2017IMAS國中組第一輪檢測中文試題詳解

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2017 初中組第一輪檢測試題詳解

1. 請問代數式 ( 18)− 2 −12016 − −( 1)2017的值是多少? (A)−20 (B)−18 (C)0 (D)16 (E)18 【參考解法】 2 2016 2017 2 ( 18)− −1 − −( 1) = 18 − − − = − + =1 ( 1) 18 1 1 18。因此選(E)。 答案:(E) 2. 請問下面哪一項內的數可以表示成四個連續正整數之和? (A)2016 (B)2017 (C)2018 (D)2019 (E)2020 【參考解法1】 設四個連續正整數中最小的正整數為 a,則這四個數之和為 ( 1) ( 2) ( 3) 4 6 4 ( 1) 2 a+ + + + +a a a+ = a+ = × + +a , 即此和數被4 除之後所得的餘數為2。選項中僅有2018被4 除之後所得的餘數 為2。故選(C)。 【參考解法2】 可知四個連續正整數之和必為偶數,故選項(B)與(D)不可能;四個連續正整數之 平均不可能為整數,故選項(A)與(E)不可能。而因2018 4÷ =504.5,即四個連續 正整數為503、504、505、506時,選項(C)滿足題意。故選(C)。 答案:(C) 3. 已知3 kg梨子的價格是$16.26,2 kg蘋果的價格是$13.62。請問1 kg蘋果比 1 kg梨子貴多少元? (A)0.61 (B)1.39 (C)1.42 (D)1.81 (E)2.64 【參考解法】 每kg 梨子的價格為$16.26 3 5.42÷ = ,每kg蘋果的價格為$13.62 2÷ =6.81,故兩 者之差為$6.81 $5.42 $1.39− = 。故選(B)。 答案:(B) 4. 已知將分數m n 的分子增加 2017 後,這個分數的值增加 1。請問 n 的值為多 少? (A)1 (B)2016 (C)2017 (D)2018 (E)不確定 【參考解法】 由題意可得知m 2017 m 1 n n + = + ,因此2017 1 n = ,故n=2017。故選(C)。 答案:(C)

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5. 在等腰三角形 ABC 中,已知 AB= AC且在 AC 邊上 有 一 點 D 滿 足 BD BC= , 如 下 圖 所 示 。 若 21 ABD ∠ = °,請問 BAC∠ 的度數是多少度? (A)21 (B)38 (C)42 (D)46 (E)54 【參考解法 1】 由 AB=AC可得知∠ = ∠C ABC= ∠DBC+ °21 ,即 21 DBC C ∠ = ∠ − °;由 BD BC= 可得知 C∠ = ∠BDC,即 180 2 DBC C ∠ = ° − ∠ 。因此180° − ∠ = ∠ − °2 C C 21 ,解得 67 C ∠ = °,所以∠BAC =180° − ∠ = °2 C 46 。故選(D)。 【參考解法 2】

由三角形外角等於兩個遠內角和得知∠BDC = ∠BAC+ ∠ABD= ∠BAC+ °21 ,由 AB=AC可知∠ = ∠C ABC= ∠DBC+ °21 ,即 BAC∠ = ∠DBC。因此可得知 180° = ∠2 ACB+ ∠BAC = ∠2( BAC+ ° + ∠21 ) BAC = ∠3 BAC+ °42 ,∠DBC = °46 。 故選(D)。 答案:(D) 6. 請問數23+ + +03 13 73的所有質因數之和是多少(重複的質因數只計算一 次)? (A)7 (B)12 (C)13 (D)16 (E)64 【參考解法】 3 3 3 3 2 + + + = + + +0 1 7 8 0 1 343 352= = × × × × ×2 2 2 2 2 11,即所求為2 11 13+ = 。 故選(C)。 答案:(C) 7. 在算式ab+cd =ef 中,abcdef 各代表一個二位數,且abcdef六個數碼兩兩不同。請問ef 的最小可能值是多少? (A)30 (B)34 (C)36 (D)39 (E)41 【參考解法】 因a+ ≥ + =c 1 2 3,故e≥3。因此取e=3,此時可判斷出ac分別為1 與2,且 知bd 均不能為 0,否則數碼f會與 bd 相等,故b+ ≥ + =d 4 5 9,即 f =9, 例如14 25 39+ = 、15 24 39+ = 。故選(D)。 答案:(D) 8. 請問有多少個整數x 滿足 2x+ ≤1 8? (A)3 (B)4 (C)7 (D)8 (E)9 【參考解法】 由題意可得知 8 2− ≤ x+ ≤1 8,因此 9 2− ≤ x≤7,化簡即得 4.5− ≤ ≤x 3.5,因此 x 可取−4、−3、−2、−1、0、1、2、3,共 8個值。故選(D)。 答案:(D) B A D C

