Unit 1 因數與倍數 能力指標：◎（N-3-01）能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數。 ◎（N-3-02）能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數， 並熟練質因數分解的計算方法。 能力一：因數與倍數 一、因數與倍數的定義 1.除法原理：『被除數 = 除數 × 商數 + 餘數』，且被除數 0 ，0<餘數<除數。 2.整 除：當『被除數 = 除數 × 商數』（餘數=0）時，稱【除數】整除【被除 數】或【被除數】被【除數】整除。 3.因數與倍數：當【除數】整除【被除數】，則【除數】稱為【被除數】的【因 數】；反之【被除數】稱為【除數】的【倍數】。 Ex：8=2×4；2 與 4 皆為 8 的因數，8 是 2 與 4 的倍數。 二、因數與倍數的性質 1.任何數皆為 1 倍數，反之 1 為任何數的因數，而且 1 是最小的正因數。 2.任何整數（除了 0 之外），就是本身的因數，也是本身的倍數。 3.零（0）是任意數（除了 0 之外）的倍數。 4.零（0）不是任意整數的因數（分母不可為 0）。 5.任意整數（除了 0 之外）都是零（0）的因數。 Ex：1. 1 3 3 , 3 1 3 , 3 1 3= = = 。 2. 6=16=23 ；1、2、3、6 皆為 6 的因數。 3. 0=80 ； 0 是 8 的倍數。 4. = =無意義 0 8 0 8 ； 0 不是 8 的因數。 5. 0 8 0 8 0 = = ； 8 是 0 的因數。 三、倍數的判別法 1. 2 的倍數判別法：一個整數的末位數字是 0、2、4、6、8 的偶數，此數為 2 的 倍數。 2. 3 的倍數判別法：一個整數的數字總合是 3 的倍數，此數為 3 的倍數。 3. 5 的倍數判別法：一個整數的末位數字是 0、5 數，此數為 5 的倍數。
4. 9 的倍數判別法：一個整數的數字總合是 9 的倍數，此數為 9 的倍數。 5. 11 的倍數判別法：一個整數的（奇數位數字和）減去（偶數位數字和）的差 值是 0 或 11 的倍數，此數為 11 的倍數。 【因數與倍數的判別】 講解 1： （1）蔡康詠說：「因為73=2 1 , 所以3不是7的因數。」；林志鈴則說：「因 為92=4.5 0 , 所以9是2的倍數。」請問智勇電力學校的兩位主持人， 哪一位說對了呢？ （2）若 A 是正整數，且 A 的所有正因數由大到小排列分別是 r、s、t、8、7、4、 2、1，則 r、s、t 分別是多少呢？ （3）已知 x 為正整數，且 2 78 + x 亦為正整數，則 x 的值可能為何呢？ （4）已知 8642□是一個五位數的偶數，並且是 3 的倍數，則□應為多少呢？ 解： （1）7 無法被 3 整除，因此 3 不是 7 的因數。 9 無法被 2 整除，因此 9 不是 2 的倍數。 因此是蔡康詠答對了。 （2）由題意可知 r1=s2=t4=87=56 ；此正整數應為 56； 所以 r =56,s=28,t =14。 （3）由題意可知 x+2為78的因數，x+ 2=1、2、3、6、13、26、39、78； x=−1、0、1、4、11、24、37、76。 （4）因為是 3 的倍數，所以要將每個數字相加求其總合，並判斷該數是否為 3 的倍數。8+6+4+2+□=20+□要能被 3 整除的偶數，因此□=4。 練習 1： （1）在 200~400 之間 12 的倍數有幾個呢？ （2）2 位數中 7 的倍數有多少個？ （3）若 a 為自然數，且 105×a 是 24 的倍數，求 a 最小值為何？ （4）若五位數 5566□中有因數 22，則□應為多少呢？ 解： （1）200÷12=168 ；40012=33 4，取 33-16=17；共有 17 個。 （2）2 位數包含 10~99；997=141；107=1 3；7 的倍數有 14-1=13 個。 （3）105×a 是 24 的倍數， 24 105 a 沒有餘數。 為正整數 3 2 7 5 3 24 105 3 = a a ； 因此 a 最小為23 =8。
