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2014 初中組第一輪檢測試題詳解
1. 請問代數式2014 1− 204 + −( 2014)2 的值等於什麼？ （A）1 （B）−1 （C）−2087 （D）4027 （E）4029 【參考解法】 原式=2014 1 2014− + =4027。故選(D)。 答：（D） 2. 一把圓規的價格是15.40 元，一把直尺的價格是8.65元，請問一把圓規比一 把直尺貴多少錢？ （A）7.25元 （B）7.75元 （C）24.05 元 （D）6.25元 （E）6.75元 【參考解法】 一把圓規比一把直尺貴15.40 8.65− =6.75元。故選(E)。 答：（E） 3. 在下面兩個標有「☆」的方格內填入相同的數，使得第二列的三個數之和是 第一列的三個數之和的兩倍。請問標有「☆」的方格內填入的數是什麼？ 5 6 ☆ ☆ 19 20 （A）7 （B）8 （C）13 （D）17 （E）18 【參考解法】 第二列的三個數之和是第一列的三個數之和的兩倍，故第二列與第一列的差等 於第一列的三個數之和，而第二列與第一列的差是19 + 20－5－6 = 28，所以可 以得知☆ = 28－5－6 = 17。故選(D)。 答：（D） 4. 在某餐館內，購買一杯紅茶和兩杯咖啡需 78 元，購買三杯紅茶與一杯咖啡 需94 元，請問一杯咖啡比一杯紅茶貴幾元？ （A）2 （B）4 （C）6 （D）10 （E）12 【參考解法】 由題設知購買六杯紅茶與二杯咖啡需要94 × 2 = 188元，因此購買五杯紅茶需要 188－78 = 110元，即每杯紅茶22元，又可知每杯咖啡94－22 × 3 = 28元，故咖 啡比紅茶貴28－22 = 6元。故選(C)。 答：（C） 5. 若甲數除以 5 餘 2，乙數除以 5 餘4，請問甲、乙兩數之和除以 5 的餘數是 什麼？ （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4 【參考解法】 將甲、乙兩數餘數之和2 + 4 = 6 繼續除以5，可得其餘數為 1。故選(B)。 答：（B）6. 把一個圓形轉盤平均分成 8 份，依下圖方式分別塗上紅色、 黑色、白色、黃色。隨意轉動轉盤，請問停止後指標停在黑 色區域的概率是什麼？ （A）3 4 （B） 1 4 （C） 3 8 （D） 1 8 （E） 1 2 【參考解法】 8 份中有2 份是黑色，故指標停在黑色區域的概率為2 1 8 = 4 。故選(B)。 答：（B） 7. 小羅從家裏到朋友家去參加生日派對，最快的方式是乘坐公車然後轉地鐵， 已知從家裏到最近的大南地鐵站需要乘坐公車 15 分鐘，然後從大南站到仁 和站需要乘坐 20 個站，每個站平均需要 2.5 分鐘，中途要轉乘 2 次，每次 轉乘平均需要 3 分鐘，不計出入地鐵站的時間，從仁和站出去還需要步行 12分鐘才能到朋友家。請問小羅去朋友的家共需費時多少分鐘？ （A）55 （B）67 （C）80 （D）83 （E）90 【參考解法】 根據題意，小羅去朋友的家共費時 15 + 2.5 × 20 + 3 × 2 + 12 = 83分鐘。故選(D)。 答：（D） 8. 桌面上有一串項鍊，項鍊上均勻分佈著 12 個小珠子，其中有三個小珠子是 黑色的，其它的珠子都是白色的、如下圖所示： 如果只允許項鍊在桌面上旋轉而不可以翻轉，請問下列哪一項不能得到？ （A） （B） （C） （D） （E） 【參考解法】 觀察白色小珠子的排列方式，按逆時針方向，兩個黑色小珠子之間分別有：4 個 相連的白色小珠子，接著是2 個相連的白色小珠子，然後是3 個相連的白色小 珠子。在五個選項中只有選項(E)不符合這種排列方式。故選(E)。 答：（E） 大南站 仁和站 黑 黑 紅 紅 白 白 白 黃
