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2016 初中組第一輪檢測試題詳解
1. 請問代數式 2 2 2 ( 20)− +16 −15 的值是多少？ （A） 19− （B）11 （C）21 （D）51 （E）61 【參考解法】 2 2 2 ( 20)− +16 −15 =20 256 225 51+ − = 。因此選(D)。 答案：（D） 2. 以下表格是某班級的數學期中考試得分統計表，請問該班學生數學期中考試 的得分總和為多少分？ 數學期中考試得分統計表 人數 最高分 最低分 平均分 42 100 16 84.5 （A）672 （B）3528 （C）3549 （D）4200 （E）4872 【參考解法】 該班學生數學期中考試的得分總和為84.5 42 3549× = 分。故選(C)。 答案：（C） 3. 將一個不是 24 的倍數之三位數除以 24，所得的商是 a、餘數是 b。請問 a+b 的最小值是多少？ （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9 【參考解法】 由於100 4 24 4= × + ，所以當被除數變大時，商a≥4。若a=4，則可判斷出餘數 4 b≥ ，因此a+ ≥b 8；而若a≥5，則由此數不是 24 的倍數知b≥1，故可得知 6 a+ ≥b 。若取此三位數為 121 時，有a= 、5 b= 且1 a+ =b 6。故選(B)。 答案：（B） 4. 在梯形 ABCD 中，已知 AB//CD，點 E、F 分別在邊 AD、BC 上，且 EF//AB， 如下圖所示。若三角形 BAF、CDF、BCE 的面積分別為 8 cm2、7 cm2、18 cm2， 請問梯形 ABCD 的面積是多少 cm2？ （A）30 （B）32 （C）33 （D）35 （E）36 B A F E D C【參考解法】
由 EF//AB 知三角形 BAE 的面積與三角形 BAF 的面積相同；由 EF//CD 知三角形
CDE 的面積與三角形 CDF 的面積相同，所以梯形 ABCD 的面積=三角形 BAE 的
面積+三角形 CDE 的面積+三角形 BCE 的面積=8 7 18 33+ + = cm2。故選(C)。 答案：（C） 5. 已知負數 x 滿足方程|x− =3 | | 3 | 1x + ，請問 x 的值是多少？ （A） 2− （B） 1− （C） 2 3 − （D） 1 2 − （E） 1 4 − 【參考解法】 由於 x 是負數，所以x− < 、33 0 x< ，原方程可化為0 3− = − +x 3x 1，解得x= −1。 故選(B)。 答案：（B） 6. 小李從家中騎自行車去學校，已知自行車的車輪半徑為 25 cm，車輪每分鐘 轉 160 圈。假如從家中以此勻速騎到學校共費時 10 分鐘，請問學校到小李 家的距離最接近下面哪一項？ （A）1 km （B）1.5 km （C）1.8 km （D）2 km （E）2.5 km 【參考解法】 由於題目求的是大約的距離，可取
π
=3.14。自行車的車輪轉一圈，自行車約前 進2 3.14 25 157× × = cm，故學校到家的距離大約為157 160 10× × =251200cm，即 為 2512m，約 2.5 km。故選(E)。 答案：（E） 7. 請問數碼中至少有一個是 3 的倍數的二位數總共有多少個？ （A）48 （B）54 （C）60 （D）66 （E）80 【參考解法 1】 若十位數碼是 3、6、9 之一，這樣的二位數顯然滿足條件，共有 30 個； 若十位數碼是 1、2、4、5、7、8 之一，則個位數碼為 0、3、6、9 之一，這樣 的二位數共有 6×4=24 個。 故滿足題目條件的二位數總共有30 24 54+ = 個。故選(B)。 【參考解法 2】 可判斷出不滿足條件的二位數之二個數碼都是 1、2、4、5、7、8 之一，這樣的 二位數共有 6 6 36× = 個，而所有的二位數共有 90 個，因此滿足題目條件的二位 數總共有90 36 54− = 個。故選(B)。 答案：（B）8. 下圖為某商品在 2014 年與 2015 年各季度的銷量折線圖，請問 2015 年的總 銷量比 2014 年的總銷量多幾件？ （A）23 （B）48 （C）85 （D）90 （E）110 【參考解法 1】 2015 年總銷量為157+235+270+205=867件、2014 年總銷量為134 210 233+ + 180 757 + = 件，即 2015 年總銷量比 2014 年總銷量多867 757 110− = 件。