（4）因數 22 有 2 與 11 的因數，因此 5566□為 2 與 11 的倍數。 先求 2 的倍數：末位數字要□=0、2、4、6、8。 再判斷 11 的倍數：(5+6+□)-(5+6)=□；□=0 或 11 (11 不合) 故□=0。 【十分鐘即時練習】 （1）楊丞林要將 42 顆糖果分給粉絲，而且每堆（包含分成一堆）糖果數目要相 同，則她有 8 種分法。經紀人告訴他每堆至少要有 5 顆以上，則她的分 法剩下 5 種。 （2）裴湧駿與影迷的見面會，有六個幸運兒 A、B、C、D、E、F 可以分到巧克 力，這一包韓國的巧克力大約有 40~43 顆，而且這六人同坐在一圓桌，裴 湧駿從 A 粉絲依序輪流分給她們，每人每次分一顆，結果 E 粉絲分到最後 一顆，這包巧克力最有可能是 41 幾顆呢？ 詳解： E 粉絲排序第五，E ÷6 餘 5； E=6×商數+5 ；商數應為正整數； 所以從 40~43 中選取 41，只 有 41÷6 餘 5 符合。 （3）36、123、190、324、665、47 六個數中，有 3 個是 2 個倍數。 （4）（ C ）97 減去下列哪一個數以後是 7 的倍數？(A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 （5）（ D ）下列哪一個數可以整除 48？ (A)7 B)9 (C)13 (D)16。 （6）（ C ）下列哪一個敘述是錯的？(A)0 是任意整數的倍數；(B)1 是任意整數 的因數；(C)因為 72＝8×9，所以 8 是 72 的倍數；(D)因為 28＝4×7，所以 28 是 4 的倍數。 能力二：質數與質因數分解 一、質數的定義 1.質數：一個大於 1 的正整數，除了 1 與本身之外沒有其他的因數；亦即只有兩 個因數就是 1 與本身。 2.合數：一個正整數除了 1 與本身之外，還有其他的因數，亦即有三個（含）以 上因數的正整數謂之。 3.質因數：一個正整數可以分解成為一個或以上不同的質數相乘積，這些質數為 該整數的質因數；換句話說，質因數既是因數也是質數。 Ex：7=17；13=113；101=1101等數，其因數僅有 1 及本身兩個因數，則 稱 7、13、101 為質數。 Ex：6=16=23；14=114=27；56=156=228=414=78等數， 其因數有三個（含）以上；則稱 6、14、56 為合數。 Ex：18 有因數：1、2、3、6、9、18 等 6 個因數；其中 2、3 是質數，此時便稱 2、3 是 18 的質因數。
二、質數的性質 1.質數中最小的數是 2。因為【質數=1×本身】，因此最小的質數是 2。 （質數中最大的數為無限大，目前用電腦計算出最大的質數是 2001 年找出的 1 213466917 − ，是一個 4053946 位數的整數。） 2.質數中唯一的偶數是 2。 （目前科學家常用十七世紀初法國數學家梅森尼提出的梅森尼質數n=2 −p 1求 最大質數，但是並沒有發現大於 2 的偶數。） 3.合數中最小的數是 4，最大的數是無限大。 4.【1】沒有質因數。（1=11，因為 1 不是質數，所以 1 不是質因數。） 5.【0】是任意數的倍數，因此任意質數都是 0 的質因數。 6.100 以內的質數（有 25 個，要記起來！）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 三、標準分解式（質因數分解） 1.標準分解式的定義：將一個合數，分解成【質因數的連乘積】，這樣的式子稱 為【標準分解式】，這樣子的過程稱為【質因數分解】。 2.質因數的連乘積有時候會以【指數記法】呈現。 3.指數記法係指將相同數的連乘積之次數記在該數的右上方。 Ex： 4.質因數分解最常運用【短除法】來分解一個（含）以上的數。 Ex： 【質數與合數的判別】 講解 2： 從 1~25 的整數中，只有 1 個因數的整數有多少個？只有 2 個因數的整數有多少 個？ 解：1=11 1只有1個因數。 只有兩個因數的必定是質數，所以 2、3、5、7、11、13、17、19、23 共有 9 個。