9. 若實數 a、x、y 滿足 2y−12 + ax− =y 0，請問代數式 axy 的值等於什麼？ （A）0 （B）6 （C）12 （D）36 （E）不能確定 【參考解法】 左邊的兩項都是非負數，故兩項均為 0，因此2y− =12 0、ax− =y 0，故 ax = y = 6，因此 axy = 36。故選(D)。 答：（D） 10. 請問滿足 2a+ +7 2a− =1 8的整數a 有多少個？ （A）9 （B）8 （C）5 （D）4 （E）無窮多 【參考解法】 題述等式的左邊等於數軸上表示2a的點到表示−7和1的兩點距離之和，而−7與 1 的距離恰為8，故表示2a的點應在表示−7和表示1 的兩點之間，即− ≤7 2a≤1， 解得 7 1 2 a 2 − ≤ ≤ 。由於 a 是整數，故 a 的取值為 3− 、−2、−1、0 共 4 個。故選 (D)。 答：（D） 11. 設質數 a、b 滿足 2 7 4 0 a − b− = ，請問 a + b 的值等於什麼？ （A）5 （B）8 （C）9 （D）10 （E）13 【參考解法 1】 a = 3 顯然不滿足題目條件，故 a 不是 3 的倍數，因此a 被 3 除餘 1。由於 4 也2 被 3 除餘 1，所以 7b 被 3 整除，故 b 是 3 的倍數，即 b = 3，因此 a = 5，a + b = 8。故選(B)。 【參考解法 2】 將方程變形為 (a−2)(a+ =2) 7b，顯然 a = 2、3 不符合題意，因此左邊的兩個因 數均大於 1，由於右邊是兩個質數的乘積，所以左邊的兩個因數應分別等於這兩 個質數。若a− =2 b、a+ =2 7，解得 a = 5、b = 3，符合題意，此時 a + b = 8； 若a− =2 7、a+ =2 b，解得 a = 9、b = 11，不合題意。因此 a + b = 8。故選(B)。 答：（B） 12. 如下圖所示，將一紙條摺疊，摺痕為 AB，如果∠ACB= °60 ，摺疊後重疊部 分的三角形 ABC 面積為 3 cm2，請問這張紙條的寬為多少 cm？ （A）1 （B） 3 （C） 3 2 （D） 2 3 3 （E）不能確定 A B C
【參考解法】 由摺紙的方式及內錯角相等可知 180 60 60 2 CAB CBA ° − ° ∠ = ∠ = = °，故三角形 ABC 是等邊三角形。設 AC = x，則三角形的高為 3 2 x ，面積為 2 3 4 x ，故 2 3 3 4 x = ，解得 x = 2，因此紙條的寬（即三角形 ABC 的高）為 3 2 3 2 × = cm。 故選(B)。 答：（B） 13. 平面上 ABCD 是一個邊長為 10 cm 的正方 形，BC 邊固定不動，將 AD 邊移至A D′ ′的 位置，並且在移動過程中AB、CD 和AD邊 的長度恒不改變。已知A D′ ′與 CD的交點G 為 CD邊的中點，如下圖所示。請問在移動 過程中AD邊掃過的面積（即圖中陰影部份） 為多少 cm2？（π 取 3.14） （A）50 （B）50 3 π （C）60 （D）100 （E）100 3 π 【參考解法】 連AA′與 D′D，通過割補方法可知 AD邊掃過的面積 等於平行四邊形AA′D′D的面積，而平行四邊形 AA′D′D的底邊 AD長為10 cm，高GD 長為5 cm， 所以面積為10 × 5 = 50 cm2。故選(A)。 答：（A） 14. 以等邊三角形ABC的一邊為斜邊作等腰直角三 角形 BCD，再以等腰直角三角形的一條直角邊 BD作等邊三角形，不斷地重複此過程，如下圖 所示。如果第一個等邊三角形ABC的面積為80 cm2， 請 問 第 四 個 等 邊 三 角 形 的 面 積 是 多 少 cm2？ （A）1.25 （B）5 （C）6.4 （D）10 （E）40 【參考解法】 畢氏定理知，每個等邊三角形的邊長都是前一個的 2 2 倍，故面積是前一個的一 半，因此第四個等邊三角形的面積是 1 3 80 ( ) 10 2 × = cm2。故選(D)。 答：（D） A B C D G A′ D′ A B C D G A′ D′ A B C D