故選(E)。 【參考解法 2】 2015 年第一季度銷量比 2014 年第一季度銷量多157 134− =23件、第二季度多 235−210=25件、第三季度多 270 233 37− = 件、第四季度多 205 180 25− = 件。 所以 2015 年總銷量比 2014 年總銷量總共多 23 25 37 25 110+ + + = 件。故選(E)。 答案：（E） 9. 等邊三角形△ABC 中，已知 BD=CD、BD⊥CD、 BE⊥ AC，而 BE 與 CD 交於點 F，如下圖所示。請問 CFE∠ 的大小為多少度？ （A） 75° （B） 70° （C） 65° （D） 60° （E）55° 【參考解法】 由 BD CD= 、BD⊥CD可以得知 180 90 45 2 BCD ° − ° ∠ = = °。又由△ABC 是等邊三 角形可以得知∠BCA= °60 ，故∠DCA= ° − ° = °，最後由 BE AC60 45 15 ⊥ ，因此知 90 15 75 CFE ∠ = ° − ° = °。故選(A)。 答案：（A） 10. 請問將 36 表示成兩個質數的和使得第一個質數大於第二個質數之方法共有 多少種？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 B A F E D C 第一季 商品銷量圖 第二季 第三季 第四季 2014 2015 銷 量 單位：件 50 100 150 200 250 300 134 180 233 210 157 205 270 235
【參考解法】 考慮較大的質數，它只能在 18 到 35 之間，而 18 到 35 之間的質數只有 19、23、 29、31，而用 36 減這些數分別可得 17、13、7、5，它們正好都是質數，故知共 有 4 種表示方法。故選(D)。 答案：（D） 11. 某班級的所有學生都參加了數學或英語研究社，其中有三分之一的學生兩個 研究社都參加了，參加英語研究社的有 22 人，比參加數學研究社的少 4 人， 請問這個班級總共有多少名學生？ （A）12 （B）18 （C）24 （D）30 （E）36 【參考解法 1】 由題意可得，參加數學研究社的學生有 22 4 26+ = 名。有三分之一的學生兩個研 究社都參加，所以參加數學研究社與英語研究社的總人數等於全班人數的三分 之四，故這個班級總共有(22 26) 4 36 3 + ÷ = 名學生。故選(E)。 【參考解法 2】 由題意可得，參加數學研究社的學生有 22 4 26+ = 名。 設兩個研究社都參加的學生有 x 名，則這個班級共有 3x 名，因此有 22+26− =x 3x 解得x=12。所以這個班級總共有12 3 36× = 名學生。故選(E)。 答案：（E） 12. 有一組數的平均值等於 5，有另外一組數的個數是這一組數的兩倍且其平均 值等於 11。若將這兩組數合併，請問它們的總平均值等於多少？ （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 （E）10 【參考解法 1】 第二組數的個數是第一組數的兩倍，不妨設第二組有 2 個數、第一組有 1 個數， 可知它們的總平均值等於5 11 2 9 1 2 + × = + 。故選(D)。 【參考解法 2】 設第一組有 k 個數，則第二組有 2k 個數。可知第一組所有數之和為 5k，而第二 組所有數之和為11 2× k =22k，因此知所有數的平均值為5 22 9 2 k k k k + = + 。故選(D)。 答案：（D） 13. 已知 x− +1 1− + =x y 2016，請問x 之值等於多少？ y （A）2015 （B）2016 （C） 1 2016 （D）1 （E）0 【參考解法】 由於 x− 與 1 x1 − 都有意義，所以x− 、1 x1 − 都是非負數，而它們互為相反數， 故x− = − =1 1 x 0，即x=1，代入原式解得y =2016，即xy =12016 = 。故選(D)。 1 答案：（D）