練習 2： 下列整數中 36、38、49、50、55、64、100、113 哪些數是質數？哪些整數的因 數個數是偶數個？哪些整數的因數個數是奇數個？ 解：是質數的只有 113。 因數個數是偶數個必定是非完全平方數，奇數個必定是完全平方數。 38=138=219 因為 38 是非完全平方數，所以因數有 1、38、2、19 共 4 個。 6 6 9 4 12 3 18 2 36 1 36= = = = = 因為 36 是完全平方數，所以因數有 1、36、2、18、3、12、4、9、6 共 9 個。 因此，因數個數是偶數個有：38、50、55、113。因數個數是奇數個有：36、 49、64、100。 【質數的特性】 講解 3： 設「a 」代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數。例如：大於 10 且小餘 15 的質b 數有 11 與 13 兩個質數，所以1015=2，若30c=2，則 c 可能為哪些數？（94 基測） 解：比 30 大的質數有 31、37、41…，因為30c=2，所以 30~c 之間有 2 個質 數，因此，c 有可能是 38、39、40、41。 練習 3： 已知 a、b、c 是三個相異的質數，且 a+b=63，b+c=39，a+c=98，求此三數應為 何？ 解：根據加法定則可知，奇數+奇數=偶數，偶數+奇數=奇數，從 a+b=63 可知， a 或 b 其中必有一數是 2（質數），再比較 b+c=39 可知，a=61，b=2，則 c=98-61=37。 【質因數分解】 講解 4： 下列的數 55、57、58、59 哪一個有最小的質因數？ 解：55=511，57=319，58=229，59=159。因為 2 是最小的質數，所 以有最小質因數的數為 58。 練習 4： 有一數A=891011121314，求 A 的標準分解式為何？A 的質因數和？ 解：
(
) (
) (
)
(
)
(
)
13 11 7 5 3 2 7 2 13 3 2 2 11 5 2 3 3 2 2 2 3 7 = = A A 的質因數和=2+3+5+7+11+13=41【十分鐘即時練習】 （1） 請將 1260 質因數分解＝ 22 ×32 ×5 ×7 。 （2） 最接近 200 的質數為 201 。 （3） 已知 A 數的質因數分解為 a3 ×b ×c，其中 a、b、c 為相異質數，則 A 數最 小等於 120 。 （4） 將 5025 寫成標準分解式 axbycz，則 a＋b＋c＝ 75 ，x＋y＋z＝ 4 。 （5） 若 2 和 3 為四位數 5□2□的因數，且兩個方格內的數字是相同的，則□ ＝ 4 。 （6） 設 x＝2y511，且 22 是 x 的因數，20 不是 x 的因數，則 y ＝ 1 。 （7） 設 A ＝ 22232425 有 a 個相異質因數，B ＝ 24 有 b 個正因數，則 a ＝ 5 ，b＝ 8 。 （8）1～100 的整數中，除以 13 餘數為 2 的整數有 7 個。 能力三：最大公因數與最小公倍數 一、公因數與最大公因數 1.公因數：當一個整數 a 同時是其他整數 b、c、d…的因數時，這一個整數 a 稱 做這些整數 b、c、d…的公因數。 2.最大公因數：任意幾個整數的（正）公因數中，最大的數，稱作最大公因數。 3.最大公因數的表示方法：在式子中會採用（a , b , c）。在文字上會採用 g.c.d.
（greatest common divisor）來表示。
二、最大公因數的求法： 1.短除法：找出 90、180 的共同質因數，並依序整除，並且兩數都能整除才可， 直到沒有共同質因數可以再除為止。 Ex： ○1
(
90,180)
=2335=2335=90 ○2 g.c.d. = 90 2.指數型：各個整數先分解為標準分解式，找出具有共同的因數，並且這個因數 的指數是最小或相同的，再列出連乘積的式子。 Ex：90
=
2
3
3
5
=
2
3
2
5
180
=
2
2
3
3
5
=
2
2
3
2
5
○1(
90,180)
=2325=90○2 g.c.d. = 90 三、公因數與最大公因數的性質 1.不論有幾個整數，這些整數的最大公因數僅有 1 個。 2.最大公因數是所有公因數的倍數，所有公因數都是最大公因數的因數。 3.互質：若有二個整數其最大公因數等於 1，或是這二個整數除了 1 以外沒有其 他的公因數，則稱此二數為互質。【叮嚀：二相異質數必定互質，但互質的二 數未必為質數。】 Ex1：
(
24,36)
=223=12 ； g.cd.=12 12 的因數有 1、2、3、4、6、12 都是（24 與 36）的公因數。 Ex2：互質，但二數都不是質數(
4,21)
=1 ；(
6,55)
=1。 二數都是質數，必定互質(
13,19)
=1 ；(
23,97)
=1。 【最大公因數與互質】 講解 5： （1）165、231 的最大公因數為何？此二數的公因數為何？ （2）(22235, 23352537)的 g.c.d.=？ （3）有二組數(
