2014IMAS國中組第一輪檢測中文試題詳解

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2014 初中組第一輪檢測試題詳解

1. 請問代數式2014 1− 204 + −( 2014)2 的值等於什麼? (A)1 (B)−1 (C)−2087 (D)4027 (E)4029 【參考解法】 原式=2014 1 2014− + =4027。故選(D)。 答:(D) 2. 一把圓規的價格是15.40 元,一把直尺的價格是8.65元,請問一把圓規比一 把直尺貴多少錢? (A)7.25元 (B)7.75元 (C)24.05 元 (D)6.25元 (E)6.75元 【參考解法】 一把圓規比一把直尺貴15.40 8.65− =6.75元。故選(E)。 答:(E) 3. 在下面兩個標有「☆」的方格內填入相同的數,使得第二列的三個數之和是 第一列的三個數之和的兩倍。請問標有「☆」的方格內填入的數是什麼? 5 6 ☆ ☆ 19 20 (A)7 (B)8 (C)13 (D)17 (E)18 【參考解法】 第二列的三個數之和是第一列的三個數之和的兩倍,故第二列與第一列的差等 於第一列的三個數之和,而第二列與第一列的差是19 + 20-5-6 = 28,所以可 以得知☆ = 28-5-6 = 17。故選(D)。 答:(D) 4. 在某餐館內,購買一杯紅茶和兩杯咖啡需 78 元,購買三杯紅茶與一杯咖啡 需94 元,請問一杯咖啡比一杯紅茶貴幾元? (A)2 (B)4 (C)6 (D)10 (E)12 【參考解法】 由題設知購買六杯紅茶與二杯咖啡需要94 × 2 = 188元,因此購買五杯紅茶需要 188-78 = 110元,即每杯紅茶22元,又可知每杯咖啡94-22 × 3 = 28元,故咖 啡比紅茶貴28-22 = 6元。故選(C)。 答:(C) 5. 若甲數除以 5 餘 2,乙數除以 5 餘4,請問甲、乙兩數之和除以 5 的餘數是 什麼? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 【參考解法】 將甲、乙兩數餘數之和2 + 4 = 6 繼續除以5,可得其餘數為 1。故選(B)。 答:(B)

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6. 把一個圓形轉盤平均分成 8 份,依下圖方式分別塗上紅色、 黑色、白色、黃色。隨意轉動轉盤,請問停止後指標停在黑 色區域的概率是什麼? (A)3 4 (B) 1 4 (C) 3 8 (D) 1 8 (E) 1 2 【參考解法】 8 份中有2 份是黑色,故指標停在黑色區域的概率為2 1 8 = 4 。故選(B)。 答:(B) 7. 小羅從家裏到朋友家去參加生日派對,最快的方式是乘坐公車然後轉地鐵, 已知從家裏到最近的大南地鐵站需要乘坐公車 15 分鐘,然後從大南站到仁 和站需要乘坐 20 個站,每個站平均需要 2.5 分鐘,中途要轉乘 2 次,每次 轉乘平均需要 3 分鐘,不計出入地鐵站的時間,從仁和站出去還需要步行 12分鐘才能到朋友家。請問小羅去朋友的家共需費時多少分鐘? (A)55 (B)67 (C)80 (D)83 (E)90 【參考解法】 根據題意,小羅去朋友的家共費時 15 + 2.5 × 20 + 3 × 2 + 12 = 83分鐘。故選(D)。 答:(D) 8. 桌面上有一串項鍊,項鍊上均勻分佈著 12 個小珠子,其中有三個小珠子是 黑色的,其它的珠子都是白色的、如下圖所示: 如果只允許項鍊在桌面上旋轉而不可以翻轉,請問下列哪一項不能得到? (A) (B) (C) (D) (E) 【參考解法】 觀察白色小珠子的排列方式,按逆時針方向,兩個黑色小珠子之間分別有:4 個 相連的白色小珠子,接著是2 個相連的白色小珠子,然後是3 個相連的白色小 珠子。在五個選項中只有選項(E)不符合這種排列方式。故選(E)。 答:(E) 大南站 仁和站 黑 黑 紅 紅 白 白 白 黃