14. 甲、乙兩人都是每星期去 3 或 4 次健身房。恰經過n 個星期之後，甲總共去 了 57 次健身房，乙總共去了 47 次健身房。請問 n 的值是多少？ （A）15 （B）16 （C）17 （D）18 （E）19 【參考解法】 由條件知 3n≤47且 4n≥57，解得141 152 4 ≤ ≤n 3。由於 n 是正整數，所以n= 。15 故選(A)。 答案：（A） 15. 線段AB 上有一點 D，且AD= 、1 BD= ，請問平面上使得△ACD 與△BCD2 都是等腰三角形的點 C 總共有多少個？ （A）2 （B）4 （C）5 （D）6 （E）8 【參考解法】 注意到∠ADC與∠BDC互補，它們之間必然有一個不是銳角，即必然有一個是等 腰三角形的頂角。若∠BDC是頂角，則DC=2，由三角形的兩邊和大於第三邊、 兩邊差小於第三邊知1<AC<3，故只能AC =DC= ，這樣可能的點有兩個 (圖2 中的C1、C2點)；若∠ADC是頂角，則DC=1，由三角形的兩邊和大於第三邊、 兩邊差小於第三邊知1<BC<3，故只能BC= DB= ，這樣可能的點也有兩個(圖2 中的C3、C4點)。因此總共有 4 個滿足條件的點。故選(B)。 答案：（B） 16. 在一個5 5× 的方格紙上沿著格線剪下兩個 2 4× 的矩形，請問總共有多少種不 同的剪法？ （A）6 （B）9 （C）12 （D）18 （E）24 Īણ҂ྋڱī 顯然兩個矩形必須同時為 2 4× 的矩形或同時為 4 2× 的矩形。先考慮同時為 2 4× 的矩形。當第一個 2 4× 的矩形位於由上往下數第 1、2 列時，另一個 2 4× 的矩形 可以位於第 3、4 列或第 4、5 列；當第一個 2 4× 的矩形位於由上往下數第 2、3 列時，另一個 2 4× 的矩形只能位於第 4、5 列，故有 3 種不同的佔據列的方式。 B A D 1 C 4 C 3 C 2 C
當佔據列的方式已確定時，每個矩形都有 2 個不同的位置，故有3 2 2 12× × = 種 剪法。由對稱性知 4 2× 的矩形時也有 12 種剪法，所以總共有12 12 24+ = 種剪法。 故選(E)。 答案：（E） 17. 已知有一個正數a比它的倒數大 5，請問 2 2 (a −1) −125a的值是什麼？ （A）5 （B）25 （C）125 （D）1 21 2 + （E）5 21 【參考解法】 由題意知a 1 5 a − = ，再由 a不為 0 知 2 1 5 a − = a，即a2 −5a = 。因此 1 2 2 2 2 (a −1) −125a=(5 )a −125a=25(a −5 )a =25。 故選(B)。 答案：（B） 18. 平行四邊形ABCD的周長為 36 cm，分別以 A、B、C、D為圓心，作半徑為 2 cm 的圓，然後再分別作每兩個相鄰的圓在平行四邊形外部的外公切線， 四條公切線與外側的圓弧圍成一個封閉圖形，如下圖所示。請問這個封閉圖 形的面積之最大可能值為多少 cm2？ （A）117 4+
π
（B）144+4π
（C）153 4+π
（D）144 12+π
（E）153 12+π
【參考解法】 由四個圓心A、B、C、D分別與其所在之圓的兩個切點連接，如下圖所示。此 時封閉圖形可分成原來的平行四邊形、四個矩形與四個扇形。因每一個圓的圓 心所在之角都恰為二個矩形的直角、原平行四邊形的一個內角與一個扇形的圓 心角，所以可得知這四個扇形的圓心角分別等於平行四邊形內角的補角，再由 四邊形內角和為360°知四個扇形面積之總和恰等於一個圓的面積，即 4π
cm2； 四個矩形的面積之和恰等於圓形半徑乘以平行四邊形周長，即2 36 72× = cm2；當 平行四邊形的周長固定時，它的面積之最大值會發生在此平行四邊形恰為正方 形，其值為 2 36 81 4 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ cm 2，故所求最大值為 4π
+72 81 153 4+ = +π
cm2。故選(C)。 B A D C答案：（C） 19. 一個正整數恰有 12 個正因數，且它與(20163 −2016)互質。請問滿足上述條 件的最小正整數是什麼？ （A）7007 （B）9163 （C）26741 （D）39083 （E）52877 【參考解法】 3 2 5 2 2016 −2016=2016 (2016× − =1) 2015 2016 2017× × =2 × × × × × ×3 5 7 13 31 2017 所以滿足條件的正整數之質因數只能是 11、17、19、…、29、37、…、2011、 2027、…。此正整數恰有 12 個正因數，故知此數之形式必為p11、 5 p q、 3 2 p q 或 2 p qr，其中p、q、r為相異的質數。可知前三種形式都會超過10 ，而最後一種5 形式的最小值是 2 5 11 × ×17 19=39083 10< 。故選(D)。 答案：（D） 20. 在平面上畫五條直線，請問最多能構成多少個直角三角形？ （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8 【參考解法】 設這五條直線為a、b、c、d、e。