72,117)
、(
363,274)
哪一組數是互質？ 解： （1）(
165,231)
=33 ；此二數的公因數必為 33 的因數，故為 1、3、11、33。 （2）原式=(
2335,232557)
=235=30 ； g.c.d.=30。 （3）(
72,117)
=3213 ；(
363,274)
=1。故 363 與 274 互質。 練習 5： （1）求 75、105、285 的最大公因數為何？ （2）求573112, 537211, 527513這三組數的最大公因數？ （3）有三數 78、91、130 是否互質？此三數的公因數個數有幾個呢？ 解： （1）(
75,105,285)
=35=15 （2）(573112, 537211, 527513)=572 =245 （3）(
78,91,130)
=13 故此三數並非互質。 此三數的最大公因數為 13，其公因數為 1、13，因此，公因數個數有 2 個。 【最大公因數的應用】 講解 6： 五月天想要在錄音室中鋪上海綿墊，錄音室長 560 公分，寬 320 公分，每一塊海 綿墊都是正方形，但是要全部鋪滿，不可有空隙，請問五月天要買邊長多大的海綿墊呢？要幾塊才能鋪滿呢？ 解：求 560 與 320 的最大公因數，為海綿墊的邊長。
(
560,320)
=245=80 56080=7 , 32080=4 ,74=28 Ans：需要邊長 80 公分的海綿墊，共計 28 塊。 練習 6： 5566 偶像團體為了要犒賞粉絲特地製作了一個長方體的蛋糕，此蛋糕長 32 公 分、寬 28 公分、高 24 公分，為了給粉絲們吃到最大塊的正方體蛋糕又不剩下， 請問可切成幾塊小蛋糕呢？每一個小蛋糕的體積是多少呢？ 解：（1）求 32、28、24 的最大公因數為邊長(
32,28,24)
=4 每邊可以被切成幾等份 324=8, 284=7,244=6 正方體蛋糕個數=8×7×6=336 個。 （2）每一個正方體蛋糕體積 4×4×4=64 立方公分。 Ans：蛋糕個數=8×7×6=336 個，蛋糕體積 4×4×4=64 立方公分。 講解 7： 黑珍珠蓮霧有 348 個，枇杷有 232 個，水果商打算將全部水果分裝不超過 60 盒， 每盒中都要有兩樣水果，並且每一盒的蓮霧要一樣多，枇杷也是，請問最多可以 分裝成多少盒？兩樣水果在每盒中的個數為何？ 解：求 348 與 232 的最大公因數。(
348,232)
=2229 因為不可超過 60 盒，所以最多僅能裝 2×29=58 盒。 348÷58=6 , 232÷58=4 Ans：能裝 58 盒，蓮霧每盒有 6 個，枇杷每盒有 4 個。 練習 7： 有一個三角形的露營場地，每邊長為 120 公尺、160 公尺、180 公尺，童軍隊長 要求在四周圍插上營火，並且每支營火間隔要相同，而三角形營地的三頂點一定 要豎立一支營火，請問要營火幾支？營火的間隔要多少公尺呢？ 解：(
120,160,180)
=20 12020=6 ,16020=8 ,18020=9（間隔） 因為植樹原理所以每邊要插 7、9、10 支營火。 又三點頂會重複，所以需要插上(
7+9+10)
−3=23支營火。 Ans：營火 23 支，間隔 20 公尺。 四、公倍數與最小公倍數 1.公倍數：當一個整數 a 同時是其他整數 b、c、d…的倍數時，這一個整數 a 稱 做這些整數 b、c、d…的公倍數。2.最大公倍數：任意幾個整數的公倍數中，最小的數，稱作最小公倍數。 3.最大公倍數的表示方法：在式子中會採用
a,b,c
。在文字上會採用 l.c.m.（lowest common multiple）來表示。
五、最小公倍數的求法 1.短除法：找出 24、36、64 的共同質因數當除數，只要有二數或以上的數有共 同質因數，都要除盡，直到沒有共同質因數可以再除為止，再將所有 共同質因數及最終不能除的數連乘，即為所求。 Ex： ○1
24,36,64
=2223138 =233223 =2632 =576 ○2 l.c.m. = 576 2.指數型：各個整數先分解為標準分解式，列出全部的因數，若有相同的質因數 則找出指數最大的，再列出連乘積的式子。 Ex：24
=
2
3
3
,
36
=
2
2
3
2,
64
=
2
6 ○1
24,36,64