15. 用 100 元購買面值分別為 4 元、8 元、10 元的三種郵票共 18 張，每種郵票 至少買一張，請問共有多少種不同的購買方法？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 【參考解法】 設購買 8 元的郵票 x 張，10 元的郵票 y 張，則 4 元的郵票購買了18− −x y張， 由題意得8x+10y+4(18− −x y) 100= ，化簡得2x+3y=14，注意到 x、y都是正 整數，故僅有x = 4、y = 2 和x = 1、y = 4兩組解，這兩組解都滿足18− −x y是 正整數，故有2 種不同的購買方法。故選(B)。 答：（B） 16. 扇形 BMA 與扇形 CDM 在邊長為 10 cm 的正方形內，並且只有一個公共點 M，如下圖所示。請問這兩個扇形的面積之和為多少cm2？ （π 取3.14，結果精確到小數點後1 位） （A）52.3 （B）78.5 （C）104.7 （D）157.0 （E）314.0 【參考解法】 由題意可知△BCM 是等邊三角形，所以∠ABM =∠MCD =30°。 這兩個扇形的面積之和為 2 30 3.14 10 2 52.3 360 × × × ≈ cm2。故選(A)。 答：（A） 17. 三個互不相同的正整數m、n、p滿足(m−3)(n−3)(p− =3) 4，請問m + n + p 的值等於什麼？ （A）5 （B）6 （C）8 （D）14 （E）15 【參考解法】 由題意，m−3、n−3、p−3是三個互不相同的整數，且乘積為4。首先由乘積 為正數知三個整數必然都是正數或者一正數兩負數。若三個整數都是正數，則 乘積至少為1 × 2 × 3 = 6，不合題意；若為一正數兩負數，則不妨設m− <3 0、 3 0 n− < 、p− >3 0，由於比 3小的正整數只有 1和 2，所以 m、n 必分別為1 和 2，解得 p = 5，三者之和為 8。故選(C)。 答：（C） A B C D M
18. 設x< <y 0、x2 + y2 =4xy，請問 x y x y + − 的值等於什麼？ （A） 3 （B）− 3 （C）3 （D） 6 （E）− 6 【參考解法】 由x< <y 0知x+ y、x− y都是負數，故x y 0 x+ >− y ，又 2 2 2 2 2 2 6 ( ) 3 2 2 x y x y xy xy x y x y xy xy + = + + = = − + − ， 故x y 3 x+ =−y 。故選(A)。 答：（A） 19. 四條線段的長分別為 x、12、6、3（其中 x 為正實數），用它們拼出兩個直角 三角形，且 AB 與 CD 是其中的兩條線段，如下圖所示。請問 x 的可取值的 個數為多少個？ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6 【參考解法】 顯然 AB 是四條線段中最長的，故 AB = 12 或 AB = x： (1) 若 AB = 12： 當 CD = x 時，122 =x2 + +(3 6)2，x=3 7； 當 CD = 6時， 2 2 2 12 = + +6 (3 x) ，x=6 3−3； 當 CD = 3時，122 = + +32 (6 x)2，x=3 15−6。 (2) 若 AB = x： 當 CD = 12時， 2 2 2 12 (6 3) x = + + ，x=15； 當 CD = 6時， 2 2 2 6 (12 3) x = + + ，x=3 29； 當 CD = 3時，x2 = +32 (12+6)2，x=3 37。 故 x 可取值的個數為6 個。故選(E)。 答：（E） 20. 對於實數 x，用[x]表示不大於 x 的最大整數，例如[ ] 3π = 、[− = −π] 4。現已 知 100 1 n n = ，其中 n 為正整數，請問 n 共有多少個可能的取值？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 A C B O D