若兩條直線互相垂直，則固定這兩條直線，第 三條直線在剩餘 3 條中任選一條，最多可以得到 3 個直角三角形。因此，若圖 中只有 1 組或 2 組直線互相垂直，則最多只能有 6 個直角三角形。若圖中有至 少 3 組直線互相垂直，則必然有兩條直線a、b垂直於同一條直線，故 a、b互 相平行，這樣a與c、d、e中任兩條直線可能構成一個三角形，最多共 3 個三角 形；b與 c、d、e中任兩條直線可能構成一個三角形，最多共 3 個三角形；c、d、 e 可能構成一個三角形。故圖中最多有3 3 1 7+ + = 個三角形，因而最多有 7 個直 角三角形。下圖即為構成 7 個直角三角形的例子。故選(D)。 答案：（D） B A D C
21. 每件商品都有一個 13 位數碼的國際商品條碼：ABCDEFGHIJKLM，其中最 後一位數碼M是檢查碼，它的生成方式如下： 令S = +A 3B+ +C 3D+ +E 3F + +G 3H + +I 3J + +K 3L，若 S除以 10 所得 的餘數為 0，則M = ；若0 S除以 10 所得的餘數為t≠ ，則0 M =10− 。 t 現有一個國際商品條碼為 6901020□09017，請問「□」內的數碼是什麼？ 【參考解法】 由題意可得， 6 3 9 0 3 1 0 3 2 0 3 0 3 9 0 3 1 72 3 S = + × + + × + + × + + × + + × + + × =□ + ×□， 已知M =7，故 72 3+ ×□除以 10 所得的餘數為10 7 3− = ，即3×□的個位數碼 為1，所以□=7。 答案：007 【評註】 國際商品條碼的設計使得A+3B+ +C 3D+ +E 3F + +G 3H + +I 3J + +K 3L+M 可被10 整除。 22. 請問能表示成三個不同正整數的立方和的三位數之最大值是什麼？ 【參考解法】 因 3 10 =1000，故可判斷出題目的意思實際上是在13 =1、23 =8、33 =27、43 =64、 3 5 =125、63 =216、73 =343、83 =512、93 =729中選取三個不同的數，使得它 們的和小於1000 且儘量接近1000。 若不選 3 8 與 3 9 ，那麼三個數之和最大是 3 3 3 5 +6 +7 =684； 若選 3 9，則不能選83與73，在選取63的情況下，此時所得的和為729 216 945+ = ， 故知接下來最大可選 3 3 ，總和為972；在不選取63的情況下，此時所得的三個數 之和最大為 3 3 3 4 +5 +9 =918； 若選 3 8 ，因63 +73 +83 =1071 1000> ，故三個數的和最大為53 +73 +83 =980。 綜上，所求三位數之最大值為980。 答案：980 23. 在四邊形 ABCD 中，已知∠CDA=150°、 DAB∠ 的平分線與 BC 垂直、 ABC∠
的平分線與 CD 垂直，如下圖所示。請問∠BCD的大小是多少度？ B A D C X Y O
【參考解法1】
令 DAB∠ 的平分線與 BC 之垂足為點 X、 ABC∠ 的平分線與 CD 之垂足為點 Y， 且令 AX 與 BY 之交點為 O。
由∠BCD+ ∠XOY =180°知 1( ) 2
BCD XOB DAB ABC
∠ = ∠ = ∠ + ∠ ，
即∠DAB+ ∠ABC = ∠2 BCD。
由四邊形內角和知360° =∠DAB+ ∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDA= ∠3 BCD+150°，可解 得∠BCD= °70 。
【參考解法2】
設∠ABC= °2x ，由∠ABC的平分線與CD 垂直知∠BCD= ° − °90 x 、由 DAB∠ 的平
分線與BC垂直知∠DAB= 2(90° −2x° 。再由四邊形內角和為) 360°知 360° =150° +2x° + ° − ° +90 x 2(90° −2x° ，化簡得3) x° =60°，即可解得x=20，因 此∠BCD= ° − ° = °90 20 70 。 答案：070 24. 已知a、b是滿足a2 =b b( +1)與b2 = +a 1的正實數，請問1 1 a+b的值是什麼？ 【參考解法】 由 2 1 b = +a 知a =b2 − ，故再由1 a2 =b b( +1)知a b( 2 − =1) b b( +1)，即 (a b− = ，1) b 因此ab= +a b，等式兩邊同除以ab，得1 1 a b 1 a b ab + + = = 。 