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9. 在凸四邊形AQBC中,QA QB= 、∠ = °C 60 。連 接 AB,將三角形 QAB 沿著 AB 翻摺到三角形 PAB,已知∠PBC= °30 、∠PAC= °20 ,如下圖 所示。請問 AQB∠ 的度數是多少度? (A)100 (B)110 (C)120 (D)130 (E)140 【參考解法 1】

由三角形ABC內角和為180°可知∠PAB+ ∠PBA=180° −(60° + ° + ° = °20 30 ) 70 ,

因此∠APB=180° − ° =70 110°,再由三角形 PAB 是三角形QAB沿著 AB翻摺而

得可知∠AQB=110°。故選(B)。 【參考解法 2】 延長BPAC於點 D。 因為∠BDC =180° − ° − ° = °30 60 90 , 我們可以得到∠APD =180° − ° − ° = °90 20 70 。 所以∠AQB = ∠APB=180° − ° =70 110°. 答案:(B) 10. 一個矩形的各邊長都是整數,請問它的對角線長不可能是下面的哪一項? (A)5 (B)6 (C) 41 (D) 53 (E)10 【參考解法】 由題目條件與勾股定理知矩形對角線長的平方可以寫成兩個正整數的平方和。 可知 2 2 2 5 = +3 4 、 412 =42 +52、 532 =22 +72、102 = +62 82,而因為在12 =1、 2 2 =4、32 =9、42 =16與52 =25這五個數中,不會有兩個數的和為62 =36,所 以 2 6 無法寫成兩個正整數的平方和。故選(B)。 答案:(B) 11. 已知一個平行四邊形的兩條鄰邊上的高分別是 2 cm 與 3 cm,且這個平行四 邊形的周長為 18 cm。請問這個平行四邊形的面積是多少 cm2 (A)9.6 (B)10 (C)10.5 (D)10.8 (E)12 【參考解法 1】 設這組鄰邊長度分別為x cm、y cm 且其面積為S,則S =2x=3y,因此 2 S x= 、 3 S y= 。再由周長為 18 cm 知2( ) 18 2 3 S + S = ,解得S=10.8cm2。 B A Q P C B A Q P C D

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【參考解法 2】 設這組鄰邊長度分別為x cm、y cm,則有 2x=3y,因此xy = 3:2。再由周長 為 18 cm 知 18 3 27 2 5 5 x= × = ,即這個平行四邊形的面積為27 2 54 10.8 5 × = 5 = cm 2 。 故選(D)。 答案:(D) 12. 小明、小亮與小剛三人要報名參加運動會的 100 m、200 m、跳高與跳遠四 個項目。已知每人至少報名一個項目,且每一個項目恰報 1 人。請問有多少 種不同的報名方式? (A)12 (B)18 (C)24 (D)30 (E)36 【參考解法 1】 由題目條件知有一個人要報名兩個項目、其餘兩人各報名一個項目。若報名兩 個項目的是小明時,可先讓小亮選擇他所要報名的項目,共有 4 種方式,接著 由小剛選擇他所要報名的項目,共 3 種方式,最後小明報名未被選擇的兩個項 目,此時報名方式就確定了,總共有 4 3 12× = 種。同理,小亮報名兩個項目與小 剛報名兩個項目也均有 12 種報名方式,所以合計共有12 3 36× = 種報名方式。故 選(E)。 【參考解法 2】 由題目條件知有一個人要報名兩個項目、其餘兩人各報名一個項目。若報名兩 個項目的是小明時,小明共有4 3 6 2 × = 種選擇,而小亮與小剛分別從另兩個項目 中各選擇一個不重複的項目報名,共 2 種方式,因此總共有 6 2 12× = 種。同理, 小亮報名兩個項目與小剛報名兩個項目也均有 12 種報名方式,所以合計共有 12 3 36× = 種報名方式。故選(E)。 答案:(E) 13. 已知三個數 abc 的和為負數、積為正數。若令x a b c a b c = + + ,請問代 數式 2017 2 2017 36 xx + 的值是多少? (A) 1982− (B) 1981− (C) 1980− (D)1980 (E)1982 【參考解法】 由abc 的積為正數,故知這三個數全為正數或一正數、兩負數,但若三個 數全為正數,則其和不可能是負數,所以abc 為一正數、兩負數,據此可 判斷出x= + − + − = −1 ( 1) ( 1) 1,故x2017 −2017x2+36= − −1 2017+36= −1982。故 選(A)。 答案:(A) 14. 甲、乙兩數都是正整數,且甲數的4 7 正好是乙數的 2 5。請問甲、乙兩數之和 的最小值是多少? (A)10 (B)14 (C)15 (D)35 (E)17

