2016IMAS國中組第一輪檢測中文試題詳解

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2016 初中組第一輪檢測試題詳解

1. 請問代數式 2 2 2 ( 20)− +16 −15 的值是多少? (A) 19− (B)11 (C)21 (D)51 (E)61 【參考解法】 2 2 2 ( 20)− +16 −15 =20 256 225 51+ − = 。因此選(D)。 答案:(D) 2. 以下表格是某班級的數學期中考試得分統計表,請問該班學生數學期中考試 的得分總和為多少分? 數學期中考試得分統計表 人數 最高分 最低分 平均分 42 100 16 84.5 (A)672 (B)3528 (C)3549 (D)4200 (E)4872 【參考解法】 該班學生數學期中考試的得分總和為84.5 42 3549× = 分。故選(C)。 答案:(C) 3. 將一個不是 24 的倍數之三位數除以 24,所得的商是 a、餘數是 b。請問 a+b 的最小值是多少? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9 【參考解法】 由於100 4 24 4= × + ,所以當被除數變大時,商a≥4。若a=4,則可判斷出餘數 4 b≥ ,因此a+ ≥b 8;而若a≥5,則由此數不是 24 的倍數知b≥1,故可得知 6 a+ ≥b 。若取此三位數為 121 時,有a= 、5 b= 且1 a+ =b 6。故選(B)。 答案:(B) 4. 在梯形 ABCD 中,已知 AB//CD,點 E、F 分別在邊 AD、BC 上,且 EF//AB, 如下圖所示。若三角形 BAF、CDF、BCE 的面積分別為 8 cm2、7 cm2、18 cm2 請問梯形 ABCD 的面積是多少 cm2 (A)30 (B)32 (C)33 (D)35 (E)36 B A F E D C

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【參考解法】

由 EF//AB 知三角形 BAE 的面積與三角形 BAF 的面積相同;由 EF//CD 知三角形

CDE 的面積與三角形 CDF 的面積相同,所以梯形 ABCD 的面積=三角形 BAE 的

面積+三角形 CDE 的面積+三角形 BCE 的面積=8 7 18 33+ + = cm2。故選(C)。 答案:(C) 5. 已知負數 x 滿足方程|x− =3 | | 3 | 1x + ,請問 x 的值是多少? (A) 2 (B) 1− (C) 2 3 − (D) 1 2 − (E) 1 4 − 【參考解法】 由於 x 是負數,所以x− < 、33 0 x< ,原方程可化為0 3− = − +x 3x 1,解得x= −1。 故選(B)。 答案:(B) 6. 小李從家中騎自行車去學校,已知自行車的車輪半徑為 25 cm,車輪每分鐘 轉 160 圈。假如從家中以此勻速騎到學校共費時 10 分鐘,請問學校到小李 家的距離最接近下面哪一項? (A)1 km (B)1.5 km (C)1.8 km (D)2 km (E)2.5 km 【參考解法】 由於題目求的是大約的距離,可取

π

=3.14。自行車的車輪轉一圈,自行車約前 進2 3.14 25 157× × = cm,故學校到家的距離大約為157 160 10× × =251200cm,即 為 2512m,約 2.5 km。故選(E)。 答案:(E) 7. 請問數碼中至少有一個是 3 的倍數的二位數總共有多少個? (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 (E)80 【參考解法 1】 若十位數碼是 3、6、9 之一,這樣的二位數顯然滿足條件,共有 30 個; 若十位數碼是 1、2、4、5、7、8 之一,則個位數碼為 0、3、6、9 之一,這樣 的二位數共有 6×4=24 個。 故滿足題目條件的二位數總共有30 24 54+ = 個。故選(B)。 【參考解法 2】 可判斷出不滿足條件的二位數之二個數碼都是 1、2、4、5、7、8 之一,這樣的 二位數共有 6 6 36× = 個,而所有的二位數共有 90 個,因此滿足題目條件的二位 數總共有90 36 54− = 個。故選(B)。 答案:(B)