【參考解法】 由於 100 10= ，易知 100 n n 隨著正整數 n 的增大而減少，故嘗試計算 n 取 11、 10、9、8、7、6 發現只有 10、9、8 符合題意，故共有 3 個可能取值。故選(C)。 答：（C） 【注】 當 m、n 為正整數時有 x x m mn n = ，故此題等價於 1002 1 n = ，即得 2 100 1 2 n ≤ < ，解得 n = 8、9、10。 21. 在三角形ABC中，AB = BC < AC，AH 是BC邊上的高，AD 是BC邊上的 角平分線，如下圖所示。若∠DAH = 21°，請問∠BAC等於多少度？ 【參考解法】 設∠BAC =α。 由AB = BC知∠ = ∠C BAC =α ， 由AD是 BC邊上的角平分線知 1 2 2 DAC BAC α ∠ = ∠ = 。 在直角三角形 ACH 中，兩個銳角互餘，故 21 90 2 α α + + ° = °，解得α = °46 。 答：046 22. 在所有的四位數中，請問能同時被 2、3、4、5、6、7、8 整除的整數有多少 個？ 【參考解法】 2、3、4、5、6、7、8 的最小公倍數是 3 × 5 × 7 × 8 = 840，因此共有 840 × 2、840 × 3、840 × 4、…、840 × 11 這 10 個整數符合條件。 答：010 23. 甲乙丙丁四人各有一些蘋果，甲的蘋果數等於其餘三人蘋果數之和，乙的蘋 果數等於其餘三人蘋果數之和的一半，丙的蘋果數等於其餘三人蘋果數之和 的六分之一，請問甲、乙、丙三人的蘋果數之和是丁的蘋果數的幾倍？ A B H D C
【參考解法】 由題意知，甲的蘋果數占四人蘋果總數的 1 1 1 1+ = 2，乙的蘋果數占四人蘋果總數 的 1 1 1 2+ =3，丙的蘋果數占四人蘋果總數的 1 1 1 6+ =7，故丁的蘋果數占四人蘋果 總數的1 (1 1 1) 1 2 3 7 42 − + + = ，因此甲、乙、丙三人的蘋果數之和是丁的蘋果數的 42 1− =41倍。 答：041 24. 將31 分拆為3 個質數之和（不考慮順序，質數可以相同），請問共有多少種 不同的分拆方法？ 【參考解法】 設 a + b + c = 31 (a≤ ≤b c)，其中a、b、c都為質數，由3a≤31得a≤10，故a 只可能是2、3、5、7。 若a = 2，則b + c = 29，無解； 若a = 3，則b + c = 28，共有 2 個解：(b ,c) = (5, 23)、(11, 17)； 若a = 5，則b + c = 26，共有 2 個解：(b ,c) = (7, 19)、(13, 13)； 若a = 7，則b + c = 24，共有 2 個解：(b ,c) = (7, 17)、(11, 13)。 綜上所述，共有2 + 2 + 2 = 6 種不同的拆分方法。 答：006 25. 一個長方體的每條棱長都是整數 cm，將它放在桌面上，它露出的五個面的 面積之和（單位：cm2）與它的體積（單位：cm3）數值相同，請問這個長方 體的最小體積是多少 cm3？ 【參考解法】 設長方體的長、寬、高分別為x、y、z cm，則由題意得xy + 2yz + 2zx = xyz。 兩邊除以xyz得1 2 2 1 z + + =x y 。 若1 2 2 1 3 z = = =x y ，則 x = y = 6、z = 3，xyz = 108。 下設1 z 、 2 x、 2 y 不全等於 1 3，故一定有一個大於 1 3。 若1 1 3 z > ，則 z < 3，又由 1 1 z < 得 z > 1，故 z = 2，化簡得 1 1 1 4 x + =y ， 故(x, y) = (5, 20)、(6, 12)、(8, 8)、(12, 6)、(20, 5)，對應的 xyz = 200、144、128； 若2 1 3 x > （ 2 1 3 y > 同理），則 x < 6，又由 2 1 x < 得 x > 2，故 x = 3、4、5。 當 x = 3 時，1 2 2 3 z + =y ，解得(y, z) = (7, 21)、(8, 12)、(9, 9)、(12, 6)、(15, 5)、(24,
4)，對應的 xyz = 441、288、243、225、216； 當 x = 4 時，1 2 1 2 z + =y ，解得(y, z) = (5, 10)、(6, 6)、(8, 4)、(12, 3)，對應的 xyz = 200、144、128； 當 x = 5 時，1 2 3 5 z + =y ，解得(y, z) = (4, 10)、(5, 5)、(20, 2)，對應的 xyz = 200、 125。 綜上所述，長方體的最小體積是 108 cm3，當且僅當長和寬為 6 cm，高為 3 cm 時取到。 答：108 【注】 本題與均值不等式相關。
