3

2

5

○1

(

90,180

)

=2325=90

(7)

○2 g.c.d. = 90 三、公因數與最大公因數的性質 1.不論有幾個整數,這些整數的最大公因數僅有 1 個。 2.最大公因數是所有公因數的倍數,所有公因數都是最大公因數的因數。 3.互質:若有二個整數其最大公因數等於 1,或是這二個整數除了 1 以外沒有其 他的公因數,則稱此二數為互質。【叮嚀:二相異質數必定互質,但互質的二 數未必為質數。】 Ex1:

(

24,36

)

=223=12 ; g.cd.=12 12 的因數有 1、2、3、4、6、12 都是(24 與 36)的公因數。 Ex2:互質,但二數都不是質數

(

4,21

)

=1 ;

(

6,55

)

=1。 二數都是質數,必定互質

(

13,19

)

=1 ;

(

23,97

)

=1。 【最大公因數與互質】 講解 5: (1)165、231 的最大公因數為何?此二數的公因數為何? (2)(22235, 23352537)的 g.c.d.=? (3)有二組數

(

72,117

)

(

363,274

)

哪一組數是互質? 解: (1)

(

165,231

)

=33 ;此二數的公因數必為 33 的因數,故為 1、3、11、33。 (2)原式=

(

2335,232557

)

=235=30 ; g.c.d.=30。 (3)

(

72,117

)

=3213 ;

(

363,274

)

=1。故 363 與 274 互質。 練習 5: (1)求 75、105、285 的最大公因數為何? (2)求573112, 537211, 527513這三組數的最大公因數? (3)有三數 78、91、130 是否互質?此三數的公因數個數有幾個呢? 解: (1)

(

75,105,285

)

=35=15 (2)(573112, 537211, 527513)=572 =245 (3)

(

78,91,130

)

=13 故此三數並非互質。 此三數的最大公因數為 13,其公因數為 1、13,因此,公因數個數有 2 個。 【最大公因數的應用】 講解 6: 五月天想要在錄音室中鋪上海綿墊,錄音室長 560 公分,寬 320 公分,每一塊海 綿墊都是正方形,但是要全部鋪滿,不可有空隙,請問五月天要買邊長多大的海

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綿墊呢?要幾塊才能鋪滿呢? 解:求 560 與 320 的最大公因數,為海綿墊的邊長。

(

560,320

)

=245=80 56080=7 , 32080=4 ,74=28 Ans:需要邊長 80 公分的海綿墊,共計 28 塊。 練習 6: 5566 偶像團體為了要犒賞粉絲特地製作了一個長方體的蛋糕,此蛋糕長 32 公 分、寬 28 公分、高 24 公分,為了給粉絲們吃到最大塊的正方體蛋糕又不剩下, 請問可切成幾塊小蛋糕呢?每一個小蛋糕的體積是多少呢? 解:(1)求 32、28、24 的最大公因數為邊長

(

32,28,24

)

=4 每邊可以被切成幾等份 324=8, 284=7,244=6 正方體蛋糕個數=8×7×6=336 個。 (2)每一個正方體蛋糕體積 4×4×4=64 立方公分。 Ans:蛋糕個數=8×7×6=336 個,蛋糕體積 4×4×4=64 立方公分。 講解 7: 黑珍珠蓮霧有 348 個,枇杷有 232 個,水果商打算將全部水果分裝不超過 60 盒, 每盒中都要有兩樣水果,並且每一盒的蓮霧要一樣多,枇杷也是,請問最多可以 分裝成多少盒?兩樣水果在每盒中的個數為何? 解:求 348 與 232 的最大公因數。

(

348,232

)