=2632 =576 ○2 l.c.m. = 576 六、公倍數與最小公倍數的性質 1.不論有幾個整數，這些整數的最小公倍數僅有 1 個。 2.最小公倍數是所有公倍數的因數，所有公倍數都是最小公倍數的倍數。 3.以知有 a c 與 b d 兩個最簡分數，若要同乘一個【最小正整數】，可使兩數成為【整 數】，此數應為
a ,b 。若要同乘一個【最小正分數】，可使兩數成為整數，此 數應為
(
c d)
b a , , 。 4.若 a , b 兩數互質，則 a ,b 的最小公倍數為a 。 b 5.若有 a , b 兩數，則ab=
a,b (
a,b)
【最小公倍數的計算】 講解 8： （1） 請求出 105, 220, 231 的最小公倍數。 （2） 請求出 2233,22 32511的最小公倍數。 （3） 請求出 363 , 274 的最小公倍數。(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
b a c c b a = = = = = = 105 5 3 7 5 3 5 3 85 5 3 17 5 5 3 96 5 3 3 2 5 3 2 2 2 2 2 5 2
(
)
,
7524 6 1254 , , = = = B A B A B A B A
962 2 960 , 120 960 , 1000 120 8 , 5 , 3 = + = 所以 的最大倍數 為 範圍內 在 cc （4） 有兩分數 65 3 2 , 26 1 2 同時乘上一個正整數，使其兩數成為正整數，則所 乘之數最小為何？ 解：（1）
105,220,231
=2235711=4620 （2）
2233,2232511
=2233511 （3）363與274互質 ,
363,274
=363274=99462 （4） ,
26,65
130 , 65 133 65 3 2 , 26 53 26 1 2 = = = 所乘的最小整數為 130。 練習 8： （1）試比較 a=25335 , b=325217 , c=33527的大小。 （2）若 A、B 為正整數，A×B=7524，A 與 B 的最大公因數為 6，則 A 與 B 的 最小公倍數為何？ （3）若A=
40,60,90
;B=
(
40,60)
,90
; C =
40,(
60,90)
，求 A、B、C 三數 的大小關係。 （4）若
a b c 5 3 2 432 , 360 , 300 = ，求 a+b+c=？ 解：（1） （2） （3）A>B>C （4）a+b+c=6 【最小公倍數的應用】 講解 9： （1）超級市場賣一罐小於且接近 1000cc 的優酪乳，分別以 3、5、8cc 的量杯去 量，結果量到最後，罐子中的優酪乳都只剩 2cc，請問這罐優酪乳再加多少 可等於 1000cc 呢？ （2）有兩位女同學都喜歡上圖書館讀書，莉婷每 4 天而羿嘉每 6 天會到圖書館 一次，某星期天她們兩位相遇在圖書館，子睿非常喜歡她們兩位女同學， 若要同時看見她們兩位女同學下一次星期天在圖書館出現，子睿要等幾天 之後呢？ 解：（1）1000-962=38cc；所以再加上 38cc。 （2）
4,6,7
=84 ； 再 84 天之後。 練習 9： （1）勝峰、棋凱、正義三位同學，被老師處罰跑 360 公尺的操場，從起跑線同 方向出發，勝峰每分鐘跑 72 公尺、棋凱跑 90 公尺、正義跑 60 公尺，則幾 分鐘之後三人會會合在起跑處呢？ （2）甜甜圈 3 個與蔥油餅 2 個的價錢相同，如果宇倫去買了甜甜圈 4 個與蔥油 餅 3 個，共需 170 元，請問甜甜圈與蔥油餅每個要多少錢？ 解：（1）根據速度公式 v s t t v s= , = 勝峰跑一圈需 360÷72=5（分）。 棋凱跑一圈需 360÷90=4（分）。 正義跑一圈需 360÷60=6（分）。
5,4,6
=60(分) （2）