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9. 若實數 a、x、y 滿足 2y−12 + ax− =y 0,請問代數式 axy 的值等於什麼? (A)0 (B)6 (C)12 (D)36 (E)不能確定 【參考解法】 左邊的兩項都是非負數,故兩項均為 0,因此2y− =12 0、ax− =y 0,故 ax = y = 6,因此 axy = 36。故選(D)。 答:(D) 10. 請問滿足 2a+ +7 2a− =1 8的整數a 有多少個? (A)9 (B)8 (C)5 (D)4 (E)無窮多 【參考解法】 題述等式的左邊等於數軸上表示2a的點到表示−7和1的兩點距離之和,而−7與 1 的距離恰為8,故表示2a的點應在表示−7和表示1 的兩點之間,即− ≤7 2a≤1, 解得 7 1 2 a 2 − ≤ ≤ 。由於 a 是整數,故 a 的取值為 3− 、−2、−1、0 共 4 個。故選 (D)。 答:(D) 11. 設質數 a、b 滿足 2 7 4 0 ab− = ,請問 a + b 的值等於什麼? (A)5 (B)8 (C)9 (D)10 (E)13 【參考解法 1】 a = 3 顯然不滿足題目條件,故 a 不是 3 的倍數,因此a 被 3 除餘 1。由於 4 也2 被 3 除餘 1,所以 7b 被 3 整除,故 b 是 3 的倍數,即 b = 3,因此 a = 5,a + b = 8。故選(B)。 【參考解法 2】 將方程變形為 (a−2)(a+ =2) 7b,顯然 a = 2、3 不符合題意,因此左邊的兩個因 數均大於 1,由於右邊是兩個質數的乘積,所以左邊的兩個因數應分別等於這兩 個質數。若a− =2 ba+ =2 7,解得 a = 5、b = 3,符合題意,此時 a + b = 8;a− =2 7、a+ =2 b,解得 a = 9、b = 11,不合題意。因此 a + b = 8。故選(B)。 答:(B) 12. 如下圖所示,將一紙條摺疊,摺痕為 AB,如果ACB= °60 ,摺疊後重疊部 分的三角形 ABC 面積為 3 cm2,請問這張紙條的寬為多少 cm? (A)1 (B) 3 (C) 3 2 (D) 2 3 3 (E)不能確定 A B C

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【參考解法】 由摺紙的方式及內錯角相等可知 180 60 60 2 CAB CBA ° − ° ∠ = ∠ = = °,故三角形 ABC 是等邊三角形。設 AC = x,則三角形的高為 3 2 x ,面積為 2 3 4 x ,故 2 3 3 4 x = ,解得 x = 2,因此紙條的寬(即三角形 ABC 的高)為 3 2 3 2 × = cm。 故選(B)。 答:(B) 13. 平面上 ABCD 是一個邊長為 10 cm 的正方 形,BC 邊固定不動,將 AD 邊移至A D′ ′的 位置,並且在移動過程中ABCDAD邊 的長度恒不改變。已知A D′ ′與 CD的交點GCD邊的中點,如下圖所示。請問在移動 過程中AD邊掃過的面積(即圖中陰影部份) 為多少 cm2?(π 取 3.14) (A)50 (B)50 3 π (C)60 (D)100 (E)100 3 π 【參考解法】 連AA′與 DD,通過割補方法可知 AD邊掃過的面積 等於平行四邊形AADD的面積,而平行四邊形 AADD的底邊 AD長為10 cm,高GD 長為5 cm, 所以面積為10 × 5 = 50 cm2。故選(A)。 答:(A) 14. 以等邊三角形ABC的一邊為斜邊作等腰直角三 角形 BCD,再以等腰直角三角形的一條直角邊 BD作等邊三角形,不斷地重複此過程,如下圖 所示。如果第一個等邊三角形ABC的面積為80 cm2, 請 問 第 四 個 等 邊 三 角 形 的 面 積 是 多 少 cm2? (A)1.25 (B)5 (C)6.4 (D)10 (E)40 【參考解法】 畢氏定理知,每個等邊三角形的邊長都是前一個的 2 2 倍,故面積是前一個的一 半,因此第四個等邊三角形的面積是 1 3 80 ( ) 10 2 × = cm2。故選(D)。 答:(D) A B C D G A′ D′ A B C D G A′ D′ A B C D