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【參考解法】 設甲數為x、乙數為 y,則由題意知4 2 7x= 5 y,故 7 10 x y = 。由於 x、y 都是正整數, 所以它們的和至少為 7 10 17+ = 。故選(E)。 答案:(E) 15. 小華從早上 9:00 到公司上班、下午 5:00 下班。請問在此期間分針轉過的 度數比時針轉過的度數多了多少度? (A)120 (B)1200 (C)1320 (D)2640 (E)2880 【參考解法】 小華上班時間為 8 小時,此期間分針轉了 8 圈,即8 360 2880× = 度,而時針轉 了 8 2 12 = 3圈,即 2 360 240 3× = 度,兩者相差 2880 240 2640− = 度。故選(D)。 答案:(D) 16. 某城市地鐵票價收費標準為:起步 4 km 以內收費 2 元、4 km 至 12 km 範圍 內每遞增 4 km 加 1 元、12 km 以上,每遞增 6 km 加 1 元。已知搭地鐵從 A 站到 B 站需要 8 元,請問 A 站到 B 站的地鐵路線距離與下面哪一項最接近? (A)12 km (B)18 km (C)24 km (D)36 km (E)48 km 【參考解法】 由題意可知,12 km 的路程需要2 (12 4) 4 4 − + = 元,所以 A 站到 B 站的距離超過 12 km,且 12 km 後增加8− =4 4元,因此 12 km 後至少仍有6 4 24× = km 且不超 過 6 5 30× = km,即 A 站到 B 站的地鐵路線距離至少為 36 km 且不超過 42 km。 故在各選項中,A 站到 B 站的地鐵路線距離最接近 36 km。故選(D)。 答案:(D) 17. 設 abc 是一個三位數,其中數碼 a、b、c 兩兩相異,且三數碼之和為 7。請 問有多少個這樣的三位數? (A)6 (B)12 (C)14 (D)18 (E)22 【參考解法】 由 abc 是一個三位數可判斷出a≠0。當 a、b、c 有一個為 0 時,它們可以是 0、 1、6;0、2、5 或 0、3、4,且可知每種組合可以組成四個三位數;當 a、b、c 均不為 0 時,它們只能是 1、2、4,此時能組成 6 個三位數。合計3 4 6 18× + = 個。 故選(D)。 答案:(D) A 站 B 站

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18. 已知正數 x、y 滿足x2 − y2 =2。請問x 2+ y2 − y x2 −2的值為多少? (A)2 (B)2 2 (C)4 (D)4 2 (E)不確定 【參考解法】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + yy x − = x xy y = xy = 。故選(A)。 答案:(A) 19. 在四邊形 ABCD 中,已知AB=4cm、BC =6cm、CD=5cm、DA=3cm 且 90 BAD ∠ = °,如下圖所示。請問 AC 的長度為多少cm? (A)5 (B)7 (C) 34 (D)3 5 (E)2 13 【參考解法】 連接 BD,則 2 2 3 4 5 BD= + = =DC設 BC 中點為 E,則可知DEBE,且有 1 3 2 BE = BC = = AD,故△BED△DAB,因此 EBD ADB ∠ = ∠ ,故 BC//AD,即知BCAB。 最後由勾股定理即可以得知 2 2 2 2 4 6 2 13 AC= AB +BC = + = 。 故選(E)。 答案:(E) 20. 當 1 3 a= 、 1 4 b= 時,請問代數式a3+ −b3 a b2 −ab2的值為多少? (A) 7 1728 (B) 7 1718 (C) 5 1718 (D) 5 1728 (E) 5 1628 【參考解法】 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 7 1 2 7 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 12 12 1728 a + −b a bab = +a b ab = + × − = × = 。故選(A)。 答案:(A) 21. 已知正整數 a、b、c 滿足a2 bc 19 b c a + = + + 。請問 a b c+ + 的值是多少? A D C B A D C B E