3,2 =6 ；先把甜甜圈 3 個的總價與蔥油餅 2 個的總價分成 6 等份。 所以，1 個甜甜圈的價錢佔總價 6 等份中的 2 等分(6÷3=2)； 1 個蔥油的價錢佔總價 6 等份中的 3 等分（6÷2=3）。 因此，甜甜圈 4 個與蔥油餅 3 個的總價為(4×2)+(3×3)=17 170÷17=10，所以甜甜圈一個 2×10=20 元，蔥油餅一個 3×10=30 元。 【十分鐘即時練習】 （1）（ A ）長方形磁磚，每塊長 40 公分、寬 60 公分，若磁磚不分割，以這些 磁磚拼成一個最小正方形，則需幾塊？(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16。 （2）（ B ）八卦山長隧道，隧道長 6400 公尺，隧道的兩側每隔 100 公尺裝燈 一盞（ 兩端都裝 ），今為增強照明，改為每隔 80 公尺裝燈一盞，問施工時 有多少盞燈不必移動？(A) 33 (B)34 (C) 35 (D) 36。 （3）（ D ）1 12與 1 18分別乘下列哪一正整數後，都變成整數？(A) 24 (B) 38 (C) 48 (D) 72。 （4）有四個整數 a、b、c、d，a 與 b 的乘積為 72，b 與 c 的乘積為 54，b 與 d 的乘積為 90。這樣的四個整數全部有 6 組。解析：72、54、90 都是 b 的 倍數，所以 b 一定是他們的公因數。(72，54，90)＝18。b 可能是 1、2、3、 6、9、18 六種可能，由 b 可分別求出 a、c、d 的值。 （5）a 為正整數，432 用 a 去除餘 12、570 用 a 去除餘 10，求 a 的最大值為 140 及最小值為 12 。解析：432－12 ＝ 420，570－10 ＝ 560。又 420、560 的 g.c.d. ＝ 2257。 a 的最大值為 140。 又 140 的正因數為 1、2、4、 5、7、10、14、20、28、35、70、140。但除數要大於餘數，即 a 的最小值必須大於 12。 （6）從 1~200 的正整數中，不論是除以 2 3 或除以 3 4 或除以 4 5 ，都還是整數的有 3 個。解析： , x 3,4,5 ,
3,4,5
60 3 2 2 3 = = x 依此類推 是 的公倍數 求 x 200÷60=3…3。故有 3 個數。 【基本觀念題】 （ D）1. 判斷下列何者不是 1599 的因數？（A）13（B）41（C）123（D）202。 （ D）2. 下列各數何者可以用兩相異質數之和表示之？（A）2（B）3（C）4 （D）5。 （ B）3. 下列敘述何者正確？（A）除了 1 及自己本身之外無其他正因數之自 然數稱為質數（B）恰有兩個正因數之自然數稱為質數（C）不是質數 之自然數稱為合數（D）以上皆非。 （ A）4. 下列何者為質數？（A）2153（B）1763（C）667（D）299。 （ D）5. 已知「12=5+7，可以用兩個質數的和表示之」，下面四個數 16、25、 30、35，哪一個數無法用兩個質數的和來表示呢？（A）16（B）25 （C）30（D）35。 （ B）6. 已知 x=2×3□ ×5，假設 540 是 x 的倍數，但 450 不是 x 的倍數，則□=？ （A）4（B）3（C）2（D）1。 （ C）7. 假設 x 為正整數，使得 x 57 也是正整數的 x 有多少個？（A）2（B）3 （C）4（D）5。 （ C）8. 有三個正分數 45 56 , 30 49 , 12 35 ，分別乘以一個正數 a 之後，都成為整數， 則 a 的最小值為下列何者？A） 7 160 （B） 160 7 （C） 7 180 （D） 180 7 。 （ B）9. 請求出(
84,120,210)
+
12,15,45
的值為下列何者？（A）168（B）186 （C）268（D）286。 （ A）10.下列何者是223的倍數？（A）22335（B）235（C） 2 3 2 （D） 7 3 22 2 。 （ B）11.下列哪一個數的質因數僅有 2、3、7 呢？（A）24（B）42（C）28（D） 82。 （ C）12.有一最簡分數其分母為 40，且其值介於 10 7 與 8 5 之間，求此最簡分數之 分子為何？（A）25（B）26（C）27（D）28。 （ A）13.來而復便利商店為慶祝開幕，舉辦可樂促銷活動，有 A、B、C 三種促 銷方案，A 方案為每罐打八折；B 方案為買半打送一罐；C 方案為每罐增加容量 20%價格不變，則最划算的是哪一個方案呢？（A）A 方 案（B）B 方案（C）C 方案（D）以上皆是。 解：A 方案：80%= 5 4 。B 方案：
(
)
7 6 1 6 6 + = 。C 方案：(
)
6 5 % 20 1 1 + = 。 （ D）14.老師要發給每一位同學一張長、寬分別為 12、15 公分的衛生紙，請問 要多少張才能組合出一個正方形呢？（A）38（B）32（C）26（D） 20。 解：
12,15