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15. 用 100 元購買面值分別為 4 元、8 元、10 元的三種郵票共 18 張,每種郵票 至少買一張,請問共有多少種不同的購買方法? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 【參考解法】 設購買 8 元的郵票 x 張,10 元的郵票 y 張,則 4 元的郵票購買了18− −x y張, 由題意得8x+10y+4(18− −x y) 100= ,化簡得2x+3y=14,注意到 xy都是正 整數,故僅有x = 4y = 2x = 1y = 4兩組解,這兩組解都滿足18− −x y是 正整數,故有2 種不同的購買方法。故選(B)。 答:(B) 16. 扇形 BMA 與扇形 CDM 在邊長為 10 cm 的正方形內,並且只有一個公共點 M,如下圖所示。請問這兩個扇形的面積之和為多少cm2? (π 取3.14,結果精確到小數點後1 位) (A)52.3 (B)78.5 (C)104.7 (D)157.0 (E)314.0 【參考解法】 由題意可知△BCM 是等邊三角形,所以∠ABM =MCD =30°。 這兩個扇形的面積之和為 2 30 3.14 10 2 52.3 360 × × × ≈ cm2。故選(A)。 答:(A) 17. 三個互不相同的正整數mnp滿足(m−3)(n−3)(p− =3) 4,請問m + n + p 的值等於什麼? (A)5 (B)6 (C)8 (D)14 (E)15 【參考解法】 由題意,m−3、n−3、p−3是三個互不相同的整數,且乘積為4。首先由乘積 為正數知三個整數必然都是正數或者一正數兩負數。若三個整數都是正數,則 乘積至少為1 × 2 × 3 = 6,不合題意;若為一正數兩負數,則不妨設m− <3 0、 3 0 n− < 、p− >3 0,由於比 3小的正整數只有 1和 2,所以 mn 必分別為1 和 2,解得 p = 5,三者之和為 8。故選(C)。 答:(C) A B C D M

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18. 設x< <y 0、x2 + y2 =4xy,請問 x y x y + − 的值等於什麼? (A) 3 (B)− 3 (C)3 (D) 6 (E)− 6 【參考解法】 由x< <y 0知x+ yxy都是負數,故x y 0 x+ >− y ,又 2 2 2 2 2 2 6 ( ) 3 2 2 x y x y xy xy x y x y xy xy + = + + = = − + − , 故x y 3 x+ =−y 。故選(A)。 答:(A) 19. 四條線段的長分別為 x、12、6、3(其中 x 為正實數),用它們拼出兩個直角 三角形,且 AB 與 CD 是其中的兩條線段,如下圖所示。請問 x 的可取值的 個數為多少個? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 【參考解法】 顯然 AB 是四條線段中最長的,故 AB = 12 或 AB = x: (1) 若 AB = 12: 當 CD = x 時,122 =x2 + +(3 6)2,x=3 7; 當 CD = 6時, 2 2 2 12 = + +6 (3 x) ,x=6 3−3; 當 CD = 3時,122 = + +32 (6 x)2,x=3 15−6。 (2) 若 AB = x: 當 CD = 12時, 2 2 2 12 (6 3) x = + + ,x=15; 當 CD = 6時, 2 2 2 6 (12 3) x = + + ,x=3 29; 當 CD = 3時,x2 = +32 (12+6)2,x=3 37。 故 x 可取值的個數為6 個。故選(E)。 答:(E) 20. 對於實數 x,用[x]表示不大於 x 的最大整數,例如[ ] 3π = 、[− = −π] 4。現已 知 100 1 n n      =       ,其中 n 為正整數,請問 n 共有多少個可能的取值? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 A C B O D