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8. 下圖為某商品在 2014 年與 2015 年各季度的銷量折線圖,請問 2015 年的總 銷量比 2014 年的總銷量多幾件? (A)23 (B)48 (C)85 (D)90 (E)110 【參考解法 1】 2015 年總銷量為157+235+270+205=867件、2014 年總銷量為134 210 233+ + 180 757 + = 件,即 2015 年總銷量比 2014 年總銷量多867 757 110− = 件。故選(E)。 【參考解法 2】 2015 年第一季度銷量比 2014 年第一季度銷量多157 134− =23件、第二季度多 235−210=25件、第三季度多 270 233 37− = 件、第四季度多 205 180 25− = 件。 所以 2015 年總銷量比 2014 年總銷量總共多 23 25 37 25 110+ + + = 件。故選(E)。 答案:(E) 9. 等邊三角形△ABC 中,已知 BD=CDBDCD、 BEAC,而 BE 與 CD 交於點 F,如下圖所示。請問 CFE∠ 的大小為多少度? (A) 75° (B) 70° (C) 65° (D) 60° (E)55° 【參考解法】 由 BD CD= 、BDCD可以得知 180 90 45 2 BCD ° − ° ∠ = = °。又由△ABC 是等邊三 角形可以得知∠BCA= °60 ,故∠DCA= ° − ° = °,最後由 BE AC60 45 15 ⊥ ,因此知 90 15 75 CFE ∠ = ° − ° = °。故選(A)。 答案:(A) 10. 請問將 36 表示成兩個質數的和使得第一個質數大於第二個質數之方法共有 多少種? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 B A F E D C 第一季 商品銷量圖 第二季 第三季 第四季 2014 2015 銷 量 單位:件 50 100 150 200 250 300 134 180 233 210 157 205 270 235

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【參考解法】 考慮較大的質數,它只能在 18 到 35 之間,而 18 到 35 之間的質數只有 19、23、 29、31,而用 36 減這些數分別可得 17、13、7、5,它們正好都是質數,故知共 有 4 種表示方法。故選(D)。 答案:(D) 11. 某班級的所有學生都參加了數學或英語研究社,其中有三分之一的學生兩個 研究社都參加了,參加英語研究社的有 22 人,比參加數學研究社的少 4 人, 請問這個班級總共有多少名學生? (A)12 (B)18 (C)24 (D)30 (E)36 【參考解法 1】 由題意可得,參加數學研究社的學生有 22 4 26+ = 名。有三分之一的學生兩個研 究社都參加,所以參加數學研究社與英語研究社的總人數等於全班人數的三分 之四,故這個班級總共有(22 26) 4 36 3 + ÷ = 名學生。故選(E)。 【參考解法 2】 由題意可得,參加數學研究社的學生有 22 4 26+ = 名。 設兩個研究社都參加的學生有 x 名,則這個班級共有 3x 名,因此有 22+26− =x 3x 解得x=12。所以這個班級總共有12 3 36× = 名學生。故選(E)。 答案:(E) 12. 有一組數的平均值等於 5,有另外一組數的個數是這一組數的兩倍且其平均 值等於 11。若將這兩組數合併,請問它們的總平均值等於多少? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10 【參考解法 1】 第二組數的個數是第一組數的兩倍,不妨設第二組有 2 個數、第一組有 1 個數, 可知它們的總平均值等於5 11 2 9 1 2 + × = + 。故選(D)。 【參考解法 2】 設第一組有 k 個數,則第二組有 2k 個數。可知第一組所有數之和為 5k,而第二 組所有數之和為11 2× k =22k,因此知所有數的平均值為5 22 9 2 k k k k + = + 。故選(D)。 答案:(D) 13. 已知 x− +1 1− + =x y 2016,請問x 之值等於多少? y (A)2015 (B)2016 (C) 1 2016 (D)1 (E)0 【參考解法】 由於 x− 與 1 x1 − 都有意義,所以x− 、1 x1 − 都是非負數,而它們互為相反數, 故x− = − =1 1 x 0,即x=1,代入原式解得y =2016,即xy =12016 = 。故選(D)。 1 答案:(D)