=60 , 6012=5, 6015=4, 54=20。 （ D）15.施努筆老師要在一年 18 班進行分組教學，他發現如果 4 人一組、5 人 一組、8 人一組可以將班上同學編組完成，請問該班最少有多少人呢？（A） 28（B）32（C）36（D）40。 解：
4,5,8
=235=40。 【溫故歷屆基測試題】（ D）1. 若 45 可分解為 a×b，其中 a、b 均為正整數，則 a+b 可能的值為下列 何者？（A）43（B）23（C）28（D）18。【92.基測二】 （ D）2. 欲將 n 個邊長為 1 的正方形，拼成一個長、寬皆大於 1 的矩形，且不 會剩下任何小正方形，則 n 不可能為下列哪一個數？（A）81（B）85 （C）87（D）89。【90.基測一】 （ A）3. 假設 a 是一個正整數，其所有正因數有：1、2、4、7、14、28。則 a 與 210 的最大公因數為下列何者？（A）14（B）15（C）16（D）17。 【90.基測一】 （ A）4. 小齊拿了一張長 80 公分、寬 50 公分的紙張，剛好剪出 n 個正方形（其 面積大小可以不同），請問 n 的最小值為何？（A）5（B）10（C）15 （D）20。【91.基測二】 （ D）5. 小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼，方法是：分別將月份與 日期寫成兩個質數的和，再將此四個質數相乘，所得的數即為密碼（例 如，生日若為 8 月 24 日，將 8 寫成 3 與 5 的和，24 寫成 11 與 13 的 和，再將 3、5、11、13 相乘得密碼為 2145）。已知小華的密碼為 2030， 求小華出生在幾月份。（A）5（B）7（C）9（D）12。【94.基測二】 （ A）6. 設「a○- b」代表大於 a 且小於 b 所友直數的個數。例如：大於且小於 15 的質數有 11、13 兩個質數，所以 10○- 15=2。若 30○- c=2，則 c 可 能為下列哪一個數。（A）38（B）42（C）46（D）50。【94.基測一】 （ A）7. 下列四個數中，哪一個數與 55 互質？（A）21（B）30（C）35（D） 77。【93.基測一】 （ B）8. 將 182 個面積為 1 的正方形，分別緊密地排列成面積為 84 與 98 的兩
12（B）14（C）17（D）21。【94.基測一】 （ A）9. 甲、乙、丙三家新聞台每天中午 12：00 同時開始播報新聞，其中：甲 台每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘；乙台每播報 8 分鐘新聞 後就接著播廣告 1 分鐘；丙台每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。請問在 12：47 時，三家新聞台進行的內容為何？（A）甲：廣 告；乙：新聞；丙：新聞（B）甲：新聞；乙：廣告；丙：新聞（C） 甲：新聞；乙：新聞；丙：廣告（D）三家新聞台皆正在播報新聞。【94. 基測二】 （ C）10.承上題，三家電視台在下列哪一個時間廣告同時結束。（A）12：33（B） 12：39（C）13：12（D）14：00。【94.基測二】 【模擬學力基測試題】 （ B）1.下列四個數中哪一個數與 77 互質？（A）35（B）34（C）33（D）22。 （ A）2.你的 YAHOO 電子郵件信箱必須有四位數密碼輸入才能打開，已知密碼 abcd 分別是在 2520＝2a×b2×c×d 的質因數分解中，請問此信箱密碼是（A） 3357（B）3375（C）2357（D）2375。 解：2520=233257。 （ D）3.有一正方體每一面有一個二位數字，面對面的數字和一樣，41 對面數 字是 a，30 對面數字是 b，24 對面數字是 c，且 a、b、c 都是不相等的 質數，求 a＋b＋c＝？。（A）42（B）24（C）43（D）34。 解：2＋41＝13＋30＝19＋24 ∴a＝2，b＝13，c＝19，a＋b＋c＝34。