=2229 因為不可超過 60 盒,所以最多僅能裝 2×29=58 盒。 348÷58=6 , 232÷58=4 Ans:能裝 58 盒,蓮霧每盒有 6 個,枇杷每盒有 4 個。 練習 7: 有一個三角形的露營場地,每邊長為 120 公尺、160 公尺、180 公尺,童軍隊長 要求在四周圍插上營火,並且每支營火間隔要相同,而三角形營地的三頂點一定 要豎立一支營火,請問要營火幾支?營火的間隔要多少公尺呢? 解:

(

120,160,180

)

=20 12020=6 ,16020=8 ,18020=9(間隔) 因為植樹原理所以每邊要插 7、9、10 支營火。 又三點頂會重複,所以需要插上

(

7+9+10

)

−3=23支營火。 Ans:營火 23 支,間隔 20 公尺。 四、公倍數與最小公倍數 1.公倍數:當一個整數 a 同時是其他整數 b、c、d…的倍數時,這一個整數 a 稱 做這些整數 b、c、d…的公倍數。

(9)

2.最大公倍數:任意幾個整數的公倍數中,最小的數,稱作最小公倍數。 3.最大公倍數的表示方法:在式子中會採用

a,b,c

。在文字上會採用 l.c.m.

(lowest common multiple)來表示。

五、最小公倍數的求法 1.短除法:找出 24、36、64 的共同質因數當除數,只要有二數或以上的數有共 同質因數,都要除盡,直到沒有共同質因數可以再除為止,再將所有 共同質因數及最終不能除的數連乘,即為所求。 Ex: ○1

24,36,64

=2223138 =233223 =2632 =576 ○2 l.c.m. = 576 2.指數型:各個整數先分解為標準分解式,列出全部的因數,若有相同的質因數 則找出指數最大的,再列出連乘積的式子。 Ex:

24

=

2

3

3

,

36

=

2

2

3

2

,

64

=

2

6 ○1

24,36,64

=2632 =576 ○2 l.c.m. = 576 六、公倍數與最小公倍數的性質 1.不論有幾個整數,這些整數的最小公倍數僅有 1 個。 2.最小公倍數是所有公倍數的因數,所有公倍數都是最小公倍數的倍數。 3.以知有 a cb d 兩個最簡分數,若要同乘一個【最小正整數】,可使兩數成為【整 數】,此數應為

 

a ,b 。若要同乘一個【最小正分數】,可使兩數成為整數,此 數應為

 

(

c d

)

b a , , 。 4.若 a , b 兩數互質,則 a ,b 的最小公倍數為a  。 b 5.若有 a , b 兩數,則ab=

 

a,b 

(

a,b

)

【最小公倍數的計算】 講解 8: (1) 請求出 105, 220, 231 的最小公倍數。 (2) 請求出 2233,22 32511的最小公倍數。 (3) 請求出 363 , 274 的最小公倍數。

(10)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

b a c c b a      =     =   =    =   =    = 105 5 3 7 5 3 5 3 85 5 3 17 5 5 3 96 5 3 3 2 5 3 2 2 2 2 2 5 2 

(

)

,

7524 6 1254 , , =  =   =  B A B A B A B A

962 2 960 , 120 960 , 1000 120 8 , 5 , 3 = + = 所以 的最大倍數 為 範圍內 在 cc (4) 有兩分數 65 3 2 , 26 1 2 同時乘上一個正整數,使其兩數成為正整數,則所 乘之數最小為何? 解:(1)

105,220,231

=2235711=4620 (2)

2233,2232511

=2233511 (3)363與274互質 , 

363,274

=363274=99462 (4) ,

26,65

130 , 65 133 65 3 2 , 26 53 26 1 2 = = = 所乘的最小整數為 130。 練習 8: (1)試比較 a=25335 , b=325217 , c=33527的大小。 (2)若 A、B 為正整數,A×B=7524,A 與 B 的最大公因數為 6,則 A 與 B 的 最小公倍數為何? (3)若A=

40,60,90

;B=

(

40,60

)

,90

; C =

40,

(

60,90

)