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14. 甲、乙兩人都是每星期去 3 或 4 次健身房。恰經過n 個星期之後,甲總共去 了 57 次健身房,乙總共去了 47 次健身房。請問 n 的值是多少? (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 (E)19 【參考解法】 由條件知 3n≤47且 4n≥57,解得141 152 4 ≤ ≤n 3。由於 n 是正整數,所以n= 。15 故選(A)。 答案:(A) 15. 線段AB 上有一點 D,且AD= 、1 BD= ,請問平面上使得△ACD 與△BCD2 都是等腰三角形的點 C 總共有多少個? (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)8 【參考解法】 注意到∠ADC與∠BDC互補,它們之間必然有一個不是銳角,即必然有一個是等 腰三角形的頂角。若∠BDC是頂角,則DC=2,由三角形的兩邊和大於第三邊、 兩邊差小於第三邊知1<AC<3,故只能AC =DC= ,這樣可能的點有兩個 (圖2 中的C1C2點);若∠ADC是頂角,則DC=1,由三角形的兩邊和大於第三邊、 兩邊差小於第三邊知1<BC<3,故只能BC= DB= ,這樣可能的點也有兩個(圖2 中的C3C4點)。因此總共有 4 個滿足條件的點。故選(B)。 答案:(B) 16. 在一個5 5× 的方格紙上沿著格線剪下兩個 2 4× 的矩形,請問總共有多少種不 同的剪法? (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 (E)24 Īણ҂ྋڱī 顯然兩個矩形必須同時為 2 4× 的矩形或同時為 4 2× 的矩形。先考慮同時為 2 4× 的矩形。當第一個 2 4× 的矩形位於由上往下數第 1、2 列時,另一個 2 4× 的矩形 可以位於第 3、4 列或第 4、5 列;當第一個 2 4× 的矩形位於由上往下數第 2、3 列時,另一個 2 4× 的矩形只能位於第 4、5 列,故有 3 種不同的佔據列的方式。 B A D 1 C 4 C 3 C 2 C

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當佔據列的方式已確定時,每個矩形都有 2 個不同的位置,故有3 2 2 12× × = 種 剪法。由對稱性知 4 2× 的矩形時也有 12 種剪法,所以總共有12 12 24+ = 種剪法。 故選(E)。 答案:(E) 17. 已知有一個正數a比它的倒數大 5,請問 2 2 (a −1) −125a的值是什麼? (A)5 (B)25 (C)125 (D)1 21 2 + (E)5 21 【參考解法】 由題意知a 1 5 a − = ,再由 a不為 0 知 2 1 5 a − = a,即a2 −5a = 。因此 1 2 2 2 2 (a −1) −125a=(5 )a −125a=25(a −5 )a =25。 故選(B)。 答案:(B) 18. 平行四邊形ABCD的周長為 36 cm,分別以 ABCD為圓心,作半徑為 2 cm 的圓,然後再分別作每兩個相鄰的圓在平行四邊形外部的外公切線, 四條公切線與外側的圓弧圍成一個封閉圖形,如下圖所示。請問這個封閉圖 形的面積之最大可能值為多少 cm2 (A)117 4+

π

(B)144+4

π

(C)153 4+

π

(D)144 12+

π

(E)153 12+

π

【參考解法】 由四個圓心ABCD分別與其所在之圓的兩個切點連接,如下圖所示。此 時封閉圖形可分成原來的平行四邊形、四個矩形與四個扇形。因每一個圓的圓 心所在之角都恰為二個矩形的直角、原平行四邊形的一個內角與一個扇形的圓 心角,所以可得知這四個扇形的圓心角分別等於平行四邊形內角的補角,再由 四邊形內角和為360°知四個扇形面積之總和恰等於一個圓的面積,即 4

π

cm2; 四個矩形的面積之和恰等於圓形半徑乘以平行四邊形周長,即2 36 72× = cm2;當 平行四邊形的周長固定時,它的面積之最大值會發生在此平行四邊形恰為正方 形,其值為 2 36 81 4 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ cm 2,故所求最大值為 4