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【參考解法】 由題目條件可以判斷出19 a 是整數,故a=1或a=19。 若a=1,則有bc+ = + +1 b c 19,因此(b−1)(c− =1) 19。由於19是質數,故b−1、 1 c− 中一個數為 1 而另一個數為19,故a+ + = + + +b c 1 (1 1) (19 1)+ =23。 若a=19,則有bc+361= + +b c 1,因此(b−1)(c− = −1) 359,即b−1、c−1中一 個數為負數,顯然矛盾。 答案:023 22. 新運算「⊗」滿足以下兩條性質: (i) 對任意x、y,有x⊗ = − ⊗y (x 1) (y− + +1) x y; (ii) 對任意x,有x⊗ =1 1。 請問(3⊗ ⊗3) 3的值是多少? 【參考解法】 可知3 3 2⊗ = ⊗ + + = ⊗ + + + + =2 3 3 1 1 2 2 3 3 11, 故(3⊗ ⊗ = ⊗ =3) 3 11 3 10⊗ + + = ⊗ +2 11 3 9 1 10+ + + =2 11 3 27。 答案:027 23. 已 知 ABCD 與 AECF 是 兩 個 全 等 的 矩 形 , 且 AB = AF =20 cm、 50 AD= AE= cm,如下圖所示。請問四邊形 AGCH 的面積是多少cm2? 【參考解法】 由對稱性可知 AGCH 是菱形,設其邊長為 x cm,則知BG =50−CG=50−xAG= x。而在三角形 ABG 中,由勾股定理得 2 2 2 20 +(50−x) =x ,解得x=29。 因此菱形 AGCH 的面積為 29 20 580× = cm2。 答案:580 B A D C E F H G

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24. 已知正三角形 ABC 的邊長為 6 cm。把每條邊 6等分並連接相對應的等分點, 可形成下圖的正三角形網格。從 A 點出發,沿著格線用長度為 5 cm的摺線 (要求摺線不能經過同一個格點兩次)可連接的格點,稱為「可達到」的格 點。例如圖中的點 D 為「可達到」的格點。請問圖中總共有多少個「可達 到」的格點? 【參考解法】 將從 A 點出發沿著格線連接一條長度1 cm的線段稱為一步。由圖可知,至少向 右或右上方向6 步才能到達 BC 邊上的格點。所以 BC 邊上的格點都不是「可達 到」的格點。易知,除了 BC 邊上的格點與 A 點,其他格點都是「可達到」的格 點,某些「可達到」的格點的路徑如下: 故圖中總共有2+ + + + =3 4 5 6 20個「可達到」的格點。 答案:020 B A D C B A C A C B B A C A C B

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25. 某班全體學生分組作專題研究,研究分上午和下午兩個階段,學生可以在每 個階段各參加一個小組(不能不參加,兩個階段的小組成員人數可以不同), 要求每組最多八人(允許一個人單獨為一組)。當研究結束後,每位學生先 報出自己上午所屬小組分別的成員人數,再報出下午所屬小組分別的成員人 數。結果發現任意二位學生報出的數對都不相同(順序不同視為不相同,例 如(1, 4)與(4, 1)不相同),請問該班最多可能有多少位學生? 【參考解法】 將每名學生報出的兩個數看成一個數對,其中第一個數代表該生上午所屬小組 的成員人數,第二個數代表該生下午所屬小組的成員人數,由於每組最多8 人, 所以總共只有64個可能的數對,列成下圖: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 8) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (2, 7) (2, 8) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (3, 7) (3, 8) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (4, 7) (4, 8) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (5, 7) (5, 8) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) (6, 7) (6, 8) (7, 1) (7, 2) (7, 3) (7, 4) (7, 5) (7, 6) (7, 7) (7, 8) (8, 1) (8, 2) (8, 3) (8, 4) (8, 5) (8, 6) (8, 7) (8, 8) 因為第 k 列(1≤ ≤k 8)的數對是上午所屬小組的成員人數為 k 的學生報的數對, 而這些學生的總數是 k 的倍數,所以第 k 列中有 k 之倍數的學生報數,即第 k 列中必須有 k 之倍數的數對。故第三列最多只能有6 個不同的數對,第五列最 多只能有5 個不同的數對,第六列最多只能有6 個不同的數對,第七列最多只 能有7 個不同的數對。同理,所以第 k 行中有 k 之倍數的學生報數,即第 k 行中 必須有 k 之倍數的數對。如果把(3, 3)、(3, 5)、(5, 3)、(5, 5)、(5, 6)、(6, 5)、(6, 6)、 (7, 7)這 8個數對取出,剩下的 56個數對符合條件,所以人數最多是 56人。 答案:056 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 8) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (2, 7) (2, 8) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (3, 7) (3, 8) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (4, 7) (4, 8) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (5, 7) (5, 8) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) (6, 7) (6, 8) (7, 1) (7, 2) (7, 3) (7, 4) (7, 5) (7, 6) (7, 7) (7, 8) (8, 1) (8, 2) (8, 3) (8, 4) (8, 5) (8, 6) (8, 7) (8, 8) 必 須 刪 1 個 必 須 刪 2 個 必 須 刪 3 個 必 須 刪 2 個 必須刪 1個 必須刪 2個 必須刪 3個 必須刪 2個

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