,求 A、B、C 三數 的大小關係。 (4)若

a b c 5 3 2 432 , 360 , 300 =   ,求 a+b+c=? 解:(1) (2) (3)A>B>C (4)a+b+c=6 【最小公倍數的應用】 講解 9: (1)超級市場賣一罐小於且接近 1000cc 的優酪乳,分別以 3、5、8cc 的量杯去 量,結果量到最後,罐子中的優酪乳都只剩 2cc,請問這罐優酪乳再加多少 可等於 1000cc 呢? (2)有兩位女同學都喜歡上圖書館讀書,莉婷每 4 天而羿嘉每 6 天會到圖書館 一次,某星期天她們兩位相遇在圖書館,子睿非常喜歡她們兩位女同學, 若要同時看見她們兩位女同學下一次星期天在圖書館出現,子睿要等幾天 之後呢? 解:(1)

(11)

1000-962=38cc;所以再加上 38cc。 (2)

4,6,7

=84 ; 再 84 天之後。 練習 9: (1)勝峰、棋凱、正義三位同學,被老師處罰跑 360 公尺的操場,從起跑線同 方向出發,勝峰每分鐘跑 72 公尺、棋凱跑 90 公尺、正義跑 60 公尺,則幾 分鐘之後三人會會合在起跑處呢? (2)甜甜圈 3 個與蔥油餅 2 個的價錢相同,如果宇倫去買了甜甜圈 4 個與蔥油 餅 3 個,共需 170 元,請問甜甜圈與蔥油餅每個要多少錢? 解:(1)根據速度公式 v s t t v s=  , = 勝峰跑一圈需 360÷72=5(分)。 棋凱跑一圈需 360÷90=4(分)。 正義跑一圈需 360÷60=6(分)。

5,4,6

=60(分) (2)

 

3,2 =6 ;先把甜甜圈 3 個的總價與蔥油餅 2 個的總價分成 6 等份。 所以,1 個甜甜圈的價錢佔總價 6 等份中的 2 等分(6÷3=2); 1 個蔥油的價錢佔總價 6 等份中的 3 等分(6÷2=3)。 因此,甜甜圈 4 個與蔥油餅 3 個的總價為(4×2)+(3×3)=17 170÷17=10,所以甜甜圈一個 2×10=20 元,蔥油餅一個 3×10=30 元。 【十分鐘即時練習】 (1)( A )長方形磁磚,每塊長 40 公分、寬 60 公分,若磁磚不分割,以這些 磁磚拼成一個最小正方形,則需幾塊?(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16。 (2)( B )八卦山長隧道,隧道長 6400 公尺,隧道的兩側每隔 100 公尺裝燈 一盞( 兩端都裝 ),今為增強照明,改為每隔 80 公尺裝燈一盞,問施工時 有多少盞燈不必移動?(A) 33 (B)34 (C) 35 (D) 36。 (3)( D )1 12與 1 18分別乘下列哪一正整數後,都變成整數?(A) 24 (B) 38 (C) 48 (D) 72。 (4)有四個整數 a、b、c、d,a 與 b 的乘積為 72,b 與 c 的乘積為 54,b 與 d 的乘積為 90。這樣的四個整數全部有 6 組。解析:72、54、90 都是 b 的 倍數,所以 b 一定是他們的公因數。(72,54,90)=18。b 可能是 1、2、3、 6、9、18 六種可能,由 b 可分別求出 a、c、d 的值。 (5)a 為正整數,432 用 a 去除餘 12、570 用 a 去除餘 10,求 a 的最大值為 140 及最小值為 12 。解析:432-12 = 420,570-10 = 560。又 420、560 的 g.c.d. = 2257。 a 的最大值為 140。 又 140 的正因數為 1、2、4、 5、7、10、14、20、28、35、70、140。但除數要大於餘數,即 a 的最小值

(12)