π

+72 81 153 4+ = +

π

cm2。故選(C)。 B A D C

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答案:(C) 19. 一個正整數恰有 12 個正因數,且它與(20163 −2016)互質。請問滿足上述條 件的最小正整數是什麼? (A)7007 (B)9163 (C)26741 (D)39083 (E)52877 【參考解法】 3 2 5 2 2016 −2016=2016 (2016× − =1) 2015 2016 2017× × =2 × × × × × ×3 5 7 13 31 2017 所以滿足條件的正整數之質因數只能是 11、17、19、…、29、37、…、2011、 2027、…。此正整數恰有 12 個正因數,故知此數之形式必為p11、 5 p q、 3 2 p q 或 2 p qr,其中pqr為相異的質數。可知前三種形式都會超過10 ,而最後一種5 形式的最小值是 2 5 11 × ×17 19=39083 10< 。故選(D)。 答案:(D) 20. 在平面上畫五條直線,請問最多能構成多少個直角三角形? (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)8 【參考解法】 設這五條直線為abcde。若兩條直線互相垂直,則固定這兩條直線,第 三條直線在剩餘 3 條中任選一條,最多可以得到 3 個直角三角形。因此,若圖 中只有 1 組或 2 組直線互相垂直,則最多只能有 6 個直角三角形。若圖中有至 少 3 組直線互相垂直,則必然有兩條直線ab垂直於同一條直線,故 ab互 相平行,這樣acde中任兩條直線可能構成一個三角形,最多共 3 個三角 形;bcde中任兩條直線可能構成一個三角形,最多共 3 個三角形;cde 可能構成一個三角形。故圖中最多有3 3 1 7+ + = 個三角形,因而最多有 7 個直 角三角形。下圖即為構成 7 個直角三角形的例子。故選(D)。 答案:(D) B A D C

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21. 每件商品都有一個 13 位數碼的國際商品條碼:ABCDEFGHIJKLM,其中最 後一位數碼M是檢查碼,它的生成方式如下: 令S = +A 3B+ +C 3D+ +E 3F + +G 3H + +I 3J + +K 3L,若 S除以 10 所得 的餘數為 0,則M = ;若0 S除以 10 所得的餘數為t≠ ,則0 M =10− 。 t 現有一個國際商品條碼為 6901020□09017,請問「□」內的數碼是什麼? 【參考解法】 由題意可得, 6 3 9 0 3 1 0 3 2 0 3 0 3 9 0 3 1 72 3 S = + × + + × + + × + + × + + × + + × =□ + ×□, 已知M =7,故 72 3+ ×□除以 10 所得的餘數為10 7 3− = ,即3×□的個位數碼 為1,所以□=7。 答案:007 【評註】 國際商品條碼的設計使得A+3B+ +C 3D+ +E 3F + +G 3H + +I 3J + +K 3L+M 可被10 整除。 22. 請問能表示成三個不同正整數的立方和的三位數之最大值是什麼? 【參考解法】 因 3 10 =1000,故可判斷出題目的意思實際上是在13 =1、23 =8、33 =27、43 =64、 3 5 =125、63 =216、73 =343、83 =512、93 =729中選取三個不同的數,使得它 們的和小於1000 且儘量接近1000。 若不選 3 8 與 3 9 ,那麼三個數之和最大是 3 3 3 5 +6 +7 =684; 若選 3 9,則不能選83與73,在選取63的情況下,此時所得的和為729 216 945+ = , 故知接下來最大可選 3 3 ,總和為972;在不選取63的情況下,此時所得的三個數 之和最大為 3 3 3 4 +5 +9 =918; 若選 3 8 ,因63 +73 +83 =1071 1000> ,故三個數的和最大為53 +73 +83 =980。 綜上,所求三位數之最大值為980。 答案:980 23. 在四邊形 ABCD 中,已知CDA=150°、 DAB的平分線與 BC 垂直、 ABC

的平分線與 CD 垂直,如下圖所示。請問BCD的大小是多少度? B A D C X Y O

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【參考解法1】

令 DAB的平分線與 BC 之垂足為點 X、 ABC的平分線與 CD 之垂足為點 Y, 且令 AX 與 BY 之交點為 O。

由∠BCD+ ∠XOY =180°知 1( ) 2

BCD XOB DAB ABC

∠ = ∠ = ∠ + ∠ ,

即∠DAB+ ∠ABC = ∠2 BCD

由四邊形內角和知360° =∠DAB+ ∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDA= ∠3 BCD+150°,可解 得∠BCD= °70 。