答案：001 25. 上衣之售價為 40 元一件、裙子之售價為 70 元一條、鞋子之售價為 80 元一 雙。小芳有 800元，每種服飾她都至少買一件。若將一件上衣，一條裙子與 一雙鞋子稱作一種搭配，兩種搭配裡只要有一項服飾不是同一件，就稱作不 同的搭配。請問小芳購買的服飾最多能作出多少種不同的搭配？ 【參考解法1】 設小芳買了x 件上衣、y條裙子、z 雙鞋子，則 40x+70y+80z≤800，在此不等 式下求xyz的最大值。 先將不等式兩邊除以40，可得 7 2 20 4 x+ y+ z≤ ，接下來將對 y的取值作討論。 注意到x、y、z都是正整數，故得7 17 4 y≤ ，因此y≤ 。9 當y = 時，1 x+2z≤18。由算幾不等式知 2 2 9 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 9 1 40 2 2 xz ≤ = ， 即xz 的最大值為40，故此時 xyz的最大值為40，且會發生在x=8、z =5； 當y= 時，2 x+2z≤16。由算幾不等式知 2 2 8 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 8 32 2 xz ≤ = ， 即xz 的最大值為32，故此時 xyz的最大值為64，且會發生在x=8、z =4；
當y = 時，3 x+2z≤14。由算幾不等式知 2 2 7 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 7 1 24 2 2 xz ≤ = ， 即xz 的最大值為24，故此時 xyz的最大值為72，且會發生在x=6、z = ；4 當y= 時，4 x+2z≤13。由算幾不等式知 2 2 13 2 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 13 1 21 8 8 xz ≤ = ， 即 xz 的最大值為 21，故此時 xyz 的最大值為 84，且會發生在x= 、7 z = ； 3 當y= 時，5 x+2z≤11。由算幾不等式知 2 2 11 2 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 11 1 15 8 8 xz≤ = ， 即 xz 的最大值為 15，故此時 xyz 的最大值為 75，且會發生在x= 、5 z = ； 3 當y= 時，6 x+2z≤9。由算幾不等式知 2 2 9 2 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 9 1 10 8 8 xz ≤ = ， 即 xz 的最大值為 10，故此時 xyz 的最大值為 60，且會發生在x= 、5 z = ； 2 當y= 時，7 x+2z≤7。由算幾不等式知 2 2 7 2 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 7 1 6 8 8 xz ≤ = ， 即 xz 的最大值為 6，故此時 xyz 的最大值為 42，且會發生在x= 、3 z= ； 2 當y= 時，8 x+2z≤6。由算幾不等式知 2 2 3 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 3 1 4 2 2 xz≤ = ，即 xz 的最大值為 4，故此時 xyz 的最大值為 32，且會發生在x= 、2 z = ； 2 當y= 時，9 x+2z≤4。由算幾不等式知 2 2 2 2 x z xz ≤ + ≤ ，因此 2 2 2 2 xz≤ = ，即 xz 的最大值為 2，故此時 xyz 的最大值為 18，且會發生在x= 、2 z = 。 1 綜上所述，小芳購買的服飾最多能作出 84 種不同的搭配，此會發生在買 4 件裙 子、7 件上衣、3 雙鞋子時。 【參考解法 2】 設小芳買了 x 件上衣、y 條裙子、z 雙鞋子，則 40x+70y+80z≤800，在此不等 式下求 xyz 的最大值。 由算幾不等式知3 40 70 80 3 224000 40 70 80 800 3 3 x y z x× y× z = xyz ≤ + + = ，等式兩 邊都同時三次方可得 224000 512000000 27 xyz≤ ， 512000000 84127 27 224000 189 xyz≤ = × ，故 xyz 的最大值為 84，且會發生在x= 、7 y= 、4 z= 。 3 答案：084 【注】本題的背景是加權的均值不等式。