必須大於 12。 (6)從 1~200 的正整數中,不論是除以 2 3 或除以 3 4 或除以 4 5 ,都還是整數的有 3 個。解析: , x 3,4,5 ,

3,4,5

60 3 2 2 3 = =x 依此類推 是 的公倍數 求 x  200÷60=3…3。故有 3 個數。 【基本觀念題】 ( D)1. 判斷下列何者不是 1599 的因數?(A)13(B)41(C)123(D)202。 ( D)2. 下列各數何者可以用兩相異質數之和表示之?(A)2(B)3(C)4 (D)5。 ( B)3. 下列敘述何者正確?(A)除了 1 及自己本身之外無其他正因數之自 然數稱為質數(B)恰有兩個正因數之自然數稱為質數(C)不是質數 之自然數稱為合數(D)以上皆非。 ( A)4. 下列何者為質數?(A)2153(B)1763(C)667(D)299。 ( D)5. 已知「12=5+7,可以用兩個質數的和表示之」,下面四個數 16、25、 30、35,哪一個數無法用兩個質數的和來表示呢?(A)16(B)25 (C)30(D)35。 ( B)6. 已知 x=2×3□ ×5,假設 540 是 x 的倍數,但 450 不是 x 的倍數,則□=? (A)4(B)3(C)2(D)1。 ( C)7. 假設 x 為正整數,使得 x 57 也是正整數的 x 有多少個?(A)2(B)3 (C)4(D)5。 ( C)8. 有三個正分數 45 56 , 30 49 , 12 35 ,分別乘以一個正數 a 之後,都成為整數, 則 a 的最小值為下列何者?A) 7 160 (B) 160 7 (C) 7 180 (D) 180 7 。 ( B)9. 請求出

(

84,120,210

)

+

12,15,45

的值為下列何者?(A)168(B)186 (C)268(D)286。 ( A)10.下列何者是223的倍數?(A)22335(B)235(C) 2 3 2  (D) 7 3 22 2 。 ( B)11.下列哪一個數的質因數僅有 2、3、7 呢?(A)24(B)42(C)28(D) 82。 ( C)12.有一最簡分數其分母為 40,且其值介於 10 7 與 8 5 之間,求此最簡分數之 分子為何?(A)25(B)26(C)27(D)28。 ( A)13.來而復便利商店為慶祝開幕,舉辦可樂促銷活動,有 A、B、C 三種促 銷方案,A 方案為每罐打八折;B 方案為買半打送一罐;C 方案為每

(13)

罐增加容量 20%價格不變,則最划算的是哪一個方案呢?(A)A 方 案(B)B 方案(C)C 方案(D)以上皆是。 解:A 方案:80%= 5 4 。B 方案:

(

)

7 6 1 6 6 + = 。C 方案:

(

)

6 5 % 20 1 1 + = 。 ( D)14.老師要發給每一位同學一張長、寬分別為 12、15 公分的衛生紙,請問 要多少張才能組合出一個正方形呢?(A)38(B)32(C)26(D) 20。 解:

12,15

=60 , 6012=5, 6015=4, 54=20。 ( D)15.施努筆老師要在一年 18 班進行分組教學,他發現如果 4 人一組、5 人 一組、8 人一組可以將班上同學編組完成,請問該班最少有多少人呢?(A) 28(B)32(C)36(D)40。 解:

4,5,8

=235=40。 【溫故歷屆基測試題】

( D)1. 若 45 可分解為 a×b,其中 a、b 均為正整數,則 a+b 可能的值為下列 何者?(A)43(B)23(C)28(D)18。【92.基測二】 ( D)2. 欲將 n 個邊長為 1 的正方形,拼成一個長、寬皆大於 1 的矩形,且不 會剩下任何小正方形,則 n 不可能為下列哪一個數?(A)81(B)85 (C)87(D)89。【90.基測一】 ( A)3. 假設 a 是一個正整數,其所有正因數有:1、2、4、7、14、28。則 a 與 210 的最大公因數為下列何者?(A)14(B)15(C)16(D)17。 【90.基測一】 ( A)4. 小齊拿了一張長 80 公分、寬 50 公分的紙張,剛好剪出 n 個正方形(其 面積大小可以不同),請問 n 的最小值為何?(A)5(B)10(C)15 (D)20。【91.基測二】 ( D)5. 小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼,方法是:分別將月份與 日期寫成兩個質數的和,再將此四個質數相乘,所得的數即為密碼(例 如,生日若為 8 月 24 日,將 8 寫成 3 與 5 的和,24 寫成 11 與 13 的 和,再將 3、5、11、13 相乘得密碼為 2145)。已知小華的密碼為 2030, 求小華出生在幾月份。(A)5(B)7(C)9(D)12。【94.基測二】 ( A)6. 設「a○- b」代表大於 a 且小於 b 所友直數的個數。例如:大於且小於 15 的質數有 11、13 兩個質數,所以 10○- 15=2。若 30○- c=2,則 c 可 能為下列哪一個數。(A)38(B)42(C)46(D)50。【94.基測一】 ( A)7. 下列四個數中,哪一個數與 55 互質?(A)21(B)30(C)35(D) 77。【93.基測一】 ( B)8. 將 182 個面積為 1 的正方形,分別緊密地排列成面積為 84 與 98 的兩

(14)

12(B)14(C)17(D)21。【94.基測一】 ( A)9. 甲、乙、丙三家新聞台每天中午 12:00 同時開始播報新聞,其中:甲 台每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘;乙台每播報 8 分鐘新聞 後就接著播廣告 1 分鐘;丙台每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。請問在 12:47 時,三家新聞台進行的內容為何?(A)甲:廣 告;乙:新聞;丙:新聞(B)甲:新聞;乙:廣告;丙:新聞(C) 甲:新聞;乙:新聞;丙:廣告(D)三家新聞台皆正在播報新聞。【94. 基測二】 ( C)10.承上題,三家電視台在下列哪一個時間廣告同時結束。(A)12:33(B) 12:39(C)13:12(D)14:00。【94.基測二】 【模擬學力基測試題】 ( B)1.下列四個數中哪一個數與 77 互質?(A)35(B)34(C)33(D)22。 ( A)2.你的 YAHOO 電子郵件信箱必須有四位數密碼輸入才能打開,已知密碼 abcd 分別是在 2520=2a×b2×c×d 的質因數分解中,請問此信箱密碼是(A) 3357(B)3375(C)2357(D)2375。 解:2520=233257。 ( D)3.有一正方體每一面有一個二位數字,面對面的數字和一樣,41 對面數 字是 a,30 對面數字是 b,24 對面數字是 c,且 a、b、c 都是不相等的 質數,求 a+b+c=?。(A)42(B)24(C)43(D)34。 解:2+41=13+30=19+24 ∴a=2,b=13,c=19,a+b+c=34。

( C)4.求 a、b 的最大公因數,計算過程如圖,何者正確?(A) a+b+c=267 (B)b-d=100(C)a+b=245(D)d>c。 解:d=28÷7=4,c=3×7=21,a=28×5=140,b=21×5=105。 ( B)5.符號「甲◎乙」代表甲、乙的最小公倍數除以最大公因數,例如:12 ◎16=48÷4=12,請問 64◎224=?(A)7(B)14(C)28(D)32。 解:〔64,224〕=32×2×7=448,(64,224)=32,448÷32=14。 ( D)6.老師拿出一張長 240cm、寬 150cm 的圖畫紙,欲剪出 n 個正方形做為 抽籤之用,正方形大小相同,但紙張不可以剩下,則 n 的最小值為何? (A)24(B)30(C)36(D)40。 解:(240,150)=30,240÷30=8,150÷30=5,8×5=40。 ( B)7.老師向蕃薯聯盟飲料店訂了若干杯珍奶,家榮如果每次取 2 杯或每次取 3 杯、或每次取 4 杯、或每次取 5 杯都剛好剩下 2 杯,家榮每次取 7 杯 則會剩下 3 杯,請問老師至少訂了多少杯的珍奶呢?(A)121(B)122 (C)123(D)124。