【參考解法2】

設∠ABC= °2x ,由∠ABC的平分線與CD 垂直知∠BCD= ° − °90 x 、由 DAB∠ 的平

分線與BC垂直知∠DAB= 2(90° −2x° 。再由四邊形內角和為) 360°知 360° =150° +2x° + ° − ° +90 x 2(90° −2x° ,化簡得3) x° =60°,即可解得x=20,因 此∠BCD= ° − ° = °90 20 70 。 答案:070 24. 已知ab是滿足a2 =b b( +1)與b2 = +a 1的正實數,請問1 1 a+b的值是什麼? 【參考解法】 由 2 1 b = +aa =b2 − ,故再由1 a2 =b b( +1)知a b( 2 − =1) b b( +1),即 (a b− = ,1) b 因此ab= +a b,等式兩邊同除以ab,得1 1 a b 1 a b ab + + = = 。 答案:001 25. 上衣之售價為 40 元一件、裙子之售價為 70 元一條、鞋子之售價為 80 元一 雙。小芳有 800元,每種服飾她都至少買一件。若將一件上衣,一條裙子與 一雙鞋子稱作一種搭配,兩種搭配裡只要有一項服飾不是同一件,就稱作不 同的搭配。請問小芳購買的服飾最多能作出多少種不同的搭配? 【參考解法1】 設小芳買了x 件上衣、y條裙子、z 雙鞋子,則 40x+70y+80z≤800,在此不等 式下求xyz的最大值。 先將不等式兩邊除以40,可得 7 2 20 4 x+ y+ z≤ ,接下來將對 y的取值作討論。 注意到xyz都是正整數,故得7 17 4 y≤ ,因此y≤ 。9 當y = 時,1 x+2z≤18。由算幾不等式知 2 2 9 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 9 1 40 2 2 xz ≤ = , 即xz 的最大值為40,故此時 xyz的最大值為40,且會發生在x=8、z =5; 當y= 時,2 x+2z≤16。由算幾不等式知 2 2 8 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 8 32 2 xz ≤ = , 即xz 的最大值為32,故此時 xyz的最大值為64,且會發生在x=8、z =4;

(11)

y = 時,3 x+2z≤14。由算幾不等式知 2 2 7 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 7 1 24 2 2 xz ≤ = , 即xz 的最大值為24,故此時 xyz的最大值為72,且會發生在x=6、z = ;4 當y= 時,4 x+2z≤13。由算幾不等式知 2 2 13 2 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 13 1 21 8 8 xz ≤ = , 即 xz 的最大值為 21,故此時 xyz 的最大值為 84,且會發生在x= 、7 z = ; 3 當y= 時,5 x+2z≤11。由算幾不等式知 2 2 11 2 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 11 1 15 8 8 xz≤ = , 即 xz 的最大值為 15,故此時 xyz 的最大值為 75,且會發生在x= 、5 z = ; 3 當y= 時,6 x+2z≤9。由算幾不等式知 2 2 9 2 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 9 1 10 8 8 xz ≤ = , 即 xz 的最大值為 10,故此時 xyz 的最大值為 60,且會發生在x= 、5 z = ; 2 當y= 時,7 x+2z≤7。由算幾不等式知 2 2 7 2 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 7 1 6 8 8 xz ≤ = , 即 xz 的最大值為 6,故此時 xyz 的最大值為 42,且會發生在x= 、3 z= ; 2 當y= 時,8 x+2z≤6。由算幾不等式知 2 2 3 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 3 1 4 2 2 xz≤ = ,即 xz 的最大值為 4,故此時 xyz 的最大值為 32,且會發生在x= 、2 z = ; 2 當y= 時,9 x+2z≤4。由算幾不等式知 2 2 2 2 x z xz ≤ + ≤ ,因此 2 2 2 2 xz≤ = ,即 xz 的最大值為 2,故此時 xyz 的最大值為 18,且會發生在x= 、2 z = 。 1 綜上所述,小芳購買的服飾最多能作出 84 種不同的搭配,此會發生在買 4 件裙 子、7 件上衣、3 雙鞋子時。 【參考解法 2】 設小芳買了 x 件上衣、y 條裙子、z 雙鞋子,則 40x+70y+80z≤800,在此不等 式下求 xyz 的最大值。 由算幾不等式知3 40 70 80 3 224000 40 70 80 800 3 3 x y z x× y× z = xyz ≤ + + = ,等式兩 邊都同時三次方可得 224000 512000000 27 xyz≤ , 512000000 84127 27 224000 189 xyz≤ = × ,故 xyz 的最大值為 84,且會發生在x= 、7 y= 、4 z= 。 3 答案:084 【注】本題的背景是加權的均值不等式。

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參考文獻

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