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【參考解法】 由於 100 10= ,易知 100 n n              隨著正整數 n 的增大而減少,故嘗試計算 n 取 11、 10、9、8、7、6 發現只有 10、9、8 符合題意,故共有 3 個可能取值。故選(C)。 答:(C) 【注】 當 m、n 為正整數時有 x x m mn n          =         ,故此題等價於 1002 1 n  =     ,即得 2 100 1 2 n ≤ < ,解得 n = 8、9、10。 21. 在三角形ABC中,AB = BC < ACAH BC邊上的高,ADBC邊上的 角平分線,如下圖所示。若∠DAH = 21°,請問∠BAC等於多少度? 【參考解法】 設∠BAC =α。 由AB = BC知∠ = ∠C BAC =α , 由ADBC邊上的角平分線知 1 2 2 DAC BAC α ∠ = ∠ = 。 在直角三角形 ACH 中,兩個銳角互餘,故 21 90 2 α α + + ° = °,解得α = °46 。 答:046 22. 在所有的四位數中,請問能同時被 2、3、4、5、6、7、8 整除的整數有多少 個? 【參考解法】 2、3、4、5、6、7、8 的最小公倍數是 3 × 5 × 7 × 8 = 840,因此共有 840 × 2、840 × 3、840 × 4、…、840 × 11 這 10 個整數符合條件。 答:010 23. 甲乙丙丁四人各有一些蘋果,甲的蘋果數等於其餘三人蘋果數之和,乙的蘋 果數等於其餘三人蘋果數之和的一半,丙的蘋果數等於其餘三人蘋果數之和 的六分之一,請問甲、乙、丙三人的蘋果數之和是丁的蘋果數的幾倍? A B H D C

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【參考解法】 由題意知,甲的蘋果數占四人蘋果總數的 1 1 1 1+ = 2,乙的蘋果數占四人蘋果總數 的 1 1 1 2+ =3,丙的蘋果數占四人蘋果總數的 1 1 1 6+ =7,故丁的蘋果數占四人蘋果 總數的1 (1 1 1) 1 2 3 7 42 − + + = ,因此甲、乙、丙三人的蘋果數之和是丁的蘋果數的 42 1− =41倍。 答:041 24. 將31 分拆為3 個質數之和(不考慮順序,質數可以相同),請問共有多少種 不同的分拆方法? 【參考解法】 設 a + b + c = 31 (a≤ ≤b c),其中abc都為質數,由3a≤31得a≤10,故a 只可能是2、3、5、7。 若a = 2,則b + c = 29,無解; 若a = 3,則b + c = 28,共有 2 個解:(b ,c) = (5, 23)、(11, 17); 若a = 5,則b + c = 26,共有 2 個解:(b ,c) = (7, 19)、(13, 13); 若a = 7,則b + c = 24,共有 2 個解:(b ,c) = (7, 17)、(11, 13)。 綜上所述,共有2 + 2 + 2 = 6 種不同的拆分方法。 答:006 25. 一個長方體的每條棱長都是整數 cm,將它放在桌面上,它露出的五個面的 面積之和(單位:cm2)與它的體積(單位:cm3)數值相同,請問這個長方 體的最小體積是多少 cm3? 【參考解法】 設長方體的長、寬、高分別為xyz cm,則由題意得xy + 2yz + 2zx = xyz。 兩邊除以xyz得1 2 2 1 z + + =x y 。 若1 2 2 1 3 z = = =x y ,則 x = y = 6、z = 3,xyz = 108。 下設1 z 、 2 x、 2 y 不全等於 1 3,故一定有一個大於 1 3。 若1 1 3 z > ,則 z < 3,又由 1 1 z < 得 z > 1,故 z = 2,化簡得 1 1 1 4 x + =y故(x, y) = (5, 20)、(6, 12)、(8, 8)、(12, 6)、(20, 5),對應的 xyz = 200、144、128; 若2 1 3 x > ( 2 1 3 y > 同理),則 x < 6,又由 2 1 x < 得 x > 2,故 x = 3、4、5。 當 x = 3 時,1 2 2 3 z + =y ,解得(y, z) = (7, 21)、(8, 12)、(9, 9)、(12, 6)、(15, 5)、(24,

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4),對應的 xyz = 441、288、243、225、216; 當 x = 4 時,1 2 1 2 z + =y ,解得(y, z) = (5, 10)、(6, 6)、(8, 4)、(12, 3),對應的 xyz = 200、144、128; 當 x = 5 時,1 2 3 5 z + =y ,解得(y, z) = (4, 10)、(5, 5)、(20, 2),對應的 xyz = 200、 125。 綜上所述,長方體的最小體積是 108 cm3,當且僅當長和寬為 6 cm,高為 3 cm 時取到。 答:108 【注】 本題與均值不等式相關。

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參考文獻

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