(15)

解:〔2,3,4,5〕=60; 60×1+2=62(不合);60×2+2=122;122÷7=17…3; 至少 122 杯。 ( A)8.一年 18 班教室的內圍長 24 公分、寬 12 公分,育杰、士民、子揚三人 分別被老師處罰青蛙跳以每秒 3 公尺、4 公尺、6 公尺的速率從頂點 A 出 發,沿 ABCD 的順序繞著教室的內圍青蛙跳,請問幾秒後三人同時在 A 點相會?(A)72(B)62(C)52(D)42(秒)。 解:周長 24+24+12+12=72(公尺) 72÷3=24;72÷4=18;72÷6=12;〔24,18,12〕=72(秒) ( D)9.施努筆老師將一個三位數重複寫二次,例如 542542542,成為六位數, 請問此種六位數必定有哪一個質因數?(A)3(B)7(C)11(D)13。 解:奇數位和-偶數位和=0 必是 11 的倍數 ( C)10.宇宙完全中學舉行模擬考從早上 6 時起,每 45 分敲一下下課鐘,每 50 分敲一下模擬考結束鐘,請問何時下課鐘與模擬考結束鐘齊鳴呢? (A)上午 11:30 分(B)中午 12:30 分(C)下午 1:30 分(D)下 午 2:30 分。 解:鐘鼓齊鳴的時間是 45,50 =450;早上 6 時到下午 1 時共 7 小時計 420 分,所以 450-420=30;下午 1 時 30 分。 【進階練習題】 ( C)1. 正整數 a 與 1176 的最大公因數為 42,且 140 與 a 的最大公因數為 70, 則 a 的最小值為何?(A)130(B)170(C)210(D)250。 解:

(

a,1176

)

=42 ,

(

140,a

)

=70 ,a=

42,70

=210。 ( B)2. 有一正整數 64=a×b,a、b 皆是大於 0 的整數,求 a+b 的最小值為何? (A)17(B)16(C)15(D)14。 解:64=8×8,8+8=16(最小值) ( D)3. 某一正整數除以 71 餘 3;除以 106 餘 4,最大的數為何?(A)85(B) 68(C)51(D)34。 解:71-3=68,106-4=102,(68,102)=34

( A)4. 若有 a、b 兩數,a=33×72×11,b=53×73×112,則 a、b 的正公因數有 幾個呢?(A)6(B)5(C)4(D)3。 解:(a, b)=72×11公因數有 1、7、11、49、77、72×11,共 6 個。 ( A)5. 若(甲,72)=12,〔甲,72〕=360,求甲=?(A)60(B)50(C) 40(D)30。 解:甲×72=12×360,甲=60 ( C)6. 已知a、b均為偶數,c為奇數,且a>b>c,則a+b、a+c、a-b、a- c、a+b+c、2×a+3×b+4×c六數中,有幾個是偶數?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 ( D)7.下列敘述何者錯誤?(A)31998是3的倍數 (B)51998是5的倍數 (C)19983是3

(16)

的倍數 (D)19985是5的倍數。 ( C)8.已知a、b、c為相異的質數,且A數=a2 ×b ×c,則下列敘述何者錯誤? (A)A數是一個合數(B)a是A數的因數(C)A數剛好有2個質因數。(D) a是A 數的質因數 ( A)9.已知a是一個大於10的合數,則下列何者不可能為a的質因數?(A) a數 (B)2 (C)5 (D)10。 ( D)10.已知a、b、c為相異質數,則下列何者也有可能是質數?(A)a×b (B) 2 b (C) 3 c (D)b+2。

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