（ C）4.求 a、b 的最大公因數，計算過程如圖，何者正確？（A） a＋b＋c＝267 （B）b－d＝100（C）a＋b＝245（D）d＞c。 解：d＝28÷7＝4，c＝3×7＝21，a＝28×5＝140，b＝21×5＝105。 （ B）5.符號「甲◎乙」代表甲、乙的最小公倍數除以最大公因數，例如：12 ◎16＝48÷4=12，請問 64◎224＝？（A）7（B）14（C）28（D）32。 解：〔64，224〕＝32×2×7＝448，（64，224）＝32，448÷32＝14。 （ D）6.老師拿出一張長 240cm、寬 150cm 的圖畫紙，欲剪出 n 個正方形做為 抽籤之用，正方形大小相同，但紙張不可以剩下，則 n 的最小值為何？ （A）24（B）30（C）36（D）40。 解：（240，150）＝30，240÷30＝8，150÷30＝5，8×5＝40。 （ B）7.老師向蕃薯聯盟飲料店訂了若干杯珍奶，家榮如果每次取 2 杯或每次取 3 杯、或每次取 4 杯、或每次取 5 杯都剛好剩下 2 杯，家榮每次取 7 杯 則會剩下 3 杯，請問老師至少訂了多少杯的珍奶呢？（A）121（B）122 （C）123（D）124。
解：〔2，3，4，5〕＝60； 60×1＋2＝62（不合）；60×2＋2＝122；122÷7＝17…3； 至少 122 杯。 （ A）8.一年 18 班教室的內圍長 24 公分、寬 12 公分，育杰、士民、子揚三人 分別被老師處罰青蛙跳以每秒 3 公尺、4 公尺、6 公尺的速率從頂點 A 出 發，沿 ABCD 的順序繞著教室的內圍青蛙跳，請問幾秒後三人同時在 A 點相會？（A）72（B）62（C）52（D）42（秒）。 解：周長 24＋24＋12＋12＝72（公尺） 72÷3＝24；72÷4＝18；72÷6＝12；〔24，18，12〕＝72（秒） （ D）9.施努筆老師將一個三位數重複寫二次，例如 542542542，成為六位數， 請問此種六位數必定有哪一個質因數？（A）3（B）7（C）11（D）13。 解：奇數位和－偶數位和＝0 必是 11 的倍數 （ C）10.宇宙完全中學舉行模擬考從早上 6 時起，每 45 分敲一下下課鐘，每 50 分敲一下模擬考結束鐘，請問何時下課鐘與模擬考結束鐘齊鳴呢？ （A）上午 11：30 分（B）中午 12：30 分（C）下午 1：30 分（D）下 午 2：30 分。 解：鐘鼓齊鳴的時間是 45，50 ＝450；早上 6 時到下午 1 時共 7 小時計 420 分，所以 450－420＝30；下午 1 時 30 分。 【進階練習題】 （ C）1. 正整數 a 與 1176 的最大公因數為 42，且 140 與 a 的最大公因數為 70， 則 a 的最小值為何？（A）130（B）170（C）210（D）250。 解：
(
a,1176)
=42 ,(
140,a)
=70 ,a=
42,70
=210。 （ B）2. 有一正整數 64＝a×b，a、b 皆是大於 0 的整數，求 a＋b 的最小值為何？ （A）17（B）16（C）15（D）14。 解：64＝8×8，8＋8＝16（最小值） （ D）3. 某一正整數除以 71 餘 3；除以 106 餘 4，最大的數為何？（A）85（B） 68（C）51（D）34。 解：71－3＝68，106－4＝102，（68，102）＝34（ A）4. 若有 a、b 兩數，a＝33×72×11，b＝53×73×112，則 a、b 的正公因數有 幾個呢？（A）6（B）5（C）4（D）3。 解：（a, b）＝72×11公因數有 1、7、11、49、77、72×11，共 6 個。 （ A）5. 若（甲，72）＝12，〔甲，72〕＝360，求甲＝？（A）60（B）50（C） 40（D）30。 解：甲×72＝12×360，甲＝60 （ C）6. 已知a、b均為偶數，c為奇數，且a＞b＞c，則a＋b、a＋c、a－b、a－ c、a＋b＋c、2×a＋3×b＋4×c六數中，有幾個是偶數？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 （ D）7.下列敘述何者錯誤？(A)31998是3的倍數 (B)51998是5的倍數 (C)19983是3
的倍數 (D)19985是5的倍數。 （ C）8.已知a、b、c為相異的質數，且A數＝a2 ×b ×c，則下列敘述何者錯誤？ (A)A數是一個合數(B)a是A數的因數(C)A數剛好有2個質因數。(D) a是A 數的質因數 （ A）9.已知a是一個大於10的合數，則下列何者不可能為a的質因數？(A) a數 (B)2 (C)5 (D)10。 （ D）10.已知a、b、c為相異質數，則下列何者也有可能是質數？(A)a×b (B) 2 b (C) 3 c (D)b＋2。
